二项式定理公开课课件

因此, an-kbk出现的次数相当于
k Cn , 这样,(a+b)n的展开式中， 从n个(a+b)中取k个b的组合数 k 将它们合并同类项, 就得到二项展开式: a nk bk 共有Cn 个，
0 1 k n (a b)n Cn an Cn an1b Cn ank bk Cn bn
n
（三）、存疑设问——突破难点
推陈出新
(a b) a b
1
(a b) a 2ab b
2
2
2
(a b)
3
?
(a b)4 = ?
(a b)5 = ?
……
对 (a b)2 展开式的分析
(a+b)2是2个(a+b)相乘，即(a+b)2= (a+b)* (a+b) = (a + b)* (a + b)=aa+ab+ba+bb 每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个 (a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项。由 分步乘法计数原理，在合并同类项之前， (a+b)2的展 开式共有2*2=22项，而且每一项a,b次数和都是2且每一 项都是都是 a2-kbk(k=0,1,2) 的形式。
n
Cnk k 0,1,2 n 称为二项式系数， 其中各项的系数
k 式中的 Cn a nk bk 叫做二项展开式的通项，它是二项
展开式的第 k
1 项,记作: Tk 1
C a b
k n
n k
k
第 k 1 项的二项式系数
通项
n n n
a b
n
C a C a b C a b C b
6 A C10
.
B
6 C10
5 C C10
D
5 C10
课堂练习：
1 4 2、（1）求 (2 x ) 的二项展开式. x
（2）求
(1 2x)
7
的二项展开式.
(3)求
1 7 (x ) x
的展开式中x 项的系数
3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 2)．各项前的系数代表着什么？
各项前的系数 代表着这些项在展开式 中出现的次数
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
香河一中秦淑霞
（二）、创设情境——引出问题 问题:今天是星期五,
7天后的这一天是星期几呢？ 15天后的这一天呢？
算法：用各个数除以7，看余数是多少， 再用五加余数来推算
若今天是星期五,再过8100天后的那一天是星期几?
8 除以7的余数是多少？
100
8
100
(7 1)

100
（a b) (n N )的展开式是什么？
0 n n k n
1 n 1 n
n k k
n n n
二项式展开式
2.方法收获：正确区分“项的系数”和“二项式系 数” 3.思维收获 归纳猜想的数学思想 从特殊 —— 一般 —— 特殊， 类比思想，
P 习题1.3的第2、4（1）（2） 布置作业： 37
课本P31练习： 7 1.写出 p q 的展开式.
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
(n N * )
二项式定理（binomial theorem)
0 1 k n (a b)n Cn an Cn an1b Cn ank bk Cn bn
二项式
二项展开式
(n N )
这个公式叫做 二项式定理,左边的多项式叫做 二项式, 右边的多项式叫做 a b 的二项展开式，
T3 C52 (2 x) 2 40x 2 二项式系数为 52 10 C
3 x 3项T4 C5 (2 x)3 -80x 3
x 3项系数 - 80
• 引例：今天是星期五，若 8100 天后的这一天是星
期几呢？
0 1 r 解: 8100 7 1 100 C100 7100 C100 799 C100 7100r （ ）
b （）b
k
n
(a b) C a C a b C a
n 0 n n k n
1 n1 n
n k
b C b
k
n n n
(n N )
*
证明:
(a+b)n是n个(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时有两种选择选a 或选b,而且每个(a+b)中的a或b都选定才能得到展开的一 项。在合并同类项之前,由分步乘法计数原理,(a+b)n的展 开式共有2n项,而且每一项都是 an-kbk(k=0，1，2，…，n) 的形式. 对应的项an-kbk是由 对于某个k (k∈{ 0,1,2,…,n }), n-k个（a+b）中选a, k个（a+b）中选b得到的.由于b选定后, a的选法也随之确定,
(1 + x) = 1 + C x + C x + + C x + + C x
在上式中，令 x = 1，则有：
n

1 n
2 2 n
r r n
n n n
2 = C + C + C ++ C ++ C
n
0 n
1 n
2 n
r n
n n
例1:求(1 2 X ) 的展开式
5
解：（ 2 x)5 1
0 n n
1 n1 n
k n k k n
二项式
二项展开式
0 1 2 n 1.系数规律：C n、C n、C n、 、C n
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）a的次数按降幂排列，由n降到0， b的次数按升幂排列，由0升到n. 3.项数规律：展开式共有n+1个项
在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：
请同学们猜一猜:
(a b)
尝试猜想
5
= ?
......(a b)
n
= ?
(a b) ? (n N )
n *
知识，只有以我们自主探 索的方式获得才显得更为珍贵。
初步归纳
猜想:(a+b)n展开式又是怎样的呢？
(a b) （）a （）a b （）a
n n n1 n k
0 1 3 4 5 C5 (2 x) 0 C5 (2 x)1 C52 (2 x) 2 C5 (2 x)3 C（2 x) 4 C5 (2 x)5 5
1 10x 40x 2 80x 3 80x 4 32x 5
（ 求 1 2 x) 5 展开式第三项以及其二项式系数，求x3项的系数
2.求 2a 3b 的展开式的第三项.
6
3.求
3b 2a
3
6
的展开式的第三项.
4. x 2 x


7
3 C7 _ , 35 的展开式的第四项的二项式系数是
3 C7 23 280. 第四项的系数是
5、选择题： x 1 的展开式的第 6 项的系数是 D
10
99 100 C100 71 C100 70
被7除的余数是1，因此 8 一天是星期六.
∴8
100
100
天后的这
1.知识收获：二项式定理；二项式定理的表达 式及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。 第 k 1 项的二项式系数 通项 二项式定理
a b
二项式
n
C a C a b C a b C b
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
项： a4 a3b a2b2 ab3 b4
都 不 取 b 系数：C
0 4
取 一 个 b
取 两 个 b
取 三 个 b
取 四 个 b
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
(a+b)4=C40a4 +C41a3b +C42a2b2 +C43ab3 +C44b4 结果：