人教新课标版数学高一必修1导学案 指数函数及其性质(二)学生版
人教版高中数学必修第一册指数函数及其性质教案
指数函数及其性质（二）三维目标一、知识与技能1.加深对指数函数性质的理解与掌握.2.掌握对指数函数性质的灵活应用.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，培养学生的协作精神.2.通过探索函数性质的应用，培养学生的科学探索精神.3.通过探究、思考，把生活实际问题转化为数学问题，从而培养学生理性思维能力、观察能力、判断能力.三、情感态度与价值观1.通过指数函数性质的应用，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性.2.在教学过程中，通过学生间的相互交流，确立具体函数模型，解决生活中的实际问题，增强学生数学交流能力，使学生明确指数函数是一种描述客观世界变化规律的重要数学模型，进一步认识数学在生活中的巨大作用.教学重点指数函数的性质的理解与应用.教学难点指数函数的性质的具体应用.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、回顾旧知，引入新课师：我们上节课学习了指数函数的图象和性质，请同学们回顾一下有关知识.二、讲解新课例题讲解【例1】已知指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，π），求f（0），f（1），f（3）的值.师：要求f（0），f（1），f（3）的值，我们先要知道指数函数f（x）=a x的解析式，也就是先要求出a 的值，如何求?生：通过指数函数f（x）=a x的图象经过点（3，π），求出a的值.解：因为f （x ）=a x 的图象经过点（3，π），所以f （3）=π， 即a 3=π.解得a =π31，于是f （x ）=π3x ，所以f （0）=π0=1，f （1）=π31=3π，f （3）=π－1=π1. 方法引导：这是渗透了函数与方程的思想方法. 【例2】 将下列各数从小到大排列起来：（32）31，（53）21，332，（52）21，（23）32，（65）0，（－2）3，（35）31-. 师：在很多数比较大小的时候，应该先将他们分类，按什么进行分类呢? 生：按一些特殊的中间值.师：指数式中特殊的中间值有哪些? 生：0，1等.师：分完之后呢，要通过什么来比较? 生：函数的单调性.解：（65）0=1，将其余的数分成三类：（1）负数：（－2）3；（2）大于0小于1的数：（53）21，（52）21，（35）31-=（53）31；（3）大于1的数：（32）31-=（23）31，332，（23）32.然后将各类中的数比较大小：在（2）中（53）21＞（52）21，（53）21＜（53）31；在（3）中（32）31-=（23）31＜（23）32，（23）32＜332.由此可得（－2）3＜（52）21＜（53）21＜（35）31-＜（65）0＜（32）31-＜（23）32＜332.方法引导：比较两数值的大小，常可以归结为比较两函数值的大小，所以需要我们能够恰当地构造函数，使两数值为同一函数的两个函数值，然后根据函数的单调性来比较大小.【例3】 解不等式：（1）9x ＞3x －2；（2）3×4x －2×6x ＞0.师：你觉得要解决以上问题需要哪些知识？该题的本质是考查哪些知识？ （生讨论，师总结）解：（1）∵9x ＞3x －2，∴32x ＞3x －2.又∵y =3x 在定义域R 上是增函数， ∴原不等式等价于2x ＞x －2， 解之得x ＞－2.∴原不等式的解集为{x |x ＞－2}.（2）3×4x －2×6x ＞0可以整理为3×4x ＞2×6x ， ∵4x ＞0，6x ＞0，∴x x 64＞32，即（32）x ＞（32）1.又∵y =（32）x 在定义域R 上是减函数，∴x ＜1.故原不等式的解集为{x |x ＜1}.方法引导：本题的本质是利用函数的单调性求参数的范围.首先要根据题中的具体要求，确定相应的目标函数，进而利用函数的单调性得出自变量之间的关系.（2）式形式比较复杂，可先根据幂的运算法则进行化简，为能找到一个目标函数作好准备.【例4】 求下列函数的定义域和值域：（1）y =xa -1；（2）y =（21）31+x .（生讨论，师总结）解：（1）要使函数有意义，必须1－a x ≥0，即a x ≤1. 当a ＞1时，x ≤0；当0＜a ＜1时，x ≥0.∴当a ＞1时，函数的定义域为{x |x ≤0}；当0＜a ＜1时，函数的定义域为{x |x ≥0}. ∵a x ＞0，∴0≤a x －1＜1. ∴值域为{y |0≤y ＜1}.（2）要使函数有意义，必须x +3≠0，即x ≠－3. ∴函数的定义域为{x |x ≠－3}. ∵31+x ≠0， ∴y =（21）31+x ≠（21）0=1.又∵y ＞0，∴值域为{y |y ＞0，且y ≠1}.方法引导：结合第一章中函数的定义域与值域来求解指数函数的复合函数的定义域与值域.（1）中还涉及了分类讨论的思想方法.在解决值域的过程中可采用数形结合的思想方法.【例5】 截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少?（精确到亿）（师生共同讨论，假设、找关系，明确自变量的取值范围） 解：先求出函数关系式：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿. 经过1年，人口数y =13×（1+1%）（亿）； 经过2年，人口数y =13×（1+1%）2（亿）； ……经过x 年，人口数y =13×（1+1%）x =13×1.01x （亿）. 当x =20时，y =13×1.0120≈16（亿）.所以，经过20年后，我国的人口数最多为16亿.方法引导：在解决实际应用问题时，首先要根据题目要求进行恰当假设，通过恰当假设，进而求得结论.为了更有助于学生理解关系式，在推导关系式时可以从自变量许可的范围内多取几个数值，运用归纳法得出所求关系式.在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型：设原有量为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后的总量可以用y =N （1+p ）x 表示.我们把形如y =ka x （k ∈R ，a ＞0，且a ≠1）的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型.合作探究：你是如何看待我国的计划生育政策的?为什么?说明：本例中函数的定义域是时间，故只能取非负实数；而且在解决实际问题时往往用到从函数图象上找出某一自变量对应的函数值.知识拓展：在解决应用问题时，其关键是能正确理解题意，从而建立目标函数，进而将生活实际问题转化为数学问题.同时要结合具体问题的实际意义确定函数的定义域.三、巩固练习1.函数y =a x +2－1（a ＞0，a ≠1）的图象过定点________.2.函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （222x x ）的定义域为________. 3.求y =4x －2x －1+1的最小值以及取得最小值时的x 的值.4.一片树林中现有木材30000 m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x 、y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000 m 3.（结果保留一个有效数字）解答：1.（－2，0） 2.（－∞，0）∪（2，+∞） 3.当x =－2时，y 的最小值为1615. 4.函数关系式为y =30000（1+5%）x （x ≥0）.当y =40000时，得34=（1+5%）x =1.05x ，∴画出y =1.05x （x ≥0）的图象，从图象上找到与y =4≈1.33对应的x 值即可.列出下表：描点作出图象（如下图所示）.由图象可知，与y =34≈1.33对应的x 值约为6. 答：约经过6年，木材可以增加到40000 m 3. 四、课堂小结本节课中主要渗透了数学的思想方法：分类讨论的思想、数形结合的思想、函数与方程的思想，数学的思想方法是数学学习的主轴线.五、布置作业 板书设计2.1.2 指数函数及其性质（2）一、函数性质的复习 二、例题解析与学生训练 三、课堂小结 四、布置作业。
人教新课标版数学高一-人教必修1学案设计2.1.2指数函数及其性质
2.1.2 指数函数及其性质1．指数函数的概念(1)定义：一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．(2)指数函数的特征：特征⎩⎪⎨⎪⎧系数：1底数：常数，且是不等于1的正实数指数：仅是自变量x定义域：R例如函数y ＝－3×4x 和y ＝x 4均不符合指数函数的特征，故不是指数函数．其中函数y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0，a ＞0，且a ≠1)称为指数型函数．释疑点 指数函数的概念中为什么要规定a ＞0，且a ≠1? (1)若a ＝0，则当x ＞0时，a x ＝0；当x ≤0时，a x 无意义．(2)若a ＜0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义．如(－2)x ，这时对于x ＝14，x ＝12，…，在实数范围内函数值不存在．(3)若a ＝1，则对于任何x ∈R ，a x ＝1，是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1．在规定以后，对于任何x ∈R ，a x都有意义，且a x ＞0．【例1－1】函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3 D ．a ＞0且a ≠1解析：由指数函数定义知2(2)1,0,1,a a a ⎧-=⎨>≠⎩且所以解得a ＝3．答案：C【例1－2】下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．①y＝x；②y＝2x－1；③y＝π2x⎛⎫⎪⎝⎭；④y＝x x；⑤y＝13x-；⑥y＝13x．解析：答案：③2．指数函数的图象与性质(1)指数函数的图象与性质对应关系如下：①定义域R ，值域(0，＋∞)②图象都过点(0,1)③当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，③当x ＞0时，0＜y ＜1；当x指数增减要看清，抓住底数不放松； 反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(0,1)点．【例2－1】函数y ＝1)x 在R 上是( ) A ．增函数 B ．奇函数 C ．偶函数 D ．减函数解析：由于0－1＜1，所以函数y ＝－1)x 在R 上是减函数． 因为f (－1)＝1)－1 f (1)－1，则f (－1)≠f (1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数y ＝1)x 不具有奇偶性．答案：D【例2－2】如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( )A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c解析：(方法一)在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x 轴，故有b＜a．在③④中底数大于1，底数越大，图象越靠近y轴，故有d＜c．故选B．(方法二)设x＝1与①②③④的图象分别交于点A，B，C，D，如图，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得c＞d＞1＞a＞b．故选B．答案：B析规律底数的变化对函数图象的影响当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于x轴，简称x＞0时，底大图象高．3．指数型函数模型(1)指数增长模型设原有值为N，平均增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．(2)指数减少模型设原有值为N，平均减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)．(3)指数型函数形如y＝k·a x(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数．【例3】某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式．分析：在此增长模型中，基数是360，人口的平均增长率为1.2%，粮食总产量的平均增长率为4%，由此可列出1,2,3，…年后的人均一年占有量，观察得到所求的函数解析式．解：设该乡镇现在人口数量为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M kg ． 1年后，该乡镇粮食总产量为360M (1＋4%) kg ，人口数量为M (1＋1.2%)， 则人均一年占有粮食为360(14%)(1 1.2%)M M ++kg ，2年后，人均一年占有粮食为22360(14%)(1 1.2%)M M ++kg ，……x 年后，人均一年占有粮食为y ＝360(14%)(1 1.2%)xxM M ++kg ，即所求函数解析式为 1.04360 1.012xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭(x ∈N *)．点技巧 指数增长模型的计算公式 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后的总量y 可以用y ＝N (1＋p )x 来表示．这是非常有用的函数模型．4．利用待定系数法求指数函数的解析式已知函数模型求函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的未知参数，从而得出函数的解析式．在指数函数的概念中，只有形如y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的函数才是指数函数，除此之外的函数都不是指数函数，所以设指数函数的解析式时，只能设成y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的形式，而不是其他形式．同时，指数函数的解析式中只含有一个常数a ，由此只需一个条件就可确定指数函数的解析式．例如：若指数函数f (x )的图象经过点(2,9)，求f (x )． 解：设f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，因为函数f (x )的图象经过点(2,9)，代入可得a 2＝9，解得a ＝3或a ＝－3(舍去)． 故f (x )＝3x ．【例4－1】指数函数y ＝f (x )的图象经过点(π，e)，则f (－π)＝__________． 解析：设f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，∵y＝f(x)的图象过点(π，e)，∴aπ＝e．∴a∴f(x)＝x．∴f(－π)＝－π＝e－1＝1e ．答案：1 e【例4－2】已知指数函数f(x)的图象经过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，试求f(－1)和f(3)．分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法求出．解：设f(x)＝a x(a＞0，且a≠1)，∵函数f(x)的图象经过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴a－2＝116，解得a＝±4．又a＞0，则a＝4，∴f(x)＝4x．∴f(－1)＝4－1＝14，f(3)＝43＝64．点技巧关于a的方程a m＝n的解法方法一：可以先把n化为以m为指数的指数幂的形式n＝k m，即a m＝k m，则可得a＝k．方法二：由a m＝n得到11()m m ma n=，即1ma n=，再利用指数幂的运算性质化简1m n．5．与指数函数有关的定义域、值域问题指数函数常与一次函数、反比例函数、二次函数结合构成指数型复合函数．与指数函数有关的复合函数的定义域和值域的求法如下：(1)求定义域的方法①函数y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)的定义域与函数y＝f(x)的定义域相同．②函数y＝f(a x)的定义域与函数y＝f(x)的定义域不一定相同．例如，函数f(x)义域为[0，＋∞)，而函数f(x)R．求函数y＝f(a x)的定义域时，可由函数f(x)的定义域与g(x)＝a x的等价性，建立关于x的不等式，利用指数函数的相关性质求解．(2)求值域的方法①求函数y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)的值域时，先求函数y＝f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定函数y＝a f(x)的值域．②求函数y＝f(a x)的值域时，可用换元法求解，但换元后应注意引入的新变量的取值范围．【例5－1】求下列函数的定义域和值域：(1)y=(2)22312x xy--⎛⎫= ⎪⎝⎭．解：(1)∵由1－2x≥0可得2x≤1，∴x≤0．∴函数y=x∈(－∞，0]．由0＜2x≤1可得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1．∴函数y=y∈[0,1)．(2)定义域为R．∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴22312x x--⎛⎫⎪⎝⎭≤412-⎛⎫⎪⎝⎭＝16．又∵22312x x--⎛⎫⎪⎝⎭＞0，∴函数22312x xy--⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(0,16]．【例5－2】求下列函数的值域：(1)115xy-=；(2)2121xxy-=+．解：(1)∵11x-≠0，∴115x-≠1．∴函数y＝115x-的值域为{y|y＞0，且y≠1}．(2)2121221212121x xx x xy-+-===-+++，∵2x＞0，∴2x＋1＞1．∴0＜121x+＜1，－2＜－221x+＜0．∴－1＜1－221x+＜1．故函数2121xxy-=+的值域为{y|－1＜y＜1}．6．指数函数的图象及定点问题(1)与指数函数有关的函数图象过定点的问题指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)过定点(0,1)，即对任意的a＞0，且a≠1，都有a0＝1．这是解决与指数函数有关的函数图象恒过定点问题的关键．一般地，对于函数y＝ka f(x)＋b(k≠0)，可令f(x)＝0，解方程得x＝m，则该函数的图象恒过定点(m，k＋b)．方程f(x)＝0解的个数就是该函数的图象恒过定点的个数．(2)指数函数的图象变换的问题根据函数图象的变换规律，有以下结论：①函数y＝a x＋b(a＞0，且a≠1)的图象，可由指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象向左(b＞0)或向右(b＜0)平移|b|个单位长度而得到；②函数y＝a x＋b的图象，可由指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位长度而得到；③函数y＝a－x的图象与函数y＝a x的图象关于y轴对称；函数y＝－a x的图象与函数y ＝a x的图象关于x轴对称；函数y＝－a－x的图象与函数y＝a x的图象关于原点轴对称；函数y＝a|x|的图象，关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)图象相同；当x＜0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称．【例6－1】若函数f(x)＝2a x－1＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________．解析：令x－1＝0，解得x＝1，所以f(1)＝5．所以函数f(x)＝2a x－1＋3的图象恒过定点(1,5)．答案：(1,5)【例6－2】(1)为了得到函数y＝3×13x⎛⎫⎪⎝⎭的图象，可以把函数y＝13x⎛⎫⎪⎝⎭的图象()A．向左平移3个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度(2)若函数y＝a x＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有() A．0＜a＜1，且b＞0 B．a＞1，且b＞0C．0＜a＜1，且b＜0 D．a＞1，且b＜0(3)方程2|x|＋x＝2的实根的个数为__________．解析：(1)本题考查函数图象的平移．y＝3·1 3x⎛⎫ ⎪⎝⎭＝113x-⎛⎫⎪⎝⎭，则只需把函数y＝13x⎛⎫⎪⎝⎭的图象向右平移1个单位长度．故选D．(2)本题考查函数图象的性质．函数y＝a x＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象是由函数y＝a x 的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝a x(0＜a＜1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b －1＜－1⇒b＜0．故选C．(3)由2|x|＋x＝2，得2|x|＝2－x．在同一坐标系中作出函数y＝2|x|与y＝2－x的图象(如图)，可观察到两个函数图象有且仅有2个交点，故方程有2个实数根，应填2．答案：(1)D(2)C(3)27．幂的大小比较问题两个指数幂的大小的比较有以下几种情况：(1)底数相同，指数不同．比较同底数(是具体的数值)幂大小，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数的单调性判断大小．当底数中含有字母时要注意分底数大于0小于1和底数大于1两种情况讨论．(2)底数不同，指数相同．若幂式的底数不同而指数相同时，可以利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系内画出各个函数的图象，依据指数函数的图象随底数的变化规律，观察指数所取值对应的函数值即可．(3)底数不同，指数也不同．幂式的底数不同且指数也不同时，则需要引入中间量．这个中间量可以是1，其中一个大于1，另一个小于1；也可以是一个幂式，这个幂式可以以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数，比如a c与b d，可以取a d为中介，前者比较用单调性，后者用图象．【例7－1】比较下列各题中两个值的大小：(1)1.857-⎛⎫⎪⎝⎭，2.557-⎛⎫⎪⎝⎭；(2)0.523-⎛⎫⎪⎝⎭，0.534-⎛⎫⎪⎝⎭；(3)0.70.8,0.80.7．分析：(1)中两个指数式的底数同、指数不同，可直接应用指数函数的单调性判断；(2)中两个指数式的底数不同、指数同，可构造函数，根据函数的图象观察；(3)中两个指数式的底数、指数均不同，因而要引入中间数进行比较，并结合函数的图象观察．解：(1)因为0＜57＜1，所以函数y＝57x⎛⎫⎪⎝⎭在定义域内单调递减．又－1.8＞－2.5，所以1.82.5 55<77--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(2)作出指数函数23xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与34xy⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，如图所示．当x ＝－0.5时，由图象观察可得0.523-⎛⎫⎪⎝⎭＞0.534-⎛⎫ ⎪⎝⎭．(3)因为0＜0.7＜0.8＜1，所以指数函数y ＝0.7x 与y ＝0.8x 在定义域R 上是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y ＝0.7x 的图象在函数y ＝0.8x 的图象的下方，所以0.70.7＜0.80.7．根据指数函数的性质可得0.70.8＜0.70.7，所以0.70.8＜0.80.7．【例7－2】试比较a 1.3与a 2.5(a ＞0，且a ≠1)的大小． 解：(1)a ＞1时，y ＝a x 为R 上的增函数，故有a 1.3＜a 2.5； (2)当0＜a ＜1时，y ＝a x 为R 上的减函数，故有a 1.3＞a 2.5． 因此，当a ＞1时，a 2.5＞a 1.3；当0＜a ＜1时，a 2.5＜a 1.3． 8．指数方程、指数不等式的求解问题根据指数函数的单调性，当a ＞0，且a ≠1时，有： ①a f (x )＝a g (x )⇔f (x )＝g (x )；②当a ＞1时，a f (x )＞a g (x )⇔f (x )＞g (x )； 当0＜a ＜1时，a f (x )＞a g (x )⇔f (x )＜g (x )．注意：利用指数函数的单调性是解题的关键，根据所给的已知信息，构造合适的指数函数，为了便于解题，通常要尽可能地将含指数幂的式子进行统一底数．例如，(1)已知3x ≥30.5，求实数x 的取值范围； (2)已知0.2x ＜25，求实数x 的取值范围．解：(1)因为3＞1，所以指数函数f (x )＝3x 在R 上是增函数． 由3x ≥30.5，可得x ≥0.5，即x 的取值范围为[0.5，＋∞)． (2)因为0＜0.2＜1，所以指数函数f (x )＝0.2x 在R 上是减函数．因为25＝215-⎛⎫⎪⎝⎭＝0.2－2，所以0.2x ＜0.2－2．由此可得x ＞－2，即x 的取值范围为(－2，＋∞)． 【例8－1】设23－2x＜0.53x －4，则x 的取值范围是__________．解析：原不等式可变形为23－2x ＜24－3x ， ∵函数y ＝2x 为R 上的增函数，∴原不等式等价于3－2x ＜4－3x ，解得x ＜1． 答案：(－∞，1)【例8－2】设y 1＝a 3x ＋1，y 2＝a －2x，其中a ＞0，且a ≠1，试确定x 为何值时，有：(1)y 1＝y 2；(2)y 1＞y 2．分析：指数函数的单调性取决于底数a ，当底数a 不确定时，要注意分情况讨论． 解：(1)由a 3x ＋1＝a －2x ，得3x ＋1＝－2x ． 解得15x =-，所以当15x =-时，y 1＝y 2． (2)当a ＞1时，y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)为增函数． 由a 3x ＋1＞a －2x ，得3x ＋1＞－2x ，解得x ＞15-． 当0＜a ＜1时，y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)为减函数， 由a 3x ＋1＞a －2x ，得3x ＋1＜－2x ，解得x ＜15-． 所以，若a ＞1，则当x ＞15-时，y 1＞y 2； 若0＜a ＜1，则当x ＜15-时，y 1＞y 2． 点技巧 指数不等式的求解技巧 (1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，借助于函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；(2)形如a f (x )＞b 的不等式，注意将b 转化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助于函数y ＝a x 的单调性求解．9．指数函数与二次函数的综合问题指数函数与二次函数的综合问题是常见题型，这类问题的处理方法是利用换元法令t ＝a x，然后利用定义域和指数函数y＝a x的单调性求出t的范围，这就转化为纯粹的二次函数问题了．例如：求函数y＝124x-－3·2x＋5，x∈[0,2]的值域．解：y＝124x-－3·2x＋5＝12(2x)2－3·2x＋5，令t＝2x，∵x∈[0,2]，∴1≤t≤4．∴y＝12t2－3t＋5＝12(t－3)2＋12．∴当t＝3时，函数y取得最小值12，当t＝1时，函数y取得最大值52，即函数的值域是15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【例9】如果函数y＝a2x＋2a x－1(a＞0，且a≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，试求a的值．解：设t＝a x，则t＞0，原函数可化为y＝(t＋1)2－2，其图象的对称轴为t＝－1．(1)若a＞1，∵x∈[－1,1]，∴t∈1,aa⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数y＝(t＋1)2－2在区间1,aa⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴当t＝a时，函数y取得最大值(a＋1)2－2，即(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．(1)若0＜a＜1，∵x∈[－1,1]，∴t∈1,aa⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数y＝(t＋1)2－2在区间1,aa⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴当1ta=时，函数y取得最大值2112a⎛⎫+-⎪⎝⎭，即211a⎛⎫+⎪⎝⎭－2＝14，解得13a=或15a=-(舍去)．综上可知，a的值为3或13．辨误区换元时易出现的错误指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的值域是(0，＋∞)，利用换元法解题时，要注意新元的取值范围，即换元要换限，否则极易出错．10．与指数函数有关的函数的奇偶性综合问题 判断与指数函数有关的函数的奇偶性步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数； (3)当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数； (4)当f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )时，此函数既不是奇函数也不是偶函数． 【例10】已知函数11()212xf x =+-． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性．分析：(1)根据求函数定义域的方法求解；(2)利用函数奇偶性的定义来判断． 解：(1)由2x －1≠0，得2x ≠1，即x ≠0， 因此函数f (x )的定义域为(－∞，0)(0，＋∞)．(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为(－∞，0)(0，＋∞)，关于坐标原点对称，又f (－x )＝1121211111111212122122212212x x x x x x x --+⎛⎫+=+=+=--+=-+ ⎪-----⎝⎭＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．11．与指数函数有关的函数的单调性问题(1)指数函数的单调性与底数的大小有关系，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小．与指数函数有关的函数的单调性往往也与底数有关系，其解决手段就是利用指数函数单调性判断或证明函数的单调性，其步骤是：(在第一章已经学习)①在所给的区间上任取两个自变量x 1和x 2，通常令x 1＜x 2；②比较f (x 1)和f (x 2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号．常见的变形手段是：通分、分解因式、配方、有理化等，常见的变形结果有：常数、一个完全平方加上一个常数、因式的积或商等．掌握比较法要做适当的练习，还要注意经验的积累；③归纳结论．(2)对于形如y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)型的函数的单调性，通常要依据底数a 的取值进行分类讨论：①当a ＞1时，函数y ＝a f (x )的单调性与函数y ＝f (x )的单调性相同． ②当0＜a ＜1时，函数y ＝a f (x )的单调性与函数y ＝f (x )的单调性相反．______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 【例11－1】设a 是实数，f (x )＝a －221x +(x ∈R )，试证明对于任意a ，f (x )为增函数． 证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝12222121x x a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭＝122112222(22)2121(21)(21)x x x x x x --=++++． 由于指数函数y ＝2x 在R 上是增函数，且x 1＜x 2， 所以2x 1＜2x 2，即2x 1－2x 2＜0． 又由2x ＞0得2x 1＋1＞0,2x 2＋1＞0． 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． 所以对于任意实数a ，f (x )为增函数．【例11－2】已知a ＞0，且a ≠1，讨论()232x x f x a－＋＋＝的单调性．分析：本题考查与指数函数有关的复合函数的单调性问题．指数－x 2＋3x ＋2＝231724x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，当x ≥32时是减函数，当x ＜32时是增函数，而f (x )的单调性又与a 的两种范围有关，应分类讨论．解：设u ＝－x 2＋3x ＋2＝231724x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，则当x ≥32时，u 是减函数，当x ＜32时，u 是增函数． 又当a ＞1时，y ＝a u 是增函数，当0＜a ＜1时，y ＝a u 是减函数， 因此当a ＞1时，原函数()232x x f x a－＋＋＝在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数，在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是增函数；当0＜a ＜1时，原函数()232x x f x a －＋＋＝在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数．析规律 复合函数的单调性 一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数是一增一减，则其复合函数是减函数．但一定要注意考虑复合函数的定义域．。
高中数学2.1.2指数函数及其性质(2)教案(新人教A版必修1)河北地区专用
④ y d x 的图象，判断
y bx y cx
Y=
6
y dx
y ax
-10 -5
4
2
5
10
-2
-4
-6
a, b, c, d 与 1 的大小关系；
（2）设 y1 a3x1 , y2 a2 x , 其中 a ＞0， a ≠1，确定 x 为何值时，有： ① y1 y2 ② y1 ＞ y2
1.72.5 1.73 .
解法 2：用计算器直接计算： 1.72.5 3.77 所以， 1.72.5 1.73 解法 3：由函数的单调性考虑
1.73 4.91
因为指数函数 y 1.7 x 在 R 上是增函数，且 2.5＜3，所以， 1.72.5 1.73 仿照以上方法可以解决第（2）小题 . 注：在第（3）小题中，可以用解法 1，解法 2 解决，但解法 3 不适合 . 由于 1.70.3=0.93.1 不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间 找到 1，把这两数值分别与 1 比较大小，进而比较 1.70.3 与 0.93.1 的大小 . 2．思考： （AB） （1）已知 a 0.80.7 , b 0.80.9 , c 1.20.8 , 按大小顺序排列 a, b, c .
y ka x （a＞0 且 a ≠1）
课 后 学 习
9 A 组第 7 ，8 题
P70 B 组
第 1，4 题
教 学 反 思
应用题一直都是学生学习的难点，关键要分析清楚数量关系。
3 ，写出存留污垢 y 与漂洗次数 x 的 4
（3）用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的
函数关系式，若要使存留的污垢，不超过原有的 1%，则少要漂洗几次（此题为人教 社 B 版 101 页第 6 题）. 三、归纳小结：本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住 a ＞1 或 0＜ a ＜时
高中数学人教版必修一第二章-2.1.2指数函数及其性质教学设计
高中数学人教版必修一第二章-2.1.2指数函数及其性质教学设计高中数学人教版必修一第二章第一节指数函数---指数函数及其性质（第二课时）教学设计一、教材分析本节内容是高中数学人教版必修一第二章第一节指数函数的内容，共六课时，本节是指数函数图像及其性质的第二课时.在指数函数图像及其性质的第一课时中，通过图形、实例进行具体分析、观察、归纳，由具体到抽象，得出指数函数的图像和性质，并能进行最基本的应用.本节课，在第一节的基础上，学生继续学习函数图像和性质，并能进行简单的应用.指数函数是函数中的一个重要基本初等函数，为后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的学习做好了知识的准备.同时指数函数的图像和性质也是学习指数函数的重要内容.通过这部分知识的学习，使学生进一步深化对函数概念的理解与认识；通过这部分的学习，向学生渗透数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法，这些数学思想方法对于进一步探究对数函数、三角函数等函数的图像和性质有很强的引领作用.二、学情分析高一学生在初中阶段已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数，对于这些函数的图像和性质有了一定的认识，具备了初步的观察、发现、分析的能力，为指数函数的图像和性质的学习，有了一定的理论基础.但对底数a的变化如何影响其性质以及应用性质进行简单的应用，解决一些实际问题，对于学生来说还是有一些困难的.而且大部分学生不具备数形结合的思想，分类讨论的意识比较淡薄，在解决问题中经常出现解不全面的错误.三、教学目标1.理解指数函数的概念和意义，根据图像理解和掌握指数函数的性质.2.会进行指数函数性质的简单应用.3.通过对指数函数的图像和性质的探究与应用，渗透数形结合的思想方法.4.通过应用指数函数图像和性质解决一些简单问题，领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力.5.通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法.6.让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.四、教学重点和难点1.重点：指数函数的性质和图像.2.难点：理解、掌握指数函数中底数a的变化对于函数值的影响.五、教学过程（一）引导回忆，复习新知1.复习指数函数的形式是2.根据指数函数的概念，并指出下列函数那些是指数函数？4xy = 4xy =- 4y x = 4xy -= 14x y += 32xy =设计意图:为了让学生明确指数函数的定义是以解析式的形式来定义的，加强对概念的理解.图象（1）定义域：R 4.比较下列各题中两值的大小（1）2.73.2 与2.74.5 ( 2 ) 0.10.8-与0.20.8-（3） 0.8 1.811()42（）与设计意图：进一步理解指数函数图像的性质，能简单应用指数函数单调性判断大小（二）创设情境，导入新课1.问题1：例1：如何比较0.3 3.11.70.9两值与的大小2.问题2：对于 1.70.9x x y y ==函数与的图像在第一象限的特点，能否利用图像来解决上面的问题呢？设计意图：底不同，指数也不同，可以借助中间值比较大小，选取适当的中间值（比如0或1）再比较，同时引导学生分别画出x x 0.9y 7.1y ==、的函数图象，再进行比较，对于底不同，指数也不同，也可以借助函数图像和函数的性质比较大小，体会数形结合的思想. （三）互动交流，探索新知1.问题3：检查学生绘制的图像（1）y=2x 和y=3x （2）y=x )21(和 x y )31(=结合学生所做的图像展示电脑已制作好的图像.利用图像更进一步探究指数函数的性质：分组尝试归纳出图象的变化规律与特性：函数图象除了有以下四个规律外，进一步得出其他规律（1）图象全在x 轴上方，与x 轴无限接近; （2）图象过定点（0，1）;（3）a >1时，自左向右图象逐渐上升;0<1时，自左向右图象逐渐下降；<="" p="">（4）a >1时，图象分布在左下和右上两个区域内；0<="">当指数函数的底数互为倒数时，图象关于 y 轴对称；当底数a>1时，底数越大函数值增长越快越靠近y 轴即底大图高，底数0<a<1时，情况相反.对于所有的底数来说，在第一象限，底大图高.< p="">设计意图：通过引导学生分析图像特征，帮助学生总结函数性质，培养学生形数结合的能力.2.问题4：例2：对于0.30.30.30.2--（）与（）的大小如何比较呢？找中间值是否容易解决？如果不容易，利用图像呢？他们的图像又有什么关系呢？3.问题5：指数函数图像在第一象限的特点？小结：底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小.4.问题6：我们还有没有别的方法来解决指数相同的数值的比较大小的问题. 设计意图：通过图像使学生了解函数图象在第一象限因为底数不同而图像位置不同. 小结：比较指数大小的方法1.底数相同，指数不同.做题方法：利用指数函数的单调性来判断.（数形结合）. 2.指数不同，底数也不同.做题方法：引入中间量法（常用0或1）或图像法. 3.指数相同，底数不同.做题方法：利用比商法来判断或图像法.温馨提示：心中无图，一塌糊涂；心中有图，胸有成竹. （四）反馈训练，拓展知识 1.问题7：比较下面两个数的大小0.60.63,2；0.80.80.30.2--，； 2 1.51.9,0.9-- ； 0.5 2.12.1,0.5 ；231π-，2.问题8：曲线分别是指数函数, 和的图象,则与1的大小关系是 ( ).D（）b<a<1<d<="" p="" 比较m="" 的大小="">设计意图：前两题直接应用函数性质解答，第3题对底数进行讨论，体会分类讨论的思想.4.问题10：例4：①求23x y -=的定义域②求函数122x y -=-的定义域③求使不等式4x >32成立的x 的集合设计意图：应用函数性质解决简单的不等式，更进一步掌握性质.5.问题11：例5：函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．设计意图：对a 进行讨论，体会分类讨论的思想．（五）归纳总结1.本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住a ＞1或0＜a ＜时x y a =的图象，在此基础上研究其性质，还涉及到指数型函数的应用，形如x y ka =（a ＞0且a ≠1）.2.学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解.（六）布置作业必做题1. 函数f (x )=3－x －1的定义域、值域分别是（）. A. R ， R B. R ，(0,)+∞ C. R ，(1,)-+∞ D.以上都不对 2 比较下列各组数的大小：122()5- 320.4-（）； 0.763（）0.753-（）；20.6- 2343-（）； 0.31.08 30.98； 0.753 0.752； 54.7 44.73、求满足下列条件的x 取值范围.① 616115x --<2x （）②3242x x ->4. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点（）. A. (0,1)B. (0,2)C. (2,1)D. (2,2)5. 指数函数①()x f x m =，②()x g x n =满足不等式 01m n <<<，则它们的图象是（）.选做题课本：77页A 组：6题拓展延伸:党的十八大提出，到2020年要实现国民经济收入和城乡居民收入较2010年翻一番，建成小康社会.2000年我国GDP 人均800美元，2000-2010年我国经济发展速度平均递增约8％，2010-2020年我国经济发展速度平均递增约7.5％,那么从2010年起再过x 年我国GDP 人均年为y 美元，写出y 关于x 的关系式，按照这个速度到2020年能否实现翻一番？设计意图：不同的学生有不同的发展，让每个学生都获得数学知识，并能和实际生活相连系. 六、板书设计教学评价是课堂教学的重要环节，目的在于促进学生在知识与技能、过程与方法、情感态度价值观等方面得到全面发展，采用实践、探究、归纳等形式，发展其思维过程，恰当运用一些激励性评价手段和方法，肯定其思维中的有效成分，通过练习检测，及时作出肯定性评价；通过课后作业，及时反馈信息，以改进其不足；课后的师生平等交流也是实施教学评价的重要形式.</a<1<d</a<1时，情况相反.对于所有的底数来说，在第一象限，底大图高.<>。
【优质文档】人教版高中数学必修1第二章指数函数及其性质同步教案
性别 上课时间
年级 年月日
学科
第（ ）次课 共（ ）次课
教学课题 人教版 必修 1 第二章 指数函数及其性质 同步教案
数学 课时： 2 课时
教学目标
知识目标：掌握指数函数概念及其基本性质 能力目标：培养学生画图能力与逻辑思维能力 情感态度价值观：通过本节课的学习让学生体会数学的魅力，培养学生严谨的学习态度
ax ax
1 (a＞1). 1
（1）判断函数 f (x)的奇偶性； （2）求 f (x)的值域； （3）证明 f (x)在 (－ ∞， +∞)上是增函数 .
课后作业
【基础巩固】
1. 函数 y (a2 3a 3)ax 是指数函数，则 a 的值为（
）.
A. 1
B. 2
C. 1 或 2 D. 任意值
2. 函数 f(x)= ax 2 1 (a>0,a≠ 1)的图象恒过定点（
.
6. 已知下列不等式，试比较 m、 n 的大小：
（ 1） ( 2 )m ( 2 )n ； （ 2） 1.1m 1.1n .
3
3
7. 比较大小： （ 1） a 0.80.7 ,b 0.80.9 , c 1.20.8 ； （ 2） 10, 0.4 2.5, 2 0.2 , 2.51.6 .
8.已知函数 f ( x)
）.
A. a>b C. ab=1
B. a<b D. a 与 b 无确定关系
2. 函数 f(x)=3 － x－ 1 的定义域、值域分别是（
）.
A. R ， R
B. R ， (0, )
C. R， ( 1, ) D. 以上都不对
3. 设 a、 b 均为大于零且不等于 1 的常数，则下列说法错误的是（
高中数学 2.1.2指数函数及其性质教案 新人教A版必修1 (2)
指数函数及其性质一、【教学目标】1.知识与技能：理解指数函数的概念，画出具体指数函数图象，能通过观察图象得出两类指数函数图象的位置关系；在理解函数概念的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；2.过程与方法：在教学过程中，利用画板作图加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；3.情感、态度、价值观：通过本节课自主探究研讨式教学，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。
二、【学情分析】指数函数式在学生系统学习了函数概念，基本掌握函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及其性质的第一次应用．教材在之前的学习中给出链各个实际的例子（GDP的增长问题和碳14的衰减问题），已经让学生感受到了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来说有些陌生．本节课先设计两个看似简单的问题，但能通过得到超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。
三、【教材分析】本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1》（人教A版）第二章第一节第二课【（2．1．2）《指数函数及其性质》．根据实际情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课指数函数及其性质、指数函数及其性质的应用（1）、指数函数及其性质的应用（2）】，这是第一节“指数函数及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。
四、【教学重难点】1.教学重点：指数函数的概念、底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称。
2.教学难点:底数a的范围讨论，自变量的取值范围以及由函数的图象归纳指数函数的性质。
五、【教学方法】自主预习、合作探究、体验践行。
六、【教学设备】多媒体设备。
七、 【课时安排】第一课时(新知课)。
八、 【教学过程】(一) 创设情境，引出问题（约3分钟）师：观察图片，你能说出这是什么吗？生：国际象棋师：这盘象棋隐含了这么一个故事？生：．．．．师：国王为了奖励发明者达依尔特许诺满足他提的任意一个请求，那么达伊尔提出如下要求在棋盘第一格放2粒大米，第二格放4粒大米，第三格放8粒大米，…按这个规律．最后一格棋盘上的大米数就是我要的．请问：最后一格的大米数是多少呢？生：642师：那么国王能否满足他的要求呢？【学情预设】学生会说能．也有说不能的．教师公布数据体会指数函数的爆炸增长，642粒大米是每年全世界粮食产量的1000多倍，显然国王是满足不了他的请求．师：请写出米粒数与棋盘格数的函数关系式．生：{}2,1,2,,64x y x =∈师： “一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话来自著名的《庄子·天下篇》，哪位同学能用数学语言来表述它的含义？生：。
高中数学人教A版必修1导学案：2.1.2指数函数的图像和性质(学生版)
讲次2.1.2 课题指数函数的定义、图像与性质教学目标1.理解指数函数的定义，能画出具体指数函数的图象；2.能根据指数函数的图像说出其性质，并会简单应用；3.掌握简单的图像变换，并能用数形结合的思想解题．教学重点指数函数的定义、图象和性质教学难点指数函数图象和性质的应用【新知探究】当底数大于0时，我们将指数的取值范围从整数推广到了。
这样，在上一讲的背景问题中，对于任意的0t≥，57301P=()2t都是有意义的。
即对时间t，都有的P与它对应。
因此死亡生物体内碳14的是的函数。
这就是我们本讲要学习的指数函数。
一、指数函数的定义1．用字母a代替函数57301P=()2t（0t≥）中的常数157301()2与函数*1.073(,20)xy x N x=∈≤中的1.073，那么以上两个函数的解析式都可以表示为(0,1)a a>≠且的形式。
◆一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是。
二、指数函数的图形与性质2.用列表-描点-连线法画出下列指数函数的图像（1）2xy=与3xy=；（2）1()2xy=与1()3xy=。
x 2-1-0 12x 2-1-0 122xy=1()2xy=3xy=1()3xy=思考：将右图向左平移，使坐标系重合，可发现（1）函数2xy=与1()2xy=的图像关于对称；（2）在第一象限，四个函数的图像具有的规律。
例4. 求下列不等式中x 的取值范围 （1）43235.02--<x x（2）2741(01)x x a a a a -->>≠且【达标检测】A 组1．若函数()f x 与()2xg x =的图像关于y 轴对称，则满足()1f x >的x 的取值范围是（ ） A ．R B ．(,0)-∞ C ．(0,)+∞ D ．(1,)+∞ 2．下列大小关系判断错误的是（ ） A ．0.80.733> B ． 3.3 4.50.990.99> C ． 2.7 3.51.01 1.01< D ．0.10.10.750.75-<3．如图是指数函数①xy a =②xy b =③xy c =④xy d =的图像， 则,,,a b c d 与1的大小关系为（ ） A.1a b c d <<<< B. 1b a d c <<<< C.1a b c d <<<< D.1a b d c <<<<4．若函数21(01,)x b y a a a b +=+>≠且为实数的图象恒过定点(1，2)，则b =__ ___. 5．一种产品的产量原来是a ，在今后m 年内，计划使产量平均每年比上一年增加P ％， 写出产量y 随年数x 变化的函数解析式。
人教课标版高中数学必修一《指数函数及其性质(第2课时)》教案(1)-新版
2.1.2 指数函数及其性质第二课时一、教学目标 （一）学习目标1．掌握指数函数的定义域和值域．2．指数函数单调性的应用（幂的大小比较、解指数不等式等）． 3．深入理解指数函数的单调性，并灵活应用其图像和性质． （二）学习重点1．指数函数的定义域和值域． 2．指数函数的单调性及特殊点． （三）学习难点1．指数型复合函数的性质及应用． 2．指数函数的单调性应用． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）填一填：指数函数的定义域为 R ． 指数函数的值域为 ),0(+∞ ． 指数函数图像恒过定点 )1,0( ．（2）写一写：指数函数0(>=a a y x 且)1≠a 的单调性． ①当01a <<时，函数在),(+∞-∞上是减函数； ②当1a >时，函数在),(+∞-∞上是增函数． 2．预习自测 （1）函数212-=x y 的定义域是（ ） A ．{}1|≠x xB ．{}2|≠x xC ．R x ∈D ．{}0|≠x x【知识点】指数函数的定义域． 【数学思想】 【解题过程】021≠-x ，得2≠x ，故B 正确． 【思路点拨】直接由指数型复合函数的定义域求得． 【答案】B ． （2）求函数115-=x y 的值域．【知识点】指数函数的定义域、值域． 【数学思想】【解题过程】因为011≠-x ，所以1511≠-x ，故值域为{}10|≠>y y y 且．【思路点拨】由指数型复合函数先求内层的值域，再过渡到外层的值域． 【答案】{}10|≠>y y y 且．（3）函数12+=x y 在区间)0,(-∞上的单调性是（ ） A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．有时是增函数，有时是减函数【知识点】复合型指数函数的单调性． 【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】设1+=x t ，则函数t y 2=为增函数，又因为1+=x t 为增函数，所以函数12+=x y 在区间)0,(-∞上单调递增．【思路点拨】先判断外层和内层函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”进行求解． 【答案】A ．（4）比较3.08.1和1.37.0的大小【知识点】指数函数的幂的大小比较． 【数学思想】【解题过程】由指数函数的单调性知18.18.103.0=>，17.07.001.3=<，即18.13.0>，17.01.3<，故1.33.07.08.1>．【思路点拨】由指数函数的单调性找一个中间值作为桥梁进行比较．【答案】1.33.07.08.1>． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）一般地，函数(01)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域是R ．（2）①若a =0，则当x >0时，0=x a ；当x ≤0时，x a 无意义． ②若a <0，则对于x 的某些数值，可使x a 无意义．③若a =1，则对于任意的1x x R a ∈=，,是一个常量，没有研究的必要性． （3）指数函数的图像和解析式之间满足“底大图高”的原则． 2．问题探究探究一 指数函数的定义域和值域●活动① 整合新知（求解指数函数的定义域） 你能迅速回答下列函数的定义域吗？（抢答）（1）xy 2= （2）xy 310= （3） x y 18.0= （4）413-=x y答：（1）R ∈x ；（2）(),0[0,-∞⋃+∞）；（3）()()+∞⋃∞-,00,；（4）()()+∞⋃∞-,44,． 【设计意图】通过对比指数函数的各种形式，发现复合型指数函数和一般指数函数的异同，并熟悉求指数函数的定义域和值域． ●活动② 夯实基础（求解指数函数值域）函数xy 12=，12-=xy ，12+=xy ，xy -221⎪⎭⎫ ⎝⎛=中，值域是),0(+∞有哪些呢？设x y -=2，则此函数的值域是R ，故函数xy -221⎪⎭⎫⎝⎛=的值域是),0(+∞．【设计意图】求出x y -=2和xy 1=的范围，根据指数函数的性质判断；由012≥-x 和012>+x 再进行判断．探究二 指数函数单调性的应用★▲ ●活动① 大胆操作 累积经验★试比较不同幂π3与14.33；5.05.0与5.03；以及6.05.0与5.06.0的大小，通过三组不同幂的比较，你有怎样的发现？对于π3与14.33，可构造函数x y 3=，易知x y 3=在R 上是增函数，且14.3>π，则>π314.33． 对于5.05.0与5.03，因为x a y =在y 轴右侧满足底大图高原则，所以0.50.50.53<．对于6.05.0与5.06.0，因为x y 5.0=在R 上是减函数，所以5.06.05.05.0<；又因为x a y =在y 轴右侧满足底大图高原则，所以0.60.50.50.50.50.6<<，故0.60.50.50.6<．对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性判断； 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的图像的变化规律判断； 对于底数不同，且指数不同的两个幂的大小比较，则应通过中间值来比较．【设计意图】通过简单的指数函数相同底数比较，到最后的底数和指数都不相同的延伸，归纳出幂的大小比较规律，培养学生学会由特殊到一般的思想方法． ●活动② 巩固理解 发现特征★你能快速回答出下列指数不等式的解集吗？（抢答）（1）322>x ；（2）1621<⎪⎭⎫⎝⎛x；（3）27312>+x ．答：（1）()+∞,5；（2）()+∞-,4；（3）()(),11,-∞-⋃+∞．【设计意图】通过从不等式中抽取指数函数的值域问题，培养学生的思维转化能力，以及图象的运用能力．●活动③ 反思过程 深化基础★▲已知x x a a a a -++>++1232)52()52(，试探究x 的取值范围． 利用指数函数的单调性求解，需注意底数的取值范围．∵144)1(5222>≥++=++a a a ，∴函数x a a y )52(2++=在在R 上是增函数， ∴x x ->13，解得41>x ，∴x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛∞+，41． 【设计意图】通过从指数不等式中抽出对指数函数单调性的另外一种理解，培养学生的思维转化能力、发散思维，以及性质的运用能力． ●活动④ 发散思维 重新认识▲函数xx y 2221-⎪⎭⎫⎝⎛=的单调区间和函数xxy 222-=的单调区间相同吗？若不相同，那单调区间分别是什么？对于函数xx y 2221-⎪⎭⎫⎝⎛=来说：∵1210<<，∴xx y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=的单调性与x x y 22-=的单调性相反；又∵1)1(222--=-=x x x y ，∴x x y 22-=在[)+∞,1单调递增，在(]1,∞-单调递减；∴xx y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=在[)+∞,1单调递减，在(]1,∞-单调递增．故xx y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=的单调递增区间为(]1,∞-，单调递减区间为[)+∞,1．对于函数xx y 222-=来说：∵12>，∴xx y 222-=的单调性与x x y 22-=的单调性相同；又∵1)1(222--=-=x x x y ，∴x x y 22-=在[)+∞,1单调递增，在(]1,∞-单调递减； ∴xx y 222-=在[)+∞,1单调递增，在(]1,∞-单调递减；故xx y 222-=的单调递增区间为[)+∞,1，单调递减区间为(]1,∞-．【设计意图】通过讨论和观察指数型复合函数的复合函数的性质和应用，掌握复合函数的同增异减的原则，培养学生的类比归纳思想． 探究三 指数函数的单调性应用★▲ ●活动① 巩固基础 检查反馈 例1 求下列函数的定义域和值域： （1）xy -=213（2）122-=+x y （3）133--=x y【知识点】指数函数的定义域和值域的求法． 【数学思想】 【解题过程】（1）由021≠-x得定义域为{}2|≠∈x R x x 且，值域为{}10|≠>y y y 且； （2）由0122≥-+x 得定义域为{}2|-≥x x ，值域为{}0|≥y y ；（3）由0331≥--x 得定义域为{}2|≤x x ，又由10333x -≤-<得值域为{}30|<≤y y ． 【思路点拨】由指数型复合函数的定义域和值域直接求解．【答案】（1）定义域为{}2|≠∈x R x x 且，值域为{}10|≠>y y y 且；（2）定义域为{}2|-≥x x ，值域为{}0|≥y y ；（3）定义域为{}2|≤x x ，值域为{}30|<≤y y ． 同类训练 求下列函数的定义域和值域： （1）412-=x y （2）1241++=+x x y ．【知识点】指数型复合函数的定义域、值域． 【数学思想】换元法思想． 【解题过程】（1）由041≠-x 得定义域为{}4|≠∈x R x x 且，值域为{}10|≠>y y y 且； （2）令)0(2>=t t x ，则221)1(12124+=++=++=+t t t y x x ，其定义域为{}R x x ∈|，值域为{}0|>y y ．【思路点拨】由换元法将其复合指数函数转化为标准一元二次函数，再求其定义域和值域． 【答案】（1）定义域为{}4|≠∈x R x x 且，值域为{}10|≠>y y y 且；（2）定义域为{}R x x ∈|，值域为{}0|>y y ．●活动② 强化提升 灵活应用例2 若函数)1,0(≠>=a a a y x 在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值． 【知识点】指数函数的值域、单调性与特殊点． 【数学思想】分类讨论的思想．【解题过程】当0<a <1，函数)1,0(≠>=a a a y x 在区间[0,1]上为单调减函数，所以函数x a y =在区间[0,1]上的最大值与最小值分别为1，a ，故1+a =3，则a =2（舍去）；当a >1时，函数x a y =在区间[0,1]上为单调增函数，所以函数)1,0(≠>=a a a y x 在区间[0,1]上的最大值与最小值分别为a ，1，故1+a =3，则a =2．【思路点拨】分情况0<a <1和a >1讨论，根据指数函数的单调性求出a 即可． 【答案】2．同类训练 若函数3234+⋅-=x x y 的值域为[1,7]，试确定x 的取值范围．【知识点】指数型复合函数的定义域、值域、单调性． 【数学思想】换元法思想．【解题过程】令x t 2=，则t >0，3332342+-=+⋅-=t t y x x ；则有73312≤+-≤t t ，解该双向不等式，解得24t ≤≤，即224x ≤≤，也即21≤≤x .【思路点拨】由换元法将其复合指数函数转化为标准一元二次函数，求其定义域范围即可． 【答案】[]1,2●活动③ 深入探究 实际应用 例3 解不等式22(01)x x a a a a >>≠且【知识点】指数函数的单调性、指数不等式． 【数学思想】换元和分类讨论思想．【解题过程】当a >1时，以a 为底数的指数函数在R 上是增函数，所以由x x a a 22>得x x 22>，即022>-x x ，解得()()+∞⋃∞-∈,20,x ；当0<a <1时，以a 为底数的指数函数在R 上是减函数，所以由x x a a 22>得x x 22<，即022<-x x ，解得()2,0∈x ．【思路点拨】理解指数型复合函数内层和外层函数遵循“同增异减”的原则． 【答案】当a>1时，()()+∞⋃∞-∈,20,x ；当0<a <1时，()2,0∈x ． 同类训练 设10<<a ，解关于x 的不等式32223222-++->x x x x aa．【知识点】指数函数的单调性、指数不等式． 【数学思想】【解题过程】因为10<<a ，所以x a y =在()+∞∞-,上是减函数，又因为32223222-++->x xx x a a ，所以32223222-+<+-x x x x ，解得1>x ． 【思路点拨】根据指数函数的单调性求解即可． 【答案】{}1|>x x ． 例4 求函数22(1)1()2xa x f x --+=在区间[)∞+，5上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)∞+，6 B ．()∞+，6 C ．(]6,∞- D ．()6,∞- 【知识点】指数型复合函数的单调性．【数学思想】换元思想．【解题过程】令1)1(22+--=x a x t ，且t t g x f 2)()(==，由于f (x )在区间[)∞+，5上是增函数，则二次函数t 在区间[)∞+，5上是增函数，故对称轴51≤-a ，也即6≤a ． 【思路点拨】理解指数型复合函数内层和外层函数遵循“同增异减”的原则． 【答案】C ．同类训练 已知函数11()(0,0,)x x x xa b f x a b a b a b +++=>>≠+的单调性是（ ）A ．增函数B ．减函数C ．常数函数D ．与a,b 取值无关【知识点】指数函数的单调性．【数学思想】数形结合和分类讨论的思想． 【解题过程】 化简，f (x )上下同时除以x b ，则：1111)(11+⎪⎭⎫⎝⎛-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛⋅=++=++xx xx xxxx x b a a b a b a ab b a a b a b b a a b a b a x f ，若a =b ，则f (x )=a ，此时函数为常数函数，不单调；若a >b ，则1,0><-b a a b ，则1+⎪⎭⎫⎝⎛=xb a y 为增函数，根据复合函数单调性之间的关系可知f (x )为增函数；若a <b ，则10,0<<>-b a a b ，则1+⎪⎭⎫⎝⎛=xb a y 为减函数，根据复合函数单调性之间的关系可知f (x )为增函数，综上当a ≠b 时，函数f (x )单调递增． 【思路点拨】将原复合函数变形（分子分母同时除以x b ），再根据指数函数和分式函数的单调性之间的关系，即可判断函数的单调性． 【答案】A ．【设计意图】以函数作为基础，从而延伸到指数型复合函数的单调性，培养学生的综合运用能力，以及分类讨论的思想，综合解答指数函数单调性题型． 3. 课堂总结 知识梳理（1）指数型复合函数的定义域和值域：形如)(x f a y =的函数的定义域就是放f (x )的值域，再由单调性求出)(x f a 的值域，若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论；形如)(x a f y =的值域，要先求出x a u =的值域，再结合y =f (u )确定出)(x a f y =的值域．（2）比较指数幂大小的方法：①异指同底：构造函数法（一个），利用函数的单调性，若底数参变量要注意分类讨论；②异底同指：构造函数法（多个），利用函数图像在y 轴左右两侧的特点．（3）同底的指数不等式)()(x g x f a a >的解法： ①当a >1时，)()()()(x g x f a a x g x f >⇔>， ②当0<a <1时，)()()()(x g x f a a x g x f <⇔>．（4）复合型指数函数单调性遵循“同增异减”原则，列表如下：重难点归纳（1）在解决含参指数型复合函数的定义域和值域时，一定要记得讨论0<a <1和a >1的两种讨论情况．（2）在求解复合型指数函数的单调性时，一定要注意遵循“同增异减”原则，并且要掌握解指数不等式和幂的大小比较． （三）课后作业 基础型 自主突破1．若函数13)(-=x x f 的定义域、值域分别是（ ） A ．定义域是R ，值域是RB ．定义域是R ，值域是),0(+∞C ．定义域是R ，值域是),1(+∞-D ．以上都不对【知识点】指数函数的定义、定义域和值域． 【数学思想】【解题过程】由指数函数的定义得．【思路点拨】由指数函数的定义和解析式即可求解． 【答案】C ．2．已知全集为R ，集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=121|xx A ，集合{}086|2≤+-=x x x B ，则=⋂B C A R （ ）A ．{}0|≤x xB ．{}42|≤≤x xC ．{}420|><≤x x x 或D ．{}420|≥≤<x x x 或 【知识点】集合、因式分解、指数不等式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由题意可得，集合{}0|≥=x x A ，集合{}42|≤≤=x x B ，那么有=⋂B C A R {}420|><≤x x x 或．【思路点拨】综合利用集合交集补集、因式分解、指数不等式的求解． 【答案】C ．3．函数x y 31-=的定义域是（ ）A ．[)∞+，0B ．(]0,∞-C ．[)∞+，1D ．()+∞∞-, 【知识点】指数函数的定义域． 【数学思想】【解题过程】由题可得031≥-x ，解得0313=≤x ，即0≤x ，故选B ． 【思路点拨】直接利用函数存在得到指数不等式，求解定义域即可． 【答案】B ．4．下列函数中，值域是()∞+，0的是（ ） A ．xy 12=B ．12+=x yC ．12-=x yD ．xy -⎪⎭⎫⎝⎛=221【知识点】指数函数的定义域、值域． 【数学思想】【解题过程】由于012≥-x 且20x >所以0y =>，故选C ． 【思路点拨】直接利用指数函数的定义域求得其值域． 【答案】C ．5．已知8.09.07.02.1,8.0,8.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系为（ ） A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【知识点】指数函数的单调性． 【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由指数函数的单调性可得b a >，又因为7.07.08.08.02.12.1>>，可得a c >，综上可得b a c >>，故选A ．【思路点拨】根据指数函数“异底同指”和“异指同底”的幂的大小比较法比较即可得出大小关系． 【答案】A ．6．已知)1,0(75≠>>+-a a a a x x ，求实数x 的取值范围． 【知识点】指数函数单调性的应用． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】当10<<a 时，75+<-x x ，解得67->x ；当1>a 时，75+>-x x ，解得67-<x ．【思路点拨】．由指数函数的解析式和单调性可得．【答案】当10<<a 时，x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧->67|x x ；当1>a 时，x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<67|x x ．能力型 师生共研7．函数2323x y -=的单调递减区间是________．【知识点】指数函数的单调性、指数型复合函数的性质． 【数学思想】【解题过程】外层函数t y 3=为增函数，内层函数232x t -=的单调递减区间为()∞+，0，故复合函数2323x y -=的单调递减区间是()∞+，0． 【思路点拨】正确理解复合函数2323x y -=的外层函数和内层函数，根据同增异减原则求解．【答案】()∞+，0． 8．已知20≤≤x ，若不等式4234-⋅-≤x x a 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【知识点】指数型复合函数的应用． 【数学思想】换元法和转化思想．【解题过程】令4234)(-⋅-=x x x f ，设x t 2=，则41≤≤t ，则)41425)23(43)()(22≤≤--=--==t t t t t g x f （，∴当23=t 时，)(t g 取最小值425-，即)(x f 的最小值为425-； 若不等式4234-⋅-≤x x a 恒成立，只需425)(min -=≤x f a ． 【思路点拨】利用换元法将其不等式转化为求函数最值的形式进行求解． 【答案】25]4∞（-,-． 探究型 多维突破9．求函数xx y 2221-⎪⎭⎫⎝⎛=的单调区间，并证明．【知识点】指数函数的单调性应用． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】解法一：运用函数值的大小关系．设21x x <,则)2)((222212121212211212122221212121-+-+----⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x x x x x x x x y y ∵21x x <，则012>-x x ，当](1,,21∞-∈x x 时，0221<-+x x , 这时0)2)((1212<-+-x x x x ,即112>y y ∴12y y >，函数单调递增． 当)[∞+∈,1,21x x 时，0221>-+x x ，这时0)2)((1212>-+-x x x x ,即 112<y y ∴12y y <，函数单调递减． ∴函数y 在](1,∞-上单调递增，在)[∞+,1上单调递减． 解法二：用复合函数的单调性．设x x u 22-=, 则uy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,即对任意的121x x ≤<，有21u u <， 又∵uy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21是减函数，则12y y >，∴xx y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=在),1[+∞是减函数．对任意的121≤<x x ，有21u u >，又∵uy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21是减函数． ∴21y y < ∴xx y 2221-⎪⎭⎫⎝⎛=在),1[+∞是增函数．【思路点拨】复合函数的单调性判断．【答案】y 在](1,∞-上单调递增，在)[∞+,1上单调递减． 10．若y x y x --+≥+2332，则（ ） A ．0≥-y xB ．0≤-y xC ．0≥+y xD ．0≤+y x【知识点】指数函数单调性的应用． 【数学思想】构造法的思想．【解题过程】设x x x f --=32)(，由于x 2和x --3均为增函数，则x x x f --=32)(为增函数，又因为y y x x 3232-≥---，即)()(y f x f -≥，所以y x -≥，即0≥+y x ．【思路点拨】把握不等式特征，构造函数x x x f --=32)(，由指数函数的单调性判断)(x f 的单调性，最后利用函数的单调性解不等式即可． 【答案】C ． 自助餐 1．若函数121-=xy 的值域为（ ） A ．()1,∞-B ．()()+∞⋃∞-,00,C ．()+∞-,1D ．()()+∞⋃-∞-,01,【知识点】指数函数的值域． 【数学思想】【解题过程】由012≠-x 得022≠x ，即0≠x ，故选B ． 【思路点拨】直接利用函数的存在性解指数等式即可． 【答案】B ．2．已知x a y )12(-=在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21B ．),1(+∞C ．⎪⎭⎫⎝⎛121，D ．)1,(-∞【知识点】指数函数的单调性． 【数学思想】【解题过程】由题知，1120<-<a ，解得121<<x ，故选C ． 【思路点拨】利用指数函数的单调性求解即可． 【答案】C ．3．函数2||21+⎪⎭⎫⎝⎛=x y 的值域是________．【知识点】指数型复合函数的性质及应用． 【数学思想】换元思想．【解题过程】设2||+=x t ，则2≥t ，∵ty ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21单调递减，∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=41021，ty ，即函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛410，．【思路点拨】设2||+=x t ，根据指数函数的单调性即可求出函数的值域．【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛410，．4．在下列关于函数的单调性判断正确的个数是（ ）①1221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y 在()0,∞-上为减函数；②xy 2=在()∞+，0上为增函数；③xy 132⎪⎭⎫⎝⎛=在()∞+，0上为增函数；④x y -=32在R 上是增函数． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【知识点】指数型复合函数的单调性． 【数学思想】【解题过程】1221-⎪⎭⎫⎝⎛=x y 与12-=x y 的单调性相同，所以在()0,∞-上为增函数，①错误；xy 2=与x y =的单调性相同，所以在()∞+，0上为增函数，②正确；xy 132⎪⎭⎫⎝⎛=与x y 1=的单调性相同，所以在()∞+，0上为增函数，③正确；x y -=32与x y -=3的单调性相反，所以在R 上是减函数，④错误．【思路点拨】由指数型复合函数的“同增异减”原则判断即可． 【答案】B ．5．比较3134⎪⎭⎫ ⎝⎛，322，332⎪⎭⎫⎝⎛-，2143⎪⎭⎫ ⎝⎛的大小．【知识点】幂的大小比较． 【数学思想】【解题过程】因为323231234341<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<，0323<⎪⎭⎫⎝⎛-，143021<⎪⎭⎫ ⎝⎛<，所以323231213234344332<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛-．【思路点拨】主要掌握各个幂与各特殊点的大小关系，再进行比较．【答案】11322332342343⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．6．已知函数R x a x f x x ∈+⋅+=-,122)(． （1）若0=a ，画出此函数的图象；（2）若0<a ，判断函数)(x f 在定义域的单调性，并加以证明． 【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域、图象、单调性等． 【数学思想】数形结合、分类讨论．【解题过程】（1）当0=a 时，函数化为12+=x y ，图象如图所示：（2）当0<a 时，函数)(x f 在定义域内是增函数，证明如下： 任取R x x ∈21,，且21x x <，2121212121221122)22(2222)122(122)()(21x x x x x x x x x x x x x x a a a a a x f x f ++-⋅-=-+-=++-++=-∵x y 2=是增函数，∴2122x x <， ∵0,0221<>+a x x ，∴0221>-+a x x∴0)()(21<-x f x f ，∴)()(21x f x f <，函数)(x f 在定义域内是增函数．【思路点拨】（1）得到函数表达式，直接画图象，（2）首先判断增减性，然后利用函数的单调性定义直接证明即可． 【答案】参考解题过程．。
人教A版高中数学必修一全册导学案指数函数
2.2.2指数函数(2)【自学目标】1.进一步深刻地理解指数函数的定义、图象和性质，能熟练地运用指数函数的定义、图象和性质解决有关指数函数的问题；2.能熟练地解决与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性和奇偶等问题，提高综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
【知识描述】1．)x (f a y =性质⑴定义域：与)x (f 的定义域相同。
⑵值域：其值域不仅要考虑)x (f 的值域，还要考虑1a >还是1a 0<<。
求)x (f a y =的值域，先求)x (f 的值域，再由指数函数的单调性求出)x (f a y =的值域。
⑶单调性：单调性不仅要考虑)x (f 的单调性，还要考虑1a >还是1a 0<<。
若1a >，则)x (f a y =与)x (f y =有相同的单调性；若1a 0<<，则)x (f a y =与)x (f y =有相反的单调性。
⑷奇偶性：奇偶性情况比较复杂。
若)x (f y =是偶函数，则)x (f a y =也是偶函数；若)x (f y =是奇函数，则)x (f a y =没有奇偶性。
2．)a (g y x =类型的函数的性质可采用换元法：令t a x =，注意t 的取值范围，根据)t (g y =与x a y =的的性质综合进行讨论。
【预习自测】例1．将六个数3130322131)35( , )2( , )65( , )23( , )53( , )32(---按从小到大的顺序排列。
例2．求函数1x 4x2)31(y +-=和7x 4x 222y ---=的单调区间。
例3．求下列函数的定义域和值域。
⑴4x 12y -=； ⑵124y 1x x ++=+.例4．判断下列函数的奇偶性： （1）（2）|x |)32(y -=； （2）2a a y xx --=（0a >，1a ≠）；例5．若2x 0≤≤，求函数5224y x x +⋅-=的最大值和最小值。
高中数学必修一导学案：指数函数2
活动单19：指数函数（2）【学习目标】1.复习巩固指数函数的图象和性质.2.理解y=a x±m (m>0)的图象与y=a x 的图象的性质.【重点难点】 指数函数的图象与性质一. 复习回顾（1）复习指数函数的定义（2）复习指数函数图象和性质.二．预习范围书P 66-67 例3【预习检测】利用函数12x y =（）的图象, 作出下列各函数的图象: ① y=f(x －1) ② y=f(|x|) ③ y=f(x)－1 ④ y=－f(x)归纳：(当下面式中0a >，0h >时)y=f(x)的图象 y=f(x+a)的图象y=f(x)的图象 y=f(x-a)的图象y=f (x)的图象 y=f(x)+h 的图象y=f(x)的图象 y=f(x+a)+h 的图象【探究案】探究一:利用指数函数画简单指数型函数的图像1.说明下列函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）12x y +=； （2）22x y -=．（3）21x y =+；（4）22xy =-．2.画出函数的图象并指出单调区间（1）|22|x y =-； （2）||2x y -= (3) f(x)=2|x －2| .变式训练1. （1）函数21(0,1)x y a a a -=+>≠恒过定点为(2,2)，则a 的值为（2）已知函数13x y a +=+的图象不经过第二象限，则a 的取值范围是 2. 怎样由4x y =的图象，得到函数421()22x y -=-的图象？3. 说出函数3x y -=与3x a y -+=(0)a ≠图象之间的关系：探究二：利用指数函数性质1.求下列函数定义域和值域:①y=723x - ② y=12)21(-x2.已知f(x)=3131x x -+， (1)求f(x)的定义域和值域; (2)讨论f(x)的奇偶性; (3)讨论f(x)的单调性.。
人教新课标版数学高一-高中数学必修1导学案 2.1.2(2)指数函数
2.1.2（2）指数函数（学生学案）完成下列表格：1a >01a << 图象定义域值域性质（1）过定点 ，（2） （2）例1： 求下列函数的定义域：（1）310x y =； （2）10.8x y = ； （3）413-=x y ； （4）x y )21(1-= 变式训练1：解下列指数不等式：（1）232x >；（2）1()162x <；（3）21327x +>例2：比较下列各题中两个数的大小： （1） 3.541.9 1.9，； （2）0.20.10.60.6--，； （3）0.3 3.11.80.7，． 变式训练2：（1）已知3355m n ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，试比较m n 与的大小； （2）已知0.564x>，求实数x 的取值范围． 例3：在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）x )31(y =（2）x )21(y =（3）x 2y =（4）x 3y =（5）x 5y = 变式训练3：如图，则d c b a ,,,与1的大小关系是 （ ）A d c b a <<<<1B c d a b <<<<1C c d b a <<<<1D d c b a <<<<1例4： 说明下列函数的图象与指数函数y=2x 的图象的关系，并画出它们的示意图：(1)y=2x+1； (2)y=2x-2．变式训练4：作出下列函数的图像：（1）||2x y =；（2）|1|2x y +=布置作业：1、(tb0114001)函数y=3x 与y=(31)x 的图象（ ）。
（A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称（C ）关于原点对称 （D ）关于直线y=x 对称1、（课本P59习题2.1 B组 NO：1）2、（课本P59习题2.1 B组 NO：4）3、函数f(x)＝a x－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是() A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0。
人教A版高中数学必修一第二章第1节《指数函数》导学案
人教A版高中数学必修一第二章第1节《指数函数》导
学案
导学案
第一节指数函数
目标：
1.了解指数函数的定义和性质；
2.掌握指数函数与幂函数的关系；
3.能够应用指数函数解决实际问题。
一、导入
1.近几年来，电子产品的发展迅猛，移动设备成为人们生活中必不可少的物品。
你觉得，这些移动设备背后的技术发展速度是怎样的？
二、新知探究
1.指数函数的定义与性质
a.指数函数的定义：函数y=a^x（a>0，且a≠1）被称为指数函数，其中a称为底数，x称为指数。
b.指数函数的性质：
i.当x=0时，y=a^0=1；
ii. 当x > 0时，y = a^x是严格单调递增的；
iii. 当x1 < x2时，a^(x1 - x2) < 1；
iv. 当a > 1时，y = a^x是增函数，当0 < a < 1时，y = a^x是减函数。
2.指数函数与幂函数的关系
a.幂函数的定义：函数y=x^a（a为常数，x>0）被称为幂函数。
b. 指数函数与幂函数的关系：指数函数y = a^x中，x = loga(y)，其中loga(y)称为以a为底数的对数。
三、拓展应用
1.从数学的角度来看，为什么指数函数的发展速度是如此之快？
2.举例说明指数函数在实际生活中的应用。
四、总结反思
1.简要描述一下指数函数的定义和性质。
2.指数函数与幂函数之间的关系是什么？
3.你认为指数函数在实际生活中有哪些应用？
任务：预习课本P20-P28，做课后习题。
高中数学人教A版必修1导学案：2.1.2指数函数及性质(无答案)
高中数学人教A版必修1导学案：2.1.2指数函数及性质（无答案）课堂教学导学案科目：数学课题：指数函数及其性质高一年级主备人：时间：年月日任课教师：【课标要求】1、了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；2、理解指数函数的概念和意义;3、能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质(单调性、特殊点)。
【课前自主学习】一、情景导入1、如图1，某个细胞分裂的过程如下:当分裂第x次时,细胞的个数为y,求y与x的关系式。
2、如图2，某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留这种物质为原来的84%, 经过x年后剩余量为y，求y与x的关系式。
图1 图2二、指数函数的定义：函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.三、指数函数的图象和性质1、引例:用描点法作出下列两组函数的图象，然后写出其一些性质：(1) y=2x与y=3x; (a>1) y(2) y=(1/2)x与y=(1/3)x . (0<a<1)0 x2、结论(1)当底数a>1时，图象上升，且底数越大时，图象向上越靠近于y轴。
(2)当底数0<a<1时，图象下降，底数越小时，图象向右越靠近于x轴。
3、指数函数的图象和性质四、知识探究1、为什么要规定 1,0≠>a a 且？(1)若0=a 则 当x > 0时，0=x a当x ≤0时,x a 无意义(2)若0<a 则对于x 的某些数值，可使无意义如 ()x 2-，这时对于41,21==x x ……等等，在实数范围内函数值不存在(3)若1=a 则对于任何,R x ∈ 1=x a 是一个常量，没有研究的必要性2、观察指数函数的特点:五、预习测评1、判断下列函数是否是指数函数？23x y =⋅（ ） 13x y -=（ ） 3y x =（ ） 3x y =-（） (4)x y =-（ ） x y x =（ ） 24x y =（ ） x y π=（）【典例剖析】一、求函数的解析式.)3(),1(),0(),3()10()(:1的值求的图象经过点且已知指数函数例-≠>=f f f a a a x f x π二、运用指数函数单调性比较大小：1.33.02.01.035.29.0,7.1)3(8.0,8.0)2(7.1,7.112--）（值的大小：：比较下列各题中两个例总结：比较两个幂的形式的数大小的方法:(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的 来判断.(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用 来判断.(3)对于底数不同指数不同的两个幂的大小比较,则应通过 来判断. 常用和 .练习：1、用“＞”或“＜”填空：5341⎪⎭⎫ ⎝⎛ 041⎪⎭⎫ ⎝⎛ 6534⎪⎭⎫ ⎝⎛ 034⎪⎭⎫ ⎝⎛ 4706.5- 006.5 3219.0- 019.0 2、将下列各值按从小到大的顺序排列: 02133231)65(,)43(,)32(,2,)34(-三、解指数不等式：例3:解不等式：212)51()51)(1(++>x x 15)2(12>+x 142)3(+≥x x )1,0()4(4213≠>≤--a a a a x x练习：(1)函数y＝a x-1＋4恒过定点( )A．(1，5) B．(1，4) C．(0，4) D．(4，0)(2)若函数y=a2x+b+1(a>0且a≠1,b为实数)的图象恒过定点(1，2)，则b=_____.学习与教学反思教学检查级部核查签字（章）2012年月日教导处核查签字（章）2012年月日()的值依次为的曲线则相应的四个值的值取已知的图象数、图中的曲线是指数函accccaay x4321,,,,53,34,101,3,)3(=。
高中数学必修一导学案：2 1 2指数函数及其性质(2)
第二章 基本初等函数2.1.2指数函数及其性质（2）【导学目标】1．探究与指数函数有关的一些函数的定义域、值域、图象和性质；2．向学生渗透解决指数函数有关问题时所用到的数学思想、数学方法.【自主学习】 知识回顾：对于函数)1≠,0>(=a a a y x，图象恒过定点 . 当 _时，为定义域上的增函数； 当 时，为定义域上的减函数. 新知梳理：1. 指数函数性质的应用利用指数函数性质常常解决以下问题：比较大小；解不等式；解指数方程；过定点问题.当1>a 时，⇔>)()(x g x f a a __________ .当1<<0a 时，⇔>)()(x g x f a a _______ . 对点练习：1.函数),10(12R b a a a y b x ∈≠>+=+且，恒过定点（1,2）则b = . 对点练习：2. 43235.02--<x x 的x 的取值范围 .2. 指数函数的图象(1)上下平移函数)1,0(≠>+=a a m a y x 的图象是由函数)1,0(≠>=a a a y x 的图象经过向 _____ )0(>m 或向 )0(<m 平移得到.（2）左右平移函数)1,0(≠>=+a a a y k x 的图象是由函数)1,0(≠>=a a a y x 的图象经过向 _ )0(>k 或向 _____ )0(<k 平移而得到.（3）对称变换函数)1,0(≠>=a a a y x 与函数x a y -=)1,0(≠>a a 关于 对称，函数)1,0(≠>=a a a y x 与函数,0(>-=a a y x 且)1≠a 关于 对称.对点练习：3.函数2x y -=的图象是（ ）画图思考：将x y 2=，x y )21(=，x y 3=，x y )31(=画在同一平面直角坐标系中，你能发现什么？结论：（1）底数互为倒数的两个指数函数，其图像___________________（2）1a >时，底数越大，其图像____________01a <<时，底数越小，其图像____________【合作探究】典例精析例题1： 已知0.70.8a =，0.90.8b =，0.81.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）（A ）a b c >> （B ）b a c >>（C ）c b a >> （D ）c a b >>变式训练1：解不等式：323722x x -->例题2：利用函数x x f )21()(=的图象，作出下列各函数的图象：（1）(1)f x + （2）()2f x -（3）)(x f - （4）)(x f -变式训练2：函数)1,0(≠>+=a a b a y x 且的图像经过第二、三、四象限，则a ，b 的取值范围分别为例3 已知函数f (x )＝3x－13x ＋1.(1)证明f (x )为奇函数．(2)判断f (x )的单调性，并用定义加以证明．(3)求f (x )的值域．变式训练3设a＞0，f(x)＝e xa＋ae x是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数．【课堂小结】。
[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案2.1.2指数函数及其性质(二
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时，在第一象限的函数图象越高 .
（底大图高）
应用 举例
例 1 求下列函数的定义域、值域
1
（ 1） y 0.3 x 1
（ 2） y 3 5x 1
课堂练习（ P64 2）
例 2（ P62 例 7）比较下列各题中的个值的大
小
2.5
3
（1） 1.7
与 1.7
例 1 分析： 此题要利用指数
掌握
函数的定义域、 值域， 并结合指 指数函数
x
x ＜ 0， a ＜ 1
x
x ＜ 0， a ＞ 1
师：画出几个提出问题 .
明确底数
x
问题：指数函数 y a （ a ＞ 0 且 a ≠１），
当底数越大时，函数图象间有什么样的关系
.
生： 画出几个底数不同的指数函
数图象，得到指数函数
x
ya
（ a ＞ 0 且 a ≠１），当底数越大
是确定指 数函数的 要素 .
数函数的图象 .
的应用 .
解：（ 1）由 x 1 0 得 x 1
所以函数定义域为
{ x | x 1} .
1
由
0 得 y 1，
x1
所以函数值域为
{ y | y 0且 y 1} .
1 （ 2）由 5 x 1 0 得 x
5
所以函数定义域为
1 {x|x } .
5
由 5x 1 0 得 y 1，
所以函数值域为
{ y | y 1} .
性．从而培养学生的观察能力，概括能力
.
（四）教学过程
教学
教学内容
师生互动
环节 复习
复习指数函数的概念和图象
.
1. 指数函数的定义
人教版高中数学必修1 第二章指数函数及其性质 同步教案
学生姓名性别 年级 学科 数学 授课教师上课时间 年 月 日 第（ ）次课 共（ ）次课 课时：2课时 教学课题 人教版 必修1 第二章 指数函数及其性质 同步教案教学目标 知识目标：掌握指数函数概念及其基本性质能力目标：培养学生画图能力与逻辑思维能力情感态度价值观：通过本节课的学习让学生体会数学的魅力，培养学生严谨的学习态度教学重点与难点重点：指数函数的性质，画指数函数的图象．难点：指数函数与函数的基本性质的灵活应用教学过程知识梳理1、概念：函数(01)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R2、指数函数图象及性质a >1 0<a <1图象性质 (1)定义域：R (2)值域：（0，+∞）(3)过点（0，1），即x =0时，y =1(4)在 R 上是增函数 (4)在R 上是减函数3、指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则01c d a b <<<<<， 在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”例题精讲【题型一、概求值念】【例1】函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象过点(2,)π，求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值【方法技巧】1、掌握指数函数的概念；2、求指数函数解析式一般采用待定系数法.【题型二、比较大小】【例2】比较大小（1）31.9 1.9π--与 （2）330.7.3与0 （3）0.3 3.11.7.9与0 （4）111344333442---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，【例3】比较下列各组中两个值的大小：（1）0.60.52,2； （2）2 1.50.9,0.9-- ；（3）0.5 2.12.1,0.5 ； （4）231π-与.【方法技巧】比较大小常用的方法有：①做差比较法 ②做商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法，在比较两个幂的大小时，除上述一般方法外，还应注意以下情况：1) 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，直接利用指数函数的单调性来判断。
【B版】人教课标版高中数学必修一《指数函数》导学案-新版
3.1.2 指数函数（一）一.学习要点:指数函数的图象及其性质二.学习过程:1.指数函数的定义：.2.指数函数的图像和性质：①通过描点画函数图像：首先我们来画y=2x的图象。
再来研究0<a<1 的情况，例如，我们来画y=2-x的图象。
可得x,y的对应值，用描点法画出图象。
也可根据y=2-x的图象与y=2x的图象关于y轴对称，由y=2x的图象对称得到y=2-x，如图②由于图象是形的特征,所以先从几何角度看它们有什么特征.然后总结：a>1 0<a<1图象性质(1)定义域：（2）值域：（3）值域分布:（4）单调性:3.例题:1、比较下列各组数的大小(1)和; (2)和;(3)和; (4)和,2、(1)指数函数①②满足不等式,则它们的图象是（）(2)曲线分别是指数函数,和的图象,则与1的大小关系是（）课堂练习：教材P92——P93的练习及习题3.1.2 指数函数（二）一.学习要点：指数函数的图象及其性质的应用二.学习过程：例1已知指数函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象经过点(3,)π，求(0),(1),(3)f f f -的例2比较下列各题中两个值的大小：2.53(1)1.7,1.7； 0.10.(2)0.8,0.8-- 0.33.(3)1.7,0.9 例3求下列函数的定义域、值域：（1）1218x y -=（2）11()2x y =-（3）3x y -=（4）1(0,1)1x x a y a a a -=>≠+．例4已知函数()1421x x f x +=-+，求函数在[]02，上的最大值和最小值。
例5设a 是实数，2()()21x f x a x R =-∈+，（1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；（2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数。
三 巩固训练：(一)选择题:1．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（ ）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（C ．)()]([)(Q n x f nx f n ∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 2.若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于（ ）A ．251+B ．251+-C ．251±D ．215± 3．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是（ ）4．函数||2)(x x f -=的值域是（ ）A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R5．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围（ ）A ．)1,1(-B ．),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或6．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（ ） A ．奇函数，在R 上为增函数 B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函7.已知p >q >1,0<a <1,则下列各式中正确的是（ ）A ．q p a a >B ．a a q p >C ．q p a a -->D ．a a q p -->(二) 填空题8.已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是 .9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是 .10.当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .(三) 解答题:11.已知：11a a --=，求332244()(3)a a a a a a ---++--的值． 12.求函数y xx =--1511的定义域. 13.已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.14.画出函数|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x －１｜＝k 无解？有一解？有两解？。
【新导学案】高中数学人教版必修一：212《指数函数及其性质(二)》(2).doc
2.1.2《指数函数及其性质(二)》导学案【学习目标】：熟练掌握指数函数概念、图彖、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性. ［重点难点］重点:'' 常扁指数函数的性质及应用.难点：理解指数函数的简单应用模型.【知识链接】1.指数函数的定义？底数。
可否一为负值？为什么？为什么一不取6Z1 1 ?指数函数的图象是?2.在同一坐标系中，作出函数图象的草图：①y = 2' ；②歹二—；③y = 5A :12丿④£丿；⑤y = 10v；⑥y =3.指数函数具有哪些性质？【学习过程】我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口.因此，屮国的人口问题是公认的社会问题.2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿,年增长率约为1%.为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策.(1)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？(2)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？(3)2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%,经过x年后的总产值为原来的多少倍？一变式：•多少年后产值能达到120亿？指数形式的函数定义域和值域：(1)讨论：在⑷，川上，/(x)= a x (d>0, 且/ 1 )值域？②求下列函数的定义域、值域：© y = 2X + 1 ；② y = ③.y = 0.4石.【例题分析】2' — 1例1、求函数y二一的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.2 +1例2、截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%,那么 经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？例3.己知函数y= 9r - 23 2, xl 山2］求这个函数的值域. 【基础达标】1、当疋［-2, 2）时,尸3—1的值域是（ 8n A. （ ---- , 8]； 9 i 龜J 2、± 8 B ・[-7 8）；2,3彳的大小顺序是（）C. 1 （了 9］； 1 ", A. 3；」＜翼；B 2山＜（討C. 7 1 1 丄 2 丄 （严22＜卅D. 2分"・8. —片树林屮现有木材30000m 3,如果每年增长5%,经过x 年树林中一有木材yn?, 函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 3-【学习反思】本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住。
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2.1.2 指数函数及其性质(二)
学习目标
1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.
2.能借助指数函数性质比较大小.
3.会解简单的指数方程、不等式.
4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法.
学习过程
一、自主学习
1.比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的 性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的 的变化规律来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断．
2.简单指数不等式的解法
(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x 的 求解；
(2)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x ，y ＝b x 的 求解．
3.当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性 ；
当0＜a ＜1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性 .
二、合作探究
问题1 y ＝2x 与y ＝3x 都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？
问题2若x 1＜x 2，则1x a 与2x
a (a ＞0且a ≠1)的大小关系如何？
问题3 若1x a ＜2x a ，则x 1，x 2的大小关系如何？
问题4 y ＝112x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域与y ＝1x 的定义域是什么关系？y ＝112x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调性与y ＝1x 的单调性有什么关系？
探究点1：解指数方程
例1 解下列方程.
(1)81×32x ＝⎝⎛⎭⎫19x ＋2；
(2)22x ＋2＋3×2x －1＝0.
探究点2：指数函数单调性的应用
命题角度1：比较大小
例2 比较下列各题中两个值的大小.
(1)1.7
－2.5，1.7－
3；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1.
命题角度2：解指数不等式
例3 解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1).
命题角度3：与指数函数复合的单调性问题
例4 (1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17的单调区间；
(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －8·⎝⎛⎭
⎫12x ＋17的单调区间.
三、当堂检测
1.若a ＝120.5，b ＝130.5，c ＝140.5，则a 、b 、c 的大小关系是( )
A.a ＞b ＞c
B.a ＜b ＜c
C.a ＜c ＜b
D.b ＜c ＜a 2.方程42x －1＝16的解是( )
A.x ＝－32
B.x ＝32
C.x ＝1
D.x ＝2 3.函数f (x )＝2112x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间为( )
A.(－∞，0]
B.[0，＋∞)
C.(－1，＋∞)
D.(－∞，－1)
4.设0＜a ＜1，则关于x 的不等式2232x x a -+＞2223x x a +-的解集为 .
5.若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝ .
四、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
五、学后反思：
1、我的疑问：
2、我的收获：。