平面与圆锥面的截线

平面与圆锥面的截线

一、教学目标：

1. 知识与内容：

（1）通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理2

（2）利用Dandelin双球证明定理2中情况（1）

（3）通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解

2. 过程与方法：

利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维，培养学生的几何直观能力，重视直觉的培养和训练，直觉用于发现，逻辑用于证明。

3. 情感态度价值观：

通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。

二、教学重点难点

重点：（1）定理2的证明

（2）椭圆准线和离心率的探究

难点：椭圆准线和离心率的探究

三、教学过程

椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种。生成椭圆的方法有许多，例如：（1）圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图1；

（2）椭圆的定义

（3）平面内到定点和定直线的距离之比等于常数(0

（4）一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆；

（5）圆柱形物体的斜截口是椭圆，如图2

图1

如果用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？还有其他情况吗？让我们共同来探究平面与圆锥面的截线。 ()()()()()391,,.,(0).:?2

1;2;

3AD ABC BAD l AD P AD l AB AB AC l AB l BA AC απββαβ-∠=<<如图是等腰三角形底边上的高直线与相交于点且与的夹角

为试探究当与满足什么关系与或的延长线、都相交与不相交与的延长线、思考：都相交

.利用几何画板实验探索 ()391-图

()392,:-如图可以有如下结论 ()()1,(),.

,;

,,().l AB AB AC l AB AB E AC F AEP l AB AB AC ββαβα∆>>当与或的延长线、都相交时设与或的延长线交于与交于 因为是的外角所以必然有 反之当时与或的延长线、都相交 ()2,//,;

,,//,.l AB l AB l AB l AB βαβα==当与不相交时则这时有 反之当时那么与不相交

()3,,l BA AC l BA G 当与的延长线、都相交时设与的延长线交于

,;,APG l BA AC αβαβα∆<<因为是的外角所以如果那么与的延长线、都相交

思考：39,,310.--将图中的等腰三角形拓广为圆锥直线拓广为平面则得到图

会出现哪些情况呢？

A

B C P

D l αβαβl C D

B

A

P

E F

G ()392-

()(392),,;

βα-=如果平面与一条母线平行相当于图中的那么

（1）平面就只与正圆锥的一半相交这时的交线是一条抛物线

,:如果平面不与母线平行那么会出现两种情形

,;（2）平面只与圆锥的一半相交这时的交线为椭圆

,.（3）平面与圆锥的两部分都相交这时的交线叫做双曲线

归纳提升： 定理 在空间中，取直线l 为轴，直线l '与l 相交于O 点，其夹角为α，l '围绕l 旋转得到以O 为顶点，l '为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l 交角为β（π与l 平行，记住β＝0），则：

（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；

（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；

（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

()2?:11你能仿照定理的证明方法证明定理的结论思吗考

问题：利用Dandelin 双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平

面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明：β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆. 讨论：点A 到点F 的距离与点A 到直线m 的距离比小于1）.

证明1：利用椭圆第一定义，证明 FA+AE=BA+AC=定值，详见课本.

证明2：①上面一个Dandelin 球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆

所在平面为π/；

②如果平面π与平面π/的交线为m ，在图中椭圆上任取一点A ，该Dandelin 球与平面π的切点为F ，则点A 到点F 的距离与点A 到直线m 的距离比是（小于1）.（称点

F 为这个椭圆的焦点，直线m 为椭圆的准线，常数为离心率e .）

点评：利用②可以证明截线为抛物线，双曲线的情况，以离心率的范围为准.

()()13:12,

1;

2.

P F m -如图找出椭圆的准线探讨到焦点的距离与到两平面交线探的距离之比究

()1111,,

,cos .

2P S Q Rt PQ B Q PB PB PQ αα∆∠==设过的母线与圆交于点则在中所以 ()()1cos 12.cos PF PA βα=由得因为1cos 0,cos cos , 1.2cos PF PA πβαββαα

<<<<=<故则 ,,cos cos ,,cos cos .m e ββαα

=由上所述可知椭圆的准线为椭圆上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比为

常数因此椭圆的离心率为即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的余弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比,.我们延用讨论椭圆结构特点的思路讨论一下双曲线的结讨：构特点论

1212313,,.,,.

Dandelin F F S S βαππ-<如图当时平面与圆锥的两部分相交在圆锥的两部分分别嵌入球与平面的两个切点分别是、与圆锥两部分截得的圆分别为、1212,.,,P PF PF P O Q Q 在截口上任取一点连接、过和圆锥的顶点作母线分别与两个球切于、则1122121212,.||||.

PF PQ PF PQ PF PF PQ PQ Q Q ==-=-=所以121212,.

Q Q S S Q Q 由于为两圆、所在平行平面之间的母线段长因此的长为定值(),:

.由上所述可知双曲线的结构特点是双曲上任意一点到两个定点即双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为常数

拓展：1. 请证明定理2中的结论（2）

2. 探究双曲线的准线和离心率

313-图