谈微元法在高中物理解题中的应用

谈微元法在高中物理解题中的应用

高中物理中，由于数学学习上的局限，对于高等数学中可以使用积分计算的一些问题，在高中很难解决。例如对于求变力做功或者对物体做曲线运动时某恒力所做功的计算；又如求某做曲线运动的某质点运动的路程，这些问题对于中学生来讲，成为一大难题。但是如果应用积分的思想，化整为零，化曲为直，采用“微元法”，可以很好的解决这类问题。“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法，这个方法充分体现了微积分思想。高中物理的瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势等等，都是用这种方法定义的。微元法是分析、解决物理问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思维的处理，进而使问题求解，使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

一、用微元法解题的基本方法和步骤

例1：如图所示，水平放置的导体，电阻为R，R与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab，质量为m，以初速度v0向右运动，求这个过程的总位移？

解析：根据牛顿第二定律，导体棒在运动过程中受到安培力的作用，导体棒做非匀

减速运动，

22

B L v

BIL ma

R

在某一时刻取一个微元

22

i

B L v

v m

R t

变式

22

i

B L

v t m v

R

两边求和

22

i

B L

v t m v

R

因

i i

v t x

故

22

B L

x m v

R

得0

22

mv R

x

B L

小结：处理非匀变速运动问题时，从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体的方法。地使用微元法处理问题时，需疳其分解为众多微小的“元过程”，每个“元过程”所遵循的规律相同，这样，只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法（累计求和）进而使问题求解。解题过程中，常常遇到非匀变速运动过程中求位移，电量，能量等问题，灵活运用微元的思想，可以帮助我们更深刻的理解物理过程。

微元法的解题思路：①选取“微元”，将瞬时变化问题转化为平均变化问题（避免直接求瞬时问题的困难）；②利用数学“微积分”知识将平均变化问题转化为瞬时变化问题（充分利用数学工具，既完成问题“转化”又保证问题的性质不变，又能简单地求得结果）微元法的解题步骤：①确定研究对象，选取“微元”；②列出微元的方程；③对相关微元进行累积求和或求导。

二、微元法的应用

1．利用“微元”中变力做功的特点推导出力所做的功

例2：如图（1）a 所示，某个力F=10N 作用于半径R=1m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向保持任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周，这个力F 做的功为多少？

解析：由于力F 的方向与作用点的速度方向一致，因此力F 做功来为零，且此力不为恒力。可以考虑把圆周划分为很多“微元”来研究。如图（1）b 所示。当各小段的弧长s 足够小（0s ）时，在这段内F 的方向几乎与该小段的位移重合，则F 做的总功为123220W F s F s F s F R J 。

这等效于将本是曲线的圆周拉直。在这里，力F 所做的功相当于力和物体运动路程的乘积。

2. “微元法”应用于求非匀变速运动中的速度

例3：（08·江苏）如图所示，间距为l 的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为，导轨光滑且电阻忽略不计.场强为B 的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度 为d 1，间距为d 2，两根质量均为m 、有效电阻均匀为R 的导体棒a 和b 放在导轨上， 并与导轨垂直.（设重力加速度为g ）

（1）若d 进入第2个磁场区域时，b 以与a 同样的速度进入第1个磁场区域，求b 穿过第1个磁场区域过程中增加的动能K E ；

（2）若a 进入第2个磁场区域时，b 恰好离开第1个磁

场区域;此后a 离开第2个磁场区域时，b 又恰好进入第

2个磁场区域.且a 、b 在任意一个磁场区域或无磁场区

域的运动时间均相等.求a 穿过第2个磁场区域过程中，

两导体棒产生的总焦耳热Q ；

（3）对于第（2）问所述的运动情况，求a 穿出第k 个

磁场区域时的速率v .

解析：(1)因为a 和b 产生的感应电动势相等，按回路

方向相反，所以感应电流为0，所以a 和b 均不受安培力作用，由机械能守恒知，

1sin k E mgd ……①

（2）设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为v 1，刚离开无磁场区域时的速度为v 2，即导体棒刚进入磁场区时的速度为v 2，刚离开磁场区域时的速度为v 1， 由能量守恒知，在磁场区域中，2212111sin 22mv Q mv mgd ……②

在无磁场区域中，2221211sin 22mv mv mgd ……③

解得 Q=mg (d 1+d 2)sin

（3）设导体棒在无磁场区域和有磁场区域的运动时间都为t ，在无磁场区域

根据匀变速直线运动规律v 2-v 1=gt sin ……④

且平均速度2

122v v d t

……⑤ 有磁场区域

棒a 受到合力F =mg sin -BIl

感应电动势E =Blv