(整理)压杆稳定计算.

第16 章压杆稳定

16.1 压杆稳定性的概念

在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。

当短粗杆受压时（图16-1a），在压力F 由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F 达到屈服强度载荷F s （或抗压强度载荷F b），杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a 所示的同样粗细而比较长的杆件（图16-1b），当压力F 比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F 逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s （或F b）。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。

图16－1

失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转（图16-2）；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆（图

16-3）；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳（图16-4）。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。

所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的 稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。

第一种状态，小球在凹面内的 O 点处于平衡状态，如图 16-5a 所示。先用外加干 扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。 因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。

第二种状态，小球在凸面上的 O 点处于平衡状态，如图 16-5c 所示。当用外加干 扰力使其偏离原有的平衡位置后， 小球将继续下滚， 不再回到原来的平衡位置。 因此， 小球原有的干衡状态是不稳定平衡。

第三种状态，小球在平面上的 O 点处于平衡状态，如图 16-5b 所示，当用外加干 扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置 O 1 再次处于平 衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡 状态为随遇平衡。

图 16-5

图 16-6

通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏

离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于

图 16-3

直线平衡状态的压杆偏离原有的位置，如图16-6a 所示。当轴向压力F 由小变大的过程中，可以观察到：

1) 当压力值F1较小时，给其一横向干扰力，杆件偏离原来的平衡位置。若去掉横向干扰力后，压杆将在直线平衡位置左右摆动，最终将恢复到原来的直线平衡位置，如图16-6b 所示。所以，该杆原有直线平衡状态是稳定平衡。

2) 当压力值F2超过其一限度F cr 时，平衡状态的性质发生了质变。这时，只要有一轻微的横向干扰，压杆就会继续弯曲，不再恢复原状，如图16-6d 所示。因此，该杆原有直线平衡状态是不稳定平衡。

3) 界于前二者之间，存在着一种临界状态。当压力值正好等于F cr 时，一旦去掉横向干扰力，压杆将在微弯状态下达到新的平衡，既不恢复原状，也不再继续弯曲，如图16-6c 所示。因此，该杆原有直线平衡状态是随遇平衡，该状态又称为临界状态。

临界状态是杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。压杆处于临界状态时的轴向压力称为临界力或临界载荷，用F cr 表示。

由上述可知，压杆的原有直线平衡状态是否稳定，与所受轴向压力大小有关。当轴向压力达到临界力时，压杆即向失稳过渡。所以，对于压杆稳定性的研究，关键在于确定压杆的临界力。

16.2 两端铰支细长压杆的临界力

图16-7a 为一两端为球形铰支的细长压杆，现推导其临界力公式。

图16-7 根据前节的讨论，轴向压力到达临界力时，压杆的直线平衡状态将由稳定转变为不稳定。在微小横向干扰力解除后，它将在微弯状态下保持平衡。因此，可以认为能精品文档

精品文档 够保持压杆在微弯状态下平衡的最小轴向压力，即为 临界力 。

选取坐标系如图 l6-7a 所示，假想沿任意截面将压杆截开，保留部分如图 所示。由保留部分的平衡得

M x F cr v (a)

在式(a) 中，轴向压力 F cr 取绝对值。这样，在图示的坐标系中弯矩

M 与挠度 v 的符号 总相反，故式 (a) 中加了一个负号。当杆内应力不超过材料比例极限时，根据挠曲线 近似微分方程有 2 d v M x

F cr v dx 2 EI EI 由于两端是球铰支座，它对端截面在任何方向的转角都没有限制。 弯曲变形一定发生于抗弯能力最弱的纵向平面内，所以上式中的 小惯性矩。令

式( b )可改写为

此微分方程的通解为 16-7b (b)

因而，杆件的微小

I 应该是横截面的最 k 2

F cr EI

(c) d 2v

dx 2 k 2v 0 (d)

式中 C 1、 C 2为积分常数。 v C 1sinkx C 2coskx 由压杆两端铰支这一边界条件 (e)

x 0， v 0 x l ， v 0 将式(f) 代入式(e) ，得 C 2 0，于是 v C 1sinkx

(f)

(g)

(h) 式(g) 代入式 (h) ，有

C 1sinkl 0 在式(i) 中，积分常数 C 1不能等于零，否则将使有 v 0 ， 状态，与事先假设压杆处于微弯状态相矛盾，所以只能有

sinkl 0

(i) 这意味

着压杆处

(j)

由式 (j) 解得 kl n n 0，1，2， k ＝ n l

(k) k 2 n 2 2

l 2 F cr

EI

F cr n

2 2EI n 0，1，2， (l)

l 2 因为 n 可取 0，1，2，⋯中任一个整数，所以式 (1) 表明，使压杆保持曲线形态平衡的