高中三角函数的诱导公式

cos x
函数同名，象限定号.
对形如π－α、π＋α的角的三角函数
可以转化为α角的三角函数，对形
如
、 的角的三角函数与α角
的三角函数，是否也存在着某种关系？ 这需要我们作进一步的探究！
知识探究（一）：
的诱导公式
思考1：sin（90°－60°）与sin60° 的值相等吗？相反吗？
sin( ) cos
y α的终边
o
x
-α的终边
思考：设角α的终边与单位圆交于点 P （x，y），则－α的终边与单位圆的交 点坐标如何？
y
α的终边
P(x,y)
o
x
P(x,-y)
-α的终边
思考：根据三角函数定义，－α的三角
函数与α的三角函数有什么关系？
α的终边
y
P(x,y)
o
P(x,-y)
x
-α的终边
公式三：
思考：利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、 三，你能得到什么结论？
思考2：sin（90°－60°)与2 cos60°，
2
c os（90°－60°）与sin60°的值分别
有什么关系？据此，你有什么猜想？
思考3：如果α为锐角，你有什么办法证
明
，
？
c a
α b
思考4：若α为一个任意给定的角，那么
的终边与角α的终边有什么对称关
系？
y
的终边
α的终边
O
x
思考5：点P1（x，y）关于直线y=x对称 的点P2的坐标如何？
2.诱导公式一～四要灵活应用，要点： 负化正，大化小，化至锐角解决了！
3.利用诱导公式一～四，可以求任意 角的三角函数，其基本思路是：
任意负角的 三角函数
任意正角的 三角函数
锐角的三角 函数
0～2π的角 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
1.3 三角函数的诱导公式 第二课时
问题提出
1.诱导公式一、二、三、四分别反映了 2kπ+α（k∈Z）、π＋α、－α、 π－α与α的三角函数之间的关系，这 四组公式的共同特点是什么？
2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π －α的三角函数值，等于α的同名函数值，
再放上将α当作锐角时原函数值的符号.
利用诱导公式一～四，可以求任意角 的三角函数，其基本思路是：
任意负角的 三角函数
任意正角的 三角函数
锐角的三角 函数
0～2π的角 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
例3．已知： 解：∵
P(x，y)
Ox
2. 2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数 之间的关系是什么？
公式一：
（)
3.你能求sin750°和sin930°的值吗？
？
4.利用公式一，可将任意角的三角函数 值，转化为00～3600范围内的三角函数 值.其中锐角的三角函数是我们熟悉的， 而对于900～3600范围内的三角函数值， 能否转化为锐角的三角函数值，这就是 我们需要研究和解决的问题.
的三角函数值，等于α的同 名函数值，再放上将α当作锐角时原函数 值的符号.
思考5：根据相关诱导公式推导，
思考7：诱导公式可统一为 的三角函数与α的三角函数之间的关系， 你有什么办法记住这些公式？
奇变偶不变，符号看象限.
理论迁移
例1 化简：
例2 已知 的值
例3 已知
，求
，求 的值.
小结作业
1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三 角函数之间的相互关系，并具有一定的规 律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是 记住这些公式的有效方法.
思考：对于任意给定的一个角α，角π ＋α的终边与角α的终边有什么关系？
y α的终边
o
x
π+α的终边
思考：设角α的终边与单位圆交于点P （x，y），则角π＋α的终边与单位圆 的交点坐标如何？
y
α的终边
P(x，y) o
x Q(-x，-y)
π+α的终边
思考：根据三角函数定义， sin（π＋α） 、cos（π＋α）、 tan（π＋α）的值分别是什么？
思考6：设角α的终边与单位圆的交点
为P1（x，y），则
的终边与单
位圆的交点为P2（y，x），根据三角函
数的定义，你能获得哪些结论？
y
的终边
P2(y，x)
α的终边
O
P1(x，y)
x
公式五：
知识探究（二）：
思考2：
与
的诱导公式 有什么内在联系？
公式六：
思考6：正弦函数与余弦函数互称为异名 函数，你能概括一下公式五、六的共同 特点和规律吗？
y
sin(π＋α)=-y
α的终边
cos(π＋α)=-x
P(x，y) o
tan(π＋α)=
x Q(-x，-y)
π+α的终边
思考：对比sinα，cosα，tanα的值， π＋α的三角函数与α的三角函数有什 么关系？
公式二：
知识探究（二）：-α，π-α的诱导公式：
思考：对于任意给定的一个角α，－α 的终边与α的终边有什么关系？
2.诱导公式是三角变换的基本公式，其 中角α是任意角，应用时要注意整体把 握、灵活变通.
三角函数的 诱导公式
同角三角函数的基本关系
平方关系:
商数关系:
( k , k Z )
2
同一个角 的正弦、余弦的平 方和等于1，商等于角 的正 切。
1.3 三角函数的诱导公式 π +α、- α、 π-α的诱导
问题提出
t
p
1 2
5730
1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样
定义的？
y
α的终边
∴原式 例4．已知
Hale Waihona Puke Baidu解：
，求
的值。
，且 是第四象限角，求 的值。
由已知得：
， ∴原式
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
例2 已知cos(π＋x)＝
各式的值：
，求下列
（1）cos(2π－x)；（2）cos(π－x).
例3 化简： （1） （2）
； .
小结
1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时 恒成立.
公式四：
思考：公式一～四都叫做诱导公式，他 们分别反映了2kπ＋α（k∈Z），π＋ α，－α，π－α的三角函数与α的三角 函数之间的关系，你能概括一下这四组 公式的共同特点和规律吗？
同角三角函数的基本关系
平方关系:
商数关系:
( k , k Z )
2
同一个角 的正弦、余弦的平 方和等于1，商等于角 的正 切。