管理决策分析 第三章 效用函数

o o x0.5 x0 x0.5 x(o ) * 0 * o o x x0
0
得到经归一化变换后的效用曲线上的三个点： （0, 0）,（ ε, 0.5）,（1, 1）
1
u
0.5
0
ε
1
x
3.2.2 效用函数的构造
方法 ⑤ 在新区间[0, ε] 和[ε, 1]按同样方法插入点 （ x0.25, 0.25）和（ x0.75, 0.75），保持比例 关系 x0.25 x0 x0.5 x0 * x0.5 x0 x x0
§3.2
效用函数的定义和构造
3.2.1 效用和效用函数的概念 2. 效用函数的概念 定义3.6 若在事态体集合Ŧ上存在实值函数u，有： (1)对任意的T1、T2∈Ŧ，T1T2 当且仅当 u(T1)> u(T2) (2)对任意的T1、T2∈Ŧ，且0≤λ≤1，有 u[λT1 ＋(1－λ)T2]=λu(T1)＋(1－λ)u(T2) 则称u(T)为定义在Ŧ上的效用函数。
§3.2
效用函数的定义和构造
矩阵O的第i行表示第i个可行方案的n个可能 结果值，即事态体 Ti＝（p1, oi1；p2, oi2 ；…；pn, oin） (i=1, 2, …, m) 决策就是要对这 m个事态体进行排序。 由第一节中的性质3.3知，存在简单事态体 T’，使得 Ti’＝（pi’, o*；1－pi’, o0 ）～ Ti 问题又化为对这m个简单事态体Ti’进行排序。
§3.2
效用函数的定义和构造
设有决策系统（Ω，A，F），在离散情况 下，结果值可以表示为决策矩阵：
O (oij ) mn
o11 o12 o o22 21 ... ... om 1 om 2
... o1 n ... o2 n ... ... ... omn
满足公理3.1和公理3.2的事态体集合称为全序集。
§3.1 理性行为公理
3.1.2 理性行为公理 公理3.3（复合保序性，替代性） 若 T1，T2 ，Q∈Ŧ，且0＜p＜1，则T1T2 当且仅当 pT1 ＋(1－p)Q pT2 ＋(1－p)Q 。 表示任意事态体的优劣关系是可以复合的， 复合后的事态体保持原有的优劣关系不变。
x0.75 x0.5 x0.5 x0 * * x x0.5 x x0
计算得： x0.25 ， x0.75 2
2
2
效用曲线上新增两个点： （ ε2, 0.25）,（2ε－ε2, 0.75）
1 0.75 0.5 0.25 0 ε2 ε
u
2ε－ε2
i, j ij i, j ij
§3.2
效用函数的定义和构造
3.2.1 效用和效用函数的概念 1. 效用的概念 定义3.5 设决策问题的各可行方案有多种可能的结 果值o，依据决策者的主观愿望和价值倾 向，每个结果值对决策者均有不同的价值 和作用。反映结果值o对决策者的价值和 作用大小的量值称为效用。
对于每一个结果值oj都存在一个概率值pj， 使得 oj～（pj , o*；1－pj , o0） pj就可以作为结果值oj的效用值。
3.2.1 效用和效用函数的概念
（1）标准效用测定法(概率当量法，V－M法) 步骤 ①设 u(o*)=1，u(o0)= 0； ②建立简单事态体（x, o*；1-x, o0 ），其中x 称为可调概率； ③通过反复提问，不断改变可调概率值x，让 决策者权衡比较，直至当x= pj时 oj～（pj , o*；1－pj , o0） ④测得结果值oj的效用 u(oj)= pj = pj u(o*)＋(1－pj )u(o0)
第三章 效用函数
广西大学数学与信息科学学院 运筹管理系
§3.1 理性行为公理
问题： 某公司拟推出一种新产品，经预测该产品在 市场看好的情况下，可以获利10万；在市场 前景较差时，将亏损1万元。市场看好和较 差的概率分别为0.6和0.4，是否推出该新产 品？ 若另有一产品可稳获利2万元，推出哪种产 品更好？ 这是一个随机决策问题。
称结果值oξ为事态体T的确定当量，称p为oξ 关于o1与o2的无差异概率。
3.1.3
事态体的基本性质
性质3. 3 任一事态体无差异于一个简单事态体。 设有事态体T ＝（p1, o1；p2, o2 ；…；pn, on） 则必存在一个简单事态体 T’＝（p’, o*；1－p’, o0 ）～ T 其中： o* ≽max{o1, o2 , …, on } o0 ≼min{o1, o2 , …, on }
§3.1 理性行为公理
3.1.2 理性行为公理 公理3.l（连通性，可比性） 事态体集合Ŧ上事态体的优劣关系是连通的。 即若 T1，T2∈Ŧ 则或者T1T2 ，或者T2T1 ，或者T1～T2 ， 三者必居其一。
表示任意两个事态体都是可以比较其优劣的！
§3.1 理性行为公理
3.1.2 理性行为公理 公理3.2（传递性） 事态体集合Ŧ上事态体的优劣关系是传递的。 即若 T1、T2 、T3∈Ŧ，且T1T2 ，T2T3 ， 则必有 T1T3 。 表示任意多个事态体的优劣是可以排序的 （若有些事态体无差异，可排在同一位置。）
3.1.1 事态体及其关系 1．事态体的概念 定义3.1 具有两种或两种以上有限个可能结果的方案 （或事情），称为事态体。 事态体中各可能结果出现的概率是已知的。 事态体即随机性状态空间中的行动方案。
1．事态体的概念
设某事态体的n个可能结果为： o1, o2, …, on 各结果出现的概率是相应为： p1, p2, …, pn 则该事态体记为： T＝（p1, o1；p2, o2 ；…；pn, on） 特别当n＝ 2时，称 T为简单事态体，此时 T＝（p, o1；1－p, o2 ）
§3.1 理性行为公理
3.1.2 理性行为公理 公理3.4（相对有序性，连续性，偏好的有界 性） 若 T1，T2 ，T3∈Ŧ，且T1T2 T3 则存在数 p，q，0＜p＜l，0＜q＜1，使得： pT1 ＋(1－p)T3 T2 qT1 ＋(1－q)T3
表示任意事态体都不是无限优，也不是无限 劣。
§3.1 理性行为公理
在随机决策中，决策系统（Ω，A，F）中的 决策方案均是在状态空间背景中加以比较， 并按照某种规则，选出决策者最满意的行动 方案。 在本章中，我们用事态体表示在随机性状态 空间中的行动方案，方案的比较表示为事态 体的比较，并引入效用的概念，用以衡量事 态体（行动方案）的优劣。
§3.1 理性行为公理
2．事态体的比较
定义 3.4 设两个简单事态体 T1，T2仅具有一个相同结 果值，另一个结果值不相同，即 ： T1＝（p1, o1；1－p1, o0 ） T2＝（p2, o2；1－p2, o0 ） 且o2 o1 o0，
①若p1≤p2，则事态体T2优于T1，记作T2T1 。 ②若T1～T2 ，则必有p1＞p2 。
3.2.2 效用函数的构造
方法 ③ 对结果值进行归一化处理，记归一化的结 果值为x(oj) 0 oj o x(o j ) * ， o j O 0 o o 则： x*=x(o*)=1， x0=x(o0)= 0， 0≤x(oj)≤1 ④ 记确定当量oξ的归一化值为ε，也记为x0.5
称T为退化事态体。 退化事态体仍属于事态体集合。
2．事态体的比较
定义3.2 设o1，o2是事态体T的任意两个结果值，根 据决策目标和决策者偏好，o1和o2有如下关 系： ①若偏好结果值o1，则称o1优于o2，记作o1o2； 反之，称o1劣于o2，记作o1 o2。 ②若对结果值o1, o2无所偏好，则称o1无差异于 o2，记作o1 ～ o2。 ③若不偏好结果值o1，则称o1不优于o2，记作 o1≼o2 ；反之，称o1不劣于o2，记作o1 ≽o2 。
§3.2
效用函数的定义和构造
Ti’＝（pi’, o*；1－pi’, o来自百度文库 ）～ Ti 注意到这m个简单事态体Ti’具有相同的结果 值o*、 o0 ，根据定义3.3，其优劣关系可以 由比较pi’的大小决定。 问题：如何测定 n 根据性质3.3 p p j qij 无差异概率？ i
j 1
qjj是结果值oij关于o*与o0的无差异概率。 其中： o* ≽ max {o }， o0 ≼min {o }
§3.1 理性行为公理
3.1.3 事态体的基本性质 性质3.1 设事态体 T1＝（p, o1；1－p, o0 ） T2＝（x, o2；1－x, o0 ） 且 o1o0 ， o2o0 ，若o2o1
则存在 使得 x=p’＜p T1～T2
称x为可调概率值。
§3.1 理性行为公理
3.1.3 事态体的基本性质 性质3. 2（确定当量和无差异概率） 设事态体T＝（x, o1；1－x, o2 ）且o1o2 。 则对于满足优劣关系o1oξ o2的任意结果值 oξ，必存在x＝p（0＜p＜l），使得 T＝（p, o1；1－p, o2 ）～ oξ
1．事态体的概念
事态体可以用树形图表示如下： p1 o1 p o T 2
︰ ︰ ︰n
2
p 当n＝ 2时： T
︰ ︰ ︰n
o p 1-p
o1 o
2
事态体集合Ŧ的性质
①在凸线性组合下，Ŧ是闭集。即： 若T1∈Ŧ，T2∈Ŧ，则当0≤λ≤1时，有 λT1 ＋(1－λ)T2∈Ŧ 两个事态体的凸线性组合仍是一个事态体。 ②T＝(0, o1；0, o2 ；…；1, oj ；…；0, on)∈Ŧ
且：p p j q j 这里，qj(j=1, 2, …, n)为oj关 j 1 于o*与o0的无差异概率。
n
3.1.3 事态体的基本性质
根据性质3. 3 比较一般事态体之间的优劣关系，可以转化 为比较简单事态体之间的优劣关系（将问题 简化） 得到事态体之间两两的优劣或无差异关系后， 再根据公理3.2（传递性）即可得到所讨论 事态体的排序。
3.2.1 效用和效用函数的概念
3. 估计效用函数的方法 （1）标准效用测定法(概率当量法，V－M法) 思路：对于给定的结果值，测定其效用值。 设有决策系统（Ω，A，F），其结果值集 合为： O＝（o1, o2 , …, on） 记： o* ≽max{o1, o2 , …, on } o0 ≼min{o1, o2 , …, on }
3.2.1 效用和效用函数的概念
3. 估计效用函数的方法 （2）确定当量法(修正的V－M法) 思路：对于给定的效用值，测定其结果值。 步骤 ①设 u(o*)=1，u(o0)= 0； ②对于给定的效用值pj，构造简单事态体 （pj , o*；1－pj , o0） ③通过反复提问，不断改变结果值oξ ，让决 策者权衡比较，直至当oξ= oj时 oj～（pj , o*；1－pj , o0） ④得效用值pj对应的结果值为oj，即u(oj)= pj 。
2．事态体的比较
定义 3.3 设两个简单事态体 T1，T2具有相同的结果值 o1，o2，即 ：T1＝（p1, o1；1－p1, o2 ） T2＝（p2, o1；1－p2, o2 ） 并假定o1o2，则： ①若p1＝p2，称事态体T1无差异于T2，记作 T1～T2 。 ②若p1＞p2，称事态体T1优于T2，记作T1T2； 反之，称事态体T1劣于T2，记作T1 T2。
3.2.2 效用函数的构造
介绍一种实用的效用函数的构造方法。 基本思路 对于决策问题的结果值集合，先用确定当 量法找出一个基准效用值，即效用值等于 0.5的结果值，称为确定当量oξ。其余效用 值不再测定，而是按比例用线性内插的方 法，用同一个标准计算得到。
3.2.2 效用函数的构造
方法 设决策问题结果值集合为： O＝（o1, o2 , …, on） ①取 o* ≽max{o1, o2 , …, on } o0 ≼min{o1, o2 , …, on } 并令 u(o*)=1，u(o0)= 0； ② 构造简单事态体（0.5, o*； 0.5, o0），用确 定当量法找到该事态体的确定当量oξ，使 得： oξ～（0.5, o*； 0.5, o0）