几种正多面体的相互呼应
为什么正多面体只有5种，有没有更加直观易懂的解释？
为什么正多面体只有5种，有没有更加直观易懂的解释？生活中我们会遇到许许多多的多面体，其中有一类多面体具有最强的对称性，它们就是正多面体。
正多面体每个面都是正多边形，并且每个顶点的情况完全相同。
古希腊的哲学家柏拉图证明了只存在5种正多面体，而且他认为世界中的元素：风、火、水、土和宇宙，都是由这些多面体构成的。
现在，我们就把这五种正多面体称为柏拉图立体。
为什么正多面体只有五种呢？现实生活中哪些物质的结构是正多面体呢？读一读这篇文章，你就知道了。
正三角形组成的正多面体我们知道，任何一个多面体，每一个顶点都至少要连接三个面。
比如下图中的多面体，有的顶点连接三个面，有的顶点连接四个面、五个面甚至更多。
边数最少的正多边形是正三角形，我们首先来考虑由正三角形构成的正多面体。
按照它每个顶点连接的面的个数不同，我们分情况讨论：首先，如果这个多面体的每个顶点都只连接三个正三角形，我们可以把正三角形“摊平”在一个平面上，这称为多面体的展开图。
并且，假设摊平之后，顶点A连接了红黄蓝三个三角形，如下图所示。
此时，顶点A连接了三个三角形，每个三角形的顶角都是60度，所以三个三角形在A处的角一共180度。
AB和AC两边没有封闭，二者之间还相差180度。
然后，我们可以把这三个面折叠起来变成立体图，并且让AB和AC两条边重叠在一起，再用一个三角形补充底面，这样就会构成一种最简单的正多面体：正四面体，它由四个正三角形组成。
柏拉图认为：正四面体代表火。
在化学里，白磷的分子结构就是正四面体：四个磷原子在正四面体的顶点位置，构成了一个白磷分子。
此外，甲烷结构也是正四面体：碳原子位于正四面体的正中心，四个氢原子位于正四面体的四个顶点上。
那么，如果每个顶点都连接四个正三角形，能否构成正四面体呢？同样，我们画一个展开图。
我们会发现，此时四个正三角形依然没有填满整个平面，AB和AC两条边之间还相差120度角。
我们通过折叠的方法把AB和AC重叠起来，就构成了一个四棱锥，将两个这样的四棱锥贴在一起，就构成了第二种正多面体：正八面体，它由八个正三角形组成。
年高考第一轮复习数学.多面体与正多面体
多面体与正多面体●知识梳理1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体.2.正多面体有且只有5种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.●点击双基1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是 答案：B2.正多面体只有_____________种，分别为________________.答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体3.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1、BB 1的中点，则直线AM 与CN 所成的角的余弦值是_____________.解析：过N 作NP ∥AM 交AB 于点P ，连结C 1P ，解三角形即可. 答案：52●典例剖析【例1】 已知甲烷CH 4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cos θ等于A.－31B.31C.－21D.21 解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得 cos θ=332)22()3()3(222⨯⨯-+=－31（设正方体的棱长为2）.答案：A【例2】 试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离.解：如图，设正八面体的棱长为4a ，以中心O 为原点，对角线DB 、AC 、QP 为x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，－22a ，0）、B （22a ，0，0）、C （0，22a ，0）、P （0，0，22a ），设E 为BC 的中点，连结PE 、QE 、OE ，则∠PEQ =2∠PEO 即为所求二面角的平面角，∵OE =2a ，OP =22a ，∴tan ∠PEO =2，∠PEQ =2arctan 2.设n =（x ，y ，z ）是AB 与PC 的公垂线的一个方向向量，则有n ·AB =x +y =0，n ·PC =y －z =0，解得n =（－1，1，1），所以向量BC =（－22a ，22a ，0）在n 上的射影长d =3||BC n =364a即为所求.特别提示由于正多面体中的等量关系、垂直关系比较多，所以便于建立直角坐标系，运用解析法处理.要注意恰当选取坐标原点，一般取其中心或顶点（如正四棱柱）.【例3】 三个12×12 cm 的正方形，如图，都被连结相邻两边中点的直线分成A 、B 两片〔如图（1）〕，把6片粘在一个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积.解法一： 补成一个正方体，如图甲，V =21V 正方体-=21×123=864 cm 3.甲 乙解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V =V 大三棱锥－3V 小三棱锥=864 cm 3.思考讨论补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是求多面体体积的常用方法.●闯关训练 夯实基础1.每个顶点处棱都是3条的正多面体共有 种种种种解析：正多面体只有5种. 答案：B2.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则异面直线C 1O 与EF 的距离为_____________.答案：42 培养能力3.四面体的一条棱长是x ，其他各条棱长为1. （1）把四面体的体积V 表示为x 的函数f （x ）； （2）求f （x ）的值域； （3）求f （x ）的单调区间.解：（1）设BC =x ，则S 到平面ABC 的垂足O 是△ABC 的外心，连结AO 并延长交BC 于D ，则D 是BC 的中点，且AD ⊥BC ，求得AD =242x -，S ABC ∆=4x 24x -.设△ABC 的外接圆的半径为R ，求得R =241x-，SO =2243x x --， ∴V =31S ABC ∆·SO =12x 23x -（0＜x ＜3）.（2）f （x ）=12x23x -=121 )3(22x x -⋅=12149)23(22+--x ，∵0＜x 2＜3，∴f （x ）∈（0，81）.（3）∵当x =26时，f （x ）取得最大值， 又∵0＜x ＜3，∴f （x ）的单调递增区间是（0，26］，递减区间是［26，3）. 4.（文）已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 为AC 与BD 的交点，M 为DD 1的中点.（1）求证：直线B 1O ⊥平面MAC ； （2）求二面角B 1—MA —C 的大小.（1）证明：∵BB 1⊥平面ABCD ，OB ⊥AC ， ∴B 1O ⊥AC .连结MO 、MB 1，则MO =3，B 1O =6，MB 1=3. ∵MO 2+B 1O 2=MB 12，∴∠MOB 1=90°. ∴B 1O ⊥MO .∵MO ∩AC =O ，∴B 1O ⊥平面MAC . （2）解：作ON ⊥AM 于点N ，连结B 1N . ∵B 1O ⊥平面MAC ，∴AM ⊥平面B 1ON . ∴B 1N ⊥AM .∴∠B 1NO 就是二面角B 1—MA —C 的平面角. ∵AM =5，CM =5，∴AM =CM .又O 为AC 的中点，∴OM ⊥AC .则ON =OA sin ∠MAO =532 =56.在Rt △B 1ON 中，tan ∠B 1NO =ONOB 1=5， ∴∠B 1NO =arctan 5，即所求二面角的大小为arctan 5.说明：本题的两问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的.第（2）问中构造二面角的平面角的方法是典型的三垂线法.（理）在边长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 与C 1D 1的中点. （1）求证：四边形A 1ECF 是菱形； （2）求证：EF ⊥平面A 1B 1C ；（3）求A 1B 1与平面A 1ECF 所成角的正切值. （1）证明：取A 1B 1的中点G ，连结C 1G 、GE .∵A 1G ∥FC 1且A 1G =FC 1，∴A 1GC 1F 是平行四边形.∴A 1F ∥C 1G .同理C 1G ∥CE .∴A 1F ∥CE .由勾股定理算得A 1E =A 1F =CE =CF =25a ，∴四边形A 1ECF 是菱形. （2）证明：连结C 1B ，∵E 、F 分别为AB 与C 1D 1的中点，∴C 1F =BE .又C 1F ∥BE ， ∴C 1FEB 为平行四边形.∴C 1B ∥EF .而C 1B ⊥B 1C ，∴EF ⊥B 1C.又四边形A 1ECF 是菱形，∴EF ⊥A 1C .∴EF ⊥面A 1B 1C .（3）解：由（2）知，EF ⊥平面A 1B 1C ，又EF 平面A 1ECF ，∴平面A 1B 1C ⊥平面A 1ECF .∴B 1在平面A 1ECF 上的射影在线段A 1C 上.∴∠B 1A 1C 就是A 1B 1与平面A 1ECF 所成的角.∵A 1B 1⊥B 1C ，在Rt △A 1B 1C 中，tan ∠B 1A 1C =111B A CB =2.∴A 1B 1与平面A 1ECF 所成角的正切值为2.探究创新5.（2003年烟台诊断性测试）（B ）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，且AC 与BD 交于点O ，E 为棱DD 1的中点，以A 为原点，建立空间直角坐标系A —xyz ，如图所示.（1）求证：B 1O ⊥平面EAC ；（2）若点F 在EA 上且B 1F ⊥AE ，试求点F 的坐标； （3）求二面角B 1—EA —C 的正弦值.（1）证明：由题设知下列各点的坐标：A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），E （0，2，1），B 1（2，0，2）.由于O 是正方形ABCD 的中心， ∴O （1，1，0）.∴O B 1 =（－1，1，－2），=（2，2，0），=（0，2，1）. ∴O B 1·AC =（－1，1，－2）·（2，2，0）=－1·2+1·2－2·0=0，O B 1·AE =（－1，1，－2）·（0，2，1）=－1·0+1·2－2·1=0.∴O B 1⊥AC ，O B 1⊥AE . ∴B 1O ⊥平面ACE .（2）解：设点F 的坐标为F （0，y ，z ），则F B 1 =（－2，y ，z －2）， ∵F B 1⊥AE ，∴F B 1·AE =（－2，y ，z －2）·（0，2，1）=2y +z －2=0.①又∵点F 在AE 上，∴AF =λAE （λ∈R ）. 又AF =（0，y ，z ），∴（0，y ，z ）=λ（0，2，1）=（0，2λ，λ）. 于是⎩⎨⎧.==λλz y ,2②由①②可得λ=52，y =54，z =52，∴F （0，54，52）.（3）解：∵B 1O ⊥平面EAC ，B 1F ⊥AE ，连结OF ，由三垂线定理的逆定理得OF ⊥AE ，∴∠OFB 1即为二面角B 1—EA —C 的平面角. ∵|O B 1|=222)2(1)1(-++-=6， 又F B 1=（－2，54，－58）， ∴|F B 1|=222)58()54()2(-++-=556. 在Rt △B 1OF 中，sin ∠B 1FO 11=630. 故二面角B 1—EA —C 的正弦值为630. ●思悟小结1.割补法是求多面体体积的常用方法.2.理解多面体、正多面体、凸多面体的概念，熟悉五种正多面体. ●教师下载中心 教学点睛学习本节要使学生理解多面体、正多面体的概念. 拓展题例【例1】 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线CD 1和BC 1所成的角是 °°°°解析：连结D 1A 1、AC ，知△ACD 1是等边三角形，且D 1A ∥BC 1，所以BC 1与CD 1所成的角是60°.答案：A【例2】 边长为a 的正三角形，要拼接成一个正三棱柱且不剩料，应如何设计?（在图中用虚线画出）解：设O 为△ABC 的中心，连结OA 、OB 、OC ，并设OA 、OB 、OC 的中点分别为A 1、B 1、C 1，过A 1、B 1、C 1分别向三边作垂线，则所得三个矩形即为三个侧面，三个角上的小四边形拼在一起即为上底面.【变式】 △ABC 若为一般三角形，又如何拼接？【例3】 如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1B 1和B 1C 1的中点.（1）求二面角B 1—BF —E 的大小. （2）求点D 到平面BEF 的距离.（3）能否在棱B 1B 上找到一点M ，使DM ⊥面BEF ？若能，请确定点M 的位置；若不能，请说明理由.解：（1）过B 1作B 1G ⊥BF 于G ，连结EG ，则由EB 1⊥面B 1BCC 1，可知EG ⊥BF . ∴∠B 1GE 是二面角B 1—BF —E 的平面角. 在Rt △BB 1F 中，B 1B =a ，B 1F =2a ， ∴BF =2121F B B B +=25a ， B 1G =BF F B B B 11⋅=a aa 252⨯=55 a . 在Rt △B 1GE 中，B 1E =2a ，B 1G =55a ， ∴tan ∠B 1GE =G B E B 11=a a552=25.∴∠B 1GE =arctan25. 故二面角B 1—BF —E 的大小为arctan 25. （2）连结B 1D 1与EF 交于N ， 则EF ⊥B 1D 1.又BB 1⊥EF ， ∴EF ⊥面BB 1D 1D .又EF ⊂面BEF ，∴面BEF ⊥面BB 1D 1D ，且面BEF ∩面BB 1D 1D =BN .过D 作DH ⊥BN 于H ，则DH ⊥面BEF . ∴DH 的长即为点D 到面BEF 的距离. 在矩形BB 1D 1D 中， 易证△BDH ∽△NBB 1， ∴1BB DH =BN DB ，DH =BN DB BB ⋅1=a a a 4232⨯=34a .故点D 到面BEF 的距离为34a . （3）在平面BB 1D 1D 中，延长DH 交BB 1于M ，由（2），DH ⊥面BEF ， ∴DM ⊥面BEF . 由△BDM ∽△B 1BN ，有N B BM 1=1BB BD， ∴BM =11BB NB BD ⋅=a aa 422⨯=2a . 则M 为BB 1的中点.故在棱BB 1上可找到点M ，使DM ⊥面BEF ，此时M 为BB 1的中点.。
正多面体的七种不同类型的着色公式
Pure Mathematics 理论数学, 2020, 10(5), 540-548Published Online May 2020 in Hans. /journal/pmhttps:///10.12677/pm.2020.105066Seven Different Types of Coloring Formulas for Regular PolyhedronsRenbing XiaoSchool of Mathematics, Yunnan Normal University, Kunming YunnanReceived: Apr. 25th, 2020; accepted: May 18th, 2020; published: May 25th, 2020AbstractIn this paper we obtain the coloring formulas of vertex, edge, surface, point edge, point surface, edge surface, and point edge surface of regular polyhedrons by using Pólya theorem. Our method is to use the knowledge of permutation groups. First we determine the rotation groups of all regu-lar polyhedrons, and then we determine the permutation types and the numbers of elements in the induced permutation groups. Then the formulas are obtained by considering the actions of the groups on the set.KeywordsRegular Polyhedron, Rotation Group, Coloring Formula, Pólya Theorem正多面体的七种不同类型的着色公式肖仁兵云南师范大学数学学院，云南昆明收稿日期：2020年4月25日；录用日期：2020年5月18日；发布日期：2020年5月25日摘要本文我们研究正多面体的顶点、边、面、点边、点面、边面和点边面的着色公式。
辽宁省2024届高三下学期321模式新高考适应性统一考试数学试卷
辽宁省2024届高三下学期3 2 1模式新高考适应性统一考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“1,ln 0x x ∀>>”的否定是（ ） A ．1,ln 0x x ∀>< B ．1,ln 0x x ∀>≤ C ．1,ln 0x x ∃>≤D ．1,ln 0∃≤≤x x2．将函数sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则π()3g =（ ）A ．1B C ．12D ．12-3．某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为111，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为14；若前一题答对，则此题答对的概率为13.记甲同学回答第n 题时答错的概率为n P ，当2n ≥时，n P M ≤恒成立，则M 的最小值为（ ） A ．97132B ．49132C ．4766D ．49664．01-数列是指每一项均为0或1的数列，这类数列在计算机科学领域有着广泛应用．若数列{}n a 是01-数列，当且仅当()*61n k k =±∈N 时，1n a =，设{}n a 的前n 项和为n S ，则满足200n S =的n 的最大值为（ ） A ．600B ．601C ．604D ．6055．若函数()f x 的定义域为R 且图象关于y 轴对称，在[)0，+?上是增函数，且()30f -=，则不等式()0f x <的解是（ ） A ．()3∞--，B ．()3∞+，C ．()33-，D ．()()33∞∞--⋃+，， 6．“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体E ABCDF --的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ）A ．共有18个顶点B ．共有36条棱 C．表面积为6+D．体积为7．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，分别与抛物线E 相交于点,A B 和点,C D ，111||||2AB CD +=，P 是抛物线E 上一点，且52PF =，从点P 引抛物线E 的准线的垂线，垂足为M ，则MPF △的内切圆的周长为（ ） A．(5π2B．(5πC．(30π-D．(15π2-8．函数()f x 满足：当0x >时，()3212,23x x f x x -<≤=⎨+>⎪⎩，()12y f x =+是奇函数．记关于x 的方程()()10R 2f x kx k -+=∈的根为12,,,m x x x ⋅⋅⋅，若()172mi i f x ==-∑，则k 的值可以为（ ） A ．1118B ．1712C ．54D ．1二、多选题9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E 是线段AB 上靠近B 点的三等分点，F 是11A D 中点，则（ ）A ．该正方体外接球的表面积为27πB ．直线EF 与CDC ．平面1B EF 截正方体所得截面为等腰梯形D ．点F 到平面11A BC10．据国家统计局网站2023年9月15日消息，8月份，社会消费品零售总额为37933亿元，同比增长4.6%（同比一般情况下是指本年第N 月与去年的第N 月比）.其中，除汽车以外的消费品零售额为33820亿元，增长5.1%.1∼8月份，社会消费品零售总额为302281亿元，同比增长7.0%.其中，除汽车以外的消费品零售额为271888亿元，增长7.2%．2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速如下：则下列说法正确的是（ ）A ．2023年1~8月份，社会消费品零售总额的月平均值约为25422.6亿元B ．2022年8月份，社会消费品零售总额约为36264.8亿元C ．除掉2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的最大值和最小值所得数据的标准差比原数据的标准差小D ．2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的极差比中位数的8倍还多11．已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()80f x g x -'+=，()()2680f x g x ----='，若()g x 为偶函数，则下列一定成立的有（ ）A ．()40g '=B ．()()1316f f +=C ．()20238f =D ．()201160n f n ==∑三、填空题12．已知偶函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，且在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则ω=． 13．已知函数()3sin f x x x =-，若()()220f a f a +->，则实数a 的取值范围为.14．已知四棱锥P ABCD -的高为2，底面ABCD 为菱形，AB AC =,E F 分别为,PA PC 的中点，则四面体EFBD 的体积为；三棱锥-P ABC 的外接球的表面积的最小值为．四、解答题15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14+=-n n n S a a ，11a =-. (1)证明：数列1{2}n n a a +-为等比数列； (2)设4(1)+=+n n a b n n ，求数列{}n b 的前n 项和；(3)是否存在正整数p ，q （6<<p q ），使得p S ，6S ，q S 成等差数列？若存在，求p ，q ；若不存在，说明理由.16．如图，S 为圆锥顶点，O 是圆锥底面圆的圆心，AB ，CD 是长度为2的底面圆的两条直径，AB CD O =I ，且3SO =，P 为母线SB 上一点．(1)求证：当P 为SB 中点时，SA ∥平面PCD ；(2)若60AOC ∠=︒，二面角P CD B --的余弦值为21，试确定P 点的位置． 17．某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X 具有数学期望()E X μ=，方差()2D X σ=，则对任意正数ε，均有()22P x σμεε-≥≤成立.（i ）若1~100,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明：1(025)50P X ≤≤≤；（ii ）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A 发生的概率小于0.05时，可称事件A 为小概率事件）18．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:1xM y m-=经过点()2,1A ，点B 与点A 关于原点对称，C 为M 上一动点，且C 异于,A B 两点. (1)求M 的离心率；(2)若△BCT 的重心为A ，点()8,4D ，求DT 的最小值； (3)若△BCT 的垂心为A ，求动点T 的轨迹方程.19．在组合恒等式的证明中，构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法，该方法体现了数学的简洁美，我们将通过如下的例子感受其妙处所在． (1)对于n 元一次方程12n x x x k +++=L ，试求其正整数解的个数；(2)对于n 元一次方程组121211m m m n x x x p x x x q +++++=+⎧⎨+++=+⎩L L ，试求其非负整数解的个数；(3)证明：10CC C nnk n kp q n p k q n k k -+++++-==∑（可不使用组合分析法证明）． 注：12x a x b =⎧⎨=⎩与12x bx a =⎧⎨=⎩可视为二元一次方程的两组不同解．。
三维化学-空间正多面体
高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学第八节空间正多面体前面几节我们学习了五种正多面体，以及它们在化学中的应用。
此节我们将继续对这一内容进行讨论、总结与深化。
何为正多面体，顾名思义，正多面体的每个面应为完全相同的正多边形。
对顶点来说，每个顶点也是等价的，即有顶点引出的棱的数目是相同的，相邻棱的夹角也应是一样的。
那么三维空间里的正多面体究竟有多少种呢？【例题1】利用欧拉定理（顶点数－棱边数＋面数＝2），确定三维空间里的正多面体。
【分析】从两个角度考虑：先看每个面，正多边形可以是几边形呢？我们知道三个正六边形共顶点是构成平面图形的。
因此最多只可以是正五边形，当然还有正三角形和正方形；再看顶点，每个顶点至少引出三条棱边，最多也只有五条棱边（六条棱边时每个角应小于60°，不存在这样的正多边形）。
因此，每个面是正五边形时，三棱共顶点；正方形时，也只有三棱共顶点（四个正方形共顶点是平面的）；正三角形时，可三棱、四棱、五棱共顶点（六个正三角形共顶点也是平面的），当然也可以说，一顶点引出三条棱边时可以为正三角形面、正方形面和正五边形面；一顶点引出四条棱边时只可以为正三角形面；一顶点引出五条棱边时也只可以为正三角形面——共计五种情况，是否各种情况都存在呢？（显然是，各种情况前面均已讨论）我们用欧拉定理来计算。
①正三角形，三棱共顶点：设面数为x，则棱边数为3x/2（一面三棱，二面共棱），顶点数为x（一面三顶点，三顶点共面），由欧拉定理得x－3x/2＋x＝2，解得x＝4，即正四面体；②正三角形，四棱共顶点：同理，3x/4－2x＋x＝2，解得x＝8，即正八面体；③正三角形，五棱共顶点：同理，3x/5－3x/2＋x＝2，解得x＝20，即正二十面体；④正方形，三棱共顶点：同理，4x/3－2x＋x＝2，解得x＝6，即正方体；⑤正五边形，三棱共顶点：同理，5x/3－5x/2＋x＝2，解得x＝12，即正十二面体。
【解答】共存在五种正多面体，分别是正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
贵州省铜仁地区(新版)2024高考数学统编版能力评测(评估卷)完整试卷
贵州省铜仁地区（新版）2024高考数学统编版能力评测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=A．31B．32C．63D．64第(2)题在钝角中，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(3)题某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是:（其中为的初始质量）.则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（）（参考数据:A．300年B．100年C．255年D．125年第(4)题已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则（）A．63B．72C．135D．144第(5)题设（为虚数单位）为复数，则下列说法正确的是（）A．若是纯虚数，则或B．复数模长的平方值等于复数的平方值C．若的模长为，则的最大值为D．若，则第(6)题已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是A．B．C．D．第(7)题已知随机变量ξ表示100次出手后篮球的命中次数，且ξ的分布列如下：N/A E（ξ）D（ξ）球员“神射手”4024球员“黄油手”00则下列有关说法中正确的是（）A．球员“神射手”的投篮水平较好，因为命中率较高B．球员“黄油手”的投篮水平较好，因为命中率较低C．球员“神射手”的投篮十分稳定，故心理素质较好D．球员“黄油手”的投篮十分稳定，故心理素质较好第(8)题已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（）A．2B．C．3D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（）A．共有18个顶点B．共有36条棱C．表面积为D．体积为第(2)题设偶函数在上单调递增，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．第(3)题已知函数的部分图象如图，则（）A．B．C．D．的图象关于点对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是__________，它的外接球表面积的最小值为__________.第(2)题已知关于x的方程有解，则实数a的取值范围为___________.第(3)题为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为_____．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为点在椭圆上，过椭圆的焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于两点，点不在轴上，点关于轴的对称点为求的面积的最大值.第(2)题已知，且在区间上是增函数．（1）求实数的值组成的集合；（2）设函数的两个极值点为、，试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．第(3)题函数.(1)求的单调区间；(2)若只有一个解，则当时，求使成立的最大整数k.第(4)题设抛物线，直线与C交于A，B两点，且.(1)求p；(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值.第(5)题椭圆的上顶点到右顶点的距离为，椭圆上的点到焦点的最短距离是1，点为椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点．(1)求的方程；(2)直线分别交直线于两点，且，求直线的斜率.。
多面体的结构特征
棱柱的分类：按底面的多边形的边数分， 有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
(5)棱柱的几何性质：
两个底面与平行于底面的截面是全等的
四边形； 过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是
棱台的结构特征： 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去 截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台。
棱台的有关概念：原棱锥的底面和截面分 别做棱台的下底面和上底面。原棱锥的底面 和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其 余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边 叫做棱台的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫 做棱台的顶点．
01
围成的几何体,它们都有底面且底面都是多边形;
02
不同点是:棱柱和棱台都有两个底面,而棱锥只有一
03
个底面,棱柱的两个底面是全等的,棱台的两个底面
04
是相似的;
05
转化:棱台是由棱锥截取得到的,
06
棱台的上底面扩大,使上下底面全等,就是棱柱,
07
棱台的上底面缩为一个点就是棱锥.
08
棱柱，棱锥，棱台的联系
锥的侧棱。
棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，
如图的四棱锥可表示为“棱锥S-ABCD”，
有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。 棱锥的表示：用底面各顶点的字母表示，
三棱锥可表示为“棱锥S-ABC”。
棱锥的几何性质： 侧面、对角面都是三角形； 平行于底面的截面与底面相似，其相似比 等于顶点到截面距离与高的比的平方。
二．多面体的结构特征 1.棱柱的结构特征： (1)定义：有两个面互相平行，其余各面都 是四边形，并且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行，由这些面所围成的几何体 叫做棱柱。
多面体与正多面体PPT教学课件
早期胚胎发育
• 生殖细胞 • 受精 • 卵裂 • 囊胚期 • 原肠期
幼虫发育
• 耳状幼虫 • 桶形幼虫（樽形幼虫） • 五触手幼虫 • 稚参
耳状幼虫
• 小耳状幼虫 • 中耳状幼虫 • 大耳状幼虫
桶形幼虫（樽形幼虫）
五触手幼虫
稚参
生态学知识
海参分布遍及世界各海洋，从潮间带至水
深万米均有分布。刺参属温带种，主要分布于
北太平洋沿岸浅海，垂直分布，从潮间带至水
深20－30米的浅海海域。地理分布的北限是俄
罗斯的库页岛，美国的阿拉斯加沿岸；南到日
本的鹿儿岛，朝鲜半岛。我国辽宁、山东、河
北等省浅海沿岸均有分布，其南限达江苏连云
港外的平山岛周围海域。其中以辽宁的大连市、
• （一）水温 • （二）底质 • （三）盐度 • （四）深度 • （五）饵料、摄食及成长 • （六）呼吸 • （七）移动 • （八）敌害
（九）两个重要的生态学特性
• 排脏与再生 • 夏眠
第二节 刺参人工育苗技术
•
一、基本设施及要求
• （一）育苗室及饵料室 （二）培育池 （三）沉淀池 （四）砂滤池 自然砂滤过滤池
二、亲参采捕技术
• （一）采捕时间与水温 • （二）亲参采捕规格 • （三）亲参采捕时注意事项 • 过重的机械刺激 • 严格避免与油物接触 • 保证海上暂养槽内水的清新
三、亲参蓄养技术
• 蓄养密度 • 日常管理技术 • 亲参升温促熟培育技术 • 巡池观察
四、获卵及受精卵的处理技术
• 采卵 • 受精及受精卵的处理技术 • 孵化
生殖习性
• 其繁殖季节，一般南部地区早于北部 地区，潮间带早于潮下带，就是在同一 地区繁殖季节，随年份不同也有变动， 变动的因素复杂，但以水温的变化为依 据可靠。 从各地看，在15－23℃范围内， 多在18－20℃之间。
安徽省池州市(新版)2024高考数学统编版摸底(评估卷)完整试卷
安徽省池州市（新版）2024高考数学统编版摸底(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知向量，，都是单位向量，若，则的最大值为（）A．B．2C．D．第(2)题中国女排精神代代相传．某网站对出战2024年巴黎奥运会的中国女排12人大名单进行了预测：主攻队员4人，副攻队员3人，二传和接应各2人，自由人1人．在中国女排每场比赛7人的首发阵容中，主攻和副攻各2人，二传和接应各1人，自由人1人．如果按照该网站预测的12人大名单出战，首发阵容方案数为（）A．144B．140C．72D．36第(3)题万有引力定律是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿提出来的，即任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引，其数学表达式为，其中表示两个物体间的引力大小，为引力常数，分别表示两个物体的质量，表示两个物体间的距离.若地球与月球的近地点间的距离为，与月球的远地点间的距离为，地球与月球近地点间的引力大小为，与月球远地点间的引力大小为，则（）A．B．C．D．第(4)题已知，为纯虚数，则（）A．1B．2C．3D．4第(5)题设复数满，则=（）A．2B．C．D．第(6)题已知复数，则（）A．1B．C．D．第(7)题的展开式中，的系数为（）A．96B．144C．180D．216第(8)题已知，若，则（ ）A．6B．5C．4D．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（）A．共有18个顶点B．共有36条棱C．表面积为D．体积为第(2)题若函数，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递增C ．函数图象关于对称D．函数的图象关于点对称第(3)题初中学习过反比例函数，()，了解其图像是关于原点中心对称的双曲线.下列关于双曲线，()的几何性质正确的是（）A．实轴和虚轴长都为B．焦点坐标为，C．离心率D．渐近线方程为，对称轴方程为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为___________.第(2)题已知函数的图象如图所示，则＝ ______________第(3)题已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为____．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数的最小值为m．(1)求m的值；(2)设均为正数，，求的最小值．第(2)题在中，角，，的对边分别为，，，已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求及的面积.第(3)题某线上学习平台为保证老学员在此平台持续报名学习，以便吸引更多学员报名，从用户系统中随机选出200名学员，对该学习平台的教学成效评价和课后跟踪辅导评价进行了统计，并用以估计所有学员对该学习平台的满意度.其中对教学成效满意率为，课后跟踪辅导的满意率为，对教学成效和课后跟踪辅导都不满意的有10人.（1）完成下面列联表，并分析是否有把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关.对教学成效满对教学成效不满意合计意对课后跟踪辅导满意对课后跟踪辅导不满意合计（2）若用频率代替概率，假设在学习服务协议终止时对教学成效和课后跟踪辅导都满意学员的续签率为，只对其中一项不满意的学员续签率为，对两项都不满意的续签率为.从该学习平台中任选10名学员，估计在学习服务终止时续签学员人数.附：列联表参考公式：，.临界值：第(4)题已知函数，，.(1)当时，解关于的不等式：；(2)若函数的图像恒在函数的图像的上方，求的取值范围.第(5)题函数，（1），求的单调区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）令函数，求证：.。
正多面体的特征
4、棱中----棱中180°6×1=6
正12面体：顶点20；面12；棱30
转动群的阶=棱数×2=60
转动方式：1、不动1
2、面心----面心±72°12
±144°12
3、顶点----顶点±120°20
4、棱中----棱中180°15
正20面体：顶点12；面20；棱30
转动群的阶=棱数×2=60
正多面体的特征正多面体正多面体有几种正多面体展开图正多面体只有五种正多面体体积公式自闭症孩子的特征6的倍数的特征多动症儿童的特征4的倍数的特征
正多面体观察
正四面体：顶点4；面4；棱6
转动群的阶=棱数×2=12
转动方式：1、不动1
2、顶点----面心±120°4×2=8
3、棱中----棱中180°3
正六面体：顶点8；面6；棱12
转动方式：1、不动1
2、面心----面心±120°20
3、顶点----顶点±72°12
±144°12
4、棱中----棱中180°15
转动群的阶=棱数×2=24
转动方式：1、不动1
2、面心----面心±90°3×2=6
180°3×1=3
3、顶点----顶点±120°4×2=8
4、棱中----棱中180°6×1=6
正八面体：顶点6；面8；棱12
转动群的阶=棱数×2=24
转动方式：1、不动1
2、面心----面心±120Байду номын сангаас4×2=8
3、顶点----顶点±90°3×2=6
正多面体的性质与应用
正多面体的性质与应用正多面体是立体几何中一种特殊的多面体，它具有一些独特的性质和广泛的实际应用。
本文将从各个角度来探讨正多面体的性质和其在实际中的应用。
一、正多面体的定义和基本性质正多面体是指所有的面都是相等的正多边形，且每个顶点所对的面型也相等。
在正多面体中，所有的面、边和顶点都是相等的。
根据欧拉公式，一个简单的正多面体应该满足以下条件：面数（F）、边数（E）、顶点数（V）之间的关系为：F + V = E + 2。
正多面体具有以下基本性质：1. 等边性：正多面体的所有面都是相等的正多边形，每条边的长度都相等。
2. 等角性：每个顶点所对的面型都相等，因此正多面体的所有内角都相等。
3. 对称性：正多面体具有多个对称面、对称轴和对称点，可以通过旋转和镜像来得到与原始位置相同的各种面型。
二、正多面体的种类和特点正多面体按照面的形状可以分为五种类型：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
以下是它们的特点：1. 正四面体：四个等边等角三角形构成的多面体，具有四个面、六条边和四个顶点。
正四面体具有最简单的结构和对称性。
2. 正六面体：六个相等的正方形构成的多面体，具有八个面、十二条边和六个顶点。
正六面体也被称为立方体，是最常见的正多面体之一。
3. 正八面体：八个等边等角正三角形构成的多面体，具有六个面、十二条边和八个顶点。
4. 正十二面体：十二个等边等角五边形构成的多面体，具有二十个面、三十条边和十二个顶点。
5. 正二十面体：二十个等边等角正三角形构成的多面体，具有十二个面、三十条边和二十个顶点。
三、正多面体的应用领域正多面体在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 结晶学：正多面体的结构特点在研究晶体学中起着重要的作用。
根据其不同的对称性和结构特点，可以对晶体的性质和稳定性进行分析和预测。
2. 化学：正多面体在化学结构和分子构型的研究中有着重要的应用。
例如，通过分析正多面体的对称性和几何构型，可以确定分子的立体构型和键角等参数。
数的形的正多面体与不规则多面体
数的形的正多面体与不规则多面体数学中，多面体是指由多边形（面）所围成的立体图形。
在多面体中，有一类特殊的立体图形叫做正多面体，它的所有面都是相等的正多边形，并且以每个顶点为中心可以任意旋转得到相同的图形。
每个正多面体都有自己独特的形状和特征。
与正多面体相对应的是不规则多面体，它的面既可以是相等的正多边形，也可以是不等的多边形。
一、正多面体正多面体是由正多边形构成的立体，它的每个面都是相等的正多边形。
常见的正多面体包括正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
1. 正四面体正四面体又称为三角锥，它由四个三角形构成，其中每个三角形都是等边三角形。
正四面体具有以下特征：- 所有的面都是等边三角形；- 任意两个面的夹角是109.5°；- 有四个顶点和六条棱；- 任意两个顶点之间的距离相等。
2. 正六面体正六面体又称为立方体，它由六个正方形构成，其中每个正方形都是相等的。
正六面体具有以下特征：- 所有的面都是正方形；- 相邻的面之间夹角为90°；- 有八个顶点和十二条棱；- 任意两个顶点之间的距离相等。
3. 正八面体正八面体是由八个等边三角形构成，并且八个等边三角形的面都共享一个公共的顶点。
正八面体具有以下特征：- 所有的面都是等边三角形；- 相邻的面夹角为120°；- 有六个顶点和十二条棱；- 任意两个顶点之间的距离相等。
4. 正十二面体正十二面体是由十二个等边五边形构成，并且每个五边形的面都共享一个公共的顶点。
正十二面体具有以下特征：- 所有的面都是等边五边形；- 相邻的面夹角为116.6°；- 有二十个顶点和三十条棱；- 任意两个顶点之间的距离相等。
5. 正二十面体正二十面体是由二十个等边三角形构成，并且每个三角形的面都共享一个公共的顶点。
正二十面体具有以下特征：- 所有的面都是等边三角形；- 相邻面夹角为138.2°；- 有十二个顶点和三十条棱；- 任意两个顶点之间的距离相等。
欧拉公式证明正多面体问题
欧拉公式证明正多面体问题
正多面体只有正四面体、正八面体、正六面体、正十二面何等和正二十面体五种。
我们现在来证明，最多只有5个正多面体（如图）
至于确有5个正多面体存在，那是早就知道的事（古希腊柏拉图(Plato)时候）。
图形以及制造模型方法，可以参看史泰因豪斯（Steinhaus）著《数学万花镜》。
证明对于正多面体，假设它的各面都是正n边形，而且每一个顶角处有r个边相遇。
这样就有：
nF=2E (1)
rV=2E (2)
(1)的右边系数2是因为每边出现在2面中，（2）的右边系数2是因为
每边通过2个顶角。
把（1）和（2）代入欧拉公式中，就得到：
或
（3）
显然n≥3，r≥3，因为多边形至少有三边，而在每顶角处也至少有三边。
但n＞3，且r＞3又是不可能的，因为那样就要有
，可是E＞0。
所以r和n中至少有一个等于3。
设n=3，那末
，因此r=3,4,5,由是E=6，12，30，而F=4，8，20，这就给出了正四面体，正八面体和正二十面体。
设r=3，那末
，因此n=3,4,5，由是E=6，12，30，而F=4，6，12，这就给出了正四面体，正六面体（即立方体）和正十二面体。
初中数学 相似的正多面体有哪些特点
初中数学相似的正多面体有哪些特点
相似的正多面体是指具有相同形状但尺寸不同的多面体。
在初中数学中，我们经常会遇到相似的正多面体，如正方体、正六面体等。
这些相似的正多面体具有以下特点：
1. 边长比例相等：相似的正多面体的对应边长之比相等。
例如，如果两个正方体相似，那么它们的边长比是相等的。
2. 面积比例相等：相似的正多面体的对应面积之比相等。
例如，如果两个正方体相似，那么它们的表面积比是相等的。
3. 体积比例相等：相似的正多面体的对应体积之比相等。
例如，如果两个正方体相似，那么它们的体积比是相等的。
4. 内角相等：相似的正多面体的内角是相等的。
例如，如果两个正六面体相似，那么它们的内角是相等的。
5. 直角相等：如果相似的正多面体有直角，那么它们的直角是相等的。
例如，如果两个正方体相似，那么它们的直角是相等的。
6. 对应边平行：相似的正多面体的对应边是平行的。
例如，如果两个正六面体相似，那么它们的对应边是平行的。
7. 对应面平行：相似的正多面体的对应面是平行的。
例如，如果两个正六面体相似，那么它们的对应面是平行的。
这些是相似的正多面体的主要特点。
通过理解和应用这些特点，我们可以更好地理解和解决与相似的正多面体相关的问题。
正多边形与正多面体的关系(一)
正多边形与正多面体的关系(一)
正多边形与正多面体的关系
正多边形与正多面体的定义
•正多边形是指边数相等、内角相等的多边形。
•正多面体是指面数相等、顶点度数相等的多面体。
正多边形与正多面体的共同点
•具有对称性：正多边形和正多面体都具有对称性，可以将它们分成若干个相等的部分，每个部分都与其他部分完全相同。
•具有规则性：正多边形和正多面体都满足一定的规则和特征，其边数、内角、面数、顶点度数等都有确定的数值关系。
正多边形与正多面体的关系
•正多边形与正多面体之间存在一种对应关系。
具体来说，边数相等的正多边形对应面数相等的正多面体，且对应顶点度数也相等。
•例如，正三角形对应着四面体，正四边形对应着六面体，正五边形对应着八面体，以此类推。
•这种对应关系可以从几何角度进行推导和证明。
解释说明
•正多边形和正多面体的关系反映了几何形状的一种内在联系。
•正多边形和正多面体都是几何学中的基本概念，它们的关系使得我们可以通过研究正多边形来推导和理解正多面体的性质。
•正多边形和正多面体的对应关系也有助于我们在解决几何问题时进行合理的类比和推断。
最后，正多边形与正多面体的关系是几何学中的重要内容之一，它对我们理解和应用几何学知识具有重要意义。
高一化学 第二节 空间正多面体
高一化学 第二节 空间正多面体一．认识与掌握正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体、碳—60的模型及在化学中的应用二．掌握与理解空间多面体点、线、面间的关系 三．初步掌握晶体密度的求算方法 例1．空间正方体与正四面体的关系①试计算甲烷分子的键角（用反三角函数表示）②CH 4分子在空间呈四面体形状,1个C 原子与4个H 原子各共用一对电子对形成4条共价键,右图为一个正方体，已画出1个C 原子(在正方体中心)、1个H 原子(在正方体顶点)和1条共价键(实线表示),请画出另3个H 原子的合适位置和3条共价键,任意两条共价键的余弦值为________③98-1-4例2．空间正方体与正八面体的关系①连接正方体六个面的面心构成的空间几何构型是什么？ ②连接正八面体八个面的面心构成的空间几何构型是什么？ ③比较正方体与正八面体的空间关系？④例题 SF 6是一种无色气体，具有很强的稳定性，可用于灭火。
SF 6的分子结构（见右图）呈正八面体型。
如果F 元素有两种稳定的同位素，则SF 6的不同分子种数为例3．空间四面体与正八面体的关系和组合①连接正四面体六条棱的中点构成的空间几何构型是什么？ ②连接正八面体不相邻八个面的面心构成的空间几何构型是什么？ ③金刚烷空间结构分析④例题 计算金刚烷二氯取代物和一氯一溴取代物的同分异构体数目。
例4．空间正十二面体与正二十面体的关系①连接正十二面体十二个面的面心构成的空间几何构型是什么？ ②连接正二十面体二十个面的面心构成的空间几何构型是什么？ ③比较正十二面体与正二十面体的空间关系？④例题 晶体硼的基本结构单元是由硼原子组成的正二十面体（如右图所示），右边每个三角形均为正三角形，每个顶点为一硼原子。
则每一个此基本单元由 个原子组成；该单元中有2个原子为10B （其余为11B ），那么该结构单元有 种不同类型。
例5．碳—60与富勒烯空间结构特点分析 ①C 60结构与正十二面体和正二十面体的空间关系 ②利用点线面关系和不饱和度原理分析富勒烯的空间结构 ③富勒烯各结构的关系和共性 例题 98-3-4F F F S F F F第三节 分子空间结构分析利用杂化轨道理论、价层电子互斥理论和等电子体原理分析分子的空间结构。
正多面体种类的另一种证明
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正多面体种类的另一种证明
作者：马俊
来源：《中学数学杂志(高中版)》2008年第05期
我们知道，正多面体只有五种，即正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体.我们的教科书上是利用欧拉公式证明了这个结论.
现在，我们用一种相对基础的方法来进行证明.
设正多面体的每个面为正n边形，每个顶点引出m条棱，那么由多边形和立体图形的意
义可知：m和n为大于或等于3的正整数.考虑任何一个顶点A，由它引出m条棱，故有m个相等的角以A为顶点，而这m个角的和应小于π.这个我们利用余弦定理和余弦函数在(0,π)上的单调性可以很容易地证明.我们的证明就是建立在这个结论上的.
正n边形的每个内角为(1-2n)π，则有(1-2n)π≥(1-23)π=π3，当且仅当n=3时等号成立.这样m
mn类型
33正四面体
34正六面体
35正十二面体
43正八面体
53正二十面体
而且我们可以用几何方法做出这五种正多面体，且不可能再有其他的情况，故多面体只有五种.
这种方法，我们没有用欧拉公式，只是用初等的办法就将其解决了.数学上还有许多较困
难的问题可以用初等方法进行解决，希望同学们可以经常思考问题并提出问题.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
《多面体与正多面体》精品课件公开课课件
02 多面体基本性质
面、棱、顶点数量关系
面数、棱数和顶点数的关系
对于任意多面体，其面数、棱数和顶点数之间存在一定的数量关系，即面数+顶 点数-棱数=2。
正多面体的面、棱、顶点数量关系
正多面体是一种特殊的多面体，其所有面都是全等的正多边形，且每一个顶点所 对的面角都相等。对于正多面体，其面数、棱数和顶点数之间也有特定的数量关 系。
01
卡塔兰立体
卡塔兰立体是一类非正多面体，具有多种形状和性质，如双曲面、抛物
面等。
02
德尔塔立体
德尔塔立体是由三角形和四边形组成的一类非正多面体，具有独特的结
构和性质。
03
其他非正多面体的构造与性质
除了约翰逊多面体、阿基米德多面体和卡塔兰立体外，还有许多其他类
型的非正多面体，它们的构造和性质各不相同，呈现出丰富多彩的几何
定义
正六面体也被称为立方体，是由 六个全等的正方形所组成的立体
。
特点
正六面体有6个面、8个顶点、12 条棱，每个面都是正方形，每个顶 点都是三条棱的交点。
对称性
正六面体也有很高的对称性，它有 三种不同的对称轴，分别是经过每 个面的中心、每个顶点和每条棱的 中点的轴。
正八面体
01
02
03
定义
正八面体是由八个全等的 等边三角形所组成的立体 。
世界。
1.谢谢聆 听
保其稳定性和美观性。
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几种正多面体的相互呼应
南师附中江宁分校 韦恩培
近年来，在高考中常考查以某一正多面体为背景的立体几何题，此类问题运用不同的方法解决效果是显然不同的。
1、 常用的三种正多面体的呼应
众所周知，正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正
二十面体。
正四面体，正六面体，正八面体之间可以相互呼应。
在正方体中可以产生正四面体；（正方体对面的一对异面对角线的顶点是正四面体的顶点）如图（1）
在正方体中可以产生正八面体；（正方体六个面的中心是正八面体的顶点）如图（2） 在正八面体中可以产生正方体；（正八面体的八个面的中心是正方体的顶点）如图（3） 在正八面体中可以产生正四面体；（正八面体的两对对面的中心，连线异面的四个面的中心是正四面体的顶点）如图（4）
在正四面体中可以产生正八面体；（正四面体六条棱的中点是正八面面体的顶点）如图（5）
在图（5）的基础上，结合图（4）就能在正四面体中产生正方体。
图（1） 图（2） 图（3）
图（4）
图（6）
相互转化的目的。
2、应用呼应解题
在高考的考查中经常会利用它们之间的相互转化而达到巧解的目的。
例1、一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．3π3
D ．6π
提示：利用图（1）正方体产生正四面体具有共同的外接球，即求棱长为1的正方体的外接球的表面积，易求得为π3，选A 。
例2、有一棱长为a 的正四面体骨架（架的粗细忽略不计），其内放置一气球，对其充气，使其尽可能地膨胀（成为一个球）则气球表面积的最大值为 （ ） A ．2
a π
B ．
22
2a π C ．2
2
1a π
D ．
24
1a π 提示：利用图（2）正方体可以产生正八面体，正八面体可以产生正四面体知，符合条件的球即为棱长为
a 2
2
的正方体的内切球，易求得其表面积为221a π，故选C 。
例3、如图（6）棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，过11BC A 的平面截去正方体一角（三棱锥111BC A B -），象这样依次截去正方体所有角，则剩下的几何体的体积为 。
提示：根据图（2）在正方体中可以产生正八面体得，所剩下几何体为 正方体的六个面中心作为顶点的正八面体，易求得其体积为
3
6
1a 。
例4、在甲烷的分子式4CH 中，四个H 位于一个正四面体的四个顶点上，C 位于该正四面体的中心，现已知H 与H 之间的距离为a ，则C 与H 之间的距离为 。
提示：由图（1）易知：该问题等价于已知正方体的面对角线长为a ，求正方体对角线长的一半。
易求得结果为
a 4
6。
例5、正三棱锥S —ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） A ．
90 B ． 60 C ．
45 D ．
30
提示：根据图（1）易知答案为C 。
3、呼应的延伸
正四面体、正六面方体、正八面体之间的联系就是因为正四面体的，正六面体的6=F ，正八面体的6=V ，由表我们不难发现正八面体的12=E ，正十二面体的12=F ，正二十面体的12=V ，因此之间也可以仿照前面的方法相互产生。