第五章练习题参考答案(修正版)

以及在此时间内飞轮转过的转数。 解：
d d d 由 k ; 有 =dt，因此 = dt dt k k 0 0
t

0 e kt
0
再由
2
0
d 1 = dt，得时间t ln 2， k 0 k
t
因
d 0 e kt , 有d 0 e kt dt , 则 d dt 0
知θ增加，ω增加。
P151题5.2.9
均质圆盘形转台，圆盘边缘站着一个人，开始时该系统以ω 0的角速度绕 着通过圆心的光滑竖直轴转动，然后此人从边缘沿着半径向转盘中心O走 去，在走动过程中；(E) (A)该系统的转动惯量增大； (B)该系统的转动惯量不变； (C)该系统的角速度减小； (D)该系统的机械能不变； (E)该系统所受的合力矩为零，角动量不变。 解：1质量的分布为决定转动惯量的要素之一。人走到轴的位置时，人作 为质点对轴的回转半径减小，则系统的转动惯量减小。由 J r dm 可知。 2整个人走的过程中，对于竖直的转轴，没有外力矩，则角动量守恒 。转动惯量减小的，而要守恒，则角速度是增加的。
z
J ox 1 Mb 2 12
xຫໍສະໝຸດ Baidu
同理得薄板对Ox轴的转动惯量：
（2）证明：由正交轴定理，薄板对Oz轴转动惯量为： 1 J oz J ox J oy M(a 2 b 2 ) 12
P152题5.3.11
某飞轮受摩擦力矩作用做减速转动，如果角加速度与角速度成正比， 即β =-kω ，式中 k为比例常数。设初始时刻角速度为 ω0 ，试求：① 飞轮角速度虽时间变化的关系；②角速度由ω0 减为ω0 /2所需要的时间
根据转动第二定律： M J mL 有 37 48 A球对B的力矩 mgL A对B的转动惯量 mL 1 L mL 整个杆对B的力矩 mg 1 整个杆对 B 的转动惯量 2 3 B球对B的力矩 0 B球对B的转动惯量 0
2
2
2
M mgL mg
J mL2
1 L0 2
M J
M J 解：由转动定律： 合力矩增大，则 增大， 若与 同向则 增大，若 与反向则 减小 故选A,D
P151题5.2.6
一长为L的质量均匀分布的细杆，可绕通过其一端并与杆垂直的光 滑水平轴转动，如果从静止的水平位置释放，在杆转到竖直位置的 过程中，下述情况哪一种说法是正确的： θ A角速度从小到大，角加速度从小到大； B角速度从大到小，角加速度从大到小； C角速度从小到大，角加速度从大到小； D角速度从大到小，角加速度从小到大； 1 d M mg L sin 90 J J 解：设杆与水平方向成交θ，则力矩 2 dt 在下落过程中，由上式知θ增加，β减小 1 d 再由上式 M mg 2 L cos J J dt
2
2

2
解：（1）由转动定律：
MJ
’
O
r
有： mgr (J mr2 ) 得：
m gr ( J mr2 )
h
（2）：由切向加速度：
a r
m gr2 则：a (J mr2 )
P150题5.1.9
解：设BC间绳的张力为T1, AC间绳的张力为 T2
mB g TB mB a T m a A A TB R TA R J a R
2
第5章部分习题解答
P151题5.3.4 一飞轮在5s内转速有1000r.min-1均匀地减 小到400r.min-1.求角速度大小和5s内的总转数; 还需要经过多长时间,飞轮才停止转动?
a (mB mA ) g 2n n 解: (1) 1 R ( 2 mC mB mA ) R 60 30
0
mg
1 d d d L cos J J 2 d dt d

分离上式变量，得任意t时刻的角速度表达：
1 1 mg L cos d J d mg L cos d J d 2 2 0 0 1 1 mg L sin J 2 2 2
第 5章 部分习题解答
P150题5.1.5 如图所示，一轻绳绕于半径的r的轮边缘，并以 质量为m的物体挂绳端，飞轮对过轮心且垂直 于轮面的轴的转动惯量为 J,如果不计摩擦力， m gr ) 飞轮的角加速度为 (J mr ，物体由初始位置下落 m gr a 高度h时物体的线加速度为 。 (J mr )

9g 8L
1 mL2 0 3
注：在计算对O的转动惯量时可以用平行轴定理计算杆对O的转 1 1 动惯量，J J md 。J 12 mL m L 4 系统的转动惯量：J 1 mL m 1 L m 1 L m 3 L 37 mL
2
2
C
2
2
2
2
2
O
12
4
4
4
2
48
P151题5.2.3 绕定轴转动的刚体上所受的合力矩增大时： （A）如果M与 反方向，则 减小而 增大； （B）如果M与 反方向，则 与 都减小； （C）如果M与 同方向，则 不变而 增大； （D）如果M与 同方向，则 与 都增大；
求解方程组得
mB g a 1 2 mC mB mA
mB g a 1 R ( 2 mC mB mA ) R
P151题5.1.14
一质量为m,长为L的均质细杆，两端牢固地连接一个质量为m的小球，整 个系统可绕距A端为L/4的O点并垂直于杆方向的水平轴无摩擦地转动， 3 M = mgL 当物体转至水平位置时，系统所受的合外力矩为________ ，系统对轴的 4 37 36 g mL ，系统的角加速度为________,如果转轴通过另一 转动惯量为________ 3L 48 37 L mg 2 端点B，当物体转至水平位置时系统所受的合外力矩为_________ ，系 4 9g mL 统对轴的转动惯量为_______ ，系统的角加速度为_________ 。 3 8L 1 J ML 解：根据力矩 M=r 质点转动惯量 J mr 2 ，对O F和杆转动惯量 3 点计算左端杆和右端杆和左右小球，有 1 1 m L mg L A球对O的力矩 A对O的转动惯量 4 4 1 1 1 1 1 1 L 左杆对O的转动惯量 3 4 m 4 L 左杆对O的力矩 4 mg 2 4 3 L m L B球对O的力矩 mg 3 B 球对 O 的转动惯量 4 4 3 1 3 3 右杆对O的力矩 3 mg 右杆对O的转动惯量 1 m L L 4 2 3 4 4 4 系统的合力矩为矢量和，而系统对同一转轴的转动惯量为标量相加：

2
2
2
2
2
2
2
M
3 1 3 1 1 1 3 3 1 mg L mg L mg L mg L mgL 4 2 4 4 2 4 4 4 4
2 2 2 2
1 1 1 1 3 1 3 3 37 J m L m L m L m L mL2 4 3 4 4 4 3 4 4 48
第5章部分习题解答
M向右滑动过程中，由动能定理得：
1 2 MgS Mv ......(4) 2
由(1)到(4)式可得
6m 2 l 2 (m 3M ) .S
2016.3.13
第5章部分习题解答
(m 3M ) .S
第5章部分习题解答
解： 杆从水平位置到竖直位置的过程中, 机械能守恒(势能零点如图)
1 l 2 mgl J0 mg ......( 1) 2 2
O
杆与物体碰撞时,系统的 角动量,动能都守恒
lm
M
S
J0 J Mvl......(2)
A 重力势能零点
M
1 1 1 2 2 J0 J Mv 2 .....(3) 2 2 2
1 Mb 2 12
1 J oy Ma 2 12
证明：（1）由转动惯量： J r 2 dm 薄板对OY轴的转动惯量：
由：
J r 2 dm 得薄板对OY轴的转动惯量：
J oy M x bdx x dx a a a
2 2 2 2 a 2 a 2
y
a
b
o
1 J oy Ma 2 12
第5章部分习题解答
也可以
1 t ' 1 0
t ' 3.3(s)
2016.3.13
P151题5.3.7 一质量为M的均匀长方形薄板，边长为a、b,中 心O取为坐标原点，直角坐标系如图所示。
（1）证明薄板对OX轴和OY轴的转动惯量分别
为： J ox
1 2 2 J M(a b ) （2）证明薄板对Oz轴转动惯量为： oz 12
0 t

0
t
4 (rad .s )
2
第5章部分习题解答
1 2 0t t 2
N 58.3(r ) 2
(2) 设从开始转动到停下来所需时间为 t全 则
1 0 t全
1 0
t全 8.3(s)
t ' t剩 8.3 5 3.3(s)

1 ln 2 k

0
0 e kt dt
可得 =
0
2k
, 转数N=
0 = 2 4 k
第5章部分习题解答
P153题5.3.16 如图所示,质量为m,长为l的质量均匀分布的 细杆,可绕其一端的垂直于纸面的水平轴O转动. 如果把棒拉到水平位置后放手,棒落到竖直位置 时,与放置在水平面上A处的质量为M静止的物 体做完全弹性碰撞,物体在水平面上向右滑行了 一段距离S后停止.设物体与水平面间的摩擦系 6m 2 l 数 处处相同.求证： 2