三角形中位线、重心的性质及应用
九年级数学中位线知识点
九年级数学中位线知识点中位线是数学中一个重要的概念，它在统计学和几何学中都有广泛的应用。
本文将详细介绍九年级数学中位线的相关知识点，包括定义、性质和求解方法等方面。
一、定义中位线是指一条线段，它连接平面上一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
具体来说，对于三角形ABC，若D是边AB的中点，则CD被称为三角形ABC的中位线。
二、性质1. 中位线的长度：中位线的长度等于对边的一半。
即，在三角形ABC中，若D为边AB的中点，则CD = 1/2 AB。
2. 中位线的位置：三角形ABC的三条中位线所交于一点，我们称之为重心（G）。
重心是三角形的一个重要特殊点，它将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的面积相等。
3. 中位线的关系：在三角形中，任意两条中位线的交点都在第三条中位线上。
这个交点将每条中位线分成两个部分，其中一个部分是另一条中位线的2倍。
三、求解方法1. 已知三角形的顶点坐标：若已知三角形的顶点坐标A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3, y3），求中位线CD的方法如下：a) 计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）；b) 通过点D和顶点C的坐标，可以得到中位线CD的方程；c) 求解中位线CD的相关参数，如长度、斜率等。
2. 已知三角形的边长：若已知三角形的边长a、b、c，求中位线CD的方法如下：a) 根据已知边长，利用海伦公式计算三角形的面积S；b) 根据面积S和三角形的高公式，计算三角形的高h；c) 通过三角形高的性质，计算出中位线CD的长度。
四、例题解析为了更好地理解中位线的概念和求解方法，我们将通过例题来进行解析：例题1：已知三角形ABC的坐标为A（2, 4）、B（6, 8）、C （8, 2），求中位线CD的长度。
解析：首先计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(2+6)/2, (4+8)/2）= (4, 6)。
然后根据两点间的距离公式，计算出CD的长度：CD = √[(8-4)^2 + (2-6)^2] = √[(4^2) + (-4)^2] = √(16+16) = √32 = 4√2例题2：已知三角形的边长分别为a = 5 cm，b = 12 cm，c = 13 cm，求中位线CD的长度。
三角形中的中位线与中心线
三角形中的中位线与中心线三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有丰富的性质和特点。
中位线与中心线是三角形内部的特殊线段，它们在三角形的研究中起着重要的作用。
本文将重点讨论三角形中的中位线与中心线，并探索它们的一些有趣性质。
一、中位线的定义与性质中位线是连接三角形的两个顶点和对边中点的线段。
对于任意一个三角形ABC，连接顶点A与对边BC的中点M，连接顶点B与对边CA的中点N，连接顶点C与对边AB的中点P的线段，称为三角形ABC的中位线。
三角形的每条边都有一条中位线与之对应。
中位线具有以下性质：1. 三角形中的三条中位线相交于一个点，称为中位线的重心G。
重心G将中位线分成6个相等的线段，即AG:GM=BG:GN=CG:GP=2:1。
2. 中位线的重心G到三个顶点的距离满足OG1:OG2:OG3=1:1:1，其中OG1代表重心G到顶点A的距离。
3. 对于任意一个三角形ABC，中位线的长度满足GM:AG=1:2，GN:BG=1:2，GP:CG=1:2。
二、中心线的定义与性质中心线是三角形内切圆的半径。
内切圆是能够切触三角形的内边的圆，它与三角形的三条边分别有一个切点，这些切点构成了内切圆的周长上的三个等分点。
连接这些等分点的线段就是三角形的中心线。
中心线具有以下性质：1. 三角形的三条中心线都通过内切圆的圆心。
这个圆心被称为三角形的内心I。
2. 连接三角形内心I和各个顶点的线段分别垂直于三角形的对边。
3. 三角形内心I到三个顶点的距离相等，分别等于内切圆的半径r。
4. 对于任意一个三角形ABC，中心线的长度等于内切圆的半径r。
三、中位线与中心线的关系中位线与中心线在三角形内部有一些有趣的关系。
我们可以通过以下方式来研究它们之间的联系：1. 证明中位线与中心线的交点与三角形的重心重合。
即证明中位线的重心G和中心线的圆心I是重合的。
2. 探索中位线与中心线的长度之间的关系。
是否存在一种关系式可以将中位线的长度与中心线的长度联系起来？3. 研究中位线与中心线的方向关系。
23.4 中位线
图 23－4－4 (1)求证：CF＝DE； (2)若 AC＝6，AB＝10，求四边形 DCFE 的面积．
23.4 中位线
解：(1)证明：∵D，E 分别为 AB，BC 的中点， 1 ∴DE∥AC，DE＝ AC. 2 1 又 CF＝ AC， 2 ∴CF＝DE. (2)∵AC＝6，AB＝10， 由勾股定理，得 BC＝ AB2－AC2＝8. 1 1 ∴S 四边形 DCFE＝DE· CE＝ AC· BC＝12. 2 2
中点，连结DE，线段BE，CD相交于点O，若OD＝2，求OC 的长．
图24－4－6
23.4 中位线
[解析] 解法一：由题意，知 O 点为△ABC 的重心，根据 重心的性质可得出 OC＝2OD； 解法二： 由题意， 知 DE 为△ABC 的中位线， 则 DE∥BC， 1 DE＝ BC，再证明△ODE∽△OCB，由相似三角形对应边成 2 比例即可得出 OC＝2OD.
1． 三角形的重心： 三角形三条边上的中线交于 一点 ， 这个点就是三角形的 重心 ．
2．三角形重心的性质：重心与一边中点的连线的长是 1 对应中线长的 . 3
23.4 中位线
重难互动探究
探究问题 三角形的中位线及其应用 例 如图 23－4－4 所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90 °，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在 AC 的延长线上， 1 CF＝ AC，∠FEC＝∠B. 2
23.4 中位线
解：解法一：∵点 D，E 分别为 AB，AC 的中点，线段 BE，CD 相交于点 O， ∴O 点为△ABC 的重心， ∴OC＝2OD＝4； 解法二：∵点 D，E 分别为 AB，AC 的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线， 1 ∴DE∥BC，DE＝ BC， 2 ∴∠ODE＝∠OCB， ∠OED＝∠OBC， ∴△ODE∽△OCB， ∴OD∶OC＝DE∶BC＝1∶2， ∴OC＝2OD＝4. 故 OC 的长为 4.
三角形中的中线与中位线的性质
三角形中的中线与中位线的性质在几何学中，三角形是最基本的多边形之一，由三个边和三个顶点组成。
在三角形中，中线和中位线是两个重要的概念。
本文将探讨这些线段的性质，展示它们在三角形中的重要作用。
一、中线的性质中线是指连接三角形的一个顶点和对应边中点的线段。
在任何三角形中，都存在三条中线，它们相交于一个点，称为三角形的重心。
以下是中线的性质：1. 中心位置：三角形的三条中线的交点即为三角形的重心。
重心将三角形划分为三个面积相等的三角形。
2. 等长性：三角形的三条中线长度相等。
即，连接三角形的一个顶点和对边中点的线段长度相等。
3. 三点共线：三角形的顶点和对边中点以及重心共线。
这意味着无论三角形是等腰、等边还是普通三角形，其中心点都位于三角形内部，并且与三角形的顶点与边具有一定的关系。
二、中位线的性质中位线是指连接三角形的两个顶点中点的线段。
在任何三角形中，存在三条中位线，也具有一些重要的性质。
以下是中位线的性质：1. 中点连线：三角形的三条中位线的交点即为三角形内心。
2. 等长性：三角形的三条中位线长度相等。
即，连接三角形的两个顶点中点的线段长度相等。
3. 平分性：中位线将三角形的面积平分为两部分。
即，三角形内所有通过一个顶点的中位线所对应的两个小三角形面积之和等于大三角形的一半。
三、中线与中位线的关系中线和中位线是三角形中具有重要关系的特殊线段。
以下是它们之间的一些关系：1. 位置关系：三角形的三条中线相交于三角形的重心，而三条中位线相交于三角形的内心。
2. 长度比较：在同一个三角形中，中位线的长度大于中线的长度。
3. 关于重心的性质：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段与连接该顶点与三角形的重心的线段之间的比值为2:1。
4. 关于内心的性质：连接三角形的两个顶点中点的线段与连接这两个顶点与三角形的内心的线段之间的比值为1:1。
结论：通过对三角形中的中线与中位线的性质进行分析，我们可以得出以下结论：1. 中线和中位线都是三角形中的重要线段，它们与三角形重心和内心的位置关系密切。
三角形中位线与重心的几何意义解析
三角形中位线与重心的几何意义解析三角形是几何学中最基本的图形之一，其形态多样，性质丰富。
在三角形中，中位线和重心是两个重要的概念，它们具有重要的几何意义。
本文将对三角形中位线和重心的几何意义进行深入解析。
一、中位线的几何意义中位线是连接三角形两个顶点和对边中点的线段，在任意三角形中，都可以找到三条中位线。
所谓对边中点，即指的是三角形两顶点连线的中点。
中位线具有以下几何意义：1. 中位线相等性：在任意三角形中，三条中位线的长度相等。
这是三角形中位线较为重要的性质之一，可以通过简单的几何推导得出。
如图所示，∆ABC是任意三角形，AA'、BB'、CC'分别为∆ABC的三条中位线。
连接A'、B'、C'三点，可以得到∆A'B'C'。
由于∆ABC中AA'、BB'、CC'相等，所以∆A'B'C'中A'B'、B'C'、C'A'也相等。
根据两个三角形共边相等的性质，我们可以得出∆A'B'C'是个等边三角形。
因此，在任意三角形中，三条中位线的长度相等。
2. 中位线与顶点关系：在任意三角形中，三条中位线的交点即为三角形的重心。
二、重心的几何意义重心是由三角形三条中位线的交点确定的一个重要点，具有以下几何意义：1. 重心的平衡性：在等边三角形中，重心与三角形三个顶点位于同一直线上，并且重心到任意两顶点的距离相等。
这意味着重心作为三角形的平衡点，可以理解为三角形的质心。
如图所示，∆ABC是一个等边三角形，AA'、BB'、CC'分别为∆ABC的三条中位线。
连接A'、B'、C'三点，可以得到∆A'B'C'。
重心G是∆ABC中三条中位线的交点，同时也是∆A'B'C'的重心。
三角形中位线判定方法
三角形中位线判定方法三角形中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段，每个三角形都有三条中位线，它们交于一个点，这个点被称为三角形的重心。
在三角形的几何学中，中位线有着重要的作用，不仅可以帮助我们判断三角形的性质，还可以应用到解题中。
下面我们将介绍三角形中位线的判定方法。
首先，我们来看一下中位线的定义和性质。
在三角形ABC中，连接顶点A和对边BC的中点D的线段AD就是三角形的中位线。
同样地，连接顶点B和对边AC的中点E的线段BE，以及连接顶点C和对边AB的中点F的线段CF也分别是三角形的中位线。
这三条中位线交于一个点G，这个点就是三角形的重心。
重心到每个顶点的距离等于中位线的长度的一半。
另外，重心将每条中位线分成2:1的比例。
这些性质对于我们判定三角形中位线很有帮助。
接下来，我们将介绍三角形中位线的判定方法。
首先，我们要知道，如果三角形的三条中位线相等，那么这个三角形是等边三角形；如果三条中位线相交于一个点，那么这个三角形是等腰三角形；如果三条中位线相互平行，那么这个三角形是直角三角形。
根据这些性质，我们可以利用中位线来判定三角形的性质。
其次，我们可以利用中位线的长度来判定三角形的大小。
如果一个三角形的中位线长度相等，那么这个三角形是等腰三角形；如果一个三角形的中位线长度满足某种关系式，那么我们可以根据这个关系式来判断三角形的性质。
比如，如果一个三角形的中位线满足a^2 + b^2 = 5c^2，那么这个三角形是直角三角形。
通过中位线的长度，我们可以更加准确地判定三角形的性质。
最后，我们可以利用中位线的交点来判定三角形的性质。
如果三角形的三条中位线相交于一个点，那么这个三角形是等腰三角形；如果三角形的中位线交点与重心重合，那么这个三角形是等边三角形。
通过中位线的交点，我们可以更加直观地判断三角形的性质。
总之，三角形中位线是三角形的重要性质之一，我们可以利用中位线来判定三角形的性质、大小和形状。
高三复习-重心是什么的交点有什么性质
重心是什么的交点有什么性质重心是三角形三边中线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
三角形重心定义及性质证明三角形重心是三角形三中线的交点。
当几何体为匀质物体且重力场均匀时，重心与该形中心重合。
证明一1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。
EC、FB交于G。
求证：EG=1/2CG证明：过E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EH//BF∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)又∵ AF=CF∴HF=1/2CF∴HF:CF=1/2∵EH∥BF∴EG:CG=HF:CF=1/2∴EG=1/2CG方法二连接EF利用三角形相似求证：EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA 、BOB、COC分别为a、b、c边上的中线。
根据重心性质知：OA=1/3AAOB=1/3BBOC=1/3CC过O，A分别作a边上高OH，AH可知OH=1/3AH则，S△BOC=1/2×OHa=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC同理可证S△AOC=1/3S△ABCS△AOB=1/3S△ABC所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB。
如何利用三角形中位线定理
如何利用三角形中位线定理三角形是初中数学中的重要内容，但是在学习三角形的时候，很多同学会发现一些特殊的线段，比如三角形中位线，但是很多同学并不知道如何利用这些特殊的线段来解决问题。
本文将介绍如何利用三角形中位线定理来解决一些实际问题。
一、三角形中位线定理的定义在三角形ABC中，连接AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，那么有以下定理：1. 三角形中线定理：DE = 1/2BC，EF = 1/2AC，FD = 1/2AB。
2. 三角形中位线定理：三条中位线交于一点，且交点离每个顶点的距离是从该顶点到对边中点距离的一半。
二、利用三角形中位线定理解决实际问题1. 求三角形中位线长度在三角形ABC中，连接AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，求DE的长度。
根据三角形中位线定理，DE的长度等于BC的一半，因此DE = 1/2BC。
如果知道BC的长度，就可以直接计算出DE的长度了。
2. 判断三角形是否为等腰三角形在三角形ABC中，连接AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，如果DE = EF，则三角形ABC为等腰三角形。
因为DE = 1/2BC，EF = 1/2AC，所以DE = EF等价于1/2BC = 1/2AC，即BC = AC，因此三角形ABC为等腰三角形。
3. 求三角形面积在三角形ABC中，连接AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，求三角形ABC的面积。
根据三角形面积公式，三角形ABC的面积等于1/2底边乘以高，而三角形的高正好是DE，因此三角形ABC的面积等于1/2BC乘以DE。
根据三角形中位线定理，DE = 1/2BC，因此三角形ABC的面积等于1/4BC。
4. 求三角形重心坐标在三角形ABC中，连接AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条中位线交于点G，求点G的坐标。
根据三角形中位线定理，点G离每个顶点的距离是从该顶点到对边中点距离的一半。
因此，点G的坐标可以通过计算三个顶点的坐标和对边中点的坐标来求得。
三角形的中线与中位线
三角形的中线与中位线三角形是初中数学中的重要内容之一，不仅在初中阶段被广泛地研究和应用，而且在高中以及大学阶段也是必不可少的基础知识。
其中，三角形的中线与中位线是三角形的重要性质之一，本文将详细讨论它们的定义、性质以及相关的应用。
首先，让我们来了解一下三角形的中线和中位线的定义。
对于任意一个三角形ABC来说，如果D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，那么AD、BE、CF就是三角形ABC的中线。
而如果G、H、I分别是BC、AC、AB的中点，那么AG、BH、CI就是三角形ABC的中位线。
接下来我们来分析中线与中位线的性质。
首先，中线与中位线都可以相交于一点。
对于任意一个三角形ABC来说，它的中线AD、BE、CF寻找的交点就是三角形的重心G。
重心是三角形三条中线的交点，它具有很多有趣的性质，例如：重心将中线划分成2:1的比例，即AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1。
而对于中位线而言，它们的交点H、I、G正好重合，即三角形的中位线既是重心连线，也是三条中线的交点。
其次，中位线有着很多与中线相似的性质。
例如，中位线分为两段线段时，每段线段的长度都是另一段线段的两倍。
这就意味着，通过连接三角形的三个顶点与中点，我们可以将三角形分为6个三角形，其中三个小三角形的面积之和等于整个三角形的面积的3/4。
另外，中位线还与平行线有着重要的联系。
如果通过三角形的一个顶点A作一条平行于BC的直线，它将分别与BE和CF相交于点M和N，那么AM/MB=AN/NC=2:1，即AM是MB的两倍，AN是NC的两倍。
这说明了中位线与平行线之间的关系，且结构类似于中线。
最后，让我们来看一下三角形的中线与中位线的一些应用。
首先是定理的应用，利用中线和中位线定理可以快速求解三角形的面积，特别是对等腰三角形以及直角三角形更加有效。
此外，中位线还可以帮助解决与三角形形心有关的问题，例如形心与重心的距离是重心与顶点的距离的2/3。
总之，三角形的中线与中位线是初中数学中的重要内容，通过研究它们的定义、性质和应用，不仅能更好地理解三角形的特点，还能够提高解决问题的能力。
三角形重心的性质及其应用沈文选
= +C - ★数学竞赛初级讲座三角形重心的性质及其应用湖南大理学院 沈文选1 基础知识三角形三条中线的交点称为三角形的重心.三角形重心有下列有趣性质.性质 1 设 G 为■ABC 的重心, 连结 AG 并延长交BC 于 D , 则 D 为 BC 的中点, AD 2 =1 (AB2 +2AC 2) 1 BC 2, 且 AG ∶GD =2∶1.4性质 2 设 G 为■ABC 的重心, 过 G 作 CE ∥BC 交 AB 于D 、交 AC 于E , 过 G 作PF ∥ AC 交AB 于P 、 交 BC 于 F , 过 G 作 KH ∥ AB 交 AC 于 K , 交 BC 于反之, 设 ■ABC 的一边 AB 上有 P 1 、P 2 两点, 在另一边 AC 上有 Q 1 、Q 2 两点.若 A B + A C = A B+AP 1 AQ 1 AP 2AC=3, 则 P 1 Q 1 与 P 2 Q 2 的交点 G 是 ■ABC 的重 AQ 2心.(《数学通报》1212 号问题)事实上, 如图 2 , 连结 AG 并延长交BC 于 M , 过 B 、C 分别作 A M 的 平 行 线 交 直 线P 1 Q 1 、P 2 Q 2 分别 于 X 1 、 Y 1 、X 2 、Y 2 .于是, 由DE FP KH 2 DE FP KH3 AB ACH .则(1) = BC CA = AB = ;(2) 3 BC + A + AB=AP 1 BP 1 AQ 1 CQ 12 .=(1+ AP 1 )+(1 + ), AQ 1性质 3 设 G 为■ABC 的重心, 过 G 的直线交BP 1 CQ 1 BX 1 CY 1 AB AC有 1 =AP 1 + AQ 1 = AG +AG ,AB 于 P , 交 AC 于 Q , 则AP +AQ=3 ;反之, 在■ ABC中, 若直线 PQ 交 AB 于P , 交 AC 于 Q , 满足 AB + AC即 BX 1 +CY 1 =AG .同理, BX +CY =AG . AP AQ2 2 =3, 则直线 PQ 过三角形的重心.证 明 :如 图 1, 设 M 为■ ABC 的边 BC 上任一点, 直线PQ 分别交 AB 、 AM 、 AC 于 P 、N 、Q , 连结 PM 、QM , 则AM = A N +NMAN AN=S ■APQ +S ■MPQS ■APQ=S ■APM +S ■AQM 从而 BX 1 + CY 1 =BX 2 + CY 2 , 即 BX 1 - BX 2 =CY 2 -CY 1 , 亦即 X 1 X 2 =Y 1 Y 2 .而 X 1 X 2 ∥ Y 1 Y 2 , 从 而 易 判 断 ■GX 1 X 2 ≌■ GY 1 Y 2 .所以 GX 1 = GY 1 , 推 知 BM = MC , 即 A M 为■ ABC 的BC 边上的中线, 亦即 GM 为梯形 BCY 1 X 1的中位线.此时 BX 1 +CY 1 =2GM .但 BX 1 + CY 1 =AG , 故 AG =2GM .由此即知AP · A Q · S ■ABCAB ACAB · A C AP ·S ■ABM + AQ · S ■ACM G 点为■ ABC 之重心, 即满足AP +AQ=3 的直线过其重心.=AB AC AP · AQ ·S ■性质 4设 G 为 ■ ABC 的重 心, 则 S ■ABG =AB AC ABC 1=AB · CM + AC ·BM . AP BC AQ BC当 N 为■ABC 的重心时, M 为 BC 中点, 有 BM=MC , 且 AM ∶AN =3∶2 , 由此即证得结论 AB + ACS ■BCG =S ■ACG = 3S ■ABC ;反之亦然.性质 5 设 G 为■ ABC 的重心, ■ABC 内的点 Q 在边BC 、CA 、AB 边上的射影分别为D 、E 、F , 则当 Q 与G 重合时 QD · Q E · Q F 最大;反之亦然. =3.AP AQ证明:设三角形三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,记Q D = x 、QE =y 、QF =z , 由S■QB C=A ′D DA GG = ′ = , = .= ( b c a = .B C b c a1 ax , S2 ■ QAC = 1 by , S 2 ■ QAB =1 cz , 知 ax +by +cz 2性质 9 设 G 为■ABC 的重心, 若 AG 2 +BG 2 =2=2S ■ABC 为定值.由三个正数的平均值不等式, 有 axCG , 则两中线 AD 和 BE 垂直 ;反之, 若两中线 AD 、 BE 垂直, 则 AG 2 +BG 2 =CG 2 .· b y · cz ≤ (ax +by +cz )3 = 8 S 3, 即 xyz下面给出三角形重心性质应用的例子.8S 33 27 ■ ABC例 1如图 4, 在 ■ABC≤ ■ABC .此式当且仅当 ax = by = cz 时, 即 S ■ 27abc中, G 为重心, P 为三角形内一 =S ■QAC =S ■QAB 时等号取得.即 Q 为 ■ABC 的重心时, 结论成立.性质 6 设 G 为■ ABC 的重心, AG 、BG 、CG 的 点, 直线 PQ 交直线 BC 、 CA 、AB 于 A ′、B ′、C ′.求证:A ′P + A ′G延长 线 交 ■ 的 三 边于 、 、 , 则= B ′P +C ′P =3 .ABC D E F S ■BGD =S ■CGE ;反之亦然.S ■AGF B ′G C ′G证明:连 结 BG 、 GC 、 PB 、 证明:仅证后部分.如图 3, 设 S ■AG F = S ■BG D = S ■CGE = 1, PC , 分别过 G 、P 作 GG ′⊥BC ,垂足为 G ′, 作 PP ′⊥ BC , 垂足为 P ′, 则 PP ′∥ GG ′,S ■AGE = x , S ■BGF = y , S ■CGD =z .由 AG = y +1 = x +1 , BGPP ′ ′ A ′P .A ′GS S GD 1 z GE 又 ■PBC =PP ′ 有 ■ PBC =A ′P .z +1 y +1 CG x +1 S ■GBC GG , S ■GB C A ′G = 1 = z +1 x , GF = 1 同理S ■PCA = S ■QCA B ′P , S ■PAB = ■ GAB C ′P .= , 有B ′G SC ′Gy因为 G 为重心, 有 S ■GAB =S ■GBC =S ■GCA yz +z =x +1 ,① 1A ′PB ′PC ′P 3S ■PBC z x +x =y +1, ② xy +y =z +1 .③由①-②, 得 z (y -x )+z -x =x -y , 即 z - x =(x -y )(1 +z ).④ 同理 x -y =(y -z )(1 +x ),⑤y -z =(z -x )(1 +y ). ⑥若 x =y , 代入④得 z =x , 即有 x =y =z , 再代入 = 3 S ■ABC , 故A ′G + ′G + ′G = S ■A BC +3S ■PCA +3S ■PAB =3. S ■ABC S ■ABC例 2 如图5 , 设■ABC 的重心为 G , AG 、BG 、 CG 分别交对边于 D 、 E 、F , 交 ■ ABC 的外接圆于 A ′、B ′、C ′.求证:A ′D +B ′E①得 x =1 , 故 x =y =z =1.若 x ≠y , 则 y ≠z , z ≠x , 由④×⑤×⑥, 得 +C ′F ≥1 . FCDA EB(1 +x )(1+y )(1+z )=1 .⑦而 x , y , z 为正数, 则 1 +x >1, 1 +y >1 , 1+z >1.因 证明:设 BC = a , CA = b ,AB =c , 这三边上的中线分别记为 m a 、m b 、m c , 应用此⑦无正数解.故只有正数解 x =y =z =1 .即证. 性质 7 设 G 为■ABC 的重心, 则相交弦定理, 有A ′D = DA 2 A ′D ·DA = DA 2 2BD ·DC = a 2 . DA 2 4 m 2 (1)BC 2 +3GA 2 =CA 2 +3 GB 2 = A B 2 +3GC 2;(2)GA 2 +GB 2 +GC 2 1AB 2 +BC 2 +CA 2);同理 B ′E b C ′F cEB 4 m 2 FC4m 2 a 2 b 2 c 23则所证不等式等价于 m 2 + m2 +m 2 ≥4. (3)GA 2 +GB 2 +GC 2 最小.a b c 应用三角形中线公式 m 2 =2b 2 +2c 2 -a 2等三式反之亦然(即设 G 为■ABC 内一点, 若满足上述 条件之一, 则 G 为■ ABC 的重心.)可求出 a 2 、b 2 、c 2 , 即 a 2 = 4 (2m 2 +2 m 2 - m 2)等三 9性质 8 设■ABC 外接圆半径为 R , G 为■ ABC 式, 将其代入上式左边, 即证得结论成立 .的垂心, G 到三边 BC 、 CA 、 AB 的距离分 别为 GP 、注:由上即知还可有 + B ′E +≥3. GP GQEB GQ 、 GT , 则 sin ∠B ·sin ∠C = sin ∠A ·sin ∠C = 2 综合应用GT 2 Rsin ∠A ·sin ∠B 3例 3 如图 6, 过 ■ABC 的重心 G 任作一条直线C ′F FCQBCaa 2 +b 2 +c 23)] 垂线, 垂足为 A ′、C ′、D ′、E ′、F ′.易证 CC ′=2FF ′, 2EE ′= AA ′+ CC ′, 从而 - (a +b +c ) 1 2 121 AM B M 1 1 1 + 1 1 1 2 2 1 1 2 12 2 = + BA 把这个三角形分成两部分.试证:这两部分面积之差不=( 1 + 1 + 1 )[ R 2 1 2 2 2 大于整个三角形面积的 1.(1979 年安徽省竞赛题)9证明:把三角形的每条边三等分, 过每一分点作平行于其他 两边的直线, 这些直线把 ■ ABC AM BM CM 9-OM 2-MG 2]=( 1 + 1 + 1 )(OG 2 -OM 2 -MG 2)AM BM CM =( 1 + 1 + 1 )·(-2OM · M G )AM BM CM分成 9 个面积相等的小三角形, 内部那个交点正好是这个三角形 ·cos ∠OMG ≥0;W (AM +BM +CM )(的重心 G , 过 G 的任一直线把三 3 AM BM角形分成两部分, 观察这两部分面积之差, 显然不超过■BEF 的面积, 即■ ABC 面积的 1 .+ 1)-(AM +BM +CM ) CM= 3 [ (AM +BM )( M + M -2) 9 +(BM +C M )(BM + CM -2)+(CM + A M )(CM例 4 如图 7, 设 O 、G 分别为■ ABC 的外心和重CM BM AM心, 点 M 满足 π<∠2OMG <π, A 1 、B 1 、C 1 依次是直 + AM -2)] CM线 AM 、BM 、CM 与 ■ABC 外接圆的交点.试证:AM +BM +CM ≤A 1 M +B 1 M +C 1 M .(《中等数学》1993 年第 3 期 P .14 例 6)≥ 3[ (AM +BM )(2 -2)+(BM +CM )(2 -2) +(CM +AM )(2 -2)] ≥0 .故 AM +B M +CM ≤A 1 M +B 1 M +C 1 M .证明:设 ■ABC 的外接圆 半径为 R , 过 O 、 M 的直线交 ⊙O 于 E 、E 1 , 则 MA ·MA 1 = MB · MB 1 = MC · MC 1 = ME · ME 1 =R 2 -OM 2 .记 MA · M A 1 =k , 则A 1 M +B 1 M +C 1 M -(AM + BM + CM )=( 1+AM例 5如 图 8 , 已知 P 为ºABCD 内一 点, O 为 AC 与BD 的交点, M 、 N 分别为 PB 、PC 的中点, Q 为 AN 与 DM 的交点.求证:(1)P 、Q 、O 三点在同一 直线上;(2)PQ =2OQ . (1998 年初中联赛题)证明:连结 PO .设 PO 与 AN 、DM 分别交于点 Q ′、Q ″.1 + 1 )·k -(AM +BM +CM )=( 1+ 1 + 在■PAC 中, AO = OC , PN =NC , 则 Q ′为其重 B M CM AM BM 1)·[ k - 1 (AM 2 +BM 2 CM 3 + CM 2)] + 1 (AM 2+ 3心, 且 PQ ′=2 OQ ′.在■PDB 中, DO =BO , BM =MP , 则 Q ″为其重 BM 2 +CM 2)( 1 + + )-(AM +BM +CM ) 心, 且 PQ ″=2 OQ ″.AM BM CM=W 1 +W 2 .注意到莱布尼兹公式, 取 P 为 M , 有 3 MG 2= AM 2 +BM 2 +C M 2 - 1 (a 2 +b 2 +c 2);又取 P 为O ,3这样, Q ′≡Q ″, 并且 Q ′、Q ″就是 AN 、DM 的交点 Q .故 P 、Q 、O 在一条直线上, 且 PQ =2OQ .例 6如图 9 , AD 、BE 、CF是■ ABC 的三条中线, P 是任意 则有 OG 2 =R 2 - 1 (a 2 9+b 2 + c 2), 再利用 k = R 2一点.证 明:在 ■PAD 、 ■PBE 、■ PCF 中, 其中一个面积等于另-OM 2, 从而有外两个面积的和.(第 26 届莫斯 W =( 1 + )[ k - (AM +B M 科数学奥林匹克题)1+CM 2)] =( 1 AM BM CM 3 + + )[ R -OM - (3 MG证明:设 G 为 ■ABC 的重心, 直线 PG 与 AB 、BC 相交.从A 、C 、D 、E 、F 分别作该直线的AM B M CM 3+AA ′=2DD ′, EE ′=DD ′+13 3 = = , = = = .FF ′, 故 S ■PGE =S ■PGD +S ■PGF .例 7 如图 10, 已知 CA = AB =BD , AB 为 ⊙O 的直径, CT 切⊙O 于P .求证:∠ APC =∠DPT .证明:连结 PO 并延长交 ⊙O 于 E , 则 PE ⊥ PC .连结 EC 、ED , 并延长PA 交CE 于 F .在 Rt ■CPE 中 , CO 为PE 边上的中线, 且 CA=2 AO , 即知 A 为 ■CPE 的重心, 则 PF 为 CE 边上的中线, 从而 CF =PF , ∠FCP =∠FPC .又 PE 与CD 互相平分, 则 CPDE 为平行四边形, 即有∠FCP =∠DPT , 故∠CPA =∠FCP =∠DP T .例 8 试证:以锐角三角形各边为直径作圆, 从相 对顶点作切线, 得到的六个切点共圆.S ■A BA ′=1 sin ∠AFE · AB · A ′F =1sin ∠AEF 22· A C · A ′E =S ■ACA ′.由此式可知直线 AA ′必平分BC 边, 即 AA ′必过■ ABC 的重心.同样可证 B B ′、C C ′也都过 ■ABC 的重心.故由重心的惟一性, AA ′、BB ′、CC ′三直线共点于■ ABC 的重心.3 强化训练(1)如图 13 , 点 O 在锐 角■ ABC 内部, 过 O 作 EF ∥BC ,PQ ∥ CA , HG ∥ AB .若 EFBC=PQ = HG , 则 O 为 ■ABC 的 CA AB 证 明:如 图 11 , 设■ ABC 的三边分别为 a 、b 、c , ⊙O 是以 BC =a 为直径的圆, A T 切⊙O 于一点.连结 AO , 在 AO 上取点G 使 AG =2 GO , 则 G 为■ ABC 的 重心.连 结 DT ,GT .由 AO = 12, TG 2=OT2+OG2( ).A .外心B .重心C .内心D .垂心(2)已知■ABC 的重心为 G , AG =3 , BG =4 , CG=5 , 那么■ABC 的面积等于.(3)如图 14, M 、N 、P 分别 为正 ■ABC 、 ■DCE 、■BEF 的重心 , 求证:■MNP 为 正三 角形.-2OT ·OG ·cos ∠TOA 及cos ∠TOA =O T , OT =1OA 2· a , OG 1 OA , 有 TG 2=1 (a2 +b 2 +c 2)为定值. (4)已知 ■ABC 的重 心 G和内心 I 的连线 GI ∥BC , 求证:AB + AC =2BC .3 18同理, 其他五个切点如 T 等到重心G 的距离平方 均为 1 (a 2+b 2 +c 2), 由此即证.18 例 9 如图 12 , 设 ⊙O 是■ ABC 的内切圆, BC 、CA 、AB上的切点 各是 D 、 E 、 F .射线DO 交EF 于 A ′, 同样可得 B ′、 (5)设 O 为■ABC 的外心,AB =AC , D 是 AB 的中点, G 是 ■ACD 的重心, 求证:OG ⊥CD .参考答案与提示(1)易知EF +PQ + H G =EF +BP +GC=2 , 则BC AC AB BC BC BCC ′.试证:直线 AA ′、BB ′、CC ′ 共点.证明:连结 A ′B 、A ′C .易知 B 、D 、O 、F 及C 、D 、O 、E 分别共圆, 得 ∠A ′OF = ∠B , ∠A ′ EF =PQ =HG=2 , 故 O 为■ ABC 的重心. BC CA AB(2)18 .(3)先证 BD = AE =CF , 再由 ■BMP ∽■BCF ,得MP = BM = 1 , 同理PN = 1 , MN = 1 .则 MP CF BC BD AE OE =∠C .由 A ′F = OA ′ = OA ′ =PN =MN .(4) 易知 G 到BC 的距离等于■ABC 内切圆的半 sin ∠A ′OF sin ∠OF A ′ sin ∠OEA ′ A ′E A ′F sin ∠ A ′OF sin ∠B AC sin ∠A ′OE 有A ′E sin ∠A ′OE sin ∠C AB 从 而 AB · A ′F =AC ·A ′E .径 r , 则 BC 边上的高为 3r .再利用面积法证明 .(5) 证明■ODG 与■ ABC 的重心重合. (本期讲座特邀编辑 刘康宁)2b 2 +2 c 2 -a 2 3又∠AFE =∠ AEF , 故有。
探讨三角形的中位线
探讨三角形的中位线三角形的中位线是连接三角形的任意两个顶点和与第三个顶点的中点所形成的线段。
在本文中，我们将探讨三角形中位线的性质、应用以及相关的数学定理。
一、中位线的性质三角形的中位线有一些独特的性质，我们先来探讨这些性质。
1. 三角形的三条中位线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
2. 三角形的重心将中位线按1:2的比例分成两段，离重心较远的中位线段是离相应顶点较远的中位线段的两倍长度。
3. 三角形的重心到三个顶点的距离之和等于三角形三条中位线的长度之和。
二、中位线的应用中位线不仅仅是一个几何概念，还有一些实际应用和相关的数学定理。
1. 三角形面积计算中位线可以用来计算三角形的面积。
根据一个定理，三角形的面积等于任意两条中位线长度的乘积除以4。
2. 三角形三边长度关系根据中位线的性质，我们可以得出三角形三边长度之间的关系。
设三角形的三边长分别为a、b、c，中位线的长度分别为m1、m2和m3，则有m1 = √(2b²+2c²-a²)/4，m2 = √(2a²+2c²-b²)/4，m3 = √(2a²+2b²-c²)/4。
3. 三角形类比中位线的概念也可以应用于类比几何中，例如四边形的对角线构成的中位线。
类似地，对于任意四边形，可以找出两个对角线中点的连线，得到一个类似中位线的线段。
三、中位线定理除了上述的性质和应用，还有一些中位线定理与三角形的中位线相关。
1. 中位线定理一三角形的重心到三个顶点的距离之和等于三条中线的长度之和的3倍。
2. 中位线定理二三角形重心到三个顶点的距离之和大于等于三条中位线的长度之和，且等号成立的条件是三角形是等腰三角形。
3. 中位线定理三三角形重心到三个顶点的距离之和小于等于三条中位线的长度之和，且等号成立的条件是三角形是等边三角形。
四、总结三角形的中位线是连接两个顶点和与第三个顶点中点的线段。
三角形的中线与中位线
三角形的中线与中位线三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三个边和三个角组成。
在三角形中，有两条特殊的线段，分别是中线和中位线。
本文将详细介绍三角形的中线与中位线的定义、性质以及应用。
一、中线的定义与性质中线是连接三角形两个顶点与中点的线段。
每个三角形都有三条中线，分别连接顶点与对边的中点。
中线的性质如下：1. 任意两条中线的交点是三角形重心G。
重心G是三角形中心的一种，其特点是到三角形的顶点距离之和最短。
2. 每条中线上的一半长度是另外两条中线长度之和的一半。
即如果AB是三角形的一条边，M是其对边BC的中点，则AM = 1/2(BM + CM)。
3. 三条中线的长度相等。
即任意两条中线的长度之和等于第三条中线的长度。
即AM + BM = CM。
二、中位线的定义与性质中位线是连接三角形两个顶点的中点的线段。
每个三角形都有三条中位线，分别连接形成该边的两个顶点的中点。
中位线的性质如下：1. 任意两条中位线平分第三条中位线。
即如果AB是三角形的一条边，M是其对边BC的中点，N是AC的中点，则MN = 1/2(AB)。
2. 三条中位线的交点是三角形重心G。
重心G是三角形中心的一种，其特点是到三角形的顶点距离之和最短。
3. 三角形的三条中位线把三角形分成六个小三角形，每两个小三角形的面积相等。
三、中线与中位线的应用1. 在解决三角形几何问题时，中线和中位线可以作为辅助线。
通过利用中线和中位线的性质，可以简化问题的解决过程。
2. 中线和中位线可以帮助证明三角形的一些性质。
例如，通过重心的性质，可以证明三角形三条中线的交点就是重心。
3. 在实际生活中，中线和中位线的概念也有应用。
例如，在建筑设计中，可以使用中位线来确保各个房间的位置和大小合理均衡。
总结：三角形的中线和中位线是三角形中重要的辅助概念。
通过了解中线和中位线的性质，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的问题。
无论是在几何学中的证明，还是在实际生活中的应用，中线和中位线都具有重要的价值。
三角形中位线重心的性质及应用
课题：三角形重心的性质及应用（教学目的：1、了解三角形重心的概念，掌握重心的性质并能加以应用。
2、了解并握“同一法”证明思路。
教学重、难点：三角形重心的性质及其应用。
教学过程：思考一：已知，如图，BE、CF是厶ABC的中线，并相交于G，GE GF 1求证：= =一GB GC 2思考二：假如AD是厶ABC的BC边上的中线，那么G点是否在AD上？归纳结论：1、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
2、重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍学生练习：1、已知，△ ABC中，/ C=90°，G是三角形的重心，，AB=8，求：①GC的长；② 过点G的直线MN // AB，交AC于M， BC于N，求MN的长。
GM2、已知，△ ABC中，G是三角形的重心，AG丄GC, AG=3 , GC=4，求BG的长教学小结：由学生归纳总结作业：在直AABC中，ZC=90・，CB=6> CA=fi. G尙重心・到斜边筋的距离为（己知G昱AAEC的重心，过G作EF〃BC且与AB. AC分别交千取F两点，贝i]EF? EC的值为（）如图，A ABC的面积为6山点0是重心，连捞BG并延长交AC于D,连捞GA,则4GAB的面积为（）如團G 为AABC 的重心，GE "AC,若 S_Agc=36,贝i]S^GD5=____________ ・A I ___ y _____ 1丄h I I A I如图.AABC中，AB=AC, AD为BC边上的高，BE为AC边LtEfl中线，AD与BE交干点M.若A輝，在梯刪BC呻,AD〃BC,点咗BC上，RE=3E,即是CD贰中爲fiAFlAB, gAD=2.7i AF=4I AB=6.求C确杞解：廷长AF至EC延长线上交千G点，IAD/7BC,••• △虫D2AGCF,AAF： FG=DF： CF,VDF=CF.•- AF=FG.••• AE 二BE,/.ZABE=ZBAE,VAF1AB,AZABEfZAGB=90° , ZBAE+ZEAG=90° ,/.ZAGB=ZEAG,••• AE 二EG,；.GE=BE,・・・E为BG中点,•・.EF是AABG的中位线，故可得：EF=*AB=3, FG=AF = 4,/.AG=8,A BG= 10».•-EG=5>在厶価：中.AD交肚于点D. E. F和G分别是边桶、AC和AD上的点•且IE=GF=AFi FG〃BE・连接BG, EF.(1) 试说明AD平分ZBAC.9(2) 若AB=4, AG=3, BE=T,试说明△ ABGs^AGF.4如图，已知F, G>网别是四边形ABCDM边AB, BC> CD> A［构中点i且2巳CE交于点K J AG> CH交于点L■则: gg妙私a?Q的值为（D C B A•••■5|1 4|1 3|1 CC|1如国 > 在四边形ABCD中 > 对角銭AG BD5T于点0»已知AC二BD. M, N分另I」是AD , 中点,MN与AC. BD分别交于点E , F>则△0丘尸是（）A. 等边三角形B. 等緩三角形C. 直角三角形D. 等膜直角三角賊…丸G分别是.40 g的中点，如图，取CQ的中点G,连按MG, YG.:.MG是△JCQ的中位线，:.MGlI AC t MG = -AC,2同理可证；NG II BD, NG丄BD,2如 在 ZSABC 中,AB = 8cm> AC = 5cm, AD 平分 ZBAC J 且 AD 丄 CD. E 为 BC 的中点，则 DE=()•/AD 平分A BAC , AD \_CD , Av CF 是等腰二角形，'.CD=DF, AF=AC=5, 5F=4B-4F=8-5=3,TE 为EC 的中点，:・DE 是SCF 的中位线，/. DE = — BF = 1.5cm・2 故选D ・ 如图，延长CD 交肿于点F.A. 3cmB. 5cmC ・ 2.5cm如圈，在ZiABC 中> AB=AC J ZBAC=90°> D 为BC 边上一点，连接AD ,以AD 为一边在AD 的右厠作正方形ADEF J CF3IDE 于点P •若月C =4^2 CD=2丿则线段CP 的长为（如图|过点#作AM 丄BC 于点M >过虫E 作日I 丄BC,交B 曲延展线于点H ・由题意可得，ZACB-45°> AAMC 为等腰亘角三角形丿ZDAF-90°> AD-AF .v AC =4^2 ,AM = MC = — AC=42V CD=2JAMD»2.VZBAC=ZDAF=90°> AZBAD=ZCAF. 又TAB = AG AD=AF> •••△BAD^ACAF, .-.ZB=ZACF=45°,A ZFCD= ZACB+ZACF=90a / 即FCXBC, FC/7 EH .A. 1B. 2U 迈D ・品如gb AC与BD相交于点6己知厶人。
三角形的中位线与中心
三角形的中位线与中心三角形是几何学中最基本的图形之一，它有很多重要的性质和特点。
本文将着重讨论三角形的中位线及其与三角形中心的关系。
一、中位线的定义所谓中位线，是指三角形内任意两个顶点之间的连线中点所组成的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A和B的中点M₁，连接顶点B和C的中点M₂，连接顶点C和A的中点M₃所组成的线段M₁M₂M₃即为三角形的中位线。
二、中位线的性质1. 中位线互相平行在任意三角形中，三条中位线互相平行，即M₁M₂ // M₂M₃ //M₃M₁。
2. 中位线长度相等三角形三条中位线的长度相等，即M₁M₂ = M₂M₃ = M₃M₁。
3. 中位线交于一点三条中位线交于同一点G，这个交点G被称为三角形的重心。
重心是三角形的内心，也是重心到三角形三个顶点的距离之和最小的点。
三、三角形中位线与重心的关系重心是三角形的中位线的交点，也是三角形的一个特殊点。
1. 重心到顶点的距离重心到三角形三个顶点的距离之比为2:1。
即AG = 2GM₁，BG =2GM₂，CG = 2GM₃。
2. 重心的位置重心将每条中位线分成两个部分，即AG = GM₁，BG = GM₂，CG = GM₃。
3. 重心的作用重心是三角形内部重要的几何中心之一，具有以下作用：- 重心所在的中位线可以将三角形分成面积相等的两部分。
- 当三角形悬挂在任意一条中位线上时，重心处于该中位线的中点。
- 重心是三角形内切圆的圆心。
四、应用实例1. 设计建筑在建筑设计中，重心的概念被广泛运用。
由于重心的位置对于建筑物的平衡性和稳定性具有重要影响，建筑师需要在设计过程中考虑到重心的位置，以确保建筑物能够安全地承受外部的压力和重力。
2. 交通规划在交通规划中，重心也是一个重要的考虑因素。
交通规划师通过分析城市不同区域的人口、就业机会和基础设施等因素，可以确定城市的重心位置，从而优化交通网络的设计，提高交通效率。
3. 科学研究三角形的中位线和重心不仅仅在几何学中有重要的应用，它们在其他学科中也扮演着重要的角色。
第14章三角形重心的性质及应用
第十四章 三角形重心的性质及应用【基础知识】三角形三条中线的交点称为三角形的重心，三角形的重心有下列有趣的性质：性质1设G 为ABC △的重心，连AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，()22221124AD AB AC BC =+-，且21AG GD =∶∶． 性质2设G 为ABC △的重心，过G 作DE BC ∥交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF AC ∥交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作KH AB ∥交AC 于K ，交BC 于H ，则 （1）23DE FP KH BC CA AB ===；（2）2DE FD KHBC CA AB++=．性质3设G 为ABC △的重心，P 为ABC △内任一点，则 （1）22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++；（2）()2222213z GA GB GC AB BC CA ++++=．证明（1）设D 为BC 边上的中点，则对APG △和DPG △分别应用余弦定理，有 2222AP AG PG AG PG cos AGP =+⋅⋅∠-，2222cos PD DG PG DG PG DGP =+-⋅⋅∠， 而2AG DG =，cos cos AGP DGP ∠=-∠，于是，有22222223AP PD AG DG PG +=++．又PD ，DG 分别是BPC △的BC 边，BGC △的BC 边上的中线，有2222122PD PB PC BC +-=，2222122DG BG CG BC =+-，从而22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++．（2）由性质1，有()2222911424AG AB AC BC =+-，()2222911424BC AB BC AC =+-， ()2222911424CG BC AC AB =+-，此三式相加，整理即得 ()22222213AG BG CG AB BC CA ++=++． 注由此性质即得到三角形中的莱布尼兹公式： ()2222222133AP BP CP PG AB BC CA ++=+++． 性质4设G 为ABC △内一点，G 为ABC △的重心的充要条件是下列条件之一： （1）13GBC GCA GAB ABC S S S S ===△△△△；（2）当点G 在三边BC ，CA ，AB 上的射影分别为D ，E ，F 时，GD GE GF ⋅⋅值最大； （3）当AG ，BG ，CG 的延长线交三边于D ，E ，F 时，AFG BDG CEG S G S ==△△△； （4）过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，3AB ACAP AQ+=； （5）222222333BC GA CA GB AB GC ++=+=．证明（1）必要性：延长AG 交BC 于D ，则D 为BC 中点，有BDA CDA S S =△△，BDG CDG S S =△△，故AGB AGC S S =△△．同理，AGB BGC S S =△△，故13GAB GBC GCA ABC S S S S ===△△△△．充分性：如图14-1，令G 为ABC △内一点，连AG 并延长交BC 于D ，连BG 并延长交AC 于E ．记GAB GBC GCA S S S S ===△△△，BC a =，CA b =，AB c =，1BDG S S =△，2CDG S S =△，BD x =，DG y =．图14-1yxEDABC由11sin 2S xy BDG =⋅∠， ()()()()2111sin sin 180sin 222S a x y CDG a x y BDG a x y BDG =-⋅∠=-⋅⋅︒-∠=-⋅⋅∠，故211S a S x =-． 即2211111S S S a S x S S S +=+==，亦即1S S a=，()2SS a x a =-． 又()11sin 2ABD SS cx B S S a x a =⋅∠=+=+△．()()21sin 22ACD SS b a x C S S a x a=-⋅∠=+=-△．再由正弦定理，得sin 1sin c B b C ⋅∠=⋅∠，于是，由上述两式，有2x a x a x a x +=--，于是2ax =，即 AD 为ABC △的边BC 上的中线．同理，可证BE 为ABC △边AC 上的中线． 故G 为ABC △的重心．注由此性质即可推知三角形的重心到各边的垂线段长与边长成反比． （2）充分性与必要性合起来证．设三角形三内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．记GD x =，GE y =，GF z =，由 12GBC S ax =△，12GAC S by =△，12GAB S cz =△，知2ABC ax by cz S ++=△为定值．由三个正数的平均值不等式，有338327ABC ax by cz ax by cz S ++⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭△≤，即3827ABCS xyz abc △≤．此式当且仅当ax by cz ==时，即G B C G A C G A BS S S ==△△△时等号取得，即G 为ABC △的重心时，结论成立．（3）仅证充公性：如图14-2，设1APF BPD CPE S S S ===△△△，APE S x =△，BPF S y =△，CPD S z =△．图14-2111yx z F EDABCP由111AP y x PD z ++==，111BP z y PE x++==，111CP x z PF y ++==，有 1yz z x +=+，①1zx x y +=+，②1xy y z +=+．③由①-②得()z y x z x x y -+-=-，即 ()()1z x x y z -=-+．④同理()()1x y y z x -=-+，⑤()()1y z z x y -=-+．⑥若x y =代入④得z x =．即有x y z ==，再代入①得1x =，故1x y z ===． 若x y ≠，则y x ≠，z x ≠，由④×⑤×⑥得()()()111z 1x y +++=，⑦而x ，y ，z 为正数，则11x +>，11y +>，11z +>，等式⑦无正数解， 故只有正数解1x y z ===，即证．（4）必要性：如图14-3，设M 为ABC △的边BC 上任一点，直线PQ 分别交AB ，AM ，AC 于P ，N ，Q ，连PM ，QM ．图14-3AB CPQMN则APQ MPQ APM AQMAPQABCS S S S AM AN NM AP AQ AN AN S S AB AC+++===⋅⋅⋅△△△△△△ ABM ACMABC AP AQ S S AB CM AC BM AB AC AP AQ AP BC AQ BC S AB AC⋅+⋅==⋅+⋅⋅⋅△△△． 当N 为ABC △的重心时，M 为BC 中点，有BM MC =，且32AM AN =∶∶，由此即证得结论3AB ACAP AQ+=． 充分性：设ABC △的一边AB 上有1P ，2P 两点，在另一边AC 上有1Q ，2Q 两点．若11223AB AC AB ACAP AQ AP AQ +=+=，则可证得11PQ 与22P Q 的交点G 是ABC △的重心． 事实上，如图14-4，连AG 并延长交BC 于M ，过B ，C 分别作AM 的平行线交直线11PQ ，22P Q 分别于1X ，1Y ，2X ，2Y ，于是，图14-4MY 1Y 2X 1X 2P 1P 2Q 1Q 2ABC G由111111311BP CQ AB AC AP AQ AP AQ ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 有1111111BP CQ BX CY AP AQ AG AG =+=+，即11BX CY AG +=． 同理，22BX CY AG +=．从而1122BX CY BX CY +=+，即1221BX BX CY CY -=-． 亦即1212X X YY =．而1212X X YY ∥，从而易判断1212GX X GYY △≌△．所以11GX GY =．推知BM MC =，即AM 为ABC △的BC 边上的中线，亦即GM 为梯形11BCY X 的中位线．此时112BX CY GM +=．由11BX CY AG +=，故2A G G M =．由此即知G 点为ABC △之重心．即满足3AB ACAP AQ+=的直线PQ 过其重心．（5）必要性：设AD 为BC 边上的中线，G 为ABC △的重心时，由中线长公式（即性质1），有()()222222AD AB CA BC =+-，从而()()222222222212332333BC GA BC AD BC AD AB BC CA ⎛⎫+=+=+=++ ⎪⎝⎭．同理，()22222222333CA GB AB BC CA AB GC +=++=+． 充分性：注意到结论，给定ABC △后，若点G 满足()222213GA GB CA BC -=-为常数，则点G 的轨迹是垂直于直线AB 的一条直线，并且这条直线过ABC △的重心．事实上，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立坐标系，设(),G x y ，则222AG x y =+，()222BG x c y =-+，其中AB c =．因此，由()22222123GA GB cx c CA BC -=-=-，得G 的坐标为2223,6CA BC AB y AB ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即证得前一断言，后一断言可由性质4（4）推证：由AB 上的点P 2223,06CA BC AB AB ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭知AP 的长度，可求得AC 上的线段AQ 的长度为()()2222223cos 3AC CA BC AB APBAC AB AC BC -+=∠+-，故3AB AC AP AQ +=，即证． 性质5设P 是锐角ABC △内一点，射线AP 、BP 、CP 分别交边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则P 为ABC △重心的充分必要条件是DEF ABC △∽△．证明充分性：如图14-5，设PEF α∠=，CPE β∠=，CPD γ∠=，EBC α'∠=，并分别用A 、B 、C 表示BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠．图14-5α'γβαFEDAB C在DEF △中，对点P 应用角元形式的塞瓦定理，有sin sin sin 1sin sin sin PEF PDE PFDPED PDF PFE ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠，即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβαπ---+-+⋅⋅=--π+++--．在ABC △中，对点P 应用角元形式的塞瓦定理，有sin sin sin 1sin sin sin PBC BAP ACPPBA CAP PCB ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠，即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβα''π---+-+'⋅⋅='''--π+++--． 设()()()()()()sin sin sin sin sin sin B x C x xf x x A B x x βγβββγβπ---+-+=⋅⋅--π+++--．由x ，B x -，B x βγπ---+，A B x βγ-π+++-，C x β-+，0,2x βπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，易知()f x 递增，于是由()()f f αα'=可得αα'=，所以EF BC ∥．同理可得DF AC ∥，DE AB ∥．从而有AF AE FB EC =，AF DC FB BD =，DC ECBD AE=． 所以AF FB =，BD DC =，EC AE =．故P 为ABC △的重心． 必要性：显然（略）．故命题获证，性质6三角形重心G 到任一条直线l 的距离，等于三个顶点到同一条直线的距离的代数和的三分之一． 事实上，若设三顶点A ，B ，C ，重心G ，BC 边的中点M 到直线l 的距离分别为A d ，B d ，C d ，G d ，M d ，则()23G A M G d d d d =+-，()12M B C d d d =+．两式相加，即有 ()13G A B C d d d d =++． 注由此性质可推知：设作一直线使三角形三个顶点到它的距离的代数和为零，则它通过重心．所以这种和为定值的直线与一个以G 为圆心的圆相切． 性质7设G 为ABC △的重心，若222AG BG CG +=，则两中线AD 和BE 垂直；反之，若两中线AD ，BE 垂直，则222AG BG CG +=． 【典型例题与基本方法】例1如图14-6，在ABC △中，G 为重心，P 为形内一点，直线PG 交直线BC ，CA ，AB 于A '，B '，C '．求证：3A P B P C PA GB GC G'''++='''．图14-6G 'P'C 'B'A'ABCGP证明连BG ，GC ，PB ，PC ，分别过G ，P 作GG BC '⊥于G '，作PP BC '⊥于P '，则PP GG ''∥，PP A PGG A G''=''． 又PBC GBC S PP S GG '='△△，有PBC GBC S A P S A G '='△△． 同理PCA GCA S B P S B G '='△△，PAB GAB S C PS C G'='△△． 因G 为重心，有13GAB GBC GBC GCA ABC S S S S S ====△△△△△．故3333PBC PCA PABABC ABC ABCS S S A P B P C P A G B G C G S S S '''++=++='''△△△△△△． 例2如图147-，设ABC △的重心为G ，AG ，BG ，CG 分别交对边于D ，E ，F ，交ABC △的外接圆于A '，B '，C '．求证：1A D B E C FDA EB FC'''++≥．图14-7C 'B 'A 'GF ED AB C证明设BC a =，CA b =，AB c =，这三边上的中线分别记为a m ，b m ，c m ，应用相交弦定理，有22224a A D A D DA BD DC a DA DA DA m ''⋅⋅===． 同理224b B E b EB m '=，224c C F C FC m '=． 则所证不等式等价于2222224a b ca b c m m m ++≥．应用三角形中线公式222222a m b c a =+-等三式，可求出2a ，2b ，2c ，即()22224229b c a a m m m =+-等三式．将其代入上式左边，即证得结论成立．3． 例3如图14-8，过ABC △的重心G 任作一条直线把这个三角形分成两部分，试证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的19．（1979年安徽省竞赛题）图14-8A证明把三角形的每条边三等分，过每一分点作平行于其他两边的直线，这些直线把ABC △分成9个面积相等的小三角形．内部那个交点正好是这个三角形的重心G ．过G 的任一直线把三角形分成两部分，观察这两部分面积之差，显然不超过BEF △的面积，即ABC △面积的19．例4如图14-9，已知P 为ABCD 内一点，O 为AC 与BD 的交点，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，Q 为AN 与DM 的交点，求证：（1）P ，Q ，O 三点在一直线上；（2）2PQ OQ =．图14-9Q P MN DOABC证明连PO ，设PO 与AN ，DM 分别交于点Q '，Q ''．在PAC △中，AO OC =，PN NC =，则Q '为其重心，且2PQ OQ ''=． 在PDB △中，DO BO =，BM M P =，则Q ''为其重心，且2PQ OQ ''''=．这样，Q Q '''≡，并且Q '，Q ''就是AN ，DM 的交点Q ．故P ，Q ，O 在一条直线上，且2PQ OQ =． 例5如图14-10，已知CA AB BD ==，AB 为O 的直径，CT 切O 于P ．求证：APC DPT ∠=∠． 证明连PO 并延长交O 于E ，则PE PC ⊥．连EC ，ED ，并延长PA 交CE 于F ．图14-10DC在Rt CPE △中，CO 为PE 边上的中线，且2CA AO =，即知A 为CPE △的重心，则PF 为CE 边上的中线，从而CF PF =，FCP FPC ∠=∠．又PE 与CD 互相平分，则CPDE 为平行四边形，即有FCP DPT ∠∠=．故CPA FCP DPT ∠=∠=∠． 例6试证：以锐角三角形各边为直径作圆，从相对顶点作切线，得到的六个切点共圆．证明如图14-11，设ABC △的三边分别为a ，b ，c ，O 是以BC a =为直径的圆，AT 切O 于T 点． 连AO ，在AO 上取点G 使2AG GO =，则G 为ABC △的重心．连OT ，GT ，图14-11ABC由AO =，2222cos TG OT OG OT OG TOA =+-⋅⋅∠及cos OT TOA OA ∠=，12OT a =，13OG OA =，有()2222118TG a b c =++为定值．同理，其他五个切点如T 等到重心G 的距离的平方均为()222118a b c ++，由此即证． 例7如图14-12，AD ，BE ，CF 是ABC △的三条中线，P 是任意一点．证明：在PAD △，PBE △，PCF △中，其中一个面积等于另外两个面积的和．（第26届莫斯科奥林匹克题）图14-12G F'E'DFEDABCD 'C 'A '证明设G 为ABC △的重心，直线PG 与AB ，BC 相交，从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A '，C '，D '，E '，F '，易证2AA DD ''=，2CC FF ''=，2EE AA CC '''+=，从而EE DD FF '''=+，故PGE PGD PGF S S S =+△△△．【解题思维策略分析】1．注意中线长公式、莱布尼兹公式的应用例8已知ABC △的三边BC a =，CA b =，AB c =，DEF △是ABC △的任意内接三角形，试以a ，b ，c 表示DEF △的三边平方和的最小值．解首先，证明如下结论：若G 为ABC △内的任意一点，G 到三边BC ，CA ，AB 的距离分别为x ，y ，z ，则当x y z a b c =∶∶∶∶时，222x y z ++的最小值为22224ABCS a b c ++△． 事实上，由柯西不等式()()()222222224ABC a b c xy z ax by cz S ++++++=△≥，当且仅当xy z a b c =∶∶∶∶时取等号，由此即证．如图14-13，设G 为DEF △的重心，则由中线长公式或重心性质3（2），图14-13D 0F 0E 0F EDGABC有()2222129GD DE DF EF ⎡⎤=+-⎣⎦， ()2222129GE DF EF DF ⎡⎤=+-⎣⎦， ()2222129GF EF DF DE ⎡⎤=+-⎣⎦． 三式相加，得()2222223DE EF FD GD GE GF ++=++．从G 点向ABC △的三边BC ，AC ，AB 引垂线，垂足分别为0D ，0E ，0F ， 则()()()2222222222222022212333ABCS DE EF FD GD GE GF DD EE FF GD GE GF a b c ++=+++++++++△≥≥． 下证等号能够取到，设G 为ABC △内一点，G 到BC ，CA ，AB 的距离依次为x ，y ，z ，且满足x y z a b c =∶∶∶∶．过G 分别向三边作垂线，垂足为0D ，0E ，0F ，由0D ，C ，0E ，G 共圆，知00180D GE C ∠+∠=︒，于是00001sin 21sin 2GD E ABCxy D GE S xy S ab ab C ⋅∠==⋅∠△△． 同理，00GE F ABC S yz S bc =△△，00GF D ABC S zx S ca=△△． 因x y z a b c =∶∶∶∶，则x y y z z xa b b c c a==，故000000G D E G E F G F D S S S==△△△，由重心性质4（1），知G 为000D E F △的重心．由此可见，对ABC △的内接000D E F △而言，222200000022212ABCS D E E F F D a b c ++=++△． 因此，所求最小值为222212ABCS a b c ++△． 例9如图14-14，设G 为ABC △的重心，AG ，BG ，CG 的延长线分别交ABC △的外接圆于A '，B '，C '．图14-14'求证：（1）3AG BG CGGA GB GC ++='''； （2）3GA GB GC GA BG CG'''++≥； （3）GA GA '或GB GB '或1GCGC '≤． 证明（1）证法1：设AA '交BC 于D ，则D 为BC 的中点． 由13ABC ABGGBA GBA S S AG GA S S ''=='△△△△，13ABC GAB S BG GB S '='△△，13ABC GAC SCG GC S '='△△，及AGB BGA ''△∽△， AGC CGA ''△∽△，有22GAB GBA S AG S BG ''=△△，22GAC GAC GBA GCA S S AG S S CG ''''==△△△△，从而22222211133ABCABC BGA BGA S S AG BG CG BG CG AG BG CG GA GB GC S AG AG S AG ''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△． 由BDA ADC'△∽△，得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△，所以222222113BGA ABC BGA BGA S S BG CG AG BG CG S AG AG S AG '''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△． 由BDA ADC '△∽△得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△， 所以2222111361818BGA BGD BDA ABC ABC ABC S S S BC AG BC S S S AG AG ''⎛⎫+⎛⎫=+=+⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△△△． 中线长公式或重心性质3（2），有()2222223AG BG CG AB BC CA ++=++ ．从而()()222222222323AG BC AB BC CA AG BG CG +⋅++=++=．故22222211833AG BG CG AG AG BG CG GA GB GC AG BC AG ⋅++++=⋅⋅'''+ ()()222222221832AG AG BG CG AG BG CG AG⋅⋅++=⋅++⋅3=．证法2：令O 为ABC △的外心，由莱布尼兹公式，则()2222219OG R a b c =-++（其中R ，a ，b ，c 分别 ABC △的外接圆半径及三边之长）． 注意到()2222219GA GA GB GB GC GC R OG a b c '''⋅=⋅=⋅=-=++， 于是222AG BG CG AG BG CG GA GB GC GA GA BG GB CG GC++=++''''''⋅⋅⋅ ()()2222222222213319a b c AG BG CGR OG a b c ++++===-++． （2）2113333GA GB GC GA GB GC AG BG CG GA GB GC GA GB GC GA GB GC ''''''⎛⎫⎛⎫++=++⋅++⋅= ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭≥ （3）由（2），知A G AG '或B G BG '或1C G CG '≥，由此即AG GA '或BG GB '或1CGGC '≤，或由（1）也可推得结论成立．2．证明线共点的一条途径例10如图14-15，设O 是ABC △的内切圆，BC ，CA ，AB 上的切点各是D ，E ，F ．射线DO 交EF 于A '，同样可得B '，C '．试证：直线AA '，BB '，CC '共点．图14-15证明连A B '，A C '．易知B ，D ，O ，F 及C ，D ，O ，E 分别共圆，得A OF B '∠=∠，A OE C '∠=∠． 在A OF '△及A OE '△中应用正弦定理，有'sin sin sin sin A F OA OA A EA OF OFA OEA A OE '''===''''∠∠∠∠， 有sin sin sin sin A F A OF B AC A E A OE C AB ''∠∠===''∠∠．从而AB A F AC A E ''⋅=⋅． 又AFE AEF ∠=∠，故有11sin sin 22ABA ACA S AFE A F AEF AC A E S ''''=∠⋅=∠⋅⋅=△△．由此式可知直线AA '必平分BC 边，即AA '必过ABC △的重心，同样可证BB '，CC '，也都过ABC △的重心．故由重心的唯一性，知AA '，BB '，CC '三直线共点于ABC △的重心． 【模拟实战】习题A1．如图14-16，点O 在锐角ABC △内，过O 作EF BC ∥，PQ CA ∥，HG AB ∥，若E F P Q H GB C C A A B ==，试问O 为ABC △的什么心？图14-16OABCEFGHPQ2．如图14-17，M 、N 、P 分别为正ABC △、DCE △、mBEF 的重心．求证：MNP △为正三角形．图14-17FEA BC M NP3．已知ABC △的重心G 和内心I 的连线GI BC ∥．求证：2AB AC BC +=．4．设O 为ABC △的外心，AB AC =，D 是AB 的中点，G 是ACD △的重心．求证：OG CD ⊥． 5．设M 为ABC △的重心，且3AM =，4BM =，5CM =，求ABC △的面积．（1991年上海市初中竞赛题）6．设D 是ABC △的边BC 上的一点，点E ，F 分别是ABD △和ACD △的重心，连接EF 交AD 于点G ，则DGGA的值是多少？ （1991～1992年度广州等五市竞赛题） 7．给定任意ABC △，作这样的直线与三角形相交，使得由A 点到直线的距离等于由B ，C 点到直线的距离的和．证明：所有这样的直线相交于一点．习题B1．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似，其逆亦真．2．在ABC △中，G 为重心，I 为内心，试证：AGI △，BGI △，CGI △中，最大的一个的面积等于其余两介面积的和．3．在锐角ABC △中，O ，G 分别为其外心和重心．若OG AC ∥，求证：tan A ，tan B ，tan C 成等差数列，4．试证：任意三角形的重心到三边距离之和不小于其内心到三边距离之和．。
中位线重心定理5
三角形中位线及重心定理学习目标：1．理解三角形中位线定义及定理并会运用定理进行证明和计算。
2．理解并运用重心定理解决简单的问题复习回顾：1.相似三角形的性质；2.判定三角形相似的方法。
一、自主学习：已知：△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，(1)求证：△ADE ∽△ABC 。
(2) 猜想：DE 与BC 之间存在什么样的大小与位置关系。
并说明理由 大小关系： 位置关系：理由：定义： 叫做三角形的中位线。
则.三角形的中位线性质定理 。
中位线定理的应用：例1.求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
已知：在△ABC 中，AD ＝DB ，BE ＝EC ，AF ＝FC 。
求证： AE 、DF 互相平分。
证明：二、小组合作：2、如图：△ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CE相交于G 。
求证：31==AD GD CE GE 证明： 连结ED定义：叫三角形的重心结论：。
三、展示反馈：四、归纳整理：五、达标检测：1.三角形的周长为56cm，则它的中位线组成的三角形的周长是2已知点G是△ABC的重心，GP∥BC交边AC于点P，BC＝6 cm，则GP等于3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形ADEF是菱形。
4．已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．5.证明：顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形。
拓展提升：课本80页4. 79页1教学反思：（第4题）。
三角形重心知识点总结
三角形重心知识点总结三角形是初中数学中重点学习的内容之一，其中三角形的重心也是一个非常重要的概念。
在这篇文章中，我们将对三角形重心的相关知识进行总结。
一、什么是三角形重心三角形是由三条边和三个角组成的图形，它是几何学中最基本的概念之一。
而三角形的重心则是三角形内部的一个点，它被三条中线所交叉的点。
三角形的中线分别是连接每个角的对边中点的线段，它们交于三角形的一个点，这个点就是三角形的重心。
重心通常用字母G 表示。
二、三角形重心的特点1. 重心是三条中线交点三角形的重心是三条中线的交点，即三个中点所构成的点。
2. 重心到顶点的距离比相等三角形三个顶点到重心所连的线段长度相等。
也就是说，重心到每个顶点的距离是相等的。
3. 重心所在直线是中位线连接重心和中点的线段就是三角形的中位线。
4. 重心将中线按比例分割以重心为顶点的三角形，与原三角形的各个边成比例。
三、三角形重心的性质1. 重心位于三角形重心所在直线上三角形三条中线的交点即为三角形的重心。
这个交点所在的直线被称为三角形重心所在直线。
2. 重心到三角形各顶点距离之和最小重心到三角形各顶点的距离之和最小，且一定小于任何一个三角形内部的点到三角形各顶点距离之和。
3. 重心分离定理在三角形内，以重心为圆心、以重心到任一顶点长度为半径所画的圆，与三角形外接圆相内切。
4. 重心定理重心所在直线把三角形面积分为 $2:1$。
5. 等腰三角形的重心落在中线交点处在等腰三角形中，重心与垂足重合，也就是重心位于中线交点处。
四、三角形重心相关例题1. 如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接AF交DE于K，连接BE交CD于L，连接AC交DE 于M，求KLM三角形的重心。
解：首先我们需要确定三角形ABC的重心G，它是三条中线的交点。
然后根据重心的性质，我们可以得知重心到三角形各顶点的距离一定相等。
因此，在三角形ABC中，AG=BG=CG。
我们知道，三角形的中线将对边分成两段相等的部分，因此AE=EC，BE=BD，CF=FA。
三角形的中位线与高线
三角形的中位线与高线三角形是几何学中的基本图形之一，其具有丰富的性质和特点。
其中，中位线和高线是三角形中常用的概念和工具。
本文将介绍三角形的中位线和高线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、中位线的定义和性质中位线是指一个三角形的顶点与对边中点所连线段，一个三角形有三条中位线，分别连接三个顶点和对边中点。
下面我们来看一下中位线的性质。
性质1：三角形的三条中位线交于一点，该点被称为三角形的重心。
性质2：三角形的重心到顶点的距离是中位线长度的两倍。
性质3：三角形的重心将中位线分成两部分，其中一部分长度是另一部分长度的两倍。
通过以上性质，我们可以得出结论：三角形的重心是中位线的共同交点，且重心将中位线按照1:2的比例分割。
二、高线的定义和性质高线是指从三角形的顶点向对边所作的垂线，一个三角形有三条高线。
下面我们来看一下高线的性质。
性质1：三角形的三条高线都交于一点，该点被称为三角形的垂心。
性质2：三角形的垂心到三边的距离分别等于三条高线的长度。
性质3：垂心将高线分成两部分，其中一部分长度是另一部分长度的两倍。
通过以上性质，我们可以得出结论：三角形的垂心是高线的共同交点，且垂心将高线按照1:2的比例分割。
三、中位线和高线的应用中位线和高线在几何学中的应用非常广泛，它们可以用于求解三角形的面积、判断三角形的性质以及推导其他几何定理等。
应用1：求解三角形的面积。
根据中位线定理，三角形的面积可以通过中位线的长度和对边长度来计算，公式为：面积 = 1/2 * 中位线长度 * 对边长度。
应用2：判断三角形的性质。
通过研究中位线和高线的长度关系，我们可以判断三角形的形状（等边三角形、等腰三角形等）以及大小关系（大小关系判断方法请自行查询）。
应用3：推导其他几何定理。
中位线和高线在推导其他几何定理时也是非常有用的工具，例如中位线定理、垂心定理等。
综上所述，三角形的中位线和高线是三角形中常用的概念和工具，它们有着丰富的性质和应用。
三角形的中位线与重心性质解析
三角形的中位线与重心性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和特点。
其中，中位线和重心是三角形中常用来研究和解析的重要概念。
本文将从理论和几何推导的角度，对三角形的中位线和重心的性质进行分析。
1. 中位线的概念和性质中位线是连结三角形的一个顶点与对边中点的线段。
对于三角形ABC，其三个顶点分别为A、B、C，而对边中点分别为D、E、F。
则三角形ABC的中位线分别为AD、BE、CF。
下面分别探讨中位线的性质。
（1）中位线和边的关系三角形的中位线把三角形分割成三个面积相等的小三角形，即△ADB、△BEC和△CFA面积相等。
这是因为中位线上的点把对边等分。
（2）中位线所在的点三角形的中位线的三个交点（D、E、F）称为三角形的重心。
重心是三角形内部的一个点，具有重要的性质。
接下来我们将更详细地探讨重心的性质。
2. 重心的概念和性质重心是三角形内部的一个点，它位于三角形的中位线的交点处。
重心具有以下几个性质。
（1）三角形的每条中线都通过重心中线是从三角形的一个顶点到对边中点的线段。
对于三角形ABC，重心为G，则AG、BG、CG都经过点G。
这是因为重心是中位线的交点。
（2）重心将三角形分成六个小三角形以三角形的重心为圆心，以重心到三个顶点的距离为半径，可以画出三个同心圆。
这三个同心圆分割成的区域，正好是由三个小三角形和三个中位线所形成的。
（3）重心到顶点的距离比重心到中点的距离大对于边长为a、b、c的三角形ABC，重心到三个顶点的距离分别为d₁、d₂、d₃。
而重心到三个对边中点的距离分别为D₁、D₂、D₃。
我们可以得到以下关系式：d₁ + d₂ + d₃ > D₁ + D₂ + D₃。
3. 重心与三角形内部点的关系除了上述基本性质外，重心还与三角形内部一些点的位置关系有着密切联系。
（1）三角形内一点到三个顶点的距离之和最小的点就是重心对于三角形ABC内的任意一点P，到三个顶点的距离分别为PA、PB、PC。
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B 课题：三角形重心的性质及应用（
教学目的：1、了解三角形重心的概念，掌握重心的性质并能加以应用。
2、了解并握“同一法”证明思路。
教学重、难点：三角形重心的性质及其应用。
教学过程：
思考一：已知，如图，BE 、CF 是△ABC 的中线，并相交于G ，
求证：GB GE =GC GF =2
1
B
C
思考二：假如AD 是△ABC 的
BC 边上的中线，那么G 点是否在AD 上？
D
B C
归纳结论：1、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
2、重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
学生练习：
1、已知，△ABC 中，∠C=900，G 是三角形的重心，，AB=8， 求：① GC 的长；
② 过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于M ，BC 于N ， 求MN 的长。
2、已知，△ABC 中，G 是三角形的重心，AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，求BG 的长。
B
C
教学小结：由学生归纳总结
作业：。