数学物理方法第5章傅里叶变换-2016

傅里叶(Fourier )生平简介
•傅立叶生于法国中部欧塞尔（Auxerre）一个裁缝家庭，9岁时沦 为孤儿，被当地一主教收养。 •1780: 读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教， •1798: 随拿破仑军队远征埃及，任军中文书和埃及研究院秘书， 受到拿破仑器重， •1801: 伊泽尔省格伦诺布尔地方长官， •1807: 热传导的论文《热的传播》，呈交巴黎科学院，但经拉格 朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被拒绝，1811: 提交经修 改的论文，该文获科学院大奖，却未发表, [推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由 三角函数构成的级数表示，从而提出任一函数都可以展成三角函 数的无穷级数] 1817: 当选为巴黎科学院院士, 1822: 专著《热的解析理论》, 1822: 科学院终身秘书
c k ck *
13
2 f ( x ) x , 例 1：
( <x< )
1 x 4 ( 1) 2 cos kx 3 k k =1
2 k
ak
2
k


0
x cos kxdx
2
2

X=pi
1 4 2 3 k =1 k
2

2

1 2 2 6 k =1 k
其中
2 k 1
( k 0) ( k 0)
三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于f(x)。
7
三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于f(x)。
8
9
狄里希利(狄里克雷Dirichlet)定理： 若函数 f(z) 满足条件 ：
(1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
奇、偶函数
f ( x) A( )

0
A( )cos xd ,
0
f ( x) B( )

0
B( )sin xd ,
0

2
f ( )cos d .

2
f ( )sin d .
偶函数
奇函数
19
例 (1)
定义矩形函数为
1 2
f ( x ), g( x )
x
f ( x ) x, (0,1)
x
偶延拓
奇延拓
12
（四） 复数形式的傅里叶展开
,e
i
k x l
,
e 2 e 2i

i
,e
k x l
i
x
l
,1, e
i
x
l
,
,e
i
k x l
,
i kl x k x e cos l k x k x i l sin e l
f ( x)
1
0
1 2
1, rect(x ) 0, x
(x
1 ), 2 1 ( x ). 2
矩形函数 （rectangle function) x 时间： 光学中描述照相机快门， x 空间： 无限大不透明屏上的单缝的透过率
20
例 (1)
矩形函数 （rectangle function)
f ( )cos d ]cos xd .
正弦部分
lim
l
l

0

k 1

1 l f ( )sin k d sin k x k l l

[
故
0
1
f ( )sin d ]sin xd .

f ( x ) A( )cos xd B( )sin xd ,
k x k x f ( x ) ak cos bk sin l l k
（ak，bk） ak ibk ak ibk , 2 2
i
k x l
f ( x)
k
c e
k
kx i l
（ck
， c k）
,
其中
k i 1 l ck f ( )[e l ]* d . 2l l
1 (z k ) z
1 2 k cos kx
15
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换 （一） 实函数的傅里叶变换
k x k x g( x ) a0 {ak cos bk sin }. l l k 1

令：
k k , l
g( x ) a0 l
k k k 1

12 ak cos kx , 例 2： f ( x ) 2 1 2 cos x k =0
( <1)
(1 2 )cos kx ak dx 2 k 1 2 cos x 1

e ikx cos kx i sin kx

[ f ( x 0) f ( x 0)]/ 2
f ( x ) A( )cos xd B( )sin xd
0 0


A( )

1

f ( )cos d ,
B( )

1

f ( )sin d .
18
f ( x ) A( )cos xd B( )sin xd
12 f ( x) , 1 1 (z ) 2 z
(1 2 )z (1 z )(1 z )
( z e ix )
< 1 < z < 1 <
1


1 1z
k k
1 1 z
z < 1
z

<1
1 1 (z ) z
0
A( )cos xd
2 A( ) f ( )cos d 0 2 T 2h sin T h cos d . 0 22
23
24
25
（二） 复数形式的傅里叶积分
f ( x)


0
A( )cos xd B( )sin xd
21
例 (1)
定义矩形函数为
1 2
f ( x)
1
0
1 2
1, rect(x ) 0, x
(x
1 ), 2 1 ( x ). 2
将矩形脉冲
f (t )
t f (t ) h rect( ) 展开作傅里叶积分。 2T
h
0
偶函数
T
T
t
f ( x)

(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数收敛，且
f ( x ), 级数和 1 { f ( x 0) f ( x 0)}. 2 (在连续点x ) (在间断点x )
第一类间断点: 函数在间断点处左右极限存在，但不相等。
10
（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开
k x sin l
0

e i x e i x e i x e i x d B( ) d 0 A( ) 0 2 2i 1 1 i x i x [ A ( ) iB ( )] e d [ A ( ) iB ( )] e d 0 2 0 2 1 0 1 i x i x [ A ( ) iB ( )] e d [ A ( ) iB ( )] e d 0 2 2 |w|=-w F ( )e i x d .
0 0


cos(x-y)=cos x cos y+ sin x sin y
f ( x)

0
C ( )cos[ x ( )]d ,
C ( ) [ A( )]2 [ B( )]2 ,
为振幅谱 为相位谱
( ) tan 1[ B( ) / A( )].
0
其中 A( ) 1 f ( )cos d ,

B( )

1

f ( )sin d .
17
傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间(-，+)上满
足条件(1) 在任意有限区间满足狄里希利条件；(2)
在区间 (-，+ )上绝对可积（即 f ( x ) dx 收敛）， 则f(x) 可表为 傅里叶积分，且傅里叶积分值=

？？？
这种分解不仅具有严格的数学基础，而且还具有真实的物理背景
三角函数族：
1, cos
2 x k x , , cos , l l l x 2 x k x sin , sin , , sin , l l l , cos
x
正交性
三角函数族：正交性
1：利用三角恒等式 cos (x+y)=cosx coy – sin x sin y, cos (x-y)=cosx coy + sin x sin y, 2. 转化为复数证明 3. 微分方程的解
k
(1 2 )z k dz k z 1 1 (z 1 ) 2 iz z 1

i (1 2 )

z k dz 2 k ( z 1)(z ) k
14
傅里叶展开与洛朗展开的关系 若f(z)在环域 1 | z | 1 内解析，其洛朗展开 1 f ( z) k ck dz f ( z ) ck z k 1 2 i z k 若()在区间[0,2]连续，且为2的周期函数，其傅里叶级数为 1 2 ik ik ck ( ) e d ( ) ck e i 0 2 z e k
第 5章
傅里(立）叶(Fourier )变换
• 让· 巴普蒂斯· 约瑟夫· 傅立叶 （ 1768 –1830 ） （Jean Baptiste Joseph Fourier） • 法国著名数学家、物理学家， • 1817年当选为科学院院士， • 1822年任该院终身秘书， • 后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席， 主要贡献： 1. 在研究热的传播时创立了一套数学理论 2. 最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根 个数的判别法等， 3. 傅立叶变换的基本思想首先由傅里叶提出；
1
l
k f ( )cos d . l
11
（三） 有限区间中的函数的傅里叶展开 f(x) 定义于 (0, l)
可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部 分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x)
这种做法叫延拓。
例
f ( x ), g( x )
k x k x f ( x ) a0 ak cos bk sin l l k 1

1 l k 来自百度文库 f ( )cos d , k l kl l b 1 l f ( )sin k d . k l l l
是奇函数

k x cos l
是偶函数
奇函数 f(z) 有 f ( x ) bk sin k x ,
k 1
l
1 l k bk f ( )sin d . l l l
偶函数 f(z) 有 f ( x ) a0 ak cos k x ,
k 1
l
ak
k l l
l l
l
有限，则
1 l lim a0 lim f ( )d 0. l l 2l l
16
1 l { f ( )cos k d cos k x } k 余弦部分 lim l l k 1 l [
0
l


1


傅里叶(Fourier )
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理 、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着 广泛的应用。
1. 傅里叶级数， 2. 傅里叶积分与变换 3. Delta函数
§5.1
傅里叶级数
f ( x 2l ) f ( x )
（一） 周期函数的傅里叶展开 三角函数族： 最小正周期： 2l 最小正周期：
{a
k 1 k

l
,
则
cos k x bk sin k x}k .
1 l ak f ( )cos k d , l kl b 1 l f ( )sin d . k k l l
若
lim f ( )d
x
周期2l > 0 偶函数
1, cos
2 x k x , , cos , l l l x 2 x k x sin , sin , , sin , l l l , cos
奇函数
2l
l
,….,
2l/k,…..
k x k x f ( x ) a0 ak cos bk sin l l k 1