空间直角坐标系中点的坐标
空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系
空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系本篇学习了空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系。
这个个坐标系有时很容易弄混淆！（一）空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角，某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用如下图所示：（二）大地坐标系大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高程是空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
地面点的高程和国家高程基准(1)绝对高程。
地面点沿垂线方向至大地水准面的距离称为绝对高程或称海拔。
过去我国采用青岛验潮站(tide gauge station)1950～1956年观测成果求得的黄海平均海水面作为高程的零点，称为“1956年黄海高程系”(Huanghai height system 1956水准原点高程为72.289m)。
后经复查，发现该高程系的验潮资料时间过短，准确性较差，改用青岛验潮站1950～1979年的观测资料重新推算，并命名为“1985年国家高程基准”（Chinese height datum 1985）。
国家水准原点(leveling origin高程为72.260m)设于青岛市观象山附近，作为我国高程测量的依据。
它的高程值是以“1985年国家高程基准”所确定的平均海水面为零点测算而得。
在使用原“1956年黄海高程系”的高程成果时，应注意将其换算为新的高程基准系统。
(2)相对高程。
地面点沿铅垂线方向至任意假定的水准面的距离称为该点的相对高程，亦称假定高程。
在图l—5中，地面点A和B的相对高程分别为H'A 和H'B 。
怎样找空间直角坐标系的坐标
怎样找空间直角坐标系的坐标在空间几何中，我们经常需要利用直角坐标系来描述和定位不同点的位置。
直角坐标系由三个互相垂直的坐标轴组成，分别表示x、y和z方向的坐标。
通过找到空间直角坐标系的坐标，我们可以准确地描述和计算点与点之间的距离、角度以及其他几何信息。
下面将介绍如何找到空间直角坐标系的坐标。
在空间直角坐标系中，我们要找到一个点的坐标，需要确定它在x、y和z轴上的投影长度或坐标值。
下面以一个具体的例子来说明具体的步骤。
假设我们要找到点P的坐标，在已知直角坐标系中，我们首先需要确定一个基准点，这个基准点一般被定义为原点O。
接下来，我们需要确定x、y和z轴的方向和单位长度。
1.确定原点和轴方向：–将我们选定的基准点标记为原点O，在直角坐标系中通常处于空间的中心。
–分别选择三个互相垂直的轴作为x轴、y轴和z轴，并标记它们的正方向。
2.确定轴的单位长度：–由于直角坐标系的单位长度可以自由选择，我们需要确定每个轴的单位长度。
–可以根据具体的要求和情境来选择适当的单位长度。
比如，当我们描述点的物理距离时，可以选择米（m）作为单位长度。
3.量取点P在每个轴上的投影长度：–在找寻点P的坐标时，我们需要测量它在每个轴上的投影长度。
这可以通过测量该点到原点O沿着每个轴的距离来实现。
–为了测量点P到原点O的距离，我们可以使用直尺、尺子或其他测量工具。
4.记录坐标值：–确定了点P在每个轴上的投影长度后，我们可以将它们作为点P的坐标值进行记录。
–然后按照一定的次序表示点P的坐标值，一般以(x, y, z)的形式表示，其中x、y和z分别代表在x轴、y轴和z轴上的坐标值。
通过上述步骤，我们可以找到空间直角坐标系中点P的坐标。
这个坐标可以帮助我们准确地描述和计算点P与其他点之间的距离、角度以及其他几何信息。
在三维空间中，直角坐标系是一种非常有用且常见的坐标系，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
总结起来，找到空间直角坐标系的坐标需要确定原点和轴的方向，以及选择适当的轴单位长度。
空间直角坐标系 课件
∴B(5,0,0)，D(0,4,0)，A1(0,0,4)，
从而 C(5,4,0)，B1(5,0,4)．
图(1)
又 D1(0,4,4)，P 为 B1D1 的中点，∴P(52，2,4)．
[错因] 空间直角坐标系中，x轴、y轴和z轴的正方向排 列次序要符合右手法则，即用右手握住z轴，拇指所指 的方向为z轴的正方向，其余四指所指的方向为由x轴正 向到y轴正向的转动方向．错解中，坐标系的建立不符 合右手法则，因此解答是不正确的．
图(2)
∴P(2，52，4)．
[正解] 如图(2)，分别以 AD、AB 和 AA1 所在直线为 x 轴、y
轴和 z 轴，建立空间直角坐标系．
∵AB＝5，AD＝4，AA1＝4，
∴B(0,5,0)，D(4,0,0)，A1(0,0,4)，
从而 C(4,5,0)，B1(0,5,4)． 又 D1(4,0,4)，P 为 B1D1 的中点，
探究点一 空间中点的坐标的确定
(1)过空间一点M分别作三个坐标平面的平行平面，与三个 坐标轴的交点的坐标分别为点M的横、纵、竖坐标．
(2)特殊位置点的坐标的特征． x轴上的点的坐标为(x,0,0)，其中x为任意实数； y轴上的点的坐标为(0，y,0)，其中y为任意实数； z轴上的点的坐标为(0,0，z)，其中z为任意实数； xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，其中x，y为任意实数； xOz平面上的点的坐标为(x,0，z)，其中x，z为任意实数； yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，其中y，z为任意实数．
已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为2，建立如 图不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点 的坐标．
[提示]在不同的空间直角坐标系下，同一个点的坐标是 不同的，应分别写出．
7-1 空间直角坐标系,向量及其线性运算
OM = { x , y , z } 与其终点 的坐标一致. 与其终点M 的坐标一致.
所以要求一个向量的坐标， 所以要求一个向量的坐标 ， 可将其起点移至坐标原点， 可将其起点移至坐标原点 ， 直接求终点的坐标即可. 直接求终点的坐标即可.
o o
z
M( x, y, z) y
x
利用坐标作向量的线性运算 r r r r r 设a = {ax , ay , az }, 即 a = a x i + a y j + a z k ; r r r r r b = bx i + b y j + bz k ; b = {bx , by , bz },
第七章
空间解析几何与向量代数
空间解析几何： 空间解析几何：通过建立空间直角坐标系 把空间几何图形和代数方程联系起来. 把空间几何图形和代数方程联系起来. 向量：既有大小又有方向的量. 向量：既有大小又有方向的量. 本章知识也为讨论多元函数微积分立下几何 基础。 基础。
第七章 七
第一节 空间直角坐标系、 向量及其线性运算
MD = 1 ( b − a) 2
C
b
A
M a B
∴ MA = − 1 ( a + b) MB = − 1 (b − a) 2 2 MC = 1 ( a + b) 2
向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. r r r r 定理: 设向量a ≠ 0，那末向量b 平行于a 的
2
Q M 1 P = x2 − x1 ,
z
R
• M2
M1
高等数学《点的坐标与向量的坐标》
aazay称,y ja为z )a向称z k量为a向 的量坐a标的.(坐coo标rd表in示at式es).
若点M的坐标为(x, y, z), 则向径：OM ( x, y, z).
向 量的分 解表达式说明：任何向量可以表 示为 i , j , k 的线性组合，组合系数 ax , ay , az
就是该向量的坐标.
6(cos ,cos ,cos
)
6(1 , 2
2 2
,
1 2
)
(3
,3
2 , 3)
故点 A 的坐标为(3,3 2 ,3).
3. 向量的投影
1) 空间一点在轴上的投影
•A
过点 A 作轴 u 的垂直平面,交点 A 即为点 A 在轴 u 上的投影.
A
u
2) 空间一向量在轴上的投影
A
B
已知向量的起点 A 和终点 B 在
解 设所求点为M (0, y, 0), ∵|MA|= |MB|,
12 (2 y)2 32 22 (3 y)2 22
即 y2 4 y 14 y2 6 y 17, 解得 y 3 , 2
故所求点为M (0, 3 ,0). 2
思考题: (1) 在 xoy 面上求与点A(1,2,3)和点
AB AC , CB 2 AB 2 AC 2 原结论成立.
二、向量的坐标及向量线性运算的坐标的表示
在空 间直角坐标系下, 任意向量 a 可用向径 OM 表示. 以i , j , k 分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量,称为
Oxyz 坐标系下的基本单位向量.
z
C
设点 M 的坐标为 M (ax , ay , az), 则
给2.定方a向 (角x,与y,方z) 向0余, a弦与三坐标轴正向所成的
空间直角坐标系中点的坐标求法
学以致用
如图，四棱柱 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD， PB 与底面成的角为 45°，底面 ABCD 为直角梯形， ∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD＝1，问在棱 PD 上是否存在一点 E，使 CE∥平面 PAB？若存在， 求出 E 点的位置；若不存在，说明理由.
跟踪演练 1.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 上的动点. 若平面 A1BD⊥平面 EBD，试确定 E 点的位置.
探究一：空间内与坐标轴平行（坐标轴上） 的线段上的动点坐标的设元
例 1.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，
P 是侧棱 CC1 上一点，若直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60°.
求 P 点的坐标。
探究一：空间内与坐标轴平行（坐标轴上） 的线段上的动点坐标的设元
（1）证 AC⊥SC （2）若 SD⊥面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在 点 E，使 BＥ∥面ＰＡＣ
S
A
D
B
C
３．四棱棱的底面ＡBCD 是梯形，AD∥BC，
AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，△DCE
是边长为 6 的正三角形，
（1）证面 DEC⊥面 BDE
（2）求点 A 到面 BDE 的距离
6
AP n 2
3
(1,0,0)
x
(0,1,0) y (1,10)
探究二：空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，
侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的
中点，F 在 PB 上，若 EF⊥PB 于点 F。
2.3.1 空间直角坐标系的建立 2.3.2 空间直角坐标系中点的坐标
z
1350 o 1350 x y
有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点Ａ 有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点Ａ怎样来表示它 的坐标呢？ 的坐标呢？ 经过A 经过A点作三个 平面分别垂直于x 平面分别垂直于x轴、
z
y轴和z轴，它们与x 轴和z 它们与x 轴、y轴和z轴分别交 轴和z 于三点，三点在相应 于三点， 的坐标轴上的坐标
不实心不成事，不虚心不知事，不自是者博 闻，不自满者受益。
z
4 3
墙 墙 地面
4
1
(4,5,3)
5
O 1
y某一个定点０ 从空间某一个定点０引三条互相 垂直且有相同单位长度的数轴， 垂直且有相同单位长度的数轴，这样 就建立了空间直角坐标系０ xyz． 就建立了空间直角坐标系０－xyz．
o y x
点Ｏ叫作坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条 叫作坐标原点， 轴统称为坐标轴， 坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、 坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、 xoy平面 yoz平面、 zox平面 平面． yoz平面、和 zox平面． 平面
右手系：伸出右手， 右手系：伸出右手，让四指与大拇指垂 直，并使四指先指向x轴正方向，然后让 并使四指先指向x轴正方向， 指向y 四指沿握拳方向旋转 90o 指向y轴正方 向，此时大拇指的指向即为z轴正向.我 此时大拇指的指向即为z轴正向. 们也称这样的坐标系为右手系 ．
z 说明: 说明:
☆本书建立的坐标系
o
都是右手直角坐标系. 都是右手直角坐标系.
y x
空间直角坐标系的画法: 空间直角坐标系的画法:
1.x轴与y 1.x轴与y轴、x轴与z轴均成135°, 轴与 轴与z轴均成135° 135 而z轴垂直于y轴． 轴垂直于y 2.y轴和z轴的单位长度相同，x 2.y轴和z轴的单位长度相同， 轴和 轴上的单位长度为y 轴上的单位长度为y轴（或z轴） 的单位长度的一半． 的单位长度的一半．
空间坐标系中怎么看坐标
空间坐标系中怎么看坐标在物理学和数学领域，坐标系统是用来确定和定位物体在空间中位置的一种工具。
空间坐标系是一种用来描述三维空间中物体位置的系统。
在这个系统中，我们可以使用坐标来准确地确定一个点的位置。
本文将介绍常见的空间坐标系以及如何理解和利用坐标来描述空间中的位置。
笛卡尔坐标系最常用的空间坐标系是笛卡尔坐标系，也称为直角坐标系。
在笛卡尔坐标系中，我们使用三个互相垂直的轴来确定一个点的位置。
这三个轴通常被标记为x、y和z轴。
x轴垂直于y和z轴，y轴垂直于x和z轴，z轴垂直于x和y轴。
假设我们要确定一个点的位置，我们可以通过测量与每个轴的距离来确定它的坐标。
点在x轴上的坐标称为x坐标，点在y轴上的坐标称为y坐标，点在z轴上的坐标称为z坐标。
通过将这三个坐标结合在一起，我们可以准确地描述一个点在三维空间中的位置。
极坐标系除了笛卡尔坐标系外，另一种常用的坐标系是极坐标系。
极坐标系使用两个坐标来确定一个点的位置：极径（r）和极角（θ）。
极径表示点与原点之间的距离，而极角表示与参考方向（通常是x轴正方向）之间的夹角。
在极坐标系中，我们不再使用直角坐标轴来确定点的位置，而是使用极径和极角。
通过这种坐标系，我们可以更方便地描述规则的圆形或对称的物体。
极坐标系也常用于极坐标转换，例如将直角坐标转换为极坐标或反之亦然。
其他坐标系除了笛卡尔坐标系和极坐标系外，还有许多其他特定领域或特定问题需要使用的坐标系。
例如，球坐标系用于描述球面上的点的位置，柱坐标系用于描述柱体表面上点的位置等。
这些不同类型的坐标系提供了不同的方式来描述和定位空间中的点。
它们能够在不同的场景中提供更方便的描述和分析方式。
科学家和工程师常常利用不同的坐标系来解决各种问题，以便更好地理解物体在空间中的位置和运动。
坐标的应用空间坐标系及其坐标体系是在各个领域中进行实际应用的重要工具。
在地理学中，我们可以利用地理坐标系来确定地球上不同地点的位置。
在天文学中，天文坐标系被用来确定天体在宇宙中的位置。
第二节 点的坐标与向量的坐标
r 所求向量有两个， 同向， 解 所求向量有两个，一个与 a 同向，一个反向 r Q | a |= 6 2 + 7 2 + ( −6)2 = 11, r r0 a 6r 7 r 6 r ∴ a = r = i + j − k, | a | 11 11 11 r r0 a 6r 7 r 6 r 或− a = − r = − i − j + k. |a | 11 11 11
{ x − x1 , y − y1 , z − z1 } = λ { x 2 − x , y 2 − y , z 2 − z },
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
r 方向角： 非零向量 a 的方向角：α 、β 、 γ
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
•
z
R(0,0, z )
C ( x , o, z )
M ( x, y, z)
o
Q ( 0 , y ,0 )
y
x
P ( x , 0, 0 )
A( x , y ,0)
思考题
在空间直角坐标系中， 在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？ 点在哪个卦限？
A(1,−2,3) , C ( 2, − 3, − 4 ) ,
2 cos β = , 2 1 ∴ cos γ = ± . 2
2π π . 设 P2 的坐标为( x , y , z ), ⇒γ= , γ= 3 3 x −1 x −1 1 cosα = ⇒ x = 2, ⇒ = P1 P2 2 2
y−0 y−0 2 cos β = ⇒ ⇒ y = 2, = P1 P2 2 2 z−3 z−3 1 ⇒ z = 4, z = 2, ⇒ cos γ = =± 2 P1 P2 2
空间直角坐标系
一、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
具有大小和方向的量
表示法 几何表示：有向线段 AB 字母表示: a
向量的模
向量的大小 AB a
相等向量 相反向量 单位向量 零向量
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 模为1的向量，没有规定方向 模为0的向量，与任何向量共线
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
( x y z 1)
判断四点共面，或直线平行 于平面
1.下列命题中正确的有：B
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ; (2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
预备知识
数轴Ox上的点M
实数x
O
直角坐标平面上的点M
y
M
x
x
实数对(x，y)
y A(x,y)
Ox
x
一、空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的 正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
【温故知新】
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
五、共面向量
2. 如果两个向量 a,不b 共线，
3.2空间直角坐标系中点的坐标
2.若本例中的条件变为“正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为 10”，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
解 因为正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱
长为10，
所以正四棱锥的高为2 23 ，
以正四棱锥的底面中心为原点，
平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
答案
达标检测
1.点Q(0,0,2 017)的位置是 A.在x轴上 B.在y轴上
√C.在z轴上
D.在平面xOy上
1 2 34 5
答案
2.点(2，－1，5)与点(2，－1，－5)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
√C.关于xOy平面对称 D.关于z轴对称
1 2 34 5
答案
3.点A(－1， 3，2)在xOz平面的射影点的坐标为
C－5
2
2，5
2
2，0， D－5
2
2，－5
2
2，0.
解答
引申探究 1.若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶 点的坐标.
解 各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，A(5,0,0)，B(0,5,0)，C(－5,0,0)， D(0，－5,0).
解答
例1 已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为5 2，侧棱长为13，建立的空 间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标.
解 因为|PO|＝ |PB|2－|OB|2＝ 169－25＝12，
所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，
A5
2
2，－5
2
2，0，
B5
2
2，5
2
2，0，
空间直角坐标系xyz顺序
空间直角坐标系xyz顺序
空间直角坐标系xyz是一个三维的坐标系，其中x轴、y轴和z轴相互垂直，并通过原点O相交。
这个坐标系通常用于描述三维空间中的位置和方向。
在坐标系xyz中，坐标点P(x, y, z)表示一个位置，其中x、y、z分别是从原点沿x 轴、y轴和z轴方向的距离。
在坐标系xyz中，坐标轴x、y和z的方向分别为从原点O向右、向上和向前。
坐标轴x、y和z的正方向分别为从原点O开始，向右、向上和向前。
坐标系xyz的顺序可以通过以下方式来描述：
1. 首先，确定原点O的位置。
原点通常位于坐标系的中心，并且是x、y
和z轴的交点。
2. 其次，确定坐标轴x、y和z的方向和正方向。
在坐标系中，x轴通常位于水平方向，y轴位于垂直方向，z轴位于从观察者面向的方向。
坐标系的正方向通常是从原点开始，向右、向上和向前。
3. 然后，确定坐标轴的单位。
坐标轴的单位通常是米、厘米、英尺等。
4. 最后，确定坐标点的坐标值。
每个坐标点都由三个值表示：x、y和z。
这些值通常以逗号分隔，如(1, 2, 3)表示从原点沿x轴距离1，y轴距离2，z轴距离3的位置。
在三维空间中，坐标系xyz用于描述物体的位置、方向和形状。
例如，二维平面内的物体可以用(x, y)表示，而三维空间中的物体需要用(x, y, z)表示。
因此，在三维空间中，坐标系xyz是一个非常重要的工具，被广泛应用于各种领域，如建筑、工程、物理学和计算机图形学。
空间各种直角坐标系
本篇学习了空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系。
这个个坐标系有时很容易弄混淆！（一）空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角，某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用如下图所示：（二）大地坐标系大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高程是空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
地面点的高程和国家高程基准(1)绝对高程。
地面点沿垂线方向至大地水准面的距离称为绝对高程或称海拔。
过去我国采用青岛验潮站(tide gauge station)1950～1956年观测成果求得的黄海平均海水面作为高程的零点，称为“1956年黄海高程系”(Huanghai height system1956水准原点高程为72.289m)。
后经复查，发现该高程系的验潮资料时间过短，准确性较差，改用青岛验潮站1950～1979年的观测资料重新推算，并命名为“1985年国家高程基准”（Chinese height datum 1985）。
国家水准原点(leveling origin高程为72.260m)设于青岛市观象山附近，作为我国高程测量的依据。
它的高程值是以“1985年国家高程基准”所确定的平均海水面为零点测算而得。
在使用原“1956年黄海高程系”的高程成果时，应注意将其换算为新的高程基准系统。
(2)相对高程。
地面点沿铅垂线方向至任意假定的水准面的距离称为该点的相对高程，亦称假定高程。
在图l—5中，地面点A和B的相对高程分别为H'A和H'B。
(3)高差。
地面上任意两点的高程(绝对高程或相对高程)之差称为高差。
怎么看空间直角坐标系的坐标
怎么看空间直角坐标系的坐标在空间几何中，直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述三维空间中的点的位置。
通过理解和掌握空间直角坐标系的坐标表示方法，我们可以准确地定位和描述空间中的点的位置。
本文将详细介绍如何看空间直角坐标系的坐标。
1. 空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成，分别称为x轴、y轴和z轴。
x轴和y轴在平面上垂直，z轴垂直于x轴和y轴，并与x轴和y轴共同确定一个平面。
这个平面称为基准面，通常选择为地面或其他平面。
2. 空间直角坐标的表示方法在空间直角坐标系中，每一个点都可以用一组有序的数表示，这组有序数就是该点的坐标。
坐标的表示方法是将点在x轴、y轴和z轴上的投影长度取出，并按照一定的顺序排列。
在空间直角坐标系中，通常采用(x, y, z)的形式表示一个点的坐标。
其中，x表示点在x轴上的投影长度，y表示点在y轴上的投影长度，z表示点在z轴上的投影长度。
3. 坐标的正负规定在空间直角坐标系中，坐标轴有正负之分。
通常，如果一个点在某个坐标轴的正方向上，则该坐标轴上的坐标为正数；如果一个点在某个坐标轴的负方向上，则该坐标轴上的坐标为负数。
具体而言，如果一个点在x轴的正方向上，则该点的x坐标为正数；如果一个点在x轴的负方向上，则该点的x坐标为负数。
同样地，如果一个点在y轴的正方向上，则该点的y坐标为正数；如果一个点在y轴的负方向上，则该点的y坐标为负数。
z轴与x轴和y轴的规定方式相同。
4. 例子以下是一些示例，以帮助更好地理解空间直角坐标系的坐标。
•如果一个点在x轴的正方向上，y轴和z轴上的投影长度都为0，则该点的坐标为(3, 0, 0)。
•如果一个点在x轴的负方向上，y轴上的投影长度为0，z轴上的投影长度为4，则该点的坐标为(-2, 0, 4)。
•如果一个点在x轴的正方向上，y轴的负方向上，z轴上的投影长度为2，则该点的坐标为(1, -3, 2)。
5. 总结空间直角坐标系是描述三维空间中点位置的常用坐标系统。
空间直角坐标系
z
·P(5,4,6)
过P’作Z轴的平行线，在向 上6个单位长度处取点P
o x
P’(5,4,0)
·
y
P点即为所要作的点
1、空间直角坐标系的建立
2、空间直角坐标系中点和坐标的关系
3、应用
作业：1.课本P90 2.课本P90
练习1 练习2
3.点P(a,b,c)是空间直角坐标系O-xyz中的一
例2
在空间直角坐标系中,作出点P（５,４,６）. 法1）分析：
从原点出发沿x轴 Ｏ Ｐ1 正方向移动５个单位 沿与y轴平行的方向 ５o Ｐ1 Ｐ Ｐ１ 向右移动４个单位
2
４
z
Ｐ（５,４,６）
６
y
Ｐ2
Ｐ 沿与z轴平行的方向 Ｐ x 向上移动６个单位
2
例2
在空间直角坐标系中,作出点P（５,４,６）. 法2）分析：
点，写出满足下列条件的点的坐标 (1)与点P关于原点对称的点
(2)与点P关于x轴对称的点 (3)与点P关于y轴对称的点 (4)与点P关于z轴对称的点 (5)与点P关于xOy平面对称的点
(6)与点P关于xOz平面对称的点
(7)与点P关于yOz平面对称的点
Q
y
x
空间中点的坐标的确定
设点P是空间的一个定点，过点P分别作垂直于 x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于 点M、Q和R． 设点M、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别 是x，y和z，那么点P的坐标就是（x，y，z）． z
R 3
P
4
M
O
P’
Q
y
2
x
经典例题
空间直角坐标系怎么看坐标正负
空间直角坐标系怎么看坐标正负在空间几何学中，我们常常会使用空间直角坐标系来描述和定位点的位置。
空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴组成，分别是x轴、y轴和z轴。
这种坐标系常用于三维几何分析和建模，并且在许多领域中都得到了广泛应用，例如物理学、工程学和计算机图形学。
我们可以使用空间直角坐标系的坐标来表示任意空间中的点。
其中，每个坐标轴上都有一个原点，三个坐标轴正方向的选择是任意的。
在传统的右手坐标系中，我们通常选择x轴向右延伸，y轴向上延伸，z轴向前延伸（即与我们朝向的方向相同）。
在这种坐标系中，每个点都可以用一个有序的三个数值（x，y，z）来表示，分别代表该点在x轴、y轴和z轴上的坐标。
这些数值可以是正数、负数或零，用来表示点相对于原点在每个轴上的位置。
接下来，我们将详细介绍如何在空间直角坐标系中看坐标正负。
x轴坐标的正负在空间直角坐标系中，x轴延伸到右侧，正方向与我们朝向的方向相同。
当我们沿着x轴正方向移动时，x轴坐标的数值增加；而当我们沿着x轴负方向移动时，x轴坐标的数值减少。
因此，当一个点的x轴坐标为正数时，它位于原点右侧；当x轴坐标为负数时，它位于原点左侧。
y轴坐标的正负在空间直角坐标系中，y轴延伸到上方，正方向与我们朝向的方向相同。
当我们沿着y轴正方向移动时，y轴坐标的数值增加；而当我们沿着y轴负方向移动时，y轴坐标的数值减少。
因此，当一个点的y轴坐标为正数时，它位于原点上方；当y轴坐标为负数时，它位于原点下方。
z轴坐标的正负在空间直角坐标系中，z轴延伸到前方，正方向与我们朝向的方向相同。
当我们沿着z轴正方向移动时，z轴坐标的数值增加；而当我们沿着z轴负方向移动时，z轴坐标的数值减少。
因此，当一个点的z轴坐标为正数时，它位于原点前方；当z轴坐标为负数时，它位于原点后方。
总结在空间直角坐标系中，我们可以通过坐标的正负来判断点相对于原点所在位置的方向。
当一个点的x轴、y轴和z轴坐标都为正数时，它位于原点的第一象限；当x轴为负数、y轴和z轴为正数时，它位于第二象限；当x轴和y轴坐标都为负数、z轴坐标为正数时，它位于第三象限；当x轴为正数、y轴和z轴坐标都为负数时，它位于第四象限；当x轴和y轴为正数、z轴为负数时，它位于第五象限；当x轴为负数、y轴为正数、z轴为负数时，它位于第六象限；当x轴和y轴坐标都为负数、z轴坐标为负数时，它位于第七象限；当x轴为正数、y轴为负数、z 轴为负数时，它位于第八象限。
空间直角坐标系中点与坐标系的关系
那在空间直角坐标系中，点M（a,b,c）的坐标出了是点与坐标轴垂线交点外， 是否也是代表着一种距离呢？和平面直角坐标系中肯定是不同的，那不同之 处在哪里？大家一起思考下。
Z c a
b M（a,b,c）
通过右图所演示的点的确立过程， 可以得到，空间直角坐标系中的 坐标，同样代表着一种距离信息。 X坐标绝对值表示点到 Y坐标绝对值表示点到
练习：在空间直角坐标系中作出点P(3，-2，4)
思路：现将问题放在平面上看待，即找出点P在平面XOY中的对应 点P`。两个点间就差一个高度4。
Z
P （3，-2,4）
Y （3，-2,0）P` X O
在空间直角坐标系中画出下列点，并思考他们有什么共同之处
A(1，1，0) B(1，2，0) C(1，0，1) D(2，0，1) E(0，1，2) F(0，2，3)
①点 P(a，b，c)关于 x 轴的对称点为 P1(a，－b，－c)； ②点 P(a，b，c)关于 y 轴的对称点为 P2(－a，b，－c)； ③点 P(a，b，c)关于 z 轴的对称点为 P3(－a，－b，c)； ④点 P(a，b，c)关于原点的对称点为 P4(－a，－b，－c)．
Y
YOZ平面 XOZ平面
的距离 的距离 的距离
c
O a
b
Z坐标绝对值表示点到
M` （a,b,0）
XOY平面
X
例题：在空间直角坐标系中，自点M（-4，-2,3）引各坐标平面和 坐标轴垂线。求个垂足的坐标。
M
所以，在X轴垂足坐标为
Z 3
在Y轴垂足坐标为
-4 Y
M`
-2 X O
在Z轴垂足坐标为 到XOY平面距离为 到Y0Z平面距离为 到XOZ平面距离为
空间直角坐标系关于x轴对称的点的坐标的特点是
空间直角坐标系关于x轴对称的点的坐标的特点是
关于x轴对称的点是指，以x轴为对称轴，点在x轴上的对称点的坐标。
对于一个点P(x,y,z)，它的关于x轴对称的点为P'(x,-y,-z)。
根据这一特点，我们可以总结出空间直角坐标系关于x轴对称的点的以下特点：
1.x坐标保持不变。
对称点的x坐标与原点的x坐标相等，因为对称点在x轴上，所以x轴坐标保持不变。
2.y坐标取相反数。
对称点的y坐标是原点y坐标的相反数，即y'=-y。
3.z坐标取相反数。
对称点的z坐标是原点z坐标的相反数，即z'=-z。
4.关于对称点的性质也对称成立。
例如，对称点与原点的距离相等，对称点的投影与原点的投影相等等。
通过对以上特点的分析，我们可以得出以下例子来说明关于x轴对称点的特点：
例1：对于点A(3,4,5)，它的关于x轴对称的点为A'(3,-4,-5)。
例2：对于点B(-2,0,1)，它的关于x轴对称的点为B'(-2,0,-1)。
例3：对于点C(0,1,-3)，它的关于x轴对称的点为C'(0,-1,3)。
除了以上的例子，我们还可以通过对图形进行对称操作来找出更多关于x轴对称的点。
综上所述，空间直角坐标系关于x轴对称的点的坐标特点是，x坐标保持不变，而y坐标和z坐标取相反数。
这一特点可以通过具体的例子来验证。
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第二章 解析几何初步
第3.2节 空间直角坐标系中点的坐标
1. 在空间直角坐标系中, 点)3,2,1(P 关于x 轴对称的点的坐标为 （ ）
A ．(-1,2,3)
B ．(1,-2,-3)
C ．(-1, -2, 3)
D ．(-1 ,2, -3)
2．在空间直角坐标系中, 点)1,0,1(A 与点)1,1,2(-B 之间的距离为 （ ）
A ．6
B ． 6
C ．3
D ． 2
3．在空间直角坐标系中, 点)5,4,3(P 关于yoz 平面对称的点的坐标为____________.
4．在空间直角坐标系中,点)2,3,1(-P 在xoz 平面上的射影为'P ，'P 则关于原点的对称点P /的坐标为_____________.
5．点)3,4,1(-P 与点)5,2,3(-Q 的中点坐标是______________.
6．在长方体1111D C B A ABCD -中，若)3,0,5(),0,4,5(),0,0,5(),0,0,0(1A B A D ，则对角线1AC 的长为______________.
7．以)3,4,2(),9,1,4(),6,1,10(C B A -为顶点的三角形的面积为______________.
8．已知点),,21,1(x x x A -- 点),2,1(x x B -, 则A 与B 两点间距离的最小值为____________.
9．已知点)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ， )15,,(y x C 三点共线，那么y x ,的值分别是______________.
10. 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，且边长为a 2，棱PD ⊥底面ABCD ，b PD 2=，取各侧棱PD PC PB PA ,,,的中点H G F E ,,,，试建立空间直角坐标系，并写出点H G F E ,,,的坐标．
参考答案：
1.命题意图：本题主要考察关于各坐标轴对称的两点，其坐标分量的关系。
其规律为：
),,(),,(1z y x P z y x P x --−−−−→−轴对称关于
),,(),,(1z y x P z y x P y --−−−−→−轴对称关于
),,(),,(1z y x P z y x P z --−−−−→−轴对称关于
答案：B
2.命题意图：本题主要考察空间两点的距离公式：若),,(),,,(222111z y x B z y x A ，则 212212212)()()(z z y y x x AB -+-+-=
答案：A
3. 命题意图： 本题主要考察关于各坐标平面对称的两点，其坐标分量的关系。
其规律为：
),,(),,(5z y x P z y x P xoy -−−−−−−→−对称关于坐标平面
),,(),,(4z y x P z y x P yoz -−−−−−−→−对称关于坐标平面
),,(),,(6z y x P z y x P xoz -−−−−−−→−对称关于坐标平面
答案：(-3,4,5)
4.命题意图：本题仍然考察空间中点的对称问题。
其规律为：
),,(),,(z y x P z y x P ---−−−−→−‘关于原点对称
)0,,(),,(7y x P z y x P xoy −−−−−−→−上的射影在坐标平面
),,0(),,(8z y P z y x P yoz −−−−−−→−上的射影在坐标平面
),0,(),,(9z x P z y x P xoz −−−−−−→−上的射影在坐标平面
答案：(-1, 0, 2)
5. 命题意图：本题主要考察中点坐标公式：若),,(),,,(222111z y x B z y x A ，则线段AB 的中点坐标为)2
,2,2212121z z y y x x +++（ 答案：(2, 1 , 1);
6.命题意图：本题主要考察空间中点的坐标及两点间距离公式。
解析：1C 的坐标为），，（340，253452221=++=
AC 或由已知可得该长方体从同一顶点出发的棱长分别为3，4，5. 答案：25 7.命题意图：本题主要是两点间距离公式的应用，可以判断某些图形的特征。
解析：由两点间的距离公式得27,7,7===AC BC AB , 于是2
22,BC AB AC BC AB +==,所以ABC ∆是等腰直角三角形。
2
4921=⋅=∆BC AB S ABC
答案：2
49 8.命题意图：本题仍然是两点间距离公式的应用 解析：2
221)21(2122)1(2222≥++=++=++=x x x x x AB 答案：2
2 9. 命题意图：本题主要考察几点共线的问题。
解析：由C B A ,,三点共线可得它们在各坐标面上的射影共线。
三点在xoz 坐标面上的射影分别是（1，11），（4，3），（x ,15），可得x =21-
；三点在yoz 坐标面上的射影分别是（-2，11），（2，3），（y ,15），可得4-=y 答案：2
1-，－4 10.命题意图：本题主要考察空间中点的坐标的确定。
关于点的坐标，不但要会对称问题，而且要会写出几何体中的点的坐标。
解析：由图形知，DA DP DP DC DC DA ⊥⊥⊥,,，故以D 为原点，建立如图空间坐标系xyz D -．因为H G F E ,,,分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH 与底面ABCD 平行，从而这4个点的竖坐标都为点P 的竖坐标的一半，也就是b ，由H 为DP 中点，得),0,0(b H ；E 在底面面上的射影为AD 中点，所以E 的横坐标和纵坐标分别为a 和0，所以),0,(b a E ，同理),,0(b a G ；F 在坐标平面yoz xoz ,上的射影分别为点E 和G ，故F 与E 横坐标相同都是a ，与G 的纵坐标也同为a ，又F 竖坐标为b ，故),,(b a a F ． 答案：),0,(b a E ，),,(b a a F ，),,0(b a G ，),0,0(b H
说明：此题也可以分别写出P D C B A ,,,,的坐标，再利用中点坐标公式。