分式的运算与分式方程

分式的运算与分式方程

一、分式的运算

1、分式的乘除

分式乘法法则：分式乘分式，分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即

D

B C

A D C

B A ⋅⋅=⋅ 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即

C

B D A

C

D B A D C B A ⋅⋅=⋅=÷ 分式的乘方：b a b a n n

n

=）（ ，此公式不仅要会正用，有时根据题目需要还要会逆用。

2、分式的加减

运算的次序：（1）同级运算，应从左到右按顺序算。

（2）进行乘除与乘方的混合运算时，应先乘方后乘除。 （3）分式混合运算，先算乘除，再算加减。

例1、（1）化简：1

112421222

-÷+--⋅--a a a a a a （2）化简：

23

24

324422

2

22+⋅--+÷++-+x x x x x x x x （3）化简：()a b b

b

a a

b a -÷-⋅

+2

22 （4）化简：

()）（）（

y x x

y x xy

y

x -⋅+÷-2

2

23

例2、计算：（1）81385---+m m m （2）s s -++1312 （3）11122---x x

x

（4）9

69392

2

22++-+++x x x x x x x （5）111+-+x x （6）242++-a a

例3、（1）

212

1442-÷++-x x x ）（（2）x x x x x x x x 44412222-÷+----+）（（3）1211122

2+-÷--+x x x

x x

例4、有这样一道题：“计算：x

x x

x x x x -+-÷-+-2

22

1112的值，其中2007=x ”，某同学把2007=x 错抄成2008=x ，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？

例5、已知ab

a ab

b b a ab b ab a --⋅+÷-+22

22的值为正整数，试求所有符合条件的a 的整数值.

例6、已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22

a

a a a --的值.

例7、求待定字母的值

（1）若

1

11312

-++=--x N

x M x x ，试求N M ,的值. （2）已知：1

21)12)(1(45---=---x B

x A x x x ，试求A 、B 的值.

例8、若.1

111

的值，求++++++++=c ca c

b b

c b a ab a abc

二、整数指数幂

两个规定：（1）当100

=≠a a 时，；

（2）当a

a a n

n 1,0=≠-时.

由此我们可以将正整数数幂推广到全体整数。即：可以为任意整数），（

n a a n

0≠. 推广后，幂的运算性质：当,0时为整数且

，≠a n m ① a a a n

m n m +=⋅

② a

a mn

m

n

=）（

③

b a ab n n n

=）（

④ ⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧<=>==÷---n m a

n m n m a a a a m n n

m n m n m ，，，11

科学计数法：科学记数法：把一个数表示成n

a 10⨯的形式（其中10|a |1<≤，n 是整数）的记数 方法叫做科学记数法。

例1、计算（1）10103925-1-⨯⨯⨯ （2）p n m p n m 1

43

1-93---÷

（3）322

51

-4120

-÷-++）（）（ （4））（）（）（21931-|-3|2

02011-+--⨯+π

例2、用科学计数法表示下列各数：

（1）5050000 （2）0.00101 （3）-602.0002

三、分式方程

分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程。 解分式方程的步骤：

① 去分母：方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。 ② 解整式方程。

③ 验根：检验所得的整式方程是否会使最简公分母为0（即增根）。

④ 作答。 例1、解下列方程 （1）

22151210=-+-x x （2）2

2

416222-+=--+-x x x x x （3）15

25

15832562

22--+++=-x x x x x

例2、（1）若关于的值为有增根，则的方程

m x

m x x x 2222=-++-。 （2）的取值范围是的根为正数，则的方程

若关于m x m x 21

1

=--。 例3、甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同。已知甲每分钟比乙每分钟多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打多少个字？

例4、某玩具厂准备加工400套益智玩具，在加工80套后，突然接到通知，欲在六一时使这批玩具上市。结果每天的工作效率提高到原来的2倍，共用10天完成任务，求该厂原来每天加工多少套玩具？

例5、某工厂，甲负责加工A 型零件，乙负责加工B 型零件．已知甲加工60个A 型零件所用时间和乙加工80个B 型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件35个，设甲每天加工x 个A 型零件． （1）求甲、乙每天各加工多少个零件；（列分式方程解应用题）

（2）根据市场预测估计，加工A 型零件所获得的利润为m 元/件（53≤≤m ），加工B 型零件所获得的利润每件比A 型少1元．求每天甲、乙加工两种零件所获得的总利润y （元）与m （元/件）的函数关系式，并求总利润y 的最大值和最小值．