初中数学最值系列之将军饮马
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最值系列之——将军饮马
一、什么是将军饮马?
【问题引入】
“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称为“将军饮马”。
【问题描述】
如图,将军在图中点A处,现在他要带马去河边喝水,之后返回军营,问:将军怎么走能使得路程最短?
A B
将军
军营
河
【问题简化】
如图,在直线上找一点P使得P A+PB最小?
【问题分析】
这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段,通过观察图形很难得出结果,关于最小值,我们知道“两点之间,线段最短”、“点到直线的连线中,垂线段最短”等,所以此处,需转化问题,将折线段变为直线段.
【问题解决】
作点A关于直线的对称点A’,连接P A’,则P A’=P A,所以P A+PB=P A’+PB
当A’、P、B三点共线的时候,P A’+PB=A’B,此时为最小值(两点之间线段最短)
【思路概述】
作端点(点A或点B)关于折点(上图P点)所在直线的对称,化折线段为直线段.
二、将军饮马模型系列
【一定两动之点点】
在OA、OB上分别取点M、N,使得△PMN周长最小.
B B
此处M、N均为折点,分别作点P关于OA(折点M所在直线)、OB(折点N所在直线)的对称点,化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’,当P’、M、N、P’’共线时,△PMN周长最小.
【例题】如图,点P是∠AOB内任意一点,∠AOB=30°,OP=8,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值为___________.
P O B A
M
N
【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值,此处M、N均为折点,分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’,化PM+PN+MN为P’
N+MN+P’’M.
P''
A
当P’、N、M、P’’共线时,得△PMN周长的最小值,即线段P’P’’长,连接OP’、OP’’,可得△OP’P’’为等边三角形,所以P’P’’=OP’=OP=8.
A
【两定两动之点点】
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
B
B
考虑PQ是条定线段,故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可,类似,分别作点P、Q关于OA、OB对称,化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’,当P’、M、N、Q’共线时,四边形PMNQ的周长最小。
【一定两动之点线】
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
B
B
此处M点为折点,作点P关于OA对称的点P’,将折线段PM+MN转化为P’M+MN,即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N,得PM+MN最小值(点到直线的连线中,垂线段最短)
三、几何图形中的将军饮马
【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】
1.正方形中的将军饮马
【关于对角线对称】
如图,正方形ABCD的边长是4,M在DC上,且DM=1,N是AC边上的一动点,则△DMN 周长的最小值是___________.
N M D C
B
A
【分析】考虑DM为定值,故求△DMN周长最小值即求DN+MN最小值.点N为折点,作点D关于AC的对称点,即点B,连接BN交AC于点N,此时△DMN周长最小.
D
M
【假装不存在的正方形】
(2019·山东聊城)如图,在Rt△ABO中,∠OBA=90°,A(4,4),点C在边AB上,
且AC:CB=1:3,点D为OB的中点,点P为边OA上的动点,当点P在OA上移动时,使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为()
A.(2,2)B.
5
(
2
,
5
)
2
C.
8
(
3
,
8
)
3
D.(3,3)
【分析】此处点P 为折点,可以作点D 关于折点P 所在直线OA 的对称:
也可以作点C 的对称:
【隐身的正方形】
(2017·辽宁营口)如图,在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,点D 在BC 上,BD =3,DC =1,点P 是AB 上的动点,则PC +PD 的最小值为( )
P
D
C
B
A
A .4
B .5
C .6
D .7
【分析】作点C 关于P 点所在直线AB 的对称点C ’,当C ’、P 、D 共线时,PC +PD 最小,
最小值为5,故选B .
2.三角形中的将军饮马 【等边系列】
如图,在等边△ABC 中,AB =6, N 为AB 上一点且BN =2AN , BC 的高线AD 交BC 于点D ,M 是AD 上的动点,连结BM ,MN ,则BM +MN 的最小值是___________.
A B
C
D
M
N
【分析】M 点为折点,作B 点关于AD 的对称点,即C 点,连接CN ,即为所求的最小值.
C
过点C 作AB 垂线,利用勾股定理求得CN 的长为2倍根号7.
C
【隐身的等边三角形】
如图,在Rt △ABD 中,AB =6,∠BAD =30°,∠D =90°,N 为AB 上一点且BN =2AN , M 是AD 上的动点,连结BM ,MN ,则BM +MN 的最小值是___________.
N M
D
B
A