解析函数零点的孤立性及其唯一性定理
复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结
第四章解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.（定理）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。
2.（定理）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的>0，存在正整数N()，当n>N且p为任何正整数时，注1：收敛级数通项必趋近于零；注2：收敛级数各项必有界；注3：级数省略有限个项不改变敛散性。
3.（定理）收敛4.（定理）（1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和；（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于。
5.一致收敛的定义：对任给的>0以及给定的，存在正整数N=N(,z)，当n>N 时，有式中6.不一致收敛的定义7.（定理柯西一致收敛准则）：级数收敛的充要条件是：任给>0，存在正整数N=N()，使当n>N时，对一切，均有8.（定理’不一致收敛准则）：9.（优级数准则）：如果有正数列，使对一切，有|)|≤，且正项级数收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。
10.优级数定义：称为的优级数。
11.（定理）级数各项在点集E上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数也在E上连续。
12.（定理积分求和符号可交换）级数的各项在曲线C上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C可逐项积分13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛14.（定理）在圆K：|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件：对任意正整数，只要<R，级数在闭圆上一致收敛。
15.（定理魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数f(z):则：（1）f(z)在D内解析；（2）（3）在D内内闭一致收敛于§2.幂级数1.（定理阿贝尔定理）：幂级数在某点(≠a)收敛它必在圆K：|z-a|<|-a|（以a为圆心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。
2.（推论）：幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心，圆周通过的圆周外发散。
《复变函数论》第四章
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
解析函数的主要性质综述
解析函数的主要性质综述作者：安辉燕来源：《科学导报》2017年第75期一、导引解析函数是一类具有某种特性的可微函数，它将我们所熟悉的数学分析中的一些内容推广到复数域上并研究其性质。
本文通过搜集材料，系统总结了解析函数的几个主要性质：解析函数的唯一性、零点的孤立性、零点的分布问题、解析函数在无穷远点的性质、解析变换的特征及解析函数、共轭解析函数和复调和函数之间的关系，并通过举例进行了深入、详细的分析。
二、预备知识1.定义如果函数在区域D内是可微的，则称为区域D内的解析函数。
复变函数中解析函数的充要条件有多种形式，最常见的有以下几种。
2.定理函数在区域D内解析的充要条件：A（1）二元函数在区域D内可微；（2）在D内满足方程。
B（3）在D内连续；（4）在D内满足方程。
C 在D内任意一点的邻域内可以展成的幂级数，也就是泰勒级数。
D C为D内任意一条周线，则。
三、解析函数的主要性质1.解析函数的唯一性定理（解析函数的唯一性）如果函数在区域D内解析，是D内彼此不同的点，并且点列的极限点，若有，则在D内必有。
根据定理我们可得到以下结论：推论1 如果函数在区域D内解析，且在区域内某点的邻域内有，则在D内必有。
推论2 如果函数在区域D内解析，且在区域D内某一曲线上有，则在内必有。
2.解析函数零点的孤立性定理如果在内的解析函数不恒为零，是的一个零点，则必存在的一个邻域使得在其中无其他零点。
（即：不恒为零的解析函数的零点具有孤立性）此性质是解析函数的特殊性质，实函数不具有此性质。
3. 解析函数零点的分布问题解析函数的零点的分布问题是复变函数论中的一个重要问题，一下就复多项式的零点可以全部分布在一个指定的区域内这个问题进行讨论。
定理1若复平面上多项式在虚轴上无零点，则它的零点全分布在右半平面上的充要条件为。
定理2若复平面上多项式在实轴上无零点，则它的零点全分布在上半平面的充要条件为。
四、解析变换的特性解析函数的特性是从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论。
4.3解析函数的零点孤立性
证明 反设|f(z)| 在区域 D内一点 z0 到最大 值，记|f(z0)| =M ,则必有0<M<∞，取邻域 K: |z-z0|<R 全含于 D ， 则 2 1 i f ( z0 ) f ( z 0 Re )d 2 2 2 0 1 1 i M | f ( z0 ) | | f ( z Re ) | d Md M 2 0 2 0 故在圆周 |z-z0|=R 上，|f(z)| =M.
m
( m 1)
(a) f (a) ( z a) [ ( z a) ] m! (m 1)! m ( z a) ( z)
(a )
f
(m )
f
(m)
( m 1)
(a ) 0 m!
例
解
题
z z f (z) z (z ) 3! 2 5!
解：令 sinz=0, 得
eiz- e-iz = 2i
所以
(eiz- i)2 = 0
即 eiz = i π 故 z = 2 +2kπ (k= 0, ±1,±2, … )
实变函数的零点是孤立的吗？
f(z)=
{0
1 2 x sin
x
x≠0
x=0 1 nπ
它的零点为：
x = 0, x= (n∈Z)
零点序列存在聚点，因而此函数 的零点不是孤立的.
由| f ( Re ) | a, 且 | f (0) | a，得 1 1 i | F (0) | , 且 | F ( Re ) | . a a 由解析函数的平均值定理， 1 2 i F (0) F ( Re )d , 2 10 2 i | F (0) || F ( Re )d | 0 2 1 2 1 2 1 1 i | F ( Re ) | d d . 2 0 2 0 a a
复变函数解析函数零点的孤立性及唯一性定理
1 n2
1
时发散。
3）当
z
1
1 时，
z
1
，所以
n1
1 n2
1 zn
收敛。
n 1
1 n2
zn
发散。后者是因为
lim
n
z n1 n 1
2
n2 zn
z 1
从而所给级数在 z 1 时发散。
级数
1 z z2 zn
在闭圆 z r(r 1) 上一致收敛。
cn
存在，lim n n
cn
未必存在。因此，由上极限
lim n
n
cn
l 而得到收敛半径R 1 的结论最强
l
例4.2 试求下列各幂级数的收敛半径
z n
（1）
n 1
n2
z n
1 n2
z
n
1 zn
2 n2
，而
正项级数
1
n2
n 1
收敛，故由优级数准则知所给级数在
z 1 时绝对且一致收敛。
2）当 z
1 时，Q
1 n2
zn
1 n2
，所以
zn
n2
n 1
绝对收敛。又由于
lim
n
n
1
12
z n1
1
n2
zn
1 lim n
n2zn n 1 2 zn1
1 z
故
a b
n1
1
知，
n 1
cn 发散
n 1
定理4.2
柯西收敛原理（复数项级数）级数 zn
收敛必要与充分条件是：任给 0,
可以找到一个正整数N，使得当n>N，p=1,2,3,…时
解析函数零点的孤立性与唯一性定理
（ ） Ｄ 为 一 般 区 域 ， 需 证 Ｖｂ Ｄ， ， ６ 一０ 在 ｉ若 ｉ 只 ∈ 有 （ ） ． Ｄ 内 一条 分段 光 滑 曲线 Ｌ 把 ａ与 ６连 接 起 来 ， ｄ是 曲 线 设 Ｌ 到 区域 Ｄ 的 边 界 的 距 离 ， 然 ＞ ０ 并 且 在 曲 线 Ｌ上 以 显 ，
定理描述了这一性质 。
ａ！ 。 ＜Ｒ 内 ， （）兰 ， 于 ａ ∈Ｋ。 ， 厂 （ ） ０ ／ｚ 三Ｏ 由 三 ｌ ｎＫ１ 故 １ 一 （ ：０ １ ２ … ） 即 （） Ｋ ，，， ， ｚ 在 内 的 泰 勒 系 数 全 为 零 ， ， ｚ 故 （）
Ｏｚ ． 次类 推 ， 直 在 圆 域 Ｋ （∈Ｋ ） 依 一 内 ，（） ０ 从 而 厂 ｚ ， （） ． ｂ的任 意 性 可 得 在 区 域 Ｄ 内 ，（） Ｏ 故 定 理 得 ６ ＝０ 由 ｚ兰 ．
证 。
定 理 １ １ 若 解 析 函 数 ＿（） Ｉ— ａＩ Ｒ 内不 恒 为 ． 厂ｚ 在 ｚ ＜
零 ， 其 零 点 ， 必 存 在 点 ｎ的 一 个 邻 域 ， 得 ， ｚ 在 其 ａ为 则 使 （）
中无 异 于 ａ的 零 点 。
由定 理 １ １立 即 可 得 推 论 １ ２ ． ． ‘
推 论 １４ 设 函 数 （） ｇｚ 在 区域 Ｄ 内解 析 ，ｚ ｝ ． 厂ｚ 与 （） ｛
是 Ｄ 内 彼 此不 同 的 点列 ， ｛ 一 。 且 ｚ ） ∈Ｄ， 果 对 一 切 ｎ 都 如 ， 有 ， ｚ ：ｇ（） 则 在 Ｄ 内 恒 有 ，（ ） ｇ ２ ． （） ｚ， ｚ ＝ （）
ｚ ｙ 都 在 区 域 Ｄ 内解 析 ， 在 Ｄ 内 厂（） ｇｚ ． ＋ｉ） 则 ｚ （）
实解析函数零点的孤立性
ｔａ ｈ ｅ ｏ ｐ ｉ ｔｏ ｎ ｅ ｌａ ａｙ ｉ ｕ ｔｏ ｓｉｏａ ｅ ｈ ｔｔ ｅ ｚ ｒ ｏ ｎ ｆａ ｙ ｒａ ｎ ｌ ｔｃ ｆｎｃｉ ｎ ｉ ｓ ｌ ｔｄ，ａ ｄ ｓ ｍｅ ｃ ａ ａ ｔｒｚ ｔｏ ｒ － ｎ ｏ ｈ ｒｃ ｅ ａ ｉｎｓａ ｅ ａ ｉ ｌ
维普资讯
第２卷 第４ ３ 期
２０ ０７年 ８ 月
哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报 （自然科学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｆ ｒｉ ｎｖ ｒｉ ｆＣ ｍｍｅｃ Ｎａｕ ａ Ｓｉｎ ｅ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｏ ｂｎ Ｕ ｉｅｓ ｙｏ ｏ ｌ Ｈａ ｔ ｒｅ（ ｔｒ ｌ ｃ ｃｓ ｉｏ ） ｅ Ｅ ｉ
展 ｊ复分 析 、 ． 四元 数分 析 、 元 数 分析 、 ｌｆｒ 八 Ｃｉｏｄ分 ｆ 析 主要 的研 究对 象是相 应 的解析 函数 类 ． 在许 多方 面， 复解析 函数具 有其 他解析 函数类所 没 有 的独 特
性 质．
在 直线 上无 穷次可 微 ， 其零 点仍 非孤 立 ． 但
数 ）： ｎ
．
０ ，
：
【 ０
０ ．
说 明 ， 的可微 函数 的零 点 并非 孤 立．这 样 也许 不 实 公平 ， 因为复 解析 函数 具有 无穷次 可微 性 ． 为此 ， 考
虑 实函数 ｆｘ ＝ （
析 ． Ｊ 最近 ， 四元数分析经被用于信息 、 彩色图像 处 理等 ｊ八 元数 分 析 在 近 年 亦 得 到 了 较 大 的发 ，
数， 则称 ） Ⅱ ｂ 实解析． 明实解析 函数 的零点具有孤立性 ，并给 出实解析 函数 的某些刻画． 在（ ，） 证
关键 词 ： 解析 函数 ； 解 析 函数 ； 和 函 数 实 复 调 中 图 分 类 号 ： １４ ５ ０ ７ ． 文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ２— ９ ６ ２ ０ ）４— ６ ０ １７ ０ ４ （ ０７ ０ ０ ０— ３ ４
第八讲 Taylor级数
故z
2
2k , ( k 0,1,)都是sin z 1的二阶零点。
孤立零点：一个函数的零点附近没有其他零点。 一个实变函数的零点不一定是孤立的，如
1 它在实轴上处处可微， x 0及x 都是它的零点， n
1 2 x sin , f ( x) x 0,
则 f ( z0 ) a0，再由幂级数的逐项求 导性质得，
f ' ( z ) a1 2a2 ( z z0 ) nan ( z z0 )n1 f ' ( z0 ) a1 1 ( n) , 依此类推得， an f ( z0 ) n 0,1,2, n!
2n z2 z4 z 1 ( 1) n 2! 4! ( 2n)!
sin z, cos z在全平面上解析， 它们的半径 R
上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.
例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:
1 1 (1) f ( z ) ( 2) f ( z ) ( 3) f ( z ) ln( 1 z ) 2 1 z (1 z )
e z 在复平面上解析 该级数的收敛半径 R .
e zi e zi 1 ( zi ) n ( zi ) n sin z 2i 2i n! n 0 n 0 n!
1 2i z 2i k 1 ( 2k 1)!
定理
(1) 函数f ( z )在点z0 解析 f ( z )在z0的 某一邻域内可展成幂级 数 c n ( z z 0 ) .
n n 0
( 2) 函数f ( z )在区域D内解析 f ( z )在 D内可展成 幂级数.
解析函数零点的孤立性及其唯一性定理
§4（1） 解析函数零点的孤立性及其唯一性定理一、教学目标或要求：掌握解析函数的零点的级别 唯一性定理 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：解析函数的零点的孤立性 零点的级 唯一性定理 重点： 唯一性定理 难点: 唯一性定理 三、 教学手段与方法： 讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习： 8－111．解析函数零点的孤立性定义4.7 设函数)(z f 在点a 解析，若0)(=a f ，则称点a 为)(z f 的零点，若)(z f 的零点a 满足0)()()()1(==='=-a f a f a f m ，但0)()(≠a fm 则称点a 为函数)(z f 的m 级（阶）零点。
若，则称 为 的简单零点。
定理 4.17 点a 是不恒为零的解析函数)(z f 的m 级零点的充分必要条件是)()()(z a z z f m ϕ⋅-=其中在点的邻域内解析，且0)(≠a ϕ。
证 “”由已知 解析且以 为级零点知显然,并且作为幂级数其收敛半径与相同，故也在内解析。
设，在解析且，则由泰勒定理在内有故于是在内解析。
由泰勒展式的唯一性知，但即为的级零点。
例求的全部零点，并指出它们的级。
解在平面上解析，由得故是的二级零点。
定理 4.18若在内的解析函数不恒为零,为其零点，则必有的一个邻域，使在其中无异于的零点，即不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。
注在实变函数中，可微函数的零点不一定是孤立的。
如在可微且以的一个零点，但也是零点，并以为聚点，故不是孤立的。
证设为的级零点，于是。
其中在内解析，且，从而在点连续，于是由连续函数的性质根据知，存在一个邻域使即得。
推论 4.19设在邻域内解析且存在使，则在内恒为零。
证由在内解析知在点连续，又，令则即为的非孤立零点，因此在内恒为零。
注为使用方便可用更强的条件“在内某一子区域或一小段弧上等于0”来替代“在一收敛点列上等于0”。
2.唯一性定理定理 4.20设(1)函数和在区域内解析;(2)内有一个收敛于的点列,其上和等值，则和在内恒等。
解析函数零点的孤立性及唯一性定理
对于超越函数，如三角函数、指数函数等，其零点往往难 以直接求解，需要采用数值方法逼近。例如，求解 $sin(x)=0$的零点，可以采用二分法或迭代法。由于 $sin(x)$是周期函数，其零点有无穷多个，因此需要结合 问题的实际背景选择合适的求解方法。
06
总结与展望
研究成果总结
解析函数零点的孤立 性
解析函数的性质
解析函数在其定义域内具有连续性和可微性，因此在其零点周围的小邻域内，函数值可以由泰勒级数展开式近似 表示。若零点非孤立，则在这个小邻域内存在其他零点，使得泰勒级数展开式在该点处也为零，这与解析函数的 性质相矛盾。
零点孤立性的应用
确定函数零点的个数
通过判断函数在某点处的零点是否为孤立零点，可以确定函数在该点处的零点个数。若为零点，则在该点处函数值为 零；若非零点，则在该点处函数值不为零。
零点性质
分析函数零点的性质，如是否是重根、是否可导 等。
解析函数及其性质
解析函数定义
01
解析函数是指在定义域内处处可导的函数，具有良好的分析性
质。
解析函数的性质
02
包括可微性、连续性、可积性等，这些性质使得解析函数在数
学分析中占有重要地位。
解析函数与实函数的区别
03
解析函数的研究范围扩展到复数域，而实函数仅限于实数域。
04
解析函数零点与多项式根 的关系
多项式根的性质
多项式根的存在性
对于任意非零多项式，其在复数域内至少有 一个根。
多项式根的个数
n次多项式的根最多有n个，重根按重数计算。
多项式根的分布
多项式的根在复数平面上分布，且对于实系 数多项式，虚根成对出现。
解析函数零点与多项式根的联系
第4节 解析函数零点孤立性及唯一性定理
f
(
1) n
2
1
n
1 n
,
n
1,
2,L
故合条件的函数存在且为 f (z) 1 .
2 z
3.推论4.22 一切在实轴上成立的恒等式,在z平面上也成
立;只要这个恒等式的等号两边在z平面上都是解析的.
例5 在 z 1内,展开Ln(1 z)的主值支成z的幂级数.
解 Ln(1 z)的主值支ln(1 z)在 z 1内解析,由数分知
注1:有界闭域上解析函数的最大模只能在边界取得 .注2:Cauchy不等式中
M (R) Max f (z) 也可理解为 za R
M (R) Max f (z) . za R
作业
P180习题(一) 8(2); 9; 12
本节结束 谢谢！
3.最小模原理
设f (z)在区域D内解析,又f (z)在D内不是常数且 无零点,则 f (z) 在D内无最小值.
2.推论4.21 设在区域D内解析的函数f1(z)及f2(z)在D内的 某一子区域(或一小段弧)上相等,则它们必在D内恒等.
例3 设(1)函数f (z)及g(z)在区域D内解析;
(2)在D内f (z)g(z) 0; 试证:在D内f (z) 0或g(z) 0.
证明: 若z0 D,使f (z0 ) 0, 由于f (z)在z0连续, 故z0的邻域K D, 使在K内f (z) 0,
证明: 若在 z R内f (z)无零点,
则由题设, f (z)在 z R上也无零点,
故 (z) 1 在 z R上解析, 此时 (0) 1 1 ,
f (z)
f (0) a
但在 z R上, (z) 1 1 ,
f (z) a
《复变函数》教学大纲
《复变函数》教学大纲一、《复变函数》课程说明（一）课程代码：（二）课程英文名称：Functions of Complex Variables（三）开课对象：数学教育专科学生（四）课程性质：考试复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。
已经形成了非常系统的理论并且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也有很多的应用。
先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，常微分方程。
（五）教学目的：通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。
（六）教学内容：本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。
（七）教学时数学时数：72学时分数：4学分（八）教学方式教师课堂讲授为主。
（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。
二、讲授大纲与各章的基本要求第一章复数与复变函数教学要点：通过本章的教学使学生初步使学生初步掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌握区域和复数的各种表示方法及其运算，了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。
1、使学生掌握复数各种表示方法及其运算。
2、使学生了解区域的概念。
3、使学生了解复球面与无穷远点。
4、使学生理解复变函数概念。
教学时数：6学时教学内容：第一节复数一、复数域、复平面二、复数的模与辐角三、乘幂、方根、共轭复数第二节复平面上点集一、平面点集的几个基本概念二、区域、约当曲线第三节复变函数一、复变函数二、复极限、复连续第四节复球面和无穷远点一、复球面二、扩充复平面上的几个概念考核要求：1、复数1.1 复数的各种运算、表示法和三角不等式（应用）2、复平面上点集2.1 平面点集的几个基本概念（领会）2.2 区域、约当曲线（领会）3、复变函数3.1 复极限、复连续（识记）4、复球面和无穷远点4.1 无穷远点（识记）第二章解析函数教学要点：1、理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。
4.4 解析函数零点的孤立性及惟一性定理
合乎上述条件的m称为零点a的阶(级),a称为f(z)的m （级）零点. 当m=1时,a也称为f(z)的简单零点.
定理4.17 不恒为零的解析函数f(z)以a 为m级零点的充要条件为:
(4.14)
(
z
nm n!பைடு நூலகம்
a)n 在a点解析，且
(a) f m(a) 0
m!
设 f (z) (z a)m a
(z)在a点解析 (z) n (a) (z a)n n0 n!
f (z)
n
a
n:nm
(z a)nm
其中 (z) 在点a的邻域|z-a|<R内解析,且
证明：" " 设f(z)以a为m级零点,则：
f (a) f (a) f (m1)(a) 0, 但 f (m)(a) 0,
f (z)
f n a(z a)m
n0 n!
f (z)
f n a(z a)m ,
思考题：p169
2 （内部）唯一性定理 定理4.20 设:
(1)函数f1(z), f2(z)在区域D内解析
(2)D内有一个收敛于a∈D的点列{zn}(zn≠a),在其上 f1(z)=f2(z), 则 f1(z) f2(z) z∈D 证 令f(z)=f1(z)-f2(z)只须证明f(z)在D内恒为零. 由假设知①f(z)∈A(D),②在D内有一系列
零点的孤立性
不恒为零的解析函数的零点必是孤立的. 逆否命题
解析函数的零点是非孤立的，则此函数恒为零.
复变函数论教学大纲
复变函数论课程教学大纲一、课程说明1、课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass 及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。
在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。
2、课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。
同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后工作中有较高的起点。
3、先修课程与后续课程先修课程：数学分析，解析几何，高等代数后续课程：数学建模，概率论与数理统计，拓扑学，解析数论等4、教学时数分配表5、使用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉编；高等教育出版社。
6、教学方法与手段（1）学与思的结合：既要了解相关内容，又要对此进行深入的思考与分析；（2）听与说的结合：要求学生既要认真听老师的讲解，又要勇于单独发表自己的见解；（3）知与做的结合：通过对数学方法的掌握，解决与之相关的其他数学问题；（4）理论与实践的结合：通过本课程理论学习形成的数学思想方法，应用于实际之中，同时加深对其他数学专业课的理解。
第4节 解析函数零点孤立性及唯一性定理
证明: 令f (z) f1(z) f2 (z), 若D恰为以a为心的圆或平面, 由假设f (z)在D内解析,
且在圆D内有一列零点{zn}收敛于a;
由推论4.19, 在D内f (z) 0. 考虑一般情形:对b D, 用一条含于D的折线连接a及b,
记d dim(L, D), 取正数R d, 在L上取一串点: a a0 , a1,L , an b; 使相邻两点的距离小于R,
以R为半径, 分别以a0 , a1,L , an为心作圆 K0 , K1,L , Kn;
Ki : z ai R,(i 1, 2,L , n); 则这些圆含于D内.
2. f (z)的Taylor系数的情形
(1)对一切n, an 0,则f (z)在 z a R内恒等于零.
(2) 存在正整数m, am 0,而n m时, an 0,即 f (a) f ' (a) L f (m1) (a) 0,而f (m) (a) 0
即 f (z) am (z a)m ... an (z a)n L
故由Taylor定理得
(z) (a) '(a)(z a) "(a) (z a)2 L
2!
从而 f (z) (z a)m(z)
(z a)m[(a) '(a)(z a) "(a) (z a)2 L ]
2!
(a)(z a)m ' (a)(z a)m1 L 由于(a) 0, 故a为f (z)的m阶零点.
此时称a为f (z)的m阶零点. 特别m 1时, a为f (z)的单零点.
3.定理4.17 不恒为零的解析函数f (z)以a为m阶
零点的充要条件是:
解析函数零点的孤立性及唯一性定理
定理4.5’
0 0, 对任何正整数N， 整数 n0 N , 总有某个
z0 E,
及某个正整数 p0 ，有
f n0 1 z 0 f n0 2 z 0 f n0 p0 z 0 0
定理
使对一切 z E ,有
（优级数准则）若存在正数列 M n (n 1,2, )
因此按定义4.1得
2） 当
q 1 时，显然有 lim q
n
1 q 1 q n 0
n
n
，因而
1 q lim Sn lim n n 1 q
n
n q 故级数 发散。 n 0
3）当 q
1 时，显然有
Sn 1 1 1 1 n
n 1
n 1
非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛。 称为绝对收敛；
定理4.4
（１）一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重
排次序，而不致改变其绝对收敛性，亦不致改
变其和。
（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得
出乘积级数。
例 判断下列级数的敛散性
1 ; 2 1 n n n 1 2 3i n 1 1 i
在 z 1 内闭一致收敛。
证明 当 z z z r 1 时，
上一致收敛于 f ( z ) ，从而
fn ( z) k 1 n 1 ( z z0 )
,根据定理4.7，我们有 k! f ( z) dz k 1 2 i Cr ( z z0 )
f ( z) 在 Cr 上一致收敛于 ( z z0 ) k 1
n 1
《复变函数论》第四章
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
复变函数解析函数零点的孤立性及唯一性定理共105页
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
谢谢！
Hale Waihona Puke 36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
《复变函数》课程教学大纲
《复变函数》课程教学大纲适用专业:数学与应用数学执笔人：王小灵审定人：王宏勇系负责人：张从军南京财经大学应用数学系《复变函数》课程教学大纲课程代码：200072英文名：Complex Variable Function课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学前置课：数学分析后置课：概率论、数学物理方程、偏微分方程学分：2学分课时：54课时主讲教师：王小灵等选定教材：钟玉泉，复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.课程概述：复变函数的主要内容是讨论复数之间的相互依赖关系，其主要研究对象是解析函数。
复变函数是在数学分析的基础上，复变函数又称复分析，也称为解析函数论.是实变函数微积分的推广和发展。
因此它不仅在内容上与实变函数微积分有许多类似之处，而且在研究问题的方面与逻辑结构方面也非常类似。
复变函数是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann 等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数不但是我们所学数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，已经被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数作为一门学科，有其自身的特点和研究方法与研究工具，在学习过程中，应注意与微积分理论的比较，从而加深理解，同时也须注意复变函数本身的特点，并掌握它自身所固有的理论和方法，抓住要点，融会贯通。
教学目的：复变函数是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
教学方法：教学过程宜采用以章为主的单元组织教学法，以课堂讲授为主，结合多媒体教学软件辅助教学，教学中应强调理论与实际并重，各章应安排一定课时的习题课，课后教师需安排时间集中对学生辅导答疑，学生必须完成一定量的作业。
本课程可根据需要安排课堂讨论。
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§4（1） 解析函数零点的孤立性及其唯一性定理
一、教学目标或要求：
掌握解析函数的零点的级别 唯一性定理 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：
基本内容：解析函数的零点的孤立性 零点的级 唯一性定理 重点： 唯一性定理 难点: 唯一性定理 三、 教学手段与方法： 讲授、练习
四、思考题、讨论题、作业与练习： 8－11
1．解析函数零点的孤立性
定义4.7 设函数)(z f 在点a 解析，若0)(=a f ，则称点a 为)(z f 的零点，若)(z f 的零点a 满足0)()()()1(==='=-a f a f a f m ，但0)()
(≠a f
m 则称点a 为函数
)(z f 的m 级（阶）零点。
若
，则称 为 的简单零点。
定理 4.17 点a 是不恒为零的解析函数)(z f 的m 级零点的充分必要条件是
)()()(z a z z f m ϕ⋅-=其中
在点的邻域
内解析，且0)(≠a ϕ。
证 “”由已知 解析且以 为
级零点知
显然,
并且
作为幂级数其收敛半径与
相同，故也在
内解析。
设，在解析且，则由泰勒定理在内有
故
于是在内解析。
由泰勒展式的唯一性知
，
但即为的级零点。
例求的全部零点，并指出它们的级。
解在平面上解析，由得
故是的二级零点。
定理 4.18若在内的解析函数不恒为零,为其零点，则必有的一个邻域，使在其中无异于的零点，即不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。
注在实变函数中，可微函数的零点不一定是孤立的。
如
在可微且以的一个零点，但也是零点，并以
为聚点，故不是孤立的。
证设为的级零点，于是。
其中在
内解析，且，从而在点连续，于是由连续函数的性质根据
知，存在一个邻域使即得。
推论 4.19设在邻域内解析且存在使，则在内恒为零。
证由在内解析知在点连续，又，令则
即为的非孤立零点，因此在内恒为零。
注为使用方便可用更强的条件“在内某一子区域或一小段弧上等于0”来替代“在一收敛点列上等于0”。
2.唯一性定理
定理 4.20设(1)函数和在区域内解析;(2)内有一个收敛于的点列,其上和等值，则和在内恒等。
证令，只须证在内恒等于零。
用圆链法，在内作折线连接，，令,在上依次取,使彼此间距离小于，考察圆链，
由于
，又
，根据零点孤立
性定理的推论，在 内。
同样的,在内,由上述推论也有
,继续下
去, 直到
，同理可知上
,于是
,又由的任意性知在
内。
推论 4.21 设在区域
内解析的函数
和
在
内的某一
子区域或一小段弧上相等,则它们必在区域内恒等。
解析函数的唯一性定理可以用来在复平面证明我们过去熟知的一些等式。
例 设均在区域
内解析，且
试证或
证 若
，则命题得证，若 ，则使 由连续性，存在 的某个邻域
使
，故在
内
，由唯一性定理。
推论4.22 一切在实轴上成立的恒等式在z 平面上也成立，只要这个恒等式的两边在z 平面上都是解析的。
例 试问点0=z 为函数)6(sin 6)(633-+=z z z z f 的几级零点？
解 因为)(z f 在点0=z 解析，且0)0(=f ，所以点0=z 为)(z f 的零点。
由)
(z f 在点0=z 解析可知，在R z <内可写成幂级数，而在R z <内有
∑∞
=++-=0
12)!12()1(sin n n n
n z z
从而有
∑∞
=++-=0
3
63
)!12()1(sin n n n
n z z
于是有
3921
15936)!
76!56!366()(z z z z z z z f -++-+-= +-=2115!76!56z z )!76
!56(615 +-=z z )(15z z ϕ⋅= 其中 +-=6!76
!56)(z z ϕ在R z <内解析，且0)0(≠ϕ，所以得知点0=z 为)(z f 的
15级零点。
例 在 内把
展开成
的幂级数（取主值支）。
解 令
则 ⑴
在
内解析; ⑵ 在
上
由数学分析的结论知
上
，故有唯一性定理
上
即 内 。