一元一次不等式组含参数
一元一次不等式(组)含参数问题 专题训练(1)
一元一次不等式（组）含参数问题专题训练（1）
20．如果不等式组有解，则实数m的取值范围是．
6．若不等式组的解为x＜﹣a，则下列各式中正确的是（）
A．a+b≤0B．a+b≥0C．a﹣b＜0D．a﹣b＞0
11．若关于x的不等式（a﹣b）x＞a﹣b的解集是x＜1，那么下列结论正确的是（）A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．无法判断a、b的大小
9．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．
21．如果关于x的方程x+2+m＝0的解也是不等式组的一个解，则m的取值范围是．
26．如果5a﹣3x2+a＞1是关于x的一元一次不等式，则其解集为．33．关于x的方程2x﹣3m＝1的解为正数，则m的取值范围是. 35．关于x、y的二元一次方程组满足x﹣y＜3，则k的取值范围为．37．已知关于x的不等式4x﹣a≤0的非负整数解是0，1，2，则a的取值范围是．47．若关于x的不等式组有两个整数解，则a的取值范围是．。
专题03 解一元一次不等式(组)及参数问题八种模型(学生版)
专题03解一元一次不等式(组)及参数问题八种模型【类型一解一元一次不等式模型】例题：（2022·陕西·模拟预测）解不等式3136x x-<-，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集．【变式训练1】（2022·陕西·西安市西光中学二模）解不等式7132184x x->--，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．【变式训练2】（2021·上海徐汇·期中）解不等式38236x x---≤，把解集在数轴上表示出来，并求出最小整数解．【变式训练3】（2022·福建·三明一中八年级阶段练习）解不等式：(1)2(41)58x x -≥-(2)261136x x +-≤【变式训练4】（2022·河南驻马店·八年级阶段练习）解下列一元一次不等式，并把它们的解集表示在数轴上：(1)2﹣5x ＜8﹣6x ；(2)53-x +1≤32x ．【类型二解一元一次不等式组模型】例题：（2022·福建·三明一中八年级阶段练习）解不等式组52331132x xx x -≤⎧⎪-+⎨<-⎪⎩，并把不等式组的解集在数轴上表示出来：【变式训练1】（2022·广东·汕头市龙湖实验中学九年级阶段练习）解不等式组：1011122x x -≥⎧⎪⎨--<⎪⎩，并写出它的所有整数解．【变式训练2】（浙江省温州市2020-2021学年八年级上学期3月月考数学试题）解一元一次不等式组523(1)131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．【变式训练3】（2022·广东揭阳·八年级阶段练习）解不等式组：12(1)2235xx x x ⎧+<-⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【变式训练4】（2022·湖南岳阳·八年级期末）（1）解不等式121132x x+++≥；（2）解不等式组：3242(1)31x x x -<⎧⎨-≤+⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【类型三一元一次不等式的定义时含参数问题】例题：（2021·全国·七年级课时练习）已知不等式||1(2)20n n x --->是一元一次不等式，则n =____．【变式训练1】（2022·山东·枣庄市第十五中学八年级阶段练习）已知()3426m m x --+>是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为______．【变式训练2】（2021·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校八年级期中）若21(2)15m m x --->是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为______________．【类型四一元一次不等式整数解中含参数问题】例题：（2022·上海·七年级期中）如果不等式2x ﹣3≤m 的正整数解有4个，则m 的取值范围是_____．【变式训练1】（2020·全国·八年级单元测试）已知不等式30x m -≤有5个正整数解，则m 的取值范围是________．【类型五一元一次方程组与不等式间含参数问题】例题：（2022·全国·八年级）关于x 的方程42158x m x -+=-的解是负数，则满足条件的m 的最小整数值是_____．【变式训练1】（2021·四川成都·八年级期末）已知关于x 的方程35x a x +=-的解是正数，则实数a 的取值范围是______．【变式训练2】（2021·全国·七年级课时练习）如果关于x 的方程2435x a x a++=的解不是负数，那么a 的取值范围是________．【变式训练3】（2021·全国·七年级课时练习）当m________时，关于x的方程222x m xx---=的解为非负数．【类型六二元一次方程组与不等式间含参数问题】例题：（2021·内蒙古呼和浩特·七年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组231231x y kx y k+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x＋y＜4，则满足条件的k的最大整数为____．【变式训练1】（2021·四川绵阳·x，y的二元一次方程组221x yx y k+=⎧⎨+=+⎩的解为正数，则k的取值范围为__．【变式训练2】（2021·江苏江苏·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组231323x y mx y m+=+⎧⎨-=+⎩，且x，y满足x+y＞3．则m的取值范围是___．【变式训练3】（2021·四川南充·七年级期末）已知关于x，y的方程组24223x y kx y k+=⎧⎨+=-+⎩，的解满足x﹣y＞0，则k的最大整数值是______________．【变式训练4】（2021·甘肃·九年级专题练习）若关于x，y的二元一次方程组3331x yx y a+=⎧⎨+=+⎩的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为_______．【类型七解一元一次不等式组中有无解集求参数问题】例题：（2021·内蒙古·包头市青山区教育教学研究中心八年级期中）关于x的不等式组352x ax a->⎧⎨-<⎩无解，则a的取值范围是_____．【变式训练1】（2022·广西贵港·八年级期末）若关于x的不等式组33235x xx m-<⎧⎨->⎩有解，则m的取值范围是______．【变式训练2】（2021·四川凉山·七年级期末）已知关于x的不等式组5122x ax x->⎧⎨->-⎩无解，则a的取值范围是_________．【变式训练3】（2021·河南南阳·三模）已知关于x的不等式组3xx m>⎧⎨≤⎩有实数解，则m的取值范围是____．【变式训练4】（2022·江苏南通·九年级阶段练习）如果关于x的不等式组232x ax a>+⎧⎨<-⎩无解，则常数a的取值范围是______________．【类型八解一元一次不等式组中有整数解求参数问题】例题：（2021·宁夏中卫·八年级期末）不等式组,3x ax>⎧⎨<⎩的整数解有三个，则a的取值范围是_________．【变式训练1】（2021·安徽·马鞍山二中实验学校七年级期中）已知不等式组211x x a-<⎧⎨-≤⎩，只有三个整数解，则a 的取值范围是_________．【变式训练2】（2021·黑龙江佳木斯·模拟预测）不等式组2312x ax -⎧⎨-≤⎩＜有3个整数解，则a 的取值范围是_____．【变式训练3】（2020·内蒙古·北京八中乌兰察布分校一模）关于x 的不等式组3x ax <⎧⎨≥⎩只有两个整数解，则a 的取值范围是_____．【变式训练4】（2022·湖南湘潭·八年级期末）已知关于x 的不等式组3010x a x -≤⎧⎨-≤⎩①②，有且只有3个整数解，则a 的取值范围是______________。
第4讲 含参不等式--尖子班
第4讲 含参的不等式知识点1 含参的一元一次不等式含参的一元一次不等式（1）含未知数项的系数不含参数，如x ＞a ，（其中a 为常数）；（2）含未知数项的系数含参数，如mx ＞n ，（其中m 为参数、n 为常数）．【典例】1.已知不等式2（m ﹣x ）+1＞3x ﹣2的解集是x ＜32，则m 的值为 ． 【答案】94．【解析】解：去括号，得2m ﹣2x+1＞3x ﹣2， 移项，得3x+2x ＜2m+1+2， 合并同类项，得，5x ＜2m+3， 系数化为1，得，x ＜2m+35，∵不等式2（m ﹣x ）+1＞3x ﹣2的解集是x ＜32， ∴2m+35=32，解得m=94．2.若不等式（a+1）x ＞a+1的解集是x ＜1，则a 的取值范围是____________．【答案】a＜﹣1．【解析】解：∵当a+1=0，即a=-1时，0＞0不成立，∴当a+1=0时，不等式（a+1）x＞a+1无解集，∴a+1≠0，∵不等式（a+1）x＞a+1两边都除以a+1，得其解集为x＜1，∴未知数x的系数（a+1）为负，∴a+1＜0，解得：a＜﹣1，故答案为：a＜﹣1．3.关于x的两个不等式①3x+a2＜1与②1﹣3x＞0．（1）若两个不等式的解集相同，求a的值．（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．【答案】略．【解析】解：（1）由①得：x＜2−a3，由②得：x＜13，由两个不等式的解集相同，得到2−a3=13，解得：a=1；（2）由不等式①的解都是②的解，得到2−a3≤13，解得：a≥1．4.若关于x，y的方程组{3x+y=1−ax+3y=3的解满足x+y＜2，则a的取值范围为．【答案】a＞﹣4．【解析】解：{3x+y=1−a ①x+3y=3 ②，①+②得：4（x+y）=4﹣a，则x+y=14（4﹣a ）， 则14（4﹣a ）＜2，解得：a ＞﹣4． 故答案是：a ＞﹣4．【方法总结】1. 已知一元一次不等式（系数不含参）及其解集，求参数的值的思路． 如已知不等式2（m ﹣x ）+1＞3x ﹣2的解集是x ＜32，求m 的值，①求不等式2（m ﹣x ）+1＞3x ﹣2的解集为x ＜2m+35，②令2m+35=32，从而不难求出m 的值，2. 求一元一次不等式ax ＞b(a ，b 是常数)解集的思路．需要借助分类讨论思想，①若a ＞0，则不等式ax ＞b 的解集为x ＞ba ；②若a ＜0，则不等式ax ＞b 的解集为x ＜ba ；③若a=0，b ＜0，则不等式ax ＞b 的解集为任意实数；若a=0，b ≥0，则不等式ax ＞b 无解集．3. 已知一元一次不等式①和②的解集相同，求参数的值的思路．如关于x 的两个不等式①3x+a 2＜1与②1﹣3x ＞0，若两个不等式的解集相同，求a 的值．①分别求出不等式①和②的解集为x ＜2−a 3和x ＜13，②令2−a 3=13，从而不难求出a 的值．4. 已知一元一次不等式①的解都是②的解，求参数的取值范围的思路． 如关于x 的两个不等式①3x+a 2＜1与②1﹣3x ＞0，若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围的思路．①分别求出不等式①和②的解集为x ＜2−a 3和x ＜13，②令2−a 3≤13，从而不难求出a 的取值范围．【随堂练习】1．如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，试求关于x的不等式mx＞n的解集．【解答】解：移项得（2m﹣n）x＞5n﹣m，∵关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，∴2m﹣n＜0，且x＜，∴＝，整理得n＝m，把n＝m代入2m﹣n＜0得，2m﹣m＜0，解得m＜0，∵mx＞n，∴mx＞m，∴x＜．∴关于x的不等式mx＞n的解集是x＜．知识点2 含参的一元一次不等式组含参的一元一次不等式组常考题型1.给出不等式组解集的情况，求参数取值范围2.给出不等式组的解集，求参数的值3.给出方程（组）解的情况，转化为不等式（组），求参数的取值范围4.给出不等式组整数解的个数，确定参数的取值范围【典例】1. 若关于x 的一元一次不等式组{x −2m ＜0x +m ＞2有解，则m 的取值范围为 ．【答案】m ＞23．【解析】解：{x −2m ＜0⋯①x +m ＞2⋯ ②，解①得：x ＜2m ， 解②得：x ＞2﹣m ，∵关于x 的一元一次不等式组{x −2m ＜0x +m ＞2有解，∴2m ＞2﹣m ，解得：m ＞23． 故答案是：m ＞23．2.已知不等式{2x −a ＜1x −2b ＞3的解集为﹣1＜x ＜1，求（a+1）（b ﹣1）的值为 ．【答案】﹣6．【解析】解：由2x −a ＜1，解得x ＜a+12．由x −2b ＞3，解得x ＞3+2b ．∵不等式{2x −a ＜1x −2b ＞3的解集为﹣1＜x ＜1，∴a+12=1，3+2b=﹣1，解得a=1，b=﹣2，∴（a+1）（b ﹣1）=（1+1）×（﹣2﹣1）=﹣6， ∴（a+1）（b ﹣1）的值为﹣6． 故答案为﹣6．3.如果关于x 、y 的方程组{x +y =3x −2y =a −2的解都是正数，则a 的取值范围是 ．【答案】﹣4＜a ＜5． 【解析】解：{x +y =3 ①x −2y =a −2②，①﹣②得3y=5﹣a ，则y=5−a 3， 把y=5−a 3代入①得x=3﹣5−a 3=4+a 3．则方程组的解是{x =4+a3y =5−a 3，∵关于x 、y 的方程组{x +y =3x −2y =a −2的解都是正数，∴{4+a3＞05−a 3＞0， 解得﹣4＜a ＜5． 故答案是：﹣4＜a ＜5．4.不等式组{3x −5＞15x −a ≤12有2个整数解，则实数a 的取值范围是 ．【答案】8≤a ＜13．【解析】解：解不等式3x ﹣5＞1，得：x ＞2， 解不等式5x ﹣a ≤12，得：x ≤a+125，∵不等式组有2个整数解，∴不等式组{3x −5＞15x −a ≤12整数解为3和4，则4≤a+125＜5，解得：8≤a ＜13， 故答案为：8≤a ＜13．【方法总结】1.给出不等式组解的情况，求参数取值范围，解题思路如下：①分别求出不等式组中每个不等式的解集，②确定参数的取值范围，记住：“大小小大有解；大大小小无解．”注意：端点值另外考虑．2.给出不等式组的解集，求参数的值，解题思路如下：①先求出含参不等式组中每个不等式的解集；②再利用已知解集和所求解集之间的对应关系，建立方程（组）；③解方程（组），从而求出参数的值．3.给出方程（组）解的情况，转化为不等式（组），求参数的取值范围，解题思路如下：①先求含参数的方程组的解，方程组的解用含参的式子表示出来；②列出题目中解满足的不等关系，将含参数的式子代入，转化为关于参数的不等式（组），③解不等式（组），从而求出参数的取值范围．4.给出不等式组整数解的个数，确定参数的取值范围，解题思路如下：①先求出不含参数的不等式的解集；②再结合题意，在不含参数的不等式解集范围内找出连续的几个整数解；③参数的范围就在最后一个整数解差一个单位长度的范围内（借助数轴解决问题），注意：端点值特殊考虑．【随堂练习】1．已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1．（1）当a＝﹣2时，求x，y的值；（2）若x≤1，求y的取值范围．【解答】解：（1），①﹣②，得：4y＝4﹣4a，解得：y＝1﹣a，将y＝1﹣a代入②，得：x﹣1+a＝3a，解得：x＝2a+1，则，∵a＝﹣2，∴x＝﹣4+1＝﹣3，y＝1+2＝3；（2）∵x＝2a+1≤1，即a≤0，∴﹣3≤a≤0，即1≤1﹣a≤4，则1≤y≤4．2．已知关于x、y的方程组（实数m是常数）．（1）若x+y＝1，求实数m的值；（2）若﹣1＜x﹣y＜5，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，化简：|m+2|﹣|2m﹣6|．【解答】解：（1）将方程组中的两个方程相加，得3（x+y）＝6m+1，将x+y＝1代入，得6m+1＝3，解得m＝；（2）将方程组中的两个方程相减，得x﹣y＝2m﹣1，解不等式组﹣1＜2m﹣1＜5，得0＜m＜3；（3）当0≤m≤3时，|m+2|-|2m﹣6|＝（m+2）+（2m﹣6）＝3m-4．知识点3 一元一次不等式的应用一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【典例】1.某中学计划用2500元购买一批名著和辞典作为奖品，其中名著每套60元，辞典每本40元，现已购买名著24套，学校最多还能买多少本辞典？【答案】略．【解析】解：设学校能买x本辞典，∵名著每套60元，现已购买名著24套，辞典每本40元，学校能买x本辞典，∴购买24套名著费用=24×60（元），购买x本辞典费用=40x（元），∵购买24套名著费用与购买x本辞典费用和不超过2500元，，∴可列出关于x的一元一次不等式：40x+24×60≤2500，解得：x≤2612∵x为整数，∴x=26．答：学校最多能买26本辞典．【方法总结】一元一次不等式的应用解决此类问题关键在于掌握解列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【随堂练习】1．为了开展全校学生阳光体育运动活动，增强学生身体素质，张老师所在的学校需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买．三次购买足球和篮球的数量和费用如下表：足球数量（个）篮球数量（个）总费用（元）第一次65750第二次37780第三次78742（1）张老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的；（2）求足球和篮球的标价；（3）如果现在商场均以标价的6折对足球和篮球进行促销，张老师决定从该商场一次性购买足球和篮球50个，且总费用不能超过2200元，那么最多可以购买多少个篮球．【解答】解：（1）张老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售．理由：∵张老师在某商场购买足球和篮球共三次，只有一次购买时，足球和篮球同时打折，其余两次均按标价购买，且只有第三次购买数量明显增多，但是总的费用不高，∴按打折价购买足球和篮球是第三次购买；故答案为：三；（2）设足球的标价为x元，篮球的标价为y元．根据题意，得，解得：．答：足球的标价为50元，篮球的标价为90元；（3）设购买a个篮球，依题意有0.6×50（50﹣a）+0.6×90a≤2200，解得a≤29．故最多可以买29个篮球．2．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．若顾客购物应付x元，请根据x的取值，讨论顾客到哪家商场购物花费少？【解答】解：（1）当x≤50时，在甲、乙两个商场购物都不享受优惠，因此到两个商场购物花费一样；（2）当50＜x≤100时，在乙商场购物享受优惠，在甲商场购物不享受优惠，因此在乙商场购物花费少；（3）当累计购物超过100元时，即x＞100元，甲商场消费为：100+（x﹣100）×0.9元，在乙商场消费为：50+（x﹣50）×0.95元．当100+（x﹣100）×0.9＞50+（x﹣50）×0.95，解得：x＜150，当100+（x﹣100）×0.9＜50+（x﹣50）×0.95，解得：x＞150，当100+（x﹣100）×0.9＝50+（x﹣50）×0.95，解得：x＝150．综上所述，当累计消费大于50元少于150元时，在乙商店花费少；当累计消费大于150元时，在甲商店花费少；当累计消费等于150元或不超过50元时，在甲乙商场花费一样．知识点4 一元一次不等式组的应用一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的实际应用问题，通常列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．【典例】1.把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．这些书有多少本？学生有多少人？【答案】略．【解析】解：设有x个学生，那么共有（3x+8）本书，∵如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本，∴可知最后一人分到书的数的数量大于等于0且小于3，即0≤书的总数-（x-1）×5＜3，∴可列不等式组为{3x+8−5(x−1)≥03x+8−5(x−1)＜3，解得5＜x≤6.5，∵x为整数，∴x=6，∴共有6×3+8=26本，答：有26本书，6个学生．【方法总结】一元一次不等式组的应用解题思路①将题目中所给信息与数学思想联系起来，读懂题，列出不等式关系；②根据不等关系，列一元一次不等式组；③解一元一次不等式组；④从不等式组解集中找出符合题意的答案，并作答．【随堂练习】1．青县祥通汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B 型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？【解答】解：（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则，解得，答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则依题意得18a+26（6﹣a）≥130，解得a≤3，∴2≤a≤3．a是正整数，∴a＝2或a＝3．共有两种方案：方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；方案二：购买3辆A型车和3辆B型车；2．义安中学工会“三八妇女节”共筹集会费1800元，工会决定拿出不少于270元，但不超过300元的资金为“优秀女职工”购买纪念品，其余的钱用于给50位女职工每人买一瓶洗发液或护发素，已知每瓶洗发液比每瓶护发素贵9元，用200元恰好可以买到2瓶洗发液和5瓶护发素．（1）求每瓶洗发液和每瓶护发素价格各是多少元？（2）有几种购买洗发液和护发素的方案？哪种方案用于为“优秀女职工”购买纪念品的资金更充足？【解答】解：（1）设每瓶洗发液和每瓶护发素价格分别为x元和y元，则，解得．答：每瓶洗发液和每瓶护发素的价格分别为35元和26元．（2）设购买洗发液t瓶，购买护发素（50﹣t）瓶，则1800﹣300≤35t+26（50﹣t）≤1800﹣270解得22≤t≤25，因为t为正整数，所以t＝23，24，25，即有三种方案：第一种方案：购买洗发液23瓶，护发素27瓶，余下资金293元．第二种方案：购买洗发液24瓶，护发素26瓶，余下资金284元．第三种方案：购洗发液25瓶，护发素25瓶，余下资金275元．综合运用1.若不等式（k﹣4）x＞﹣1的解集为x＜−1k−4，则k的取值范围是．【答案】k＜4．【解析】解：∵不等式（k﹣4）x＞﹣1的解集为x＜−1k−4，∴k﹣4＜0，解得：k＜4．故答案为k＜4．2.关于x的两个不等式3x+a2＜1与3﹣3x＞0的解集相同，则a= ．【答案】-1．【解析】解：由3x+a2＜1得：x＜2−a3，由3﹣3x ＞0得：x ＜1， 由两个不等式的解集相同，得到2−a 3=1，解得：a=-1． 故答案为：-1．3.已知关于x ，y 的方程组{3x +y =1+3a ①x +3y =1−a ②（1）由方程①﹣②，可方便地求得x ﹣y= ；（2）若方程组的解满足x+y ＞0，则a 的取值范围是 ． 【答案】2a ； a ＞﹣1．【解析】解：（1）{3x +y =1+3a ①x +3y =1−a ②，①﹣②得，2x ﹣2y=1+3a ﹣1+a ， 即x ﹣y=2a ；（2）①+②得，4x+4y=1+3a+1﹣a ， 即x+y=12a+12； ∵x+y ＞0，∴12a+12＞0，解得a ＞﹣1； 故答案为2a ；a ＞﹣1．4.已知不等式组 {x +1＜a3x +5＞x −7无解，则a 的取值范围是 ．【答案】a ≤﹣5【解析】解：解不等式x+1＜a ，可得：x ＜a ﹣1；解不等式3x+5＞x ﹣7，可得：x ＞﹣6， 因为不等式组 {x +1＜a3x +5＞x −7无解，所以a ﹣1≤﹣6， 解得：a ≤﹣5， 故答案为：a ≤﹣55.关于x 的不等式组{x −a ＞01−x ＞0的整数解共有3个，则a 的取值范围是 ．【答案】﹣3≤a ＜﹣2．【解析】解：由不等式①得x ＞a ， 由不等式②得x ＜1，所以不等式组的解集是a ＜x ＜1，∵关于x 的不等式组{x −a ＞01−x ＞0的整数解共有3个，∴3个整数解为0，﹣1，﹣2， ∴a 的取值范围是﹣3≤a ＜﹣2．6.已知不等式组{x +2＞m +nx −1＜m −1的解集为﹣1＜x ＜2，则（m+n ）2018=_________．【答案】1．【解析】解：解不等式x+2＞m+n ，得：x ＞m+n ﹣2， 解不等式x ﹣1＜m ﹣1，得：x ＜m ，∴不等式组{x +2＞m +nx −1＜m −1的解集为m+n ﹣2＜x ＜m ，∵不等式组的解集为：﹣1＜x ＜2， ∴m+n ﹣2=﹣1，m=2， 解得：m=2，n=﹣1，则（m+n ）2018=（2﹣1）2018=1， 故答案为：1．7.已知关于x ，y 的二元一次方程组{4x +y =k +2x +4y =3的解满足0＜x+y ＜1，则k 的取值范围是 ． 【答案】﹣5＜k ＜0．【解析】解：将两方程相加可得5x+5y=k+5， ∴x+y=k+55，∵0＜x+y ＜1，∴{k+55＞0k+55＜1，解得﹣5＜k ＜0，∴k 的取值范围是﹣5＜k ＜0， 故答案为：﹣5＜k ＜0．8.某种商品的进价为15元，出售时标价是22.5元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于10%，那么该店最多降价_________元出售该商品． 【答案】6．【解析】解：设降价x 元出售该商品，，则降价出售获得的利润是(22.5﹣x ﹣15)元，根据利润率不低于10%，列出不等式得，22.5﹣x﹣15≥15×10%，解得x≤6，故该店最多降价6元出售该商品．故答案为：6．9.某种毛巾的原零售价为每条6元，凡一次性购买两条以上（含两条），商家推出两种优惠方案：（1）两条按原价，其余按七折优惠；（2）全部按八折优惠．若在购买相同数量的毛巾的情况下，要使方案（1）比方案（2）合算，则最少要购买毛巾___________条．【答案】7．【解析】解：设购买毛巾x条，∵根据题意可得不等关系：2条毛巾的价格+（x﹣2）条毛巾的价格×0.7＜x条毛巾打8折的价格，∴可列出不等式为：6×2+6×0.7（x﹣2）＜6×0.8x，解得x＞6，∵x为最小整数，∴x=7，故答案为：7．＜1与②2（x﹣2）＞3x﹣6．10.关于x的两个不等式：①a+2x3（1）若两个不等式的解集相同，求a的值；（2）若不等式①的解与不等式②的正整数解之和小于4，求a的取值范围．【答案】略．，【解析】解：（1）由①得：x＜3−a2由②得：x＜2，由两个不等式的解集相同，得到3−a=2，2解得：a=﹣1．故a的值为﹣1；（2）由不等式①的解与不等式②的正整数解之和小于4，得到3−a+1＜4，2解得a＞﹣3．故a的取值范围是a＞﹣3．11.某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请设计出来．【答案】略．【解析】解：设用A型货厢x节，则用B型货厢（50﹣x）节，∵甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，∴x节A型货厢可装甲种货物35x吨，乙种货物15x吨；(50-x)节B型货厢可装甲种货物25(50-x)吨，乙种货物35(50-x)吨；∴x节A型货厢和（50﹣x）节B型货厢共装甲种货物为[35x+25(50-x)]吨，x节A型货厢和（50﹣x）节B型货厢共装乙种货物为[15x+35(50-x)]吨，∴{35x+25(50−x)≥153015x+35(50−x)≥1150解得28≤x≤30，∵x为整数，∴x只能取28，29，30，∴当x=28时，则50-x=22，当x=29时，则50-x=21，当x=30时，则50-x=20，共有三种调运方案：第一种调运方案：用A型货厢28节，B型货厢22节；第二种调运方案：用A型货厢29节，B型货厢21节；第三种调运方案：用A型货厢30节，B型货厢20节．12.某工厂生产A、B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表：若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？【答案】略．【解析】解：设生产A产品x件，则生产B产品（50﹣x）件，∴该工厂生产A种产品和B种产品一共投入资金为[0.6x+0.9(50-x)]元，∵该厂生产A种产品和B种产品投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，∴可列不等式组为：{0.6x+0.9(50−x)≤40 0.2x+0.4(50−x)＞16，解得：50≤x＜20，3∵x取整数，∴x可取17、18、19，共三种方案：①A 17件，B 33件；②A 18件，B 32件；③A 19件，B 31件；第一种方案获利：0.2×17+0.4×33=16.6万元；第二种方案获利：0.2×18+0.4×32=16.4万元；第三种方案获利：0.2×19+0.4×31=16.2万元；故可得方案一获利最大，最大利润为16.6万元．答：工厂有3种生产方案，第一种方案获利润最大，最大利润是16.6万元．21。
(完整版)一元一次不等式组含参数经典练习题
一元一次不等式组练习题1、已知方程⎩⎨⎧-=++=+②①m 1y 2x m 31y x 2满足0y x <+，则（ ）A. 1m ->B. 1m >C. 1m -<D. 1m <2、若不等式组⎩⎨⎧+>+<+1m x 1x 59x 的解集为2x >，则m 的取值范围是（ ）A. 2m ≤B. 2m ≥C. 1m ≤D. 1m >3、若不等式组⎩⎨⎧>+>-01x 0x a 无解，则a 的取值范围是（ ）A. 1a -≤B. 1a -≥C. 1a -<D. 1a ->4、如果不等式组⎩⎨⎧<->-m x x x )2(312的解集是x ＜2，那么m 的取值范围是（ ）A 、m=2B 、m ＞2C 、m ＜2D 、m ≥25、如果不等式组2223xa xb ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，那么a b +的值为 ．6、若不等式组0,122x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则a 的取值范围是（ ）A ．1a >-B ．1a -≥C ．1a ≤D ．1a < 7、关于x 的不等式组12x m x m >->+⎧⎨⎩的解集是1x >-，则m = ．8、已知关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨->⎩≥，只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ____9、若不等式组530,0x x m -⎧⎨-⎩≥≥有实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A.m ≤53 B.m ＜53C.m ＞53 D.m ≥5310、关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋152＞x －32x ＋23＜x ＋a 只有4个整数解，则a 的取值范围是 （ ）A. －5≤a ≤－143B. －5≤a ＜－143C. －5＜a ≤－143D. －5＜a ＜－14311、已知关于x 的不等式组0321x a x -≥⎧⎨->-⎩有五个整数解，这五个整数是____________,a 的取值范围是________________。
带参数的一元一次不等式
含参数的一元一次不等式组的解集（预习学案）1、⑴不等式组⎩⎨⎧-≥>12x x 的解集是 . ⑵不等式组⎩⎨⎧-<-<12x x 的解集是 .⑶不等式组⎩⎨⎧≥≤14x x 的解集是 . ⑷不等式组⎩⎨⎧-≤>45x x 的解集是 . 2、关于x 的不等式组12x m x m >->+⎧⎨⎩的解集是1x >-，则m = ．3、如图是表示某个不等式组的解集，则该不等式组的整数解的个数是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 74、不等式组⎩⎨⎧--≤-.32,281x ＞x x 的最小整数解是（ ）A ．－1B ．0C ．2D ．35、满足21≤<-x 的所有整数为___________ __.6、满足21≤≤-x 的所有整数为________________ __.7、请写出一个只含有三个整数1、2和3的解集为 。
（1）若不等式组⎩⎨⎧≥>ax x 2的解集是2>x ，则a 的取值范围为(2)若不等式组⎩⎨⎧≥≤a x x 2的解集时2≤≤x a ，则a 的取值范围为 （3）若不等式组⎩⎨⎧≥≤ax x 2无解，则a 的取值范围为变式1：若不等式组⎩⎨⎧≤>a x x 0只含有三个整数1、2和3，则a 的取值范围为 ； 变式2：若不等式组⎩⎨⎧<>ax x 0只含有三个整数1、2和3，则a 的取值范围为 ；变式3：关于x 的不等式组010x a x ->⎧⎨->⎩，只有3个整数解，则a 的取值范围是（ ） A. －3≤a ≤－2 B. －3≤a ＜－2 C. －3＜a ≤－2 D. －3＜a ＜－2例3、拓展应用（1）若不等式组12x x m<≤⎧⎨>⎩有解，则m 的取值范围是（ ）．A ．m<2B ．m≥2C ．m<1D ．1≤m<2（2）不等式组⎩⎨⎧<->-10a x a x 的解集中的任一个x 值均不在2≤x ≤5范围内，则a 的范围为 。
一元一次不等式求含参数的值或取值范围
一元一次不等式求含参数的值或取值范围一、解一元一次不等式（组）1.解不等式﹣≤1，并把解集在数轴上表示出来．2.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．3.对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数）．例如：F（2，3）＝2a+3b．（1）已知F（2，﹣1）＝﹣1，F（3，0）＝3．①求a，b的值．②已知关于p的不等式组求p的取值范围；（2）若运算F满足，请你求出F（k，k）的取值范围（用含k的代数式表示，这里k为常数且k＞0）．二、一元一次不等式含参问题1.若不等式（a+1）x＞a+1的解是x＜1，那么a满足（）A．a＜0B．a＞﹣1C．a＜﹣1D．a＜12．若关于x的不等式3﹣x＞a的解集是x＜4，则a＝．3．已知关于x的不等式（3a﹣2b）x＜a﹣4b的解集是，则关于x的不等式bx﹣a＞0的解集为．4.若关于x的不等式x﹣a≤0只有2个正整数解，则a的取值范围为．三、一元一次不等式组解的相关问题1.已知关于x的不等式＞1的解都是不等式＞0的解，则a的范围是（）A．a＝5B．a≥5C．a≤5D．a＜52.已知关于x的不等式组的解集是x＞4，则m的取值范围是．3.若不等式组无解，则a的取值范围是．4.关于x的两个不等式①＜1与②1﹣3x＞0．（1）若两个不等式的解集相同，求a的值．（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．5．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．如：方程x﹣1＝0就是不等式组的“关联方程”．（1）试判断方程①3x+2＝0，②x﹣（3x﹣1）＝﹣4是否是不等式组的关联方程，并说明理由；（2）若关于x的方程2x+k＝1（k为整数）是不等式组的一个关联方程，求整数k的值；（3）若方程9﹣x＝2x，9+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．四、一元一次不等式组整数解问题1.若不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围是（）A．a≤1B．0＜a≤1C．0≤a＜1D．a＞02．关于x的不等式组只有四个整数解，则a的取值范围为（）A．1＜a≤3B．1≤a＜3C．3＜a≤5D．3≤a＜53.已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣9，m的取值范围是．4.对于任意实数m 、n ，定义一种运算m ⊕n ＝mn +m ﹣n +3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3⊕5＝3×5+3﹣5+3＝16．请根据上述定义解决问题：若a ＜2⊕x ≤7，且解集中有三个整数解，则a 的范围是 ．5.对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为＜x ＞．即：当n 为非负整数时，如果n ﹣，则＜x ＞＝n ．反之，当n 为非负整数时，如果＜x ＞＝n ，则n ﹣，例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4． 试解决下列问题：（1）填空：①＜π＞＝ （π为圆周率）；②如果＜x ﹣1＞＝3，则实数x 的取值范围为 ．（2）①若关于x 的不等式组的整数解恰有3个，则a 的取值范围是 ． ②若关于x 的方程+x ﹣2＝﹣有正整数解，求m 的取值范围．（3）求满足＜x +1＞＝x 的所有非负整数x 的值．五、方程组和不等式组问题1.关于x ，y 的方程组的解满足x +y ＞2，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＜﹣B ．a ＞﹣C ．a ＜D ．a ＞ 2.已知方程组的解满足x +y ＞0，则m 取值范围是（ ） A ．m ＞1B ．m ＜﹣1C ．m ＞﹣1D ．m ＜1 3.已知不等式组⎩⎨⎧>-<-3212b x a x 的解集为11<<-x ，求()()11-+b a4.若关于x、y的二元一次方程组．（1）求这个二元一次方程组的解（用含m的代数式表示）；（2）若方程组的解x、y满足﹣5＜x+y＜1，求m的范围．5．已知方程组的解x为非正数，y为负数．（1）求a的取值范围；（2）化简|a﹣3|+|a+2|；（3）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x＞2a+1的解为x＜1？6．（1）在关于x，y的二元一次方程组中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．（2）已知x﹣2y＝4，且x＞8，y＜4，求3x+2y的取值范围．（3）已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；（4）若a，b满足3a2+5|b|＝7，s＝2a2﹣3|b|，求s的取值范围．（5）已知a、b、c是非负实数，并且满足3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1，若m＝3a+b﹣7c，求m的最小值与最大值的积．（6）已知x，y，z为3个非负实数，且满足3x+2y+z＝5，x+y﹣z＝2，记S＝2x+y﹣z，对于符合题意的任意实数S，不等式2m﹣S≤3始终成立，试确定m的取值范围．。
一元一次不等式组含参数问题
变式1：两个代数式 变式 ：两个代数式x-1与x+3的值的 与 的值的 符号相同， 的取值范围是多少？ 符号相同，则x的取值范围是多少？ 的取值范围是多少 2 变式2： 变式 ：若 a − 1 + (b + 3) = 0 ，不等式 的解集是多少？ 组 x − a > 0 的解集是多少？ x − b > 0
所以 5/2 <m<7
五、探索题.
a 1.当a为何值时,不等式组 x - 2 ≤ 3 2−3x 1− x ≤ +1 4 2 的解集中只有一个解?并求这个解
2.求方程与不等式混合组 的所有正整数解
x+y ＝５
3x - 2y≤8
３．不等式组 x≥a 的解是x>2 - a，则a的取值范围 x>2 - a
a<12 )
6不等式 不等式(a-1)x<a-1的解集为 的解集为x>1 则a的范围是 a<1 ) 的范围是( 不等式 的解集为 的范围是
7不等式组 不等式组
6x-1>3x-4 -1/3 x
≤ 2/3
的整数解为( 的整数解为
0 ,1
)
8若不等式组 若不等式组
X>3 X>a
的解集是x>a则a的范围是 则 的范围是 的解集是 ( ≥3) a )
{
在方程组 x + y = m 中，已知 2x − y = 6 x>0,y<0 求m的取值范围．
在方程组 • 一变：
x + y = m 2 x − y = 6 中，已知xy<0
求m的取值范围． x + y = m 二变： 在方程组 2 x − y = 6中，已知xy<0 且x,y都是整数，求m的值． x + y = m 三变： 三变： 已知在方程组 2 x − y = 6 中，xy<0 化简： m + 6 + m − 3
含参的一元一次不等式组
含参的一元一次不等式组
一元一次不等式组是由一元一次不等式构成的一组方程。
它们的解集是同时满足所有不等式的数值集合。
含参的一元一次不等式组是指在不等式中引入参数，使得解集与参数之间存在关系。
为了解释含参的一元一次不等式组，我们先来看一个简单的例子：
假设我们有一个一元一次不等式组：{2x + 3 > 0, 4x - 5 < 0}。
这个一元一次不等式组中的两个不等式表示了一些数x所满足的条件。
现在，我们引入一个参数a，并将不等式组改写为：{2x + 3 > a, 4x - 5 < a}。
这样，不等式组的解集就与参数a之间存在关系。
我们可以通过解不等式组来找到参数a的取值范围。
首先，我们解第一个不等式：2x + 3 > a，得到 x > (a - 3)/2。
然后，我们解第二个不等式：4x - 5 < a，得到 x < (a + 5)/4。
由于不等式组要求同时满足两个不等式，所以我们可以将这两个解集取交集。
因此，参数a的取值范围为：(a - 3)/2 < x < (a + 5)/4。
这个例子展示了含参的一元一次不等式组的应用。
通过引入参数，我们可以探索解集与参数之间的关系，并找到参数的取值范围。
这种方
法在解决一些实际问题中非常有用，例如最优化问题和约束问题等。
当然，含参的一元一次不等式组可以有更多的不等式和参数。
通过分析不等式之间的关系，我们可以进一步推导出参数的取值范围，并通过数值代入验证解的正确性。
这种方法在数学建模和优化理论中经常被使用，可以帮助我们解决各种实际问题。
一元一次不等式组含参问题
一元一次不等式组含参问题一元一次不等式组含参问题是指在一元一次不等式组中引入一个或多个参数，求解参数使得不等式组成立或不成立的问题。
解决这类问题的一般方法是通过对参数的取值范围进行讨论，将不等式系统转化为关于参数的方程或不等式，然后解方程或不等式来确定参数的取值范围。
下面通过几个例子来说明如何解决一元一次不等式组含参问题。
【例1】求参数m的取值范围，使得不等式组 3x - 2 < mx + 1和 2x + 3 < 4m + 1 同时成立。
解：首先，我们可以通过将不等式组化简来得到关于参数m的方程组，然后解方程来确定参数的范围。
将不等式组化简得到：3x - mx < 3 + 2 和 2x - 4m < -2。
化简后的不等式组可以写成关于参数m的方程组：3 - m > 0和 -4m - 2 < 2x。
解这个方程组可以得到参数m的取值范围。
对不等式3 - m > 0，我们可以将m移到左边得到m < 3。
因此，参数m的取值范围是m < 3。
这是因为当m小于3时，不等式3 - m > 0成立。
对于不等式-4m - 2 < 2x，我们可以将m移到右边得到2x > -4m - 2，再除以2得到x > -2m - 1。
这说明在参数m小于3时，也必须满足x > -2m - 1，才能使得不等式组成立。
综上所述，参数m的取值范围是m < 3，并且在这个范围内，x > -2m - 1。
【例2】求参数a的取值范围，使得不等式组 2x + a - 1 < 3 和5 - 3x < 2a 同时成立。
解：首先，我们可以通过将不等式组化简来得到关于参数a的方程组，然后解方程来确定参数的范围。
化简不等式组得到：a + 2x < 4 和 3x + 5 < 2a。
化简后的不等式组可以写成关于参数a的方程组：a - 4 < -2x和 2a - 3x > 5。
北师大数学八年级下册第二章-含参数一元一次不等式(组)经典讲义
第03讲_含参数一元一次不等式（组）知识图谱含参数一元一次不等式（组）知识精讲含字母的一元一次不等式（组）未知数的系数含有字母或常数项含有字母的一元一次不等式（组） 未知数的系数含有字母若0a >，axb >的解为b x a >； 若0a <，ax b >的解为bx a<；若0a =，则当0b ≥时，ax b >无解， 当0b <时，ax b >的解为任何实数已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 原不等式化为：()()13214a x a x +--<--()325a x -<-（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-参数取值范围首先把不等式的解集用含有字母的代数式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解，在求解过程中可以利用数轴进行分析.五．易错点1.注意参数取值范围导致的变号问题．2.分清参数和未知数，不要混淆.3.解连续不等式时要注意拆分为不等式组.三点剖析一．考点：含参的一元一次方程（组）．二．重难点：参数与解集之间的关系，整数解问题，不等式与方程综合． 三．易错点：注意参数取值范围导致的变号问题．解含参一元一次不等式（组）例题1、 解关于x 的不等式：ax ﹣x ﹣2＞0． 【答案】 当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -【解析】 ax ﹣x ﹣2＞0． （a ﹣1）x ＞2，当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -．例题2、 已知a 、b 为常数，解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】 2a >时，()212b x a +>- 2a <时，()212b x a +<-2a =时，①如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数 【解析】 原不等式可化为()()221a x b ->+，（1）当20a ->，即2a >时，不等式的解为()212b x a +>-； （2）当20a -<，即2a <时，不等式的解为()212b x a +<-；（3）当20a -=，即2a =时，有 ①：如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数．例题3、 已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集为23x >，则0bx a -<的解集是（ ） A.32x >B.32x <C.32x >-D.32x <-【答案】 C 【解析】 该题考查的是解不等式．0ax b +>的解集为23x >，化简得2=3b a - 且a>00bx a -<的解集为a x b >，32x >-．所以该题的答案是C ．例题4、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数.（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a>-例题5、 已知关于x 的不等式22m mx -＞12x ﹣1．（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．【答案】 （1）x ＜2（2）当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2；当x ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2【解析】 （1）当m=1时，不等式为22x -＞2x﹣1，去分母得：2﹣x ＞x ﹣2， 解得：x ＜2；（2）不等式去分母得：2m ﹣mx ＞x ﹣2， 移项合并得：（m+1）x ＜2（m+1）， 当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2； 当m ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2．随练1、 解关于x 的不等式22241x x a a a-≥+．【答案】当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立； 当2a <-时，有2x a ≥-【解析】 因为0a ≠，所以20a >，将原不等式去分母，整理得()224a x a +≤-．当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立；当2a <-时，有2x a ≥-．随练2、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--．【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数. （1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-随练3、 解下列关于x 的不等式组：()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩；【答案】 13a >时，32x a >+；13a ≤时，3x >【解析】 原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩．当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+．当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >随练4、 已知a ，b 为实数，若不等式ax ＋b ＜0的解集为12x >，则不等式b （x －1）－a ＜0的解集为（ ）A.x ＞－1B.x ＜－1C.a b x b +>D.a b x b+< 【答案】 B【解析】 暂无解析随练5、已知关于x 的不等式()2340a b x a b -+->的解集是1x >.则关于x 的不等式()4230a b x a b -+->的解集是____________.【答案】 13x <-【解析】 ()2340a b x a b -+->， 移项得：()232a b x a b ->-，由已知解集为1x >，得到20a b ->，变形得：322a bx a b ->-，可得：3212a ba b-=-，整理得：a b =， ()4230a a x a a ∴-+->，即0a >，∴不等式()4230a b x a b -+->可化为()4230a a x a a -+->. 两边同时除以a 得：31x ->，解得：13x <-.随练6、 已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（）＜ ，并依据a 的取值情况写出其解集． 【答案】 当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3，当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a【解析】 2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（①②）＜， 解①得：x ≤3，解①得：x ＜a ，∵实数a 是不等于3的常数，∴当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3， 当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a ．随练7、 关于x 的不等式组2131x a x +>⎧⎨->⎩．（1）若不等式组的解集是1＜x ＜2，求a 的值；（2）若不等式组无解，求a 的取值范围． 【答案】 （1）a=3；（2）a≤2【解析】 （1）解不等式2x+1＞3得：x ＞1， 解不等式a ﹣x ＞1得：x ＜a ﹣1， ∵不等式组的解集是1＜x ＜2，∴a ﹣1=2， 解得：a=3；（2）∵不等式组无解， ∴a ﹣1≤1， 解得：a≤2．参数与解集之间的关系例题1、 若关于x 的一元一次不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是 ．【答案】 a≥2．【解析】 由x ﹣a ＞0得，x ＞a ；由1﹣x ＞x ﹣1得，x ＜1， ∵此不等式组的解集是空集， ∴a≥1．例题2、 已知关于x 的不等式组301(2)342x a x x -≥⎧⎪⎨->+⎪⎩有解，求实数a 的取值范围，并写出该不等式组的解集．【答案】 a ＜﹣6，3a≤x ＜﹣2．【解析】 解不等式3x ﹣a≥0，得：x≥3a，解不等式12（x ﹣2）＞3x+4，得：x ＜﹣2，由题意得：3a＜﹣2，解得：a ＜﹣6，∴不等式组的解集为3a≤x ＜﹣2．例题3、 如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A.a ＜﹣1 B.a ＜0 C.a ＞﹣1 D.a ＞0或a ＜﹣1 【答案】 A【解析】 （a+1）x ＞a+1， 当a+1＞0时，x ＞1， 当a+1＜0时，x ＜1， ∵解集为x ＜1， ∴a+1＜0， a ＜﹣1． 故选：A ．例题4、 当1≤x≤4时，mx ﹣4＜0，则m 的取值范围是（ ） A.m ＞1 B.m ＜1 C.m ＞4 D.m ＜4 【答案】 B【解析】 设y=mx ﹣4，由题意得，当x=1时，y ＜0，即m ﹣4＜0， 解得m ＜4，当x=4时，y ＜0，即4m ﹣4＜0， 解得，m ＜1，则m 的取值范围是m ＜1，例题5、 若不等式（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -，则a 的取值范围是 ．【答案】 a ＜3．【解析】 ∵（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -， ∴不等式两边同时除以（a ﹣3）时不等号的方向改变， ∴a ﹣3＜0， ∴a ＜3．故答案为：a ＜3．例题6、 如果关于x 的不等式()122a x a +>+的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ） A.0a < B.1a <-C.1a >D.1a >-【答案】 B【解析】 将原不等式与其解集进行比较，在不等式的变形过程中利用了不等式的性质三，因此有10a +<，故1a <-例题7、 若不等式组()322110b x x a -<--⎧⎨->⎩的解集为﹣2＜x ＜4，求出a 、b 的值．【答案】 a=﹣10，b=3．【解析】 解不等式10﹣x ＜﹣（a ﹣2），得：x ＞a+8，解不等式3b ﹣2x ＞1，得：x ＜312b -，∵解集为﹣2＜x ＜4， ∴314282a b ⎧⎪⎨-=+=-⎪⎩，解得：a=﹣10，b=3．随练1、 已知关于x 的不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2，则m 的取值范围是________． 【答案】 m ＜2【解析】 不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2， ∴m －2＜0，m ＜2．随练2、 关于x 的不等式组()3141x x x m ⎧->-⎪⎨<⎪⎩的解集为x ＜3，那么m 的取值范围是 ．【答案】 m≥3【解析】 ()3141x x x m ->-⋅⋅⋅⎧⎪⎨<⋅⋅⋅⎪⎩①②，解①得x ＜3，∵不等式组的解集是x ＜3， ∴m≥3．故答案是：m≥3．随练3、 若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -<⎧⎨+>⎩有解，则m 的取值范围为（ ）A.23m >-B.23m ≤C.23m >D.23m ≤-【答案】 C【解析】 202x m x m -<⎧⎨+>⎩①②，解不等式①得，x ＜2m ， 解不等式②得，x ＞2－m ， ∵不等式组有解， ∴2m ＞2－m ，∴23m >．随练4、 若不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则实数a 的取值范围是（ ）A.a≥－2B.a ＜－2C.a≤－2D.a ＞－2【答案】 D【解析】 0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥，解不等式x ＋a≥0得，x≥－a ，由不等式4－2x ＞x －2得，x ＜2，∵不等式组：不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，∴a ＞－2，随练5、 已知不等式31（x ﹣m ）＞2﹣m ． （1）若上面不等式的解集为x ＞3，求m 的值．（2）若满足x ＞3的每一个数都能使上面的不等式成立，求m 的取值范围． 【答案】 （1）23（2）m≥23 【解析】 （1）解不等式可得x ＞6﹣2m ，∵不等式的解集为x ＞3， ∴6﹣2m=3，解得m=23；（2）∵原不等式可化为x ＞6﹣2m ，满足x ＞3的每一个数都能使不等式成立， ∴6﹣2m≤3，解得m≥23．整数解问题例题1、 关于x 的不等式－1＜x≤a 有3个正整数解，则a 的取值范围是________． 【答案】 3≤a ＜4【解析】 ∵不等式－1＜x≤a 有3个正整数解， ∴这3个整数解为1、2、3， 则3≤a ＜4．例题2、 关于x 的不等式0x b ->恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ） A.32?b -<<- B.32?b -<≤- C.32b -≤≤- D.32b -≤<- 【答案】 D【解析】 本题主要考查一元一次不等式及其解法。
含参数一元一次不等式【精】
含参数一元一次不等式【精】1、不等式 $ax>b$ 的解集是 $x>b/a$，则 $a$ 的取值范围是 $a>0$。
2、不等式 $(a-1)x>1-a$ 的解为 $x>-1$，则 $a$ 的取值范围是 $a<1$。
3、已知关于 $x$ 的不等式 $(1-a)x>2$ 的解集为 $x<2/(1-a)$，则 $a$ 的取值范围是 $a<1$。
4、不等式 $mx-2(m-6)/3$。
5、如果关于 $x$ 的不等式 $(a-1)x>a+5$ 和 $2x<4$ 的解集相同，则 $a$ 的值为 $-3$。
6、已知关于 $x$ 的不等式 $(4a-3b)x>2b-a$ 的解集是 $x<-2/(4a-3b)$。
9、已知 $-4$ 是不等式 $ax>-5$ 的解集中的一个值，求$a$ 的取值范围。
答案为 $a<5/4$。
10、若不等式组 $\begin{cases} x>m \\ x<2 \end{cases}$ 有解，那么 $m$ 的取值范围是 $m<2$。
11、如果不等式组 $\begin{cases} x>m \\ x<8\end{cases}$ 无解，那么 $m$ 的取值范围是 $m\geq 8$。
12、如果不等式组 $\begin{cases} -x+2<x-6 \\ x-6<2x-1\end{cases}$ 有解，则 $m$ 的取值范围是 $m<2$。
14、不等式组 $\begin{cases} x\leq a \\ x>a+1\end{cases}$ 无解，则 $a$ 的取值范围是 $a\leq -1$。
15、若不等式组 $\begin{cases} 3x+23$，则 $m$ 的取值范围是 $m\leq 2$。
17、不等式组 $a+2x>x/3$ 无解，则 $a$ 的取值范围是$a\geq 1$。
含参数一元一次不等式
含参数一元一次不等式(组)的解法21、若关于x的不等式(1 a)x 2，可化为x ，贝V a的取值范围是多少?1 a2、关于x的方程kx 1 2x的解为正实数，则k的取值范围是?3、关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，则m的整数值是多少?4、关于x的不等式2x—a w—1的解集如图所示，则a的取值是多少?-2-1015、己知不等式^(x 5) 1 ^(ax 2)的解集是x -，试求a的值?2 2 29、关于x的不等式组a2x的整数解共有5个，求a的取值范围.7、已知关于x，y的方程组3X 2y4x 3y P 1,的解满足x>y,求p的取值范围. P 18、已知a是自然数，关于x的不等式组3x 4x 2a，的解集是x>2，求a的值.6、关于x的不等式2x—a w 0的正整数解恰好是1、2、3、4，贝U m的取值是多少?x 9 5x 1对应练习1、不等式组的解集是x>2，则m的取值范围是___________________x m 11 x2对应练习2、若不等式组'有解，则k的取值范围是.x k(A)k v 2 (B)k>2 (C)k v 1 (D)1 w k v 2x 15x 3,对应练习：若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围.2x 2x a310、k取哪些整数时，关于x的方程5x+ 4= 16k—x的根大于2且小于10?二、应用题1.爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？2、某次数学竞赛活动，共有16道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答题不得分也不扣分•某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上？3、一个工程队规定要在6天内完成300 土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？4.某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？5.王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。
一元一次不等式(组)含参数(1)
3 m—1
7
2n+5
小结：对于这种含有参数的不等式和不等式组，如果给出的解集是具体 的数字，可通过先化简不等式（组），再比较列式求解。
二、结合性质，对照求解。
问题x 的 ：一 求元 关 a x （ 一 于 1a 0 )次 的不 解
分析：
(1)如a 果 0，那 x么 1; a
解 x 得 6 4 a
x 1, 2
2 、 x 的 关不 于 x x 2 m 5 1 等 的式 3 解 x 7 ,那 组 集 m _ 么 4是 _ 。 _
由题可以解得不等的式解组集 是m1 x 7
不等式组的 3解 x7集 , 是
在数轴上把它的示 解出 集来 表， 对比可m得13，所以 m4.
一、化简不等式组，比较列式求解。 练习1： （ 1）已知x的 关不 于等 ax1 式 的解集是
那么 a的取值范 __2围 __是 _。 ____
（ 2 ）已x知 的关 不 x于 等 4a6 的 式解 x集 2, 是
那a的 么取 _值 2__.是 ___ 64a2
a 2
化简不等 式，比较 列式求解
一元一次不等式 （组）中参数取值 范围求解技巧
一、利用性质，进行求解
例1、如果关于x的不等式(a+1)x＞a+1的解集为x＜1,则a的取值范围是
。
解析：观察不等式解集可知，不等号的方向发生了改变，由此判断原不等式的
两边都除以了同一个负数，所以a+1＜0，即a＜－1，此题逆用了不等式的一条
性质；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
三、借助数轴，分析求解。
练习：
1 、如x果 的关 不 于 等 x x a 3的 式解 组 x集 a，是 那 a的么 取值 _ a_3范 。 _
一元一次不等式(组)含参问题探究
一元一次不等式（组）含参问题类型一、已知解集求参数1.若不等式组⎩⎨⎧->+<-3212b x a x 的解集是225<<-x ，求代数式)1)(1(+-ab a b 的值.2.若关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+-<+x x m x 23212的解集是1-<x ，且关于y 的方程m m y 31)(2=-+的解为正整数，求m 的值.类型二、已知解集的情况求参数的取值范围3.若关于x 不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+>+-2312121x x m x 无解，求m 的取值范围.4.若关于x 不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--<++`2122121m x x m x 有解，且23关于y 的不等式122332--≥-y m y 的解，求m 的取值范围.类型三、已知整数解的情况求参数的值或取值范围5.若关于x 不等式组⎩⎨⎧-<++->-1237)1(2m x x x 无正整数解，求m 的取值范围.6.若关于x 不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--+<+121312x x a x x 有且只有4个整数解，求a 的取值范围.7.若关于x 不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>+-≥-21231202x x x m 至少有3个整数解，求m 的取值范围.类型四、已知范围满足解集的情况求参数的范围8.若31<<x 满足关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--<-+≥+122112x m x x m x ，求m 的取值范围.跟踪训练：1.4≤x 是不等式13≤-a x 的解集，求a .2.关于x 的方程k k x -=-233的解不小于2，求k 的取值范围.3.已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧+=++=-9335a y x a y x 的解满足y x ≥+2，求a 的取值范围.4.关于x 的不等式4<x 是不等式2522<-a x 的解集，求a 的值.5.若不等式组⎩⎨⎧-≤-≥322m x m x 无解，求m 的取值范围.6.若不等式组⎩⎨⎧+<->52n x m x 的解集为31<<x ，求n m +的值.7.若1)1(+>+k x k 的解集为1<x ，求k 的取值范围.。
一元一次不等式组的解及参数问题
一元一次不等式组的解及参数问题二、方法剖析与提炼（一）一元一次不等式组的解法1．数轴法例1．（2020怀化）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－2≤0，①2(x－1)＋【解答】解不等式①，得．解不等式②，得．把不等式①、②的解集在数轴上的表示如下：∴原不等式组的解为．【解析】先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解．【解法】一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法．【解释】需要正确解出不等式组中的每一个不等式，准确无误地把每一个不等式的解表示在数轴上，最后找出它们的公共部分．借助数轴求解，虽略嫌繁琐，但有利于学生深刻理解不等式组解的概念．2．口诀法例2．（优质试题温州）不等式组⎩⎨⎧≤->+2121xx的解是（）A. 1<x B. x≥3 C. 1≤x<3 D.1<x≤3解不等式组的常用方法有数轴法和口诀法，解题时可灵活选择.【解答】解不等式12x +>，得 .解不等式12x -≤，得 .根据口诀“大小小大取中间”， ∴原不等式组的解为 .【解析】先分别求出不等式组中各个不等式的解，然后利用口诀得出不等式组的解．【解法】一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法．【解释】一元一次不等式组的分类及解如下(a ＜b )：（二）一元一次不等式组中的参数问题1．根据不等式组的解集求参数的取值例3．如果关于x 的一元一次不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集为3x >，那么a 的取值范围是 ．【解答】3x x a >⎧⎨>⎩的解集为3x >，由“大大取大”显然有3a >，令a =3，则3x x a>⎧⎨>⎩的解集为3x >，符合题意．综上分析，得3a ≤ 【解析】首先可以根据口诀“大大取大”，初步确定3a >，然后单独(1)对于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＞b ，它的解为x >b ．口诀：“大大取大”． (2)对于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ，x ＜b ，它的解为x <a ．口诀：“小小取小”． (3)对于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＜b ，它的解为a ＜x ＜b ．口诀：“大小小大取中间”． (4)对于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ，x ＞b ，无解．口诀：“大大小小则无解”．分析a =3是否符合题意，从而得出答案．【解法】一元一次不等式组的解法．【解释】解答此类问题，出现错误的原因一般都是没有考虑到a =3情形．当然这种类型的题目也可借助数轴，利用数形结合解题.2．根据不等式组有解（或无解）确定参数的取值例4．（1）若关于x 的一元一次不等式组0122x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是 ．【解答】解不等式组0122x a x x ->⎧⎨->-⎩，得1x a x >⎧⎨<⎩，由“大小小大取中间”，得1a x <<，而由题目条件知不等式组无解，故1a x <<不成立，则1a >，接着考虑1a =的情形，若1a =，则有11x <<，此不等式不成立，故符合题意．综上分析，a 的取值范围是1a ≥．【解析】解答这种题型时，只需先依“一大一小取中间”初步确定不等式组的解，而不等式组无解，显然该不等式不成立，故当不等式不成立时，确定参数满足何条件就成为解题的关键．在确定参数范围时，一般分两步，第一步确定出简单情形，最后对参数取等号的情形进行单独分析．【解法】一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法．【解释】这是一道“一大一小”无解的题型，具有一定的难度，很多同学解答这种题型时往往束手无策．本解答不失为一种好解法，除了用上述方法求解，还可以借助数轴来解决，不管用何方法，都应该对参数取等号的情形进行单独分析．（2）若关于x 的一元一次不等式组1240x a x +>⎧⎨-≤⎩有解，则a 的取值范围是 ．【解答】解不等式组1240x a x +>⎧⎨-≤⎩，得12x a x >-⎧⎨≤⎩，根据口诀“一大一小取中间”，得12a x -<≤，而不等式组有解，故12a x -<≤成立，则12a -<，考虑12a -=的情形，则22x <≤，此不等式不成立，故不符合题意． 综上分析，12a -<，解得3a <，故a 的取值范围是3a <．【解析】这是一道“一大一小”有解的题型，解题步骤与“一大一小”无解题型基本相同．【解法】一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法．【解释】对参数取等号的情形进行单独分析这一步必不可少，这也是多数同学出现错误的原因所在．3．根据不等式组的特殊解（整数解的个数）确定参数的取值 例5.（优质试题凉山州）已知关于x 的不等式组423()23(2)5x x a x x +>+⎧⎨>-+⎩仅有三个整数解，则a 的取值范围是 ．【解答】解不等式组423()23(2)5x x a x x +>+⎧⎨>-+⎩，得321x a x >-⎧⎨<⎩根据口诀“一大一小取中间”，得321a x -<<，而由题目条件知不等式组仅有三个整数解，故它们分别为-2，-1，0，易知32a -介于-2和-3之间，即3322a -<-<-，下面考虑取等情形： 若3a -2=-3，则31x -<<，恰有三个整数解-2，-1，0，符合题意； 若3a -2=-2，则21x -<<，仅有两个整数解-1，0，不符合题意.综上分析，得3322a -≤-<-，解得103a -≤<.【解析】这是一道“一大一小”情形与整数解的题型, 一般步骤是：（1）解不等式组中的两个不等式,然后根据“一大一小取中间”初步确定出不等式组的解；（2）根据已知条件确定出满足要求的整数解；（3）探讨满足条件的参数范围，分以下几步：先确认参数介于何值之间,后对是否取等进行单独分析,最后综合求出参数范围；【解法】一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法．【解释】对参数取等号的情形进行单独分析这一步必不可少．当然这种类型的题目也可借助数轴，利用数形结合解题. 三、能力训练与拓展1．（优质试题湖州）解不等式组2<421>1x x -⎧⎨-⎩．2.（优质试题宁波）解一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+131221x x ，并把解在数轴上表示出来.3．（优质试题丽水）如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是（）.A. x≥2B. x>2C. x>-1D.-1<x≤24．若不等式组220x ab x->⎧⎨->⎩的解集是11x-<<，则()2016a b+=. 5．若关于x的不等式组2xx m>⎧⎨>⎩的解集是2x>，则m的取值范围是.6．若关于x的不等式组262x a xxa+≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩有解，则a的取值范围是.7．已知关于x的不等式组212x ax a-≥⎧⎨+<⎩无解，则a的取值范围是（）.A.3a≤-B.3a<- C.3a≥- D.3a>-8．已知关于x的不等式组0721x mx-<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m的取值范围是（）.A.67m<<B.67m≤< C.67m≤≤ D.67m <≤1．解：解不等式（1）得，x <6，解不等式（2）得x >1，所以不等式组的解为16x <<．2．解：解不等式（1）得，x >-3，解不等式（2）得x ≤2，所以不等式组的解为32x -<≤；图略．3．解：根据不等式组的解的定义，不等式组中各不等式解的公共部分即为原不等式组的解，故答案为A ．4．解：解不等式组得22b a x +<<，又知不等式组得解为11x -<<，故2112a b +=-⎧⎪⎨=⎪⎩,解得32a b =-⎧⎨=⎩，所以1a b +=-，得()20161a b +=． 5．解：2x x m >⎧⎨>⎩的解集为2x >，由“大大取大”显然有2m >，令m =2，则2x x m>⎧⎨>⎩的解集为2x >，符合题意．综上分析，得2m ≤． 6．解：解不等式组262x a x x a +≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩，得62x a x a ≥⎧⎨≤-⎩，根据口诀“一大一小取中间”，得62a x a ≤≤-，而不等式组有解，故62a x a ≤≤-成立，则62a a ≤-，解得2a ≤，故a 的取值范围是2a ≤．7．解：解不等式组212x a x a -≥⎧⎨+<⎩，得122x a x a ≥+⎧⎨<-⎩，由“大小小大取中间”，得122a x a +≤<-，而由题目条件知不等式组无解，故122a x a +≤<-不成立，则122a a +>-，解得3a >-．接着考虑122a a +=-的情形，若122a a +=-，那么3a =-，则有55x -≤<-，此不等式不成立，故符合题意．。
一元一次不等式组含参问题
一元一次不等式组含参问题一、概述在初中数学的学习中，我们接触到了一元一次不等式组含参问题。
这样的问题往往涉及到多个未知数和多个方程，需要我们采用适当的方法进行求解。
下面，本文将对一元一次不等式组含参问题进行详细的讲解，希望能够帮助同学们更好地掌握这个难点。
二、问题类型一元一次不等式组含参问题的形式多种多样，以下是几种常见的类型：1、求参数的取值范围此类问题给定一组不等式组，其中包含一个或多个未知参数，要求我们求出这个参数的取值范围，使得所有方程都成立。
2、最小(大)值问题此类问题给出一组不等式组，其中包含一个或多个未知参数，要求我们求出这个参数使得某个式子取得最小(大)值。
3、问题的实际应用此类问题往往会给出一些实际情况，要求我们运用一元一次不等式组基本原理来解决实际问题。
三、方法掌握要解决一元一次不等式组含参问题，我们需要掌握以下方法：1、列出方程组首先需要将问题中所有信息转化为方程式，然后再结合问题，列出一元一次不等式组含参的求解式。
2、解析式求解对于参数范围问题，我们要在联立的不等式组中找出一个代表所有不等式的式子，然后将未知数与参数隔离，使其成为一项含参的式子，最后解决参数的范围。
对于最值问题，我们要将式子进行变形，使其成为一个用参数表示的函数，然后再利用数学方法求解。
3、实践运用在处理实际问题时，我们要结合实际情况进行分析，将其中的条件转化为不等式，然后列方程组求解。
四、应用案例下面，我们通过具体的应用案例来加深对一元一次不等式组含参问题的理解。
例1、现有12个黄色球，红色球的数量不确定，小明从中随机抽出4个球，要使得其中至少有3个为黄色球，求红色球的最少数量。
解：用x表示红色球的数量，则不等式组为：x+12≥4，3x+12<4，其中x为未知的参数。
化简后得到：x≥-8，x<-\frac{8}{3}最终，根据实际情况得到，红球至少有 3 颗。
例2、某社区小学针对学生荣誉评定制定了一种评定方案：评定范围为高度荣誉，理论荣誉和优秀荣誉三级，其中高度荣誉取得条件为文化课成绩在前10%且思品课成绩在前20%，理论荣誉要求文化课成绩在前20%或思品课成绩在前30%，优秀荣誉要求满足以上条件之一。
专题03 一元一次不等式(组)中的参数问题(解析版 )
八下数学思维解法技巧培优小专题专题03 一元一次不等式(组)中的参数问题题型一 已知解集求参数的值【典例1】（2019•綦江区期末）若不等式组{x +2a ＞32x −b ＜1解集为1＜x ＜2，则（a +2）（b ﹣1）值为 6 ．【点拨】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的解集即可求得a 、b 的值，然后代入代数式求值即可． 【解析】解：{x +2a ＞3①2x −b ＜1②，解①得：x ＞﹣2a +3， 解②得：x ＜12b +12，则不等式组的解集是：﹣2a +3＜x ＜12b +12， 根据题意得：﹣2a +3＝1且12b +12=2，解得：a ＝1，b ＝3， 则原式＝6． 故答案为：6．【典例2】（2019•巴南区期中）如果关于x 的不等式组{x−m2＞0x−23−x ＜−2的解集为x ＞2，且式子√3−|m|的值是整数，则符合条件的所有整数m 的个数是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2【点拨】先解不等式组，得出m ≤2，再由式子√3−|m|的值是整数，得出|m |＝3或2，于是m ＝﹣3，+3，﹣2，2，由m ≤2，得m ＝﹣3，﹣2，2． 【解析】解：解原不等式x−m 2＞0得x ＞m ，解原不等式x−23−x ＜−2得x ＞2，∵不等式组解集为x ＞2，∴m ≤2，∵式子√3−|m|的值是整数， 则|m |＝3或2， ∴m ＝﹣3，+3，2，﹣2 由m ≤2，得 m ＝﹣3，﹣2，2即则符合条件的所有整数m 的个数是3个． 故选：C ．题型二 已知解集的情况求参数的取值范围【典例3】（2019•鄂州一模）若关于x 的不等式组{2x ＞3x −33x −a ＞5有实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜4B ．a ≤4C ．a ＞4D ．a ≥4【点拨】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组有实数解即可得到关于a 的不等式，求出a 的取值范围即可．【解析】解：解不等式2x ＞3x ﹣3，得：x ＜3， 解不等式3x ﹣a ＞5，得：x ＞a+53， ∵不等式组有实数解， ∴a+53＜3，解得：a ＜4， 故选：A ．【典例4】（2019•滨湖区校级期末）设关于x 的不等式组{2x −m ＞23x −2m ＜−1无解，求m 的取值范围．【点拨】先解每个不等式，再根据不等式组{2x −m ＞23x −2m ＜−1无解，推出m 的值．【解析】解：{2x −m ＞2①3x −2m ＜−1②，由①得，2x ＞2+m ，x ＞2+m2，由②得，3x ＜2m ﹣1，x ＜2m−13， 于是有：{x ＞2+m2x ＜2m−13， 因为不等式组无解，所以根据“大大小小解不了”原则得，2+m 2≥2m−13，于是m ≤8，所以m 的取值范围是m ≤8．题型三 已知整数解的情况求参数的值或取值范围【典例5】（2019•万州区期末）使得关于x 的不等式组{−x2≤−m2+1−2x +1≥4m −1有解，且使得关于y 的方程1+（m ﹣y ）＝2（y ﹣2）有非负整数解的所有的整数m 的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【点拨】根据关于x 的不等式组{−x2≤−m2+1−2x +1≥4m −1有解，可以求得m 的取值范围，再根据关于y 的方程1+（m ﹣y ）＝2（y ﹣2）有非负整数解可以求得m 的值，从而可以解答本题． 【解析】解：由不等式组{−x2≤−m2+1−2x +1≥4m −1，得m ﹣2≤x ≤﹣2m +1，由方程1+（m ﹣y ）＝2（y ﹣2），得y =m+53， ∵关于x 的不等式组{−x2≤−m2+1−2x +1≥4m −1有解，且使得关于y 的方程1+（m ﹣y ）＝2（y ﹣2）有非负整数解，∴﹣2m +1≥m ﹣2，得m ≤1，m+53是非负整数，解得，m ＝﹣5，﹣2，1， 故选：D ．【典例6】（2019•西城区校级期中）如果关于x 的不等式组{2x+23＜x +a x+52＞x −3只有3个整数解，求a 的取值范围．【点拨】首先利用不等式的基本性质解不等式组，再从不等式的解集中找出适合条件的整数解，在确定字母的取值范围即可．【解析】解：由①得：x ＞2﹣3a 由②得：x ＜11不等式组的解集为：2﹣3a ＜x ＜11 ∵不等式组只有3个整数解为10、9、8 ∴7≤2﹣3a ＜8 ∴−2＜a ≤−53．【典例7】（2019•东营模拟）已知关于x 的不等式组{4(x −1)+2＞3x x −1＜6x+a 7，有且只有三个整数解，求a 的取值范围．【点拨】先解两个不等式得到x ＞2和x ＜a +7，由于不等式组有解，则2＜x ＜a +7，由不等式组有且只有三个整数解，所以5＜a +7≤6，然后在解此不等式组即可． 【解析】解：{4(x −1)+2＞3x①x −1＜6x+a7② 解①得x ＞2； 解②得，x ＜a +7，依题意得不等式组的解集为2＜x ＜a +7，又∵此不等式组有且只有三个整数解，整数解只能是x ＝3，4，5， ∴5＜a +7≤6， ∴﹣2＜a ≤﹣1．【典例8】（2019•大石桥市校级月考）若关于x 的不等式组{x+152＞x −32x−23＞x +a 的正整数解只有2个，求a 的取值范围．【点拨】首先解两个不等式，根据不等式有两个正整数解即可得到一个关于a 的不等式组，从而求得a 的范围．【解析】解：解不等式（1）得：x ＜21， 解不等式（2）得：x ＜﹣3a ﹣2， ∵不等式组只有两个正整数解，∴2＜﹣3a ﹣2≤3． 解得：−53≤a ＜−43．巩固练习1．（2019•百色）不等式组{12−2x ＜203x −6≤0的解集是（ ）A ．﹣4＜x ≤6B ．x ≤﹣4或x ＞2C ．﹣4＜x ≤2D ．2≤x ＜4【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解析】解：解不等式12﹣2x ＜20，得：x ＞﹣4， 解不等式3x ﹣6≤0，得：x ≤2， 则不等式组的解集为﹣4＜x ≤2． 故选：C ．2．（2019•济南二模）若关于x 的不等式组{2x +7＞4x +1x −k ＜2的解集为x ＜3，则k 的取值范围为（ ）A ．k ＞1B ．k ＜1C ．k ≥1D ．k ≤1【点拨】不等式整理后，由已知解集确定出k 的范围即可． 【解析】解：不等式整理得：{x ＜3x ＜k +2，由不等式组的解集为x ＜3， 得到k 的范围是k ≥1， 故选：C ．3．（2019•沙坪坝区校级期末）如果关于x 的不等式组{x−m2≥2x −4≤3(x −2)的解集为x ≥1，且关于x 的方程m3−1−x 3=x ﹣2有正整数解，则所有符合条件的整数m 的值之和是（ ）A ．﹣3B ．﹣4C ．﹣8D ．﹣9【点拨】不等式组变形后，根据解集确定出m 的范围，再表示出一元一次方程的解，由方程有正整数解，确定出满足条件m 的值，从而得出答案． 【解析】解：解不等式x−m 2≥2，得：x ≥4+m ，解不等式x ﹣4≤3（x ﹣2），得：x ≥1， ∵不等式组的解集为x ≥1， ∴4+m ≤1， 解得：m ≤﹣3， 解方程m 3−1−x 3=x ﹣2得x =m+52， ∵此方程有正整数解，∴在m ≤﹣3的范围内符合条件的m 的值为﹣3， 故选：A ．4．（2019•道外区期末）不等式组{5−2x ≥1−2x ＜4的解集是 ﹣2＜x ≤2 ．【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解析】解：解不等式5﹣2x ≥1，得：x ≤2， 解不等式﹣2x ＜4，得：x ＞﹣2， 所以不等式组的解集为﹣2＜x ≤2， 故答案为：﹣2＜x ≤2．5．（2019•成都校级月考）求不等式组{1−(x −2)＞05x+12+1≥2x−13的正整数解．【点拨】先求出不等式组的解集，然后找出其中的正整数即可． 【解析】解：{1−(x −2)＞0①5x+12+1≥2x−13②，解①得x ＞3， 解②得x ≥﹣1，所以不等式组的解集为﹣1≤x ＜3， 所以等式组的正整数解为1，2． 6．（2019•松桃县期末）求不等式组{2x −6＜6−2x 2x +1＞3+x 2的整数解．【点拨】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．【解析】解：{2x −6＜6−2x①2x +1＞3+x2② ∵由不等式①得：x ＜3， 由不等式②得：x ＞13， ∴不等式组的解集为13＜x ＜3，又∵x 为整数， ∴x ＝1、2．∴原不等式组的整数解为1，2．7．（2019•邻水县期末）是否存在整数k ，使方程组{2x +y =kx −y =1的解中，x 大于1，y 不大于1，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．【点拨】解此题时可以解出二元一次方程组中x ，y 关于k 的式子，然后解出k 的范围，即可知道k 的取值．【解析】解：解方程组{2x +y =k x −y =1得{x =k+13y =k−23 ∵x 大于1，y 不大于1从而得不等式组{k+13＞1k−23≤1 解之得2＜k ≤5 又∵k 为整数 ∴k 只能取3，4，5答：当k 为3，4，5时，方程组{2x +y =kx −y =1的解中，x 大于1，y 不大于1．。
含参数一元一次不等式精
一元一次不等式（组）复习【考点1：含待定系数的不等式】1、不等式b ax >的解集是ab x <，则a 的取值范围是 ； 2、不等式a x a ->-1)1(的解为1->x ，则a 的取值范围是 （ ）A.1≠aB.1>aC.1<aD.0≠a3、已知关于x 的不等式2)1(>-x a 的解集为a x -<12则a 的取值范围是 。
4、不等式432+<-x mx 的解集是36->m x ，则m 的取值范围是 。
5、如果关于x 的不等式5)1(+>-a x a 和42<x 的解集相同，则a 的值为6、已知关于x 的不等式a b x b a ->-2)34(的解集是94<x ，则b ax >的解集为7、若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集是-1<x<1，则（a+b ）=______．8、已知不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为-1<x<1,求a 与b 的值.9、已知－4是不等式5->ax 的解集中的一个值，求a 的取值范围。
10、若不等式组2x m x >⎧⎨<⎩有解，那么m 的取值范围是_________。
11、如果不等式组8x x m <⎧⎨>⎩无解，那么m 的取值范围是（ ） A ．8m > B ．8m < C ．8m ≥ D ．8m ≤12、如果不等式组320x x m -≥⎧⎨≥⎩有解，则m 的取值范围是（ ） A ．m<32 B ．m ≤32 C ．m>32 D ．m ≥3213、不等式组⎩⎨⎧>-<+-m x x x 62的解集是4>x ，那么m 的取值范围是 （ ）14、不等式组2145x x x a -≤+⎧⎨≤⎩无解，则a 的取值范围是_________。
含参数的一元一次不等式专题复习
4.已知关于x的不等式x 4a 6有3个正整数解， 那么a的取值范围是__43 __a__.12
在数轴上把它的解集表示出来：
所以3 6 4a 4
1 2 63+46a+64+a4a6+44a
解得 3 a 1
4
2
5、已知关于x的一元一次不等式组x
x
2 2a
3,
有3个整数解，那么 a的取值范围是 ______.
化简不等式（组），对照求解
例题
1.关于x的不等式组xx
m 1的解集是3 25
x
7,
那么m
__4____。
解析：由题可以解得不 等式组的解集 是m 1 x 7
又因为不等式组的解集 是3 x 7,在数轴上表示为
3
7
m—1
7
对比可得m 1 3，所以m 4.
小结：
对于这种含有参数的不等式和不等式 组，如果给出的解集是具体的数字，一 般解法为：
含参数的一元一次不等式(组) 专题复习
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1
涉及到那些相关知 识点和数学思想
相关知识点：
1. 不等式的基本性质 2.不等式的解集 3.一元一次不等式的解法 4.一元一次不等式组的解法
含参数一元一次不等式（组）的解题技巧
利用性质 直接求解
例.如果关于x的不等式(a+1)x＞a+1 的解集为x＜1,则a的取值范围是 a＜-1。
1.化简不等式（组）；
2.画数轴进行对照； 3.解方程或不等式得出答案.
跟踪练习：
3、关于x的不等式组xx2mn
1的解集是3 5
x
7,
人教版初中数学中考复习 一轮复习 —一元一次不等式(组)解法及含字母(参数)问题
8
4
．
解：（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），
去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，
移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，
系数化1，得：x＜1．
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
5．（2021•武汉）解不等式组
2x x 1 ① 4x 10 x 1 ②
考点一：不等式的性质
C 1．（2021•常德）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5
B．﹣5a＜﹣5b
C． a b
cc
D．a+c＞b+c
考点一：不等式的性质
2．（2021•临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，
A 则a+b＜2b；④若b＞0，则 1 1 ，其中正确的个数是（ ） ab
性质3：不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的。方向改变
知识点梳理：
二、一元一次不等式(组)及其解法
一元一次不等 含有一个未知数,未知数的次数是
1
式定义
的不等式
解一元一次不 等式的步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
一元一次 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,
不等式组 就组成一个一元一次不等式组
3．（2021•南京）解不等式1+2（x﹣1）≤3，并在数轴上表示解集． 解： 1+2（x﹣1）≤3， 去括号，得1+2x﹣2≤3． 移项、合并同类项，得2x≤4． 化系数为1，得x≤2．
表示在数轴上为：
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
Hale Waihona Puke 4．（2021•泰安）（2）解不等式： 1- 7x 1 3x 2
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所以3 6 4a 4
解得 3 a 1
4
2
1 2 6+463a+46a+64+a46a+464+a4a
练习3：
（5）已知关于x的不等式x 4a 6有3个正整数解，
那么a的取值范围是___43 __a_.
1 2
在数轴上把它的解集表示出来：
所以3 6 4a 4
所以m 4, n 1.
mn5
3
7
m—1 2n+5
小结：对于这种含有参数的不等式和不等式组，如果给出
的解集是具体的数字，可通过先化简不等式（组），再比
较列式求解。
三、借助数轴，分析求解。
练习：
1、如果关于x的不等式组xx
3的解集是x a
a，那么a的a 2
化简不等 式，比较 列式求解
解得x 6 4a
x 1, 2
2、关于x的不等式组xx
m 1的解集是3 25
x
7,
那么m
4______。
由题可以解得不等式组 的解集 是m 1 x 7
不等式组的解集是 3 x 7,
3
7
在数轴上把它的解集表 示出来m，—1 7
4、已知关于x的一元一次不等式组x 2a , 3
有3个整数解，那么 a的取值范围是 ______.
因为不等式组有整数解，即不等式组有解 集，所以-2<2a+3,把不等式组的解集在数 轴上表示出来，如图所示:
由图可知：不等式组的 3个整数解是：1,0,1
1 2a 3 2 解得 1 a 1
对比可得 m 1 3，所以m 4.
3、关于x的不等式组xx2mn
1的解集是3 5
x
7,
那么m n _5_____。
不等式组的解集是 3 x 7,
由题可以解得不等式组的解集是m 1 x 2n 5 对比可得m 1 3,2n 5 7
1
m为何值时，
x＞y？
3、关于x的不等式组xx2mm15 有无解解，那么m的取值范围是 _m_____.6
x 2m 5
m-1
2m+5m-1
不等式组有解 m 1 2m 5
m 6
不等式组无解 m 1 2m 5
m 6
x 2
负数，不等号的方向改变.
问题：求关于 x的一元一次不等式 ax （1 a 0)的解集。
分析：
(1)如果a 0，那么x 1 ; a
（2）如果a 0，那么x 1 。 a
二、化简不等式组，比较列式求解。 练习1：
已知关于x的不等式x 4a 6的解集是x 2,
那么a的取值是____2__.
2
-2 -1
02a+321a+32a2+a23+2a3+32a+3
x 4a 6
4、已知关于x的一元一次不等式 x 4a 6 有3个
正整数解，那么a的取值范围是__43___a___12__.
分析：由题目可知: 不等式的3个正整数解是1，2，3 由x 4a 6得x 6 4a
一元一次不等式 （组）中参数取值 范围求解技巧
一、利用性质，进行求解
例1、如果关于x的不等式(a+1)x＞a+1的解集
为x＜1,则a的取值范围是
。
解析：观察不等式解集可知，不等号的方向发生
了改变，由此判断原不等式的
两边都除以了同一个负数，所以a+1＜0
，即a＜－1，此题逆用了不等式的一条
性质；不等式的两边都乘以（或除以）同一个
1 2 63+46a+64+a4a6+44a
解得 3 a 1
4
2
a
3a a a
2、已知关于x的不等式组xx2mm15的解集是x 2m 5, 那么m
的取值范围是m____6_。
2m 5 m 1
2m 5m2m1 5 2m 5
四、运用消元法，求方程组中的参数范围。
已知方程组33xx
2 y
ym m
1 ,