人教版数学高二选修4-1导学案四弦切角的性质

四弦切角的性质1.通过对弦切角定理的探究，体会分类思想、特殊化思想和化归思想在数学中的作用.2.理解弦切角定理，能应用定理证明相关的几何问题．1．在前面我们研究过与圆有关的哪两种角？这两种角是如何定义的？答案前面我们研究过圆心角和圆周角；顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角，顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中圆心角与圆周角各有什么性质，它们又有怎样的关系？答案在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．3．如下图，圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE.这时∠BAE还是圆周角吗？为什么？答案不是圆周角，因为角的一边与圆相切，只有角的两边都与圆相交时，才是圆周角．1．弦切角的概念定义：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图所示，∠ACD和∠BCD都是弦切角．2．弦切角定理定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．3．与弦切角定理有关的结论(1)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．(2)弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半．(3)如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等.要点一利用弦切角解决与角有关的问题例1如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE垂足为D，求证：AC平分∠BAD.证明连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＋∠CAB＝90°，∵AD⊥CE，∴∠ADC＝90°.∴∠ACD＋∠DAC＝90°.又∵AC是弦，且直线CE和⊙O切于点C，∴∠ACD＝∠B.∴∠DAC＝∠CAB，即AC平分∠BAD.规律方法(1)利用弦切角解决与角有关问题的步骤：①根据图形及弦切角的定义找出与题目有关的弦切角；②利用弦切角定理找出与其相等的角；③综合运用相关的知识进行角的求解．(2)要注意圆周角定理、圆内接四边形的性质定理、相似三角形、射影定理等知识的综合应用．跟踪演练1如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C.求证：∠ATC＝∠TBC.证明∵CT切⊙O于T，∴∠DTA＝∠ABT，∵∠ATC＋∠DTA＝180°，∠TBC＋∠ABT＝180°.∴∠ATC＝∠TBC.要点二利用弦切角解决与长度有关的问题例2 如图，已知MN 是⊙O 的切线，A 为切点，MN 平行于弦CD ，弦AB 交CD 于E ，求证：AC 2＝AE ·AB . 证明 连接BC ，⎭⎪⎬⎪⎫MN ∥CD ⇒∠MAC ＝∠ACD MN 切⊙O 于A ⇒∠MAC ＝∠B ⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠ACD ＝∠B ∠CAE ＝∠CAB⇒△ACE ∽△ABC ⇒AC AB ＝AEAC⇒AC 2＝AB ·AE .规律方法 (1)此题主要是利用弦切角的性质去证明两个角相等，再利用三角形相似证比例中项，这种类型的题较常见．(2)证明线段相等，借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识，我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等． 跟踪演练2 已知P A 是圆O (O 为圆心)的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，AC ＝3，∠P AB ＝30°，则线段PB 的长为________． 答案 1解析 连接OA ，又P A 为⊙O 切线， ∴∠OAP ＝90°，∠C ＝∠P AB ＝30°， ∴∠OBA ＝∠OAB ＝60°， ∴∠P ＝∠P AB ＝30°，∴PB ＝AB ， 又AC ＝3，BC 为⊙O 直径， ∴∠CAB ＝90°，∴AB ＝1，∴PB ＝1. 要点三 弦切角的综合应用例3 如图所示，CF 是⊙O 的直径，CB 是⊙O 的弦，CB 的延长线与过点F 的⊙O 的切线交于点P .(1)如图①，如果∠P＝45°，PF＝10，求⊙O的半径长；(2)如图②，如果E是BC上的一点，且满足PE2＝PB·PC，连接FE并延长交⊙O于点A，求证：点A是BC的中点．(1)解∵PF是切线，∴△PCF是直角三角形，∵∠P＝45°，∴PF＝CF，∴2r＝PF＝10，∴r＝5，∴⊙O的半径为5.(2)证明如图所示，连接FB.∵FP是⊙O的切线，∴∠PFB＝∠FCB.又∵∠P＝∠P，∴△PBF∽△PFC，∴PBPF＝PFPC，∴PF2＝PB·PC.又∵PE2＝PB·PC，∴PF2＝PE2，∴PF＝PE，∴∠EFP＝∠FEP.又∵∠EFB＝∠EFP－∠BFP，∠CFE＝∠FEP－∠FCB，∴∠EFB＝∠CFE. ∴点A为弧BC的中点．规律方法(1)弦切角是与圆相关的很重要的角．其主要功能是协调与圆相关的各种角，如圆心角、圆周角等，是连接圆与三角形全等、三角形相似及与圆相关的各种直线位置关系的桥梁．(2)弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理．(3)弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现．跟踪演练3如图所示，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，过⊙O1上一点P作直线P A、PB分别交⊙O2于点C和点D，EF切⊙O1于点P.求证：EF∥CD.证明连接AB，∵EF是⊙O 1切线，由弦切角定理知，∠FP A＝∠PBA，又在⊙O2中，四边形ABDC为圆内接四边形，∴∠C＝∠ABP，∴∠FP A＝∠C，∴EF∥CD.例4 如图，已知圆上的AC ＝BD ，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明： (1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ·CD .证明 (1)因为AC ＝BD ，所以∠BCD ＝∠ABC . 又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ， 所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ， 所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CDBC，即BC 2＝BE ·CD .规律方法 本题主要考查圆内接四边形、圆的切线、圆周角、弦切角、三角形相似、弦之间的关系，题目难易适中，重在考查对平面几何中基本知识的掌握． 跟踪演练4 如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E . 证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .证明 (1)由AC 与圆O ′相切于点A ，得∠CAB ＝∠ADB ；同理，∠ACB ＝∠DAB ，从而△ACB ∽△DAB ，所以AC AD ＝ABBD ⇒AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与圆O 相切于点A ，得∠AED ＝∠BAD ； 又∠ADE ＝∠BDA ，从而△EAD ∽△ABD . 所以AE AB ＝ADBD ⇒AE ·BD ＝AD ·AB .又由(1)知，AC ·BD ＝AD ·AB ，所以AC ·BD ＝AE ·BD ⇒AC ＝AE .1．如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F .已知∠B ＝50°，∠C＝60°，连接OE 、OF 、DE 、DF ，那么∠EDF 等于( ) A ．40° B ．55° C ．65° D ．70°答案 B解析 ∵∠B ＝50°，∠C ＝60°，∴∠A ＝70°，∴∠EOF ＝110°，∴∠EDF ＝55°.2．如图，AB 是⊙O 直径，P 在AB 的延长线上，PD 切⊙O 于C 点，连接AC ，若AC ＝PC ，PB ＝1，则⊙O 的半径为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 连接OC ，BC ， ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ， ∵AC ＝PC ，∴∠A ＝∠P ， ∵PC 切⊙O 于C 点， ∴OC ⊥PC ，∴∠A ＝∠P ＝∠ACO ＝13(180°－90°)＝30°，∴∠BOC ＝60°，∴△BOC 为等边三角形，∴OB ＝BC ， ∵∠PCB ＝∠A ，∴∠PCB ＝∠P ， ∴BC ＝PB ＝1，∴OB ＝1.3．如图所示，AD 切⊙O 于点F ，FB ，FC 为⊙O 的两弦，请列出图中所有的弦切角_____________．答案 ∠AFB 、∠AFC 、∠DFC 、∠DFB解析 弦切角的三要素：(1)顶点在圆上，(2)一边与圆相交，(3)一边与圆相切．三要素缺一不可．4．如图所示，已知AB与⊙O相切于点M，且MC＝MD，且MC、MD的长为圆周长的四分之一，则∠AMC＝______，∠BMC＝________，∠MDC＝________，∠MOC＝______.答案45°135°45°90°解析弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对的圆心角度数的一半．1．弦切角所夹的弧就是指构成弦切角的弦所对的(夹在弦切角内部的)一条弧．如图所示，弦切角∠BCD所夹的弧是CD，弦切角∠ACD所夹的弧是CMD.2．弦切角定理的证明同圆周角定理的证明极相似，同样是按圆心与角的位置关系分情况(如图所示)进行证明．(1)圆心在弦切角∠BAC一边上；(如图a)(2)圆心在弦切角∠BAC外部；(如图b)(3)圆心在弦切角∠BAC内部．(如图c)3．圆心角、圆周角、弦切角三者之间的区别圆心角圆周角弦切角图形顶点位置在圆心O 在圆周上在圆周上两边与圆的关系两边都和圆相交两边都和圆相交一边和圆相切，一边和圆相交4.在圆中有许多相等的角，利用这些相等的角我们能找出许多与圆有关的相似三角形，进而能得到许多线段的数量关系．因而，充分利用圆的有关性质定理如圆周角定理、圆内接四边形性质定理、弦切角定理等结论，架设与三角形有关问题的桥梁，达到解决问题的目的．。