浙教版九年级下解直角三角形同步练习1
浙教版 九年级数学下册 第1章 解直角三角形 单元同步练习 习题合集(含答案解析)
1.1～1.2一、选择题(每小题4分，共32分) 1．cos60°的值等于( ) A. 3 B ．1 C.22 D.122．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝47，BC ＝8，则AB 的长为( )A ．10B ．12C ．14D ．16图G －5－13．如图G －5－1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )A ．1B ．1.5C ．2D ．34．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(cos30°，tan45°)，则点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫32，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32C.⎝⎛⎭⎪⎫32，－1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1 5．如图G －5－2所示，AC 是电线杆AB 的一根拉线，测得BC ＝6米，∠ACB ＝52°，则拉线AC 的长为( )A.6sin52°米 B.6tan52°米C ．6cos52°米 D.6cos52°米G －5－2G －5－36．如图G －5－3，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，已知∠ACD 的正弦值是23，则AC AB的值是( )A.25B.35C.52D.237．一座楼梯的示意图如图G －5－4所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽1米，则地毯的面积至少需要( )A.4sin θ平方米 B.4cos θ平方米 C ．(4＋4tan θ)平方米 D ．(4＋4tan θ)平方米G －5－4G －5－58．如图G －5－5，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为32，AC ＝2，则sin B 的值是( )A.23B.32C.34D.43二、填空题(每小题4分，共32分)9．若α＝30°，则α的余角等于________度，sin α的值为________． 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝2 5，则sin A ＝________．11．用计算器计算cos10°，cos20°，cos30°，…，cos90°的值，总结规律，利用此规律比较当0°<α<β<90°时，cos α与cos β的大小，即cos α________cos β.图G －5－612．如图G －5－6，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于________．13．已知α是锐角，tan α＝2cos30°，那么α＝________度．14．将一副三角尺如图G －5－7所示叠放在一起，则BE EC的值是________．G －5－7G －5－815．如图G －5－8，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin ∠CAM ＝35，则tan B 的值为________．图G －5－916．如图G －5－9，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2.将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ，则点B 转过的路径长为________．三、解答题(共36分)17．(6分)计算：2sin30°＋4cos30°•tan60°－cos 245°.18．(8分)王华是一名爱动脑筋的好学生，一天，他到公园锻炼，看到一个三角形的大花坛(如图G －5－10所示)，便产生了用新学的数学知识计算一下花坛面积的想法，他测得∠A ＝30°，AB 边的长度为40 m ，AC 边的长度为30 m ．王华同学很快计算出了花坛的面积，请你根据王华测量的结果，也计算一下这个三角形花坛的面积．图G －5－1019．(10分)如图G －5－11所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠BCD .(1)求证：CB ∥PD ；(2)若BC ＝3，sin P ＝35，求⊙O 的直径．图G －5－1120．(12分)如图G －5－12，E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠后得到△BFE ，点F 落在AD 边上．(1)求证：△ABF ∽△DFE ；(2)若sin ∠DFE ＝13，求tan ∠EBC 的值．图G －5－12详解详析1．D [解析] 根据余弦的定义及特殊角度的三角函数值，可得cos60°＝12.故选D.2．C 3.C4．C [解析] 由已知得P (32，1)，则P 1( 32，－1)． 5．D [解析] 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，则cos ∠ACB ＝BC AC ，∴AC ＝BCcos ∠ACB .又BC＝6米，∠ACB ＝52°，∴AC ＝6cos52°米．6．D [解析] ∵∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∠B ＋∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ， ∴sin B ＝sin ∠ACD ＝23，∴AC AB ＝23. 7．D8．A [解析] 连结DC .根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD ＝90°. 根据同弧所对的圆周角相等，得∠B ＝∠D .∴sin B ＝sin D ＝AC AD ＝23.故选A.9．60 12 10.2311.>12.12 [解析] 连结AB ，∵OA ＝OB ＝AB ， ∴△ABC 是等边三角形．∴∠AOB ＝60°. ∴cos ∠AOB ＝cos60°＝12.∴α＝60°. 14.33 [解析] ∵Rt △BAC 中，tan B ＝ACAB＝tan45°＝1，∴AB ＝AC . 在Rt △ACD 中，tan D ＝ACCD ＝tan30°＝33， ∴CD ＝3AC ，CD ＝3AB . ∵∠BAC ＝∠ACD ＝90°， ∴∠BAC ＋∠ACD ＝180°， ∴AB ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ， ∴BE EC ＝AB CD ＝33. 15.23 [解析] Rt △AMC 中，sin ∠CAM ＝MC AM ＝35，设MC ＝3x ，AM ＝5x ，则AC ＝AM 2－MC 2＝4x .∵M 是BC 的中点，∴BC ＝2MC ＝6x .在Rt △ABC 中，tan B ＝AC BC ＝4x 6x ＝23.16.33π [解析] ∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2，∴cos30°＝BC AB， ∴BC ＝AB cos30°＝2×32＝ 3. ∵将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ， ∴∠BCB ′＝60°，∴点B 转过的路径长为60π×3180＝33π.＝1＋6－12＝132. 18．解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，如图所示．在Rt △ACD 中，sin A ＝CDAC，∴CD ＝AC ·sin30°＝30×12＝15(m)，∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12×40×15＝300(m 2)．答：此三角形花坛的面积为300 m 2.19．解：(1)证明：∵∠D ＝∠1，∠1＝∠BCD ，∴∠D ＝∠BCD ， ∴CB ∥PD .(2)连结AC ，如图，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴BC ︵＝BD ︵， ∴∠P ＝∠A ，∴sin A ＝sin P ＝35.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴sin A ＝BC AB ＝35，而BC ＝3，∴AB ＝5，即⊙O 的直径为5.20．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°. ∵△BCE 沿BE 折叠后得到△BFE ， ∴∠BFE ＝∠C ＝90°，∴∠AFB ＋∠DFE ＝180°－∠BFE ＝90°. 又∵∠AFB ＋∠ABF ＝90°， ∴∠ABF ＝∠DFE ，∴△ABF ∽△DFE .(2)在Rt △DEF 中，sin ∠DFE ＝DE EF ＝13，∴设DE ＝a ，EF ＝3a ，DF ＝EF 2－DE 2＝2 2a . ∵将△BCE 沿BE 折叠后得到△BFE ，∴CE ＝EF ＝3a ，CD ＝DE ＋CE ＝4a ，AB ＝4a ，∠EBC ＝∠EBF . 又由(1)知△ABF ∽△DFE ，∴FE BF ＝DF AB ＝2 2a 4a ＝22， ∴tan ∠EBF ＝FEBF ＝22， ∴tan ∠EBC ＝tan ∠EBF ＝22.第1章 解直角三角形1．1 锐角三角函数第1课时 锐角三角函数的概念知识点1 锐角三角函数的定义1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，AB ＝13，则sin A ＝________，cos A ＝________， tan A ＝________．2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( )A ．sin A ＝a cB ．cos B ＝b cC ．tan A ＝b aD ．tan B ＝b c图1－1－13．如图1－1－1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( )A ．sinB ＝AD AB B ．sin B ＝AC BCC ．sin B ＝AD ACD ．tan B ＝AD BD知识点2 已知三角形的边长或边长之间的数量关 系，求三角函数值图1－1－24．2017·湖州如图1－1－2，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos B 的值是( )A.35B.45C.34D.435．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sin A的值是( )A.12B．2 C.55D.526．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cos B的值是( )A.512B.125C.513D.12137．如图1－1－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝1∶2，则sin A＝________，cos A ＝________，tan B＝________．1－1－31－1－48．如图1－1－4，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝________．9．分别求出图1－1－5①②所示的直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值、正切值．图1－1－5知识点3 已知三角函数值，求三角形的边长图1－1－610．如图1－1－6，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，sin B ＝35，则AC 的长为( )A ．3B ．9C ．4D ．1211．如图1－1－7，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则AB 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．4 51－1－71－1－812．如图1－1－8，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AB ＝15，则△ABC 的周长为________．13．如图1－1－9，A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值错误的是( )A.BD BC B.BC AB C.AD AC D.CD AC1－1－91－1－1014．如图1－1－10，以点O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与点A ，B 重合)，连结PO ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(cos α，sin α)D ．(sin α，cos α)15．△ABC 在网格中的位置如图1－1－11所示(每个小正方形的边长均为1)，AD ⊥BC 于点D ，则下列选项中错误．．的是( )图1－1－11A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝116．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm17．课本例3变式如图1－1－12所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝20，S △ABC ＝1003 3，求cos B 及tan B 的值．图1－1－1218．如图1－1－13，直线y ＝12x ＋32与x 轴交于点A ，与直线y ＝2x 交于点B.(1)求点B 的坐标；(2)求sin ∠BAO 的值．图1－1－1319．如图1－1－14，定义：在Rt △ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切，记作cot α，即cot α＝∠α的邻边∠α的对边＝AC BC.根据上述角的余切定义，解答下列问题：(1)cot 30°＝________；(2)已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值．图1－1－14第1章解直角三角形1．1 锐角三角函数第2课时特殊锐角的三角函数值知识点1 特殊角的三角函数值的计算1．sin30°的值为( )A.12B.32C.22D.332．sin30°，cos45°，cos30°的大小关系是( )A．cos30°>cos45°>sin30°B．cos45°>cos30°>sin30°C．sin30°>cos30°>cos45°D．sin30°>cos45°>cos30°3．如图1－1－15①是一张直角三角形的纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个等边三角形，如图1－1－15②，那么在Rt△ABC中，sin B的值是( )图1－1－15A.1 2B.3 2C ．1 D.32 4．计算：(1)sin60°＋cos60°＝________；(2)sin45°cos45°＝________，sin60°cos60°＝________． 5．计算：(1)3cos30°＝________； (2)12＋2sin60°＝________． 6．求下列各式的值：(1)sin 260°＋cos60°－tan45°；(2)3sin60°－2cos45°＋38；(3)cos 245°＋tan60°cos30°＋cos 260°＋sin 260°.知识点2 由特殊角的三角函数值求角度 7．已知∠A 为锐角，sin A ＝22，则∠A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°8．在直角三角形中，2cos α＝3，则锐角α的度数是( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．以上都不对9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝15，则∠A 的度数为( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°. (1)若sin A ＝32，则∠A ＝________°，tan A ＝________； (2)若tan A ＝33，则∠A ＝________°，cos A ＝________． 11．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，若sin A ＝32，cos B ＝12，则∠C ＝________°. 12．已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋(tan β－1)2＝0，则α＋β＝________°.知识点3 特殊角的三角函数值在实际生活中的应用图1－1－1613．图1－1－16是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB ，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC ＝150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是( )A.833 m B ．4 m C ．4 3 m D ．8 m图1－1－1714．如图1－1－17，一艘船向正北方向航行，在A 处看到灯塔S 在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B 点，在B 处看到灯塔S 在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行的过程中，距灯塔S 的最短距离是________海里(不作近似计算)．15．2017·滨州如图1－1－18，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( )图1－1－18A ．2＋ 3B ．2 3C ．3＋ 3D ．3 316．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A2＝________．17．一般地，当α，β为任意角时，sin (α＋β)与sin (α－β)的值可以用下面的公式求得：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.例如：sin 90°＝sin (60°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. 类似地，可以求得sin 15°的值是________．18．如图1－1－19，丁丁想在矩形AECF 中剪出梯形ABCD(如图中的阴影部分)，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE ，CD 的长(精确到个位，3≈1.7)．图1－1－1919．课本作业题第6题变式阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题：sin 30°＝12，cos 30°＝32，则sin 230°＋cos 230°＝________；①sin 60°＝32，cos 60°＝12，则sin 260°＋cos 260°＝________；③ …观察上述等式，猜想：对任意锐角∠A ，都有sin 2A ＋cos 2A ＝________．④(1)如图1－1－20，在Rt △ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想； (2)已知∠A 为锐角(cos A>0)且sin A ＝35，求cos A 的值．图1－1－2020．创新学习数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等．于是，小陆同学提出一个问题：如图1－1－21，将一副三角板的直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一条直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．图1－1－21第1章解直角三角形1.2 锐角三角函数的计算知识点1 利用计算器求锐角的三角函数值1．用计算器求值(精确到0.0001)：sin63°52′41″≈________；cos15°22′30″≈________；tan19°15′≈________.2．比较大小：8cos31°________35.(填“＞”“＝”或“＜”)3．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AB＝8 cm，∠B＝37°，则BC≈________(精确到0.01 cm)．知识点2 由三角函数值求锐角的度数4．用计算器求tan A＝0.5234中的锐角A(精确到1°)时，按键顺序正确的是( )A.tan0·5234＝B.0·5234＝SHIFT tan－1C.SHIFT tan－10·5234＝D.tan－1SHIFT0·5234＝5．用计算器求锐角α(精确到1″)：(1)sinα＝0.2476，α≈________；(2)cosα＝0.4174，α≈________；(3)tanα＝0.1890，α≈________．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)若AC＝5，BC＝12，则AB＝________，tan A＝________，∠A≈________(精确到1″)；(2)若AC＝3，AB＝5，则sin A＝________，tan B＝________，∠A≈________(精确到1″)，∠B≈________(精确到1″)．图1－2－17．如图1－2－1，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为________(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．知识点3 锐角三角函数在实际生活中的应用图1－2－28．如图1－2－2，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB等于( )A．a sin40°米 B．a cos40°米C．a tan40°米 D.atan40°米图1－2－39．2017·宁波如图1－2－3，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)10．如图1－2－4，在一次数学课外实践活动中，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC＝20 m，求树高AB.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图1－2－411．如图1－2－5，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80 cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米．(结果取整数)(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)图1－2－512．如图1－2－6，在Rt△ABO中，斜边AB＝1.若OC∥BA，∠AOC＝36°，则( )图1－2－6A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°13．若∠A是锐角，且cos A＝tan30°，则( )A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45°C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°14．如图1－2－7，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离；(结果取整数)(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，2≈1.41)图1－2－715．为倡导“低碳生活”，我们常选择以自行车作为代步工具，如图1－2－8①所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45 cm，60 cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20 cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°，其示意图如图1－2－8②.(1)求车架档AD的长；(2)求车座点E到车架档AB的距离．(结果精确到1 cm.参考数据：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732)图1－2－816．(1)通过计算(可用计算器)比较大小，并提出你的猜想：①sin30°________2sin15°cos15°；②sin36°________2sin18°cos18°；③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；④sin60°________2sin30°cos30°；⑤sin80°________2sin40°cos40°.猜想：若0°<α<45°，则sin2α________2sin αcos α.(2)已知：如图1－2－9，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2α.请根据图中的提示，利用面积法检验你的结论．图1－2－9第1章 解直角三角形1.3 解直角三角形 第1课时 解直角三角形知识点 已知一边一角或两边解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB 的长为( )A ．4B ．6C ．8D ．102．如图1－3－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，则BC 的长是( ) A.4 33B ．4C ．8 3D ．4 31－3－11－3－23．图1－3－2是教学用的直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm4．2017·慈溪模拟在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝34，AB ＝5，则边AC 的长是( )A ．3B ．4 C.154 D.5 745．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，c ＝10，∠A ＝45°，则a ＝________，b ＝________，∠B ＝________°.6. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ＝6，b ＝2 3，则∠B 的度数为________．图1－3－37．如图1－3－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝37°，BC ＝32，则AC ＝________．(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图1－3－48．如图1－3－4，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，BC ＝4 cm ，tan B ＝32，则△ABC 的面积是________cm 2.9．如图1－3－5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，由下列条件解直角三角形．图1－3－5(1)∠A ＝60°，b ＝4； (2)a ＝13，c ＝23；(3)c ＝2 2，∠B ＝30°； (4)a ＝8，sin B ＝22.10．如图1－3－6，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC ＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)图1－3－611．等腰三角形的腰长为2 3，底边长为6，则底角等于( )A．30°B．45° C．60°D．120°12．如图1－3－7，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC边从点B向点C运动(点D与点B，C不重合)，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，则BE＋CF的值( )A．不变 B．逐渐增大C．逐渐减小 D．先增大后减小1－3－71－3－813．如图1－3－8，在矩形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且FC＝2BF，连结AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是________．图1－3－914．如图1－3－9，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知折痕AE＝5 5 cm，且tan∠EFC＝34，那么矩形ABCD的周长为________cm.15．如图1－3－10，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC的值和点B到直线MC的距离．图1－3－1016．已知：等腰三角形ABC 中，AB ＝AC .(1)若cos B ＝13，且△ABC 的周长为24，求AB 的长；(2)若tan A ＝52，且BC ＝2 3，求AB 的长．17．为了解决停车难问题，交通部门准备沿宽12米、长60米的道路边规划停车位，按每辆车长5米、宽2.4米设计停车后，道路仍有不少于7米的路宽，以保证两车可以双向通过，如图1－3－11设计方案一：车位长边与路边夹角为45°；方案二：车位长边与路边夹角为30°.(1)请计算说明，两种方案是否都能保证通行要求？ (2)计算符合通行要求的方案中最多可以停多少辆车．图1－3－11第1章 解直角三角形1.3 解直角三角形 第2课时 坡度与圆弧问题知识点1 坡度问题图1－3－121．2017·温州如图1－3－12，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是( )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米2．如图1－3－13是某水库大坝横断面示意图．其中CD ，AB 分别表示水库上、下底面的水平线，∠ABC ＝120°，BC 的长是50 m ，则水库大坝的高度h 是( )A ．25 3 mB ．25 mC ．25 2 m D.50 33m1－3－131－3－143．如图1－3－14是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为( )A ．4 3米B ．6 5米C ．12 5米D ．24米4．如图1－3－15，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，则小辰上升了________米．1－3－151－3－165．如图1－3－16，小明爬一土坡，他从A 处到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他距离地面的高度h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝________°.6．2017·萧山区期中如图1－3－17，水库大坝截面的迎水坡坡比(DE 与AE 的长度之比)为1∶0.6，背水坡坡比为1∶2，大坝高DE ＝30米，坝顶宽CD ＝10米，求大坝截面的周长和面积．图1－3－17知识点2 解直角三角形在圆(弧)中的应用图1－3－187．如图1－3－18，秋千链子的长度OA ＝3 m ，静止时秋千踏板处于A 位置，此时踏板距离地面0.3 m ，秋千向两边摆动．当踏板处于A ′位置时，摆角最大，即∠AOA ′＝50°，则在A ′位置，踏板与地面的距离约为________．(sin50°≈0.766，cos50°≈0.6428，结果精确到0.01 m)8．如图1－3－19是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD ＝24 m ，OE ⊥CD 于点E ，已测得sin ∠DOE ＝1213.(1)求半径OD ；(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？图1－3－19图1－3－209．如图1－3－20，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )A．2 3 m B．2 6 mC．(2 3－2)m D．(2 6－2)m10．2017·淮安A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图1－3－21所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝20 km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少．(结果精确到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图1－3－2111．如图1－3－22，一楼房AB后有一假山，其坡度i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房的水平距离BC＝25米，与亭子的距离CE＝20米．小丽从楼房顶(点A)测得点E的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)图1－3－2212．如图1－3－23是一副创意卡通圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可以绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10 cm.(1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01 cm)(2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01 cm)(参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器)图1－3－23第1章解直角三角形第3课时方位角与仰角、俯角问题知识点1 方向角问题图1－3－241．如图1－3－24，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB是( )A．2海里 B．2sin55°海里C．2cos55°海里 D．2tan55°海里2．2017·泸州如图1－3－25，海中一渔船在A处且与小岛C相距70 n mile，若该渔船由西向东航行30 n mile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上．求该渔船此时与小岛C之间的距离．图1－3－253．如图1－3－26，一艘海监船以30海里/时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时岛C与该船距离最短．(1)请在图中作出该船在点B处的位置；(2)求岛C与B处之间的距离(结果保留根号)．图1－3－26知识点2 仰角与俯角问题4．如图1－3－27，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一座隧道(B ，C 在同一水平面上)，为了测量B ，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B ，C 两地之间的距离为( )A ．100 3 mB ．50 2 mC ．50 3 m D.100 33m1－3－271－3－285．如图1－3－28，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为30°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球A 与高楼的水平距离为120 m ，这栋高楼BC 的高度为( )A ．40 3 mB ．80 3 mC ．120 3 mD ．160 3 m6．天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图1－3－29，从位于天封塔的观测点C 测得两建筑物底部A ，B 的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度CD 为51米，A ，B 两点在CD 的两侧，且点A ，D ，B 在同一水平线上，求A ，B 之间的距离．(结果保留根号)图1－3－297．2017·广安如图1－3－30，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥AD，垂足分别为A，D.从D点测得B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝30米．(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD；(2)求乙建筑物的高CD.图1－3－308．2017·重庆如图1－3－31，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)( )A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米1－3－311－3－329．高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪声．如图1－3－32，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？________(填“需要”或“不需要”)．(3取1.732)10．课本作业题第2题变式2017·绍兴如图1－3－33，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30 m.(1)求∠BCD的度数；(2)求教学楼的高BD(结果精确到0.1 m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)．图1－3－3311．创新学习某市一湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离．测量方案如下：如图1－3－34，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用测倾器测得“乡思柳”顶端M的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米；然后，小军在A处蹲下，用测倾器测得“乡思柳”顶端M的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上所测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1米)．(参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452)图1－3－34。
浙教版九下解直角三角形同步测试题3套
解直角三角形（1）同步练习◆基础训练1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，c=2，则a=______，b=_______．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，则b=______，c=_______．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，b=6，则c=_______，tanA=______．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，c=2，b=1，则a=_______，∠B=______．5．菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论正确的是（）A．sinα=45B．cosα=35C．tanα=43D．sinα=356．如图，钓鱼竿AC长6米，露出水面的鱼线BC长32米，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露出水面的鱼线B′C′长33米，则鱼竿转过的角度是（）A．60°B．45°C．15°D．90°7．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a=26，b=62，解这个直角三角形．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=32，AC=4，求∠A，∠B和BC．◆提高训练9．如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠B=30°，CD=93，•对角线CA⊥AB，求AD和BC的长度．10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠BAC的平分线AD=1633，求∠B•的度数及BC，AB的长度．11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，A B⊥BC，∠BAC=60°，∠ADC=135°，BC=123，•求梯形的面积．12．如图，红星中学数学课外小组在测量学校国旗旗杆的高度时，在地面上选择点D处放置测角仪，测角仪的高CD为1．5米，利用测角仪测得旗杆顶端A•点的仰角为30°，点D到旗杆底端B点的距离为15米，求旗杆的高度．◆拓展训练13．已知在△ABC中，AB=AC，BC=8cm，tanB=34，一动点P•在底边上从点B•向点C•以0.25cm/s的速度移动，当PA与腰垂直时，P点运动了_______s．14．如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．（1）2+1=2 S1=1 2（2）2+1=3 S2=2 2（3）2+1=4 S3=3 2……（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+…+S102的值．答案:1．1，32．43，8 3．10，434．3，30°5．D 6．C7．c=46，∠A=30°，∠B=60°8．∠A=30°，∠B=60°，BC=4339．AD=9，BC=36 10．∠B=30°，3AB=16 11．37212．（323）米13．7或2514．（1）21055()11,(2)10(3)24n nn n S OA +=+==解直角三角形（2）同步练习◆基础训练1．在Rt △ABC 中，∠A=90°．（1）若AC=21，BC=35，则AB=______，sinC=______； （2）若∠B=30°，AB=103，则AC=______，BC=______．2．•若某人沿坡度i=•3：•4•的斜坡前进10m ，•则他所在的位置比原来的位置升高______m ． 3．若三角形两边长为6和8，这两边的夹角为60°，则其面积为______． 4．等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则顶角为_______．5．一个锥形零件，图纸规定轴截面的倾斜角的正切值是116，•则该锥形零件的锥度k 是（ ） A ．16 B ．132 C ．116 D ．186．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sinA=23，则cosA 的值为（ ）．A ．35 B ．53 C ．255 D ．527．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若BC=2，cosB=13，则AC 的长为（ ） A ．2310 B ．210 C ．42 D ．4328．如图，将两张宽度都为1的纸条叠放成如图所示的图形，•如果所成四边形的锐角为α，那么这个四边形的面积是（ A ．11.tan .tan .cos sin B C D αααα◆提高训练9．如图，苏州某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高20cm，•水平宽度为30cm．现为了方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡．设台阶的起点为A，•斜坡的起始点为C，现将坡角∠BCA设计为30°，则AC的长度为_______．10．如图，有长为100m的斜坡AB，它的坡角是45°，现把它改为坡角为30°的斜坡AC，求BC的长（精确到0.1m）．11．如图，AD是△ABC的角平分线，且AD=16315，∠C=90°，AC=85，求BC及AB．12．如图，我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为1000米，山高为565米，如果这辆坦克能够爬30°的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？◆拓展训练13．如图，已知电线杆AB直立于地面上，•它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC 上．如果CD与地面成45°，∠A=60°，CD=4m，BC=（46－22）m，求电线杆AB的长．14．如图，为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2m，下底宽为2m，坡度为1：的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6m，求：（1）渠面宽EF；（2）修200m的渠道需挖的土方数．答案:1．（1）28，45（2）10，20 2．6 3．1234．120°5．D 6．B 7．C 8．D 9．60（3－1）cm 10．51.8m11．BC=815，AB=16512．能13．62m14．（1）4.88m （2）710.4m3解直角三角形（3）同步练习◆基础训练1．如图1，在地面上用测角仪DF测得旗杆顶端A的仰角a=40°42′，已知F点到旗杆底端C的距离FC=17.71米，测角仪高DF=1.35米，则旗杆高AC约为（精确到0.01米）（）A．16.58米B．米C．12.90米D．21.94米图1 图2 图32．如图2，在山坡上种树，已知∠A=30°，AC=3•米，•则相邻两树的坡面距离AB为（）A．6米B．3米C．23米D．22米3．如图3，在一块三角形空地上种草皮绿化环境．已知AB=20米，AC=30米，••∠A=150°，草皮的售价为a元/米2，则购买草皮至少需要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元4．如图4，沿AC方向开山修隧道，为了加快施工进度，•要在小山的另一边同时施工，从AC上取一点B使∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A，B，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（）A．500sin55°米B．500cos55°米C．500tan55°米D．500 cos55米图4 图5 图6 图75．如图5，从某海岛上的观察所A测得海上某船B的俯角α=8°18′，•若观察所A距离海平面的垂直高度AC=50m，则船B到观察所A的水平距离BC等于________（•精确到1m）．6．如图6，当太阳光与地面上的树影成45•°角时，•树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于______米．7．如图7，一根竹竿垂直插在水中，露出水面部分长0.5米，若竹竿顶部偏离原地2米，此时竹竿顶恰好与水面齐平，那么水深______米，竹竿偏离角α≈______（精确到1度）．8．在△ABO中，OA=OB=5，OA边上的高为4，将△ABO放在平面直角坐标系中，•使点O与原点重合，点A在x轴的正半轴上，那么点B的坐标是_______．◆提高训练9．如图8，要测量山上石油钻井的井架高BC，先从山脚A处测得AC=48米，•塔顶B的仰角α=45°，已知山坡的坡角β=30°，则井架高BC为______米（精确到1米）．图8 图9 图1010．如图9，线段AB，CD分别表示甲，乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD．•从甲楼顶部A测得乙楼顶C的仰角α=30°，乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼的高AB=24米，则乙楼高CD为_______米．11．如图10，在高为100米的山顶D上，测得一铁塔的塔顶A与塔基B•的俯角分别为30°和45°，则塔高AB为______米（精确到0.1米）．12．如图，已知测速站P到公路L的距离PO为40米，一辆汽车在公路L上行驶，测得此车从点A行驶到点B的所用的时间为2秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=30°，•计算此车从A到B的平均速度，并判断此车是否超过了每小时70千米的限制速度．◆拓展训练13．如图，从点A看一高台上的电线杆CD，顶端C的仰角为45°，向前走6•米到B点，测得其顶端C和杆底D的仰角分别是60°和30°，求电线杆CD的高（精确到0.1米）．14．如图，据气象台报告，在某市A的正南方向，距离A市100千米的B处有一台风中心，现正以40千米/时的速度沿北偏东30°方向往C处移动，台风中心周围60千米范围内的区域会受到影响，该城市会不会受到台风影响？如果会受台风影响，•那么受台风影响的时间有多长？答案:1．A 2．C 3．C 4．B 5．343m 6．10 7．154，28°8．（3，4）或（3，－4）或（－3，4）或（－3，－4）9．18 10．32 11．42．3 12．约83千米/时超速13．9.5米14．会，11。
2022-2023学年浙教版九年级数学下册《1-3解直角三角形》同步达标测试题(附答案)
2022-2023学年浙教版九年级数学下册《1.3解直角三角形》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．某人沿着坡度为1：2的山坡前进了100米，则此人所在的位置升高了（）A．100米B．50米C．50米D．2．如图，一块矩形薄木板ABCD斜靠在墙角MON处（OM⊥ON，点A，B，C，D，O，M，N在同一平面内），已知AB＝m，AD＝n，∠ADO＝α．则点B到ON的距离等于（）A．m•cosα+n•cosαB．m•sinα+n•cosαC．m•cosα+n•sinαD．m•sinα+n•sinα3．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B 处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离为（）A．海里B．海里C．40海里D．海里4．某公司准备从大楼点G处挂一块大型条幅到点E，公司进行实地测量，工作人员从大楼底部F点沿水平直线步行40米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端点E 的仰角为36°；然后他再沿着坡度i＝1：0.75长度为50米的自动扶梯到达扶梯顶端D 点，又沿水平直线行走了80米到达C点，在C点测得条幅上端点G的仰角为50°（A，B，C，D，E，F，G在同一个平面内，且C，D和A，B，F分别在同一水平线上），则GE的高度约为（）（结果精确到0.1，参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）A．189.3米B．178.5米C．167.3米D．188.5米5．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行30km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行20km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B 之间的距离为（）A．20km B．km C．km D．km 6．如图，某校教学楼AB与CD的水平间距BD＝am，在教学楼CD的顶部C点测得教学楼AB的顶部A点的仰角为α，测得教学楼AB的底部B点的俯角为β，则教学楼AB的高度是（）A．（a tanα+a tanβ）m B．C．（a sinα+a sinβ）m D．（a cosα+a cosβ）m7．如图，一条船从灯塔C南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船与灯塔C距离为（）海里．A．4B．8C．16D．248．如图是某地滑雪运动场大跳台简化成的示意图．其中AB段是助滑坡，倾斜角∠1＝37°，BC段是水平起跳台，CD段是着陆坡，倾斜角∠2＝30°，sin37°≈0.6，cos37°＝0.8．若整个赛道长度（包括AB、BC、CD段）为270m，平台BC的长度是60m，整个赛道的垂直落差AN是114m．则AB段的长度大约是（）A．80m B．85m C．90m D．95m二．填空题（共8小题，满分32分）9．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）10．如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为千米．11．为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24m，∠BAC＝66.5°，则这棵古杉树AB的长为m．（结果取整数）（参考数据：＝1.414，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）12．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．则该电线杆PQ的高度是（结果可保留根号）13．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10.8米，灯杆AB的长为2.4米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，灯亮时其投射角α满足cosα＝，灯罩上装有自动控制旋钮用以调整灯罩方位，初始状态下，灯的投射区域为DE，D 处测得路灯A的仰角为β，且tanβ＝6，若调整灯罩旋钮使点D沿DE方向移动2米，则点E移动的距离为米．14．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点B处，底端落在水平地面的点A处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，且sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了米．15．如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若量得支撑板长CD＝8cm，∠CDE＝60°，则点C到底座DE的距离为cm．（结果保留根号）16．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A 为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．三．解答题（共6小题，满分56分）17．某初中数学兴趣小组想测量学校旗杆CD的高度，他们在地面上选取了一个测量点A 测得点D的仰角为26.6°，然后他们沿AC方向移动43.7m到达测量点B，在B点测得（参考数据：sin37°点D的仰角为37°，如图所示．求旗杆CD的高度．（结果精确到0.1m）≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）18．如图，一艘轮船位于灯塔P东偏南25°方向，与灯塔距离为80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东30°方向的B处，求此时轮船所在B处与灯塔P的距离（结果取整数）．（参考数据：sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，≈1.732）19．如图，△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿线段BC以2cm/s 的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿着C→A→B的方向以3cm/s的速度向终点B 运动，P，Q同时出发，设点P运动的时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）．（1）求sin B；（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．20．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）21．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）22．如图，小谢想测某楼的高度，她站在B点从A处望向三楼的老田（D），测得仰角∠DAG 为30°，接着她向高楼方向前进1m，从E处仰望楼顶F，测得仰角∠FEG为45°，已知小谢身高（AB）1.7m，DF＝6m．（参考数据：≈1.7，≈1.4）（1）求GE的距离（结果保留根号）；（2）求高楼CF的高度（结果保留一位小数）．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：设此人所在的位置升高了x米，∵斜坡的坡度为1：2，∴此人前进的水平距离为2x米，由勾股定理得：x2+（2x）2＝（100）2，解得：x＝100（负值舍去），∴此人所在的位置升高了100米，故选：A．2．解：如图，作BE⊥OA交OA的延长线于点E，∵OD⊥OA，∴∠AEB＝∠AOD＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝n，∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠OAD＝∠ADO＝α，∵＝cos∠BAE＝cosα，∴AE＝AB•cosα＝m•cosα，∵＝sin∠ADO＝sinα，∴OA＝AD•sinα＝n•sinα，∴OE＝AE+OA＝m•cosα+n•sinα，∵BE∥ON，∴点B、点E到ON的距离相等，∴点B到ON的距离等于m•cosα+n•sinα，故选：C．3．解：如图，过点B作BN⊥AM于点N，由题意得，AB＝40×1＝40海里，∠ABM＝105°，在直角三角形ABN中，BN＝AB•sin45°＝20（海里），在直角△BNM中，∠MBN＝105°﹣45°＝60°，∴∠M＝30°，∴BM＝2BN＝40（海里）．故选：D．4．解：过D作DM⊥AB于M，DN⊥GE于N，如图所示：则四边形DMFN是矩形，∴NF＝DM，DN＝FM，∵AD的坡度i＝1：0.75，AD＝50米，∴NF＝DM＝AD＝40（米），AM＝AD＝30（米），∴DN＝FM＝AF+AM＝40+30＝70（米），∴CN＝CD+DN＝80+70＝150（米），在Rt△CGN中，∠GCN＝50°，tan∠GCN＝＝tan50°≈1.19，∴GN≈1.19CN＝1.19×150＝178.5（米），∴GF＝GN+NF＝178.5+40＝218.5（米），在Rt△AEF中，∠EAF＝36°，tan∠EAF＝＝tan36°≈0.73，∴EF≈0.73×40＝29.2（米），∴GE＝GF﹣EF＝218.5﹣29.2≈189.3（米），故选：A．5．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：∵∠ABC＝90°，∴四边形BCFE是矩形，∴EF＝BC＝30km，CF＝BE，由题意得：∠DCF＝60°，∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∴∠CDF＝90°﹣60°＝30°，∴CF＝CD＝×20＝10（km），∴BE＝10km，DF＝sin60°×CD＝×20＝10（km），∴DE＝DF+EF＝（10+30）（km），∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan30°×DE＝×（10+30）＝（10+10）（km），∴AB＝AE+BE＝10+10+10＝（10+20）（km），故选：B．6．解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意得：CE＝BD＝a米，在Rt△BEC中，∠BCE＝β，∴BE＝CE•tan∠BCE＝a tanβ米，在Rt△AEC中，∠ACE＝α，∴AE＝CE•tan∠ACE＝a tanα米，∴AB＝AE+BE＝（a tanα+a tanβ）米，故选：A．7．解：由题意得，∠BAC＝42°，∠BCA＝84°﹣42°＝42°，AB＝8海里，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB＝8海里，即船与灯塔C距离为8海里．故选：B．8．解：过点C作CH⊥DN于H，设AB＝xm，则CD＝270﹣60﹣x＝（210﹣x）m，在Rt△CDH中，∠2＝30°，则CH＝CD＝（210﹣x）m，在Rt△ABM中，sin∠1＝，则AM＝AB•sin∠1≈0.6xm，由题意得：（210﹣x）+0.6x＝114，解得：x＝90，即AB＝90m，故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57米，DE＝30米，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30米，∵AB＝57米，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30米，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30米．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝（57﹣30）米，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．10．解：如图，过该建筑物的顶端C点作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意得，∠CAB＝15°，∠CBD＝30°，AB＝4千米，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝15°，∴∠ACB＝∠CAB，∴BC＝AB＝4千米，在Rt△BCD中，sin30°＝，解得CD＝2，∴该建筑物离地面的高度为2千米．故答案为：2．11．解：过B点作BD⊥AC于D．∵∠ACB＝45°，∠BAC＝66.5°，∴在Rt△ADB中，AD＝，在Rt△CDB中，CD＝BD，∵AC＝AD+CD＝24m，∴+BD＝24，解得BD≈17m．AB＝≈18m．答：这棵古杉树AB的长度大约为18m．故答案为：18．12．解：延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米．在直角△APE中，∠A＝45°，则AE＝PE＝x米；∵∠PBE＝60°∴∠BPE＝30°在直角△BPE中，BE＝PE＝x米，∵AB＝AE﹣BE＝6米，则x﹣x＝6，解得：x＝9+3．则BE＝（3+3）米．在直角△BEQ中，QE＝BE＝（3+3）＝（3+）米．∴PQ＝PE﹣QE＝9+3﹣（3+）＝6+2≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．13．解：如上图所示，灯罩调整后，灯光在地面的落点E移动到E′的位置，过A点做AD′⊥CE，过B点做BM⊥AD′，易求出AM＝AB•sin30°＝1.2，则AD′＝10.8+1.2＝12（米），DD′＝AD′÷tanβ＝12÷6＝2，有题意得点D沿DE方向移动2米，即AD′⊥CE，同时D′点也是D点移动后的位置，则AD2＝AD′2+DD′2＝122+22＝148，AD＝2，在△ADE中，过E点做EH⊥AD，设DE的长度为x，则：x•cosβ+x•sinβ÷tanα＝AD（由tanβ＝6，可得cosβ＝，sinβ＝；由cosα＝知tanα＝）解得：x＝＝DE，灯罩移动后，投射角α＝∠D′AE′，在RT△AD′E′中，D′E′＝AD′•tanα＝12•＝16，EE′＝DE′﹣DE＝DD′+D′E﹣DE＝2+16﹣＝（米），故答案是．14．解：如图，由题意可知，∠ACB＝90°，AB＝ED＝10，由＝sinα＝＝cosβ＝，设BC＝3m，则AB＝5m，则5m＝10，解得m＝2，∴BC＝3×2＝6，设EC＝3n，则ED＝5n，∴5n＝10，解得n＝2，∴EC＝3×2＝6，∴DC＝＝＝8，∴BD＝DC﹣BC＝8﹣6＝2（米），∴梯子顶端上升了2米，故答案为：2．15．解：作CH⊥DE于H，∵CD＝8cm，∠CDE＝60°，∴CH＝CD•sin∠CDE＝8×sin60°＝4（cm），故答案为：4．16．解：在直角三角形中，sin A＝，则BC＝AB•sin A＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701m，则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.9，＝0.801≈0.8（m），故答案为：0.8．三．解答题（共6小题，满分56分）17．解：设BC＝xm，在Rt△BCD中，∠DBC＝37°，∴DC＝BC•tan37°≈0.75x（m），∵AB＝43.7m，∴AC＝BC+AB＝（x+43.7）m，在Rt△ADC中，∠DAC＝26.6°，∴tan26.6°＝＝≈0.50，∴x＝87.4，经检验：x＝87.4是原方程的根，∴CD＝0.75x≈65.6（m），∴旗杆CD的高度约为65.6m．18．解：延长BA交灯塔P正东方向于C，如图所示：则∠BCP＝90°，∠BPC＝90°﹣30°＝60°，∴∠PBC＝90°﹣60°＝30°，在Rt△ACP中，∠APC＝25°，cos∠APC＝，即cos25°＝，∴PC＝80×cos25°≈80×0.906＝72.48（nmile），在Rt△BCP中，∠PBC＝30°，∴BP＝2PC＝2×72.48≈145（nmile），答：此时轮船所在B处与灯塔P的距离约为145nmile．19．解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝3cm，AD⊥BC，∴BD＝BC＝2cm，在Rt△ABD中，AB＝3cm，BD＝2cm，∴AD＝＝＝，∴sin B＝＝；（2）过点Q作QE⊥BC，垂足为E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴sin B＝sin C＝，分两种情况：当0＜t≤1时，由题意得：CQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝4﹣2t，在Rt△CQE中，QE＝CQ sin C＝3t•＝t，∴S＝CP•QE＝•（4﹣2t）•t＝2t﹣t2＝﹣t2+2t，当1＜t＜2时，由题意得：CA+AQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝4﹣2t，BQ＝AB+AC﹣（CA+AQ）＝6﹣3t，在Rt△BQE中，QE＝BQ sin B＝（6﹣3t）•＝2﹣t，∴S＝CP•QE＝•（4﹣2t）•（2﹣t）＝t2﹣4t+4，∴S＝．20．解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，在Rt△AEM中，∵tan∠AEM＝，∴EM＝＝≈16.9，在Rt△AFN中，∵tan∠AFN＝，∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，答：2号楼的高度约为45.8米．21．解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．∵i＝1：＝＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝5（米），即点B距水平地面AE的高度为5米；（2）在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝5（米）＝NE，AM＝AB＝5（米），∴ME＝AM+AE＝（5+21）米＝BN，∵∠CBN＝45°，∴CN＝BN＝ME＝（5+21）米，∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，∴DE＝AE•tan53°≈21×＝28（米），∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米），即广告牌CD的高度约为6.7米．22．解：（1）设GE＝xm，∵∠EGF＝90°，∠FEG＝45°，∴△EFG是等腰直角三角形，∴FG＝EG＝xm，在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，AG＝EG+AE＝（x+1）m，∵tan∠DAG＝＝tan30°＝，∴DG＝AG＝（x+1）m，∵FG﹣DG＝DF，∴x﹣（x+1）＝6，解得：x＝，答：GE的距离为m；（2）由（1）得：FG＝GE＝m，∵GC＝AB＝1.7m，∴CF＝FG+GC＝+1.7≈17.2（m），答：高楼CF的高度约为17.2m．。
春九年级数学下册1解直角三角形同步练习新版浙教版031518【含解析】
C. 76◦ C D. 85◦ C 3 ) 3. 如图，Rt△ABC 中，∠C = 90◦ ，若 AB = 5，sin A = ，则 AC 的长是( 5 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 若 tan α = 11.43，则 α 的度数是 ( A. 35◦ C B. 48◦ C
)
4. 如图，点 A 为 ∠α 边上任意一点，作 AC ⊥ BC 于点 C ，CD ⊥ AB 于点 D，下列用线段比表 示 cos α 的值，错误的是( ) BD BC AD CD A. B. C. D. BC AB AC AC 5. 如图，A 、B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与 A 同侧的河岸边选定一 点 C ，测出 AC = a 米，∠A = 90◦ ，∠C = 40◦ ，则 AB 等于( )米． a A. a sin 40◦ B. a cos 40◦ C. a tan 40◦ D. tan 40◦ 6. 已知甲、乙两坡的坡角分别为 α，β ，若甲坡比乙坡更陡些，则下列结论正确的是 ( ) A. tan α < tan β B. sin α < sin β C. cos α < cos β D. cos α > cos β √ ◦ ) 7. 若 α 是锐角且 α > 15◦ ， 3 tan √ (α − 15 ) = 1，则 tan α 的值是( √ 2 1 B. C. 3 A. D. 1 2 2 8. 已知：sin α + cos α = m，sin α − cos α = n，则 m，n 之间的关系是( A. m = n B. m = 2n + 1 C. m2 = 2 − n2 ) D. m2 = 1 − 2n
，cos 48◦ =
, tan 20◦ · tan 70◦ =
九年级数学下册第1章解直角三角形同步练习共11套浙教版
适用精选文件资料分享九年级数学下册第 1 章解直角三角形同步练习（共11 套浙教版）解直角三角形章末总结提高(见A本59页) ,研究点1三角函数的定义 )【例1】2017?金华中考在Rt△ABC中，∠ C＝90°，AB＝5，BC＝3，则 tan A 的值是D.45 变式图变式以以以下图，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是 (3 ，m)，且 OP与 x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则 sinα 的值为( A ) A.45 B.54 C.35 D.53 ,研究点2求锐角三角函数值 ) 【例 2】在△ ABC中，若 tan A ＝1，sin B ＝22，你以为最确实的判断是 ( B ) A．△ ABC是等腰三角形 B ．△ ABC是等腰直角三角形 C．△ ABC是直角三角形 D．△ ABC是一般锐角三角形变式 2017?烟台中考在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则 sin A2 ＝__12__．例 3 图【例 3】以以以下图，在△ ABC中，已知 AB＝AC，∠A＝45°，BD⊥AC于点 D.依据该图可以求出 tan 22.5 °＝__2－1__. 变式图变式以以以下图， 6 个形状、大小完满同样的菱形构成网格，菱形的极点称为格点．已知菱形的一个角 ( ∠O)为 60°，A， B ，C都在格点上，则tan ∠ABC的值是 __32__． ,研究点3解直角三角形及其应用 ) 例 4 图【例 4】 2017?益阳中考以以以下图，电线杆 CD的高度为 h，两根拉线 AC与 BC互相垂直，∠ CAB＝α，则拉线 BC的长度为 (A，D，B 在同一条直线上 )( B ) A.hsin αααD．h?cosα变式图变式以以以下图，港口 A 在察看站 O的正东方向， OA＝40 海里，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15°方向航行半小时后到达 B 处，此时从察看站 O处测得该船位于北偏东60°的方向．求该船航行的速度．变式答图解：过点 A 作 AD⊥OB 于点D. 在 Rt△AOD中，∵∠ ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝40，∴AD＝12OA＝20. 在 Rt△ABD中，∵∠ ADB＝90°，∠ B＝∠ CAB－∠ AOB＝75°－30°＝45° ∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝45°＝∠ B，∴BD＝ AD＝20, ∴AB＝ AD2＋BD2＝2AD＝202. ∴该船航行的速度为 202÷0.5 ＝ 402( 海里 / 小时 ) ．1．若 A 为锐角，且 sin A＝45，则 tan A 的值为 ( B ) A. 34 B.43 C. 35 D. 53 2．在△ ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tanB－3)?(2sin A －3) ＝0，则△ ABC是( D ) A ．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是 60°的三角形 3 ．如图所示，平面直角坐标系中有一正方形 ABCD，已知 A(1，0) ，B(0，3) ，则sin ∠COA＝ __45__．第 3 题图第 4 题图 4 ．以以以下图，在边长同样的小正方形网格中，点 A，B，C， D都在这些小正方形的极点上，AB，CD订交于点 P，则 APPB的值＝ __3__，tan ∠APD的值＝__2__．第 5 题图 5 ．以以以下图，在一斜坡坡顶 A处的同一水平线上有一古塔，为丈量塔高 BC，数学老师带领同学在坡脚 P处测得斜坡的坡角为α，且 tan α＝724，塔顶 C处的仰角为 30°，他们沿着斜坡攀行了 50米，到达坡顶 A 处，在 A 处测得塔顶 C的仰角为 60°. (1) 求斜坡的高度 AD；(2) 求塔高 BC. 解： (1) 在 Rt△APD中， tan α＝724，设AD＝7k，PD＝24k，∴PA＝ 25k，∴k＝2，AD＝14( 米) ． (2)(243 －21) 米 6 ．连云港中考以以以下图，在△ ABC中，∠C＝150°，AC＝4， tan B ＝18. (1) 求 BC的长； (2) 利用此图形求 tan 15 °的值．第 6 题图解：(1) 过 A 作 AD⊥BC，交 BC的延长线于点 D，如图 (a) 所示．在Rt△ADC中， AC＝4，∵∠ C＝150°，∴∠ ACD＝30°，∴ AD＝ 12AC＝2， CD＝ACcos 30°＝ 4×32＝ 23. 在 Rt△ABD中， tan B ＝ADBD ＝2BD＝18，∴BD＝16，∴BC＝BD－CD＝16－23. 图(a)图(b) 第 6 题答图 (2) 在 BC边上取一点 M，使得 CM＝AC，连结 AM，如图 (b) 所示．∵∠ ACB＝150°，∴∠ AMC＝∠ MAC＝15°， tan 15°＝tan ∠AMD＝ ADMD＝24＋23＝12＋3＝2－3.第 7 题图 7 ．2017?舟山中考如图是小强洗刷时的侧面表示图，洗刷台( 矩形 ABCD)靠墙摆放，高 AD＝80 cm，宽 AB＝48 cm，小强身高 166 cm，下半身 FG＝100 cm，洗刷时下半身与地面成 80°( ∠FGK＝80°) ，身体前倾成 125°( ∠EFG＝125°) ，脚与洗刷台距离 GC＝15 cm(点 D，C，G，K 在同向来线上 ) ．(1) 此时小强头部 E 点与地面 DK相距多少？(2)小强希望他的头部 E 恰幸好洗刷盆 AB的中点 O的正上方，他应向前或退后多少 cm? (sin 80 °≈ 0.98 ，cos 80 °≈ 0.17 ，2≈1.41 ，结果精确到 0.1 cm) 第 7 题答图解： (1) 过点 F 作 FN⊥DK于点 N，过点 E 作 EM⊥FN于点 M. ∵EF＋ FG＝166，FG＝100，∴ EF＝66，∵∠ FGK＝80°，∴ FN＝100sin 80 °≈ 98，又∵∠ EFG＝125°，∴∠ EFM＝180°－ 125°－ 10°＝ 45°.∴FM＝66cos45°＝332≈46.53 ，∴MN＝ FN＋FM≈144.5.∴他头部E点与地面DK相距约 144.5 cm. (2) 过点 E 作 EP⊥AB于点 P，延长 OB交 MN于点 H. ∵AB ＝48，O为 AB的中点，∴ AO＝BO＝24，∵EM＝66 sin45 °≈ 46.53 ，即 PH≈46.53. GN ＝100cos80°≈ 17， CG＝15，∴OH＝24＋15＋17＝56. OP＝OH－PH＝56－46.53 ＝9.47 ≈9.5. ∴他应向前约9.5 cm. 8．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对 (can) ．如图①，在△ ABC中， AB＝AC，底角∠B的邻对记作 can B，这时 can B＝底边腰＝ BCAB容.易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，依据上述角的邻对的定义，解以下问题：(1)can30 °＝ __3__； (2)如图②，已知在△ ABC中，AB＝AC，can B＝85，S△ABC＝ 24，求△ABC 的周长．第 8 题图解： (1)3 (2) 过点 A 作 AE⊥BC于点 E，∵canB＝85，可设 BC＝8x，AB＝5x，则 BE＝12BC＝4x，∴AE＝AB2－BE2＝3x. ∵S△ABC＝ 24，∴12BC?AE＝12x2＝24，解得 x＝2，故 AB＝AC＝52，BC＝82，∴△ ABC的周长为 AB＋AC＋BC＝52＋52＋ 82＝182.。
浙教版数学九年级下册《解直角三角形》同步练习1.docx
《解直角三角形》同步练习1【基础练习】一、填空题：1.如图1-16，在高20米的建筑物CD 的顶部C 测得塔顶A 的仰角为60°，测得塔底B 的俯角为30°，则塔高AB = 米； 2.如图1-17，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在地面BC 和斜坡的坡面CD 上，测得BC = 10米，CD = 4米，CD 与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 米.二、选择题：1.如图1-18，测量人员在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿着倾角为30°的山坡前进1 000米到达D 处，在D 处测得山顶B 的仰角为60°，则山高BC 大约是（精确到0.01米）（ ）；A. 1 366.00米B. 1 482.12米C. 1 295.93米D. 1 508.21米2.如图1-19，两建筑物的水平距离为a 米，从A 点测得D 点的俯角为α，测得C 点的俯角为β. 则较低建筑物CD 的高度为（ ）.A. a 米B.αtan a C. βtan a D. a (tan β- tan α) 三、解答题：如图1-20，光明中学九年级（2）班的同学用自己制作的侧倾器测量该校旗杆的高度，已知测倾器CD 的高度为1.54米，测点D 到旗杆的水平距离BD = 20米，测得旗杆顶A 的仰角α= 35°，求旗杆AB 的高度（精确到0.01米）.【综合练习】如图1-21，小山上有一座铁塔AB ，在山脚D 处测得点A 的仰角为60°，测得点B 的仰角为45°，在E 处测得点A 的仰角为30°（C 、D 、E 在同一条直线上），并测得DE = 90 m ，求小山BC 和铁塔AB 的高（精确到0.1 m ）.参考答案【基础练习】一、1. 80； 2. 7 +3. 二、1. A； 2. D. 三、15.54米.【综合练习】小山BC高45 m，铁塔AB高约32.9米.初中数学试卷。
浙教版九年级数学下 第一章 解直角三角形 同步练习 1.3 解直角三角(二)
浙教版九年级数学下第一章解直角三角形同步练习1.3解直角三角形（二）第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，3*10=30）1．已知:R t△ABC中,∠C＝90°,cos A＝35,AB＝15,那么AC的长是( ).A.3B.6C.9D.122. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶3，堤高BC＝10 m，则坡面AB的长度是( ) A．15 m B．20 3 m C．20 m D．10 3 m3. 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12 m，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( ) A．4 3 m B．6 5 m C．12 5 m D．24 m4．铁路路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为2:3,顶宽6m, 路基高4m,则路基的下底宽( ).A.18mB.15mC.12mD.10m5．如图，一河坝的横断面为梯形ABCD，BC∥AD，AB＝DC，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡比i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( )A．26米 B．28米 C．30米 D．46米6．河堤的横断面如图所示，堤高BC是5 m，迎水坡AB的长是13 m，那么斜坡AB的坡比i是( )A ．1∶3B ．1∶2.6C ．1∶2.4D ．1∶27．已知一坡面的坡比为1∶3，则坡角α为( ) A ．15° B ．20° C ．30° D ．45°8．如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC 为2 m ，则两树间的坡面距离AB 为( ) A ．4 m B. 3 m C.433m D ．4 3 m9．河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )A ．53米B ．10米C ．15米D ．103米10．如图所示，△ABC 中，D 在AC 上，DE ⊥BC 于E ，若DC AD 2=，AB=4DE ，则sinB 的值是（ ） A.21 B.37 C.773 D.43B E C第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A=60°，a+b=2，求c 边的长度为___________。
浙教版 九年级数学下册 第1章 解直角三角形 单元同步练习 习题合集(含答案解析)
1.1～1.2一、选择题(每小题4分，共32分) 1．cos60°的值等于( ) A. 3 B ．1 C.22 D.122．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝47，BC ＝8，则AB 的长为( )A ．10B ．12C ．14D ．16图G －5－13．如图G －5－1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )A ．1B ．1.5C ．2D ．34．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(cos30°，tan45°)，则点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫32，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32C.⎝⎛⎭⎪⎫32，－1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1 5．如图G －5－2所示，AC 是电线杆AB 的一根拉线，测得BC ＝6米，∠ACB ＝52°，则拉线AC 的长为( )A.6sin52°米 B.6tan52°米C ．6cos52°米 D.6cos52°米G －5－2G －5－36．如图G －5－3，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，已知∠ACD 的正弦值是23，则AC AB的值是( )A.25B.35C.52D.237．一座楼梯的示意图如图G －5－4所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽1米，则地毯的面积至少需要( )A.4sin θ平方米 B.4cos θ平方米 C ．(4＋4tan θ)平方米 D ．(4＋4tan θ)平方米G －5－4G －5－58．如图G －5－5，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为32，AC ＝2，则sin B 的值是( )A.23B.32C.34D.43二、填空题(每小题4分，共32分)9．若α＝30°，则α的余角等于________度，sin α的值为________． 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝2 5，则sin A ＝________．11．用计算器计算cos10°，cos20°，cos30°，…，cos90°的值，总结规律，利用此规律比较当0°<α<β<90°时，cos α与cos β的大小，即cos α________cos β.图G －5－612．如图G －5－6，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于________．13．已知α是锐角，tan α＝2cos30°，那么α＝________度．14．将一副三角尺如图G －5－7所示叠放在一起，则BE EC的值是________．G －5－7G －5－815．如图G －5－8，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin ∠CAM ＝35，则tan B 的值为________．图G －5－916．如图G －5－9，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2.将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ，则点B 转过的路径长为________．三、解答题(共36分)17．(6分)计算：2sin30°＋4cos30°•tan60°－cos 245°.18．(8分)王华是一名爱动脑筋的好学生，一天，他到公园锻炼，看到一个三角形的大花坛(如图G －5－10所示)，便产生了用新学的数学知识计算一下花坛面积的想法，他测得∠A ＝30°，AB 边的长度为40 m ，AC 边的长度为30 m ．王华同学很快计算出了花坛的面积，请你根据王华测量的结果，也计算一下这个三角形花坛的面积．图G －5－1019．(10分)如图G －5－11所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠BCD .(1)求证：CB ∥PD ；(2)若BC ＝3，sin P ＝35，求⊙O 的直径．图G －5－1120．(12分)如图G －5－12，E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠后得到△BFE ，点F 落在AD 边上．(1)求证：△ABF ∽△DFE ；(2)若sin ∠DFE ＝13，求tan ∠EBC 的值．图G －5－12详解详析1．D [解析] 根据余弦的定义及特殊角度的三角函数值，可得cos60°＝12.故选D.2．C 3.C4．C [解析] 由已知得P (32，1)，则P 1( 32，－1)． 5．D [解析] 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，则cos ∠ACB ＝BC AC ，∴AC ＝BCcos ∠ACB .又BC＝6米，∠ACB ＝52°，∴AC ＝6cos52°米．6．D [解析] ∵∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∠B ＋∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ， ∴sin B ＝sin ∠ACD ＝23，∴AC AB ＝23. 7．D8．A [解析] 连结DC .根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD ＝90°. 根据同弧所对的圆周角相等，得∠B ＝∠D .∴sin B ＝sin D ＝AC AD ＝23.故选A.9．60 12 10.2311.>12.12 [解析] 连结AB ，∵OA ＝OB ＝AB ， ∴△ABC 是等边三角形．∴∠AOB ＝60°. ∴cos ∠AOB ＝cos60°＝12.∴α＝60°. 14.33 [解析] ∵Rt △BAC 中，tan B ＝ACAB＝tan45°＝1，∴AB ＝AC . 在Rt △ACD 中，tan D ＝ACCD ＝tan30°＝33， ∴CD ＝3AC ，CD ＝3AB . ∵∠BAC ＝∠ACD ＝90°， ∴∠BAC ＋∠ACD ＝180°， ∴AB ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ， ∴BE EC ＝AB CD ＝33. 15.23 [解析] Rt △AMC 中，sin ∠CAM ＝MC AM ＝35，设MC ＝3x ，AM ＝5x ，则AC ＝AM 2－MC 2＝4x .∵M 是BC 的中点，∴BC ＝2MC ＝6x .在Rt △ABC 中，tan B ＝AC BC ＝4x 6x ＝23.16.33π [解析] ∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2，∴cos30°＝BC AB， ∴BC ＝AB cos30°＝2×32＝ 3. ∵将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ， ∴∠BCB ′＝60°，∴点B 转过的路径长为60π×3180＝33π.＝1＋6－12＝132. 18．解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，如图所示．在Rt △ACD 中，sin A ＝CDAC，∴CD ＝AC ·sin30°＝30×12＝15(m)，∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12×40×15＝300(m 2)．答：此三角形花坛的面积为300 m 2.19．解：(1)证明：∵∠D ＝∠1，∠1＝∠BCD ，∴∠D ＝∠BCD ， ∴CB ∥PD .(2)连结AC ，如图，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴BC ︵＝BD ︵， ∴∠P ＝∠A ，∴sin A ＝sin P ＝35.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴sin A ＝BC AB ＝35，而BC ＝3，∴AB ＝5，即⊙O 的直径为5.20．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°. ∵△BCE 沿BE 折叠后得到△BFE ， ∴∠BFE ＝∠C ＝90°，∴∠AFB ＋∠DFE ＝180°－∠BFE ＝90°. 又∵∠AFB ＋∠ABF ＝90°， ∴∠ABF ＝∠DFE ，∴△ABF ∽△DFE .(2)在Rt △DEF 中，sin ∠DFE ＝DE EF ＝13，∴设DE ＝a ，EF ＝3a ，DF ＝EF 2－DE 2＝2 2a . ∵将△BCE 沿BE 折叠后得到△BFE ，∴CE ＝EF ＝3a ，CD ＝DE ＋CE ＝4a ，AB ＝4a ，∠EBC ＝∠EBF . 又由(1)知△ABF ∽△DFE ，∴FE BF ＝DF AB ＝2 2a 4a ＝22， ∴tan ∠EBF ＝FEBF ＝22， ∴tan ∠EBC ＝tan ∠EBF ＝22.第1章 解直角三角形1．1 锐角三角函数第1课时 锐角三角函数的概念知识点1 锐角三角函数的定义1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，AB ＝13，则sin A ＝________，cos A ＝________， tan A ＝________．2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( )A ．sin A ＝a cB ．cos B ＝b cC ．tan A ＝b aD ．tan B ＝b c图1－1－13．如图1－1－1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( )A ．sinB ＝AD AB B ．sin B ＝AC BCC ．sin B ＝AD ACD ．tan B ＝AD BD知识点2 已知三角形的边长或边长之间的数量关 系，求三角函数值图1－1－24．2017·湖州如图1－1－2，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos B 的值是( )A.35B.45C.34D.435．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sin A的值是( )A.12B．2 C.55D.526．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cos B的值是( )A.512B.125C.513D.12137．如图1－1－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝1∶2，则sin A＝________，cos A ＝________，tan B＝________．1－1－31－1－48．如图1－1－4，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝________．9．分别求出图1－1－5①②所示的直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值、正切值．图1－1－5知识点3 已知三角函数值，求三角形的边长图1－1－610．如图1－1－6，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，sin B ＝35，则AC 的长为( )A ．3B ．9C ．4D ．1211．如图1－1－7，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则AB 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．4 51－1－71－1－812．如图1－1－8，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AB ＝15，则△ABC 的周长为________．13．如图1－1－9，A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值错误的是( )A.BD BC B.BC AB C.AD AC D.CD AC1－1－91－1－1014．如图1－1－10，以点O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与点A ，B 重合)，连结PO ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(cos α，sin α)D ．(sin α，cos α)15．△ABC 在网格中的位置如图1－1－11所示(每个小正方形的边长均为1)，AD ⊥BC 于点D ，则下列选项中错误．．的是( )图1－1－11A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝116．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm17．课本例3变式如图1－1－12所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝20，S △ABC ＝1003 3，求cos B 及tan B 的值．图1－1－1218．如图1－1－13，直线y ＝12x ＋32与x 轴交于点A ，与直线y ＝2x 交于点B.(1)求点B 的坐标；(2)求sin ∠BAO 的值．图1－1－1319．如图1－1－14，定义：在Rt △ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切，记作cot α，即cot α＝∠α的邻边∠α的对边＝AC BC.根据上述角的余切定义，解答下列问题：(1)cot 30°＝________；(2)已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值．图1－1－14第1章解直角三角形1．1 锐角三角函数第2课时特殊锐角的三角函数值知识点1 特殊角的三角函数值的计算1．sin30°的值为( )A.12B.32C.22D.332．sin30°，cos45°，cos30°的大小关系是( )A．cos30°>cos45°>sin30°B．cos45°>cos30°>sin30°C．sin30°>cos30°>cos45°D．sin30°>cos45°>cos30°3．如图1－1－15①是一张直角三角形的纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个等边三角形，如图1－1－15②，那么在Rt△ABC中，sin B的值是( )图1－1－15A.1 2B.3 2C ．1 D.32 4．计算：(1)sin60°＋cos60°＝________；(2)sin45°cos45°＝________，sin60°cos60°＝________． 5．计算：(1)3cos30°＝________； (2)12＋2sin60°＝________． 6．求下列各式的值：(1)sin 260°＋cos60°－tan45°；(2)3sin60°－2cos45°＋38；(3)cos 245°＋tan60°cos30°＋cos 260°＋sin 260°.知识点2 由特殊角的三角函数值求角度 7．已知∠A 为锐角，sin A ＝22，则∠A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°8．在直角三角形中，2cos α＝3，则锐角α的度数是( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．以上都不对9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝15，则∠A 的度数为( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°. (1)若sin A ＝32，则∠A ＝________°，tan A ＝________； (2)若tan A ＝33，则∠A ＝________°，cos A ＝________． 11．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，若sin A ＝32，cos B ＝12，则∠C ＝________°. 12．已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋(tan β－1)2＝0，则α＋β＝________°.知识点3 特殊角的三角函数值在实际生活中的应用图1－1－1613．图1－1－16是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB ，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC ＝150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是( )A.833 m B ．4 m C ．4 3 m D ．8 m图1－1－1714．如图1－1－17，一艘船向正北方向航行，在A 处看到灯塔S 在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B 点，在B 处看到灯塔S 在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行的过程中，距灯塔S 的最短距离是________海里(不作近似计算)．15．2017·滨州如图1－1－18，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( )图1－1－18A ．2＋ 3B ．2 3C ．3＋ 3D ．3 316．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A2＝________．17．一般地，当α，β为任意角时，sin (α＋β)与sin (α－β)的值可以用下面的公式求得：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.例如：sin 90°＝sin (60°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. 类似地，可以求得sin 15°的值是________．18．如图1－1－19，丁丁想在矩形AECF 中剪出梯形ABCD(如图中的阴影部分)，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE ，CD 的长(精确到个位，3≈1.7)．图1－1－1919．课本作业题第6题变式阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题：sin 30°＝12，cos 30°＝32，则sin 230°＋cos 230°＝________；①sin 60°＝32，cos 60°＝12，则sin 260°＋cos 260°＝________；③ …观察上述等式，猜想：对任意锐角∠A ，都有sin 2A ＋cos 2A ＝________．④(1)如图1－1－20，在Rt △ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想； (2)已知∠A 为锐角(cos A>0)且sin A ＝35，求cos A 的值．图1－1－2020．创新学习数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等．于是，小陆同学提出一个问题：如图1－1－21，将一副三角板的直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一条直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．图1－1－21第1章解直角三角形1.2 锐角三角函数的计算知识点1 利用计算器求锐角的三角函数值1．用计算器求值(精确到0.0001)：sin63°52′41″≈________；cos15°22′30″≈________；tan19°15′≈________.2．比较大小：8cos31°________35.(填“＞”“＝”或“＜”)3．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AB＝8 cm，∠B＝37°，则BC≈________(精确到0.01 cm)．知识点2 由三角函数值求锐角的度数4．用计算器求tan A＝0.5234中的锐角A(精确到1°)时，按键顺序正确的是( )A.tan0·5234＝B.0·5234＝SHIFT tan－1C.SHIFT tan－10·5234＝D.tan－1SHIFT0·5234＝5．用计算器求锐角α(精确到1″)：(1)sinα＝0.2476，α≈________；(2)cosα＝0.4174，α≈________；(3)tanα＝0.1890，α≈________．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)若AC＝5，BC＝12，则AB＝________，tan A＝________，∠A≈________(精确到1″)；(2)若AC＝3，AB＝5，则sin A＝________，tan B＝________，∠A≈________(精确到1″)，∠B≈________(精确到1″)．图1－2－17．如图1－2－1，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为________(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．知识点3 锐角三角函数在实际生活中的应用图1－2－28．如图1－2－2，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB等于( )A．a sin40°米 B．a cos40°米C．a tan40°米 D.atan40°米图1－2－39．2017·宁波如图1－2－3，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)10．如图1－2－4，在一次数学课外实践活动中，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC＝20 m，求树高AB.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图1－2－411．如图1－2－5，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80 cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米．(结果取整数)(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)图1－2－512．如图1－2－6，在Rt△ABO中，斜边AB＝1.若OC∥BA，∠AOC＝36°，则( )图1－2－6A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°13．若∠A是锐角，且cos A＝tan30°，则( )A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45°C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°14．如图1－2－7，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离；(结果取整数)(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，2≈1.41)图1－2－715．为倡导“低碳生活”，我们常选择以自行车作为代步工具，如图1－2－8①所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45 cm，60 cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20 cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°，其示意图如图1－2－8②.(1)求车架档AD的长；(2)求车座点E到车架档AB的距离．(结果精确到1 cm.参考数据：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732)图1－2－816．(1)通过计算(可用计算器)比较大小，并提出你的猜想：①sin30°________2sin15°cos15°；②sin36°________2sin18°cos18°；③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；④sin60°________2sin30°cos30°；⑤sin80°________2sin40°cos40°.猜想：若0°<α<45°，则sin2α________2sin αcos α.(2)已知：如图1－2－9，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2α.请根据图中的提示，利用面积法检验你的结论．图1－2－9第1章 解直角三角形1.3 解直角三角形 第1课时 解直角三角形知识点 已知一边一角或两边解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB 的长为( )A ．4B ．6C ．8D ．102．如图1－3－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，则BC 的长是( ) A.4 33B ．4C ．8 3D ．4 31－3－11－3－23．图1－3－2是教学用的直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm4．2017·慈溪模拟在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝34，AB ＝5，则边AC 的长是( )A ．3B ．4 C.154 D.5 745．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，c ＝10，∠A ＝45°，则a ＝________，b ＝________，∠B ＝________°.6. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ＝6，b ＝2 3，则∠B 的度数为________．图1－3－37．如图1－3－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝37°，BC ＝32，则AC ＝________．(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图1－3－48．如图1－3－4，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，BC ＝4 cm ，tan B ＝32，则△ABC 的面积是________cm 2.9．如图1－3－5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，由下列条件解直角三角形．图1－3－5(1)∠A ＝60°，b ＝4； (2)a ＝13，c ＝23；(3)c ＝2 2，∠B ＝30°； (4)a ＝8，sin B ＝22.10．如图1－3－6，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC ＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)图1－3－611．等腰三角形的腰长为2 3，底边长为6，则底角等于( )A．30°B．45° C．60°D．120°12．如图1－3－7，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC边从点B向点C运动(点D与点B，C不重合)，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，则BE＋CF的值( )A．不变 B．逐渐增大C．逐渐减小 D．先增大后减小1－3－71－3－813．如图1－3－8，在矩形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且FC＝2BF，连结AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是________．图1－3－914．如图1－3－9，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知折痕AE＝5 5 cm，且tan∠EFC＝34，那么矩形ABCD的周长为________cm.15．如图1－3－10，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC的值和点B到直线MC的距离．图1－3－1016．已知：等腰三角形ABC 中，AB ＝AC .(1)若cos B ＝13，且△ABC 的周长为24，求AB 的长；(2)若tan A ＝52，且BC ＝2 3，求AB 的长．17．为了解决停车难问题，交通部门准备沿宽12米、长60米的道路边规划停车位，按每辆车长5米、宽2.4米设计停车后，道路仍有不少于7米的路宽，以保证两车可以双向通过，如图1－3－11设计方案一：车位长边与路边夹角为45°；方案二：车位长边与路边夹角为30°.(1)请计算说明，两种方案是否都能保证通行要求？ (2)计算符合通行要求的方案中最多可以停多少辆车．图1－3－11第1章 解直角三角形1.3 解直角三角形 第2课时 坡度与圆弧问题知识点1 坡度问题图1－3－121．2017·温州如图1－3－12，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是( )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米2．如图1－3－13是某水库大坝横断面示意图．其中CD ，AB 分别表示水库上、下底面的水平线，∠ABC ＝120°，BC 的长是50 m ，则水库大坝的高度h 是( )A ．25 3 mB ．25 mC ．25 2 m D.50 33m1－3－131－3－143．如图1－3－14是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为( )A ．4 3米B ．6 5米C ．12 5米D ．24米4．如图1－3－15，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，则小辰上升了________米．1－3－151－3－165．如图1－3－16，小明爬一土坡，他从A 处到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他距离地面的高度h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝________°.6．2017·萧山区期中如图1－3－17，水库大坝截面的迎水坡坡比(DE 与AE 的长度之比)为1∶0.6，背水坡坡比为1∶2，大坝高DE ＝30米，坝顶宽CD ＝10米，求大坝截面的周长和面积．图1－3－17知识点2 解直角三角形在圆(弧)中的应用图1－3－187．如图1－3－18，秋千链子的长度OA ＝3 m ，静止时秋千踏板处于A 位置，此时踏板距离地面0.3 m ，秋千向两边摆动．当踏板处于A ′位置时，摆角最大，即∠AOA ′＝50°，则在A ′位置，踏板与地面的距离约为________．(sin50°≈0.766，cos50°≈0.6428，结果精确到0.01 m)8．如图1－3－19是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD ＝24 m ，OE ⊥CD 于点E ，已测得sin ∠DOE ＝1213.(1)求半径OD ；(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？图1－3－19图1－3－209．如图1－3－20，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )A．2 3 m B．2 6 mC．(2 3－2)m D．(2 6－2)m10．2017·淮安A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图1－3－21所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝20 km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少．(结果精确到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图1－3－2111．如图1－3－22，一楼房AB后有一假山，其坡度i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房的水平距离BC＝25米，与亭子的距离CE＝20米．小丽从楼房顶(点A)测得点E的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)图1－3－2212．如图1－3－23是一副创意卡通圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可以绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10 cm.(1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01 cm)(2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01 cm)(参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器)图1－3－23第1章解直角三角形第3课时方位角与仰角、俯角问题知识点1 方向角问题图1－3－241．如图1－3－24，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB是( )A．2海里 B．2sin55°海里C．2cos55°海里 D．2tan55°海里2．2017·泸州如图1－3－25，海中一渔船在A处且与小岛C相距70 n mile，若该渔船由西向东航行30 n mile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上．求该渔船此时与小岛C之间的距离．图1－3－253．如图1－3－26，一艘海监船以30海里/时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时岛C与该船距离最短．(1)请在图中作出该船在点B处的位置；(2)求岛C与B处之间的距离(结果保留根号)．图1－3－26知识点2 仰角与俯角问题4．如图1－3－27，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一座隧道(B ，C 在同一水平面上)，为了测量B ，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B ，C 两地之间的距离为( )A ．100 3 mB ．50 2 mC ．50 3 m D.100 33m1－3－271－3－285．如图1－3－28，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为30°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球A 与高楼的水平距离为120 m ，这栋高楼BC 的高度为( )A ．40 3 mB ．80 3 mC ．120 3 mD ．160 3 m6．天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图1－3－29，从位于天封塔的观测点C 测得两建筑物底部A ，B 的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度CD 为51米，A ，B 两点在CD 的两侧，且点A ，D ，B 在同一水平线上，求A ，B 之间的距离．(结果保留根号)图1－3－297．2017·广安如图1－3－30，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥AD，垂足分别为A，D.从D点测得B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝30米．(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD；(2)求乙建筑物的高CD.图1－3－308．2017·重庆如图1－3－31，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)( )A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米1－3－311－3－329．高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪声．如图1－3－32，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？________(填“需要”或“不需要”)．(3取1.732)10．课本作业题第2题变式2017·绍兴如图1－3－33，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30 m.(1)求∠BCD的度数；(2)求教学楼的高BD(结果精确到0.1 m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)．图1－3－3311．创新学习某市一湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离．测量方案如下：如图1－3－34，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用测倾器测得“乡思柳”顶端M的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米；然后，小军在A处蹲下，用测倾器测得“乡思柳”顶端M的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上所测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1米)．(参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452)图1－3－34。
浙教版 九年级数学下册 第一章 解直角三角形 单元课时同步强化练习 习题合集(基础+巩固+拔高)
（第10题答图）
B
更上一层楼
11．丽水中考如图所示，点 A 为∠α 边上任意一点，作 AC⊥BC 于点 C，CD⊥AB 于点 D，下列选项中用线段比表示 cos α 的值，错误的是( C ) BD A. BC BC B. AB AD C. AC CD D. AC
（第11题图）
B 12．菱形 ABCD 的对角线 AC＝10 cm，BD＝6 cm，那么 tan 为( 2 5 A. 3 5 B. 4 5 C. 34 3 D. 34
A
B．50 2 m
C．50 3 m
100 D. 3
3 m
锐角三角函数
第 10 页
A
1
（第5题图）
2
锐角三角函数
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9．计算：(1)sin 60°＋cos 60°＝____________． sin 45° sin 60° (2) ＝__1__， ＝___________． cos 45° cos 60° (3)6tan230°－ 3sin 60°－2sin 45°＝______________． 10．在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与 BC 相交于点 D， 且 AB＝4 3，求 AD 的长．
D
B
A
A．c＜b＜a
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．b＜c＜a
4．如图所示，某地修建高速公路，要在 B 地与 C 地之间修一座隧道(B，C 在同一 水平面上)．为了测量 B，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从 C 地出发， 垂直上升 100 m 到达 A 处，在 A 处观察 B 地的俯角为 30°.则 B，C 两地之间的 距离为( ) A．100 3 m
春九年级数学下册1.3解直角三角形同步练习(新版)浙教版【含解析】
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16. 如图，一扇窗户垂直打开，即 OM ⊥ OP ，AC 是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点 A 处，另一 端在 OP 上滑动，将窗户 OM 按图示方向向内旋转 35◦ 到达 ON 位置，此时，点 A 、C 的对应位置分别是点 B 、D ．测量出 ∠ODB 为 25◦ ，点 D 到点 O 的距离为 30 cm ．
A. 68 米
B. 70 米
C. 121 米
D. 123 米
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8. 如图，直角三角板 ABC 的斜边 AB = 12 cm，∠A = 30◦ ，将三角板 ABC 绕点 C 顺时 针旋转 90◦ 至三角板 A′ B ′ C ′ 的位置后，再沿 CB 方向向左平移，使点 B ′ 落在原三角板 ABC 的斜边 AB 上，则三角板 A′ B ′ C ′ 平移的距离为( ) Ä Ä √ ä √ ä A. 6 cm B. 6 − 2 3 cm C. 3 cm D. 4 3 − 6 cm 二、填空题 3 9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90◦ ，CD ⊥ AB ，tan ∠BCD = ，AC = 12， 4 则 BC = ．
1.3 解直角三角形 一、选择题 1. 如图，AC 是旗杆 AB 的一根拉线，测得 BC = 6 米，∠ACB = 50◦ ，则拉线 AC 的长为( 6 6 A. 6 sin 50◦ B. 6 cos 50◦ C. D. sin 50◦ cos 50◦ )
2. 将一个有 45◦ 角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带 的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30◦ 角，如图，则三角板的最 大边的长为( ) √ √ A. 3 cm B. 6 cm C. 3 2 cm D. 6 2 cm 3. 如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在 B 处仰望树顶，测得仰角为 30◦ ，再往大树的方向前进 4 m，测 √ 得仰角为 60◦ ，已知小敏同学身高（AB ）为 1.6 m，则这棵树的高度为( )（结果精确到 0.1 m， 3 ≈ 1.73） ．
浙教版九年级数学下册全书各章节同步测验(共75页,附答案)
浙教版九年级数学下册全书各章节同步测验（共75页，附答案）第1章解直角三角形1．1 锐角三角函数(第1课时)1．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是( )第1题图A.34B.43C.35D.452．如图，已知一商场自动扶梯的长l为10m，该自动扶梯到达的高度h为5m，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于( )A.33B.43C.12D.45第2题图3.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )第3题图A．2 B.255C.55D.124．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cosB＝( )A.512B.125C.513D.12135．如图，若点A的坐标为(1，3)，则sin∠1＝________．第5题图6.如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sinA ＝35，则菱形ABCD 的周长是________．第6题图7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝1213，则tanB ＝________．8．等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是________． 9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5. (1)求∠A ，∠B 的正弦、余弦值；(2)求∠A ，∠B 的正切的值，你发现了什么？10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝23，求cosA ，tanA 的值．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD⊥AB 于点D ，AC ＝3，BC ＝4，求sin ∠DCB 和sin ∠ACD.第11题图12.如图，直径为10的⊙A 经过点C (0，5)和点O (0，0)，点B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )第12题图A.12B.34C.32D.45 13．如图，直线y ＝12x －2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，且与x 轴的夹角为α，求：第13题图(1)OA ，OB 的长； (2)tan α与sin α的值．14．如图，在△ABC 中，边AC ，BC 上的高BE ，AD 交于点H.若AH ＝3，AE ＝2，求tanC 的值．第14题图15．如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cot α，即cot α＝角α的邻边角α的对边＝ACBC，根据上述角的余切定义，解下列问题：(1)cot30°＝________；(2)如图，已知tanA ＝34，其中∠A 为锐角，试求cotA 的值．第15题图参考答案 1－4.CADC 5.32 6.40 7.125 8.2239.(1)∵∠C＝90°，∴AC ＝AB 2－BC 2＝12，∴sin A ＝513，cos A ＝1213，sin B ＝1213，cos B ＝513； (2)tan A ＝512，tan B ＝125.发现tan A ×tan B ＝1.10. cos A ＝53，tan A ＝255. 11. ∵∠ACB＝90°，CD ⊥AB ，∴∠DCB ＝∠A，∠ACD ＝∠B，AB ＝AC 2＋BC 2＝5，∴sin ∠DCB ＝sin ∠A ＝BC AB ＝45，sin ∠ACD ＝sin ∠B ＝AC AB ＝35.12.C13.(1)OA ＝4，OB ＝2； (2)tan α＝tan ∠BAO ＝OB OA ＝12，sin α＝sin ∠BAO ＝OB AB ＝225＝55.14.∵BE⊥AC，∴∠EAH ＋∠AHE＝90°.∵AD ⊥BC ，∴∠HAE ＋∠C＝90°.∴∠AHE ＝∠C.∵在Rt △AHE 中，AH ＝3，AE ＝2，∴HE ＝AH 2－AE 2＝32－22＝ 5.∴tan ∠AHE ＝AEHE＝25＝255.∴tan C ＝255.15. (1) 3 (2)∵tan A ＝BC AC ＝34，∴cot A ＝AC BC ＝43.第1章 解直角三角形1．1 锐角三角函数(第2课时)1．tan30°的值等于( )A.12B.32C.33 D ．－3 2．已知α为锐角，且tan (90°－α)＝3，则α的度数为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 3．若∠A 为锐角，cosA<32，则∠A 的取值范围是( ) A ．30°<∠A<90° B ．0°<∠A<30° C ．0°<∠A<60° D ．60°<∠A<90° 4．在△ABC 中，若sinA ＝cosB ＝22，则下列最确切的结论是( ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝60°，则sinA ＋sinB 的值等于________． 6．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC ＝2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为________m.第6题图7.如图，将三角尺的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD∥AB ，那么∠α的余弦值为________．第7题图8.（sin45°－1）2＋|1－tan60°|＝__________． 9．求下列各式的值： (1)2－2sin30°×cos30°； (2)3sin60°－2cos45°＋38； (3)sin30°＋cos 230°×tan45°；(4)（4sin30°－tan60°）（tan60°＋4cos60°）.10．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，AC ＝6，求BC 、AB 的长．第10题图11．若规定sin (α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β，则sin15°＝________． 12．小聪想在一个矩形材料中剪出如图中阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮他计算出BE ，CD 的长度(结果保留根号)．第12题图13．通过书P9课内练习第3题知道：对于任意锐角α，都有tan α＝sin αcos α.运用此结论，解答下题：已知锐角α，且tan α＝3，求sin α＋cos αsin α－cos α的值．14．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：第14题图sin 2A 1＋sin 2B 1＝________；sin 2A 2＋sin 2B 2＝________；sin 2A 3＋sin 2B 3＝________． (1)观察上述等式，猜想：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，都有sin 2A ＋sin 2B ＝________； (2)如图4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(3)已知：∠A ＋∠B ＝90°，且sinA ＝513，求sinB.参考答案1－4.CADC 5.32 6.40 7.125 8.2231.2 锐角三角函数的计算(第1课时)1．如图，用含38°的三角函数值表示AC ，可得AC 为( )第1题图A ．10sin38°B ．10cos38°C ．10tan38°D ．无法确定 2．cos55°和sin36°的大小关系是( )A ．cos55°＞sin36°B ．cos55°＜sin36°C ．cos55°＝sin36°D ．不能确定3．下列各式：①sin20°－cos20°＜0；②2sin20°＝sin40°；③sin10°＋sin20°＝sin30°；④tan20°＝sin20°cos20°.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.如图，梯子跟地面所成的锐角为α，关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系叙述正确的是( )第4题图A．sinα的值越小，梯子越陡B．cosα的值越小，梯子越陡C．tanα的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与α的函数值无关5．如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB等于__________．(用含40°的三角函数表示)第5题图6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠B＝α，则AB＝________，BC＝________．(结果用含α的三角函数表示)第6题图7.如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处．若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE＝________．第7题图8．不用计算器求下列各式的值．(1)sin225°＋cos225°＝________；(2)(sin32°48′23″＋tan47°18′)0＝________；(3)tan39°×tan51 °＝________；(4)tan1°·tan2°·tan3°·tan4°…tan89°＝________．9．如图，某地某时刻太阳光线与水平线的夹角为31°，此时在该地测得一幢楼房在水平地面上的影长为30m，求这幢楼房的高AB(结果精确到1m，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)．第9题图10．如图，沿AC 方向开修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E 同时施工，从AC 上的一点B 取∠ABD ＝127°，沿BD 的方向前进，取∠BDE ＝37°，测得BD ＝520m ，并且AC ，BD 和DE 在同一平面内．(1)施工点E 离D 点多远正好能使A ，C ，E 成一条直线？(结果保留整数)(2)在(1)的条件下，若BC ＝80m ，求公路CE 段的长．(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第10题图11．已知α为锐角，下列结论：①sin α＋cos α＝1；②如果α＞45°，那么sin α＞cos α；③如果cos α＞12，那么0°＜α＜60°；④（sin α－1）2＝1－sin α，其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，已知AC⊥BC ，CD ⊥AB ，AB ＝c ，∠A ＝α，则AC ＝________，BC ＝________，CD ＝____________(用含c 和α的三角函数表示)．第12题图13．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点O ，连结EF ，OD.(1)求证：四边形ABEF 是菱形；(2)若AB ＝4，AD ＝5，∠BCD ＝120°，求tan ∠ADO 的值．第13题图14．如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AM 始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC ，当伞收紧时，动点D 与点M 重合，且点A ，E ，D 在同一条直线上．已知部分伞架的长度如下(单位：cm )：(1)求AM 的长；(2)当∠BAC ＝104°时，求AD 的长(精确到1cm )．备用数据：sin52°≈0.7880，cos52°≈0.6157，tan52°≈1.2799.第14题图参考答案1－4.ABBB 5.a tan 40°米 6.10sin α 10tan α 7. 348.(1)1 (2)1 (3)1 (4)19.∵tan ∠ACB ＝ABBC，∴AB ＝BC·tan ∠ACB ＝30×tan 31°≈18m .10.(1)∵∠ABD＝127°，∠BDE ＝37°，∴∠DEB ＝127°－37°＝90°.在Rt △BDE 中，cos D ＝DEBD ，∴DE ＝BD·cos D ＝520×cos 37°≈520×0.80＝416(m )，即施工点E 离D 点416m 正好能使A ，C ，E 成一条直线； (2)在(1)的条件下可得BE ＝BD·sin D ＝520×sin 37°≈520×0.60＝312(m )，∴CE ＝BE －BC≈312－80＝232(m )． 11.C12.c cos α c sin α c sin αcos α13．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠DAE ＝∠AEB.∵AE 是角平分线，∴∠DAE ＝∠BAE.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE.同理AB ＝AF.∴AF＝BE.∴四边形ABEF 是平行四边形. ∵AB＝BE ，∴四边形ABEF 是菱形；第13题图(2) 作OH⊥AD 于H ，如图所示．∵四边形ABEF 是菱形，∠BCD ＝120°，AB ＝4，∴AB ＝AF ＝4，∠ABC ＝60°，AO ⊥BF ，∴∠ABF ＝∠AFB＝30°，∴AO ＝12AB ＝2，∴OH ＝3，AH ＝1，DH ＝AD －AH＝4，∴tan ∠ADO ＝OH DH ＝34.14.(1)当伞收紧时，动点D 与点M 重合，∴AM ＝AE ＋DE ＝36＋36＝72(cm )； (2)AD ＝2×36cos 52°≈2×36×0.6157≈44(cm )1.2 锐角三角函数的计算(第2课时)1．计算器显示结果为sin －10.9816＝78.9918的意思正确的是( ) A ．计算已知正弦值的对应角度 B ．计算已知余弦值的对应角度 C ．计算一个角的正弦值 D ．计算一个角的余弦值2．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且sinA ＝12，cosB ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是( )A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＜∠C ＜∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A 3．若∠A 是锐角，且cosA ＝tan30°，则( ) A ．0°＜∠A ＜30° B ．30°＜∠A ＜45° C ．45°＜∠A ＜60° D ．60°＜∠A ＜90°4.如图所示是一张简易活动餐桌，测得OA ＝OB ＝30cm ，OC ＝OD ＝50cm ，现要求桌面离地面的高度为40cm ，那么两条桌脚的张角∠COD 的度数大小应为( )第4题图A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°5.如图，在矩形ABCD 中，若AD ＝1，AB ＝3，则该矩形的两条对角线所成的锐角是( )第5题图A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．已知sin α·sin45°＝12，则锐角α为________． 7．若θ为三角形的一个锐角，且2sin θ－3＝0，则θ＝________．8．等腰三角形的底边长为20cm ，面积为10033cm 2，则顶角为________度． 9．若用三根长度分别为8，8，6的木条做成一个等腰三角形，则这个等腰三角形的各个角的大小分别为多少？(结果精确到1′，参考数据：cos67°59′≈0.375)10．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝62，∠A ＝45°.求：(1)AB 边上的高；(2)∠B 的正切值．第10题图11．关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，tan ∠BCD ＝3，则sinA ＝______．第12题图13．某校为了解决学生停车难的问题，打算新建一个自行车棚．如图，图1是车棚的示意图(尺寸如图所示)，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部的截面示意图，弧AB 所在圆的圆心为O ，半径OA 为3m.(1)求∠AOB 的度数(结果精确到1°)；(2)学校准备用某种材料制作车棚顶部，请你算一算：需该种材料多少平方米(不考虑接缝等因素，结果精确到1m 2)?(参考数据：sin53.1°≈0.80，cos53.1°≈0.60，π取3.14)第13题图14．数学老师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan α＝13，tan β＝12.求α＋β的度数． 甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图1和图2.(1)请你分别利用图1，图2求出α＋β的度数，并说明理由；(2)请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：如果α，β都为锐角，当tan α＝5，tan β＝23时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON ，使得∠MON ＝α－β.求出α－β的度数，并说明理由．第14题图参考答案1－5.ADCBC 6.45° 7.60° 8.120第9题图9.根据题意可画图如右(AB ＝AC ＝8，BC ＝6)．过点A 作AD⊥BC 于点D ，则BD ＝CD ＝3，∴cos B ＝BD BA ＝38，∴∠B ≈67°59′，∴∠C ≈67°59′，∠A ≈44°2′. 10.(1)作CD⊥AB 于点D ，CD ＝AC·sin A ＝62·sin 45°＝6； (2)∵AD＝AC·cos A ＝62·cos 45°＝6，∴BD ＝AB －AD ＝8－6＝2，∴tan B ＝CD BD ＝62＝3. 11.B 12.101013.(1)过点O 作OC⊥AB，垂足为C ，则AC ＝2.4.∵OA＝3，∴sin ∠AOC ＝2.43＝0.8，第13题图∴∠AOC ≈53.1°.∴∠AOB ＝106.2°≈106°； (2)lAB ︵＝106×π180×3≈5.5(m )，∴所需材料面积为5.5×15≈83(m 2)．即需该种材料约83m 2.14.(1)①如图1中，只要证明△AMC≌△CNB，即可证明△ACB 是等腰直角三角形，∠BAC ＝α＋β＝45°.②如图2中，只要证明△CEB∽△BEA，即可证明∠BED＝α＋β＝45°. (2)如图3中，∠MOE ＝α，∠NOH ＝β，∠MON ＝α－β，只要证明△MFN≌△NHO 即可解决问题．∠MON＝α－β＝45°.第14题图1.3 解直角三角形(第1课时)1．在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( )A ．3sin40°B ．3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50°2．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 为BC 边上的高，则下列结论中，正确的是( )A ．AD ＝32AB B ．AD ＝12ABC ．AD ＝BD D ．AD ＝22BD 3．身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300m ，250m 和200m ，线与地面所成的角度分别为30°，45°和60°，假设风筝线是拉直的，那么三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．乙的最高C ．丙的最高D ．丙的最低4．一个等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则它的底角的正切值为( )A.310B.512C.125D.12135．在△ABC 为，∠C ＝90°，tanA ＝12，AB ＝10，则△ABC 的面积为________． 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝35，c ＝352，则∠A ＝________，b ＝________．7．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A ＝30°，b ＝4，则a ＝________，c ＝________．8．如图所示，AB 是伸缩式的遮阳棚，CD 是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB 的长度是________米(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°)．第8题图9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AB ＝15，求△ABC 的周长．第9题图10．如图，小明将一张矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 恰好落在AD 边上，设此点为F.若AB∶BC ＝4∶5，求tan ∠ECB 的值．第10题图11.如图，已知△ABC 内接于⊙O ，sinB ＝35，AC ＝2cm ，则⊙O 的面积是( )第11题图A.259πcm 2B.1009πcm 2C.925πcm 2D.9100πcm 2 12．如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC ＝2m ，CD ＝5.4m ，∠DCF ＝30°，则车位所占的宽度EF 约为多少米？(3≈1.73，结果精确到0.1m )第12题图13．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C ＝45°，sinB ＝13，AD ＝1.(1)求BC 的长；(2)求tan ∠DAE 的值．第13题图14．如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA 是支撑臂，OB 是旋转臂，使用时，以点A 为支撑点，铅笔芯端点B 可绕点A 旋转作出圆．已知OA ＝OB ＝10cm.(1)当∠AOB ＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01cm )(2)保持∠AOB ＝18°不变，在旋转臂OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01cm )(参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511)第14题图参考答案1－4.DBBC 5.2 6.45° 35 7.43 3 833 8. 3 9.∵sin A ＝BC AB ＝45，∴BC ＝AB×45＝12.∴AC＝AB 2－BC 2＝9.∴△ABC 周长为36.10.设AB ＝4，则BC ＝5，在△DFC 中，FC ＝BC ＝5，CD ＝AB ＝4，∴DF ＝3，∴AF ＝2，又可证△DFC∽△AEF，得EF ＝2.5＝BE ，∴tan ∠BCE ＝2.55＝12. 11.A12.∵∠DCF＝30°，CD ＝5.4m ，∴在Rt △CDF 中，DF ＝12CD ＝2.7m .又∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝2，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＋∠CDF＝90°.∵∠DCF＋∠CDF＝90°，∴∠ADE ＝∠DCF ＝30°，∴在Rt △AED 中，DE ＝AD×cos ∠ADE ＝2×32＝3(m )，∴EF ＝2.7＋3≈4.4(m )．答：车位所占的宽度EF 约为4.4m .13.(1)在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°，在△ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝1，∴DC ＝AD ＝1，在△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，sin B ＝13，AD ＝1，∴AB ＝AD sin B＝3，∴BD ＝AB 2－AD 2＝22，∴BC ＝BD ＋DC ＝22＋1； (2)∵AE 是BC 边上的中线，∴CE ＝12BC ＝2＋12，∴DE ＝CE －CD ＝2－12，∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝2－12. 14.(1)作OC⊥AB 于点C ，如图1所示，由题意可得，OA ＝OB ＝10cm ，∠OCB ＝90°，∠AOB ＝18°，∴∠BOC ＝9°，∴AB ＝2BC ＝2OB·sin 9°≈2×10×0.1564≈3.13cm ，即所作圆的半径约为3.13cm .第14题图(2)作AD⊥OB 于点D ，作AE ＝AB ，如图2所示，∵保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE ，∵∠AOB ＝18°，OA ＝OB ，∠ODA ＝90°，∴∠OAB ＝81°，∠OAD ＝72°，∴∠BAD ＝9°，∴BE ＝2BD ＝2AB·sin 9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm ，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm .1.3 解直角三角形(第2课时)1．如图，斜坡AB 与水平面的夹角为α，下列命题中，不正确的是( )第1题图A ．斜坡AB 的坡角为α B ．斜坡AB 的坡度为BC ABC ．斜坡AB 的坡度为tan αD ．斜坡AB 的坡度为BC AC2．如图，C 、D 是以AB 为直径的半圆上两个点(不与A 、B 重合)．连DC 、AC 、DB ，AC 与BD 交于点P.若∠APD ＝α，则CD AB＝( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan α D.1tan α第2题图3.如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，则sin ∠ABD 的值为( )第3题图 A.43 B.34 C.35 D.454．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i ＝2∶1，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是( )第4题图A ．7米B ．9米C ．12米D ．15米5．如图，B ，C 是河岸两点，A 是河岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝200米，则点A 到岸边BC 的距离是________米．第5题图6.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)第6题图7．等腰三角形的周长为2＋3，腰长为1，则顶角为________．8．若三角形两边长为6和8，这两边的夹角为60°，则其面积为________．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E, AB＝20，CD＝16.(1)求sin∠OCE与sin∠CAD的值；(2)求弧CD的长．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin53°≈0.8)第9题图10．如图，有一段斜坡BC长10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°.(1)求坡高CD；(2)求斜坡新起点A到原起点B的距离(精确到0.1米，参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09)第10题图11．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，当AC与BD所夹的锐角为θ时，则四边形ABCD的面积S＝____________．(用含m，n，θ的式子表示)第11题图12．如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3m.已知木箱高BE＝3m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.第12题图13．如图，一棵树AB的顶端A的影子落在教学楼前的坪地C处，小明分别测得坪地、台阶和地面上的三段影长CE＝1m，DE＝2m，BD＝8m，DE与地面的夹角α＝30°.在同一时刻，已知一根1m 长的直立竹竿在地面上的影长恰好为2m，请你帮助小明根据以上数据求出树AB的高．(结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)第13题图14．为了缓解停车难的问题，某单位拟建地下停车库，建筑设计师提供的该地下停车库的设计示意图如图所示．按照规定，地下停车库坡道上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE的长度(精确到0.1m，参考数据：tan18°≈0.3249，cos18°≈0.9511)．第14题图参考答案1－4.BBDA 5.100 6.280 7.120°8.12 39.(1)sin ∠OCE ＝0.6，sin ∠CAD ＝sin ∠COE ＝0.8； (2)弧CD 的长＝106×3.14×10180≈18.5cm . 10.(1)在Rt △BCD 中，CD ＝BC sin 12°≈10×0.21＝2.1(米)．答：坡高2.1米； (2)在Rt△BCD 中，BD ＝BC cos 12°≈10×0.98＝9.8(米)．在Rt △ACD 中，AD ＝CD tan 5°≈2.10.09≈23.33(米)，∴AB ＝AD －BD≈23.33－9.8＝13.53≈13.5(米)．答：斜坡新起点与原起点的距离为13.5米．11.12mn sin θ第12题图12.设EF 与AB 交点为G ，在Rt △BEG 中，∵∠EGB ＝∠AGF＝60°，∴EG ＝BE sin 60°＝2，GB ＝12EG ＝1，在Rt △AGF 中，GF ＝AG·sin 30°＝2×12＝1，∴EF ＝EG ＋GF ＝2＋1＝3(m )． 13.如图，延长CE 交AB 于F ，∵α＝30°，DE ＝2m ，BD ＝8m ，∴EF ＝BD ＋DE cos 30°＝8＋2×32＝(8＋3)m ，点E 到底面的距离＝DE sin 30°＝2×12＝1m ，即BF ＝1m ，∴CF ＝EF ＋CE ＝8＋3＋1＝(9＋3)m ，根据同时同地物高与影长成正比得，AF CF ＝12，∴AF ＝12CF ＝12(9＋3)＝12×10.73≈5.4m ，∴树AB 的高为5.4＋1＝6.4m .第13题图14．∵∠BAD＝∠AFG＝18°，∴在Rt △ABD 中，BD AB＝tan 18°，∴BD ＝AB·tan 18°＝9×tan 18°≈2.9(m )．∵BC ＝0.5m ，∴CD ＝2.9－0.5＝2.4(m )．在Rt △CED 中，∠DCE ＝18°，∴CE CD ＝cos 18°.∴CE ＝CD·cos 18°＝2.4×cos 18°≈2.3(m )．答：CE 长约为2.3m .1.3 解直角三角形(第3课时)1．如图，某飞机在空中A 点处测得飞行高度h ＝1000m ，从飞机上看到地面指挥站B 的俯角α＝30°，则地面指挥站与飞机的水平距离BC 为( )A ．500mB ．2000mC ．1000mD ．10003m第1题图2.如图，王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地( )第2题图 A ．503m B ．100m C ．150m D ．1003m3．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( ) A ．144cm B ．180cm C ．240cm D ．360cm4.如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA ＝4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB 的长)为( )第4题图A ．4kmB ．23kmC ．22kmD ．(3＋1)km5.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图所示)，由此可知，B ，C 两地相距________m.第5题图6．如图，在高度是21米的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝______米(结果可保留根号)．第6题图7．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20(1＋3)海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A 处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．第7题图8．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30m.(1)求∠BCD的度数；(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)第8题图9.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)( )第9题图A.hsinαB.hcosαC.htanαD．h·cosα10．如图所示，两条宽度都为2cm的纸条交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为________．第10题图11．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)．第11题图C组综合运用12．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5km处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10km处是村庄N.(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75)(1)求M，N两村之间的距离；(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到P的距离之和最短，求这个最短距离．第12题图参考答案1－4.DDBC 5.200 6.(73＋21)7.如图，作AD⊥BC，垂足为D ，第7题图由题意得，∠ACD ＝45°，∠ABD ＝30°.设CD ＝x ，在Rt △ACD 中，可得AD ＝x ，在Rt △ABD 中，可得BD ＝3x ，又∵BC＝20(1＋3)，CD ＋BD ＝BC ，即x ＋3x ＝20(1＋3)，解得：x ＝20，∴AC ＝2x ＝202(海里)．答：A 、C 之间的距离为202海里．第8题图8.(1)过点C 作CE⊥BD，则有∠DCE＝18°，∠BCE ＝20°，∴∠BCD ＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°； (2)由题意得：CE ＝AB ＝30m ，在Rt △CBE 中，BE ＝CE·tan 20°≈10.80m ，在Rt △CDE 中，DE ＝CE·tan 18°≈9.60m ，∴教学楼的高BD ＝BE ＋DE ＝10.80＋9.60≈20.4m ，则教学楼的高约为20.4m .9.B10.4sin αcm 211.(1)在Rt △DCE 中，DC ＝4米，∠DCE ＝30°，∠DEC ＝90°，∴DE ＝12DC ＝2米； (2)过D 作DF⊥AB，交AB 于点F ，∵∠BFD ＝90°，∠BDF ＝45°，∴∠DBF ＝45°，即△BFD 为等腰直角三角形，设BF ＝DF ＝x 米，∵四边形DEAF 为矩形，∴AF ＝DE ＝2米，即AB ＝(x ＋2)米，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，第11题图∴BC ＝AB cos 30°＝x ＋232＝2x ＋43＝3（2x ＋4）3米，BD ＝2BF ＝2x 米，DC ＝4米，∵∠DCE ＝30°，∠ACB ＝60°，∴∠DCB ＝90°，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得：2x 2＝（2x ＋4）23＋16，解得：x ＝4＋43(负值舍去)，则AB ＝(6＋43)米．12．(1)过点M 作CD∥AB，过点N 作NE⊥AB 于点E ，如图．第12题图在Rt △ACM 中，∠CAM ＝36.5°，AM ＝5km ，∵sin 36.5°＝CM 5≈0.6，∴CM ＝3(km )，AC ＝AM 2－CM 2＝4(km )．在Rt △ANE 中，∠NAE ＝90°－53.5°＝36.5°，AN ＝10km ，∵sin 36.5°＝NE 10≈0.6，∴NE ＝6(km )，AE ＝AN 2－NE 2＝8(km )，∴MD ＝CD －CM ＝AE －CM ＝5(km )，ND ＝NE －DE ＝NE －AC ＝2(km )，在Rt △MND 中，MN ＝MD 2＋ND 2＝29(km )； (2)作点N 关于AB 的对称点G ，连结MG 交AB 于点P ，点P 即为站点，此时PM ＋PN ＝PM ＋PG ＝MG ，在Rt △MDG 中，MG ＝52＋102＝125＝55(km )．答：最短距离为55km .第2章 直线与圆的位置关系1．如果一个圆的半径是8cm ，圆心到一条直线的距离也是8cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定2．已知⊙O 的半径为3，直线l 上有一点P 满足PO ＝3，则直线l 与⊙O 的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．相离或相切D ．相切或相交3．已知点P (3，4)，以点P 为圆心，r 为半径的圆P 与坐标轴有四个交点，则r 的取值范围是( )A ．r ＞4B ．r ＞4且r≠5C ．r ＞3D ．r ＞3且r≠54．如图，以点O 为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦长AB的取值范围是( )第4题图A．8≤AB≤10 B．AB≥8 C．8＜AB≤10 D．8＜AB＜105．已知圆的直径为10cm，若圆心到三条直线的距离分别为：①4cm；②5cm；③10cm，则这三条直线和圆的位置关系分别是①________；②________；③________．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，以点C为圆心、6cm长为半径作圆，则圆与直线AB的位置关系是________．7．如图，已知∠AOB＝30°，C是射线OB上的一点，且OC＝4.若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是____________．第7题图8．在△ABO中，若OA＝OB＝2，⊙O的半径为1，当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相切；当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相交；当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相离．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝8cm，AC＝4cm.(1)以点C为圆心作圆，半径为多少时，AB与⊙C相切？(2)以点C为圆心，分别作半径为2cm和4cm的圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？第9题图10．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB＝CD，且AB与小圆相切．求证：CD与小圆也相切．第10题图11．已知等边三角形ABC 的边长为23m.下列图形中，以A 为圆心，半径是3cm 的圆是( )11．如图，P 为正比例函数y ＝32x 图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x ，y )．第12题图(1)当⊙P 与直线x ＝2相切时，则点P 的坐标为______________________；(2)当⊙P 与直线x ＝2相交时x 的取值范围为____________．13．在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝m ，∠D ＝60°，以AB 为直径作⊙O.(1)求圆心O 到CD 的距离(用含m 的代数式表示)；(2)当m 取何值时，CD 与⊙O 相切？第13题图14．如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500m 为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 方向为南偏东75°，已知MB ＝400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？第14题图参考答案1－4.BDBC 5. ①相交 ②相切 ③相离 6.相交 7.2＜r≤48.∠AOB＝120° 120°＜∠AOB＜180° 0°＜∠AOB＜120°9.(1)作CD⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中，CD ＝AC·sin 60°＝23cm ，所以当半径r 为23cm 时，AB 与⊙C 相切； (2)r ＝2＜CD 时，⊙C 与AB 相离，r ＝4＞CD 时，⊙C 与AB 相交．10.证明：过点O 分别作AB ，CD 的垂线段OE ，OF.设小圆的半径为r.∵AB 与小圆相切，∴OE ＝r ，∵AB ＝CD ，且AB ，CD 为大圆的弦，∴OE ＝OF ，∴OF ＝r ，∴CD 与小圆也相切． 11.B12．(1)⎝⎛⎭⎪⎫5，152或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 (2)－1＜x ＜5 13．(1)作AH⊥CD 于点H.因为∠D ＝60°，则∠DAH＝30°，DH ＝AD 2＝m 2，所以AH ＝AD 2－DH 2＝m 2－（m 2）2＝32m ，即圆心O 到CD 的距离为32m ； (2)当32m ＝5，即m ＝1033时，CD 与⊙O 相切.第14题图14．作AC⊥MN 于点C ，∵∠AMC ＝60°－30°＝30°，∠ABC ＝75°－30°＝45°，∴设AC为x m ，则AC ＝BC ＝x ，在Rt △ACM 中，MC ＝400＋x ，∴tan ∠AMC ＝AC MC ，即13＝x 400＋x，解得x ＝200＋2003＞500，∴如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区．第2章直线与圆的位置关系2．1 直线与圆的位置关系(第2课时)1．下列命题错误的是( )A．垂直于半径的直线是圆的切线B．如果圆心到一条直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线C．如果一条直线与圆只有唯一一个公共点，那么这条直线是圆的切线D．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线2．如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是( )A．OA2＋PA2＝OP2 B．PA⊥OAC．∠P＝30°，∠O＝60° D．OP＝2OA第2题图3.如图，AB是⊙O的直径，根据下列条件，不能判定直线AT是⊙O的切线的是( )第3题图A．AB＝2，AT＝1.5，BT＝2.5 B．∠B＝45°，AB＝ATC．∠B＝36°，∠TAC＝36°D．∠ATC＝∠B4．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA＝2AP.甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：第4题图(甲)以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，则直线PB即为所求；(乙)作OP的中垂线，交圆O于B点，则直线PB即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( )A．两人皆正确 B．两人皆错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确5．如图，点Q在⊙O上，若OQ＝3cm，OP＝5cm，PQ＝4cm，则直线PQ与⊙O________(填“相交”、“相切”或“相离”)．第5题图6．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为____________．第6题图7.如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系为________．第7题图8.如图，CD是⊙O的直径，BD是弦，延长DC到A，使∠ABD＝120°，若添加一个条件，使AB是⊙O的切线，则下列四个条件：①AC＝BC；②AC＝OC；③AB＝BD中，能使命题成立的有________(只要填序号即可)．第8题图9.如图，已知点A在⊙O上，根据下列条件，能否判定直线AB和⊙O相切？请说明理由．第9题图(1)OA ＝6，AB ＝8，OB ＝10； (2)tanB ＝34.10．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB ，垂足为点P ，直线BF 与AD 的延长线交于点F ，且∠AFB ＝∠ABC.(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线． (2)若CD ＝23，OP ＝1，求线段BF 的长．第10题图11．在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定( )A ．与x 轴相离，与y 轴相切B ．与x 轴，y 轴都相离C ．与x 轴相切，与y 轴相离D ．与x 轴，y 轴都相切12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝30°，以点A 为圆心，以3cm 为半径作⊙A ，当AB ＝________cm 时，BC 与⊙A 相切．第12题图13．如图，已知P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点C ，OC ＝CP ＝2，弦AB⊥OC ，劣弧AB 的度数为120°，连结PB.(1)求BC 的长；(2)求证：PB 是⊙O 的切线．第13题图14．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，连结OC ，弦AD∥OC ，直线CD 交BA 的延长线于点E.(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线； (2)若DE ＝2BC ，求AD∶OC 的值．第14题图参考答案1－4.ADDB 5.相切 6.AB⊥BC(不唯一) 7.相切 8.①②③9.(1)能判定；∵OA 2＋AB 2＝BO 2，∴∠BAO ＝90°.即AB⊥AO，∴AB 是⊙O 的切线； (2)不能判定；△ABO 中，tan B ＝34，无法证明∠BAO＝90°，所以不能判定．10.(1)证明：∵∠AFB＝∠ABC，∠ABC ＝∠ADC，∴∠AFB ＝∠ADC，∴CD ∥BF ，∴∠APD ＝∠ABF，∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥BF ，∴直线BF 是⊙O 的切线；第10题图(2)连结OD ，∵CD ⊥AB ，∴PD ＝CP ＝3，∵OP ＝1，∴OD ＝2，∵∠PAD ＝∠BAF，∠APD ＝∠ABF，∴△APD ∽△ABF ，∴AP AB ＝PD BF ，∴34＝3BF ，∴BF ＝433.11．A 12.613.(1)连结OB ，∵弦AB⊥OC，劣弧AB 的度数为120°，∴∠COB ＝60°，又∵OC＝OB.∴△OBC 是正三角形，∴BC ＝OC ＝2； (2)证明：∵BC＝OC ＝CP ，∴∠CBP ＝∠CPB，∵△OBC 是正三角形，∴∠OBC ＝∠OCB＝60°.∴∠CBP ＝30°，∴∠OBP ＝∠CBP＋∠OBC＝90°，∴OB ⊥BP ，∵点B 在⊙O 上，∴PB 是⊙O 的切线．14．(1)证明：连结DO.∵AD∥OC，∴∠DAO ＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO，∴∠COD ＝∠COB.在△COD 和△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝CO ，∠COD ＝∠COB，OD ＝OB ，∴△COD ≌△COB(SAS)，∴∠CDO ＝∠CBO＝90°.又∵点D 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线； (2)∵△COD≌△COB，∴CD ＝CB.∵DE＝2BC ，∴ED ＝2CD.∵AD∥OC，∴△EDA ∽△ECO.∴AD OC ＝DE CE ＝23.2.1 直线与圆的位置关系(第3课时)1．下列说法中，正确的是( )A．圆的切线垂直于经过切点的半径B．垂直于切线的直线必经过切点C．垂直于切线的直线必经过圆心D．垂直于半径的直线是圆的切线2．如图，AB与⊙O相切于点B，AO＝6cm，AB＝4cm.则⊙O的半径为( )A．45cm B．25cm C．213cm D.13cm第2题图3.如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于( )第3题图A．20° B．25° C．40° D．50°4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )第4题图A．点(0，3) B．点(2，3) C．点(5，1) D．点(6，1)5．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos∠E＝________．第5题图6．如图，AB 是⊙O 的切线，半径OA ＝2，OB 交⊙O 于点C ，∠B ＝30°，则AC ︵的长是________(结果保留π)．第6题图7.如图，两个同心圆，大圆的弦AB 切小圆于点C ，且AB ＝10，则图中阴影部分面积为________．第7题图8.如图，已知⊙P 的半径是1，圆心P 在抛物线y ＝x 2－2x ＋1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为______________．第8题图9．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D ＝2∠CAD. (1)求∠D 的度数； (2)若CD ＝2，求BD 的长．第9题图10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F.。
浙教版九年级数学下《1.3解直角三角形》同步练习
1.3 第1课时 解直角三角形一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，则下列关系式中错误的是( )A ．b ＝c ·cosB B ．b ＝a ·tan BC ．a ＝c ·sin AD ．a ＝btan B2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm3．如图K －43－1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为∠α，tan α＝32，则t 的值是( )A ．1B ．1.5C ．2D ．3图K －43－14．2017·宜昌△ABC 在网格中的位置如图K －43－2所示(每个小正方形的边长为1)，AD ⊥BC 于点D ，则下列选项中错误．．的是( )图K －43－2A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2C ．sin β＝cos βD ．tan α＝15．如图K －43－3所示，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为( ) A.125 B.163 C.43 D.643图K －43－36.如图K －43－4，若△ABC 和△DEF 的面积分别为S 1，S 2，则( )图K －43－4A ．S 1＝12S 2B ．S 1＝72S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1＝85S 2二、填空题7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，cos B ＝35，则AB ＝________，tan A ＝________.8．如图K －43－5，AB 是⊙O 的直径，AB ＝15，AC ＝9，则tan ∠ADC ＝________．图K －43－59．如图K －43－6，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE ＝5 5 cm ，且tan ∠EFC ＝34，那么矩形ABCD 的周长为________cm.图K －43－610．2017·义乌以Rt △ABC 的锐角顶点A 为圆心，适当长为半径作弧，与边AB ，AC 各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A 作直线，与边BC 交于点D, 若∠ADB ＝60°，点D 到AC 的距离为2，则AB 的长为________．11．2017·随州如图K －43－7，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，P 是OA 上的一动点，N (3，0)是OB 上的一定点，M 是ON 的中点，∠AOB ＝30°，要使PM ＋PN 的值最小，则点P 的坐标为________．图K －43－7三、解答题12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，b ∶c ＝3∶2，a ＝5，求b ，c ，∠A ，∠B .13．2016·上海改编如图K －43－8，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ，DE ⊥AB ，垂足为E ，连结CE .求：(1)线段BE 的长；(2)∠ECB的余弦值．图K－43－814．如图K－43－9，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80 cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米．(结果取整数．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)图K－43－915．分类讨论在△ABC中，O为AC的中点，点P在AC上，若OP＝52，tan A＝12，∠B＝120°，BC＝2 3，求AP的长．16．分类讨论在△ABC中，AB＝12，AC＝39，∠B＝30°，求△ABC的面积．1．[答案] A2．[解析] C ∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4x cm ，AB ＝5x cm . 又∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴62＋(4x)2＝(5x)2， 解得x 1＝2，x 2＝－2(舍去)，则BC ＝8 cm . 故选C . 3．[答案] C 4．[答案] C5．[解析] B ∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠ADE ＋∠CDE ＝90°.∵DE ⊥AC ，∴∠CDE ＋∠DCE ＝90°， ∴∠DCE ＝∠ADE ＝α.又∵DC ＝AB ＝4，cos ∠DCE ＝DCAC ，∴35＝4AC ，∴AC ＝203， ∴AD ＝AC 2－DC 2＝163.故选B . 6．][答案] C 7．[答案] 10 348．[答案] 349．][答案] 36[解析] ∵tan ∠EFC ＝34，∴设CE ＝3k cm ，则CF ＝4k cm ， 由勾股定理，得EF ＝DE ＝5k cm ， ∴DC ＝AB ＝8k cm .∵∠AFB ＋∠BAF ＝90°，∠AFB ＋∠EFC ＝90°，∴∠BAF ＝∠EFC ，∴tan ∠BAF ＝tan ∠EFC ＝34，∴BF ＝6k cm ，∴AF ＝BC ＝AD ＝10k cm .在Rt △AFE 中，由勾股定理，得AE ＝AF 2＋EF 2＝125k 2＝5 5， 解得k ＝1(负值已舍去)，故矩形ABCD 的周长＝2(AB ＋BC)＝2(8k ＋10k)＝36(cm )． 故答案为36. 10．[答案] 23[解析] 如图，由题意可知AD 是∠BAC 的平分线．过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，则DE ＝2，所以DB ＝DE ＝2；在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝ABBD，所以AB ＝2×3＝2 3.11．[答案] ⎝⎛⎭⎫32，32[解析] 作点N 关于OA 的对称点N′，连结MN′交OA 于点P ，则点P 即为所求．显然ON ＝ON ′，∠NON ′＝2∠AOB ＝2×30°＝60°，∴△ONN ′为等边三角形，MN ′⊥ON.∵OM ＝32，则PM ＝OM·tan 30°＝32×33＝32，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，32.12．解：∵sin B ＝b c ＝32，∴∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝30°. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝a sin A ＝512＝10.又∵b ∶c ＝3∶2，∴b ∶10＝3∶2， ∴b ＝5 3.13．解：(1)∵AD ＝2CD ，AC ＝3，∴AD ＝2. 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3， ∴∠A ＝45°，AB ＝AC 2＋BC 2＝3 2. ∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°，∠ADE ＝∠A ＝45°， ∴AE ＝AD·cos 45°＝2， ∴BE ＝AB －AE ＝2 2. 即线段BE 的长是2 2.(2)如图，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H. 在Rt △BEH 中，∠EHB ＝90°，∠B ＝45°，∴EH ＝BH ＝EB·cos 45°＝2. 又∵BC ＝3，∴CH ＝1. 在Rt △ECH 中，CE ＝CH 2＋EH 2＝12＋22＝5， ∴cos ∠ECB ＝CH CE ＝55，即∠ECB 的余弦值是55.14．解：如图，过点A′作A′B ⊥AO 于点B ， 根据题意知OA ＝OA′＝80 cm ，∠AOA ′＝35°， ∴OB ＝OA′·cos 35°≈80×0.82＝65.6(cm )， ∴AB ＝OA －OB ≈80－65.6≈14(cm )．答：调整后点A′比调整前点A 的高度降低了约14 cm . 1.5解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，∵∠ABC ＝120°，∴∠CBD ＝60°.∵BC ＝2 3，∴CD ＝BC·sin 60°＝23×32＝3. ∵tan A ＝12，∴AD ＝6，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝35，∴AO ＝32 5.∵点P 在AC 上，且OP ＝52， ∴AP ＝25或 5.16．解：分两种情况：(1)如图①，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，在Rt △ABD 中， ∵AB ＝12，∠B ＝30°，∴AD ＝12AB ＝6，BD ＝AB cos B ＝12×32＝6 3. 在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝（39）2－62＝3， ∴BC ＝BD ＋CD ＝63＋3＝73，则S △ABC ＝12×BC ×AD ＝12×73×6＝213；(2)如图②，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D ，由(1)知，AD ＝6，BD ＝63，CD ＝3， 则BC ＝BD －CD ＝53，∴S △ABC ＝12×BC ×AD ＝12×53×6＝15 3.综上，△ABC 的面积为21 3或15 3.。
浙教版 九年级数学下册 第1章 解直角三角形 单元同步练习习题合集(含单元测试+章末总结提升+专题提升)
第1章 解直角三角形1.1 锐角三角函数(1)(见A 本51页)A 练就好基础 基础达标1．在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大到原来的2倍，则锐角A 的正弦值( A ) A ．不变B ．扩大到原来的2倍C ．缩小到原来的12D ．不能确定2．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，那么cos A 的值等于( A )A.45B.35C.43D.343．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AB ＝3，则下列结论中正确的是( C ) A ．sin A ＝53B ．cos A ＝23C ．sin A ＝23D ．tan A ＝524．在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，则tan B ＝( B )A.43B.34C.35D.455．如图所示，已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为8 cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2 cm ，则tan ∠OPA 等于( D )5题图A.32B.23C ．2D.126．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cosB 的值为( A ) A.154B.14C.1515D.417177．龙岩中考如图所示，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝2．7题图第8题图8．攀枝花中考如图所示，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin ∠OBD ＝__35__．第9题图9．如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC 于点D ，∠CBD ＝α，AB ＝3，BC ＝4，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD＝90°， ∵BD ⊥AC ，∴∠A ＋∠ABD＝90°， ∴∠A ＝∠CBD＝α，∵∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，∴AC ＝5， sin α＝sin A ＝BC AC ＝45，cos α＝35，tan α＝43.第10题图10．如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ∶BC ＝2∶5，且S △ABC ＝103，求tan C 的值．第10题答图解：如图，过A 作AD⊥BC 于点D ， ∵∠B ＝60°，∴∠BAD ＝30°，∴AB ∶BD ＝2∶1， 又∵AB∶BC＝2∶5， ∴AB ∶BD ∶BC ＝2∶1∶5，设AB ＝2k ，则BD ＝k ，BC ＝5k(k ＞0)， ∴AD ＝3k ，∵S △ABC ＝103，∴12BC ·AD ＝103，即12·5k ·3k ＝103，∴k ＝2，∴AD ＝23，CD ＝BC －BD ＝10－2＝8， tan C ＝AD CD ＝238＝34.B 更上一层楼 能力提升第11题图11．丽水中考如图所示，点A 为∠α边上任意一点，作AC⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列选项中用线段比表示cos α的值，错误的是( C )A.BDBCB.BC ABC.ADACD.CD AC12．菱形ABCD 的对角线AC ＝10 cm ，BD ＝6 cm ，那么tan B2为( A )A.53B.54C.534D.33413．已知α是锐角，tan α＝724，则sin α＝__725__，cos α＝__2425__．第14题图14．绵阳中考如图所示，在等边△ABC 内有一点D ，AD ＝5，BD ＝6，CD ＝4，将△ABD 绕A 点逆时针旋转，使AB 与AC 重合，点D 旋转至点E ，求∠CDE 的正弦值．(海伦公式：三边长分别为a ，b ，c 的三角形的面积公式为S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），其中p 为三角形周长的一半)第14题答图解：如图，过E 作EH⊥DC 于点H. ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝60°.∵△ACE 是由△ABD 旋转而成的，∴∠DAE ＝∠CAE＋∠DAC＝∠BAD＋∠DAC＝∠BAC＝60°， AD ＝AE ＝5， ∴△ADE 是等边三角形，∴DE ＝5， 又∵ BD＝CE ＝6，∴△CDE 的三边长分别为CD ＝4，DE ＝5，CE ＝6. 根据海伦公式得△CDE 的面积为1574，所以EH ＝1578， sin ∠CDE ＝EH ED ＝378.C 开拓新思路 拓展创新15．在Rt △ABC 中，两边的长分别为3和4，则最小角的正弦值为4或35__． 16．自贡中考如图所示，在边长相同的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则APPB＝__3__，tan ∠APD ＝__2__．第16题图1.1 锐角三角函数(2)(见B 本51页)A 练就好基础 基础达标 1．tan 260°－1的值等于( D ) A.13B ．3C.12D ．22．已知锐角α，若sin α＝32，则cos α的值为( B ) A.23B.12C.22D.323．令a ＝sin 60°，b ＝cos 45°，c ＝tan 30°，则它们之间的大小关系是( A ) A ．c ＜b ＜a B ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a4．如图所示，某地修建高速公路，要在B 地与C 地之间修一座隧道(B ，C 在同一水平面上)．为了测量B ，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°.则B ，C 两地之间的距离为( A )第4题图A ．100 3 mB ．50 2 mC ．50 3 mD.10033 m 5．如图所示，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1∶3(坡比是坡面的铅第5题图直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则坡角∠A 的大小是( A ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝22，则tan B ＝__1__．7．计算：3tan 30°－2tan 60°cos 60°＝．8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，则斜边上的中线长为__2__．9．计算：(1)sin 60°＋cos 60°＝2．(2)sin 45°cos 45°＝__1__，sin 60°cos 60°＝．(3)6tan 230°－3sin 60°－2sin 45°＝2．10．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与BC 相交于点D ，且AB ＝43，求AD 的长．解：在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，∴AC ＝12AB ＝12×43＝2 3.∵AD 平分∠BAC，∴在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°， ∴AD ＝ACcos 30°＝4.B 更上一层楼 能力提升11．点M(－sin 60°，cos 60°)关于原点对称的点的坐标是( B )A.⎝⎛⎭⎪⎫32，12B.⎝⎛⎭⎪⎫32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－3212．当∠A＝60°时，下列不等式中正确的是( D ) A ．tan A ＞cos A ＞sin A B ．cos A ＞tan A ＞sin A C ．sin A ＞tan A ＞cos A D ．tan A ＞sin A ＞cos A13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B 的对边是a ，b ，且满足a 2－ab －b 2＝0，则tan A 等于( B )A ．1B.1＋52C.1－52D.1±5214．我们观察课本中特殊角的三角函数值，可以发现sin 60°＝cos 30°，sin 45°＝cos 45°，sin 30°＝cos 60°.猜测并验证得出：若sin α＝cos β，则α与β的数量关系为__α＋β＝90°__．15．潍坊中考关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于__30°__．16．计算：(1)3tan 245°－3(sin 60°－2tan 30°)； (2)3tan 30°－2tan 60°sin 60°＋cos 225°＋sin 225°.解：(1)原式＝3×12－3⎝⎛⎭⎪⎫32－2×33＝3－⎝⎛⎭⎫32－2＝3＋12＝3.5.(2)原式＝3×33－2332＋1 ＝－2＋1＝－1.17．如图所示，∠C ＝90°，∠DBC ＝30°，AB ＝BD ，根据此图求tan 15°的值．第17题图解：∵BD＝AB ，∴∠A ＝∠ADB＝30°×12＝15°，设DC ＝1，则BD ＝AB ＝2，BC ＝3，∴tan 15°＝12＋3＝2－ 3.C 开拓新思路 拓展创新18．鄂州中考如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连结AE ，将 △ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连结FC ，则sin ∠ECF ＝( D )第18题图A.34B.43C.35D.4519．烟台中考如图所示，⊙O 的半径为1，AD ，BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发(P 点与O 点不重合)，沿O→C→D 的路线运动．设AP ＝x ，sin ∠APB ＝y ，那么y 与x 之间的关系图象大致是( C )第19题图A BC D1.2 锐角三角函数的计算(1)(见A 本53页)A 练就好基础 基础达标1．用计算器求 cos 27°40′的近似值，正确的是( A ) A ．0.8857B ．0.8856C ．0.8852D ．0.8851第2题图2．威海中考如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝26°，BC ＝5.若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是( D )A.5÷tan 26＝B.5÷sin 26＝C.5×cos 26＝D.5×tan 26＝3．在△ABC 中，若∠A，∠B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －32＋⎝⎛⎭⎫cos B －122＝0，则△ABC 是( B ) A ．等腰非等边三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形4．2017·绥化中考某楼梯的侧面如图所示，已测得BC 的长约为3.5米， ∠BCA 约为29°，则该楼梯的高度AB 可表示为( A )4题图A ．3.5sin 29°米B ．3.5cos 29°米C ．3.5tan 29°米D. 3.5cos 29°米 5．利用计算器求锐角的三角函数值(结果精确到0.0001)：(1)sin 40°≈__0.6428__； (2)cos 15°≈__0.9659__； (3)tan 52.6°≈__1.3079__．6．比较大小：sin 40°__<__tan 40°.7．若sin 2α＋cos 230°＝1，锐角α＝__30°__.第8题图8．临沂中考如图所示，在ABCD 中，连结BD ，AD ⊥BD ，AB ＝4，sin A ＝34，则ABCD 的面积是．9．已知tan 2α－(1＋3)tan α＋3＝0，求锐角α的度数． 解：tan 2α－(1＋3)tan α＋3＝0， (tan α－1)(tan α－3)＝0，∴tan α＝1或tan α＝ 3.∵α为锐角，∴∠α＝45°或∠α＝60°.10．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78 m ，她乘电梯会有碰头的危险吗？姚明身高2.26 m ，他乘电梯会有碰头的危险吗？(可能用到的三角函数值利用计算器完成)第10题图解： 因为AC 平行地面，所以∠CAB＝27°，电梯到C 点的高度＝AC·tan 27°≈4×0.51＝2.04(m)，1.78<2.04<2.26，故小敏没有碰头的危险，而姚明有碰头的危险．B 更上一层楼 能力提升11．淄博中考若锐角α满足cos α＜22且tan α＜3，则α的取值范围是( B ) A ．30°＜α＜45° B ．45°＜α＜60° C ．60°＜α＜90° D ．30°＜α＜60°12．如图所示，梯子(长度不变，可在地面上挪动)跟地面所成的锐角为∠A，下列关于∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系叙述正确的是( A )A ．sin A 的值越大，梯子越陡B ．cos A 的值越大，梯子越陡C ．tan A 的值越小，梯子越陡D ．陡缓程度与∠A 的函数值无关第12题图13题图13．烟台中考如图所示，BD 是菱形ABCD 的对角线，CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点F ，且点E 是AB 的中点，则tan ∠BFE 的值是( D )A.12B ．2C.33D. 314．下列结论中(其中α，β均为锐角)，正确的是__③④__．(填序号) ①sin α＋cos α≤1；②cos 2α＝2cos α； ③当0°<α<β<90°时，0<sin α<sin β<1； ④sin α＝cos α·tan α.15．吉林中考如图所示，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200 m ，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α＝43°，求飞机A 与指挥台B 的距离．(结果取整数)参考数据：sin 43°＝0.68，cos 43°＝0.73，tan 43°＝0.93第15题图解：∠B＝α＝43°， 在Rt △ABC 中，∵sin B ＝AC AB ，∴AB ＝1200sin 43°≈1765(m)．答：飞机A 与指挥台B 的距离为1765 m.16．如图所示，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D＝90°，BC ＝2，CD ＝3，求AB 的值．第16题图第16题答图解：如图，延长AB ，DC 交于点E ， ∵∠D ＝90°，∠A ＝60°，∴∠E ＝30°，∵∠CBE ＝∠ABC＝90°， ∴CE ＝4，BE ＝23，DE ＝7， ∵cos E ＝DEAE ，∴AE ＝DE cos E ＝7cos 30°＝1433， ∴AB ＝AE －BE ， ＝1433－23， ＝833. C 开拓新思路 拓展创新17．上海中考如图所示，在矩形ABCD 中，BC ＝2，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°，点A ，C 分别落在点A′，C′处，如果点A′，C ′，B 在同一条直线上，那么tan ∠ABA ′的值为2__．第17题图第17题答图【解析】如图，设AB＝x，则CD＝x，A′C＝x＋2，∵AD∥BC，∴C′DBC＝A′DA′C，即x2＝2x＋2，解得x1＝5－1，x2＝－5－1(舍去)，∵AB∥CD，∴∠ABA′＝∠BA′C，∴tan∠BA′C＝BCA′C ＝5－12，∴tan∠ABA′＝5－12.1.2锐角三角函数的计算(2)(见B本53页)A 练就好基础基础达标1．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝1，则sin B的值是( D)A. 3B. 2 C．1 D.2 22．若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( A)A．20°B．30°C．40°D．50°3．如图所示，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则∠A的度数约为( D) A．30°B．25°C．26°33′D．26°34′第3题图第5题图4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝23，则tan B 等于( C )A.35B.53C.255D.525．如图是教学用直角三角板，边AC ＝60 cm ，∠C ＝90°，tan ∠ABC ＝3，则边AB 的长为( A )A ．40 3 cmB ．20 3 cmC ．60 3 cmD ．120 cm6．已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角(结果精确到1′)： (1)sin A ＝0.6275，则∠A≈__38°52′__； (2)cos A ＝0.6252，则∠A≈__51°18′__； (3)tan A ＝4.8425，则∠A≈__78°20′__．7．广东中考如图所示，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是__45__．第7题图第8题图8．如图所示⊙O 中，直径AB⊥弦CD 于点E.若BE ＝14CD ＝4，则∠COD≈__106°__. (精确到1°)第9题图9．如图所示是某公园“六一”前新增设的一台滑梯．该滑梯的高度AC ＝3 m ，滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC ＝4 m.(1)求滑梯AB 的长；(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)超过30°，而不超过45°符合规格要求．请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求．解：(1)滑梯长AB ＝BC 2＋AC 2＝5(m)． (2)∵tan ∠ABC ＝ACBC ＝0.75，∴∠ABC ≈37°，30°<37°<45°， ∴这架滑梯的倾斜角符合要求．第10题图10．如图所示，已知直线AB 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，它的解析式为y ＝－33x ＋33，角α的一边为OA ，另一边OP⊥AB 于点P.求cos α的值．解：∵直线AB 的解析式为y ＝－33x ＋33， 则点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33， 故OA ＝1，OB ＝33，AB ＝233， ∵cos ∠ABO ＝OB AB ＝33233 ＝12，由于同角的余角相等，∠α＝∠ABO， ∴cos α＝cos ∠ABO ＝12.B 更上一层楼 能力提升11．如图所示，在Rt △ABO 中，斜边AB ＝1.若OC∥BA，∠AOC ＝36°，则( A ) A ．点A 到OC 的距离为sin 36°·sin 54° B ．点B 到AO 的距离为tan 36° C ．点B 到AO 的距离为sin 54°D ．点A 到OC 的距离为cos 36°·sin 54°第11题图第12题图12．如图所示，在2×2的正方形网格中，△ABC 是以格点为顶点的三角形，则sin ∠CAB 等于( B )A.323B.35C.105D.310第13题图13．枣庄中考如图所示，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连结AC ，BD ，若AC ＝2，则tan D ＝．14．如图所示，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M ，N 两点关于对角线AC 对称，若DM ＝1，则sin ∠ADN ＝__45__．14题图15题图15．日照中考如图所示，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC ＝12BD ，连结AC ，若tan B ＝53，则tan ∠CAD ＝__15__．16．盐城中考已知△ABC 中，tan B ＝23，BC ＝6，过点A 作BC 边上的高，垂足为点D ，且满足BD∶CD＝2∶1，则△ABC 的面积所有可能的值为__8或24__．C 开拓新思路 拓展创新17．规定：sin(－x)＝－sin x ，cos(－x)＝cos x ，sin(x ＋y)＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y.据此判断，下列等式中成立的是__②③④__．(写出所有正确的序号) ①cos(－60°)＝－12；②sin 75°＝6＋24； ③sin 2x ＝2sin x ·cos x ；④sin(x －y)＝sin x ·cos y －cos x ·sin y.第18题图18．龙东中考如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，连结AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF，延长FP 交BA 的延长线于点Q.请判断下列结论是否正确，并说明理由．①AE ＝BF ；②AE⊥BF；③sin ∠BQP ＝45.解：∵E，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点， ∴CF ＝BE ，在△ABE 和△BCF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF，BE ＝CF ，∴Rt △ABE ≌Rt △BCF(SAS)，∴∠BAE ＝∠CBF，AE ＝BF ，故①正确；又∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠CBF ＋∠BEA＝90°， ∴∠BGE ＝90°，∴AE ⊥BF ，故②正确；根据题意，得FP ＝FC ，∠PFB ＝∠BFC，∠FPB ＝90°. ∵CD ∥AB ，∴∠CFB ＝∠ABF，∴∠ABF ＝∠PFB， ∴QF ＝QB ，令PF ＝k(k>0)，则PB ＝2k ， 在Rt △BPQ 中，设QB ＝x ， ∴x 2＝(x －k)2＋4k 2，∴x ＝5k 2，∴sin ∠BQP ＝BP QB ＝45，故③正确．1.3 解直角三角形(1)(见A 本55页)A 练就好基础 基础达标1．在Rt △ABC 中，已知∠C＝90°，∠A ＝40°，AB ＝5，则BC ＝( B ) A ．5sin 50°B ．5sin 40°C ．3tan 40°D ．3tan 50°2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A，∠B ，∠C 的对边，下列关系式中错误的是( A )A ．b ＝c·cos BB ．b ＝a·tan BC ．a ＝c·sin AD ．b ＝atan A3．两条宽度都是1的纸带，按如图交叉叠放，它们的交角为α，则它们公共部分(阴影部分)的面积为( A )A.1sin αB.1cos αC ．sin αD ．1第3题图第4题图4．衢州中考如图所示，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( B )A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm5．如图所示，秋千链子的长度为4 m ，当秋千向两边摆动时，两边的最大摆动角度均为30°.则它摆动至最高位置与最低位置的高度之差为( C )A ．2 mB ．(423) mD ．(4－22) m第5题图第6题图6．如图所示，菱形ABCD 的面积为24, tan ∠BAC ＝34，则菱形边长为( C )A ．6B ．8C ．5D ．157．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝35，c ＝352，则∠A＝__45°__，b ＝__35__． 8．怀化中考在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为__8__cm.9．如图所示，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，点D 是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝15，则AD 的长为__2__．第9题图10．在△ABC 中，∠C ＝90°.(1)已知c ＝83，∠A ＝60°，求∠B，a ，b ； (2)已知a ＝36， ∠A ＝45°，求∠B，b ，c. 解：(1)∠B＝30°，a ＝12，b ＝4 3. (2)∠B＝45°，b ＝36，c ＝6 3. B 更上一层楼 能力提升11．已知锐角A 满足关系式2sin 2A －7sin A ＋3＝0，则sin A 的值为( A ) A.12B ．3C.12或3D ．412．如图所示，钓鱼竿AC 长6 m ，露出水面的鱼线BC 长3 2 m ，某钓者想看看鱼钩上的度是( C)A．60°B．45°C．15°D．90°12题图第13题图13．如图所示，在半径为1的⊙O中，AC是直径，∠AOB＝45°，则sin C的值为( B)A.22B.2－22C.2＋22D.2414．在Rt△ABC中，斜边AB＝2，且sin A＋cos A＝52，则△ABC的面积为__14__．15．台州中考如图所示，保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离超过30 cm，图(a)是一位同学的坐姿，把她的眼睛B、肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图(b)的△ABC.已知BC＝30 cm，AC＝22 cm，∠ACB＝53°，她的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)第15题图第15题答图解：她的这种坐姿不符合保护视力的要求．理由如下：如图，过点B作BD⊥AC于点D，∵BC＝30 cm, ∠ACB＝53°，∴sin 53°＝BDBC＝BD30≈0.8，∴BD ＝24，又∵cos 53°＝DCBC≈0.6， ∴CD ＝18，∴AB ＝AD 2＋BD 2＝42＋242＝592＜900， ∴她的这种坐姿不符合保护视力的要求．第16题图16．2017·上海中考如图所示，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC 长18米，中柱AD 高6米，其中D 是BC 的中点，且AD ⊥BC.(1)求sin B 的值；(2)现需要加装支架DE ，EF ，其中点E 在AB 上，BE ＝2AE ，且EF⊥BC，垂足为点F ，求支架DE 的长．解：(1)在Rt △ABD 中，∵BD ＝DC ＝9，AD ＝6， ∴AB ＝BD 2＋AD 2＝92＋62＝313， ∴sin B ＝AD AB ＝6313＝21313.(2)∵EF∥AD，BE ＝2AE ，∴EF AD ＝BF BD ＝BE BA ＝23，∴EF 6＝BF 9＝23，∴EF ＝4，BF ＝6， ∴DF ＝3，在Rt △DEF 中，DE ＝EF 2＋DF 2＝42＋32＝5(米)．C 开拓新思路 拓展创新17．菏泽中考如图所示，△ABC 与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB ＝AC ＝5，A ′B ′＝A′C′＝3.若∠B＋∠B′＝90°，则△ABC 与△A′B′C′的面积比为( A )第17题图A ．25∶9B ．5∶3 C.5∶ 3 D ．55∶3 318．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A ＝ba.则下列关系式中不成立的是( D )第18题图A ．tan A ·cot A ＝1B ．sin A ＝tan A ·cos AC ．cos A ＝cot A ·sin AD ．tan 2A ＋cot 2A ＝11.3 解直角三角形(2)(见B 本55页)A 练就好基础 基础达标1．小明沿着坡比为1∶2的山坡向上走了1000 m ，则他升高了( A )A ．200 5 mB ．500 mC ．5003mD ．1000 m2．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯的长l 为( A ) A.h sin αB.h tan αC.h cos αD ．h ·sin α2题图3题图3．如图是以△ABC 的边为直径的半圆O ，点C 恰在半圆上，过C 作CD⊥AB 交AB 于点D.已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( D )A ．1B.203C ．3D.1634．人民币一角硬币的正面图案中有一个正九边形，如果这个正九边形的半径是R ，那么它的边长是( C )A ．Rsin 20°B ．Rsin 40°C ．2Rsin 20°D ．2Rsin 40°5．如图是某水库大坝横截面示意图，其中AB ，CD 分别表示水库上、下底面的水平线，∠ABC ＝120°，BC 的长是50 m ，则水库大坝的高度h 是( A )第5题图A ．25 3 mB ．25 mC ．25 2 mD.2533m6．有一拦水坝的横截面是等腰梯形，它的上底为6 m ，下底为12 m ，高为 3 m ，那么拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是( D )A.33，60° B.3，30° C.3，60° D.33，30° 7．如图所示是一长为50 m 的游泳池的纵切面示意图，该游泳池的最浅处为1.2 m ，最深处为2.2 m ，底面为斜坡，则底面的坡度为( B )A ．50∶1B ．1∶50C ．3∶125D ．11∶250第7题图第8题图8．如图所示，小明爬一土坡，他从点A 处爬到点B 处所走的直线距离AB ＝4 m ，此时，他离地面的高度h ＝2 m ，则这个土坡的坡角A 等于__30°__．9．某校为了解决学生停车难的问题，打算新建一个自行车车棚，图1是车棚的示意图(尺寸如图所示)，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部的截面示意图，弧AB 所在圆的圆心为O ，半径OA 为3米．(1)求∠AOB 的度数(结果精确到1°)；(2)学校准备用某种材料制作车棚顶部，请你算一算，需该种材料多少平方米？(不考虑接缝等因素，结果精确到1平方米，参考数据：sin 53.1°≈0.80，cos 53.1°≈0.60，π取3.14)第9题图第9题答图解：(1) 作OC⊥AB 于点C, 则AC ＝2.4. 而OA ＝3, ∴sin ∠AOC ＝2.43＝0.8,∴∠AOC ≈53.1°， ∴∠AOB ＝2∠AOC≈106°. (2)∵l AB ︵＝106π×3180≈5.5, ∴lAB ︵×15≈83 m 2.10．2017·海南中考为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD ＝2米)，背水坡DE 的坡度i ＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示．已知AE ＝4米，∠EAC ＝130°，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)第10题图解：设BC ＝x 米，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝180°－∠EAC＝50°，AB ＝BC tan 50°≈BC 1.2＝56x ，在Rt △EBD 中，∵i ＝DB∶EB＝1∶1，∴BD ＝BE ， ∴CD ＋BC ＝AE ＋AB ，即2＋x ＝4＋56x ，解得x ＝12，即BC ＝12，即水坝原来的高度为12米． B 更上一层楼 能力提升11．2017·六盘水中考三角形的两边a ，b 的夹角为60°且满足方程x 2－32x ＋4＝0，则第三边的长是( A )A. 6 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 212．济南中考如图所示，等边三角形AOB 的顶点A 的坐标为(－4，0)，顶点B 在反比例函数y ＝kx(x ＜0)的图象上，则k 的值为( C )A ．－4B ．4 3C ．－4 3D ．412题图13题图13．济宁中考如图所示，斜面AC 的坡度(CD 与AD 的比)为1∶2，AC ＝3 5 m ，坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点用一条彩带相连．若AB ＝10 m ，则旗杆BC 的高度为__5__ m.14．临夏州中考如图所示，图1是小红在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小红锻炼时上半身由ON 位置运动到与地面垂直的OM 位置时的示意图．已知AC ＝0.66 m ，BD ＝0.26 m ，α＝20°.(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364)(1)求AB 的长(精确到0.01 m)；(2)若测得ON ＝0.8 m ，试计算小红头顶由N 点运动到M 点的路径MN ︵的长度(结果保留π)．第14题图第14题答图解：(1)如图，过B 作BE⊥AC 于点E ，则AE ＝AC －BD ＝0.66－0.26＝0.4(m)，∠AEB ＝90°， AB ＝AE sin ∠ABE ＝0.4sin 20°≈1.17(m)．(2)∠MON＝90°＋20°＝110°， 所以MN ︵的长度是110π×0.8180＝2245π(m)．C 开拓新思路 拓展创新15．2017·绵阳中考如图所示，过锐角△ABC 的顶点A 作DE∥BC，AB 恰好平分∠DAC，AF 平分∠EAC 交BC 的延长线于点F.在AF 上取点M ，使得AM ＝13AF ，连结CM 并延长交直线DE 于点H.若AC ＝2，△AMH 的面积是112，则1tan ∠ACH的值是．第16题图1.3 解直角三角形(3)(见A 本57页)A 练就好基础 基础达标1．王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100 m 到B 地，再从B 地向正南方向走200 m 到C 地，此时王英同学离A 地( D )A ．150 mB ．503mC ．100 mD ．1003m2．如图所示，要测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝100 m ，则B 点到河岸AD 的距离为( B )A ．100 mB ．50 3 mC.20033mD ．50 m2题图3题图3．苏州中考如图所示，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°.为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( B )A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(23－2) mD ．(26－2) m4．西宁中考如图所示，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A 处修建通往百米观景长廊BC 的两条栈道AB ，AC. 若∠B＝56°，∠C ＝45°，则游客中心A 到观景长廊BC 的距离AD 的长约为__60__ m ．(sin 56°≈0.8，tan 56°≈1.5)4题图5题图5．如图所示，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且BD 平分AC.若BD ＝8，AC ＝6，∠BOC ＝120°，则四边形ABCD 的面积为结果保留根号)．第6题图6．益阳中考如图所示，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1 m，则旗杆PA的高度为__11－sin α__ m.第7题图7．绍兴中考如图所示，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60 m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向．(1)求∠CBA的度数；(2)求出这段河的宽．(结果精确到1 m，备用数据：2≈1.41，3≈1.73)第7题答图解：(1)由题意，得∠BAD＝45°，∠BCA＝30°，∴∠CBA＝∠BAD－∠BCA＝15°.(2)如图，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD＝x，∵∠BCA＝30°，∴CD＝BDtan 30°＝3x，∵∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝x，则3x－x＝60，解得x＝603－1≈82，即这段河的宽约为82 m.第8题图8．2017·乌鲁木齐中考一艘渔船位于港口A 北偏东60°方向，距离港口20海里的B 处，它沿北偏西37°方向航行至C 处突然出现故障，在C 处等待救援，B ，C 之间的距离为10海里，救援船从港口A 出发20分钟到达C 处，求救援艇的航行速度．(sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，3≈1.732，结果取整数)第8题答图解：作辅助线如图所示： BD ⊥AD ，BE ⊥CE ，CF ⊥AF ，由题意知，∠FAB ＝60°，∠CBE ＝37°， ∴∠BAD ＝30°， ∵AB ＝20海里， ∴BD ＝10海里，在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝103≈17.32(海里)， 在Rt △BCE 中，sin37°＝CEBC，∴CE ＝BC·sin37°≈0.6×10＝6(海里)，∵cos37°＝EBBC ，∴EB ＝BC·cos37°≈0.8×10＝8(海里)，EF ＝AD ＝17.32海里，∴FC ＝EF －CE ＝11.32(海里)， AF ＝ED ＝EB ＋BD ＝18(海里)， 在Rt △AFC 中，AC ＝AF 2＋FC 2＝182＋11.322≈21.26(海里)， 21．26÷2060＝64(海里/小时)．答：救援艇的航行速度大约是64海里/小时． B 更上一层楼 能力提升9．扬州中考若锐角△ABC 内接于⊙O，点D 在⊙O 外(与点C 在AB 同侧)，有下列三个结论：①sin ∠C>sin ∠D ；②cos ∠C>cos ∠D ；③tan ∠C>tan ∠D.正确的结论为( D )A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①③第10题图10．如图所示，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28 km/h 的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是( A )A ．7 2 kmB ．14 2 kmC ．7 kmD ．14 km第11题图11．2017·苏州中考如图所示，在一笔直的沿湖道路l 上有A ，B 两个游船码头，观光岛屿C 在码头Α北偏东60°的方向，在码头B 北偏西45°的方向，AC ＝4 km.游客小张准备从观光岛屿C 乘船沿CA 回到码头A 或沿CB 回到码头B.设开往码头A ，B 的游船速度分别为v 1，v 2，若回到A ，B 所用时间相等，则v 1v 2＝2结果保留根号)．C 开拓新思路 拓展创新12．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是AB ︵的中点，连结PA ，PB ，PC.(1)如图(a)，若∠BPC＝60°，求证：AC ＝3AP ； (2)如图(b)，若sin ∠BPC ＝2425，求tan ∠PAB 的值．图(a) 图(b)第12题图解：(1)证明：∵∠BAC＝∠BPC＝60°. 又∵AB＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠ACB ＝60°，∵点P 是AB ︵的中点，∴∠ACP ＝30°， 又∵∠APC＝∠ABC ＝60°，∴AC ＝3AP.第12题答图(2)如图，连结AO 并延长交PC 于点E ，交BC 于点F ，过点E 作EG⊥AC 于点G ，连结OC. ∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，BF ＝CF.又∵点P 是AB ︵的中点，∴∠ACP ＝∠PCB， ∴EG ＝EF.∵∠BPC ＝∠BAC，又∵∠BAC＝∠FOC， ∴∠BPC ＝∠FOC，∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC ＝2425.设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ， ∴OF ＝7a ，AF ＝32a.在Rt △AFC 中，AC 2＝AF 2＋FC 2，∴AC ＝40a. 在Rt △AGE 和Rt △AFC 中，sin ∠FAC ＝EG AE ＝FCAC ，∴EG 32a －EG ＝24a40a，∴EG ＝12a.∴tan ∠PAB ＝tan ∠PCB ＝EF CF ＝12a 24a ＝12.13．如图所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图(b)所示．晾衣架伸缩时，点G 在射线DP 上滑动，∠CED 的大小也随之发生变化．已知每个菱形边长均等于20 cm ，且AH ＝DE ＝EG ＝20 cm.(1)当∠CED＝60°时，求C ，D 两点间的距离；(2)当∠CED 由60°变为120°时，点A 向左移动了多少 cm ？(结果精确到0.1 cm) (3)设DG ＝x ，当∠CED 的变化范围为60°～ 120°(包括端点值)时，求x 的取值范围．(结果精确到0.1 cm ，参考数据：3≈1.732)图(a) 图(b)第13题图解：(1)如图(a)，连结CD，13题答图(a)13题答图(b) ∵每个菱形的边长都是20 cm, 且DE＝20 cm，∴CE＝DE，∵∠CED＝60°，∴△CED是等边三角形，∴CD＝20 cm, ∴C，D两点之间的距离是20 cm.(2)如图(b)，作EM⊥CD于点M, 在△CED中，CE＝DE, ∠CED＝120°，∴∠ECD＝30°，∴EM＝12CE＝10 cm，∴CM＝10 3 cm，∴CD＝20 3 cm，∴点C向左移动了(203－20) cm，∴点A向左移动了(203－20)×3≈43.9(cm)．(3)如图(a)，当∠CED＝60°时，∵ED＝EG, ∠CGD＝30°，在Rt△CGD中，cos 30°＝DGCG，∵CG＝40 cm，∴DG＝203≈34.6(cm)．如答图(b)，当∠CED＝120°时，∠CGD＝60°，∴DG＝12CG＝20 cm，∴20 cm≤x≤34.6 cm.解直角三角形阶段性测试(十一)(见学生单册)[考查范围：解直角三角形(1.1～1.2)]一、选择题(每小题5分，共30分)1．计算(si n 45°)2＋cos 30°·tan 60°，其结果是( A ) A ．2B ．1C ．112D ．0第2题图2．如图所示，P 是OA 上一点，且P 的坐标为(4，3)，则sin α和cos α的值分别是( A ) A.35，45B.45，35C.43， 53D.34，433．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A，∠B ，∠C 的对边，下列各式中错误的是( D )A ．0<sin A<1B ．0<cos A<1C ．0<cos B<1D ．0<tan B<14．根据图中信息，经过估算，下列数值与tan α的值最接近的是( C )4题图A ．0.3640B ．0.8970C ．0.4590D ．2.17855．下列不等式中不成立的是( B ) A ．sin 20°＜sin 40°＜sin 70°B ．cos 20°＜cos 40°＜cos70°C ．tan 20°＜tan 40°＜tan 70°D ．sin 30°＜cos 45°＜tan60°第6题图6．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝15°，AB 的垂直平分线和AC 交于点M ，和AB 交于点N ，则CM∶MB 等于( B )A ．2∶ 3B.3∶2C ．1∶ 3D.3∶1二、填空题(每小题5分，共20分)7．已知∠A 是Rt △ABC 的一个内角，且sin A ＝22，那么∠A＝__45°__．第8题图8．如图所示，在顶角为30°的等腰△ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D.根据图形计算tan∠BCD＝．9．已知∠A为锐角，且cos A≤12，那么∠A的范围是__60°≤A＜90°__．10．根据锐角三角形的定义，我们知道，对于任何锐角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 如果α是锐角，且sin α＋cos α＝233，则sin α·cos α的值为__16__．三、解答题(5个小题，共50分)第11题图11．(10分)如图所示，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是(3，y)，且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是43 .求：(1)y的值；(2)∠α的正弦值．解：(1)作PC⊥x轴于点C.∵tan α＝PCOC＝43，OC＝3，∴PC＝4，即y＝4.(2)由(1)可知：OP＝OC2＋PC2＝5.∴sin α＝PCOP ＝45.第12题图12．(10分)如图所示，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．解：设AE ＝x ，则BE ＝3x ，BC ＝4x ，AM ＝MD ＝2x ，CD ＝4x ， ∴由勾股定理，得EC ＝5x ，EM ＝5x ，CM ＝25x ，∴EM 2＋CM 2＝CE 2， ∴△CEM 是直角三角形， ∴sin ∠ECM ＝EM CE ＝55.第13题图13．(10分)如图所示，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为点D.若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32.求sin B ＋cos B 的值．解： 在Rt △ACD 中，CD ＝6，tan A ＝32，∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝8，在Rt △BCD 中，BC ＝82＋62＝10， ∴sin B ＝CD BC ＝35，cos B ＝BD BC ＝45，∴sin B ＋cos B ＝75.14．(10分)黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图1所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型，如图2所示，其中∠B＝∠D＝90°，AB ＝BC ＝15千米，CD ＝32千米，请据此解答如下问题：(1)求该岛的面积；(2)求∠ACD 的余弦值．(结果保留整数，参考数据：6≈2.45)第14题图第14题答图解：(1)如图，连结AC.∵AB＝BC＝15千米，∠B＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝152千米又∵∠D＝90°，∴AD＝AC2－CD2＝（152）2－（32）2＝123(千米)，∴面积＝S△ABC＋S△ACD＝12×15×15＋12×32×123＝2252＋186≈157(平方千米)．(2)cos∠ACD＝CDAC ＝32152＝15.15．(10分)(1)如图所示，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；(2)根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．(3)比较大小(填“＞”“＝”或“＜”)：若α＝45°，则sin α__＝__cos α；若0°＜α＜45°，则sin α__<__cos α；若45°＜α＜90°，sin α__>__cos α.第15题图解：(1)在图1中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，显然有B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3.∵sin∠B1AC1＝B1C1AB1，sin∠B2AC2＝B2C2AB2，sin∠B3AC3＝B3C3AB3，而B1C1AB1＞B2C2AB2＞B3C3AB3，∴sin∠B1AC1＞sin∠B2AC2＞sin∠B3AC3. 在图2中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，cos∠B1AC＝ACAB1，cos∠B2AC＝ACAB2，cos ∠B 3AC ＝ACAB 3，∵AB 3＞AB 2＞AB 1， ∴AC AB 1＞AC AB 2＞AC AB 3. 即cos ∠B 3AC ＜cos ∠B 2AC ＜cos ∠B 1AC ；结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． (2)由(1)可知：sin 88°＞sin 62°＞sin 50°＞sin 34°＞sin 18°； cos 88°＜cos 62°＜cos 50°＜cos 34°＜cos 18°. (3)＝ < >解直角三角形阶 段 性 测 试(十二)(见学生单册) [考查范围：解直角三角形(1.1～1.3)]一、选择题(每小题5分，共25分)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35，那么tan B ＝( D )A.35B.45C.43D.342．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则tan E 的值等于( C )第2题图A.12B.22C. 3D.333．在△ABC 中，若cos A ＝22，tan B ＝3，则这个三角形一定是( A ) A. 锐角三角形 B ．直角三角形 C. 钝角三角形D ．等腰三角形4．如图所示，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上．这时段动车的平均速度是( A )A ．20(3＋1)米/秒B ．20(3－1)米/秒C ．200米/秒D ．300米/秒第4题图5题图5．如图所示，点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°.则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364)( A)A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米二、填空题(每小题5分，共25分)6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则tan 2B＝．7．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tan∠BOD的值等于__3__．第7题图第8题图8．如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°.火箭在这n秒中上升的高度是第9题图9．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图所示，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝123米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝3133，则CE的长为__8__米．10．如图所示，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan ∠BA 3C ＝17，计算tan ∠BA 4C ＝__113__，…，按此规律，写出tan ∠BA n C ＝__1n 2－n ＋1__．(用含n 的代数式表示)第10题图三、解答题(5个小题，共50分)11．(10分)将一副三角板按如图的方式摆放在一起，连结AD ，求∠ADB 的正切值．第11题图解：延长DB 过A 作AH⊥BH， 设AB ＝k ，∴BC ＝3k ，BD ＝126k ，BH ＝AH ＝22k ， ∴tan ∠ADB ＝22k 6＋22k ＝3－12.第12题图12．(10分)如图所示，在水平地面上有一幢房屋BC 与一棵树DE ，在地面观测点A 处测得屋顶C 与树梢D 的仰角分别是45°与60°，∠CAD ＝60°，在屋顶C 处测得∠DCA＝90°.若房屋的高BC ＝6米，求树高DE 的长度．解：在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，BC ＝6 m ，∴AC ＝BCsin ∠CAB ＝62m.在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，。
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浙教版九年级下解直角三角形同步练习1
◆基础训练
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，c=2，则a=______，b=_______．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，则b=______，c=_______．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，b=6，则c=_______，tanA=______．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，c=2，b=1，则a=_______，∠B=______．
5．菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论正确的是（）
A．sinα=4
5
B．cosα=
3
5
C．tanα=
4
3
D．sinα=
3
5
6．如图，钓鱼竿AC长6米，露出水面的鱼线BC长32米，某钓者想看看鱼钓上的情形，把鱼竿AC转动到AC′的位置，现在露出水面的鱼线B′C′长33米，则鱼竿转过的角度是（）
A．60°B．45°C．15°D．90°
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a=26，b=62，解那个直角三角形．
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3
，AC=4，求∠A，∠B和BC．
◆提高训练
9．如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠B=30°，CD=93，•对角线CA⊥AB，求AD和BC的长度．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠BAC的平分线AD=16
3
3，求∠B•的度数及BC，AB
的长度．
11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠BAC=60°，∠ADC=135°，BC=123，•求梯形的面积．
12．如图，红星中学数学课外小组在测量学校国旗旗杆的高度时，在地面上选择点D处放置测角仪，测角仪的高CD为1．5米，利用测角仪测得旗杆顶端A•点的仰角为30°，点D到旗杆底端B点的距离为15米，求旗杆的高度．
◆拓展训练
13．已知在△ABC 中，AB=AC ，BC=8cm ，tanB=
3
4
，一动点P•在底边上从点B•向点C•以0.25cm/s 的速度移动，当PA 与腰垂直时，P 点运动了_______s ． 14．如图，细心观看图形，认真分析各式，然后解答问题． 1）2+1=2 S 11 2）2+1=3 S 2=
22 3）2+1=4 S 3=32
… …
（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 10的长；
（3）求出S 12+S 22+…+S 102的值． 答案:
1．13 2．38 3．10，
4
3
43，30° 5．D 6．C 7．6，∠A=30°，∠B=60° 8．∠A=30°，∠B=60°，BC=
43
3
9．AD=9，BC=36 10．∠B=30°，3AB=16 11．3－72 12．（
3
2
3）米 13．7或25 14．（1）2
1055()11,(2)10
(3)
2
4
n n n n S OA +=+==。