弹性力学-应力和应变

单位球张量 δij ——单位球张量 σ mδij ——应力球张量，它表示各方向承受相同拉（压）应力 应力球张量， 应力球张量 它表示各方向承受相同拉（ 而没有剪应力的状态。 而没有剪应力的状态。
应力偏张量
0 σ m 0 σ mδij = 0 σm 0 0 0 σm
应力偏张量 Sij ——应力偏张量 σ12 σ13 σ11 −σ m σ22 −σm σ23 Sij = σ 21 σ31 σ32 σ33 −σm
I1 = σkk , 1 I2 = − (σiiσkk −σikσki ), 2 I3 = σij .
当用主应力来表示不变量时
(3−10) (3−11) (3−12)
σ 可以证明方程（ 可以证明方程（3-9）有三个实根，即三个主应力 σ1、σ2、 3 有三个实根，
I1 = σ1 +σ2 +σ3, I3 = σ1σ2σ3
λ ，则它在各
SNi = σ ijl j
(3 - 3)
(3 - 7)
(σ ij - λδij )l j = 0.
2 2 2 l1 + l2 + l3 = 1,即li li = 1.
应有
σij − λδ ij = 0,
σ11 − λ σ12 σ13 σ21 σ 22−λ σ23 = 0 σ31 σ32 σ33 − λ
力 称为该点一个主应力 σ N 称为该点一个主应力 σ 若某一斜面上
τ N = 0，则该斜面上的正应
；
（2）应力主向 ）
称为主平面 主平面； σ 所在的平面 —— 称为主平面； 称为应力主向 应力主向； 主应力 σ所在平面的法线方向 —— 称为应力主向； 主应力
根据主平面的定义， 重合。 根据主平面的定义，SN与N重合。若SN的大小为 坐标轴上的投影为 SNi = λli 代入（3-3）式 代入（
s j = σ j −σm, ( j = 1,2,3)
应力偏张量也有三个不变量： 应力偏张量也有三个不变量：
(3 −13)
J1 = s1 + s2 + s3 = σ1 +σ2 +σ3 −3σM = 0 1 2 2 2 J2 = −(s1s2 + s2s3 + s3s1) = (s1 + s2 + s3 ) 2 J3 = s1s2s3
σ13 σ11 σ12 σ13 σm 0 0 σ11 −σm σ12 σ σ σ = 0 σ 0 + σ σ22 −σm σ23 m 21 22 23 21 σ31 σ32 σ33 0 0 σm σ31 σ32 σ33 −σm
说明： 说明：
2 3
J2 .
(3− 23)
八面体面上的应力向量可分解为两个分量： 八面体面上的应力向量可分解为两个分量： i)垂直于八面体面的分量，即正应力 σ8 = σm ，它与应力球张 i)垂直于八面体面的分量， 垂直于八面体面的分量 量有关， 有关； 量有关，或者说与 I1有关； ii)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力 τ8 = 2 J2 ，与应力 ii)沿八面体面某一切向的分量 沿八面体面某一切向的分量，
x1 3 x2 i）重复出现的下标叫做求和下标，相当于 ∑ ,这称为求和约定； 求和下标， ）重复出现的下标叫做求和下标
j =1
ii）不重复出现的下标i叫做自由下标，可取 ）不重复出现的下标 叫做自由下标，可取i=1,2,3； 叫做自由下标
(4) 应力张量的分解
1.静水“压力”σ11 = σ 22 = σ 33 = σ 静水“压力”： 静水 在静水压力作用下，应力 应变间服从弹性规律 应变间服从弹性规律， 在静水压力作用下，应力—应变间服从弹性规律，且不会屈 不会产生塑性变形。 服、不会产生塑性变形。
(3 −1)
上式中左边是工程力学的习惯写法， 上式中左边是工程力学的习惯写法，右边是弹性力学的习惯写法
σ11 σ12 σ13 σ σ22 σ23 = σij = σ ji , 21 σ31 σ32 σ33
(3 − 2)
(3) 斜截面上的应力与应力张量的关系
坐标系中， 在xj坐标系中，考虑一个法线为 的斜平面。 坐标系中 考虑一个法线为N的斜平面 N是单位向量，其方向作弦为 l1, l2 , l3 , 是单位向量， 是单位向量 则这个面上的应力向量S 则这个面上的应力向量 N的三个分量与应力张量 σ ij 之间的关系 x3
sN1 σ11 σ12 σ13 l1 SN 2 = σ21 σ22 σ23 l2 o S σ σ32 σ33 l3 N3 31
SNi = σ ijl j (3 - 3)
N
O
SN
采用张量下标记号， 采用张量下标记号，可简写成 说明： 说明：
σz
τ xz τ xy σy τ yx σ y τ yz σ x τ zx τ zy σz
τ yx
τ zx
τ zy
τ yz
(2) 应力张量
定义： 的应力状态可由九个应力分量来描述， 定义：一点 的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成 一个二阶对称张量，称为应力张量。 一个二阶对称张量，称为应力张量。 应力张量
(3−17)
1 J2 = [(σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3)2 + (σ3 −σ1)2 ], (3−18) 6 1 2 2 2 J2 = [σ1 +σ2 +σ3 −σ1σ2 −σ2σ3 −σ3σ1] (3−19) 3
说明： 说明： 在第四章中将看到， 在屈服条件中起重要作用。 在第四章中将看到， 2 在屈服条件中起重要作用。至于 J3 可以注 J 意它有这样的特点： 的分量多么大， 意它有这样的特点：不管 sij 的分量多么大，只要有一个主偏应力 为零， 在屈服条件中不可能起决定作用。 为零，就有 J3 = 0 。这暗示 J3 在屈服条件中不可能起决定作用。
(3−14) (3−15) (3−16)
今后用得最多。 其中应力偏张量的第二不变量 J2 今后用得最多。 再介绍它的其他几个表达式： 再介绍它的其他几个表达式：
2 2 2 2 2 2 J2 = 1 (s11 + s22 + s33 + 2s12 + 2s23 + 2s31) 2
= 1 sij sij, 2
2.等效应力 σ 的特点 等效应力
σ j ( j =1,2,3)全反号时 σ 的数值不变。 的数值不变。
3. Sij 空间
Sij 空间指的是以 Sij 的九个分量为坐标轴的九维偏应力空间； 的九个分量为坐标轴的九维偏应力空间；
σ 标志着所考察的偏应力状态与材料未受力（或只受静水应 标志着所考察的偏应力状态与材料未受力（
说明： 说明： 材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的， 材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与 应力球张量有关； 应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是 由应力偏张量引起的 。应力张量的这种分解在塑性力 学中有重要意义。 学中有重要意义。
二、主应力和应力不变量 1. 一点的主应力与应力主向 （1）主应力 ）
三、等斜面上的应力 等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴
夹角相等 坐标轴与三个应力主轴一致， 设在这一点取 x1, x2 , x3 坐标轴与三个应力主轴一致， σ 3 则等斜面法线的三个方向余弦为
l1 = l2 = l3 =1/ 3
(3 − 20)
八面体面： 八面体面：
满足（3-20）式的面共有八个，构成 满足（ 20）式的面共有八个， 一个八面体，如图所示。 一个八面体，如图所示。 等斜面常也被叫做八面体面。 等斜面常也被叫做八面体面。 若八面体面上的应力向量用F 表示，则按（ 若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有 1 2 2 2 2 2 2 2 F = (σ1l1) + (σ2l2 ) + (σ3l3) = (σ1 +σ2 +σ3 ) (3− 21) 8 3
(3 − 8)
(3 − 8′)
或即
将这个行列式展开得到
λ3 − I1λ2 − I2λ − I3 = 0,
其中 I = σ , 1 kk
(3 − 9)
(3−10) (3−11) (3−12)
1 I2 = − (σiiσkk −σikσki ), 2 I3 = σij .
2. 应力张量的不变量
当坐标轴方向改变时,应力张量的分量 均将改变,但主应力的 当坐标轴方向改变时 应力张量的分量σ ij均将改变 但主应力的 大小不应随坐标轴的选取而改变.因此 方程(3-9)的系数 I1、I2、I3 因此,方程 大小不应随坐标轴的选取而改变 因此 方程 的系数 的值与坐标轴的取向无关，称为应力张量的三个不变量 应力张量的三个不变量。 的值与坐标轴的取向无关，称为应力张量的三个不变量。
σ2
σ1
八面体面素上的正应力为
2 2 2 2 σ8 = σ1l1 +σ2l2 +σ3 l3 = 1 (σ1+σ2 +σ3) =σ m (3− 22) 3
八面体面素上的剪应力为
2 τ8 = F −σ8 = 1 (σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3)2 + (σ3 −σ1)2 . 8 3 2
τ8 =
塑性力学
第 1 章
应力和应变
Hale Waihona Puke Baidu
第一章 应力和应变
§1.1 应力分析 §1.2 应变分析
§1.1 应力分析
一、应力张量及其分解 (1) 一点的应力状态
通过一点P 通过一点 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： σ x ,τ xy ,τ xz 面的应力： 面的应力 y面的应力： σ y ,τ yx ,τ yz 面的应力： 面的应力 z面的应力： σ z ,τ zx ,τ zy 面的应力： 面的应力
I2 = −(σ1σ2 +σ2σ3 +σ3σ1),
(3−10)′ (3−11)′ (3−12)′
应力偏张量S 显然也是一种应力状态即I 的应力状态 的应力状态。 应力偏张量 ij显然也是一种应力状态即 1=0的应力状态。 不难证明，它的主轴方向与应力主轴方向一致， 不难证明，它的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值 称为主偏应力 主偏应力） （称为主偏应力）为：
用张量符号表示： 用张量符号表示： 其中： 其中：
σij = σmδij + sij ,
(3 − 5)
1 0 0 δij = 0 1 0 0 0 1
i 1,当 = j, δij = i 0,当 ≠ j,
(3 − 6)
或
应力球张量
——与单元体的体积变形有关 与单元体的体积变形有关
σ x τ xy τ xz σ xx σ xy σ xz τ xy σ y τ yz 或σ xy σ yy σ yz τ z τ yz σ z σ xz σ yz σ zz
写法： 采用张量下标记号的应力写法 写法： 把坐标轴x、 、 分别 把坐标轴 、y、z分别 表示， 用x1、x2、x3表示， 或简记为x 或简记为 j (j=1,2,3),
不产生塑性变形的部分 应力 产生塑性变形的部分
反映静水“压力” 反映静水“压力”：
2.平均正应力： 平均正应力： 平均正应力
1 1 σ m = (σ11 +σ 22 +σ 33 ) = σ kk 3 3 (3 - 4)
3.应力张量的分解： 应力张量的分解： 应力张量的分解 应力张量可作如下分解： 应力张量可作如下分解：
3
偏张量的第二不变量 J2 有关。 有关。
四、等效应力 1.定义： 定义： 定义 相等的两个应力状态的力学效应相同， 如果假定 J2相等的两个应力状态的力学效应相同，那么
对一般应力状态可以定义： 对一般应力状态可以定义：
σ ≡ 3J2 =
1 2
(σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3 )2 + (σ3 −σ1)2
(3− 24)
—— 在塑性力学中称为应力强度或等效应力 在塑性力学中称为应力强度 应力强度或 注意：这里的“强度” 注意：这里的“强度”或“等效”都是在 J2意义下衡量的 等效” 与空间坐标轴的选取无关； 与空间坐标轴的选取无关； 各正应力增加或减少同一数值（ 各正应力增加或减少同一数值（也就是叠加一个静水应力 状态） 数值不变，即与应力球张量无关； 状态）时σ 数值不变，即与应力球张量无关；