关于欧氏几何的第5公设及非欧几何
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何谢裕华秦敏雁施培成摘要：本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想及其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。
比较了三种几何的主要特征及适用范围。
关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。
一、关于Euclid的《Elements》欧几里得的《几何原本》早已失传，现存的有：1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。
2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的《原本》希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。
3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。
4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。
5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《几何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较大的修改，如删去了《原本》中的非几何部分内容，并将几何部分重新整理和编写。
把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了《新欧几里得几何原本》。
于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。
6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。
二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚（A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。
由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。
二、关于第5公设古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。
非欧几何的发现与建立的心路历程及其启示
非欧几何的发现与建立的心路历程及其启示摘要：简述非欧几何的创立——从数学内部矛盾的引发、提出反问题、演绎出一个“不合常理”的体系、证明这个体系和确立非欧几何.在此基础上，阐述其对数学科学研究和数学教育研究的重要意义和影响.关键词：非欧几何；欧氏几何；“第五公设”；历程；启示Thediscoveryandtheprocessoftheestablishmentofnon-Euclideangeometryandits’InspirationLI Yi，LIN Li-yun(Department of Mathematics，Zhangzhou Teachers’College，Zhangzhou 363000，China)Abstract: This paper describes the creation of non-Euclidean geometry——it causes by the internal contradictions of mathematics 、make a counter question、deductive a “Irrational” s ystem、prove this system and establish the non-Euclidean geometry. On this basis，it describes the research’significance and impact to the mathematics research and mathematics education research.Key words: non-Euclidean geometry; Euclidean geometry; “The fifth postulate”; process; Inspiration.非欧几何在数学发展史上具有重要的地位。
它打破了欧氏几何的权威，使得几何学得到极大扩展，尤其是将公理化方法表现得淋漓尽致.另外，非欧几何艰难的发现历程同样具有研究的价值.本文尝试重新阐述非欧几何发现的心路历程，力图寻找出发现所面对的困难以及解决所使用的方法论，从而揭示非欧几何创立的完整过程，但不拘泥于细枝末节.在此基础上，结合数学科学研究和数学教育研究，提出一些启示。
欧几里得第五公设问题：非欧几何的产生
欧⼏⾥得第五公设问题：⾮欧⼏何的产⽣关于欧⼏⾥得其⼈现在了解的很少.根据记载推断，欧⼏⾥得早年就学于雅典，在公元前三百年左右应托勒密王的邀请，在亚历⼭⼤城从事教学⼯作，传说他是⼀位温良敦厚的教育家，曾受教于柏拉图的“雅典学院”，深得柏拉图⼏何学的真传。
据传托勒密王曾问欧⼏⾥得有⽆学习⼏何的捷径，欧⼏⾥得回答说：“⼏何学⽆王者之道”。
另⼀则轶事说，⼀次⼀个学⽣刚学了第⼀个⼏何命题就问：“学了这些我能获得什么呢？”欧⼏⾥得叫来⼀个仆⼈吩咐说：“给这位先⽣三个分币，因为他⼀门⼼思从学过的东西中捞点什么。
”欧⼏⾥得写过不少数学、天⽂、光学和⾳乐⽅⾯的著作，现存的有《原本》、《数据》、《论剖分》、《现象》、《光学》、和《镜⾯反射》等，还有⼀些仅知其名内容失传的著作如《圆锥曲线》、《衍论》、《曲⾯轨迹》、《辩伪书》等。
所有的著作中，最重要的莫过于《原本》。
关于《原本》原始的⼿稿已不存在了，只有后来的⼀些修订本。
从1482年到19世纪末，它已⽤各种⽂字出了⼀千版以上，除《圣经》以外没有任何其他著作，其研究、使⽤和传播之⼴泛能够与它相⽐。
《原本》的中⽂译本为《⼏何原本》，它的英⽂原名为《Elements》，应译作《原本》，《⼏何原本》中的“⼏何”⼆字是利玛窦和徐光启在1307年翻译成中⽂时加上去的。
《原本》并不是单纯地讲⼏何，还包括了⼏何数论和初等代数的⼀些内容。
《原本》共⼗三篇（后来有⼈⼜附加了两篇），包括5条公理、5条公设、119个定义和465个命题。
其中公理和共设的区分是采⽤亚⾥⼠多德的⽅法，同时沿⽤当时尺规作图的演绎证明的思想。
另外，由于毕达哥拉斯学派的不可公度量的发现造成很⼤困难，《原本》中采⽤⽐例理论，把基础建⽴在⼏何直观上，避免了⽆理数所造成的困境。
《原本》中的公设是指只适⽤于⼏何的真理，包括5个：1、从任⼀点到任⼀点作直线（是可能的）；2、把有限直线不断循直线延长（是可能的）；3、以任⼀点为中⼼和任⼀距离[为半径]作⼀园（是可能的）；4、所有直⾓彼此相等；5、若⼀直线与两直线相交，且若同侧所交两内⾓之和⼩于两直⾓，则两直线⽆限延长后必相交于该侧的⼀点。
从第五公设的怀疑到罗氏几何的创建
非欧几何的诞生 非欧几何的正式诞生，应归功于高斯、鲍耶、罗巴契夫斯基。正如沃尔夫岗. 鲍耶说的那样： “许多东西似乎都有一个时机，时机一到就在几个不同地方被发 现，好像春天的紫兰罗处处开放一样。”高斯、鲍耶、罗巴契夫斯基几乎同时单 独发现了非欧几何。由于以罗巴切夫斯基的发展最为完善，所以称为罗氏几何。 但也不能完全否认高斯和鲍耶的工作贡献。 高斯最早在1799年开始意识到平行公 设不能从其他的欧几里得公理推出来， 他认识到非欧几何最大的事实是他可以描 述物质空间，像欧式几何一样的正确，后者不是物质空间所必然有的几何，它的 物质真理不能以先验理由来保证，这种认识不需要任何技术性的数学推导。这种 超前的认识对于数学发展起到很大的影响， 也是对人们形成的固执观念一个很大 的挑战。因此对于自己的成果，高斯一直迟迟未公布。我们可以想象被人们称为
图1Leabharlann 图2萨凯里其次考虑了第三个假设，并证明了许多有趣的定理，他继续进行直到 得出如下定理：已知任一点 A 与一条直线 b（图2），在锐角假设下，在过 A 的
直线族中，有两直线 p、q，把直线族分成两部分，第一部分包含在 b 相交的那 些直线，第二部分包含的那些直线（在α 角里面）将在直线 b 上某处和 b 有公垂 线，直线 p 与 q 本身都渐进于 b。如果我们把过 A 任意延长后也不会相交的直线 都称为平行线， 则过 A 可以作无穷条与 b 平行的直线。虽然萨凯里的证明没有得 到任何矛盾， 但他却发现这个结论与其他结论不大合情理，于是他花大量的篇幅 论证锐角假设绝对不真。但在今天看来，锐角假设是成立，它就是罗巴切夫斯基 几何的基础之一。 将第五公设研究推进一步的是兰伯特，他在对平行公理的研究上和萨凯里一 样，考虑一个四边形，他的三个角是直角，并研究第四个角是直角、钝角和锐角 的可能性。直角假设仍然给出欧几里得几何，钝角假设会给出矛盾（此处不给证 明，可参考齐民友《数学与文化》第一版134页证明过程）。锐角假设下得到的 结论和萨凯里的差不多， 但是和萨凯里不同的是，他不认为锐角假设导出的结论 是错误的，他曾断定，锐角假设将对虚球面（即半径为虚数的球面）成立。兰伯 特不同于萨凯里的认识， 最先指出了通过替换平行公设而展开新的几何学的道路。 萨凯里、兰伯特实际上已经走到了非欧几何的门槛，但由于时代的限制、欧 几里得几何千年传统的束缚， 他们并未跨越进去。新几何的诞生需要更强大的创 造者。
欧式几何的第五公理
欧式几何的第五公理（原创版）目录1.欧式几何的概述2.欧式几何的第五公理3.第五公理与其他公理的关系4.第五公理的独立性证明5.第五公理在几何中的应用6.非欧几何的概述7.结论正文一、欧式几何的概述欧式几何，又称为欧几里得几何，是一种基于公理的几何体系。
它由古希腊数学家欧几里得所创立，主要研究空间中点、线、面的性质及其相互关系。
欧式几何有五大公理，这五大公理互相独立，可以推导出欧式几何的所有定理和结论。
二、欧式几何的第五公理欧式几何的第五公理是：“若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
”这个公理描述了直线相交的性质，是欧式几何中的一个基本假设。
三、第五公理与其他公理的关系欧式几何的五大公理是相互独立的，它们共同构成了欧式几何的公理体系。
第五公理与其他公理没有直接的逻辑联系，但是它与其他公理一起，为欧式几何的研究提供了基本的理论基础。
四、第五公理的独立性证明19 世纪时，数学家 Eugenio Beltrami 证明了第五公设与前四个公理是相互独立的，即不能由前四个公理所证明。
这意味着第五公理是欧式几何体系中不可或缺的一个基本假设。
五、第五公理在几何中的应用第五公理在欧式几何中有广泛的应用，它推导出了许多重要的几何定理和结论。
例如，通过第五公理，可以证明同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于 180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
六、非欧几何的概述非欧几何是指不遵循欧式几何的第五公理的几何体系，它包括罗氏几何、黎曼几何等。
非欧几何在数学、物理和工程领域中有广泛的应用，它们是欧式几何的重要推广和发展。
七、结论总之，欧式几何的第五公理是欧式几何体系中的一个基本假设，它与其他公理相互独立，为欧式几何的研究提供了基本的理论基础。
第五公理在几何中有广泛的应用，它推导出了许多重要的几何定理和结论。
欧氏几何与非欧几何
欧氏几何欧几里得几何学,简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。
欧几里得他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础。
19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系。
从此人们把满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学。
特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用。
凡与平行公理有关的命题，都是欧几里得几何学的结论。
如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立。
1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采用几何变换对各种几何进行分类。
指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就相应有一种几何学。
在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量。
根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运动变换下)不变的科学。
欧几里得著有《几何原本》一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。
《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。
在第1卷开始他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度; ③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。
在定义之后，有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。
第五公设的早期探索（上篇）
第五公设的早期探索（上篇）细心的读者也许注意到了，在介绍欧几里得与《几何原本》时，有一条也许是整部《几何原本》中最吸引眼球的命题未曾展开说明，那便是大名鼎鼎的“公设5”——也即第五公设。
不过当时说过“不久之后会有单独介绍”，现在就让我们兑现许诺，来介绍一下第五公设及对它的探索。
为避免偏离时间顺序太远，我们的介绍将只涵盖早期探索—确切地说，是所谓非欧几何诞生之前的探索。
至于非欧几何，则将留作未来话题。
第五公设之所以引发探索，在一定程度上是拜五条公设的表述繁简之别所赐。
为了看清这一点，我们将《几何原本》中的五条公设罗列于此：1. 在任意两点之间可作一直线。
2. 线段（有限直线）可任意延长。
3. 以任意中心及任意距离（为半径）可作一圆。
4. 所有直角彼此相等。
5. 若一条直线与两条直线相交，且同侧的内角之和小于两直角，则那两条直线任意延长后会在内角之和小于两直角的一侧相交。
既然罗列了公设，那么顺便说明一下，《几何原本》对公设的表述有一些细节上的瑕疵。
比如有些隐含之意未被述及。
具体地说，公设1没有述及在任意两点之间可作的直线是唯一的，公设2没有述及线段延长的方式是唯一的，第五公设未述及三条直线位于同一平面这一先决条件。
此外，同时使用“直线”和“有限直线”这两个术语，似乎意味着“直线”是无限的，其实却不然—否则就不会有第五公设中“两条直线任意延长”的说法了。
但撇开瑕疵不论，任何读到上述五条公设的人几乎必然会注意到的一个特点是：第五公设与前四条公设相比实在太繁复了，简直就像一条定理。
虽然从逻辑上讲，公设（以及公理和定义）无非是一个公理体系的推理起点，繁复与否并不妨碍功能。
但自古以来，对公设（以及公理）的一个重要判据就是自明性—或者用亚里士多德的话说，必须是明显为真却无法证明的命题，而表述繁复会损及自明性。
第五公设是欧几里得几何（平面几何1）与非欧几何（球面几何2、双曲几何3）的分野：在球面几何（又称黎曼几何）中，过直线外的任意一点没有直线能与之平行；在双曲几何（又称罗巴切夫斯基几何）中，过直线外的任意一点至少有两条直线与之平行。
第五公设与非欧几何
第五公设与非欧几何第五公设指欧几里得几何《原本》中的第五公设，其内容为：在同一平面上，若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必交于该侧的一点．图11、欧几里得第五公设的试证古代数学家很早就注意到欧几里得几何《原本》有逻辑的缺点，他们经过两千年的努力来消除它．首先是针对公理系统，一方面是增加或改换公理，另一方面是试证第五公设．第五公设的试证在几何史上占极重要的地位．因试证第五公设而发现了非欧几何，以致引起我们对几何学观点的根本改变．欧几里得以后的两千年间，几乎所有的大数学家都曾试证过第五公设．原因是：它看起来较其他公设性质复杂，而且在《原本》中应用很迟，到第29个命题才第一次应用．因此人们怀疑它是否可做为定理来证明，即只根据其它公理和《原本》中前28个命题来证明．谈到某一命题的数学证明，就是说要根据采用的公理系统纯逻辑地导出它，只能用公理或用由公理已证明的定理做根据．但如前所述，欧几里得没有完善的公理系统，因此这些试证者不能充分明显地提出问题．实际上，第五公设的试证就是要使它成为绝对几何的逻辑推论．本文后面将证明：这是不可能的．因此两千年对第五公设的试证都失败了，这些证明都或明或暗地引用了和第五公设等价的命题，即导入新的假设（公理）以替换第五公设，这类议论不能称为第五公设的证明．直到十九世纪末才有几何学近代公理法的出现，在这以前，如何辨别几何学中证明的合理性，并无清楚的准绳．因此在一定程度上，第五公设的每个试证者会自以为他的假设是合理的，后来才知道所有这些证明都是站不住脚的．这使许多数学家怀疑：（从绝对几何）证明第五公设是可能的吗？这怀疑引导到积极的结果——非欧几何的发现．2、非欧几何的产生任何较大的数学分支甚或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作．这种数学积累的发展特别适用于非欧几何．我们已介绍非欧几何的先驱者萨开里、伦倍特的工作，还有须外卡尔特（F.K.Schweikart，1780—1859年）研究他称为的星空几何，他外甥托里努斯（F.A.Taurinus，1794—1874年）继续研究星空几何，还有其他人，可称非欧几何的先驱者．至于说到非欧几何的创造者，那就要说到高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855年，德国人），约翰·鲍耶（Johann Bolyai 1802－1860年，匈牙利人）和罗巴切夫斯基（nikolai I vanovich Lobatchevsky，1793—1856年，俄国人）了．被同时代人称为“数学家之王”的高斯，一生中从未出版过非欧几何的著作．在他死后，人们从他和一些数学家的通信以及他的遗稿中，才知道他由试证第五公设到发现新几何．他最初称为反欧几何，后称星空几何，最后称非欧几何．1824年他给托里努斯的信上说：“三角形的三角之和小于180°，这假定导引到特殊的、与我们的几何完全相异的几何．这几何是完全一贯的，并且我发现它本身，结果完全令人满意．除了某一常数的值不能先天地予以表示定义而外，在这几何里我能解决任何课题．我们给予这常数值愈大，则愈接近于欧几里得几何，而且它的无穷大值会使双方系统合而为一．”为了检验这两种几何应用的可能性，高斯测量了三个山峰构成的三角形（三边为69，85与197公里）的内角之和．由于实验误差相对太大，这实验没有证明任何结论．高斯为了“害怕引起愚人的喊声”而终生未出版他的非欧几何研究著作．约翰·鲍耶是数学家伏尔夫刚·鲍耶（Wolfgang Farkas Bolyai 1775—1856年，匈牙利人）之子．他没有听从他父亲阻止他试证第五公设的劝告，因而发现了新几何．1823年（当时他21岁）他写信给父亲说：“我坚决地决定出版自己的关于平行线的著作，……，我已经从乌有创造了整个世界”．1832年出版了约翰·鲍耶的著作，以附录形式附在他父亲的一本书后发表．“附录”的拉丁文是appendix；所以约翰·鲍耶的工作在数学文献上获得了“亚编原克斯”的称呼，它的真名很长：《叙述着关于一个和欧几里得第十一公理（注：即第五公设）的真伪无关的空间的绝对真实性的学说……》．伏尔夫刚·鲍耶把这附录送给知友高斯评阅．高斯回信说：他不能称赞约翰的工作，“称赞他等于称赞我自己，因为这研究的一切内容，你儿子所采用的方法和他所达到的一些结果几乎全部和我的一部分在30～35年前已开始的个人沉思相符合的缘故．我真是被这些所恐骇到顶点了．关于我自己的著作，虽只有一小部分已经写好，但我的目标本来是一生里不愿发表的．大多数人对于那里所讨论的问题都抱着不正确的态度；我仅发觉少数人听了我和他们谈这件事，觉得有兴趣……．我的目标在于把它统写下来，免得和我一同湮没．使我快乐地感到惊奇的是现在可以免去这劳力的耗费，并且特别高兴的，在我的前面有这样惊异的姿态的人正是老友的儿子”．约翰对这评语感到沉重．他不相信别人比他更早达到同一结果，认定了高斯在这个发现上要夺优先权．高斯从来没有公开表扬过约翰的工作．约翰由于没有获得任何人的理解、同情和精神上的支援而陷入失望，并且抛弃了一切数学研究．俄罗斯数学家罗巴切夫斯基最初也企图用归谬法来证明第五公设．他企图由否定“同一直线的垂线和斜线必相交”这个命题引出矛盾，但推论一个接着一个，形成了一个新的几何系统，逻辑上并无任何矛盾．于是他开始相信第五公设问题不能只用逻辑的方法来彻底解决，而必须依靠实验．他于1835年写道：“从欧几里得时起二千年来枉费心机的努力，不得不使我怀疑在这概念本身中并不曾含有那种真理，就是我们想要证明的，并且象其他物理定律那样只能用实验（譬如说天文观察）来证实的真理．终于深信我的揣度是正确的，而且认为困难的问题已经完全得到解决，我乃在1826年就此问题写成了论文”．（见他的全集，卷二，1949年俄文版第147页）．1826年2月11日罗巴切夫斯基在喀山大学数理系宣读了他的关于这种新几何学的报告《关于几何原理的议论》．这一天被认为是非欧几何的诞生日．其后，他陆续出版了许多叙述这种新几何的著作：《关于几何原本》（1829年），《想像中的几何》（1835年），《想像中的几何在某些积分上的应用》（1836年），《具有完全平行线论的几何原本》（1835—1838年），《关于平行线论的几何研究》及其他．直到逝世前一年（1855年），他几乎失明了，还通过口授写了俄文和法文的著作《汎几何》．罗巴切夫基在科学的世界观里的唯物主义倾向，对于他创立这种新几何起了重要的作用．为了验证两种几何谁能更正确地反映现实空间的属性，他进行了天文观察．但是，限于仪器的精确度，他没有得到确定的答案．虽然如此，他用实践来检验理论的作法是正确的．他曾强调说：“……打算不依靠宇宙物质而仅从理智本身之中产生出来的一切数学原理，对于数学是毫无用处的”．（《H.II.罗巴切斯基传记的材料》，苏联科学出版社1948年版，204页）．可见，形式主义者把罗巴切夫斯基的发现看作“逻辑演习”和“理智游戏”的结果，这种看法是完全错误的．罗巴切夫斯基几何（以后简称罗氏几何）将在后面“附”中系统地介绍．但为了说明为什么这发现不被他同时代的绝大多数数学家所理解，以及说明这发现的意义，我们此处简单介绍部分内容．从欧几里得第五公设立刻推得定理：通过直线AB外的一点C，在平面ABC上可引一条且仅一条直线，使其与直线AB不相交．罗巴切夫斯基首先导入相反的新假设（以代替第五公设），即：通过直线AB外的一点C，在平面ABC上可引无数直线CG，使其和直线AB都不相交（如下图2）．同AB不交的这些直线与同AB相交的那些直线CM是由两条界限直线CE与CF所分隔开的，而CE和CF也都不和AB相交．两界限直线与AB的垂线CD构成同一角度ω．罗巴切夫斯基称这两界限直线为AB的平行线．CE沿A到B的方向平行于AB，而CF沿B到A方向平行于BA．ω＝∠DCE＝∠DCF称为对应于线段DC 的平行角．显然ω＝90°．我们立刻可见：欧几里得第五公设不成立（因为∠BDC＝90°，它与ω的和小于180°）．于是那些和第五公设等价的命题都不成立．于是后面可以证明：三角形内角和小于180°；矩形不存在；相似而不合同的图形不存在；两条不相交的直线间的距离不是常数且可以无限增大．图2罗巴切夫斯基发现了平行角ω和线段x＝CD之间的关系cot＝其中ρ为常数，称为罗巴切夫斯基空间的曲率半径．由这方程知：当x从0单调增加到ln2时，ω则从90°单调减少到0．罗巴切夫斯基的假设和它的推论从直觉来看是不合理的，这就引起了他同时代的人对他的几何的不信任，甚至讽刺、嘲笑．罗巴切夫斯基不顾别人嘲讽而勇敢为新几何奋斗．但是，在他生前，新几何未得世人承认．他死后，十九世纪六十年代高斯通信录出版了，其中对罗巴切夫斯基的著作给予高度评价，引起了人们的注意．1868年（即罗氏死后十三年），意大利数学家柏尔特拉米（Beltrami，1835—1900年），发表了论文《非欧几何的实际解释》，证明了罗氏平面几何的片段可实现于欧氏空间，即拟球面上的内在几何的片段．1870年，德国数学家克莱因（F.Klein1849—1925年）解决了罗氏几何全平面或全空间的实现问题，罗氏几何和欧氏几何一样没有矛盾的事实已证明了，罗氏几何最后获得了应得的承认．同时这也确定了：第五公设是不可能证明的．3、非欧几何与现代数学十九世纪数学有许多积极的发展．在几何方面，几何基础、微分几何和射影几何三支的发展道路起初相隔很远，但到十九世纪末却非常接近了，某些部分甚至会合在一起了，这使一些古老的几何问题放出光芒，还揭露了许多新问题．罗氏几何的创立不仅解决了第五公设的独立性问题，更重要的是：它扩大了对几何本身意义的认识．自从第一种非欧几何——罗氏几何的思想获得承认以后，几何学的发展便开始了繁荣的新时期，几何对象的推广，即抽象空间概念的形成，在数学的近代阶段中起了巨大的作用．开始的一个重要结果是由德国数学家黎曼（B.Riemann，1826—1866年）得到的．他1854年在哥丁根大学的讲演《关于作为几何学基础的假设》中提出了另一种非欧几何——黎曼几何．这种理论的形式演算叙述在他的应用于热传导问题的另一著作中．所以黎曼几何的产生与数学物理密切相关．这种几何在黎曼生前也未得到应有的估价．它有着比罗氏几何更加奇特的性质：共面任二直线都相交，三角形的内角和大于180°，等等．1872年克莱因在他的讲演《最新几何研究的比较评论》中（这演讲包含在《爱尔兰根纲领》里），给出了欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何在射影几何基础上的新的解释．到十九世纪末，黎曼几何已有很大的发展及应用，其他非欧几何也相继出现了．特别是二十世纪初期，非欧几何的研究对于那时发生的空间和时间的物理观念的改革起了重大作用．1915年爱因斯坦开始建立的广义相对论中假设：万有引力场显露在“弯曲”的时空流形中．这个四度空间的度量和欧氏空间的度量有差别，万有引力场由某个流形的黎曼几何来表示．因为有了黎曼几何这件工具才克服了建立广义相对论时所遇到的数学上的困难．有的学者（特别是B.A.福克）的研究表明：罗氏几何概念在天体物理、原子物理中都有应用，非欧几何可以直接用到物理学上去这个事实，促成了几何学理论进一步的发展．非欧几何在分析和代数方面的应用也胜过了欧氏几何，罗巴切夫斯基曾写道：“新的几何学……在几何学与分析学的互相应用上，开拓了新的、广大的园地”．（见他的《关于几何原本》一书）．他求出在罗氏空间表示弧长、曲面的面积、体积的积分，得出许多积分运算的新公式．这些公式若用直接运算来证实是很费力的，更不用说直接得到它们了．其后，法国数学家潘加来（H.Poincare 1854—1912年）用罗氏几何研究一种解析函数——自守（automorphic）函数，使它的基本区域变得简单而易于观察．对各种非欧几何的探讨扩大了几何在一般数学上的应用．又反过来对几何的发展起了促进作用．此外，罗氏几何产生的最重要的结果之一，是促进了对几何学基础的研究．后来又引起了对别的数学分支的基础的研究．公理方法已经成为现代数学的主要方法之一，它开始是由几何学基础的研究而发展起来的．数学发展的现代阶段的开端，特别是现代几何学的开端，通常以罗氏几何的发现作为其标志之一．附：罗氏几何一、罗氏平行公理及其推论由于罗巴切夫斯基保留了欧几里德几何公理体系中除了平行公理以外的全部公理，因此欧几里得几何（以下简称欧氏几何）中不牵涉平行公理的全部内容对罗氏几何也适用．不过，从平行线的定义开始，由于平行公理被罗氏平行公理所替代，罗氏几何的内容就与欧氏几何大不相同了．从此，我们将进入一个陌生的新世界．下面先说明罗氏几何中平行线的概念．罗氏平行公理过已知直线外一点至少可以作两条直线与已知直线不相交．设A是直线a外一点，根据罗氏公理，过A至少有两条直线BAB′和CAC′与a不相交．根据罗氏公理，可证明任何通过A并且介于直线BB′和CC′之间的直线b都与a 不相交，因此得到：推论过已知直线外一点可以作无数条直线与已知直线不相交（如下图3）．图3根据以上分析，过已知直线a外一点A的所有直线可以分成两类：（1）与已知直线a不相交的直线．（2）与已知直线a相交的直线．根据连续公理，这两类直线必存在分界线，例如下图中的直线MAM′和NAN′．我们就把它们定义为：过A点平行于直线a的直线．设AD⊥a，垂足是D，沿AD把左半平面折叠到右半平面上，则平行于a的直线AM图4（即分界线）必须重合于平行于a的直线AN．因此，过A并且平行于a的两条直线MAM′和NAN′对于a的垂线AD是对称的，它们与AD的夹角相等，即∠MAD＝∠NAD罗巴切夫斯基把这两个角叫做平行角，记成π（p），其中p是垂线AD之长，π（p）可以看成一个函数，自变量是A点，到直线a的距离p，函数值是过A平行a的直线的平行角．罗氏几何和我们所熟悉的欧氏几何有哪些不同呢？下面列表来对比一下它们主要的区别：欧氏几何罗氏几何三角形的内角和等于180°三角形的内角和小于180°并且不同的三角形有不同的内角和凸四边形的内角和等于360°凸四边形的内角和小于360°存在矩形不存在矩形存在相似形不存在相似形两三角形的三对角相等，则相似两三角形的三对角相等，则合同两平行线之间的距离处处相等两平行线之间的距离沿平行线的方向越来越小垂直锐角的一条边的直线总与角的另一边相交垂直锐角的一条边的直线不一定与角的另一边相交二、罗氏平面的模型为了证明罗氏几何的公理体系是相容的，在这一节中，我们特给出罗氏平面的两种模型．（1）罗氏平面的庞加莱（Poincare）模型．我们把坐标平面的上半部叫做罗氏平面，圆心在x轴上的半圆或垂直于x轴的射线叫做罗氏直线（图5）．下面再给出罗氏“平行”的概念．如果两条罗氏直线相切，而且切点在x轴上，则我们认为这两条罗氏直线是平行的．从这个意义上来说，我们可以把x轴看成罗氏平面上的无穷远线（图6）．图5图6给出一条罗氏直线a和线外一点A，显然过A点只能作两条罗氏直线b和c与a平行（图7）．因此在这个模型上，罗氏平行公理成立．图7（2）罗氏平面的克莱因（Klein）模型．把一个给定的圆的内部看成罗氏平面，把圆周看成罗氏平面的无穷远线，所谓罗氏直线就是这个圆的弦，如果两条罗氏直线（即两条弦）交于圆周（即无穷远线）上，则认为它们是平行的（图8）．图8显然在上述模型中，罗氏公理是成立的，因为给定一条罗氏直线a和线外一点A，很清楚过A点可以且只可以作两条罗氏直线（即两条弦）交于圆周（即无穷远线上），我们认为它们与a是平行的．现在，再来指出勒让德尔的错误，考虑△BAC中一点D（见图8的右图），我们不可能过D作一条直线既与AB边相交又与AC边相交．。
欧式几何
欧式几何932年，德国数学家希尔伯特终于出来宣布：“根据平行公理之外的公理来证明平行公理的尝试已经有两千多年(直到20世纪初)，始终未获成功。
双曲几何(非欧几何)模型的发现，揭露出这种证明的不可能性”(《直观几何》)。
一.第五公设，两千年来被公认的无法证明的公设。
欧几里得第五公设，也称为平行公设（parallel postulate），因是《几何原本》五条公设的第五条而得名。
这是欧几里得几何一条与别不同的公理，比前四条复杂。
公设是说：如果一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。
其被称为不可证明。
原因有二。
(一)。
因为他与平行公设等价。
任何与平行线有关的证明方法与他无关。
Playfair 公理。
平行公设。
给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。
于是很多我们熟悉的命题都对他无效。
如：三角形内角和为两直角。
所有三角形的内角和都相等。
存在一对相似但不全等的三角形。
所有三角形都有外接圆。
.若四边形三个内角是直角，那么第四个内角也是直角。
存在一对等距的直线。
若两条直线都平行于第三条，那么这两条直线也平行。
三角形内角和为180度。
总而言之，他对一切与平行有关的定理“免疫”(二)。
它是欧几里得几何的五条基本公设之一，十大公理之一。
除了其余的九条，我们不能用其他的“几何”结论去证明此公设。
欧式几何的五条公设是：1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延伸成一条直线。
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
欧式几何的五条公理是：1、等于同量的量彼此相等。
2、等量加等量，其和仍相等。
3、等量减等量，其差仍相等。
4、彼此能够重合的物体是全等的。
5、整体大于部分。
二.证明方法：好了我们的限制条件已经很清楚了。
欧式几何的第五公理
欧式几何的第五公理欧式几何的第五公理，也被称为平行公理，是欧几里德在其《几何原本》中提出的一个重要命题。
它表明了平行线的存在性和唯一性，为欧式几何体系的完备性提供了基础。
在欧式几何中，我们知道两条直线如果不相交，则它们要么平行于彼此，要么相交于无穷远处。
然而，在前四条公理中，并没有明确规定平行线的存在性和唯一性。
因此，第五公理的提出填补了这一空缺。
第五公理可以表述为：通过一点外一直线上存在且只存在一条与该直线平行的直线。
这意味着对于给定的一点和一条直线，我们可以通过该点作出唯一一条与给定直线平行的直线。
这个公理看似简单，但却具有深远的影响。
它为我们提供了处理平行关系的基本工具，并且在实际应用中具有广泛的应用价值。
首先，第五公理使得我们能够研究和证明关于平行线性质的定理。
例如，在证明两条平行线之间夹角相等时，我们可以利用第五公理来构造辅助线，并通过辅助线的性质来推导出结论。
其次，第五公理也为我们提供了解决实际问题的方法。
在建筑、工程和地理测量等领域，平行线的概念被广泛应用。
例如，在设计一座桥梁时，我们需要确保桥墩之间的支撑柱是平行的，以保证结构的稳定性。
而在地理测量中，我们需要利用平行线来确定地球上不同地点之间的距离和方位。
此外，第五公理还为我们提供了一种思考空间结构和性质的方法。
通过研究平行线与其他几何图形之间的关系，我们可以深入探讨空间中的对称性、相似性和共面性等概念。
总之，欧式几何的第五公理是欧几里德几何体系中不可或缺的一部分。
它为我们提供了处理平行关系、解决实际问题以及思考空间结构和性质的基本工具。
通过深入研究和应用第五公理，我们可以更好地理解欧式几何体系，并将其应用于实际生活中。
非欧几何的诞生
1.第五公设的疑问及其研究
人们主要从三个方面研究平行公理。 1. 试图给出新的平行线定义以绕开这个
困难； 2. 试图用比平行公理缺点更少的其他公
理取代它；（等价或包含）； 3. 用其它9个公理或公设去证明它！
1.第五公设的疑问及其研究
在进行第二项工作的研究中，人们发现了 许多与第五公设等价的命题，证明其一便 相当于证明了第五公设。
数学欣赏
1.第五公设的疑问及其研究
欧氏几何的公理体系出现在欧几里 得的《几何原本》中，在其之后的2200 后，希尔伯特在《几何基础》加以完善。 其间，许多数学家作了许多公理体系的 完备性工作。
1.第五公设的疑问及其研究
在欧氏几何体系中，作为其基石的五 个公理以及五个公设中的前4个都是容易被 认同的。但是，对于第五公设，却没有那 么简单明了，它很像一条定理，而且很少 被使用，因为人们发现即使欧几里德本人 也尽量避免使用它。于是，《几何原本》 一问世，人们很快就希望能够消除这种困 惑。
比如：
平行公理：过直线外一点可以作唯一一条 直线与之平行；
三角形内角和定理：三角形内角和等于 180度。
1.第五公设的疑问及其研究
第三项问题得到的研究最多，人们 为此努力了两千多年，花费了无数数学 家的心血，但终究没有成功。
2.非欧几何的诞生
19世纪，德国数学家高斯、俄罗斯数学 家罗巴切夫斯基和德国数学家黎曼等人，在 用反证法研究第三项问题时，试图推出矛盾， 但却没有。即，假设第五公理不成立，结果 并不会出现矛盾！
数学欣赏
2.非欧几何的诞生
鲍 耶 (Bolyai﹐ Janos)
1802 年12月15 日生于匈牙 利特兰尼西瓦亚的科罗日 瓦 (Kolozsvar)( 今 罗 马 尼 亚 卢日)；1860 年1 月17 日卒 于匈牙利毛罗什瓦萨尔海 伊 (今罗马尼亚特古穆列什)。
几何学：第五公设——公理化方法
二．《原本》：（Elements ）
版本：888年希腊文抄本， 1294年拉丁文手抄本， 1350年阿拉伯文手抄本， 1480年最早拉丁文印刷本， 1570年英译本， 1607年、1857年、1990年中译本， 1655年Barrow拉丁文译本， 1925年T.LHeath英译本。
内容：
巴比伦 古埃及
4°若 ABC=ABD+BDC,则( ABC)¯=( ABD)¯+( BDC)¯. 5°若 ABC = AB`C`+B`C`CB，则( AB`C`)¯( ABC)¯． 6°若 Rt ABC , Rt A`B`C `, 满足AB A`B`, AC A`C`,
且 (RtABC)= ，则 (RtA`B`C `)= ．
由Pasch公理，b不过A`Bn，必过BBn，即b与a交于AB右侧。
例4．Saccheri（1667~1733）
Lambert（1728~1777）
结论：1）Sa /2 2）Sa = /2 第5公设 3）Sa /2 ()
4）若 Sa□使Sa /2 则 Sa□有Sa /2
La /2 La = /2 第5公设
不平行：
作AB=BB1， AB1=，AB2=B2B3，．．．．．．．．．
ABn-1=Bn-1Bn ， ( ) = ， BB1A= /4,， B1B2A=(1/2)² /2， B2B3A=(1/2)³ /2
几何中的非欧几何和几何证明
几何中的非欧几何和几何证明几何学作为数学的一个重要分支，研究着空间和形状的关系。
传统欧几何中，我们通常研究的是平面几何和立体几何，但在20世纪，人们开始发现了非欧几何的存在，它颠覆了我们对传统几何的认识并带来了新的思维方式。
非欧几何的出现不仅丰富了几何学的研究领域，也对几何证明提出了新的挑战。
一、非欧几何的基本概念非欧几何诞生于19世纪，它与欧几何最大的区别在于第五公设的不同。
在欧几何中，第五公设也被称为平行公设，它规定了通过一点外一直线上的平行线只有一条。
而在非欧几何中，第五公设被拓展了，提出了多种关于平行线的不同假设。
这就导致了非欧几何与欧几何有着不同的几何性质。
非欧几何的两个经典例子是椭圆几何和双曲几何。
椭圆几何是典型的非欧几何，它的特点是不存在平行线，任意两条直线都会相交。
而双曲几何则是另一种非欧几何，它的特点是存在无数条平行线，且相交角的和小于180度。
二、非欧几何的影响和应用非欧几何的提出对几何学的发展产生了深远的影响。
首先，非欧几何推动了数学的发展。
它挑战了传统几何的思维方式，促使数学家们重新思考几何的基本原理和公设。
这对后来的研究起到了积极的推动作用，并且促成了更加深入的几何学研究。
其次，非欧几何对物理学的发展也有一定的贡献。
爱因斯坦的广义相对论理论中，空间被看作是弯曲的，而非欧几何正是提供了一种新的模型来描述这种弯曲的空间，从而有助于解释物理现象。
因此，非欧几何为物理学的发展提供了新的视角。
此外，非欧几何还在现代通信、计算机图形学等领域得到了广泛应用。
在通信领域，非欧几何被用来研究信号传输中的误差控制和编码技术。
在计算机图形学中，非欧几何被应用于三维模型的建模和渲染，能够更加真实地反映物体之间的关系。
三、几何证明的挑战几何证明是几何学的重要部分，它通过推理和逻辑推断来证明几何定理的正确性。
在传统欧几何中，几何证明的过程通常基于欧几里德几何的公理和定理，逻辑推理比较简单明确。
然而，在非欧几何中，几何证明面临着更大的挑战。
非欧几里得几何
几何原本第五公设1.由任意一點到任意一點可作直線。
2.一條有限直線可以繼續延長。
3.以任意點為心及任意的距離可以畫圓。
4.凡直角都相等。
∙第一，第五公设不能被证明。
∙第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。
这个理论像欧氏几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。
这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗氏几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
鲍耶和高斯的贡献几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。
鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。
他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。
但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。
终于在1832年，在他的父亲的一本著作裡，以附录的形式发表了研究结果。
高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。
但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。
非欧几何分类按几何特性（曲率），现存非欧几何的类型可以概括如下：这三种几何学，都是常曲率空间中的几何学，分别对应曲率为0、负常数和正常数的情况。
如果完全去掉第五公设，就得到更加一般化的绝对几何。
这种几何不仅可以囊括前面提到的三种几何，而且允许空间的不同位置有不同的曲率。
黎曼几何是描述任意维数任意弯曲的绝对几何空间的一种微分解析几何学。
一般来讲，非欧几何有广义、狭义、通常意义三个不同含义:∙广义的非欧几何：泛指一切和欧几里得几何不同的几何学；∙狭义的非欧几何：只是指罗式几何或黎曼几何；∙通常意义的非欧几何：指罗式几何和黎曼几何二者。
非欧几何的基本特点
非欧几何的基本特点非欧几何是对传统欧几何的扩展与挑战，主要研究那些不遵循欧几里得第五公设（平行公设）的几何结构。
这种几何体系的提出，对数学、物理、哲学等领域产生了深远影响。
本文将从非欧几何的定义、基本特点、主要分支及其应用等方面进行详细探讨。
非欧几何的定义非欧几何是指不满足欧几里得几何中“通过平面上某一点，且不在直线上，可以画一条唯一的平行线”的公设的几何。
它建立了一种新颖的空间观念，揭示了在不同公理体系下，几何形状和性质可以发生剧变。
例如，在非欧几何中，平行线不是唯一的，因此形成了全新的数学结构和思维模式。
基本特点1. 平行公设的替代非欧几何最显著的特点就是对平行公设的替代。
在欧几里得几何中，只允许存在一条平行线通过一点，而在非欧几何中，这一限制被打破：超球面几何: 在球面上，任何两条直线（大圆）相交，因此不存在平行线。
双曲几何: 在双曲面上，对于一个给定点，可以画出无限多条不相交于该点的直线。
这种对平行线多样性的探索，使得非欧几何成为数学研究的重要领域。
2. 三角形和内角和单位三角形内角和在不同的非欧空间中表现出截然不同的特性：球面几何: 三角形内角和大于180度。
如在极地附近，三角形可以有较大的内角，例如近乎183度。
双曲几何: 三角形内角和小于180度。
例如，通过适当设定，可以构造出一个仅有90度内角和的小三角形。
以上特性使得研究三角形成为了非欧几何的重要内容，不同形式下三角形性质的变化为其提供了丰富的研究方向。
3. 空间结构与距离概念在非欧几何中，空间结构和距离的定义也与传统意义上有所不同。
例如：在球面几何中，距离通常由弧长来测量，而不是在平面上的直线距离。
在双曲空间中，随着空间维度增加，其距离测量也呈现出复杂化。
这些变化推动了对于“空间”的全新理解，特别是在较高维度情况下，更加复杂的距离计算有助于推动其他学科之间的相互交融，如物理学中的相对论模型等。
4. 曼哈顿几何曼哈顿几何是一种以城市街道网络为基础而发展的理论。
非欧几何的由来
非欧几何的由来非欧几何的由来作者：彭林文章来源：《中学数学教学参考》点击数：5450 更新时间：2007-3-17在数学史乃至整个科学史中，很少有一个分支能像非欧几何一样对人类认识史发生如此直接的影响。
它的创立，不仅决定了近百年来数学许多领域的发展。
而且对现代人文学、宇宙学、物理学的进步以及人类时空观念的变革都产生深远影响。
正如伟大的物理学家爱因斯坦所指出的：“已经有大量的根据可以说：从非欧几何发展起来的思想是极富有成效的”。
1、第五公设问题的发生非欧几何的产生与著名的欧几里得第五公设密切相关，它是数学家们为解决这个问题而进行长期努力的结果。
公元前三世纪欧几里得( Euclid)在其著作《原本》中从一些被认为是不证直明的事实出发，通过逻辑演绎建立了第一个几何学公理体系一一欧几里得几何学。
这个理论受到后世数学家的普遍称颂，被公认为是数学严格性的典范。
但是人们感到欧氏几何中仍然存在着某些瑕疵，其中最使数学家们关注的是欧氏公理系统中的所谓“第五公设”一一若两条直线被一直线截得的一组同侧内角之和小于二直角，则若适当延长这两条直线必在和小于二直角的一侧相交。
数学家们普遍认为这条公理所说明的事实并不像欧几里得的其他公理那样显而易见，它们似乎缺少作为一条公理所必需的直明性。
因此尽管人们并不怀疑第五公设本身的真实性，但却怀疑它作为公理的资格。
此便发生了数学史上有名的第五公设问题。
2、证明尝试的失败于是以证明第五公设为目的的种种尝试出现了。
从《原本》出现到19世纪初非欧几何问世，许多杰出的数学家提出了各种“证明”，然而结果却都是错误的。
因为所有这些“证明”中都默认了一条与第五公设相互等价的命题。
通俗地说所谓等价是指含义与本质完全一样只是表述的形式不同而已。
曾经用来证明第五公设的等价命题有许多。
其中较简单的有芬恩( Fenn)1769年提出的：“两相交直线不能同时平行于第三条直线”还有英国普雷非尔(Playfair, 1748-1819)提出的“过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行”等等。
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何谢裕华秦敏雁施培成摘要：本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想及其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。
比较了三种几何的主要特征及适用范围。
关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。
一、关于Euclid的《Elements》欧几里得的《几何原本》早已失传，现存的有：1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。
2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的《原本》希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。
3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。
4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。
5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《几何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较大的修改，如删去了《原本》中的非几何部分内容，并将几何部分重新整理和编写。
把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了《新欧几里得几何原本》。
于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。
6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。
二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚（A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。
由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。
二、关于第5公设古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。
非欧几何(Non-Euclidean.
非欧几何（Non-Euclidean geometry）简介福州大学林鸿仁非欧几何就是非欧几里得几何，是针对欧几里得几何而言的，非欧几何通常指的是罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。
众所周知，素有“几何之父”之称的古希腊的数学家欧几里得( Euclid，希腊文：Ευκλειδης，约公元前330年-前275年）有一本传世之作叫《几何原本》，已经传了两千多年了。
其中的基本内容，至今还是我们孩子们学习的课程，包括《平面几何》和《立体几何》。
西方的几何学大概兴于公元前7世纪的古埃及，对古代埃及人来说，几何学就是“测地术”，几何是在测量地块中获得的，是一种经验的几何知识，所以大都十分零散杂乱，缺乏系统。
古希腊的欧几里得首先觉察到，很有必要对这些“上帝的杰作”进行整理，于是特地到古埃及的亚历山大，收集整理并于公元前3世纪写成《几何原本》这一巨著，开创了数学理论的系统化逻辑化的先河，除了使几何成为一门独立学科之外，也成为西方科学研究方法的典范。
欧几里得的《几何原本》全书共分13卷，包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。
在每一卷中，欧几里得都采用了完全不同的叙述方式，先提出公理、公设和定义，再将命题进行逻辑推理和证明。
他先后对直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何等进行系统的论述。
在这里，作为定义的基本概念，如点、线、面、直角等，已不是具体的图形或图像，而是抽象的一般概念；推演定理的方法，也尽量避开直观，而采用“三段论式”的逻辑方法。
欧几里得的成功之处在于，从一些被认为是不证自明的事实出发，通过逻辑演绎，用很少的几个公理公设，令人信服地推出了很多的定理，而且它们与现实世界又是一致的。
欧几里得建立的这一个几何学公理体系一直受到后世数学家的普遍称颂，被公认为数学严格性的典范。
因此，在相当长的历史时期里，人们一直把几何称为“欧几里得几何”简称“欧氏几何”，并把它奉为金科玉律。
但由于时代的局限，他的5条公设中的第5条一直被质疑。
非欧几何
对非欧几何的认识摘要：本文简单的介绍了公理化体系中的基本概念，对非欧几何的产生进行了阐述。
介绍了两种非欧几何——罗氏几何，黎氏几何.即罗氏几何在欧氏几何公理化体系的基础上对平行公理进行修改，改为：过直线外一点至少可以做两条直线与已知直线平行，从而推出一个新的几何体系。
而黎氏几何则在此基础上将平行公理修改为：平面上任何两条直线都相交或者说平面上不存在平行直线。
本文还对非欧几何诞生的意义及应用进行了探讨。
关键字：公理化体系非欧几何罗氏几何黎氏几何引言为了研究非欧几何，必须对公理化体系有较清楚地认识，所以本文从公理化体系着手，简单介绍公理化体系的概念，由公理化体系引出“第五公设问题”再由此引出非欧几何的产生.非欧几何所包含的内容是本文重点要讨论的问题，即第三部分内容：简介非欧几何的主要内容.最后简单介绍非欧几何产生的几何意义及应用以结束本文。
1 简单叙述公理化体系及其产生人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的研究和发现，推动了几何学不断向前发展.德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上在他1898年发表的《几何基础》一书中提出了一个比较完善的几何学的公理体系，这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体系.希尔伯特不仅提出了建立一个公理体系所应遵循的原则就是在一个几何公理体系中采取哪些公理，应该包含多少条公理，应考虑如下三个方面的问题：第一、和谐性（共存性）在一个公理体系中，各条公理应该是不矛盾的，他们和谐而共存在同一系统中，这显然是必要条件.给定一组公理，具体挑选一组事物，使这组公理得到满足，就是说给这组公理做了一个实现或解.实现这些公理的对象的集合，构成这一公理的一个模型，而这一公理体系若能以某种方法用模型来实现，那么这个公理体系就是和谐的.第二、独立性，公理体系中的每一条公理应该是各自独立而互不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引申出来的.如果公理体系中有一个公理可以从其余的公理中推导出来，它就不是独立的，可以把它从公理体系中挪走，减少一个公理.但是应当注意，一种几何可以用不同的公理体系作为基础，因此去掉多余的公理后，一般说来，可以得到不同的最少个数的体系，因此最少个数的公理体系不是唯一的.第三、完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题.设一个∑，如果在∑和的'∑对象之间能够建立这样的一一对应，使得公理体系具有两个模型∑和'∑中元素之间的相互关系或命题总是'∑中相应元素间的相互关系或命题相对应，则称这两个模型是同构的，如果一个公理体系中的各个模型是同构的，那么这个公理体系就称它为完备的.这种用公理系统来定义几何学的基本对象和它的关系的研究方法，成了数学中所谓的“公理化方法”，而把欧几里德在《几何原本》提出的体系叫做古典公理法.公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点，在公理化理论中，由于涉及的对象不予定义，因此就不必探究对象的直观形象是什么，指专门研究抽象的对象之间的关系、性质.从公理法的角度看，我们可以任意的用点、线、面代表具体的事物，只要这些具体事物间满足公理中的结合关系，顺序关系，合同关系等，使这些关系满足公理系统中所规定的要求，则构成了几何学.这里的几何学研究对象更加广泛，几何学的含义比欧几里德时代更为抽象.2 欧氏几何公理化体系及第五公设问题欧氏几何的公理体系不止一组，当各组彼此是等价的.在欧氏几何的所有公理体系中，希尔伯特系统概念和陈述最简单，如下所述：第一组、结合公理公理1 通过任意给定的两点有一直线.公理2 通过任意给定的两点至多有一直线.公理3 每一直线上至少有两点，至多有三点不共线.公理4 通过任意给定不共线的三点有一平面，每平面上至少有一点.公理5 通过任意给定不共线的三点，至多有一平面.公理6 若一直线上的两点在一平面上，则这一直线上的每一点都不在这平面上.公理7 若平面上有一公共点，则至少还有一公共点.公理8 至少有四点不同在一平面上.第二组、顺序公理公理1 若点B 在两点A 、C 之间，则A 、B 、C 是一直线上的不同点，且B 也在C 、A 之间.公理2 对于任意两点A 、B 直线AB 上至少有一点C 存在，使得B 在A 、C 之间.公理3 在共线的三点中，一点在其它两点之间的情况不多于一次.公理4 设A 、B 、C 是不共线的三点，L 是平面ABC 上部通过A 、B 、C 中任何一点的直线，若直线L 通过线段AB 的一个点，则直线L 要通过线段AC 或BC 的内点.第三组、合同公理公理1若A 、B 是直线L 上的两点，A ′是同一或另一直线L ′上的点，则在L ′上点A ′给定的一侧有一点且仅有一点B ′使线段A ′B ′合同于或等于线段AB ，且对于每一线段AB 要求AB 合同BA.公理2 线段A ′B ′及A 〞B 〞都与同一线段AB 合同，则A ′B ′与A 〞B 〞合同.公理3 设AB 与BC 是直线L 上没有公共内点的两线段，而A ′B ′和B ′C ′是同一或另一直线L ′上的两线段，也没有公共内点.若AB ≡A ′B ′及BC ≡B ′C ′，则AC ≡A ′C ′ .公理 4 在平面π上给定了AOB ∠，在同一或另一平面'π上给定一直线'L ，且在以'L 为边缘的半平面'H 上有射线''AO 在'L 上，则过点'O 在半平面'H 内有唯一的射线 ''B O 使得AOB B O A ∠=∠'''公理5 在ABC ∆与'''C B A ∆之间，若AB ≡A ′B ′，AC ≡A ′C ′，∠B ′A ′C ′=∠BAC ，则AOB B O A ∠=∠'''第四组、连续公理公理1 设AB 与CD 是任意两线段，在直线AB 上存在着有限个点n A A A 21使得1A 在2A 和A 之间，2A 在 1A 和3A 之间，等等.且线段n n A A A A AA 1211, ，与线段CD 合同，最后使得点B 在点A 和n A 之间.公理2 设直线L 上有由线段组成的一个无穷序列11B A ，22B A 其中在后的每一线段都包含在前一个内部，并且任意给定一线段，总有一个自然数n 使得线段n n B A 比它小，那么在直线L 上存在一点X 落在每条线段11B A ， 22B A 的内部.第五组、平行公理设有一直线及线外一点，在这直线和这点确定的平面上，经过这点最多有一条直线与该直线平行.以上便是欧氏几何公理体系的全部内容，由此便可推到处欧氏几何的全部内容.了解了欧氏几何的公理化体系，现在回过头来谈谈欧几里德的第五.欧氏几何公理化体系中的五个公设是：○1给定两点，可以连接一线段. ○2线段可以无限延长. ○3给定一点为中心和通过任意一点可以作一圆. ○4所有直角彼此相等. ○5如果一条直线与两条直线相交，并且在同一侧所交出的两角之和小于两个直角，这两条直线无限延长后，必在该侧相交.长期以来，人们对欧氏几何公理系统中前四个公设没有异议，而对第五公设特别注意，这是因为:第一，它没有其他公理那样简单，第二，可能连欧几里德本人也曾试着证明过第五公设，因为欧氏《几何原本》中前二十八个命题都未曾利用过第五公设，似乎是欧几里德本人也推迟使用它.第五公设能不能从欧氏表中挪走，用其余的公设、公理将它作为定理证出来，便是著名的“第五公设问题”.人们在假设平行公理不成立的时候，自然想到做出与“过已知直线外一点，可作一条也只可作一条直线与已知直线平行”相悖的假设.如假设“过已知直线外一点，可作出多于一条的直线平行于已知直线”，然后，人们总是在这一假定下希望通过一长串的推理，从中得出两个相互矛盾的命题，但都以失败而告终.德国的高斯是真正预见到非欧几何的第一人，1792年，当他15岁时，已经有了第五公设不可证和非欧几何的思想萌芽．以后相继得到许多这方面的重要结果．但他动摇徘徊了25年之久，直到1817年才牢固树立起坚定信念．不幸的是，由于康德的唯心主义空间学说和在 数学界占统治地位的所谓现实空间只能是欧氏空间这旧传统观念，给高斯以很大的精神压力，因而毕其一生关于此问题也没有发表什么见解．匈牙利的J-波尔约是预见到非欧几何的第二人，他在青年时代就醉心于第五公设的证明．不顾父亲的劝告，坚持研究，终于建立了非欧几何．1823年11月3日，他高兴地写信告诉父亲：“我已从乌有中创造了另一个新奇的世界．”当他父亲把J-波尔约的研究成果写信告诉高斯的时候，高斯感到十分吃惊，回信说：“这和我40年来沉思的结果不谋而合．”J-波尔约看到高斯的回信，大大刺伤了自己的自尊心，怀疑高斯剽窃他的成果．从此消沉下去，不再研究这一问题．只有俄国的罗巴切夫斯基无愧于享有这门新学说的创建者和捍卫者的光荣称号．他试图证明第五公设，并在独立的在完成一个个推论被严密论证后发现了一个新的几何体系，之后他不顾来自各方面的嘲讽和压力，忠实的捍卫着这一伟大的理论成果，并于1826年2月23日在喀山大学数理系做了《几何学原理的扼要阐述，暨平行线定理的一个严格证明》的报告上宣读了他关于非欧几何的研究工作.我们称这一天文非欧几何的诞生日.3 简介非欧几何的主要内容非欧几何是一门大的数学分支，一般说来，它有广义、狭义和通常意义三个方面不同的含义.所谓广义的非欧几何时泛指一切和欧几里德几何学不同的几何学，而狭义的几何学只是指罗氏几何而言，通常意义上的非欧几何，就是指罗氏几何和黎氏几何这两种几何.下面重点阐述罗氏几何和黎氏几何.罗氏几何罗巴切夫斯基几何学的公理系统和欧氏几何学不同的地方仅仅是把欧氏几何平行公理用“从直线外一点至少可以做两条直线和已知直线平行”来替代，其他公理相同.故罗氏几何公理可表述为：第一组：结合公理；第二组：顺序公理；第三组：合同公理；第四组：连续公理；（前四组公理如前所述欧氏几何公理体系）第五组：平行公理，过直线外一点，至少可以做两条直线和已知直线平行.这五组公理推出一个新的几何体系，又称为双曲形几何，其模型可描述为：在欧氏平面上取一个圆∆，在圆∆内作为非欧平面，圆内任意一点P 称为非欧点，圆的边界点用∆∂表示，∂垂直的圆弧或直线段称为非欧直线.由此∂上的点是非欧平面上的无穷远点，在∆内与∆所有过原点的直线都是非欧直线，两条非欧直线间的夹角，由交点处两圆弧切线间的夹角来度量，此即在圆内建立了一个无限的非欧平面.如图所示：其中，非欧直线L与∆∂的交点是A、B，过L外一点Z作两条非欧直线分别与之相切于A、B两点，此两条直线为过Z点与L平行的非欧直线.由于平行公理不同经过演绎推理引出一连串新的不同于欧氏几何的几何命题，且因为罗氏几何除了第五组平行公理之外，其余四条公理全部采用欧氏几何的公理，故凡不涉及到平行公理的几何命题在欧氏几何中成立，在罗氏几何中同样正确，在欧氏几何中凡涉及到平行公理的命题在罗氏几何中均不成立.例如,欧氏几何中同一直线的垂线和斜线相交；垂直于同一直线的两条直线互相平行；存在相似的多边形；过不同在一条直线上的三点可以做且仅可以做一个圆；而罗氏几何中，同一直线的垂线和斜线不一定相交；垂直于同一直线的两条直线，当两端延长时可以离散到无穷；不存在相似的多边形；过不同在一条直线上的三点，不一定可以做一个圆.同时，在这个新的几何中一些与平行公理有关的命题被新的定理代替，如：三角形的内角和小于180°；两三角形若三组对应角分别相等则两三角形必然全等.黎氏几何欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理，顺序公理，连续公理及合同公理都是相同的，其不同之处在于平行公理.欧氏几何讲：“过直线外一点犹且只有一条直线与已知直线平行”，罗氏几何中：“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”，而黎氏几何则提出：“过直线外一点，不能做出直线与已知直线平行”.这与前面四条公理结合即形成另一种新的非欧几何体系，称之为黎氏几何.因为黎曼几何公理化体系同欧氏几何的公理化体系也仅在第五组平行公理上有所不同，故黎氏几何的公理化体系可表述为：第一组：结合公理；第二组：顺序公理；第三组：合同公理；第四组：连续公理；（前四组公理如前所述欧氏几何公理体系）第五组：平行公理，即平面上任何两条直线都相交，或者平面上不存在相交直线.黎曼提出的非欧几何又称为椭圆几何，如图所示：首先，对图形的基本对象点、直线、平面作如下约定：第一，点：把欧氏球面上对径的两点同一起来，看成一点，这个约定点称为黎曼几何的点.第二，直线：把欧氏球面上对径点合一后，得到的大圆约定为黎曼几何中的直线.第三，平面：把对径点合一后的欧氏球面约定为黎曼几何中的平面.上图中，A点为一黎曼点.大圆APA是一条封闭的黎曼直线.其模型又可描述为：若将球面上的大圆视为直线，那么球面上的几何中任何两条直线都相交，而且存在两个交点.亦即，黎曼于1851年所作论文《论几何学作为基础的假设》中明确提出的一条基本规定：同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）.其实际意义可认为是：赤道为一大圆，所有的纬线也都是大圆，它们均为与赤道垂直的，且交于南北极，有两个交点.我们可以推导出在该模型上三角形的内角和必然大于180°；一条直线的所有垂线都相交于一点.同时，黎曼几何学中不承认有平行直线的存在，另一基本规定是：直线可以无限延长，但总长度有限，故我们可以将黎氏几何的模型看作一个经适当修改的球面.4 探讨非欧几何的产生所具有的几何意义及其应用非欧几何产生的几何意义首先，随着几何学的不断发展，非欧几何的产生引起了数学家们对几何基础的研究，从而从根本上改变了人们的几何观念，扩大了几何学的研究对象，对几何学的研究对象由性质进入到抽象空间，即更一般的空间形式，使几何学的发展进入了一个以抽象为特征的新阶段.其次，几何学本身也从其传统的束缚中被解放出来，并在这基础上发现了大批有趣的几何，如：非阿基米德几何，非笛沙格几何，非黎曼几何，有限几何，等等.非欧几何的产生，也引发了一些重要的数学分支的产生，数学家们围绕着几何的基础问题，几何的真实性问题或者几何的应用可靠性问题的讨论，在完善数学基础的过程中，相继出现了一些新的数学分支，如数的概念，分析基础，数学基础，数理逻辑，等.非欧几何的应用我们知道，非欧几何的出现不仅仅影响了人们的价值观，思维方式，世界观及人类的文化，更重要的是非欧几何对一般难以把握的，据一般生活更远的实际中得到了广泛的应用.比如，近代的黎曼几何在相对论中有重要的应用.广义相对论中，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里是一种近似均匀的，而整个时空是不均匀的.物理学里广义相对论中的空间几何即是黎曼几何.在日常生活中，就是说在我们所处的这个不大不小，不远不近的空间里，欧氏几何是适用的；延伸到宇宙空间中或者原子核世界里，罗氏几何更加适用；在地表研究航海，航空等实际问题则更多的需要用到黎曼几何.参考文献[1]郑崇友、王汇淳等编著几何学引论 [M] 北京高等教育出版社 1994[2]朱德祥编高等几何 [M] 北京高等教育出版社 1983年9月[3]傅章秀编几何基础 [M] 北京北京师范大学出版社 1984[4]梅向明、刘增贤编高等几何 [M] 北京高等教育出版社 1983[5]方德植陈亦培编射影几何 [M] 北京高等教育出版社 1983年2月[6]姚俊凡编高等几何讲义 [M] 贵州贵州人民出版社 1981Carries out official duties the physics and chemistry system tolookat the non- European geometryAuthor：HUANG Xiaolin Supervisor：XU TianchangAbstract：In this paper,basic conceptions in the system of Axiomatizing are briefly introduced and some statements of the generation of non-Euclidean geometries are given.Two forms of the non-Euclidean geometries: Lobachevskian geometry and Ricmmanian geometry will be discussed.The Lobachevskian geometry is a new geometry which is given by changing the parallel postulate in the system of Axiomatizing of Euclidean geometries to : through one point beyond a given line ,there are at least two lines parallel to the given line.In the Ricmmanian geometry,the parallel postulate is changed to: two arbitrary lines in a surface always intersect or there exist no parallel lines.Furthermore,the significance of the generation of non-Euclidean geometries is studied in this paper.Key words：system of Axiomatizing; non-Euclidean geometries;Lobachevskian geometry; Ricmmanian geometry.。
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关于欧氏几何的第5公设及非欧几何谢裕华秦敏雁施培成摘要：本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想及其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。
比较了三种几何的主要特征及适用范围。
关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。
一、关于Euclid的《Elements》欧几里得的《几何原本》早已失传，现存的有：1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。
2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的《原本》希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。
3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。
4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。
5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《几何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较大的修改，如删去了《原本》中的非几何部分内容，并将几何部分重新整理和编写。
把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了《新欧几里得几何原本》。
于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。
6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。
二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚（A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。
由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。
二、关于第5公设古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。
所以《原本》是一部在定义，公设和公理的基础上，按演绎推理方法建立起来的命题系统。
《原本》第1卷有首先给出了23个定义，如：点是没有部分的；线是没有宽度的长度，……等等。
此外，还有平面，直角，垂直……等定义。
定义之后是5个公设：1）从任一点到任一别的点（可）引一直线；2）有限直线（可）循直线延长；3）以任一点为中心，任意长为半径（可）做一圆；4）开直角都相等；5）若一直线与另外两直线相交，且在同侧二内角（同旁内角）之和小于二直角。
则这两直线无限延长后相交于该侧的一点。
五个定理：1）等于同一量的量彼此相等；2）等量加等量其和相等；3）等量减等量其差相等；4）互相重合的量彼此相等；5）整体大于部分。
按照亚里斯多德关于公理和公设的区别，前者是适用于一切科学的真理，后者仅适用于几何学，今天统称公理。
显见，五个公设中，前四个人们认为简单明了，符合亚里斯多德公理“自明性”的要求。
唯独第5公设，即现在的“平行公理”，不公文字罗嗦，而且所肯定的事实也不明显。
比如，当两条直线相交于非常遥远的地方时，就无法判断这两条直线是否平行，因此不具有直观的明显性。
所以自欧几里得以来，人们就认为这是《原本》的一个污点。
比如，1759年，法国数学家达朗贝尔（J０L·R·D`Alembert，1717-1783）曾说“第5公设是“几何原本中的家丑”。
不仅如此，而且欧几里得本人似乎对这一公设也不太满意《原本》第1卷共48个命题，其中前28个命题的证明欧氏都回避用第5公设，只有在第29个题的证明中，才不得不用了一次，而且这是《原本》用第5公设的唯一的一次。
三、对第5公设的研究非欧几何的历史，就是从努力消除对欧氏平行公理的怀疑开始的。
从希腊时代到19世纪间有两种研究途径：一种是用更为自明的命题来代替平行公理；另一种是试图从欧氏其他几个公理推导出平行公理来，如果办到这一点，平行公理将成为定理，它也就无可怀疑了。
第一种途径：历史上曾被用作代替“平行公理”的等价“公理”有很多，例如：1）平面上不相交的二直线不能彼此远离（普罗克鲁斯Proclus,希腊，公元5世纪）；2）存在着两个相似而不相等的三角形（瓦里斯Wallis，英，1663年）；3）过已知直线外一点，只能作一条直线平行于已知直线（普雷菲尔J,Plagfair,苏格兰，1795年）;4）三角形的内角和等于二直角（法，勒让德，Legendre）.这样的例子我们现在可以无限制地列举下去，但是细究起来，它们的自明性并不比第5公设更好。
最好的替代公理要算公理3，所以近代常将第5公设称为平行公理，它被中学课本所采用。
第二种途径：探索从其它几条公理推导出第5公设，这又分直接证明和间接证明。
直接证明是以几条公理为前提，直接推出第5公设。
自《原本》问世的两千年以来，几乎称得起数学家的人几乎都作过尝试，并付出了辛勤劳动，浪费了许多精力，均以失败而告终。
有时好象找到了证明，但仔细审查一下，他们都犯了自觉或不自觉地承认了一些不加证明的假设的毛病，而这些假设又都是与第5公设等价的。
四、创立非欧几何的几位数学家直到19世纪开始时，第5公设的证明问题还是没有解决，这真是几何学的一个深奥的谜。
平行线理论在19世纪成为几何学的中心问题之一。
研究它的有很多数学家，如高斯，拉格朗日，达朗贝尔，勒让德……等等。
长期直接证明的失败，使人们的注意力逐渐转移到间接证明上来，即从第5公设的否定命题出发，试图引出矛盾，一般认为，这一工作的开始，就意味着非欧几何的酝酿。
二千余年的努力，为非欧几何的诞生准备了极好的条件，非欧几何的创立已势在必然，只是有待于杰出的数学家为它迈出决定性的一步。
象任何一个较大的数学发现一样，都不会只是个人能做到的一样，非欧几何的诞生也是在前人二千多年认识成果的基础上做出的，其决定性的步骤由高斯，罗巴切夫斯基和丁·鲍耶三个走出。
但那已是19世纪上半叶的事了。
高斯发现在先，而罗巴切夫斯基的成果发表在先。
1、德国数学家高斯（C.F.gauss.1777-1855）人称“数学家之王”，是一个瓦工的儿子，自幼家境贫寒。
早在1792年，即他15岁时，就开始思考欧氏第5公设问题。
那时他认为：第5公设不是一条几何定理，不能证明它，也不是几何学公理中必备的，它只是对欧氏几何学才有效。
他已经意识到除欧氏几何外，还存在着另一个逻辑上无矛盾的几何。
从1799年起，他着手开发这一新的几何的内容，1813年已经形成比较完整的思想。
如果把第5公设变为“过已知直线外一点可以作多于一条与该直线平行的直线”则完全可以推导出另一套几何学来。
开始他称为“反欧几里得几何学”（anti-Euclidean geometry），后又改为“星空几何”最后才定名为“非欧几里得几何”。
为了验证他的非欧昨里得几何的应用的可能性，高斯还实际测量了由三座山峰构成的三角形的内角和，这种几何的三角形内角和小于180度。
高斯生前没有发表过非欧几何的正式论著，他的关于非欧几何的思想，只能从他给朋友们的信和他的遗稿中了解。
1846年，他的一封信中说：“罗巴切夫斯基称之为假想的几何学，您知道，我对此有同样的观点已经有54年了”。
高斯一生，性格内向，待人厚道，治学严谨，不管做什么工作都是反复琢磨修饰，只有在证明的严密性和文字的简明性等各方面都达到完美无缺时才肯公开发表。
同时由于几千年来一直认为欧氏几何是唯一正确的真理的教条所统治，高斯也许过于小心，担心引起庸人们的耻笑，未敢发表，但高斯是真正预见到非欧几何的第一人。
2．预见到非欧几何的第二人是丁·鲍耶（Bolyai,1802-1860）,他是匈牙利数学家W·鲍耶的儿子。
老鲍耶是高斯大学时的同学和好友，曾从事第5公设的证明，因为没有成就，自认为浪费了时间，小鲍耶受其父的影响并且不听父亲的劝阻，又走上了这一道路。
1823年他写成了摈弃第5公设的26页的论文《绝对空间的科学》，1825年他已基本完成了非欧几何学，他发现非欧几何的工作与罗巴切夫斯基很相仿，小鲍耶请求父亲帮助出版，但遭到拒绝。
直到1832年父亲才把儿子的成果作为附录附在自已的一本著作之末（在罗巴切夫斯基的书出版之后）。
3．罗巴切夫斯基（н.и.лобачеъскццv，1792-1856）出身于俄罗斯一个小技术员家中，3岁丧父，自幼家贫。
他从1815年开始研究第5公设问题，起初也想直接证明，但很快汲取了历史上的经验教训，意识到不可能。
1823年他用如下命题代替第5公设：过已知直线外一点，至少可作两条直线和已知直线不相交。
“于是创立了与欧氏几何不同的且在严格性和规模上同它一样的新几何。
1826年，他在喀山大学数学物理系的学术讨论会上作了题为《关于几何原理的扼要叙述及平行线定理的一个严格证明》的报告，但未出版并已遗失，1829年在《喀山通报》上发表了《论几何学基础》，以后又有补充。
1840年发表了《平行线理论的几何研究》等一系列非欧几何论文。
由于当时还没有找到这种几何的实际应用，所以他称他的新几何为”想象的几何学”，““虚几何学”，后来他双目失明，却以口授写出一部他的几何的完全的新的说明，并于1855年以书名《泛几何》出版，今天称为“罗巴切夫斯基几何“。
虽然高斯和丁·鲍耶被人们承认是最先预见到非欧几何的人，但是，罗巴切夫斯基实际上是发表此课题的有系统的著作的第一人，被称为“几何学上的哥白尼”。
4、上述三人的新几何里，三角形的内角和小于两直角，一般称之为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。
1871年，德国数学家Ｆ·克莱因（C·F·Klein，1849－1925）改称其为“双曲几何学”,一直沿用至今。
1854年，德国数学家黎曼在《关于几何基础的假设》的演说中，又提出了一种既不是欧氏几何，又不是罗氏几何的非欧几何。
这种几何采用公理“同一平面上任何两条直线一定相交”代替欧氏几何中平行公理，对其余公理只是稍作改动。
被称为“椭圆几何”其中三角形内角和大于二直角。
它和球面几何学相差无几，如果把球面的对顶点看成同一点，就得这种几何。
黎曼（G·F·B·Rieman,1826-1866），家境清苦，他的生活十分艰难，加上工作劳累，终于在1866年7月20日病故，年仅39岁。
1854年黎曼在哥廷根大学发表了题为《关于几何基础的假设》报告，提出了黎曼几何的思想，彻底革新了人们的几何观念，他把对三维空间的研究推广到了n维空间，并把这样的空间称作一个流形。
为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。