等差数列练习题(文科)(教师版)

数列（2）——等差数列

一、 基础知识

（一）等差数列的定义

1、等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，)2(1≥=--n d a a n n 常数

第二种是利用等差中项，即112-++=n n n a a a （2≥n a ）。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。

（1）通项法：若数列}{n a {的通项公式为n 的一次函数，即B An a n +=则是等差数列；

（2）前n 项和法：若数列}{n a 的前n 项和n S 是Bn An S n +=2的形式（A ，B 是常数），则}{n a 是等差数列。

（二）等差数列的通项公式与求和公式

1、通项公式： ；

2、:求和公式： ； ； ； （三）等差数列的性质 1、等差数列的单调性：

等差数列公差为d ，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。

2、等差数列的简单性质：

已知数列}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项和。

（1）若m+n=p+q,则q p n m a a a a +=+,特别：若m+n=2p ，则。p n m a a a 2=+ （2）....,,,32k m k m k m m a a a a +++仍是等差数列，公差为kd; （3）数列...,,232m m m m m S S S S S --也是等差数列； （4）n n a n S )12(1-=-； （5）若n 为偶数，则d n

S S 2

-=

奇偶；若n 为奇数，则中奇偶S S S =-(中间项）； （6）数列}{},{},{n n n n qb pa c a ca ++也是等差数列，其中q p c ,,均为常数，是}{n b 等差数列。

二、题型分类

（一）等差数列的判定与证明 1、等差数列的判定通常有两种方法：

第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。

（1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列；

（2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差数列。

注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

例题1、若S n 是数列{}n a 的前n 项和，2n S n =,则{}n a 是 ( C ). Ａ．等比数列，但不是等差数列 Ｂ.等差数列，但不是等比数列 Ｃ．等差数列，而且也是等比数列

Ｄ.既非等比数列又非等差数列

例题2．已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+5，则此数列是 （ A ）

例题3、已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11120(2),2

n n n n S S S S n a ---+=≥=

（1）求证：{

1

n

S }是等差数列； （2）求n a 的表达式。 解（1）等式两边同除以1n n S S - 得11n S --1n S +2=0，即1n S -11n S -=2（n ≥2）.∴{1n S }是以11S =1

1a =2为首项，

以2为公差的等差数列。

（2）由（1）知

1n S =1

1

S +（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴n S =12n ,当n ≥2时，n a =n S -1n S -=-12(1)n n -。

又∵112a =，不适合上式，故1

(2)

2(1)

{1

(1)2

n n n n a n -≥-==。

针对性练习一 1、已知数列{}n a 中，()

*+∈+=

=N n a a a n n 3

111,

11

1，则50a = 352

2、已知数列{}n a 满足()22,21

2

1≥-==-n a a a a a a n n ，其中a 是不为零的常数，令a a b n n -=1

（1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式 解析：（1）12

11

1

1()2n n n n n a b a a a

a a a a a

a ---=

==---，则111111()n n n n n a b b a a a a a a -----=-=-- 所以，数列{}n b 是等差数列 （2） 由（1）知：11b a =

，则11(1)n n b n a a a

=+-= 所以，1

n n n b a a a

=

=

-，n a a a n =+ 3、 已知数列{a n }的前n 项和为2n S n C =+(C 为常数)，求数列{}n a 的通项公式，并判断{a n }是不是等差数

列。

解答．当n=1时，a 1=S 1=1+c 当n 2≥时，a n =S n -S n-1=(n 2

+c)-[(n 2

+c)]-[(n-1)2

+C]=2n-1。

∴a n =⎩⎨

⎧-+121

n c 2

1≥=n n ,当C =0时，是等差数列，否则不是

（二）等差数列的基本运算

1、等差数列的通项公式n a =1a +（n-1）d 及前n 项和公式11()(1)

22

n n n a a n n S na d +-=

=+，共涉及五个量1a ，n a ，d,n, n S ,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题；

2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

注：因为

11(1)222n S d d d

n a a n n =+-=+-，故数列{n S n

}是等差数列。 例题4（通项公式、求和公式的直接运用）

（1）已知S n 为等差数列{a n }的前n 项的和，a 2+a 5=4，S 7=21，则a 7的值为 （ D ）

A 、6

B 、7、

C 、 8

D 、9

2）已知数列{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=15，a 4=7，则s 6的值为 （ C ）

A 、30

B 、35

C 、36

D 、24 （3）等差数列{a n }的公差d ＜0，且

，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 是 （ C ）

A 、5

B 、6

C 、5或6

D 、6或7

4）在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11= （ B ）