【VIP专享】2010年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案

2010年全国高中数学联赛四川省预赛

2010年全国高中数学联赛四川赛区预赛由四川省数学会普及工作委员会及四川省数学竞赛委员会主办，由四川省数学竞赛委员会组织及负责命题，命题负责人：柳斌.

预赛命题范围以现行高中数学教学大纲为准，主要考察学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力. 试题相当于高考数学试题的中、难度水平，有利于广大学生拓宽视野，促进素质教育. 学生自愿报名参加. 全省在同一时间由各市、州统一组织竞赛(不在县级以下单位设置考场). 试卷答题时间120分钟，试题总分140分，其中包括：6道选择题（每道5分，共30分）、6道填空题（每道5分，共30分）；4道解答题（每道20分，共80分）. 命题难度大体相当于普通高考试题. 预赛时间定在5月1 6日(星期日)下午14:30~16:30.

竞赛完后先由各市、州集中评卷，然后将其中10％的优秀试卷上报四川省数学竞赛委员会(原则上每个参赛学校均应有试卷上报)，由四川省数学竞赛委员会组织专人复查. 从中评出一等奖300名、二等奖500名、三等奖700名，由四川省数学竞赛委员会颁发获奖证书.

经四川省数学竞赛委员会研究决定，为确保全国高中数学联赛的安全保密工作，自2007年起，四川省只在成都市设立一个考场，全省参赛人数控制在1000人左右，参赛学生为预赛的一、二等奖获得者及个别优秀学生(初赛人数较多的市、州可酌情增加决赛名额). 考场设在成都七中，个别边远地区的优秀考生经济确有困难者提出申请，经批准可由省数学竟赛委员会给予适当资助.

试 题

一、选择题（本题满分40分，每小题5分） 1、已知p ：342sin 1=

+α 和q ：3

4

cos sin =+αα．则p 是q 的（ ）. A 、充分但不必要条件 B 、必要但不充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分也不必要条件

2、在5件产品中有4件正品、1件次品．从中任取2件，记其中含正品的个数个数为随机变量ξ，则ξ的数学期望ξE 是（ ）.

A 、

56 B 、57 C 、58 D 、5

9

3、设正三棱锥ABC S -的底面边长为3，侧棱长为2，则侧棱SA 与底面ABC 所成的

角的大小是（ ）.

A 、

30 B 、

45 C 、

60 D 、2arctan

4、已知函数4

24

)42()(2

4224+++-++=x x x k k x x f 的最小值是0，则非零实数k 的值是（ ）. A 、4- B 、2- C 、2 D 、4

5、长方体1111D C B A ABCD -的八个顶点都在球O 的球面上，其中11=AA ，

22=AB ，33=AD ，则经过C B 、两点的球面距离是（ ）.

A 、

32π B 、3

4π C 、π2 D 、π4 6、对任意实数m ，过函数1)(2

++=mx x x f 图象上的点))2(,2(f 的切线恒过一定点

P ，则点P 的坐标为（ ）.

A 、)3,0(

B 、 )3,0(-

C 、)0,23

( D 、)0,2

3

(-

7、设A 1、A 2为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右顶点，若在椭圆上存在异于A 1、A 2

的点P ，使得02=⋅PA PO ，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）.

A 、)21

,

0( B 、 )2

2,

0( C 、)1,21( D 、)1,22( 8、记)0(,)33(

)(),(2

2

≠++-=y y

x y x y x F ，则),(y x F 的最小值是（ ）.

A 、

512 B 、5

16 C 、518 D 、4

二、填空题（本题满分20分，每小题5分）

9、)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)1()(x f x f -=，则=)2010(f ． 10、实数y x ，满足6|1|2|1|3≤-++y x ，则y x 32-的最大值是 ． 11、在数列}{n a 中，11=a ，当2≥n 时，2

1

,,-

n n n S S a 成等比数列，则=∞

→n n a n 2lim ．

12、集合的容量是指集合中元素的和．则满足条件“}7,6,5,4,3,2,1{⊆A ，且若A a ∈时，必有A a ∈-8”的所有非空集合A 的容量的总和是 ．（用具体数字作答）

三、解答题（本题满分80分，每小题20分）

13、已知函数)4

3cos(32cos 4)4sin(2)4sin()(π

ππ

++--++

=x x x x x f ． （1）试判断函数)(x f 的奇偶性，并给出证明； （2）求)(x f 在],2

[ππ

上的最小值与最大值．

14、已知F 为抛物线x y 42

=的焦点，M 点的坐标为(4,0)，过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A 、B 两点，延长AM 、BM 交抛物线于C 、D 两点，设直线CD 的斜率为2k ．

（1）求

2

1

k k 的值； （2）求直线AB 与直线CD 夹角θ的取值范围．

15、已知函数1)(2

3+--=x mx x x f ，其中m 为实数． （1）求函数)(x f 的单调区间；

（2）若对一切的实数x ，有4

7

||)(-≥'x x f 成立，其中)(x f '为)(x f 的导函数． 求实数m 的取值范围．

16、已知n S 是数列}{n a 的前n 项的和，对任意的正整数n ，都有n

n n ba S b 4)1(+-=-成立，其中0>b ．

（1）求数列}{n a 的通项公式；