几种正多面体的相互呼应

几种正多面体的相互呼应

南师附中江宁分校 韦恩培

近年来，在高考中常考查以某一正多面体为背景的立体几何题，此类问题运用不同的方法解决效果是显然不同的。

1、 常用的三种正多面体的呼应

众所周知，正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正

二十面体。

正四面体，正六面体，正八面体之间可以相互呼应。 在正方体中可以产生正四面体；（正方体对面的一对异面对角线的顶点是正四面体的顶点）如图（1）

在正方体中可以产生正八面体；（正方体六个面的中心是正八面体的顶点）如图（2） 在正八面体中可以产生正方体；（正八面体的八个面的中心是正方体的顶点）如图（3） 在正八面体中可以产生正四面体；（正八面体的两对对面的中心，连线异面的四个面的中心是正四面体的顶点）如图（4）

在正四面体中可以产生正八面体；（正四面体六条棱的中点是正八面面体的顶点）如图（5）

在图（5）的基础上，结合图（4）就能在正四面体中产生正方体。

图（1） 图（2） 图（3）

图（4）

图（6）

相互转化的目的。

2、应用呼应解题

在高考的考查中经常会利用它们之间的相互转化而达到巧解的目的。

例1、一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A ．3π

B ．4π

C ．3π3

D ．6π

提示：利用图（1）正方体产生正四面体具有共同的外接球，即求棱长为1的正方体的外接球的表面积，易求得为π3，选A 。

例2、有一棱长为a 的正四面体骨架（架的粗细忽略不计），其内放置一气球，对其充气，使其尽可能地膨胀（成为一个球）则气球表面积的最大值为 （ ） A ．2

a π

B ．

22

2a π C ．2

2

1a π

D ．

24

1a π 提示：利用图（2）正方体可以产生正八面体，正八面体可以产生正四面体知，符合条件的球即为棱长为

a 2

2

的正方体的内切球，易求得其表面积为221a π，故选C 。

例3、如图（6）棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，过11BC A 的平面截去正方体一角（三棱锥111BC A B -），象这样依次截去正方体所有角，则剩下的几何体的体积为 。 提示：根据图（2）在正方体中可以产生正八面体得，所剩下几何体为 正方体的六个面中心作为顶点的正八面体，易求得其体积为

3

6

1a 。 例4、在甲烷的分子式4CH 中，四个H 位于一个正四面体的四个顶点上，C 位于该正四面体的中心，现已知H 与H 之间的距离为a ，则C 与H 之间的距离为 。

提示：由图（1）易知：该问题等价于已知正方体的面对角线长为a ，求正方体对角线长的一半。易求得结果为

a 4

6

。 例5、正三棱锥S —ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） A ．

90 B ． 60 C ．

45 D ．

30

提示：根据图（1）易知答案为C 。

3、呼应的延伸

正四面体、正六面方体、正八面体之间的联系就是因为正四面体的，正六面体的6=F ，正八面体的6=V ，由表我们不难发现正八面体的12=E ，正十二面体的12=F ，正二十面体的12=V ，因此之间也可以仿照前面的方法相互产生。