2015年高考数学复习学案：平面向量数量积

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山东乐陵一中2015高三上数学教案：平面向量的数量积

6.
【变式】已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ ，＝(1－λ) ，λ∈R，若 · ＝－，则λ＝()
A.B.C.D.
题型二利用平面向量数量积求夹角与模
例2.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|和|a－b|.
A．2 B.C.D．1
8.（2013湖南卷）已知是单位向量, .若向量满足
A． B．
C． D．
9.已知向量a＝(2,1)，b＝(1，m)，若a与b的夹角是锐角，则实数m的取值范围是________．
10.已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
【学习目标】掌握数量积的定义，性质，运算律。
【知识梳理】
1．两个非零向量夹角的概念:
已知非零向量与，作＝，＝，则∠AOB＝θ（０≤θ≤π）叫____
归纳：①.同起点；②.范围___________③记法___________
2．平面向量数量积（内积）的定义： = ____________,规定与任何向量的数量积为__.
特别的 = ______或 ③cos=____________；④| |≤| || |
6.平面向量数量积的运算律
1)交换律： =________2)数乘结合律：( ) =_________=______________.
3)分配律：( + ) =____________.
7.向量垂直的判定：设，，则 _________
3.设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝()
A.B.C.D.

4-3第三节平面向量数量积与平面向量应用举例2015年高考总复习)

答案 B
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第四章
第三节
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4．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ，|a|＝2，|b|＝ 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a· b＝________.
3 解析 a· b＝2× 3× 2 ＝3.
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高考这样考 1.直接利用数量积进行平面向量的运算． 2.利用平面向量的数量积计算两个向量的夹角问题． 3.利用平面向量的数量积解决垂直问题.
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备考这样做 1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法． 2.理解数量积的运算性质． 3.利用数量积解决向量的几何问题.
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【答案】
(1)－25
5 (2) 2
【规律方法】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件．
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→ → 方法 2：由图知，无论 E 点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是 CB＝1，

平面向量的数量积-高考数学复习

＝＋ · －＝－ .
若两个向量的夹角为锐角，则3 k ＞0，即 k ＞0.
又 a ＋ kb ， b ＋2 ka 不共线，∴ k ≠
2
2
，∴ k ＞0且 k ≠ .
2
2
方法总结
1. 向量夹角问题的两个注意点
(1)切记向量夹角的范围是[0， π].
(2)非零向量 a 与 b 夹角为锐角⇔ a ·b ＞0且 a 与 b 不共线；非零向量 a 与 b
＝4，则 − ＝( D
A. 5
B. 3
)
C. 2
D. 1
＋ 2 ＝ a 2＋ b 2＋2 a ·b ＝49⇒2 a ·b ＝49－9－16＝24，∴ − 2 ＝
a 2＋ b 2－2 a ·b ＝9＋16－24＝1，∴ − ＝1.
3. (2022·新高考Ⅱ卷)已知向量 a ＝(3，4)， b ＝(1，0)， c ＝ a ＋ tb .
1，｜ c ｜＝ 2 ，且 a ＋ b ＋ c ＝0，则 cos < a － c ， b － c >＝(
D )
(1)法一：∵ a ＋ b ＋ c ＝0，∴ a ＋ b ＝－ c ，∴ a 2＋ b 2＋2 a ·b ＝ c 2.
∵｜ a ｜＝｜ b ｜＝1，｜ c ｜＝ 2 ，∴1＋1＋2 a ·b ＝2，解得 a ·b ＝0.
夹角为钝角⇔ a ·b ＜0且 a 与 b 不共线.
方法总结
2. 求向量夹角的两种方法
(1)定义法：当 a ， b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角θ，需求出 a ·b 及
| a |,| b |或得出它们之间的关系，由 cos
·
θ＝
求得.
||||
(2)坐标法：若已知 a ＝( x 1， y 1)与 b ＝( x 2， y 2),则 cos 〈 a ， b 〉=

2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：4.3平面向量的数量积及应用举例

【解】 (1)证明：由|a－b|＝ 2得(a－b)2＝2，即|a|2－2a· b＋|b|2＝2. 又∵|a|2＝|b|2＝1 ∴a· b＝ 0 因此，a⊥b. (2)由 a＋b＝c
cos α＋cos β＝0 得 sin α＋sin β＝1
，
由 cos α＝－cos β，0＜β＜α＜π 得 α＋β＝π. 又 sin α＋sin β＝1， 1 ∴sin α＝sin β＝2. 5π π ∴α＝ 6 ，β＝6.
第3课时
平面向量的数量积及应用举例
• • • • •
(一)考纲点击 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
• •
|x|2 1 当 x≠0 时， 2＝； y |b| y2 ＋ 3 ＋1 x x
y ∵x2＋ y 1 3x＋1≥ ， 4
|x|2 ∴|b|2≤4. |x| ∴|b|≤2. 答案：2
易错易混：向量综合运算的问题 → → 【典例】 (2014· 衡阳模拟)已知向量AB＝(2－k，－1)，AC＝(1， k)． (1)若△ABC 为直角三角形，求 k 值； (2)若△ABC 为等腰直角三角形，求 k 值．
1．两个向量的夹角 → 已知两个非零向量 a 和 b(如图)，作OA＝a， → OB＝b，则∠AOB＝θ(0° ≤θ≤180° )叫做向量 a 与 b 的夹角，当 θ＝0° 时，a 与 b 同向；当 θ＝180° 时，a 与 b 反向；如果 a 与 b 的夹角是 90° ，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
b＝0 ； (2)a⊥b⇔ a· －|a||b| ， (3)当 a 与 b 同向时， a· b＝|a|· |b|；当 a 与 b 反向时， a· b＝

2015届高考数学总复习第四章第三节平面向量的数量积精讲课件文

角)．而|a|cos θ＝，故向量a在b方向上的投影为 . 将此结论作为一个公式记忆．
变式探究
3 ． (2012· 淮南模拟 ) 若向量 a ＝ (2,1) ， b ＝ (3 ， x) ，若 (2a －
b)⊥b，则x的值为( B ) A．3 C．－1 B．－1或3 D．－3或1
4．(2012· 山东实验中学诊断)△ABC的外接圆的圆心为O，
变式探究 5．(2013· 梅州二模)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
解析： ∵ 已知 a ＝ ( － 3,2) ， b ＝ ( － 1,0) ，向量 λa ＋ b 与 a －2b垂直，
∴(λa＋b)· (a－2b)＝0，
即(－3λ－1,2λ)· (－1,2)＝0，
有当－1≤λ≤0时，|a＋b|＝|a|－|b|才能成立，否则不能成立，
故D错误．答案：C
求向量的数量积【例2】已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|；
(3)若
＝a，＝b，求△ABC的面积．
自主解答：
解析：(1)∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析：利用向量运算法则，特别是|a|2＝a2求解．
由 |a ＋ b| ＝ |a| －|b| 知 (a ＋ b)2 ＝ (|a| － |b|)2 ，即 a2 ＋ 2a· b ＋ b2 ＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，∴a· b＝－|a||b|.∵a· b＝|a||b|· cos ∴cos a，b ＝－1，∴ a，b a ，b ，＝π，此时a与b反向共线，

高考数学《三角函数》专题平面向量的数量积学案

与互相垂直
（2） ,
,
, ,
而
，
例3.已知O是△ABC所在平面内一点，且满足( － )·( ＋－2 )＝0，判断△ABC是哪类三角形．
解:设BC的中点为D，则( )( )＝0 2 · ＝0 BC⊥AD △ABC是等腰三角形.
变式训练3：若，则△ABC的形状是 .
解:直角三角形.提示：
例4.已知向量＝(cosθ, sinθ)和＝( －sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且| |＝，求cos( )的值.
解: ＝(cosθ－sinθ＋ , cosθ＋sinθ)由已知(cosθ－sinθ＋ )2＋(cosθ＋sinθ)2＝
化简：cos
又cos2
∵θ∈( π, 2π) cos <0
∴cos ＝－
变式训练4.平面向量，若存在不同时为的实数和，使 , 且，试求函数关系式 .
解：由得
1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．
高考数学《三角函数》专题平面向量的数量积学案
1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作＝，＝，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与的．当θ＝0 °时，与；当θ＝180°时，与；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作．
2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为 θ，则数量叫做与的数量积（或内积），记作 · ，即 · ＝．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x1, y1)，＝(x2, y2)，则 · ＝．
⑸ | · |≤
5．向量数量积的运算律：
⑴ · ＝；

《平面向量数量积》教案

《平面向量数量积》教案教案：平面向量数量积一、教学目标：1.理解平面向量的数量积的概念和性质。

2.掌握平面向量的数量积的运算法则。

3.能够利用平面向量的数量积解决实际问题。

二、教学内容：1.平面向量的数量积的概念和性质。

2.平面向量的数量积的运算法则。

3.平面向量数量积的应用。

三、教学步骤：1.引入平面向量的数量积的概念。

首先通过提问和示例，引导学生思考两个平面向量的乘积是否有意义，以及该乘积有什么特殊的性质。

然后给出平面向量的数量积的定义：设有两个非零向量a和b，数量积定义为，a，·，b，·cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。

2.平面向量的数量积的性质。

通过具体的例子，讲解平面向量数量积的性质：（1）数量积的结果是一个数。

（2）数量积满足交换律、分配律。

（3）数量积的结果为0时，表示两个向量垂直，即cosθ=0。

（4）数量积的结果为正数时，表示两个向量同向，即θ为锐角。

（5）数量积的结果为负数时，表示两个向量反向，即θ为钝角。

3.平面向量的数量积的运算法则。

通过示例演算，教导学生具体的运算法则：（1）计算向量的模长：，a，=√(a1²+a2²)。

（2）计算向量的数量积：a·b = ，a，·，b，·cosθ。

（3）计算两个向量的夹角：cosθ = (a·b) / (，a，·，b，)。

（4）根据数量积的定义，解方程组：a·b=0，求出向量a与向量b 互相垂直的条件。

4.平面向量数量积的应用。

通过实际问题解决的例子，帮助学生将平面向量数量积的概念和运算法则应用到实际问题的解决中。

例如：已知有三个向量a、b和c，其中a·b=30，a·c=40，求b与c的夹角。

五、教学反思：在教学过程中，可以通过举一些具体的实际问题，提高学生的兴趣和参与度。

高考数学一轮复习专题26 平面向量的数量积及平面向量的应用教学案文

专题26 平面向量的数量积及平面向量的应用1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22.3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ，b 均为非零向量)．(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)． 5．向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识． 6．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．高频考点一平面向量数量积的运算例1、(1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20 B.15 C ．9 D ．6(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．答案 (1)C (2)1 1故选C.(2)方法一以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →＝________.(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 (1)22 (2)2解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22. (2)由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →) ＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.高频考点二用数量积求向量的模、夹角例2、(1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8B.－6C.6D.8(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.答案 (1)D (2)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3【方法规律】(1)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【变式探究】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析 (1)|BA →|＝1，|BC →|＝1， cos ∠ABC ＝BA sup 6(→)·BC→|BA →|·|BC →|＝32.由〈BA →，BC →〉∈[0°，180°]，得∠ABC ＝30°. (2)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. 答案 (1)A (2)－2【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．【举一反三】(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6D ．6答案 (1)223(2)C(2)∵AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1，即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2 ≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.高频考点三平面向量与三角函数例3、在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.【感悟提升】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．【变式探究】已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且OA→⊥OB →，则tan α的值为( ) A ．－43B ．－45C.45D.34答案 A高频考点四向量在平面几何中的应用例4、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心答案 C解析由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．【感悟提升】解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系．【变式探究】(1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．梯形 C ．正方形 D ．菱形答案 (1)12(2)D解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，(2)AB →＋CD →＝0⇒AB →＝－CD →＝DC →⇒平面四边形ABCD 是平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0⇒DB →⊥AC →，所以平行四边形ABCD 是菱形．高频考点五、向量在解析几何中的应用例5、(1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝______.答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)± 3 解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0，解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y－3＝0.(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |1＋k2＝3，得k ＝±3，即y x＝± 3.【感悟提升】向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题．【变式探究】已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12答案 BHE →·HF →＝|HE →|·|HF →|cos∠EHF ＝23×23×12＝6，故选B.高频考点六向量的综合应用例6、(1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( ) A ．1B.13C.14D.18(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．答案 (1)D (2)3(2)由图象可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎪⎫2－12＝3.【感悟提升】利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．【变式探究】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域面积是( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 2 D ．4 3答案 D解析由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，知〈OA →，OB →〉＝π3.当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，在△OAB 中，取OC →＝λOA →，过点C 作CD ∥OB 交AB 于点D ，作DE ∥OA 交OB 于点E ，显然OD →＝λOA →＋CD →.由于CD OB ＝AC AO ，CD OB ＝2－2λ2，∴CD →＝(1－λ)OB →，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋μOB →＝OP →， ∴λ＋μ＝1时，点P 在线段AB 上，∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P 必在△OAB 内(包括边界)．考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P 构成的集合恰好是以AB 为一边，以OA ，OB 为对角线一半的矩形，其面积为S ＝4S △OAB ＝4×12×2×2sin π3＝4 3.1.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（）（A ）232a -（B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a【答案】D 【解析】因为()BD CD BD BA BA BC BA ⋅=⋅=+⋅()22223cos602BA BC BA a a a +⋅=+=故选D.【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（） A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】B【解析】因为cos ,a b a b a b a b ⋅=≤，所以选项A 正确；当a 与b 方向相反时，a b a b -≤-不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；()()22a ba b ab +-=-，所以选项D 正确．故选B ．【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4C a b +⊥B 【答案】D 【解析】如图，由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-=，则||2b =，故A 错误；|2|2||2a a ==，所以||1a =，又22(2)4||222c o s 602A B A C a a b a a b ⋅=⋅+=+=⨯=，所以1a b ⋅=-，故,B C错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD +=，且AD BC ⊥，而22(2)4AD a a b a b =++=+，所以()4C a b +⊥B ，故选D.【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）A ．13B ． 15C ．19D ．21 【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t ，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t-=（，-4)，【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ== 则AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918. BA1．（2014·北京卷）已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________．【答案】 5【解析】∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ，∴|λ|＝|b ||a |＝51＝ 5.2．（2014·湖北卷）设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．【答案】±33．（2014·江西卷）已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．【答案】2 23【解析】cos β＝a ·b |a||b|＝（3e 1－2e 2）·（3e 1－e 2）|3e 1－2e 2||3e 1－e 2|＝9e 21－9e 1e 2＋2e 229e 21－12e 1·e 2＋4e 229e 21－6e 1·e 2＋e 22＝ 9－9×13＋29－12×13＋4·9－6×13＋1＝83×2 2＝2 23.4．（2014·全国卷）若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22【答案】B【解析】因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )＝0，即2＋＝因为(＋b )⊥b ，所以(＋b )＝0，即b ＋2＝0，与2＋＝0联立，可得－2＝0，所以＝2＝ 2.5．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 【答案】A【解析】由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1. 6．（2014·山东卷）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．【答案】16【解析】因为AB ·AC ＝|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|＝23，所以△ABC的面积S ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×23×sin π6＝16.7．（2014·天津卷）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712 【答案】CCE →·CF →＝(λ－1, 3(λ－1))·(μ－1, 3(1－μ))＝－23.②①－②得λ＋μ＝56.8．(2013年高考湖北卷)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152C ．－322D ．－3152解析：AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，向量AB →＝(2,1)在CD →＝(5,5)上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝|AB →|AB sup10(→)·CD →|AB →||CD →|＝AB sup10(→)·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.答案：A9．(2013年高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1]B.[]2－1，2＋2C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案：A10．(2013年高考辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值．解析：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈[0，π2]时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.11．(2013年高考陕西卷)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝ (3sin x ，cos 2x )，x ∈R，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－12.因此，f (x )在[0，π2]上的最大值是1，最小值是－12.1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( ) A ．22＋ 3 B ．2 3 C ．4 D ．12答案 B解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos60°＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3.2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3 答案 B解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ，a ·b ＝12＋32×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋32×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.3．设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为( ) A.32 B.22 C.52 D.72答案 A4．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，∵AB →－AC →＝CB →， ∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C.5.在△ABC 中，如图，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →等于( )A.89B.109C.259D.269 答案 B解析若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0.E ，F 为BC边的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫avs4alco1(o(AC ,sup6(→))＋13CB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫avs4alco1(o(AB ,sup6(→))＋13BC →)＝⎝⎛⎭⎪⎫avs4alco1(f(2,3)AC →＋13AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫avs4alco1(f(1,3)AC →＋23AB →)＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109.故选B.6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)的值为________．答案－4解析由题意得，AP ＝2，PM ＝1，所以PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·2PM → ＝2×2×1×cos180°＝－4.7．如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案1328．在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)．答案垂心解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线．同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心． 9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又∵|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35. 因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得asin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22. 11．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．把a ＝－x 2代入①，得－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．所以动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)． 12．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围．解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34.cos 2x －sin2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝22，所以A ＝π4，或A ＝3π4.因为b ＞a ，所以A ＝π4.f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12，32－1≤f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤2－12.∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.13.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a|＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影.解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22. 15.在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R).(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|； (2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值.解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)，∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)， ∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.。

高三第一轮复习数学---平面向量的数量积学案

高三第一轮复习数学---平面向量的数量积一、学习目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用．二、学习重点：平面向量的数量积及其几何意义，向量垂直的充要条件。

利用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。

三、学习过程：（一）主要知识：（1）平面向量的数量积的定义①向量b a ,，的夹角：已知两个非零向量b a ,，过O 点作a OA =，,b OB =则∠AOB=θ（0≤θ≤1800）叫做向量b a ,，的夹角。

当__________________________________时，θ=00，当____________________________时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

②与垂直；如果b a ,________________________则称垂直，记作_______________。

③与的数量积：两个非零向量,，它们的夹角为θ，则______________________叫做称与的数量积（或内积），记作__________，即⋅θcos ⋅规定a ⋅0=0 非零向量b a 与当且仅当_______________________________，时b a ⋅=0。

④在方向上的投影：R OP ∈==(cos θ（注意OP 是射影）所以，⋅的几何意义：⋅等于的长度与在方向上的投影的乘积。

注：向量中投影可正可负，而射影只能为正。

（2）平面向量数量积的性质设,是两个非零向量，是单位向量，于是有： ① ②③④ ⑤(3)平面向量数量积的运算律①交换律成立： ______________________________________②对实数的结合律成立：____________________________________③分配律成立：_______________________________________________ 特别注意：（1）结合律不成立：()()⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立⋅=⋅不能得到⋅=（3）⋅=0不能=或=0④但是乘法公式成立： ()()22b a b a b a =-=-⋅+；()2222+⋅±=±2b a +⋅±=；等等。

平面向量的数量积学案

平面向量的数量积学案一、学案背景平面向量的数量积是数学中的一个重要概念，通过数量积可以研究向量之间的夹角关系、向量的投影以及向量的模长等问题。

掌握了平面向量的数量积的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

二、学习目标1. 了解平面向量的数量积的定义。

2. 掌握平面向量的数量积的计算方法和性质。

3. 理解平面向量的数量积与向量的夹角、投影和模长之间的关系。

4. 能够应用平面向量的数量积解决实际问题。

三、学习内容1. 平面向量的数量积的定义：平面向量a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) 的数量积（又称点积、内积）定义为 a · b = x1 * x2 + y1 * y2。

2. 平面向量的数量积的性质：a. a · b = b · a（数量积的交换律）。

b. a · (b + c) = a · b + a · c（数量积的分配律）。

c. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) = k(a · b)（数量积的结合律，其中k为实数）。

3. 平面向量的数量积与向量的夹角的关系：a. 如果 a · b = 0，则向量a和b垂直（夹角为90°）。

b. 如果 a · b > 0，则向量a和b夹角锐角。

c. 如果 a · b < 0，则向量a和b夹角钝角。

4. 平面向量的数量积与向量的投影的关系：a. 向量a在向量b上的投影p的长度为 |p| = |a| * cosθ，其中θ为a和b的夹角。

b. a · b = |a| * |b| * cosθ。

5. 平面向量的数量积与向量的模长的关系：a. a · a = |a|^2，其中|a|表示向量a的模长。

b. |a| = √(a · a)。

四、学习方法1. 技巧讲解与练习：通过教师的讲解，学习平面向量的数量积的定义、计算方法和性质。

高三高考一轮复习优秀导学案：平面向量的数量积及应用

平面向量的数量积及应用（导学案）一、知识梳理：(请同学们阅读必修四) 1. 平面向量的夹角及表示:(1).平面向量的夹角的定义 (2).范围: 表示方法:当夹角为0或时,则称a 与b ,记作: ; 当夹角为9时,则称a 与b ,记作: ; 2.向量的数量积定义:3.数量积几何意义与投影的概念:4.数量积的性质:设a 与b 是非零向量,e 是单位向量,是a 与e 的夹角,则 ① = ；②a b 时，a b ③同向量，④反向量，⑤| =特别地：=++2a b=+-2a b (a+b) (a-b)=-⑥数量积的运算律: 交换律：；结合律：；分配律：⑦数量积的坐标运算：； ⑧两向量垂直叛定：； ⑨两向量夹角公式：；⑩向量的模及两点间的距离：；二、题型探究探究一：平面向量的数量积运算例1：已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为12，求： ○1○2○3- ； ○4（2a-b ）（a+3b ）探究二、数量积的综合应用例2：已知向量a 和b 的夹角是120°，且2||=a ，5||=b ，则a b a⋅-)2(=例3：已知平面上三个向量a 、b 、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，（1）求证：)(b a-⊥c ；（2）若1||>++c b a k)(R k ∈，求k 的取值范围.例4：已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）（1）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标；（2）若|b |=,25且b a 2+与b a -2垂直，求a 与b 的夹角θ. 三、方法提升运用向是的数量积可以解决有关长度、角度等问题，也可以解决有关向量位置关系问题。

四、课时训练：1．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（）()A 0,24 ()B 24,4 ()C 16，0 ()D 4，02．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ，)3,1(-B ，若点C 满足OB OA OC βα+=，其中R ∈βα,，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为：（）()A 01123=--y x ()B 5)2()1(22=-+-y x ()C 02=-y x ()D 052=-+y x3．已知向量)75sin ,75(cos =a ，)15sin ,15(cos=b ，那么||b a -的值是（）()A 21 ()B 22 ()C 23 ()D 14．在ABC ∆中，0<⋅AC AB ，ABC ∆的面积是415，若3||=AB ，5||=AC ，则BAC ∠=( )()A 6π()B 32π ()C 43π ()D 65π5．已知O 为原点，点,A B 的坐标分别为)0,(a A ，),0(a B ，其中常数0>a ，点P 在线段AB 上，且有AB t AP =)10(≤≤t ，则OP OA ⋅的最大值为（）()A a ()B a 2 ()C a 3 ()D 2a6．设12,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，则||||21PF PF ⋅的值等于（）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 87.设,,a b c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①()()0a b c c a b ⋅-⋅=； ② ||||||a b a b -<-③()()b c a c a b ⋅-⋅不与c 垂直 ④22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=-中，是真命题的有 ( )（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④8．设,,,O A B C 为平面上四个点，a OA =，b OB =，c OC =，且0=++c b a ，c b b a ⋅=⋅=a c ⋅1-=，则||||||c b a++＝___________________。

高考数学第一轮复习第35课时—平面向量的数量积(学案)

小结：
例 4．如图，在 Rt△ ABC 中，已知 BC= a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问 PQ与BC 的夹角取何值时 BP CQ 的值最大？并求出这个最大值。
小结：
五．课后作业：
班级
学号
姓名
1．已知向量 a (cos , sin ) ,向量 b ( 3, 1) 则 | 2a b | 的最大值，最小值分（
）
( A) 4 2 ,0
( B) 4, 4 2
(C ) 16， 0
( D ) 4，0
2．平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3,1) ， B ( 1,3) ，若点 C 满足
OC OA OB，其中 , R ，且
1 ，则点 C 的轨迹方程为：
（
）
( A) 3x 2 y 11 0 ( B) ( x 1)2 ( y 2) 2 5 (C ) 2x y 0 (D ) x 2 y 5 0
④若 a (b c) ，则 a b a c
2．已知 a, b, c 为非零的平面向量 . 甲： a b a c,乙 : b c, 则
（
）
( A) 甲是乙的充分条件但不是必要条件
( B ) 甲是乙的必要条件但不是充分条件
(C ) 甲是乙的充要条件
( D ) 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
r
r
rr r
k1 a1 k2 a2
kn an 0成立，则称向量 a1, a2 , an 为“线性相关” ．依此规定，能说明
ur
uur
uur
a1 (1,0) ，a2 (1, 1)，a3 (2,2)“线性相关” 的实数 k1, k2 , k3 依次可以取
5．已知 |a |r=|br |=2， ar 与 br 的夹角为r 60r0，则 a + b 在r a 上r 的投影为

2015届高考数学一轮总复习 5-3平面向量的数量积

2015届高考数学一轮总复习 5-3平面向量的数量积基础巩固强化一、选择题1．(2013·湖北理，6)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152[答案] A[解析] ∵AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →·CD →＝2×5＋1×5＝15，|CD →|＝52，所求投影为|AB →|cos<AB →，CD →>＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.2．(文)若向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，则有( ) A ．c ⊥a B ．c ⊥b C ．c ∥b D ．c ∥a[答案] A[解析] c ·a ＝|a |2＋a ·b ＝1＋1×2×cos120°＝0. 故c ⊥a .(理)(2013·山东师大附中模拟)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋b |＝( ) A ．9 B.7 C ．3 D ．7[答案] B[解析] |a |＝2，a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×1×12＝1，所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝4＋1＋2＝7，所以|a ＋b |＝7，选B.3．(文)(2013·辽宁理，9)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a|＝0[解析] 依题意，a ≠0.因为△ABC 是直角三角形，则O 不可能为直角顶点，若∠A 为直角，则有b ＝a 3；若∠B 为直角，则有OB →⊥AB →，OB →·AB →＝(a ，a 3)·(a ，a 3－b )＝a 2＋a 3(a 3－b )＝0，所以b ＝a 3＋1a，选C. (理)(2013·北京四中期中)若O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足(BO →＋OC →)·(OC →－OA →)＝0，则△ABC 一定是( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．斜三角形[答案] C[解析] 由(BO →＋OC →)·(OC →－OA →)＝0得BC →·AC →＝0，即BC ⊥AC ，所以∠C ＝90°，所以△ABC 为直角三角形，选C.4．(2012·新疆维吾尔自治区检测)已知A 、B 、C 是圆O ：x 2＋y 2＝r 2上三点，且OA →＋OB →＝OC →，则AB →·OC →等于( )A ．0 B.12 C.32 D ．－32[答案] A[解析] ∵A 、B 、C 是⊙O 上三点，∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝r (r >0)，∵OA →＋OB →＝OC →，∴AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(OB →＋OA →)＝|OB →|2－|OA →|2＝0，故选A. 5．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于( ) A ．30° B ．120° C ．150° D ．30°或150°[答案] C[解析] S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12.又a ·b <0，∴∠BAC 为钝角，∴∠BAC ＝150°，选C.6．(文)(2013·上海徐汇一模)设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) A ．－2 B.2－2 C ．－1D ．1－ 2[解析] (a －c )·(b －c )＝c 2－c ·(a ＋b ) ≥1－|c ||a ＋b |＝1－(a ＋b )2＝1－ 2.(理)已知|a |＝2，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则|a －λb |的最小值为( ) A ．4 B ．2 3 C ．2 D. 3[答案] D[解析] ∵a ·(b －a )＝a ·b －|a |2＝a ·b －4＝2，∴a ·b ＝6，|a －λb |2＝|a |2＋λ2|b |2－2λa ·b ＝36λ2－12λ＋4＝36(λ－16)2＋3≥3，∴|a －λb |≥3，故选D.二、填空题7．(文)(2013·山东潍坊联考)向量a ，b 满足(a －b )·(2a ＋b )＝－4，且|a |＝2，|b |＝4，则a ，b 的夹角等于________．[答案] 120°[解析] 由(a －b )·(2a ＋b )＝－4得， 2|a |2－a ·b －|b |2＝－4，即a ·b ＝－4，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－42×4＝－12，所以〈a ，b 〉＝120°.(理)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________． [答案] π3[解析] (a ＋2b )·(a －b )＝－2，即|a |2＋a ·b －2|b |2＝－2，∴22＋a ·b －2×22＝－2，a ·b ＝2，又cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝12，〈a ，b 〉∈[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.8．(2013·巢湖质检)已知点G 是△ABC 的重心，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是________．[答案] 23[解析] －2＝AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝|AB →|·|AC →|×(－12)，得|AB →|·|AC →|＝4，由三角形重心性质可得AB →＋AC →＝3AG →.9|AG →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →≥2|AB →|·|AC →|＋2AB →·AC →＝2×4＋2×(－2)＝4，所以|AG →|min ＝23.9．已知OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )． (1)若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________． (2)若△ABC 为Rt △，且∠A 为直角，则m ＝______. [答案] m ∈R 且m ≠12 74[解析] (1)若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线． ∵AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，∴m ≠12.即实数m ≠12，满足条件．(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.三、解答题10．(文)三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(c －a ，b －a )，n ＝(a ＋b ，c )，若m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若sin A ＋sin C 的取值范围． [解析] (1)由m ∥n 知c －a a ＋b ＝b －ac ，即得b 2＝a 2＋c 2－ac ，据余弦定理知， cos B ＝12，得B ＝π3.(2)sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋sin(A ＋π3)＝sin A ＋12sin A ＋32cos A ＝32sin A ＋32cos A＝3sin(A ＋π6)，∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，∴A ∈(0，2π3)，∴A ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(A ＋π6)∈(12，1]，∴sin A ＋sin C 的取值范围为(32，3]． (理)(2013·浙江重点中学联谊学校期中)已知a ＝(cos 3θ2，sin 3θ2)，b ＝(cos θ2，－sin θ2)，且θ∈[0，π3]．(1)求a ·b|a ＋b |的最值； (2)是否存在k 的值使|k a ＋b |＝3|a －k b |? [解析] (1)由已知得a ·b ＝cos 3θ2cos θ2－sin 3θ2sin θ2＝cos2θ，∵θ∈[0，π3]，∴|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos2θ＝2cos θ， ∴a ·b |a ＋b |＝cos2θ2cos θ＝cos θ－12cos θ，令cos θ＝t ，t ∈[12，1]，∴cos θ－12cos θ＝t －12t ，(t －12t )′＝1＋12t 2>0，∴y ＝t －12t 为增函数，其最大值为12，最小值为－12，∴a ·b |a ＋b |的最大值为12，最小值为－12.(2)假设存在k 的值满足题设条件，则|k a ＋b |2＝3|a －k b |2. ∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝cos2θ， ∴cos2θ＝1＋k 24k，∵θ∈[0，π3]，∴－12≤cos2θ≤1，∴－12≤1＋k24k≤1，∴2－3≤k ≤2＋3或k ＝－1.能力拓展提升一、选择题11．(文)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3 B.32C.33D. 3[答案] D[解析] ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →，∴AC →·AD →＝(AB →＋ 3 BD →)·AD →＝AB →·AD →＋ 3 BD →·AD →，又∵AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0， ∴AC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →|·|AD →|·cos ∠ADB ＝3|BD →|·cos ∠ADB ＝3·|AD →|＝ 3.(理)(2012·大纲全国理，6)△ABC 中，AB 边的高为CD .若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b [答案] D [解析]∵a ·b ＝0， ∴∠ACB ＝90°，又|a |＝1，|b |＝2， ∴AB ＝5，∴CD ＝255，∴BD ＝55，AD ＝455. 即AD BD ＝∴AD →＝45AB →＝45(CB →－CA →)＝45(a －b )．故选D.本题的关键点是利用直角三角形的性质确定点D 的位置．12．(文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．最小值为2C ．是定值6D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →＝(x ，－3)， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.(理)已知a 、b 为非零向量，m ＝a ＋t b (t ∈R )，若|a |＝1，|b |＝2，当且仅当t ＝14时，|m |取得最小值，则向量a 、b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] ∵m ＝a ＋t b ，|a |＝1，|b |＝2，令向量a 、b 的夹角为θ，∴|m |＝|a ＋t b |＝|a |2＋t 2|b |2＋2t |a ||b |cos θ ＝4t 2＋4t cos θ＋1＝4(t ＋cos θ2)2＋1－cos 2θ. 又∵当且仅当t ＝14时，|m |最小，即14＋cos θ2＝0，∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.故选C.13．(2013·天津月考)若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －(a ·aa ·b )b ，则向量a 与c 的夹角为( )A ．0 B.π6 C.π3 D.π2[答案] D[解析] 因为c ＝a －(a ·a a ·b )b ，所以a ·c ＝a ·[a －(a 2a ·b )b ]＝a 2－a 2＝0，所以a ⊥c ，即向量a 与c 的夹角为π2，选D.二、填空题14．(2012·湖南文，15)如下图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.[答案] 18[解析] 过C 作BD 的平行线，与AP 的延长线交于Q 点，则AQ ＝2AP ＝6，则AP →·AC →＝|AP →|·|AC →|cos 〈AP →，AC →〉＝|AP →||AQ →|＝3×6＝18.15．(文)(2013·长春三校调研)△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，且AB →·AC →＝AC →2，则BC ＝________.[答案] 5[解析] ∵AB ＝3，AC ＝2，AB →·AC →＝AC →2，∴cos A ＝23，∴利用余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝32＋22－2×3×2×23＝5，∴BC ＝ 5.(理)(2013·天津新华中学月考)平面上的向量MA →与MB →满足|MA →|2＋|MB →|＝4，且MA →·MB →＝0，若点C 满足MC →＝13MA →＋23MB →，则|MC →|的最小值为________．[答案]74 [解析] 由MC →＝13MA →＋23MB →得|MC →|2＝(13MA →＋23MB →)2＝19|MA →|2＋49MA →·MB →＋49|MB →|2 ＝19|MA →|2＋49|MB →|2 ＝19(4－|MB →|)＋49|MB →|2＝49|MB →|2－19|MB →|＋49 ＝49(|MB →|2－14|MB →|)＋49 ＝49(|MB →|－18)2＋716≥716，所以|MC →|≥716＝74，即|MC →|的最小值为74. 三、解答题16．(文)(2012·东北三校联考)已知向量m ＝(2，－1)，n ＝(sin A 2，cos(B ＋C ))，A 、B 、C 为△ABC的内角，其所对的边分别为a 、b 、c .(1)当m ·n 取得最大值时，求角A 的大小；(2)在(1)的条件下，当a ＝3时，求b 2＋c 2的取值范围．[解析] (1)m ·n ＝2sin A 2－cos(B ＋C )＝－2sin 2A 2＋2sin A 2＋1＝－2(sin A 2－12)2＋32，∵0<A <π，∴0<A 2<π2，∴当sin A 2＝12，即A ＝π3时，m ·n 取得最大值．(2)由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2得，b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， ∵C ＝π－A －B ＝2π3－B ，∴b 2＋c 2＝4sin 2B ＋4sin 2C ＝4＋2sin(2B －π6)，∵0<B <2π3，∴－π6<2B －π6<7π6，∴－12<sin(2B －π6)≤1，∴3<b 2＋c 2≤6，∴b 2＋c 2的取值范围为(3,6]．(理)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .[解析] (1)由a 与b －2c 垂直．a ·(b －2c )＝a ·b －2a ·c ＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. (2)b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β ＝17－30sin βcos β＝17－15sin2β最大值为32， ∴|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明：由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β，即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，∴a ∥b .考纲要求1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．补充说明1．平行与垂直问题常常转化为两个向量的平行与垂直．2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法．3．向量可与函数、三角函数、解析几何、平面几何、解三角形、不等式等知识综合，尤其是向量的数量积更能体现其综合性，向量与三角函数、解三角形、解析几何的综合是高考命题一大特点，值得高度重视．备选习题1．如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M 、N 是该图象与x轴的交点，若PM →·PN →＝0，则ω的值为( )A.π8B.π4 C ．4D ．8 [答案] B[解析] ∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN ，又P 为函数图象的最高点，M 、N 是该图象与x 轴的交点，∴PM ＝PN ，y P ＝2，∴MN ＝4，∴T ＝2πω＝8，∴ω＝π4. 2．(2013·德州乐陵一中月考)关于平面向量a ，b ，c 有下列三个命题：①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)[答案] ②[解析] ∵a ·b ＝a ·c ，∴a ·(b －c )＝0，∴a ⊥(b －c )，不一定有b ＝c ，则①不正确；当a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b 时，6＋2k ＝0，∴k ＝－3，则②正确；非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |时，|a |，|b |，|a －b |构成等边三角形，∴a 与a ＋b 的夹角为30°，因此③错误，故真命题的序号为②.3．(2012·东北三校二模)已知M 、N 为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0内的两个动点，向量a ＝(1,3)，则MN →·a 的最大值是________．[答案] 40[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图，由于a ＝(1,3)，直线AB ：3x －y －6＝0，显见a 是直线AB 的一个方向向量，由于M 、N 是△ABC 围成区域内的任意两个点，故当M 、N 分别为A 、B点时，MN →·a 取最大值，求得A (0，－6)，B (4,6)，∴MN →＝AB →＝(4,12)，∴MN →·a ＝40.。

高三数学第一轮复习第35课时—平面向量的数量积教案

解：，，
∴
∴
设
∴ 时，与的夹角为，
∴ 的取值范围是。
例4．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问
的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.
解法一：
故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为0。
解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.
∴
∴
（2）∵ ，即
也就是
∵ ，∴
所以或．
例2．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）
（1）若| | ，且，求的坐标；
（2）若| |= 且与垂直，求与的夹角 .
解：（1）设，由和可得：
∴ 或
∴ ，或
（2）即
∴ ，所以
∴ ∵
∴ .
例3．设两个向量、，满足，，、的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.
1
4．在中，，的面积是，若，，则 ( )
5．已知为原点，点的坐标分别为，，其中常数，点在线段上，且有，则的最大值为（）
6．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的值等于（）
2 4 8
7.设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
① ；②
③ 不与垂直④
中，是真命题的有( )
6．设向量满足，则。
7．已知向量的方向相同，且，则 _______。
8．已知向量和的夹角是120°，且，，则 =。
（四）例题分析：
例1．已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，

高中数学_平面向量数量积复习课教学设计学情分析教材分析课后反思

《平面向量数量积复习课》教学设计《平面向量数量积复习课》一、教学目标确立依据：（一）课程标准要求及解读1、课程标准要求：(1)理解平面向量的数量积的含义及物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2、课程标准解读：课程标准对平面向量数量积的要求可以分为两个层次，一是要求学生理解数量积的含义，掌握其运算；二是能够应用能运用平面向量数量积的基础知识对所给的有关平面向量数量积运算采用合理的方法进行运算。

简单地说就是：一、知识层面，要掌握牢固数量积的基础知识。

二是应用层面，要求学生会用数量积解决有关问题。

（二）教材分析：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。

而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。

既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，也是高考中经常考察的内容，而且很好的体现了数形结合的数学思想和类比思想。

本节平面向量数量积的复习课在教学内容方面不仅有对于向量相关知识的回顾与梳理，也有辨析中准确掌握数量积中易错易漏知识点，还有求平面向量数量积、模、夹角的方法的总结；（三）全国卷命题趋势分析：平面向量的数量积运算是高考的重点内容之一，对本单元的考查多以选择题、填空题的形式出现，问题的档次为中、低档题，有时也有解答题。

1.高频考向：平面向量的数量积、模或夹角相结合。

2.低频考向：平面向量在平面几何、解析几何中的简单应用。

3.重点关注：(1)求数量积、模或夹角的最值或范围；(2)平面向量与三角函数相结合的解答题。

近几年命题趋势汇编如下：（三）学情分析：1、本节课的授课对象是高三一轮复习学习中等程度班级的学生，学生思维活跃，积极性高，另外学生具有数量积的所有知识储备，具有较强的抽象思维能力和一般的归纳推理能力。

2015年高考数学(文)一轮课件：6-3平面向量的数量积及应用

17 a· 18 a· 19 x1x2＋y1y2 □ 20 x2＋y2 □ 21 □ (λb) □ c＋b· c □ 22 □ x1－x22＋y1－y22 23 x1x2＋y1y2＝0 □
●两个公式 (1) 公式a2＝|a|2，建立了向量与实数运算之间的关系，是解
题中的常用工具． a· b (2)公式cosθ＝ |a|· |b| ，可求向量的夹角，其中夹角的范围是 0° ≤θ≤180° .
第六章平面向量、复数
第三节
平面向量的数量积及应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
教材回归自主学习
核心考点引领通关
考题调研成功体验
开卷速查规范特训
【考点分析】
(1)考查两个向量的数量积的求法；(2)利用
两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；(3)利用两个向量的数量积证明两个向量垂直．【复习指导】 (1)理解数量积的意义，掌握求数量积的各种
A．6 B．5 C．4 D．3
→ → 思维启迪：(1)由于∠C＝90° ，因此选向量CA，CB为基底． (2)先算出8a－b，再由向量的数量积列出方程，从而求出x.
→ → → → → 解析：(1)AB· AC＝(CB－CA)· (－CA) → → →2 ＝－CB· CA＋CA ＝16. (2)∵a＝(1,1)，b＝(2,5)， ∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)· c＝30，∴(6,3)· (3，x)＝18＋3x＝30. ∴x＝4.
答案：(1)D；(2)C
点评：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件．
通关训练1
已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上

高中数学必修4《平面向量的数量积》教案

⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼀】教学准备教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点教学重点：平⾯向量的数量积定义教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤教学过程 1.平⾯向量数量积(内积)的定义：已知两个⾮零向量a与b，它们的夹⾓是θ，则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，(0≤θ≤π). 并规定0向量与任何向量的数量积为0. ×探究：1、向量数量积是⼀个向量还是⼀个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? (1)两个向量的数量积是⼀个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b，⽽a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能⽤“×”代替. (3)在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0. ⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼆】教学准备教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理有关长度、⾓度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点教学重点：平⾯向量的数量积定义教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤教学⼯具投影仪教学过程⼀、复习引⼊： 1.向量共线定理向量与⾮零向量共线的充要条件是：有且只有⼀个⾮零实数λ，使=λ 五，课堂⼩结 (1)请学⽣回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想⽅法有那些? (2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明⽩的地⽅，请向⽼师提出。

高考数学复习知识点讲解教案第31讲平面向量的数量积

1
,
2
D.9
1

3
= +
1
，
3
1
，
3
2
4①，
2
=
2

+
2

3
⋅ +
2
= −8，即 − = 9，
所以 ⋅ = + ⋅ ( − ) =
2

−
2

= −9.故选A.
1
2

9
= 12②，
（3）
[2022·北京卷] 在△ 中， = 3， = 4，∠ =
∈ )；
⋅
⋅
③
⋅+⋅
分配律： + ⋅ =______________.
4.平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量 = 1 , 1 ， = 2 , 2 ，⟨,⟩为与的夹角.
向量的长度
，的数量积
与垂直
向量表示
坐标表示
= 2
2
高考数学复习知识点讲解教案
第31讲平面向量的数量积
课前基础巩固课堂考点探究教师备用习题作业手册
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向
量的数量积.
2.通过几何直观的了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.
规定：零向量与任一向量的数量积为___,即
⋅ = 0.
（3）
投影向量
如图，在平面内任取一点，作 = ， = ，过点作
1
直线的垂线，垂足为1 ，则______就是向量在向量上

2015高考总复习数学(文)课件：8.2 平面向量的数量积

(5)|a· b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ，则
(1)a· b＝x1x2＋y1y2.
2 (2)|a|＝ x1 ＋y2 1.
x1x2＋y1y2 (3)cos〈a，b〉＝ 2 2 2 2. x1＋y1 x2＋y2
(1)求椭圆 C 的方程；
→ → (2)M，N 是直线 x＝4 上的两个动点，且F F 1M· 2N＝0.设 E
是以 MN 为直径的圆，试判断原点 O 与圆 E 的位置关系．
x2 y2 解： (1)由题意设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，由题 c 1 意，得a＝2，4a＝8，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 4 ＋ 3 ＝1. (2)由(1)知 F1(－1,0)，F2(1,0)．设 M(4，t1)，N(4，t2)， → → → → 则F 1M＝(5，t1)，F2N＝(3，t2)，OM＝(4，t1)，ON＝(4，t2)． → → ∵F F 1M· 2N＝0，∴5×3＋t1t2＝0.
图 D20
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 → → → → →· → ＝－ BC＋AM· BC＋AM 解析二：AB AC 2 2
1→2 → 2 1 ＝－4BC ＋AM ＝－4×102＋32＝－16.
答案：－16 【方法与技巧】当向量表示平面图形中的一些有向线段时，
要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的
(4)a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
→ ＝a， 5．若 A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB 则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．