论反证法在中学数学中的应用

昆明学院2016届毕业论文（设计）设计（论文）题目论反证法在中学数学中的应用子课题题目姓名郑粒红学号 ************所属系数学系专业年级数学与应用数学2012级数学1班指导教师雷晓强2016 年 3 月摘要本文主要从五大板块对反证法在中学数学中的应用进行论述，第一板块通过对反证法的由来、定义、逻辑依据、种类、模式的说明对反证法进行概解。

第二板块例举反证法的适用范围，并通过大量实例阐明在各个命题中反证法的证明的步骤。

第三板块分析应用反证法应注意的问题。

第四板块浅析反证法的教学价值及建议。

最后第五板块进行分析总结。

关键词：反证法;证明;矛盾AbstractThis article mainly from the five plate on the reduction to absurdity in the middle school mathematics application is discussed, and the first plate by means of reduction to absurdity and types of the origin, definition and logical basis, the model of generalized solution of reduction to absurdity. Second plate presented the applicable scope of reduction to absurdity, and through a lot of examples to elucidate the reduction to absurdity in the proposition proof steps. Some problems that should be paid attention to the third sector analysis application of reduction to absurdity. The fourth section teaching value of reduction to absurdity is analysed and the suggestion. Finally the fifth plate were analyzed.Keywords:Reduction to absurdity; prove ;contradiction目录绪论 (1)第一章反证法概解 (2)1.1 反证法的由来 (2)1.2 定义 (2)1.3 逻辑依据 (3)1.4 种类 (3)1.4.1 简单归谬法 (3)1.4.2 穷举归谬法 (4)1.5 模式 (4)第二章反证法的适用范围 (5)2.1否定性命题 (5)2.2 肯定性命题 (5)2.3限定式命题 (5)2.3.1 “至多” (6)2.3.2“至少” (6)2.3.3 其他 (7)2.4无限性命题 (7)2.5 基本定理和初始命题 (9)2.6逆命题 (9)2.7 某些存在性命题 (10)2.8全称肯定性命题 (10)2.9一些不等量命题 (11)2.10基本命题 (14)第三章应用反证法应注意的问题 (16)3.1 反设要正确 (16)3.2 明确推理特点 (16)3.3 善于灵活运用 (16)第四章反证法的教学价值及建议 (17)4.1 反证法的教学价值 (17)4.1.1 训练逆向思维 (17)4.1.2 促进数学思维的形成 (17)4.1.3 培养思维严密性 (18)4.1.4 渗透数学史 (18)4.2 反证法的教学建议 (19)4.2.1 多次反复, 螺旋上升 (19)4.2.2 精心研究, 训练反设 (19)4.2.3 渗透数学思想方法, 训练严密 (19)4.2..4 共同探究, 总结归谬类 (19)第五章结论 (23)参考文献 (24)谢辞 (25)绪论从前有一个叫王戎的小孩。

在天朗气清的一天，他和小朋友们出去玩并在路边发现一棵树上结满了李子，小朋友们蜂拥而上，去摘李子吃，尝了之后发现是李子苦的[]5。

这时站在一边没有动的王戎向小朋友们解释道：如果李子是甜的，早被路人摘光了，而这棵树上的李子结得满满的，所以这些李子一定是苦的。

这个故事中王戎从反面论述了李子为什么一定是苦的[]6。

这种反面的证明方法就是我下面所要讨论的反证法[]7。

反证法是数学证明中一种极为重要的方法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”[]1。

同时反证法也拥有历史悠久的应用与发展，古希腊数学家们就曾应用它证明了许多重要教学命题，比如，欧几里德证明两条直线相交只有一个交点的定理就是用反证法证明的。

第一章 反证法概解1.1 反证法的由来反证法,从名称上我们就能知道它是一种证明方法，它在数学和逻辑上是统一的[]2。

在毕达哥拉斯学派的影响下早期古希腊的数学认为万物皆数，并用整数和几何图形构建了一个宇宙图式，当时在数学家的脑海里万物皆数这个思想是根深蒂固的。

但是随着2的出现，希腊开始重新审视他们眼里的数学，认识到图形和直观并不是万能的，从而推理和逻辑走上了数学的舞台。

于此同时西方数学变成了以证明为主的证明数学,他们的数学推崇准确性，他们要的是准确的数学。

其表现形式为:逻辑、演绎的体系。

由此可见证明的数学与算的数学正好是相反的。

希腊人重视逻辑和演绎的证明，在欧几里得的《几何原本》里反证法得到了最早的应用[]8。

在《初等数学教程》（平面几何卷）中法国数学家J ·阿达玛作了最准确、最简明扼要、最精辟的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”[]3。

在数学命题的证明中作为一种最重要且基本的数学证明方法的反证法被广泛应用[]9。

就如，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，欧几里得证明的“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明的“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论， “最优化原理”的证明，“上帝并非全能”的证明，其中都运用了反证法[]2。

在我们学习的各个阶段，反证法自始至终都陪伴着我们。

1.2 定义反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得[]10。

不仿设原命题为p q →，s 是推出的结论，s 表示条件、某公理定义定理或临时假设，则用数学术语可以简单地表示为：()q p s s q p →⇒∧→→，即()q p s s q p →⇒∧→∧。

1.3 逻辑依据逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”是反证法所依据的[]11。

逻辑思维中的“矛盾律”指在同一思维过程中，两个相互矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的；逻辑思维中的“排中律”指两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A 或者非A ”[]11。

反证法通过证明，从而得到矛盾的判断，再根据“矛盾律”，我们知道这些矛盾的判断不能同时为真，必定有一个是假的[]12。

而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必定是假的[]3。

再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们并可以得到原结论必定是真的。

1.4 种类反证法又称为归谬法，反证法的运用重点在于归谬。

根据结论B 的反面情况的不同，分为简单归谬法和穷举归谬法[]13。

1.4.1 简单归谬法如果命题的反面只有一种情形，那我们则只需把这一种情形推倒，便可实现反证的目的。

例 1.1 两条直线同时平行于第三条直线，则原两条直线互相平行。

已知：.//,//ef cd ef ab求证：.//cd ab证明：假设ab 与cd 不平行, 则可设{},p cd ab =⋂ef cd ef ab //,// 又,ef cp ef ap //,//∴,∴过p 点有两条不同的直线与ef （不满足平行公理）,即假设不成立,故cd ab //. □1.4.2 穷举归谬法若命题的反面不止一种情况，那我们则必须将其逐一推倒，才能间接证明命题的正面成立。

例 1.2 若,1≥>y x 则有.n n y x >证明：假若不然，则有:(),11≥=⇒=y x y x n n与题设矛盾； (),12y x y x n n <≤⇒<与题设矛盾。

因此，.n n y x > □1.5 模式假设需要证的命题为“若A 则B ”，其中A 是题设，B 是结论，并且A 、B 本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有如下三个步骤：(1)反设：作出与求证结论相反的假设；(2)归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；(3)结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

第二章 反证法的适用范围生活中去掉含有砂砾大米中的砂砾，一共有两种方法。

一种是直接把大米中的砂砾一一捡出来；一种是用淘洗发，把砂砾残留下来。

这就像数学中的直接法和间接法，而反证法就是一种典型的间接法。

那么，我们什么时候该用反证法呢？2.1否定性命题结论以“没有……”、“不是……”、“不能……”等形式出现的命题，不容易用直接证法证明，而反证法刚好可以发挥它的作用[]4。

例 2.1 求证:若a 为自然数 ,则22++a a 不能被15整除。

证明：假设22++a a 能被15整除,则22++a a 定能被5整除,22++∴a a 的尾数必定为5或0,又 ()2122++=++a a a a 为偶数 ,22++∴a a 的尾数必然为0,即()12+=+a a a a 的尾数必然为8 .又 对任意自然数()1+a a 的尾数均不为8，∴假设错误不成立，即原命题成立. □2.2 肯定性命题例2.2 求证0.9的循环等于1.证明：假设0.9的循环不等于1，则0.3的循环的3倍必定不等于1,即原命题成立，0.9的循环等于1. □2.3 限定式命题结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题称为限定式命题[]3。

2.3.1 “至多”例2.3 已知:c b a ,,都是正整数;求证：在三个数ba cp a c b n c b a m +=+=+=,,中，至多有一个数不小于1． 证明： 假设p n m ,,中至少有两个数不小于1，不妨设,1,1≥≥n m 则:.,a c b c b a +≥+≥两式相加，得:02≤c ,0≤∴c ,与c 是正整数矛盾．即命题成立. □ 2.3.2“至少”例 2.4 已知：()d c ab +=2;证明:方程02=++c ax x 和02=++d bx x 中，至少有一个方程有实数根。