关于欧氏几何的第5公设及非欧几何

关于欧氏几何的第5公设及非欧几何

谢裕华秦敏雁施培成

摘要：本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想及其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。比较了三种几何的主要特征及适用范围。

关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。

一、关于Euclid的《Elements》

欧几里得的《几何原本》早已失传，现存的有：

1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。

2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的《原本》希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。

3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。

4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。

5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《几何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较大的修改，如删去了《原本》中的非几何部分内容，并将几何部分重新整理和编写。把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了《新欧几里得几何原本》。于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。

6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。

二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚

（A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。

由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。

二、关于第5公设

古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。所以《原本》是一部在定义，公设和公理的基础上，按演绎推理方法建立起来的命题系统。

《原本》第1卷有首先给出了23个定义，如：

点是没有部分的；线是没有宽度的长度，……等等。此外，还有平面，直角，垂直……等定义。

定义之后是5个公设：

1）从任一点到任一别的点（可）引一直线；

2）有限直线（可）循直线延长；

3）以任一点为中心，任意长为半径（可）做一圆；

4）开直角都相等；

5）若一直线与另外两直线相交，且在同侧二内角（同旁内角）之和小于二直角。则这两直线无限延长后相交于该侧的一点。

五个定理：

1）等于同一量的量彼此相等；

2）等量加等量其和相等；

3）等量减等量其差相等；

4）互相重合的量彼此相等；

5）整体大于部分。

按照亚里斯多德关于公理和公设的区别，前者是适用于一切科学的真理，后者仅适用于几何学，今天统称公理。

显见，五个公设中，前四个人们认为简单明了，符合亚里斯多德公理“自明性”的要求。唯独第5公设，即现在的“平行公理”，不公文字罗嗦，而且所肯定的事实也不明显。比如，当两条直线相交于非常遥远的地方时，就无法判断这两条直线是否平行，因此不具有直观的明显性。所以自欧几里得以来，人们就认为这是《原本》的一个污点。比如，1759年，法国数学家达朗贝尔（J０L·R·D`Alembert，1717-1783）曾说“第5公设是“几何原本中的家丑”。

不仅如此，而且欧几里得本人似乎对这一公设也不太满意《原本》第1卷共48个命题，其中前28个命题的证明欧氏都回避用第5公设，只有在第29个题的证明中，才不得不用了一次，而且这是《原本》用第5公设的唯一的一次。

三、对第5公设的研究

非欧几何的历史，就是从努力消除对欧氏平行公理的怀疑开始的。

从希腊时代到19世纪间有两种研究途径：一种是用更为自明的命题来代替平行公理；另一种是试图从欧氏其他几个公理推导出平行公理来，如果办到这一点，平行公理将成为定理，它也就无可怀疑了。

第一种途径：历史上曾被用作代替“平行公理”的等价“公理”有很多，例如：

1）平面上不相交的二直线不能彼此远离（普罗克鲁斯Proclus,希腊，公元5世纪）；

2）存在着两个相似而不相等的三角形（瓦里斯Wallis，英，1663年）；

3）过已知直线外一点，只能作一条直线平行于已知直线（普雷菲尔J,Plagfair,苏格兰，1795年）;

4）三角形的内角和等于二直角（法，勒让德，Legendre）.

这样的例子我们现在可以无限制地列举下去，但是细究起来，它们的自明性并不比第5公设更好。最好的替代公理要算公理3，所以近代常将第5公设称为平行公理，它被中学课本所采用。

第二种途径：探索从其它几条公理推导出第5公设，这又分直接证明和间接证明。直接证明是以几条公理为前提，直接推出第5公设。自《原本》问世的两千年以来，几乎称得起数学家的人几乎都作过尝试，并付出了辛勤劳动，浪费了许多精力，均以失败而告终。有时好象找到了证明，但仔细审查一下，他们都犯了自觉或不自觉地承认了一些不加证明的假设的毛病，而这些假设又都是与第5公设等价的。

四、创立非欧几何的几位数学家

直到19世纪开始时，第5公设的证明问题还是没有解决，这真是几何学的一个深奥的谜。

平行线理论在19世纪成为几何学的中心问题之一。研究它的有很多数学家，如高斯，拉格朗日，达朗贝尔，勒让德……等等。

长期直接证明的失败，使人们的注意力逐渐转移到间接证明上来，即从第5公设的否定命题出发，试图引出矛盾，一般认为，这一工作的开始，就意味着非欧几何的酝酿。

二千余年的努力，为非欧几何的诞生准备了极好的条件，非欧几何的创立已势在必然，只是有待于杰出的数学家为它迈出决定性的一步。象任何一个较大的数学发现一样，都不会只是个人能做到的一样，非欧几何的诞生也是在前人二千多年认识成果的基础上做出的，其决定性的步骤由高斯，罗巴切夫斯基和丁·鲍耶三个走