离散数学总复习指南、大纲
离散数学期末复习
离散数学内容总结大纲第一篇 数理逻辑第1章 命题逻辑求命题公式的主析取范式及主合取范式例 求()()p r q p ∨⌝∧∨的主析取范式及主合取范式。
例 求(P →Q)∧R 的主析取范式及主合取范式。
例 求命题公式R Q P ∨∧)(的主析取范式和主合取范式。
例 求公式A =(p →⌝q )→r 的主析取范式与主合取范式。
例 求()r q p →→的主析取范式。
判断公式类型例 用等值演算法判断公式q ∧⌝ (p →q )的类型例 判断下列命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式），方法不限。
(1)(2)证明例 证明：()()()r q r p r q p →∧→⇔→∨ 例 证明：r q p r q p →∧⇔→→)()( 例 推证：⌝Q ∧(P →Q)⇒⌝P例 前提：q p s q r p ∨→→,,，结论：s r ∨。
该结论是否有效？请说明原因。
在命题逻辑中构造下面推理的证明：例 如果小张守第一垒并且小李向B 队投球，则A 队获胜。
或者A 队未获胜，或者A 队成为联赛的第一名。
小张守第一垒。
A 队没有成为联赛的第一名。
因此小李没有向B 队投球。
解：先将简单命题符号化。
P：小张守第一垒；Q：小李向B队投球；R：A队取胜；S：A 队成为联赛第一名。
前提：(P∧Q)→R，R∨S，P，S结论：Q证明：(1) R∨S 前提引入(2) S 前提引入(3) R (1)(2)析取三段论(4) (P∧Q)→R 前提引入(5) (P∧Q) (3)(4)拒取式(6) P∨Q (5)置换(7) P 前提引入(8) Q (6)(7)析取三段论例一个公安人员审查一件盗窃案，已知下列事实：（1）甲或乙盗窃了录像机；（2）若甲盗窃了录像机，则作案时间不能发生在午夜前；（3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前；（5）午夜时屋里灯光灭了。
根据以上事实，推断谁是盗窃犯。
（在命题逻辑中构造推理证明。
离散数学复习提纲
离散数学复习2012本复习提纲仅列出了上课时所讲过的每一章节的知识点，请大家对照知识点认真复习。
第一章数理逻辑§1命题及其真值命题概念，命题联结词，命题真值表，命题符号化§2重言式命题公式的性质，逻辑等价公式，永真蕴含公式，命题公式推倒（化简与证明）§3范式指派，析取范式，合取范式，极小项，极大项，主范式的求法，主范式与真值表之间的关系//§4联结词的扩充与归约//功能完备集，与非，或非§5推理规则和证明方法反证法，CP规则，直接证明法 //条件证明法、命题公式证明§6谓词和量词全称量词，存在量词，基于谓词的命题符号化，公式的解释§7谓词演算的永真公式谓词公式的等价公式和永真蕴含公式 //前束范式//§8 谓词演算的推理规则//基于谓词的推理，ES、EG、US、UG规则第二章集合§1集合论的基本概念集合的定义，表示方法§2集合的运算交，并，补，差，环和，环积，幂集，包含排斥定理//§3 自然数//定义（了解）§4 集合的笛卡尔乘积序偶的特点，笛卡尔乘积的计算，第三章二元关系§1关系的基本概念二元关系的定义，表示方法（关系图、关系矩阵），性质判断及证明（自反，反对称，对称，反对称，传递）§2关系的运算二元关系的合成运算，逆运算，两种运算的矩阵表示§3关系上的闭包运算自反闭包，对称闭包，传递闭包的求法§4次序关系偏序关系的定义，哈斯图，8种特殊元素§5等价关系和划分等价关系的定义，等价划分，等价关系的证明第四章函数§1函数的基本概念定义、合成运算§2特殊函数类单射，满射，双射的判断//§3逆函数//定义第八章图论§1图的基本概念图、点、边的相关概念§2路径和回路基本路径，简单路径，基本回路，简单回路，最短路径（迪克斯特拉算法）§3图的矩阵表示邻接矩阵，可达性矩阵，//关联矩阵//§4 欧拉图和哈密尔顿图//欧拉图的定义、判断方法；哈密尔顿图的应用-最小哈密尔顿回路（TSP）问题（最邻//近算法）//§5*二部图和平面图//定义，应用§6树树的定义，性质，生成树，最小生成树（克鲁斯克儿算法）§7有向树二元树的定义，遍历，二元树与普通树的转换，表达式的计算等试卷类型：闭卷题型：填空题、命题符号化、作图、证明、计算。
离散数期末复习
1
推理证明过程如下：
2
(∀x)(N(x) I(x)) P规则
3
(∃x)(N(x)
I(x)) T规则和
4
N(a)
I(a)
ES
1
规则和2
5
N(a)
T规则和3
6
I(a)
T规则和3
7
(∀x)(N(x) (Q(x)∇E(x)))
P规则
8
N(a) (Q(a)∇E(a)) US规则和６
• 8 Q(a)∇E(a)
空关系vs空集上的关系
空集上的关系：自反的，反自反的，对称的，反对称的， 可传递的。在空集上可定义任意元 关系。
性质：若A非空，空关系是反自反的，对称的，反对称的，可传递的； 若A是空集，该空关系是自反的，反自反的，对称的，反对称的，可传递的
空关系：对于任何集合A, 称空集为A上的空关系.
1. 3-1设A={1,2,3},R是ρ(A)上的二元关系，且R={<a,b>|a,b∈ρ(A),a∩b≠Φ},则R 不满足下列哪些性质？为什麽？
2. 自反性 2)反自反性 3)对称性 3. 反对称性 5)传递性 4. 解：1)因为Φ∈ρ(A)，但Φ∩Φ＝Φ 5. 所以<Φ,Φ>∉R，即Ｒ不满足自反性。 6. 因为{1}∈ρ(A)但{1}∩{1}={1}≠Φ 7. 即<{1},{1}>∈R，因此Ｒ不是反自反的． 8. 对任意x,y∈ρ(A),若x∩y≠Φ,即 9. <x,y>∈R,则y∩x≠Φ即<y,x>∈R即R满足对称性。
1. s(R)=R∪R~ 2. t(R)= ∪i=1nRi 3. 关系的性质： 4. R是自反的＝(∀x)(x∈X <x,x>∈R) 5. R是反自反的＝(∀x)(x∈X<x,x>∉R) 6. R是不自反的 7. (∃x)(∃y)(x,y∈X<x,x>∈R<y,y>∉R) 8. R是对称的＝(∀x)(∀y)(x,y∈X <x,y>∈R <y,x>∈R) 9. R是反对称的=(∀x)(∀y)(x,y∈X<x,y>∈R <y,x>∈Rx=y)
离散数学复习提纲
离散数学复习提纲离散数学是一门关于离散对象的数学分支，它主要研究离散结构及其性质，广泛应用于计算机科学、信息技术、密码学等领域。
下面是一个离散数学的复习提纲，包括离散数学的基本概念、离散结构、图论、关系、逻辑以及集合论等内容。
一、离散数学的基本概念1.数学基础：集合、函数、关系、证明方法（数学归纳法、反证法、递归法等）；2.命题逻辑：命题、命题连接词、真值表、逻辑运算、逻辑等价、推理规则等；3.谓词逻辑：谓词、量词、公式、合取范式和析取范式、蕴含、等价、量词的否定规则等；4.证明方法：直接证明、间接证明、归谬证明、证明策略等。
二、离散结构1.图论：图的基本概念、图的表示方法、连通性、路径和回路、图的着色、最小生成树等；2.代数结构：群、环、域的定义、性质及基本例子；3.组合数学：组合基本原理、二项式系数、排列组合、生成函数、递归关系、容斥原理等；4.有限状态自动机：确定性有限状态自动机、非确定性有限状态自动机、正则表达式等。
1.图的基本概念：顶点、边、路径、回路、度等；2.图的表示：邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等；3.图的遍历：深度优先、广度优先；4. 最短路径问题：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法；5. 最小生成树问题：Prim算法、Kruskal算法；6.匹配问题：最大匹配、二分图匹配等。
四、关系1.关系的基本概念：关系矩阵、关系的性质（反自反性、对称性、传递性等）；2.等价关系：等价关系的性质、等价类等；3.偏序关系：偏序关系的性质、偏序集合、哈斯图等；4.传递闭包：传递闭包的定义、传递闭包的计算方法等。
五、逻辑1.命题逻辑：命题的定义、逻辑运算、真值表、逻辑等价、推理规则等；2.谓词逻辑：量词的定义、公式的定义、量词的否定规则、等价变换等；3.命题逻辑与谓词逻辑的转换；4.形式化推理：前向链式推理、后向链式推理、消解法等。
1.集合的基本概念：子集、并集、交集、差集、补集等；2.集合运算：集合的并、交、差、补等运算的性质；3.集合的关系：包含关系、相等关系、等价关系等；4.集合的表示方法：列举法、描述法、元祖法等；5.集合的基数：有限集合的基数、无穷集合的基数、基数的性质。
离散数学复习提纲(完整版)解析
《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明）一、命题逻辑[复习知识点]1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔），复合命题2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理[复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析]1、公式类型的判定判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。
例1.试求下列公式的主析取范式：（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P ∧⌝P ）↔Q（2）⌝（P →Q ）∧Q（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）解：（1） 真值表因此公式（1）为可满足。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
离散数学复习提纲(1-457章)
离散数学复习提纲第一章 命题逻辑1．（P ∨Q ）→（⌝Q ∧R ）的主合取范式和主析取范式。
2．试求下列公式的主析取范式：（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（an: ))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）3．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P ∧⌝P ）↔Q（2）⌝（P →Q ）∧Q（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）(an: 解：（1）真值表)（2因此公式（2）为恒假。
（3因此公式（3）为恒真。
4．┐Q ∧（P →Q ）蕴涵 ┐P法1：真值表法2：若┐Q ∧（P →Q ）为真，则 ┐Q ，P →Q 为真，所以Q 为假，P 为假，所以┐P 为真。
法3：若┐P 为假，则P 为真，再分二种情况：①若Q 为真，则┐QÙ（P →Q ）为假②若Q 为假，则P →Q 为假，则┐Q ∧（P →Q ）为假根据① ②，所以 ┐Q ∧（P →Q ）蕴涵 ┐P 。
）5．利用基本等价式证明下列命题公式为恒真公式。
（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）（an: 1、证明：（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）=（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））→（⌝P ∨R ）=⌝（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））∨（⌝P ∨R ）=（P ∧⌝Q ）∨（Q ∧⌝R ）∨⌝P ∨R=（（P ∧⌝Q ）∨⌝P ）∨（（Q ∧⌝R ）∨R ）=（1∧（⌝Q ∨⌝P ））∨（（Q ∨R ）∧1）= ⌝Q ∨⌝P ∨Q ∨R=（⌝Q ∨Q ） ∨⌝P ∨R= 1 ∨⌝P ∨R= 1（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）=（（P ∨Q ）∧（P ∨（Q ∧R ）））∨（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ））=（P ∨（Q ∧ Q ∧R ））∨（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ））=（P ∨（Q ∧R ））∨⌝（P ∨（Q ∧R ））=1）6．用形式演绎法证明：{S R R Q Q P →∨⌝∨⌝,,}蕴涵S P →(an: 证明：2006年12月离散数学复习提纲 3（1）Q P ∨⌝ 规则P（2）Q P → 规则Q （1）（3）R Q ∨⌝ 规则P（4）R Q → 规则Q （3）（5）R P → 规则Q （2）（4）（6）R →S 规则P（7）P →S 规则Q （5）（6） )7．用形式演绎法证明：（E F D D C B A →∨∧→∨)(),()蕴涵A E →（an: 、证明：(改()()(),()F D F D B A B A ∨∧∨∧为为)（1）A 规则D（2）A ∨B 规则Q （1）（3）)()(D C B A ∧→∨ 规则P（4）D C ∧ 规则Q （2）（3）（5）D 规则Q （4）（6）F D ∨ 规则Q （5）（7）E F D →∨)( 规则P（8）E 规则Q （6）（7）（9）E A → 规则Q （1）（8））8．┐（P ∧┐Q ），┐Q ∨R ，┐R 蕴涵 ┐P（an: （1）┐Q ∨R（2）┐R（3）┐Q（4）┐（P ∧┐Q ）（5）┐P ∨Q（6）┐P ）9．某案涉及甲、乙、丙、丁四个，根据已有线索，已知：（1） 若甲、乙均未作案，则丙、丁也均未作案；（2） 若丙、丁均未作案，则甲、乙也均未作案；（3） 若甲与乙同时作案，则丙与丁有一人且只有一人作案；（4） 若乙与丙同时作案，则甲与丁同时作案或同未作案。
(完整word版)离散数学复习提纲(完整版)
《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明)一、命题逻辑[复习知识点］1、命题与联结词(否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔）,复合命题2、命题公式与赋值(成真、成假）,真值表,公式类型（重言、矛盾、可满足),公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容:命题与联结词、公式与解释、(主)析取范式与（主)合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理［复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法.2、理解公式与赋值的概念;掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取(合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取(合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取)范式的方法.4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析］1、公式类型的判定判定公式的类型,包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法,二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点:一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律）,结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语(或子句）只保留一个.3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法(直接证明法、附加前提证明法和归谬法）. 例1.试求下列公式的主析取范式:(1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真?恒假？可满足？（1)（PP ）Q （2)（P Q)Q （3）（（P Q)(Q R ））（P R) 解：（1） 真值表 P QP P P （P P)Q 0 01 0 1 0 11 0 0 1 00 0 1 1 1 0 0 0因此公式(1)为可满足.（2） 真值表P Q P Q （P Q) （P Q）Q0 0 1 0 00 1 1 0 01 00 1 01 1 1 0 0因此公式（2）为恒假。
离散数学复习纲要 (定稿)
离散数学复习纲要一、数理逻辑1．范式（析取范式)(1.3)（9ρ表12.1-逻辑恒等式） 2．范式（合取范式)(1.3)（9ρ表12.1-逻辑恒等式） 3．命题(真值表技术）(1.1)（6ρ例101.1-）4．范式（主合取范式）（1.3)（20ρ第四段主合取范式与主析取范式的足标互补） 5．范式（主析取范式）（1.3）（（20ρ第四段主合取范式与主析取范式的足标互补） 6．谓词与量词，特别是全称量词与特称量词以及二元关系的如),(y x H 之类的关系）（1.6）（37ρ例46.1-，例56.1-）7．命题符号化（1.1）(4ρ例81.1-）8．推理规则与证明方法（1.5）（p 规则与cp 规则）（26ρ表15.1-最常用的推理规则） 9．命题符号化与推理证明（1.1,1.5)（29ρ例75.1-） 二、集合10．语言上的运算与笛卡尔乘积（定义2.4-4，定义2.5-2）（2.4,2.5）（87ρ例))4(),1(15.2- 11．集合上的运算（幂集）（2.2）(67ρ例52.2-)2(),1(） 12．集合上的运算（集合的并，差，补，环合，环积）（2.2）13．笛卡尔乘积（2.5）87(ρ例))4(),1(15.2-61(ρ定义))3(),2(),1(12.2-66,32.2(ρ-定义)62.2,52.2--14．集合上的运算（容斥原理）（2.2）69(ρ例))2(),1(62.2- 三、二元关系15．关系的合成与闭包运算（3.2,3.3）106105)(13.3(ρρ-定理))63.3,53.3,43.3(--- 16．等价关系与划分（3.5）（例65.3126-ρ）17．二元关系基本概念（自反，反自反，对称，反对称，传递）（3.1）(94ρ定义51.3-） 18．.二元关系的证明（二元关系的基本概念与关系的合成）（3.1,3.2）（等价关系的证明，证明自反性，对称性，传递性）19．次序关系（偏序关系，拟序关系与良序关系）（3.4）（111ρ哈斯图定义）（112ρ定义)3(),2(),1(24.3-，定义)2(),1(34.3-，113ρ定义)2(),1(44.3-以及注意）四、函数20．特殊函数类（确定函数的单射，双射，满射性）（4.2）(140ρ图,12.4-141ρ定理22.4-）五、图论21．有向树（二元搜索树：左序,中序，右序周游算法）（8.8)（317ρ8.8.3 搜索树与决策树，321ρ习题9）22．图的基本概念（结点的度数（次数））（8.1.2）（256ρ定理11.8-） 23．有向树（决策树）（8.8.3）（317ρ8.8.3 搜索树与决策树特别是波兰表示） 24．树（普通树与二叉树的转化）（8.7）（314ρ例58.8-)2(),1() 25．树（普通树与二叉树的转化）（8.7）(320ρ习题5）26．最小生成树（克鲁斯卡尔算法）（8.7.3）（308ρ定理97.8-及之下的例题） 27．树（证明8.7.1）（8.7）（305ρ定理17.8-证1)28．迪克斯特拉算法（路径和回路）（8.2）（269ρ例12.8-）29．迪克斯特拉算法的解题思路是先写出最短路径的表格再写出从起点到所要求的点的最短路径，这个过程会有两个可能，及第一次选的那个点就是最终要求的点，如若不是还要重新选择另一个划分，这样最终才能够得到我们想要的结果。
离散数学复习提纲
离散数学复习提纲2010-2011-1《离散数学》复习提纲第⼀部分数理逻辑第⼀章命题逻辑基本概念§1.1 命题与联结词1. 命题与真值命题，命题的真值，真命题，假命题，简单命题（原⼦命题），复合命题2. 命题与真值的符号化⽤p，q，r等⼩写英⽂字母表⽰命题，⽤数字1代表真，0代表假。
3. 常⽤联结词及其符号化否定，合取，析取，蕴涵，等价4. 基本复合命题设p，q为命题否定式┐p合取式p∧q析取式p∨q蕴涵式p→q分清逻辑关系、真值以及在⾃然语⾔中对“p→q”的不同的描述⽅法。
等价式p?q5. 复合命题基本复合命题以及多次使⽤常⽤联结词复合⽽成的命题统称为复合命题。
深刻理解5种常⽤联结词的涵义，并能准确地应⽤它们将复合命题符号化。
§1.2 命题公式及其赋值1. 命题常项与命题变项命题常项（简单命题），命题变项（取值为1或0的变量p，q，r……）2. 命题公式与赋值合式公式（也称命题公式或公式），公式的层次，公式的赋值，成真赋值，成假赋值，真值表3. 命题公式的类型重⾔式（永真式），⽭盾式（永假式），可满⾜式4. 判断公式类型的⽅法在本章内主要⽤真值表判断命题公式的类型，进⽽求公式的成真赋值和成假赋值。
理解命题的赋值、成真赋值，成假赋值，重⾔式、⽭盾式、可满⾜式第⼆章命题逻辑等值演算§2.1 等值式1. 等值式若A?B为重⾔式，则称A与B是等值的。
记为A?B2. 基本等值式3. 等值演算由已知等值式推演除新的等值式的过程。
4. 重⾔式与⽭盾式的判别法A为重⾔式当且仅当A?1，A为⽭盾式当且仅当A?0。
§2.2 析取范式与合取范式1. 基本概念⽂字，简单析取式，简单合取式，极⼩项，极⼤项，析取范式，合取范式，主析取范式，主合取范式深刻理解极⼩项、极⼤项的定义、名称、下脚标与成真赋值的关系。
2. 主要定理在命题逻辑中，任何公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯⼀的。
离散数学期末复习大纲
代数系统的定义
由非空集合及定义在该集 合上的一组运算构成的数 学结构。
代数系统的性质
封闭性、结合律、交换律、 分配律、吸收律等。
同态与同构
保持运算的映射关系，探 讨不同代数系统之间的结 构与性质相似性。
群、环、域等代数结构介绍
STEP 02
STEP 03
域的定义及性质
每个非零元素都有乘法逆 元的交换环，具有更丰富 的数学性质。
集合间关系与运算
集合间的关系
子集、真子集、相等集合等概念及其性质。
集合的运算
并集、交集、差集、补集等运算的定义、性 质及计算方法。
集合运算的优先级
括号>补集>交集>并集，在运算中应注意运 算优先级。
笛卡尔积与幂集
01
笛卡尔积的定义
设A和B为任意两个集合，则所有 有序对(a,b)的集合，其中a∈A， b∈B，称为A和B的笛卡尔积， 记作A×B。
形式语言与自动机
运用代数方法研究形式语言的语 法和语义，以及自动机的结构和 性质。
自动机理论
将计算过程抽象为状态转移的过 程，利用代数系统描述和分析自 动机的行为。
Part
07
总结与展望
关键知识点回顾与总结
命题逻辑
谓词逻辑
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
集合论
图论
代数系统
掌握命题、联结词、真 值表、逻辑等价、范式 等基本概念和性质，能 够运用推理规则进行逻 辑推理和证明。
Part
04
逻辑初步
命题逻辑基本概念及公式化简方法
命题逻辑基本概念
命题、联结词、真值表、命题公式、重言式、矛盾式 等。
公式化简方法
利用逻辑等价公式进行化简，如德摩根定律、分配律 等。
离散数学辅导大纲
离散数学期末复习提纲一、基本概念:1.数理逻辑中使用哪8条推理规则?其中哪几条规则的使用是有条件限制的?2.把实际问题符号化时,全称量词对应哪个逻辑连接词?存在量词对应哪个逻辑连接词?3.一个谓词公式一经量化就是一个确定的命题,假设个体域为S={1，2，3，⋯}如何确定(∀x)A(x)和（∃x）A(x)的真值？4.何为极小项(极大项)?极小项(极大项)一定是基本积(基本和)吗?5.何为判定问题?解决判定问题的途径是什麽?6.对偶式和对偶原理相同吗?7.一个谓词公式的前束范式具有什麽样的结构?8.⎨⌝,∧,∨⎬是最小功能完备集吗？为什麽？9.设A和B为任意两个集合，A⨯B一定是二元关系吗？10.一个关系可能具有哪些性质？每种性质的形式化描述如何？11.如何从一个关系的关系矩阵来判断其性质？在关系上可以进行哪些运算？12.R*和R+的意义各是什麽？13.我们都介绍了哪些特种关系？它们的形式化定义是什麽？14.划分和什麽关系相对应？覆盖和什麽关系相对应？15.盖复和覆盖是同一个概念吗？什麽关系使用哈斯图？画哈斯图时用到什麽概念？16.极大员、极小员、最大员、最小员和上界、下界、上确界、下确界定义的根本区别在哪里？17.是关系一定是函数，是函数一定是关系这两句话哪一句是正确的？18.一个关系若存在，则其逆关系一定存在；一个函数若存在，则其反函数一定存在这两句话哪一句是正确？19.我们介绍了哪些特种函数？20.当一个函数满足什麽条件时，就是运算？一个零元运算又叫集合X中的特异元素，我们介绍了哪些特异元素？21.两个无限集通过什麽方法比较大小？22.何为两个代数系统的同态，同构？23.何为同余关系？一个同余关系会造成一个集合的商集，一个商集一定是原集合的覆盖吗？24.何为群？寻找子群的Laglangre定理？25.何为格？何为布尔代数？一个元素的补元唯一吗？如果存在一个元素没有补元，还能构成格吗？26.何为图（指图的抽象数学定义）？图的度？d度正则图指的是有向图还是无向图?何为路径?从V i到Vj可达，从Vj到V i一定可达吗？强连通，单向连通，弱连通是指有向图还是指无向图而言？何为一个结点的可达集？设图的邻接矩阵为A，A中行上1的个数，列上1的个数各代表什麽含义？A²和A'²'中的元素含义各是什麽？何为欧拉图？何为哈密顿图？是哈密顿路一定是欧拉路，是欧拉路一定是哈密顿路，这两句话哪一句正确？二元树和二叉树的概念相同吗？什麽是叶加权最优二叉树？公式∑W(V)∙L(v)中各参数的含义是什麽？v∈V27.遍历二叉树有几种方法？二．能够熟练解决以下问题：1．命题逻辑中通过求主范式进行判定的问题。
离散数学复习提纲
离散数学复习提纲集合论一、基本概念集合(set)：做为整体识别的、确定的、互相区别的一些对象的总体。
规定集合的三种方式：列举法、描述法、归纳法集合论的三大基本原理外延公理：两个集合A和B相等当且仅当它们具有相同的元素（无序性）概括公理：对于任意个体域U，任一谓词公式P都确定一个以该域中的对象为元素的集合S（确定性）正规公理：不存在集合A1,A2,A3,…使得…∈A3∈A2∈A1（有限可分，集合不能是自己的元素）注意：隶属、包含的判断（有时两者兼有）定理1：对于任意集合A和B，A=B当且仅当A ? B且B ? A传递性，对全集、空集的?关系等定理5：空集是唯一的子集、真子集、子集个数等运算：并、交、补、差、幂集，及一些运算性质、公式幂集：对任意集合A，ρ(A)称作A的幂集，定义为：ρ(A)={x|x?A}，所有子集的集合设A,B为任意集合，A A B当且仅当ρ(A) ?ρ(B)集合族：如果集合C中的每个元素都是集合，称C为集合族集合族的标志集：如果集合族C可以表示为某种下标的形，C={Sd|d∈D}，那么这些下标组成的集合称作集合族C的标志集广义并、广义交，及相关运算性质、公式归纳定义：基础条款：规定某些元素为待定义集合成员，集合其它元素可以从基本元素出发逐步确定归纳条款：规定由已确定的集合元素去进一步确定其它元素的规则终极条款：规定待定义集合只含有基础条款和归纳条款所确定的成员基础条款和归纳条款称作“完备性条款”，必须保证毫无遗漏产生集合中所有成员终极条款又称“纯粹性条款”，保证集合中仅包含满足完备性条款的那些对象例：自然数的归纳定义、数学归纳法等……（建议看一下课件例子了解一下思路）二、关系有序组（二元）：设a,b为任意对象，称集合族{{a},{a,b}}为二元有序组，简记为称a为的第一分量，b为第二分量递归定义：n=2时，={{a1},{a1,a2}}n>2时，=<< a1,…,an-1>, an>集合的笛卡儿积：对任意集合A,A2,…,A，A1×A2称作集合A1，A2的笛卡儿积，定义如下：A1×A2 = { | u∈A1,v∈A2}A1×A2×…×An =(A1×A2×…×An-1) ×An定理：对于任意有限集合A1,…,An，有|A1×…×An|=|A1|*…*|An|一些运算性质关系是各个对象之间的联系和对应R称为集合A1,A2,…,An-1到An的n元关系，如果R是A1×A2×…×An的一个子集。
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=a*b (吸收律)
3、设G=<Z24，⊕>为模24整数加群。 (1)求G的所有生成元。 (2)求G的所有非平凡的子群。 解：（1）G的生成元：1，5，7，11，13，17，19，23。
（2）G的所有非平凡的子群：<2>，<3>，<4>，<6>，<8>， <12>。 20
4、设G是群，a,b∈G，且(ab)2=a2b2，证明ab=ba。 证：因为群满足消去律，所以 (ab)2=a2b2abab=aabb bab=abb ba=ab 5、设G=<b>是18阶循环群，试求出G的全部生成元和全部子群， 并证明任何子群均为正规子群。
7、二部图和平面图的定义、性质和判定条件
11
二、重点和难点
1、掌握图的基本概念。 2、运用握手定理解题。 3、利用图的矩阵求两个结点间的通路条数。 4、欧拉图和哈密尔顿图的判定。 5、树的遍历方法。
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三、例题
1、设T是2叉正则树，有t片树叶，i个分支点，证明T的边数 m=2t-2 。 证：设T有m条边，根据握手定理可得： t+3i-1=2m…………………………………(1)
12、函数的性质：单射、满射和双射。
13、函数的运算：复合函数、逆函数。 14、集合的基数。 6
二、重点和难点
1、掌握元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系。 2、运用集合运算的基本定律去化简集合表达式或证明集合等 式。
3、掌握二元关系的五个性质和二元关系的运算。
4、等价关系的证明、等价类的求解，偏序关系的特定元素的 求解。
集合论包括集合、二元关系和函数，它们之间的关系是： 二元关系是一种特殊的集合，集合中的元素都是有序对；函 数是一种特殊的二元关系。
一、内容提要
1、集合的两种表示方法：列举法和描述法。 2、特殊的集合：空集、全集、子集和幂集。 3、集合的运算：并、交、差和对称差，各种运算的性质。 4、集合运算的基本定律：交换律，结合律，分配律，吸收律， 德.摩根律等。 5、有序n元组、n维笛卡尔积。 6、关系的定义：笛卡尔积的子集。 5
三、例题
1 、 设 R 是 实 数 集 ， 在 R 上 定 义 二 元 运 算 * ， x,yR ， 定 义 x*y=x+y+2xy。试说明*是否满足结合律、交换律？是否存在幺 元？若存在请求出 。 解： x,y,zR， ①(x*y)*z=(x+y+2xy)*z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z =x+(y+z+2yz)+ 2x(y+z+2yz)= x*(y+z+2yz)=x*(y*z) *运算可结合。 ② x*y=x+y+2xy=y*x *运算可交换。
3、下列命题正确的是（ ）
（a）G为n阶无向连通图，如果G的边数m≥n-1，则G中必有圈 （b）二部图的顶点个数一定是偶数
（c）若无向图G的任何两个不相同的顶点均相邻，则G为哈密 尔顿图
（d）3-正则图的顶点个数可以是奇数，也可以是偶数 解：c正确，因为无向图G为完全图。 a不正确，当G是无向树时，m=n-1，但G中没有圈。
当n=k+1时，从无向树G中删除某个结点v，如果结点v的度数为 i，则有i条边与结点v相关联，且每条边均为桥。因此，从无 向树G中删除结点v后得到i颗无向树，分别为：G1、G2、…、Gi， 且对于所有的j(1ji)，均有|Gj|k。根据假设可得：无向树 Gj的边mj=nj-1。无向树G的结点个数n=n1+n2+…+ni+1，无向树G 的 边 数 m=m1+m2+…+mi+i=(n1-1)+(n2-1)+…+(ni-1)+i= n1+n2+…+ni= n-1。因此，当n=k+1时，结论也成立。 综合(1)、(2)可得：若n阶无向树G=<V,E>中有m条边，则m=n-1。
解：因为循环群都是Abel群，G是循环群，H是G的子群。
aG，hH，有aha-1=aa-1h=eh=hH。 所以，H是正规子群。 G的生成元分别为：b,b5,b7,b11,b13,b17。 G的子群分别为：<b0>,<b>,<b2>,<b3>,<b6>,<b9>
解：
0 2 1 0 2 1 1 6 1 0 0 3 3 5 1 6 0 1 1 0 1 1 1 3 1 1 0 2 3 4 1 7 0 2 1 0 0 2 1 0 1 0 0 3 1 0 0 3 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 2 1 1 0 2
7、关系的表示方法：集合、矩阵和关系图。 8、关系的性质：自反性、反自反性、对称性、反对称性和传 递性。 9、关系的运算：复合运算、逆运算和闭包运算。 10、特殊的二元关系及其相关特性：等价关系（自反性、对 称性、传递性）、偏序关系（自反性、反对称性、传递性）、 等价类、偏序关系中的特殊元素（极大元、上界等）。 11、函数的定义、函数的定义域和值域。
二、离散数学的主要内容有哪些？
离散数学的主要内容可以分为四个部分： 第一部分 集合、函数、函数。包括集合、关系和函数。 第二部分 代数系统。包括代数系统的一般概念，几类典型 的代数系统。
第三部分 图论。包括图的基本概念，几种特殊的图。
第四部分 数理逻辑。包括命题逻辑和谓词逻辑。 3
三、考试
1、题型
b不正确，二部图要求结点能够分成两部分，每部分中的任何 两个结点无边，并没有要求二部图的顶点个数是偶数.
d不正确，3-正则图的所有结点的度数均为3，根据握手定理可 得，所有顶点的度数之和是偶数。所以3-正则图的顶点个数必 为偶数。 14
4 、 已 知 有 向 图 D 的 顶 点 集 合 V(D)={v1,v2,v3,v4}，其邻接矩阵如右图所示。 求从v1到v3长度小于等于3的通路个数。
考试试题的题型有：单项选择题，共10小题，占20分。填 空题，共10个空，占20分。简答题，共2小题，占20分。计算 题，共2小题，占20分。证明题，共2小题，占20分。
2、难易程度 考试题的难度不会超过教材的难度。以基础题为主。 3、考试范围 考试试题覆盖《离散数学》的全部内容。
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第一部分 集合、函数、关系
因为T是2叉正则树，根据树的性质可得：
m=t+i-1…………………………………….(2) 解由(1)，(2)构成的方程组得：m=2t-2。故结论成立。 2、已知无向图G为n(n≥2)阶简单图，G有m条边，则G的补图 有______个结点，有_______条边。
答： G的补图的结点个数等于G的结点个数，等于n。 G的补图 的边数等于n阶完全图的边数减去G的边数，等于n(n-1)/2-m。 13
（2）集合B的极大元：c， 极小元：d、e，最大元：c， 最小元：无，上界：c、a， 上确界：c，下界：无，下 确界：无。
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5、已知f：RR且f(x)=(x+4)^3-2，已知g：RR且g(x)=3*x+5， 求:(1)f与g的合成函数，并求3在f与g的合成函数下的函数值。 (2)g与f的合成函数是否存在逆函数？为什么？如果有，求它 的逆函数。 解 : (1)f°g: RR ， 且 f°g(x)=g(f(x))=3*((x+4)^32)+5=3*(x+4)^3-1 f°g(3)=3*(3+4)^3-1=1028 (2)因为g与f都是双射函数；那么，g与f的合成函数也是双射函 数。故g与f的合成函数存在逆函数。 g°f: RR，且g°f(x)=f(g(x))=3*(3*x+5)^3-2 (g°f)-1: RR，且(g°f)-1(x)=(((x+2)/3)^(1/3)-5)/3 10
16
第三部分 代数系统பைடு நூலகம்
一、内容提要
1、代数系统的定义（封闭性）、特殊元素（幺元，零元、逆 元、幂等元）。
2、代数系统之间的关系：子代数，同态（单同态、满同态、 同构）。 3、同余关系的定义和商代数。 4、半群、独异点和群的定义及其相互间的关系。 5、群的基本性质：消去律、元素的阶。 6、循环群的性质及生成元。
解： ((A∩B)∪A)⊕((B∩~B)⊕A⊕(B∪~B)) (吸收律和零律)
=A⊕⊕A⊕U (同一律) = A⊕A⊕U (零律) = ⊕U = U 8
4、设集合A＝{a, b, c, d, e}，偏序关系R的哈斯图如图所示，若 A的子集B={c, d, e}，求：（1）用列举法写出偏序关系R的集 合表达式；（2）写出集合B的极大元、极小元、最大元、最小 元、上界、下界、上确界、下确界。 解：（1）R=IA{<d,b>, <d,c>, <d,a>, <b,a>, <c,a>, <e,c>, <e,a>}
7、子群的定义及判定方法、正规子群的定义及判定方法、子 群的陪集。 17
8、环和域的定义。 9、子环的定义及其判定方法。 10、格的定义及其性质。
11、特殊的格：分配格、有界格、有补格、有补分配格。
12、布尔代数及其性质。
二、重点和难点
1、代数系统的定义及特殊元素，如何证明两个代数系统同态。
2、循环群的定义及其性质。 3、子群的定义及其判定方法。 4、格的定义及其性质。 18
③ 设幺元为e，xR, e*x=x*e=x+e+2xe=x，由x的任意性,得 e=0R,幺元为0。 19
2 、 已 知 (L ， * ， ) 是 格 ， 且 二 元 运 算 * 和 满 足 分 配 律 ， a,b,cL，化简表达式((a*b)(a*c))* ((a*b)(b*c))。 解：((a*b)(a*c))*((a*b)(b*c)) ＝(a*b) ( (a*c)* (b*c)) (分配律) =(a*b) ((a*b)*c) (幂等律)