平行线的判定1
人教版初一数学下册5.2.2平行线的判定1
io雌翱議的畀定»|锻时的拜庄方注探究新知 活动1知识准备如图5—2—3,直线也吩别交直线血C 歼点G, H,则图中的 同位角有丄对，内错角有/_对，同旁内角有丄对.图5—2—3F活动2教材导学1-如图厂2_4,平行线的画法：一放,二靠，三推，四画.(1)观察画图过程，三角板起到了什么作用？(2)要判断直线平行，你有办法了吗？图5—2_4［答案］⑴三角板起到了截线的作用.⑵略.2- “在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行” 是否可以看做平行线判定方法的特殊情形？如图5—2 — 5,已知ABJCD, AB_LEF,弼么 CD//E码2CA一□ ［答案］是CD/7EFD新知梳理知识点平行线的判定方法1:两条直线被第三条直线所截，如果同位角那么相等，这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.探究问题一两直线平行的判定方法例1如图5—2—6.⑴因为Z1 = ZJ（已知）,所以BC II AD图5—2—（同位角相等，两直线平行）;6⑵因为Z3 = Z4（已知），所以AB // CD错角相等，两直线平行）;⑶因为Z2 = Z5（已知）,所以血〃BC（内错角相等，两直线平行）;（4）因为ZADC+ZC=180Q（已知），所以血〃BC（同旁內角互补，两直线平行）.［解析］⑴要找到Z1和是由直线风和直线如被直线也所截得的同位角，然后根据同位角相等，确定从和血平行.⑵要找到Z 3和Z4是直线溯I被直线別所截得的内错角•⑶要分清Z2和Z5是直线确皿被直线血所截得的内错角•⑷要知道Z如DZ堤直线也皿被直线術截得的同旁内［归纳总结］同位角相等一一两直线平行内错角相等一一两直线平行同旁内角互补一一两直线平行由角相等或互补关系，判断两直线平行，关键是找出两个角是哪两条直线被哪一条直线所截而成的角.探究问题二两直线平行的推理Zl = 15° , Z2 例2如图5—2 — 7,已知川7丄/£ BDIBF,= 15° ,血与朋平行吗？为什么？G［解析］要判断胚与M是否平行，也就是要找同位角相等或内错角相等或同旁内角互补.由题意有ZEAC=ZFBD=90° ,Z1 = Z2 = 15°,可得ZEAB=ZF氏=90° +15° =105° . 解：平行.理由：因为力GL丛加丄莎（已知），所以ZEAC=ZFBD=90°（垂直的定义）. 因为Z1 = Z2（已知），所以ZEAC+ X1 =乙FBD+ Z2 （等式性质）, 即乙 EAB= ZFEB,所以M〃莎（同位角相等，两直线平行）.例3如图5—2—8所示，直线溯6Z＜直线必所截，励平分ZBEF,朋平分乙旳:当Z1与Z2满足什么条件时，AB//CD?/N图5—2—8解：当Z1与Z2互余时，AB/ZCD. 理由：TEG平分ZBEF, FH 平分ZDFE, A ZBEF=2Z1, ZDFE=2Z2.VZ1 + Z2=9O° ,A ZBEF+ZDFE=2(Z1 + Z2) = 2X90° =180° ,所以AB〃CD侗旁内角互补，两直线平行）.［归纳总结］要判断两直线平行，也就是找同位角相等或内错角相等或同旁内角互补.判定两条直线是否平行，方法较多，要灵活运用，不能拘泥于某一种判定方法；另外还要注意同旁内角互补，而不是相• ••••• • • • 等，才可判定两直线平行.。
平行线的判定 (1)
同位角相等，两直线平行.
练一练: 如果 ∠ ∠2 1= 3 =∠ ∠5 2 , 能判定哪两条直线平行? 4 E G 3 4 5 B D
A 1 C
2
F
H
EF AB EF ∥ ∥ ∥ GH GH CD
练一练:
教材：P91~P92 “练习”：T1、 T2
大家来探索!
如图： 如果∠1=∠３， 那么a与b平行吗？ a 平行线的判定定理(2): 两条直线被第三条直 b 线所截，如果内错角相等, 那么这两直线平行.
判定两条直线平行的方法
文字叙述 符号语言 图形
两直线平行 ∴a∥b ( ) 1 a 内错角相等 ∵∠3=∠2 (已知) 3 4 2 两直线平行 ∴a∥b ( ) b 同旁内角互补 ∵ ∠2+∠4=180°. (已知) 两直线平行 ∴ a∥ b ( )
同位角相等 ∵∠1=∠2 (已知) c
平行线的识别
④ ∵ ∠4 +_____ ∠3 =180 （已知）
∴ CE∥AB
同旁内角互补,两直线平行
拓展提升 高效P60页T13.
作业布置
课本P95T4/T5/T7.高效 P59-60.
同旁内角互补，两直线平行。
∠3 +∠ 2 =180 （已知） ∵ ____ ____
o
a ∥___ b （同旁内角互补，两直线平行） ∴ ___
两条直线平行的条件
同位角相等，两直线平行。 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。
平行线的判定：
由“角”看
练一练:
1、如图,不能判定
l1 // l2 的是
电子屏幕上显示的数字“9” 的形状如图，根据图形填空: E (1) 1 2 ( 已知 )
平行线的判定(第1课时)课件
【教学难点】
运用平行线的判定方法进行简单的推理.
复习回顾
在前面的章节中我们学习过以下知识：
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补.
情景导入
平行、相交
在同一平面内，两条直线的位置关系是_____________.
没有公共点的
在同一平面内，_____________两条直线的是平行线.
请你在下面的括号中填上理由：
因为 a∥b，b∥c，
所以∠1 ＝∠2， ∠2 ＝∠3，
因此∠1 ＝∠3．
从而 a∥c（ 同位角相等，两直线平行.
）．
A，B，C. 如
巩固练习
1. 从∠5 =∠ ABC ，可以推出 AB∥CD，
理由是 同位角相等，两直线平行 .
A
4
1
B
D
3
5
2
C
巩固练习
2. 如图，已知∠1=∠2, AB∥CD 吗？为什么？
行吗？为什么？
D
A
C
B
E
解析：根据 AB∥DC 及∠D＝125°，可求出∠A 的度数，从而说明
∠A＝∠CBE. 再根据“同位角相等，两直线平行”可得 AD∥BC.
典例精析
解：AD∥BC.
理由如下：因为 AB∥DC (已知)，
所以∠A＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
因为∠D＝125°(已知)，
因为AE是∠DAC的平分线，
所以∠DAC＝2∠1，
所以∠B＝∠1，
所以 AE∥BC.
课堂小结
由同位角的关系判定两直线平行的三个步骤：
1. 判断两个同位角是否相等；
平行线与垂直线的判定
平行线与垂直线的判定在几何学中，平行线和垂直线是基本的概念。
它们在解决几何问题时具有重要的作用。
在本文中，我们将探讨如何判断两条线是否平行或垂直，并介绍几种常用的方法。
一、平行线的判定1. 通过斜率判断我们知道，直线的斜率是通过直线上两个点的纵坐标差除以横坐标差得到的。
如果两条直线的斜率相等，那么它们就是平行线。
设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，如果k1=k2，则l1和l2为平行线。
2. 通过角度判断另一种判定平行线的方法是通过角度判断。
如果两条直线的倾斜角度相等，那么它们就是平行线。
可以通过绘制两条直线并测量它们的角度来判断是否平行。
3. 通过向量判断平行线还可以通过向量判断。
如果两条直线的方向向量平行，则它们是平行线。
设直线l1的方向向量为v1，直线l2的方向向量为v2，如果v1与v2平行，则l1和l2为平行线。
二、垂直线的判定1. 通过斜率判断垂直线的一个特点是，两条直线的斜率的乘积等于-1。
设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，如果k1*k2=-1，则l1和l2为垂直线。
2. 通过角度判断另一种判定垂直线的方法是，如果两条直线的倾斜角度之和等于90度或π/2弧度，那么它们是垂直线。
可以通过绘制两条直线并测量它们的角度来判断是否垂直。
3. 通过向量判断垂直线也可以通过向量判断。
如果两条直线的方向向量垂直，则它们是垂直线。
设直线l1的方向向量为v1，直线l2的方向向量为v2，如果v1与v2垂直，则l1和l2为垂直线。
总结判定平行线和垂直线的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法。
通过斜率、角度或向量判断都是常用的方法，而且它们互相印证，可以增加结果的准确性。
在几何学问题中，正确判断平行线和垂直线的关系对于解题至关重要，希望本文的讨论能为读者提供一些帮助。
注意：以上所介绍的方法仅适用于直线。
对于曲线或其他特殊情况，判定平行线和垂直线的方法可能略有不同。
在实际问题中，应根据实际情况选择合适的方法进行判断。
3.4平行线的判定定理 (1)
平行线 的判定 c
1 2
c
2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
随堂练习P86
☞
昆虫与 数学
蜂房的底部由三个全等的四边形围成,每个四边形的形状 如图所示,其中∠α=109°28′,∠β=70°32′. 试确定这三个四边形的形状,并说明你的理由. 这三个四边形是平行四边形.这是 因为“同旁内角互补,两直线平 行”. 实际上,每个四边形都是菱形.
八年级数学（上）第三章 证明(一)
3.4平行线的判定定理
联系与区别 ☞
言必有“据”
公理 两条直线被第三条直线所截,如果 同位角相等,那么这两条直线平行. 这一公理可以简单说成:同位角相等,两 直线平行. 利用这个公理,我们来证明下面的定理. 定理 两条直线被第三条直线所截,如果 同旁内角互补,那么这两条直线平行. 这个定理可以简单说成:同旁内角互补, 两直线平行. 同学们请欣赏例题给出的证明思路及步 骤:
例题欣赏P84
☞
已知:如图,∠1和∠2是直 线a,b被直线c截出的同旁内 a 1 角,且∠1与∠2互补. 2 求证:a∥b. b 3 证明:∵ ∠1与∠2互补 (已知), 说说你所悟 ∴∠1+∠2=1800(互补的定义). 到的证明一 0 -∠2(等式的性质). ∴∠1= 180 个真命题的 又∵∠3+∠2=1800 (平角的定义), 方法,步骤, ∴∠3= 1800 -∠2(等式的性质). 书写格式以 ∴∠1=∠3(等量代换). ∴ a∥b(同位角相等,两直线平行). 及注意事项. 已给的公理,定义和已经证明的定理以后都可以作为 依据,用来证明新的定理.
独立 作业
知识的升华
习题3.5 1,2题祝你来自功！下课了!结束寄语
新浙教版1.3平行线的判定1
l3
P 2
l2
1
l1
平行线的判定方法：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等, 那么这两条直线平行．
即：同位角相等，两直线平行
几何语言： ∵∠１＝ ∠２
∴a∥b （同位角相等，两直线平行）
２
１
a
b c
如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b、c转 动木条a , 猜一猜∠1， ∠2满足什么条件时直线a与b 平行. 当∠1＝∠2时
E B A
1 2
D F C
如图，哪些直线平行，哪些直线不平行? 请说明理由.
l4
50° 120° 60°
l3 l2
l1
已知直线AB，CD被EF所截,如图， B ∠1＝45°,∠2＝135°,试 判断AB与CD是否平行.并说明理由.
E
D
2 3
41ຫໍສະໝຸດ F CA判定两直线平 行的关键步骤 是什么呢?
已知直线 AB、CD被EF所截 B (如图) , 1 2 180 判断 AB与CD是否平行,并说 明理由. E
D
2 3 1
F C A
已知直线 AB、CD被EF所截 B (如图) , ∠1＝ ∠4 4 判断 AB与CD是否平行,并说 E 明理由.
D
2 1
F
3
C A
已知直线 AB、CD被EF所截 (如图) , AB⊥EF CD⊥EF 判断 AB与CD是否平行,并说 明理由.
若 ∵ AB⊥EF，CD⊥EF 则 ∴ AB∥ CD
a∥ b
如图所示，要说明AB∥CD,需找哪两个角相等?
l1
C A 5
2
6
1
平行线的判定一
（三）练习
1.请你说明图中用直尺和平移三角尺画出的 两条直线a和b平行的理由。
a
b
根据平行线的判定公理
2.已知：如图，a⊥c,b⊥c。 求证：a∥b。 请你根据括号中推证的根据，在横线处填上推证 的过程。
a 1 b 2 c
a 1
b
2
c
∵a⊥c（已知） ∴∠1=90°（垂直的定义）。 ∵b⊥c（已知） ∠2=90°垂直的定义)。 ∴________( ∠1=∠2 （等量代换）。 ∴________
平行线的判定定理一 两条直线被第三条 直线所截，如果内错角相等，那么两直线 平行（简记为：内错角相等，两直线平行）
（二）做一做 已知：如下图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1 和∠2是同旁内角，并且∠1＋∠2＝180°。 求证：AB∥CD。
E
A C
F12Fra bibliotekBD
E
A
C F
3 2 1
B D
证明：∵∠1+∠2＝180° 已知 ( )，
大营镇中学
（一）一起探究 已知：如下图；直线AB，CD被直线EF所截，∠1 和∠2是内错角，并且∠l＝∠2． 求证：AB∥CD．
E A
1 2
B
C F
D
E
A
C F
1 2
3
B
D
证明：∵∠1＝∠2(已知)， ∠1＝∠3(对顶角相等)， ∴∠2=∠3(等量代换)。
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)。
a∥b （同位角相等，两直线平行）。 ∴______
谢谢
∠2＋∠3＝180° 平角的定义 ( )， 等式的性质 )， ∴∠1＝180°－∠2 ( ∠3=180°－∠2 (等式的性质 )。 ∴∠l＝∠3 ( 等量代换 )。 ∴AB∥CD ( 内错角相等，两直线平行 )。
初中数学平行线的性质及判定知识点
初中数学平行线的性质及判定知识点学校数学平行线的性质及判定学问点1平行线的性质及判定平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
通过上面对数学中平行线的性质及判定学问点的内容讲解学习，信任同学们已经能很好的把握了吧，盼望同学们会从中学习的更好。
学校数学平行线的性质及判定学问点2相交线1、两条直线相交，有且只有一个交点。
(反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。
)两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念：邻补角：两角共一边，另一边互为反向延长线。
邻补角互补。
要留意区分互为邻补角与互为补角的异同。
对顶角：两角共顶点，一角两边分别为另一角两边的反向延长线。
对顶角相等。
注：①、同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等;等角的对顶角相等。
反过来亦成立。
②、表述邻补角、对顶角时，要留意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。
例如：推断对错：由于∠ABC +∠DBC = 180°，所以∠DBC是邻补角。
( )相等的两个角互为对顶角。
( )2、垂直是两直线相交的特别状况。
留意：两直线垂直，是相互垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a 。
垂足：两条相互垂直的直线的交点叫垂足。
垂直时，肯定要用直角符号表示出来。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
(注：这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外)3、点到直线的距离。
垂线段：过线外一点，作已知线的垂线，这点到垂足之间的线段叫垂线段。
垂线与垂线段：垂线是一条直线，而垂线段是一条线段，是垂线的一部分。
垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短。
(或说直角三角形中，斜边大于直角边。
)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫这点到直线的距离。
数学七年级下学期第2讲 平行线的判定(1)
第2讲平行线的判定（核心考点讲与练）一、平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.考点一：平行公理及推论【例题1】（2019春•余姚市期末）已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是（）A．如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c B．如果b∥a，c∥a，那么b∥c C．如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c D．如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c【变式训练1】（2018春•杭州期中）下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与c的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是．【变式训练2】（2020春•椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？考点二：平行线的判定【例题2】（2021秋•平阳县期中）如图，下列条件中①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°，能判断AD∥BC的是（）A．①③④B．①②④C．①③D．①②③④【变式训练1】（2021秋•余姚市期中）木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM ＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（）A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°【变式训练2】（2021春•拱墅区期末）如图，已知∠F+∠FGD＝90°（其中∠F＞∠FGD），添加一个以下条件：①∠F+∠FEA＝180°；②∠F+∠FGC＝180°；③∠FEB+2∠FGD＝90°；④∠FGC﹣∠F＝90°．能证明AB ∥CD的是（）A．①B．②C．③D．④【变式训练3】（2021春•萧山区期末）如图，下列条件中能判断AD∥BC的是（）①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°．A．①③④B．①②④C．①③D．①②③④【变式训练4】（2021春•怀安县期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°【变式训练5】（2021•下城区一模）如图，直角三角形ABC的顶点A在直线m上，分别度量：①∠1，∠2，∠C；②∠2，∠3，∠B；③∠3，∠4，∠C；④∠1，∠2，∠3．可判断直线m与直线n是否平行的是（）A．①B．②C．③D．④【例题3】（2021春•椒江区期末）如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转度．【变式训练1】（2021春•鄞州区期中）如图，下列条件中：①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠BCD，能判定AD∥BC的是．【变式训练2】（2020秋•婺城区校级期末）如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有．（填序号）【变式训练3】（2021春•奉化区校级期末）如图，点E在AD的延长线上，下列四个条件：①∠1＝∠2；②∠C+∠ABC＝180°；③∠C＝∠CDE；④∠3＝∠4，能判断AB∥CD的是（填序号）．【变式训练4】（2021•柳南区校级模拟）如图把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则当∠2＝度时，a∥b．【例题4】（2021春•槐荫区期末）点B，E分别在AC，DF上，BD，CE分别交AF于点G，H，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．求证：AC∥DF．【变式训练1】（2021春•乾安县期末）已知：如图，直线l分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂直于l，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．【变式训练2】（2020春•岱岳区期末）将一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）求∠EFC的度数．【变式训练3】（2020春•麻城市校级月考）根据要求完成下面的填空：如图，直线AB，CD被EF所截，若已知∠1＝∠2，说明AB∥CD的理由．解：根据得∠2＝∠3又因为∠1＝∠2，所以∠＝∠，根据得：∥．【变式训练4】（2020秋•温州月考）已知：如图，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD．求证：CE∥AB．【变式训练5】（2019春•秀洲区期中）如图，如果∠1+∠3＝180°，那么AB与CD平行吗，请说明理由．类型一、平行公理及推论【例题5】在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行线的性质与判定
平行线的性质与判定平行线是几何学中重要的概念之一，在实际生活和数学推理中都有广泛应用。
理解平行线的性质和判定方法对于几何学的学习和问题解决都具有重要意义。
本文将介绍平行线的性质以及常用的判定方法，帮助读者深入了解这一概念。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上从未相交的两条直线。
根据平行线的性质，我们可以得出以下几点规律：1. 平行线的斜率相等斜率是直线的一个重要特征，决定了直线的倾斜程度。
对于两条平行线来说，它们的斜率是相等的。
这也是判定两条直线平行的常用方法之一，即根据它们的斜率进行比较。
2. 平行线的内角和相等当一条直线与两条平行线相交时，由这两条平行线与交线所夹的内角和是相等的。
这个性质被广泛应用于三角形的内角和问题以及平行四边形的性质推导中。
3. 平行线的对应角相等当两条平行线被一条直线截断时，所形成的对应角是相等的。
这一性质常用于解决平行线与交叉线的问题，例如用于证明两个三角形相似的场景中。
二、平行线的判定方法在几何学中，我们经常需要根据给定条件判断两条直线是否平行。
以下是常用的平行线判定方法：1. 直线斜率判定法通过计算两条直线的斜率，如果它们的斜率相等，那么这两条直线是平行的。
这是一种简便快捷的判定方法。
例如，对于直线y = 2x + 3和直线y = 2x + 6来说，它们的斜率都为2，因此这两条直线是平行的。
2. 等夹法如果两条直线与一条直线相交，并且形成对应角相等，那么这两条直线是平行的。
这需要通过观察和证明来得到结论，常用于解决平行四边形和三角形的性质问题。
3. 平行线定理平行线定理是一种基于三角形内角和的判定方法。
当一条直线与两条平行线相交时，这两条平行线所夹的内角分别与另外两条直线的对应角相等。
三、应用举例平行线的性质和判定方法在几何学问题中有着广泛应用。
以下是一些例子，展示了平行线在实际场景中的使用：1. 城市规划在城市规划中，经常需要将街道设置为平行线。
通过确保街道之间的直线保持平行关系，可以提高交通的效率和规划的美观性。
平行线的相关公理和判定定理
平行线的相关公理和判定定理
平行线的相关公理和判定定理
平行线
1、在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。
同一平面内的两条直线的位置关系只有相交与平行两种。
2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两直线互相平行
平行线的判定：
⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等两直线平行;
⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：内错角相等两直线平行; ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简单说成：同旁内角互补两直线平行。
3、在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_平行。
1)、平行线的性质：
⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行同位角相等。
⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行。
内错角相等⑶两条平行直线被第三条直线所。
平行线的判定定理和公理
平行线的判定定理和公理
平行线的判定定理和公理是几何学中重要的基础概念之一。
平行线是指在同一平面内不相交的直线，判定两条直线是否平行需要根据几何学的一些定理和公理来进行推导。
平行线的判定定理包括以下几种：
1. 同位角定理：若两条直线被一条横截线切割，在同侧的内角互相补角，则这两条直线平行。
2. 垂直定理：若一条直线与另外两条直线垂直，则这两条直线平行。
3. 平行线夹角定理：若两条平行线被一条横截线切割，则对应角相等、同旁内角互相补角、同旁外角互相等。
平行线的公理是欧几里得几何学中的五大公理之一，也称为平行公理。
它指出，在同一平面内，经过一点外一直线上的一条直线，如果与这条直线上的某一点的连线在这一点的同侧不与这条直线相交，那么这条直线与这条直线平行。
平行线的判定定理和公理是几何学中非常基础的概念，对于几何学的推导和应用有着重要的作用。
- 1 -。
平行线的判定、性质公理及定理
你有几种方法。
1.如图 6-21,已知Z B =142平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
考点一平行线的判定：1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 2. 两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.3. 两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角 例1.如下图，当/1= /时，直线a 、b 平行吗？当/ 2+ / 3=180 °时，直线a b 平行吗？为什么?例2 •请将下面的空补充完整1. ___________________________ 如右图，若/ 1= / 2，则 ____________________________________ // _______若/ 3= Z 4,则 _______________ // ___________ ( 若/ 5= /B ,贝U __________ / _____________ ( 若 / D + Z DAB =180 ° , 贝U __( )2.如右图，Z 1+ Z 2=180。
(已知)Z 3+ Z 2=180 °()/•Z 1= _________••• AB // CD ()课堂练习：,启FE =38 ° , ZEFD =40 ° , ZD=1402.已知，如下图(1), (2),直线AB // ED . 求证：ZABC +Z CDE =Z BCD .求证：AB // C D .3.如图，如果AB// CD,求角(1) ( 2)4.如图，已知CD是/ ACB的平分线，/求：/ EDC和 / BDC的度数。
ACB = 50 / B = 7C°, DE // BC,达标训练：一•选择题1 .下列命题中，不正确的是(A .两条直线被第三条直线所截，B .两条直线被第三条直线所截，C.两条直线被第三条直线所截，)如果同位角相等，那么这两条直线平行如果同旁内角互补，那么这两条直线平行那么这两条直线平行D .如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2. 如右图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：(1) Z 1= Z 2,其中能判定a//A. (1)(3)3. 如右图，如果ZA . AD // BC C.Z 3= Z4(2) / 3= / 6, (3) / 4+ / 7=180b的条件是()B.⑵⑷C. (1)(3)(4) D .1= / 2，那么下面结论正确的是(B. AB / CDD. Z A=Z C(,(4) Z 5+ Z(1)⑵⑶⑷))8=1804 .一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来) 的方向相同，这两次拐弯的角度可能是(A.第一次向右拐40 °，第二次向左拐40 °B.第- 次向右拐50 °，第二次向左拐130C.第- 次向右拐50 °，第二次向右拐130D.第一次向左拐50 °，第二次向左拐130填空题o o o求证.AB / CD .5.如右图，/ 1= / 2= / 3，则直线、12、l a 的关系是 ______________6•如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3 : 2，差为36。
平行线与垂直线的判定条件
平行线与垂直线的判定条件直线是几何学中最基本的概念之一，而平行线和垂直线又是直线中的两个重要特殊情况。
判定两条直线是否平行或垂直是解决几何问题时的关键步骤之一。
本文将介绍平行线与垂直线的判定条件，并对其进行详细解析。
一、平行线的判定条件在平面几何中，判定两条直线是否平行的条件有多种，常见的有以下几种：1. 相交角定理判定法当两条直线被一条截线所分成四个角时，如果其中一个角等于另一个角的余角（即两个角之和为180度），则这两条直线是平行的。
这是最常见、也是最直观的平行线判定方法。
2. 遥相平行判定法如果两条直线被平面内的一组平行线所截断，并且这些截线所得的对应线段成比例关系，那么这两条直线就是平行的。
这个方法基于线段成比例的性质，通过观察线段之间的关系来判断直线的平行性。
3. 平行线间的距离判定法两条直线平行的条件之一是它们上的任意两点连线所得线段之间的距离相等。
如果两条直线上的所有线段间的距离都相等，那么这两条直线就是平行的。
这是一种利用距离性质进行判断的方法。
二、垂直线的判定条件垂直线的判定条件相对简单，只有一条：两条直线互相垂直的条件是它们之间的任意两个相邻角的和为90度。
如果两条直线上的相邻角之和为90度，则这两条直线是垂直的。
这一条件可通过测量角度来判断。
需要注意的是，垂直线和平行线是两种不同的关系，两条直线要么平行，要么垂直，不能同时平行又垂直于彼此。
结论通过相交角定理判定法、遥相平行判定法和平行线间的距离判定法可以判断两条直线是否平行。
而垂直线的判定条件是两条直线之间的相邻角的和为90度。
这些判定条件在解决几何问题时起到重要的作用，帮助确定直线之间的关系。
以上就是平行线与垂直线的判定条件的详细介绍。
了解并掌握这些判定条件对于解决几何问题，特别是涉及到直线关系的问题至关重要。
通过运用这些条件，我们可以轻松地确定直线之间的平行或垂直关系，为解决几何问题提供有力的支持。
平行线及判定 知识点
平行线及判定知识点平行线是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。
在几何学中，判定两条直线是否平行有多种方法，包括几何判定和代数判定。
一、几何判定1. 定义法：若两条直线在同一个平面内，且没有交点，则它们是平行线。
2. 同一斜率法：若两条直线的斜率相同，且不为无穷大，则它们是平行线。
对于一般的直线方程y = kx + b，k为斜率。
3. 平行线特性法：若两条直线分别与第三条直线相交，并且相交线与第三条直线成同样的角度，那么这两条直线是平行线。
二、代数判定在代数方法中，使用直线的方程来判定两条直线是否平行。
1. 斜率法：若两条直线的斜率分别为k1和k2，且k1 ≠ k2，则这两条直线平行。
斜率的计算方法为k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
注意需要确保分母不为零。
2. 一次项系数法：对于一般的直线方程Ax + By + C = 0，若两条直线的一次项系数比例相同，则是平行线。
例如，若两条直线方程分别为2x + 3y - 4 = 0和4x + 6y - 8 = 0，则它们平行。
3. 总体系数法：对于一般的直线方程Ax + By + C = 0，若两条直线的系数比例相同，则是平行线。
例如，若两条直线方程分别为2x + 3y - 4 = 0和4x + 6y - 8 = 0，则它们平行。
需要注意的是，以上方法仅在直线处于平面中时成立，且约定斜率法的直线斜率不为无穷大。
参考内容：1. 《高中数学几何一》2. 《数学分析》3. 《数学辞典》4. 《解析几何学教程》5. 《初中数学辞海》6. 《高数全书》7. 《平行线的判定》- 百度百科8. 《数学知识技巧速查手册》。
平行线的判定及性质课件
05
总结与展望
总结
01
02
03
04
05
直线平行的定义
直线平行的判定 方法
直线平行的性质
平行线在实际生 活中的应用
平行线在数学中 的地位
在同一平面内，不相交的 两条直线叫做平行线。
同位角相等，两直线平行 ；内错角相等，两直线平 行；同旁内角互补，两直 线平行。
两直线平行，同位角相等 ；两直线平行，内错角相 等；两直线平行，同旁内 角互补。
在几何图形中，平行线具 有非常重要的应用价值， 如矩形、菱形、正方形等 都有平行线的性质。
平行线是数学几何学中的 重要概念之一，是研究平 面图形性质的基础之一。 掌握平行线的判定方法和 性质对于学习数学几何学 非常重要。
展望
进一步探索平行线的性质
加强实际应用
除了已经学习的平行线的基本性质外，还 有许多复杂的性质和定理，值得进一步探 索和学习。
详细描述
在制造业中，机器人使用平行线来定位和移动物体，进行高效和精确的生产操作。例如 ，在汽车制造中，机器人通过使用平行线来定位和抓取车辆部件，以提高生产效率和质 量。在医疗领域，手术机器人使用平行线来精确控制手术器械，提高手术的准确性和安
全性。
04
平行线在数学问题中 的应用
代数中与平行线相关的知识点
在道路交通中，平行线是确保车辆安全行驶的重要标志。它们被用来划分车道、标识道路边缘以及引 导驾驶员在正确的车道上行驶。在高速公路上，平行线被用来表示应急车道和车道分隔线，帮助驾驶 员在紧急情况下做出正确的反应。
机器人在工作中的应用
总结词
机器人广泛应用于生产制造、医疗服务和军事等领域，平行线在机器人的工作中发挥着 重要作用。
平行线的判定方法
平行线的判定方法
平行线的判定方法如下：
1、在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
也可以简单的说成：同位角相等两直线平行。
2、在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
也可以简单的说成：内错角相等两直线平行。
3、在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
也可以简单的说成：同旁内角互补两直线平行。
4、在同一平面内，两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行线的传递性）。
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（3）如果∠1=75°，∠4=105°，
可以推出 a ∥ b 。 理由是 同旁内角互补,两直线平行 。
练一练
2.如图
1 B
A
2
3 4 5 C
D
(1)从∠1=∠4，可以推出 AB∥ CD ， 理由是 内错角相等，两直线平行 (2)从∠2=∠ 3 ，可以推出AD∥BC， 理由是 内错角相等，两直线平行 理由是 同旁内角互补,两直线平行 (4)从∠5=∠ABC ，可以推出AB∥CD， 。 (3)从∠ABC +∠ BCD =180，可以推出AB∥CD ， 。 。
∵ ∠1+∠2=180°（已知） ∴ a∥b（同旁内角互补，两直线平行）
平行线的判定示意图
判定
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
两直线平行
数量关系
位置关系
平行线的判定
例1
① ∵ ∠2 = ∠ 6（已知）
E A
2 3 6 7 1 4 5 8
B
∴ ___ AB∥___( CD 同位角相等,两直线平行 ) ② ∵ ∠3 = ∠5（已知）
解法2：
a
2
∵ b⊥a,c⊥a(已知)
∴∠1=∠2=90°(垂直定义)
∴b∥c(内错角相等，两直线平行)
答：垂直于同一条直线的两条直线平行.
解法3：
∵ b⊥a,c⊥a(已知)
b 1 2 c
a
∴∠1=∠2=90°(垂直定义)
∴ ∠1+∠2=180°
∴b∥c(同旁内角互补，两直线平行)
结论
如果两条直线都垂直于同一条直线， 那么这两条直线平行。
2
40°
0
G R E A T 。PROTRACTOR
方案2：
90
1
40°
0
0
180
2
90
G R E A T 。PROTRACTOR
G R E A T 。PROTRACTOR
40°
180
方案3：
0
180
2
90
G R E A T 。PROTRACTOR
G R E A T 。PROTRACTOR
90
180
简说为：垂直于同一条直线的两条直线平行.
b
1
c
2
a
推论书写
b a, c a(已知)
b // c(垂直于同一条直线的两直线平行)
试一试
有一块木板，身边只有直尺和量 角器，我们怎样才能知道它上下边缘是 否平行？
方案1：
90
180
90
1
40°
0
G R E A T 。PROTRACTOR
180
理由是 同位角相等,两直线平行
。
练一练
3.两条直线垂直于同一条直线，这两条直线 平行吗？为什么？
答：垂直于同一条直线的两条直线平行.
解法1： ∵b⊥a ，c ⊥a （已知）
b
1
c
2
a (垂直的定义) ∴∠1= ∠2 = 90°
∴ b∥ c
(同位角相等，两直线平行)
答：垂直于同一条直线的两条直线平行. b 1 c
∴∠1=∠2=45°
2
∵ ∠3=45°(已知)
∴∠ 1= 2=∠3
B
D
∴ AB∥CD(同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行)
练一练
1.如图
a c d
1 2 3
4
b
（1）从∠1=∠2，可以推出 a∥ b ， 理由是内错角相等，两直线平行 。 （2）从∠2=∠ 3 ，可以推出c∥d ， 理由是 同位角相等,两直线平行 。
o o
③ ∵ ∠1 +∠5 =180 （已知）
AB ∥_____( CE ∴ _____ 同旁内角互补,两直线平行 ) ∠3 =180 （已知） ④ ∵ ∠4 +_____ ∴ CE∥AB( 同旁内角互补,两直线平行 )
o
A
2 5 4 D
B
平行线的判定
例3
还有其它解法吗？
o o
如图，已知 ∠1=75 , ∠2 =105
两直线平行的判定(3):
E
A 4 7 B D
C F
两条直线被第三条直线所截， 如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简单地说:同旁内角互补，两直线平行.
两直线平行的判定(3):
同旁内角互补，两直线平行。
a 条件: 1、同旁内角. 2、 互补.
推论书写：
2
l
1
b
结论: 两条构成同旁内角的被截的直线平行.
回顾 & 思考 ☞
回顾与思考 图1, 2中的直线平行吗？你是怎么判断的？
在同一平面内 相交 平行
同一平面内，不相交 的两直线叫做平行线.
1
2
判定两条直线平行的方法有两种：
定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。
平行公理的推论（平行线的传递性）：
如果两条直线同平行于一条直线，那么两条 直线平行。
简单地说:
同位角相等 ，两直线平行.
两直线平行的判定(1):
两条直线被第三条直线所截，如果同位角 相等，那么两直线平行。 c 1 简单地说： a 同位角相等，两直线平行。 2 b 条件: 1、同位角. 2、 相等. 结论: 两条构成同位角的被截的直线平行.
推论书写：
∵ ∠1=∠2（已知） ∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）
下图中，如果∠4+∠7=180°， 能得出AB∥CD? A C
E
3
1 7
4
B
D
F ∵ ∠4+∠7=180 °（已知） ∠4+∠1=180°（邻补角的定义）
把你所悟到 的证明的方 法,步骤,书写 ∴ ∠7=∠1（同角的补角相等） 格式以及注 ∴ AB∥CD（内错角相等, 两直线平行） 意事项内化 为一种方法.
（ 两直线平行 ）
两直线平行的判定(2):
E A
1
B D
C F
7
两条直线被第三条直线所截， 如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简单地说:
内错角相等 ，两直线平行.
两直线平行的判定(2):
l
内错角相等，两直线平行。 a
条件: 1、 内错角. 2、 相等. 推论书写： b
2 1
结论: 两条构成内错角的被截的直线平行.
C
D
F
∴ ___ CD 内错角相等,两直线平行 ) AB∥___(
③∵ ∠4 +___ ∠5=180 （已知） ∴ ___ CD 同旁内角互补,两直线平行 ) AB∥___(
o
平行线的判定
例2
① ∵ ∠1 =_____ ∠2 （已知）
C
F 1 3
E
∴ AB∥CE( 内错角相等,两直线平行 )
② ∵ ∠1 +_____ ∠3 =180 （已知） ∴ CD∥BF( 同旁内角互补,两直线平行 )
2 105 (已知)
1 75 (已知) 1 5 180 （同旁内角互补, 两直线平行) AB // CD
还有其它解法吗？
已知∠3=45°，∠1与∠2互余，试说明 AB//CD ？ 解：由于∠1与∠2是对顶角， ∴∠1=∠2
A 3
45°
C 1
又∵∠1+∠2=90°(已知)
2 3 (等量代换)
（同位角相等, 两直线平行) AB // CD
平行线的判定
例3
如图，已知 ∠1=75 , ∠2 =105
E
o
o
问：AB与CD平行吗？为什么？
答：AB // CD，理由如下：
B 2 5 (对顶角相等)
A C
75o 1 3
5 4 D 5 105 (等量代换) 2 105o F
∵ ∠1=∠2（已知） ∴ a∥b（内错角相等，两直线平行）
ห้องสมุดไป่ตู้
E 下图中，如果∠4+∠7=180°， A 能得出AB∥CD? C F
3
1 7
4
B
D
∵ ∠4+∠7=180 °（已知） ∠4+∠3=180°（邻补角的定义） ∴ ∠7=∠3（同角的补角相等） ∴ AB∥CD（同位角相等, 两直线平行） 你还有其它的说理方法吗？
1
140° 40°
0
小结
判定两条直线是否平行的方法有：
1.同位角相等, 两直线平行. 2.内错角相等, 两直线平行. 3.同旁内角互补, 两直线平行. 4.如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行. 5.在同一平面内,如果两条直线都垂直于 同一条直线，那么这两条直线平行。
作业
1、课本P15页 第1、2、4、7 题 2、数学练习册P15-18页
思考：
两条直线被第三条直线所截， 同时得到同位角、内错角和同旁内 角，由同位角相等可以判定两直线 平行，那么，能否利用内错角和同 旁内角来判定两直线平行呢？
下图中，如果∠1=∠7，能得出AB∥CD吗? 写出你的推理过程
E 3
A
C F
1
7
∵∠1=∠7 ( 已知 ) （ 对顶角相等 ） ∠1=∠3 B D ∴ ∠7=∠3 （ 等量代换 ） 同位角相等 ∴ AB∥CD
E
问：AB与CD平行吗？为什么？
A C F
75o 1 3
答：AB // CD，理由如下： B 1 3 180 (邻补角的定义)
5 4 3 180 3 180 75 105 D 2 105o
1 75 (已知)
2 105 (已知)
同学们想一想：
除应用以上两种方法以外，是否还有其它方法呢？