自然坐标系

自然坐标系

作者：Michaelexe

自然坐标系中的速度和加速度

在质点的平面曲线运动中，当运动轨迹已知时，常用自然坐标系表述质点的位置、路程、速度和加速度。

如图所示，在某质点运动的轨迹线上任取一点O为自然坐标原点，以质点所在位置P点与O点间轨迹的长度s来确定质点的位置，则称s为质点的自然坐标，即

当质点经Δt从P点达Q点时，Δt内质点运动的路程为

设t时刻质点处于P点，在质点上做相互垂直的两个坐标轴，一个轴沿轨道切向指向质点前进方向，其单位矢量用表示；另一轴沿轨道法向指向轨道凹侧，其单位矢量用表示。由于切向和法向坐标轴随

质点沿轨道的运动自然变换位置和方向，通常称这种坐标系为自然坐标系。

当质点沿平面曲线运动时，其速度矢量的大小（速率）可以写为

考虑其速度方向为轨道的切向，则速度矢量可表示为

下面我们讨论质点的加速度

为质点的切向加速度，它只改变速度的大小，所以

为质点的法向加速度，它只改变速度方向，所以

，其中为轨道曲线在该点的曲率半径（因为始终指向轨道内侧，故ρ始终大于0，所以ρ也可以定义为）

所以，

现在来求平面曲线y=f(x)的曲率和曲率半径

曲率的定义：

曲率半径的定义：

下面来求k和ρ的公式所以，