数项级数的性质及其应用

数项级数的性质及其应用

数学学院数学与应用数学（师范）专业 2008级孟野

指导教师

摘要：

级数是数学分析中的一个重要组成部分，而数项级数是则是一类特殊的级数，它是级数论的基础。本文首先对数项级数的内容加以整理和归纳，给出了正项级数、交错级数等几种数项级数的分类以及他们的内容和相关性质、定理，接着举例说明了这些数项级数在极限中的应用。最后，对数项级数相关内容进行了变形和推广。

关键词：数项级数；正项级数；幂级数；极限；

Abstract：The series is an important part of mathematical analysis, and the several series is a special kind of series is a series on the basis of. Firstly, organize and summarized the contents of a number of series, a series of positive terms, alternating series, several series classification and their content and nature of the theorem, and then illustrates these numbers series in the limit. . Finally, a number of series-related content, the deformation and promotion.

Key words：A number of series; series of positive terms; power series; limit;

1 引言

数项级数是数学分析中很重要的一部分内容。数项级数的理论实际上只是极限的另一种表现形式，这种表现形式是研究许多实际问题及进行数值计算的一种必不可少的工具]1[。数项级数不仅包括常数项级数与函数项级数两部分；同时，又可分为正项级数、交错级数和任意项级数三部分。函数项级数则可分为幂级数和傅里叶级数。本文则是对数项级数加以整理和归纳，在正项级数、交错级数、任意项

级数和幂级数四部分加以研究。

2 预备知识

定义2.1 设给定一个数列12,,,,n u u u ，则表达式12n u u u ++++ 称为无穷级数.其中12,,,,n u u u 叫做该级数的项，n u 称为一般项或通项.由于式中的每一项

都是常数，所以又叫数项级数，简称级数，并记为1

n i u ∞

=∑.称121

n

n i

i u u u u

=+++=

∑ 为部分和数列，记作n S .

定义2.2 若级数1

n i u ∞

=∑的部分和数列为{}n S 的极限存在，即lim n n S S →∞

=，则称级数

1

n i u ∞

=∑

收敛，S

称为级数的和.并记为1

n

n S u ∞

==

∑，这时也称该级数收敛于S ；若部

分和数列的极限不存在，就称级数1

n i u ∞=∑发散.

定义2.3 若通项为实数的无穷项级数 ∑∞

=1

n n u 每一项n u 都大于等于零，则称∑∞

=1

n n

u 是一正项级数。

定义2.4 具有以下形式的级数()∑∞

=-0

1n n n u 被称作交错级数。其中所有n u 非负.

定义2.5 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数。对任意项级数∑∞

=1

n n u ，若

∑

∞

=1

n n

u 收敛，则称原级数∑∞

=1

n n u 绝对收敛。若原级数收敛，但∑∞

=1

n n u 发散，则称原

级数∑∞

=1

n n u 条件收敛。

定义2.6 形同 ∑∞

=-1

0)(n n n x x a 的函数项无穷级数称为0x x -的幂级数。 一般只需

讨论形同 ∑∞

=1

n n n x a 的幂级数。

引理2.1（正项级数收敛的基本定理） 如果正项级数的部分和数列具有上界，则此级数收敛；如果正项级数的部分和数列无上界，则此级数发散到∞+。

引理2.2 （莱布尼茨定理）如果一个交错级数 ∑∞

=+-1

1)1(n n n u 的项满足： （1）单调减少 1+≥n n u u （n=1,2,3,…）； （2）0lim =∞

→n n u 。

则 0

1 级数 ∑∞

=+-1

1)1(n n n u 收敛；

02 它的余和n r 的符号与余和第一项的符号相同，并且余和的绝对值不超过余和的第一项的绝对值：1+≤n n u r 。

引理2.3 （阿贝尔判别法）若交错级数 ∑∞

=--1

1)1(n n n a 中n n n v u a =， 其中 ∑∞

=--11)1(n n n u 收敛，数列n v 单调有界，即 K v n ≤（n=1，2，3，…），

则交错级数 ∑∞

=--1

1)1(n n n a 收敛。

引理2.4 绝对收敛级数必为收敛级数。但反之不然。

引理 2.5（阿贝尔引理） 若∑∞

=-00)(n n n x x a 在点ξ=x 收敛，那么它必在

00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-0

0)

(n n

n

x x a

在点ξ=x 发散，则它必在

00x x x ->-ξ也发散。

引理2.6（柯西-阿达玛定理） 幂级数 ∑∞

-0

0)(n n x x a ，在R x x <-0内绝对收敛，

在R x x >-0内发散。由此可见，对任何一个幂级数，都存在一个以0x 为中心，以

R

为半径的区间，在这个区间内幂级数绝对收敛，而在区间外，幂级数发散。我

们称此R 是幂级数的收敛半径。

3 数项级数的应用

数项级数极其巧妙和独特，应用十分广泛。下面，我们将举例说明数项级数在极限中的应用。

3.1 正项级数在极限中的应用]3[

例3.1.1 设级数∑∞

=1

n n a 收敛，n a >0，n a ↘ ，试证n n na +∞

→lim =0。

证明 分析 要证明n n na +∞

→lim =0，即0>∀ε，要证0>∃N ，使得N n >时，

有ε<≤n na 0。 下面证明此例：

因 ∑∞

=1n n a ()0>n a 收敛，根据Cauchy 准则，0>∀ε，0>∃N ，N n >

时，2

021ε

<

+++<++n N N a a a （1）

但 n a ↘ ，故()2

1ε

<

++≤-+n N n a a a N n ，