江苏省数学竞赛提优教案：第56讲 解析法证几何题

x1＋x3 y1＋y3 x2＋x4 y2＋y4 A4(x4，y4)．由中点公式知对角中点的坐标为 B( ， )，C( ， )．
2 2 2 2 则 4(
x1＋x3 x2＋x4
2 － 2
) ＋(x1－x3) ＋(x2－x4)
2 2
2
2
2
＝(x1＋x3－x2－x4) ＋(x1－x3) ＋(x2－x4)
2 2 2 2
x y BH： ＋ ＝1 b h x y AC： ＋ ＝1 c a
过 BH、AC 的交点 E 的直线系为： λ ( ＋ －1)＋μ ( ＋ －1)＝0．
B F
y A H E
x y b h
x y c a
D
C
x
以(0，0)代入，得 λ ＋μ ＝0． 1 1 1 1 分别取 λ ＝1， μ ＝－1， 有 x( － )＋y( － )＝0．
2 2 2 2 2 2 2
2
情景再现
1．如图，⊙O 的弦 CD 平行于直径 AB，过 C、D 的圆 的切线交于点 P，直线 AC、BC 分别交直线 OP 于 Q、R． 求证：|PQ|＝|PR|． 2．自圆 M 外一点 E 作圆的切线，切点为 F，又作一条 割线 EAB，交圆 M 于 A、B，连结 EF 的中点 O 与 B，交圆 M 于 D，ED 交圆 M 于 C． 求证：AC∥EF． 3．CH 是 Δ ABC 中边 AB 上的高，H 为垂足，点 K、P 分别是 H 关于边 AC 和 BC 的对称点． 证明：线段 KP 与 AC，BC(或它们的延长线)的交点是 Δ ABC 高线的垂足．
2
ED 方程设为 ax＋by＋C＝0．
由 AB、ED 距离等于|AB|，得 |C＋ab| 2 2 ＝ a ＋b ， a2＋b2 解得 C＝±(a ＋b )－ab． 如图，应舍去负号． 所以直线 ED 方程为 ax＋by＋a ＋b －ab＝0． 解得 x＝b－a，y＝－b．(只要作 DH⊥x 轴，由△DBH≌△BAC 就可得到这个结果)． 即 D(b－a，－b)． 因为 kAF＝
E D G A
O C y
F
B
x
A 类例题
例 1．如图，以直角三角形 ABC 的斜边 AB 及直角边 BC 为边向三角形两侧作正方形 ABDE、CBFG． 求证：DC⊥FA． 分析 只要证 kCD²kAF＝－1，故只要求点 D 的坐标．
证明 以 C 为原点，CB 为 x 轴正方向建立直角坐标系．设 A(0，a)，B(b，0)，D(x，y)． 则直线 AB 的方程为 ax＋by－ab＝0． 故直线 BD 的方程为 bx－ay－(b²b－a²0)＝0， 即 bx－ay－b ＝0．
2 2 2 2
b－a －b ，kCD＝ ，而 kAF²kCD＝－1．所以 DC⊥FA． b b－a
例 2．自 Δ ABC 的顶点 A 引 BC 的垂线，垂足为 D，在 AD 上任取一点 H，直线 BH 交 AC 于
E，CH 交 AB 于 F．
试证：AD 平分 ED 与 DF 所成的角．
证明 建立直角坐标系，设 A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，H(0，h)，于是
2
＝2(x1＋x2＋x3＋x4－x1x2－x2x3－x3x4－x4x1) ＝(x1－x2) ＋(x2－x3) ＋(x3－x4) ＋(x4－x1) ， 同理有 4(
2 2 2 2
y1＋y3 y2＋y4
2 －
2
2
) ＋(y1－y3) ＋(y2－y4)
2 2
2
2
2
＝(y1－y2) ＋(y2－y3) ＋(y3－y4) ＋(y4－y1) ， 两式相加得： |A1A2| ＋|A2A3| ＋|A3A4| ＋|A4A1| ＝4|BC| ＋|A1A3| ＋|A2A4| ． 说明 本题纯几何证法并不容易，而采用解析法，只需要简单的计算便达到目的．另外 本例中巧妙地抓住了各点的“对称性” ，设了最为一般的形式，简化了计算．
b c
h a
所以，上述直线过原点，这是直线 DE． 1 1 1 1 同理，直线 DF 为 x( － )＋y( － )＝0．
c b
h a
显然直线 DE 与直线 DF 的斜率互为相反数，故 AD 平分 ED 与 DF 所成的角． 说明 写出直线系方程要求其中满足某性质的直线，就利用此性质确定待定系数，这实 际上并不失为一种通法． 例 3．证明：任意四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和再加上对角线中点连 线的平方的 4 倍． 证明 在直角坐标系中，设四边形四个顶点的坐标为 A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，
2 2 1 1 所以 q－2p＞ (a＋b＋c)－c＞ (a＋b＋c)－ (a＋b＋c)＝ (a＋b＋c)， 3 3 2 6
SΔLeabharlann BaiduPQR 2 (a＋b＋c)2 2 (b＋c)2 2 ＞ ² ＞ ² ＞ ． SΔ ABC 9 4bc 9 4bc 9
y R C
yR AR q－2p ＝ ． yC AC b
A P Q B x
由于 2SΔ PQR＝yR(q－p)，2SΔ ABC＝xByC，
SΔ PQR yR(q－p) (q－p)(q－2p) 所以 ＝ ＝ ． SΔ ABC yCxB bC
1 1 注意到 p＝q－ (a＋b＋c)＜c－ (a＋b＋c)， 3 3
第 56 讲
解析法证几何题
解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系， 设出各点坐标及各线的方程， 然后根据求解或求证要求进行代数推算． 它的优点是具有一般 性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁． 此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能 增加计算量． 建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽 量多的 0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、 线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性” ．
E A D O F M C B
B 类例题
例 4．P、Q 在 Δ ABC 的 AB 边上，R 在 AC 边上，并且 P，Q，R 将 Δ ABC 的周长分为三等 分． 求证：
SΔ PQR 2 ＞ ． SΔ ABC 9
证明 如图，以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴，建立直角坐标系． 设 AB＝c，BC＝a，CA＝b，Q(q，0)，P(p，0)． 1 则 q－p＝ (a＋b＋c)，AR＝PQ－AP＝q－2p， 3 从而 ＝