1-6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性
1.6能量不等式
u u T u u d x d y y y x x
2u 2u 所做的功(近似为)： T 2 2 udxdy y x
位能V的推导:
2 2 T u u V d xd y 2 x y
这一做功导致薄膜能量变化，记能量的增加量为 W ，则 2u 2u W T 2 2 udxdy y x
E (t ) a E ( s )ds b
0
t
for two nonnegative constants a, b. Then
E (t ) b (1 ate at )
2 t 2 2 x 2 y
vt v x v y 0 v const v 0 u1 u 2
故波动方程初边值问题
2 u a u xx u yy f tt
u t 0 ( x , y ), u t u ( x , y , t )
注：有外力（面密度）情况
T V 2
u u Fu d xd y x y
2 2
位能V的推导:
2 2 T u u V d xd y 2 x y
1.6 能量不等式
1 振动的动能和位能 2 初边值问题解的唯一性与稳定性
3 柯西问题的唯一性与稳定性
1 振动的动能和位能 膜振动：总能量=动能U+位能V，其中
1 薄膜在平面Oxy 2 U u t d x d y 上的投影区域 2 2 2 T u u V dxdy 2 x y
波动方程推导过程
由 d'Alembert 公式有 1 1 v( x, t) = [(h − x + at)φ( x − at) + (h − x − at)φ( x + at)] + 2 2a 再由 (1) 知此定解问题的解. 注：此问题也可由 (1) 并利用初始条件决定 F 和 G. 例 2.2 问初始条件 φ( x) 与 ψ( x) 满足怎样的条件时, 齐次波动方程初值问题的解仅由右传播 波组成? 解: 由题意知 1 1 G ( x ) = φ( x ) + 2 2a 故 G ′ ( x) = 0, 即 ∫
由 Hooke 定律, B 两端的张力分别为 E ( x)u x | x , E ( x)u x | x+∆ x . B 段的运动方程为 S ρ( x)∆ x ∂2 u ( x, t) = E ( x)S u x | x+∆ x − E ( x)S u x | x ∂t 2
其中 S 为细杆截面面积, x 为 B 段重心坐标. 约去 S , 令 ∆ x → 0, 有 ( ) ( ) ∂u ∂ ∂u ∂ ρ( x) = E ( x) . ∂t ∂t ∂x ∂x 例 1.2 在杆纵向振动时, 假设 (1) 端点固定, (2) 端点自由, (3) 端点固定在弹性支撑上, 试分别 导出这三种情况下所对应的边界条件. 解: (1) u(0, t) = u(l, t) = 0; u ∂u (2) 端点自由, 即端点处无外力作用. 在左端点 S E (0) ∂ ∂ x (0, t) = 0, 即 ∂ x (0, t) = 0. 同理右端 u 点∂ ∂ x (l, t ) = 0 . (3)端点固定在弹性支承上, 端点受的外力与支撑的变形成比例. 如左端有弹性支承, 弹性 系数设为 k, 则 ∂u S E (0) (0, t) = ku(0, t), ∂x 同理右端: ( ( ∂u − + hu ∂x ) = 0.
§1.6 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性
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设 , f 分别为定义在 和(0, T ) 内的函数, 记
L2 ( )
dxdy
2
1 2
f
L2 ((0,T ) )
T 0
f 2 dxdydt
1 2
由能量不等式(或称：能量估计式)
T E ( t ) E 0 ( t ) C E (0) E0 (0) f 2 dxdyd 0 得
3
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物理描述：
①动能：
2
l 0
ut2 dx 表示 t 时刻的动能。
u ②位能（势能） ：T 表示张力在垂直方向的分力， x 2 u u T T 2 为垂直分力线密度。 从而 x x x
u
u
O
4
t t
t
è ³ É ¤Î ª dx µ Ä Ï Ò ´ Ó tÊ ±¿ Ì µ ½ t t Ê ± Ì Ó ¿ É Ô À ´ Î » Ö Ã u( x , t ) · ¢ É ú Á Ë Î ¢ Ð ¡
§6 能量不等式、波动方程解的唯 一性和稳定性
振动的动能和位能 初边值问题解的唯一性与稳定性 柯西问题解的唯一性与稳定性
2015-3-6
1. 振动的动能和位能
考察一维初边值问题：
utt a 2 u xx 0 ( t 0, 0 x l ) (1) u( x ,0) ( x ), ut ( x ,0) ( x ) (0 x l ) ( 2) u(0, t ) u( l , t ) 0 ( 3)
(7) (8) (9)
数学物理方程第三版答案谷超豪
数学物理方程第三版答案谷超豪【篇一：数学物理方程_答案_谷超豪】/p> 1 方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x,t)满足方程???u????u????x????e? ?t??t??x??x?其中?为杆的密度，e为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与x??x。
现在计算这段杆在时刻t的相对伸长。
在时刻t这段杆两端的坐标分别为：x?u(x,t);x??x?u(x??x,t)其相对伸长等于令?x?[x??x?u(x??x,t)]?[x?u(x,t)]??x?x?ux(x???x,t)，取极限得在点x的相对伸长为ux(x,t)。
由虎克定律，张力t(x,t)等于t(x,t)?e(x)ux(x,t)其中e(x)是在点x的杨氏模量。
设杆的横截面面积为s(x),则作用在杆段(x,x??x)两端的力分别为e(x)s(x)ux(x,t);e(x??x)s(x??x)ux(x??x,t).于是得运动方程 ?(x)s(x)??x?utt(x,t)?esu利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得??(x)s(x)u?(esux)?x若s(x)?常量，则得?u?t22x(x??x)|x??x?esux(x)|x?(x)即得所证。
=(e(x)?u?x)2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在x?0,x?l两点则相应的边界条件为u(0,t)?0,u(l,t)?0.(2)若x?l为自由端，则杆在x?l的张力t(l,t)?e(x)的边界条件为?u?x?u?x|x?l等于零，因此相应|x?l=0?u同理，若x?0为自由端，则相应的边界条件为?x(3)若x?l端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的∣x?0?0偏移由函数v(t)给出，则在x?l端支承的伸长为u(l,t)?v(t)。
偏微分方程讲义
2 达朗贝尔公式、波的传播
例 2.1 证明方程 [ ] ∂ ( x )2 ∂u 1 ( x )2 ∂ 2 u 1− = 2 1− ∂x h ∂x a h ∂t2
(h > 0 常数)的通解可以写成 u= F (x − at) + G(x + at) , h−x
其中 F, G 为任意的具有二阶连续导数的单变量函数, 并由此求解它的初值问题: t=0: u = φ(x), ∂u = ψ (x). ∂t
其中 k 为正常数. 齐海涛 htqi2008@ 4
山东大学威海分校
2
达朗贝尔公式、波的传播
解: 波动方程的通解为 u = F (x − at) + G(x + at), 由初始条件得 F (x) + G(x) = φ(x), −aF ′ (x) + aG′ (x) = 0
1 C 1 C F (x) − G(x) = C, F (x) = φ(x) + , G(x) = φ(x) − , 2 2 2 2
G(x) = φ(x/2) − F (0), F (0) + G(0) = φ(0) = ψ (0). ( ) ( ) x − at x + at ⇒ u(x, t) = ψ +φ − φ(0). 2 2
例 2.4 对非齐次波动方程的初值问题 (2.5)、(2.6), 证明: 当 f (x, t) 不变时, (1) 如果初始条件在 x 轴的区间 [x1 , x2 ] 上发生变化, 那么对应的解在区间 [x1 , x2 ] 的影响区域外不发生变化; (2) 在 x 轴区间 [x1 , x2 ] 上所给的初始条件唯一确定区间 [x1 , x2 ] 的决定区域中解的 数值. 解: 弄清影响区域、决定区域的定义. 例 2.5 求解 utt − a2 uxx = 0, x > 0, t > 0, u|t=0 = φ(x), ut |t=0 = 0, ux − kut |x=0 = 0,
数理方程-波动方程的导出
地震波传播规律的研究中，波动方程发挥了重要作用 。
电磁波传播
在研究电磁波传播时，波动方程用于描述电磁场的变 化规律。
波动方程的数学表达形式
01
一维波动方程
一维波动方程是描述一维空间中波动现象的基本方程，形 式为 $frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 frac{partial^2 u}{partial x^2}$。
03
CATALOGUE
波动方程的物理意义
波动方程的物理背景
波动现象
波动方程是描述波动现象的基本数学工具，如声波、光波、水波等。
波动方程的导出
基于物理定律和数学推导，将实际问题抽象为数学模型，进而得到波动方程。
波动方程的物理应用
声学研究
波动方程在声学研究中用于描述声波传播规律，如声 速、声压等。
从而模拟声波的传播过程。
水波传播的模拟
要点一
总结词
波动方程也可以用来描述水波的传播规律，通过求解波动 方程可以得到水波的传播速度、振幅和相位等信息。
要点二
详细描述
水波是一种常见的波动现象，其传播规律可以用波动方程 来描述。在水波传播的模拟中，我们需要考虑水的密度、 弹性模量、阻尼系数等参数，以及水波的频率、振幅、波 长等特征。通过求解波动方程，我们可以得到水波在介质 中的传播速度、振幅和相位等信息，从而模拟水波的传播 过程。
波动方程的应用实例
声波传播的模拟
总结词
波动方程可以用来描述声波在介质中的传播 规律，通过求解波动方程可以得到声波的传 播速度、振幅和相位等信息。
详细描述
声波是一种波动现象，其传播规律可以用波 动方程来描述。在声波传播的模拟中，我们 需要考虑介质的密度、弹性模量、阻尼系数 等参数，以及声波的频率、振幅、波长等特 征。通过求解波动方程，我们可以得到声波 在介质中的传播速度、振幅和相位等信息，
一维波动方程Cauchy问题解的适定性【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学一维波动方程Cauchy 问题解的适定性一、前言部分在数学物理方程的学习及教学中，波动方程是一种重要的双曲型偏微分方程，它通常表示所有种类的波，例如声波，光波和水波。
它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学，波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到, 对非线性偏微分方程有关概念、理论及方法的理解起着非常重要的作用。
对一维波动方程Cauchy 问题解的适定性研究，对解决高维波动方程有重要意义。
以下是本文经常要用到的一些概念： 1、一维波动方程的定义定义1]1[ 22222(,)(0,0)u u a f x t x l t t x ∂∂-=<<>∂∂， （1.1）其中20(,),(,)T f x t a f x t ρρ==，方程（1.1）刻画了均匀弦的微小横振动的一般规律，人们称它为弦振动方程，亦称为一维波动方程。
一根弦线特定的振动状况，还依赖于初始时刻弦线的状态和通过弦线两端所受到的外界影响。
因此，为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以外还必须写出它适合的初始条件和边界条件]1[。
定义2]1[ 初始条件 即必须给出弦上各点在初始时刻0t =的位移和速度：(,0)()(0),(,0)()(0),t u x x x l u x x x l ϕψ=≤≤=≤≤ （1.2）这里(),()x x ϕψ为已知函数。
定义3]1[ 边界条件 一般来说有三种。
（1）已知端点的位移变化，即12(0,)(),(,)()(0)u t g t u l t g t t ==≥ （1.3）特别当12()()0g t g t ==时，称弦线具有固定端。
（2）已知在端点所受的垂直于弦线的外力的作用，即012|(),|()(0),x x l uTg t xu T g t t x==∂-=∂∂=≥∂ （1.4）特别当12()()0g t g t ==时，称弦线具有自由端。
数学物理方程答案谷超豪
数学物理方程答案谷超豪【篇一：数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)】>第一章．波动方程1 方程的导出。
定解条件4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力t(x)为t(x)??g(l?x)且t(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。
仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x)其中?(x)表示t(x)方向与x轴的夹角又sin??tg??于是得运动方程?u ?x.?u?2u?u??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?g?xx?x?t利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得?2u??u?g[(l?x)]。
?x?x?t25. 验证u(x,y,t)?1t2?x2?y2在锥t?x?y0中都满足波动方程222?2u?2u?2u1222证：函数在锥0内对变量t?x?y??u(x,y,t)?222222?t?x?y?x?yx,y,t有二阶连续偏导数。
且232?u??(t2?x2?y2)?t??t35??u(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t22?t?(t2?x2?y2)?32?(2t2?x2?y2)?u?(t2?x2?y2)?x?32?x?2u?x2?t?x?22352?2222?22?y?3t?x?yx??????52??u同理 ??t2?x2?y2?2?t2?x2?2y2?2?y所以即得所证。
2 达朗贝尔公式、波的传抪3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 2??2u2?u?2?a2t?x??ux?at?0??(x) ??(0)??(0)? ?u??(x).?x?at?0?5??t2?x2?y22t2?2x2?y2??2u?x2?2u?y2?t?x??225?y22??2t2?x?y22???t2.?2u解：u(x,t)=f(x-at)+g(x+at) 令 x-at=0 得 ?(x)=f（0）+g（2x）令x+at=0 得 ?(x)=f（2x）+g(0) 所以 f(x)=?()-g(0). g（x）=?()-f(0). 且 f（0）+g(0)=?(0)??(0). 所以 u(x,t)=?(x2x2x?atx?at)+?()-?(0). 22即为古尔沙问题的解。
1-6能量不等式、波动方程解的唯一性
四川大学数学学院邓瑾
1. 能量守恒和初边值问题解的唯一性
考虑高维波动方程的初边值问题(以二维为例)
u a 2 (u u ) 0, ( x , y ) , t 0, tt xx yy t 0, u ( x , y ) 0, u t 0 ( x , y ), ut t 0 ( x , y ), ( x , y ) . (1) (2) (3)
14
四川大学数学学院邓瑾
2.设v(x,t)满足
v tt a 2hv ) x l 0 (h 0)
定义能量积分 E ( t ) 1 2
l 0
2 2 2 (v t2 a 2v x )d x 1 a hv ( l , t ), 2
设uu(x,y,t)是满足方程(1)和边界条件(2)的解, 定义能 量积分 2 (4) E ( t ) [ut2 a 2 ( u x u2 y )]d x d y
下面证明, 对任意t 0有E(t)0, 即, 满足(1)(2)的振动是 能量守恒的.
2
四川大学数学学院邓瑾
证明要用到高斯公式: 设A [ P ( x , y ), Q ( x , y )], 则有 , ), 其中 ( A d x d y A n d s , x y n是的单位外法向量, ds 是 的弧长微元.
2 ut f d x d y ut2 dx d y f 2 dx d y
E ( t ) f 2 dx d y
即, [e t E ( t )] e t f 2 ( x , y , t )d x d y . 由此得
波动方程能量积分1
dE(t) = 0. dt
证明：对n=2的情形，对应的能量积分为
∫ ∫ ∫ E(t) = 1 2
Ω
(ut2
+ a2 (ux2
+
u
2 y
))dxdy
+
1 a2σ
2
Γ
u 2 dS .
上式关于t求导，并利用(5.10)中的方程，边界条件和 格林公式，有
∫ ∫ ∫ dE(t) = dt
[ut utt + a2 (uxuxt + uyuyt )]dxdy + a2σ u ut dS
= ϕ , ut t
+
=0
uyy ) = 0
=ψ , (x,
y
(t > 0, )∈Ω
⎪⎪⎪⎩⎛⎝⎜
∂u ∂n
+σu
⎞ ⎠⎟
Γ×[ 0,∞ )
=
0,
(x , y) ∈ Ω),
∫∫ ∫∫ 此时E0(t)
=
1 2
Ω
u (x, y,t)2 dxdy, E0 (0)
=
1 2
Ω
ϕ (x,
y)2 dxdy
∫∫ ∫ E(0)
⎝Ω
g
(
x,
y
)
2
dxdy
⎞1/ ⎟
2
,
⎠
g (⋅, ⋅)
L2 (Γ)
=
⎛ ⎜ ⎝Γ
g ( x,
y)2 dS
⎞1/ 2 ⎟. ⎠
18
证明：记ϕ =ϕ1 − ϕ2 ,ψ =ψ1 −ψ 2 , u = u1 − u2 于是u (x, y,t)满足如下的定解问题
⎧ ∂ 2u ⎪⎪⎪⎨u∂tt =20
数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)
解：令
则
代入原问题，得
记 为上半球， 为下半球， 为 在 平面上的投影。
,则
所以
于是
即为所求的解。
6．试用 第七段中的方法导出平面齐次波动方程
在齐次初始条件
下的求解公式。
解：首先证明齐次化原理：若 是定解问题
的解，则 即为定解问题
的解。
显然，
（ ）.所以
又
因为w满足齐次方程，故u满足
1.用分离变量法求下列问题的解：
(1)
解：边界条件齐次的且是第一类的，令
得固有函数 ，且
，
于是
今由始值确定常数 及 ，由始值得
所以 当
因此所求解为
(2)
解：边界条件齐次的，令
得： (1)
及 。
求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。
时，方程的通解为
由 得
由 得
解以上方程组，得 ， ，故 时得不到非零解。
（ ， 和 都是一些充分光滑的函数）满足固定端点边界条件的混合问题的解在G内的改变也是很微小的。
证：只须证明，当 很小时，则 ， 。
所以
又由于 ， ，故 ，即
或
记
得
由初始条件 ， ，
又因 ，得 ，故 ，即
若 很小，即 ，则 ，故
即在 中任一时刻 ，当 很小时， ，又 中积分号下每一项皆为非负的，故
现将 完备化，考虑 中任一基本列 ，满足 ，则 在 中按 模成为基本列，由黎斯—弗歇尔定理，存在着极限元素 即 将 添入 且定义 的模为
则 为一完备空间
又 为基本列，则所对应的 也是一个 中的基本列（稳定性），再根据黎斯—弗歇尔定理，存在着唯一的极限元素 ， 就称为对应于初始条件 的弦振动方程柯西问题的广义解。
波动方程1
偏微分方程
进而有：
2u 2u 2 2u 2u 2 u 2 u 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 x x x x x x x 2
2u 2u 2u 2u u 2 u 2 2 ( ) 2 xy x y x y x y x y xy xy
偏微分方程
齐次方程柯西问题 一、求解 二、解的适定性 三、解的物理意义
上一节内容的应用 非齐次方程柯西问 题的求解
31
偏微分方程
2.0 预备知识
一.含两个变量的二阶线性 偏微分方程的分类及化标准 型
二.叠加原理
32
偏微分方程
一、含两个变量的二阶线性偏微分方程的 分类及化标准型：
含两个变量的二阶线性偏微分方程的一般形式 为：
28
ut a 2 ( uxx u yy ) 0 u t 0 ( x, y) u f ( x , y , t )
( x, y ) , t 0
偏微分方程
u a 2 (u u u ) 0 ( x , y, z ) , t 0 xx yy zz t u t 0 ( x, y, z ) ( u u) f ( x , y , z , t ) n
二维、三维热传导方程的混合问题
29
研究步骤
1 3
偏微分方程
2
导出定解问 题，它包括 方程和定解 条件两部分
求解
讨论解的适 定性
1、存在性 2、唯一性 3、稳定性
30
第二节 达朗贝尔公式、波的 传播
2.0 预备工作 2.1 达朗贝尔公式、波的传播 2.2 半无界弦的自由振动 2.3 强迫振动的初值问题
第6讲 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性
(6.5)
2 2u 2u 2 u t 2 a ( x 2 + y 2 )+f ( x, y,t ) u | ( x, y ), u | ( x, y ) t 0 t 0 t u | 0 ( x, y,t )
E0 (t ) E (t )
两边同乘 e t 得到
d(et E0 (t )) t e E (t ) dt
两边积分得到
E0 (t ) et ( E (0) e E ( )d )
0
t
结合(6.20)，得到
E (t ) E0 (t ) C ( E (0) E0 (0)
数学物理方程
Equations of mathematical physics 姚志远
南京航空航天大学航空宇航学院
Zyyao@
§ 6
能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性
1、振动的动能和位能 考虑二维情形 其动能表示为
U
为薄膜的投影区域 其中，
1 2 u dxdy t 2
的解在下述意义下是稳定的。
0, 0
使得
L2 ( 0 )
1 2
时，在 0 t
, 1x 2 x , 1 2
L2 ( 0 )
, ,
1 y 2 y
R 时成立 a u1 u2 L2 ( ) , u1x u2 x
(6.30)
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( R at )2
在K内考虑波动方程
2 2 2u u u 2 a ( 2 + 2 ) t 2 x y
波动方程反移动源问题
波动方程反移动源问题
郭军;于群意;李瑞红
【期刊名称】《中南民族大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(43)3
【摘要】考虑三维波动方程的反移动源问题,其移动源项为F(x,t)=f(x-a(t))g(t).波场在可测量球面上的Dirichlet数据已知,利用Fourier变换将波动方程问题转化为频域的Helmholtz方程,建立了源项与观测数据的积分等式.利用Fourier逆变换和一阶微分方程解的存在唯一性定理,证明了轨迹函数a(t)的存在唯一性.最后,利用积分不等式来分析反演a(t)的稳定性.
【总页数】5页(P428-432)
【作者】郭军;于群意;李瑞红
【作者单位】中南民族大学数学与统计学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.27
【相关文献】
1.具异号非线性源项波动方程的初边值问题
2.具非线性源项和阻尼项的波动方程Cauchy问题解的能量衰减性
3.一类具对数源项波动方程的初边值问题
4.具有多个非线性源项与临界初始状态的半线性波动方程的初边值问题
5.一类带有源项的拟线性波动方程的初边值问题
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波动方程推导过程
例 1.5 一柔软均匀的细弦, 一端固定, 另一端是弹性支承. 设该弦在阻力与速度成正比的介质 中作微小的横振动, 试写出弦的位移所满足的定解问题.
解: k, σ 为正常数
utt − a2uxx + kut = 0, u|t=0 = φ(x), ut|t=0 = u|x=0 = 0, (ux + σu)|x=l = 0.
解: 设弦长为 l, 取弦上端点为原点, 取铅垂向下的轴为 x 轴. 设 u(x, t) 为时刻 t, x 处的横向位 移. 取位于 (x, x + ∆x) 的微元进行分析, 由绝对柔软的假设, 弦的张力 T 的方向总是沿弦的切
线方向. 又由微小振动的假设 ux ≪ 1. 因此认为弦在振动过程中不伸长, 且张力 T 与时间无 关. 考察受力平衡 (α1, α2 为张力 T 的方向与竖直线的夹角)
第一章 波动方程
齐海涛 山东大学威海分校 数学与统计学院
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September 28, 2011
目录
1 方程的导出、定解条件
2
2 达朗贝尔公式、波的传播
4
3 初边值问题的分离变量法
7
4 高维波动方程的柯西问题
10
5 波的传播与衰减
13
6 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性
3
2 达朗贝尔公式、波的传播
例 2.1 证明方程
∂ [( x )2 ∂u ] 1 ( x )2 ∂2u
∂x
1− h
∂x
= a2
1− h
∂t2
(h > 0 常数)的通解可以写成
u = F(x − at) + G(x + at) , h−x