第28章锐角三角比解直角三角形习题01(共3套)资料
人教版九年级下册数学作业课件 第二十八章 锐角三角函数 第1课时 仰角、俯角与解直角三角形
＝
3
3）
＝(30
3
＋45)米，
3
∴DG＝EH＝AH－AE＝(30 3 ＋45)－15＝(30 3 ＋30)米，(30 3 ＋30)÷5＝(6 3
＋6)秒，∴经过(6 3 ＋6)秒时，无人机刚好离开了操控者的视线
2．如图，在高为 2 m，倾斜角为 30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 (C )
A．[2பைடு நூலகம்( 3 ＋1)] m B．4 m C．2( 3 ＋1) m D．2( 3 ＋3) m
3．(威海中考)小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的 河流宽度．他先在河岸设立 A，B 两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点 M.测得 AB＝50 米，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°.请你依据所测数据求出这段河流的 宽度．(结果精确到 0.1 米，参考数据：sin22°≈38 ，cos22°≈1156 ，tan22°≈25 ，sin67°≈1123 ， cos67°≈153 ，tan67°≈152 )
2
∴x ＝ 17 ≈0.82 ， ∴OD ＝ 0.82 m ， ∴DH ＝ OH － OD ＝ OA － OD ＝ 3.4 － 0.82 ＝
5
2.58≈2.6(m)，答：最大水深约为 2.6 m.
13．(广元中考)如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到 一定高度 D 点处时，无人机测得操控者 A 的俯角为 75°，测得小区楼房 BC 顶端点 C 处的俯角为 45°.已知操控者 A 和小区楼房 BC 之间的距离为 45 米，小区楼房 BC 的高 度为 15 3 米．
解：如图，过点 D 作 DG⊥AE 于点 G，得矩形 GBFD，∴DF＝GB，在 Rt△GDE 中，DE＝80 cm，∠GED＝48°，∴GE＝DE·cos 48°≈80×0.67＝53.6(cm)，∴GB＝ GE＋BE≈53.6＋110＝163.6≈164(cm).∴DF＝GB≈164(cm).答：活动杆端点 D 离地面 的高度 DF 约为 164 cm
九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形 新人教版
3
3 AD AD
∵sinC＝5，AC＝5，∴sinC＝5＝AC＝ 5 ，
∴AD＝3，∴CD＝4，BD＝3，
1
1
21
则△ABC 的面积是2·AD·BC＝2×3×(3＋4)＝ 2 .
精选ppt
6.如图 K－19－4，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，若 BD
是△ABC 的角平分线，BD＝8，则△ABC 的三边长分别是( D )
＝8，则 BC 的长是( D )
A.4 3 3
B．4
C．8 3
D．4 3
[解析] D ∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，
BC
BC
AB＝8，cosB＝AB，即 cos30°＝ 8 ，
∴BC＝8× 23＝4 3.
精选ppt
图K－19－2
4．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝ 5，AC＝ 15，则∠A 的度 数为链接听课例1归纳总结( D ) A．90° B．60° C．45° D．30°
解： (1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. ∵cosA＝bc，∴c＝cobsA＝cos1600°＝110＝20，
2 ∴a＝ c2－b2＝ 202－102＝10 3. (2)c＝ a2＋b2＝ （2 5）2＋（2 15）2＝4 5.
a2 5 3 ∵tanA＝b＝2 15＝ 3 ， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
精选ppt
[解析] ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD.
3
AC 3
∵tan∠ACD＝4，∴tanB＝BC＝4.
设 AC＝3x，BC＝4x.
第28章锐角三角比 解直角三角形习题 01(共3套)
第28章锐角三角比解直角三角形习题01（共3套）Lex Li解直角三角形习题 011、选择题:(1)直角三角形ABC 中, ∠A = 90︒, C b ==32,,则sin B 的数值为 A ．23B ．2C ．105D ．3(2)若tg α·tg50︒ = 1, 则锐角α等于 A ．40︒B ．50︒C ．150⎛⎝⎫⎭⎪︒ D ．140⎛⎝⎫⎭⎪︒ (3)下列命题中正确的是A ．sin72︒ = cos72︒B ．∠A + ∠B = 90︒, 则cos A = cos BC ．∆ABC 中, a ∶b ∶c = 1∶2∶3, 则sin A =13D ．若∠A + ∠B = 90︒, 则sin A = cos B (4)当45︒<α< 90︒, 下列各式正确的是A ．sin cos αα>B ．sin cos αα<C ．tg αα<ctgD ．tg α<12、在∆ABC 中, ∠C = 90︒, tg B =6, 求sin A 。
3、在∆ABC 中, ∠A = 30︒, ∠B = 45︒, 45︒所对边为8, 求30︒角所对的线段长。
4、在直角∆ABC 中, ∠B = 60︒, a + c = 9, 求b 。
5、等腰∆ABC中, AB = AC = 5, SABC∆=5, 求sin A。
6、∆ABC中, AB = AC, AD⊥BC于D, cos B=36, AB = 12, 求∠BAC的正弦。
7、在直角三角形ABC中, SABC∆=96, ∠C = 90︒, sin A=35, 求∆ABC的三边长。
8、电视塔建立在20米高的小山顶上, 从水平面上一点D测得塔顶A的仰角为60︒, 测得塔基B的仰角为30︒, 求电视塔高AB。
9、若矩形纸片ABCD的宽AB = 6, E为AB上一点, 沿CE折叠后, B恰落在AD上, 设为F, 若∠ECF =α, 求DF长。
人教版九年级下册数学：第二十八章锐角三角函数解直角三角形及其应用
计算器
由锐角求三角函数值 由三角函数值求锐角
解直角三角形的原则：
有斜用弦, 无斜用切； 宁乘毋除, 取原避中。
A
温故而知新
B
c a
┌
b
C
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直 角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90° A D
tan 1 2
1.5 3
i=1:1.5 Bα
6m FE
i=1:3
β
C
33.69
在Rt△CDE中，∠CED=90°
(2)已知，tan2AF 6
3 BFBF
BF 9
tan 1
3
18.43
在RtABF中，由勾股定理 A B 6 2 9 211 37 13
例题讲解
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东 65°方向，距离灯塔80n mile的A处，它
沿正南方向航行一段时间后，到达位于
灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时， 65° A
海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果P
取整数）？
C
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
34°
在Rt△＝B8P0C×中co，s2∠5°B≈7＝2.3540°5sinB PC
P B sP iB n C 7 s.i5 3 2 n 0 4 1 53 (n0m ) iPlBe
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里．
【单元练】人教版初中九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则C ∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．60︒C ．75︒D ．105︒C解析：C 【分析】根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02A -=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭，1cos 02A ∴-=，1tan 0B -=，则1cos 2A =，tan 1B =，解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒， 则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒． 故选：C ． 【点睛】本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．2．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD 的距离为5m ，从D 点测得指示牌顶端A 点和底端C 点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（ ）A ．53mB ．52mC ．(5352mD ．()535m D解析：D 【分析】由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．【详解】解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°， ∴BD=BC=5，设AC=x m ，则AB=（x +5）m ， 在Rt △ABD 中，tan60°=AB BD， 则535x +=， 解得：535x =-， 即AC 的长度是()535m -； 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为 （ ） 题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据10,45,50CD m αβ==︒=︒A ．()10tan50x x =-︒B ．()10cos50x x =-︒C ．10tan50x x -=︒D ．()10sin50x x =+︒A解析：A 【分析】过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形，根据矩形的性质得到HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，求得FH ＝x−10，得到CE ＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论． 【详解】过D 作DH ⊥EF 于H ， 则四边形DCEH 是矩形， ∴HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ， ∴FH ＝x−10，∵∠FDH ＝α＝45°， ∴DH ＝FH ＝x−10， ∴CE ＝x−10，∵tanβ＝tan50°＝EF CE ＝-10x x ， ∴x ＝（x−10）tan 50°， 故选：A ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．4．下列计算中错误的是( ) A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒ B ．22sin 45 cos 451︒+︒= C ．sin 60tan 60sin 30︒︒=︒D ．cos30tan 60cos60︒︒=︒A解析：A 【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得． 【详解】A、11sin 60sin 303022︒-︒==︒=，此项错误； B、222211sin 45 cos 45122︒+︒=+=+=⎝⎭⎝⎭，此项正确； C、sin 602tan 601sin 302︒︒===︒sin 60tan 60sin 30︒︒=︒，此项正确； D、cos302tan 601cos 602︒︒===︒cos30tan 60cos60︒︒=︒，此项正确； 故选：A ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．5．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1BC ＝3m ，则AB 的长度为（ ）A ．6mB ．33mC ．9mD ．63m A解析：A 【分析】根据坡比的概念求出AC ，根据勾股定理求出AB ． 【详解】解：∵迎水坡AB 的坡比为1：3， ∴13BC AC =，即313AC =， 解得，AC ＝33， 由勾股定理得，AB 22BC AC =+=6（m ），故选：A ． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 6．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（ ）．A ．3米B 3米C ．2米D ．1米B解析：B 【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米， 在Rt APC △中，3tan PCAC x PAC==∠，在Rt BPC △中，3tan PC BC x PBC ==∠，由题意得，3323x x -=， 解得，3x =（米)，故选：B ． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 在x 轴上，点A 的坐标是()1,0，把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，则点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．(-1,-1)B ．()2,1C ．()2,1--D ．()2,1--D解析：D 【分析】根据题意，画出图形，连接BD ，交x 轴于E ，根据正方形的性质可得AB=2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45°，利用锐角三角函数即可求出AE 和BE ，从而求出OE ，即可求出点B 的坐标，然后根据关于原点对称的两点坐标关系即可求出结论． 【详解】解：把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，如图所示，连接BD ，交x 轴于E∵四边形ABCD 2∴2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45° ∴AE=BE=AB·sin ∠BAE=1 ∴OE=OA ＋AE=2 ∴点B 的坐标为（2,1）∴点B 绕点O 旋转180°的对应点B '的坐标（-2，-1） 故选D ． 【点睛】此题考查的是正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系，掌握正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系是解题关键． 8．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（ ）A ．26B ．2626C ．2613D ．1313B 解析：B 【分析】作BD ⊥AC 于D ，根据勾股定理求出AB 、AC ，利用三角形的面积求出BD ，最后在直角△ABD 中根据三角函数的意义求解． 【详解】解：如图，作BD ⊥AC 于D ，由勾股定理得，22223213,3332AB AC =+==+= ∵1113213222ABCSAC BD BD =⋅=⨯=⨯⨯， ∴2BD =， ∴2262sin 2613BD BAC AB ∠===． 故选：B ． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD 是解决问题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB 沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为43，则点B ′的坐标为（ ）A ．(63,2)-B ．(63,23)-C ．()6,2-D ．(63,2)-D解析：D 【详解】如解图，过点A 作AC x ⊥轴，过点A '作A D x '⊥轴，∵AOB 是等边三角形，∴4AO BO ==，60AOB ∠=︒，∴30AOC ∠=︒，∴·cos 23CO OA AOC ==，2AC =，∴(23,2)A -，∵30AOD AOC ∠'=∠=︒，43OD =，∴·t 34343an A D OD A OD ⨯=∠'=='，∴(43,4)A '-，∴点A '是将点A 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∴点B '也是将点B 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∵()0,4B ，∴B '的坐标为(63,2)-．10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°()()12323232323AC CD -====-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A 21B 2﹣1C 2D ．12B 解析：B 【分析】作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，根据构造的直角三角形，设AC ＝x ，再用x 表示出CD ，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，设AC ＝x ，则：BC ＝x ，AB ＝2x ，CD ＝()1+2x ，()22.5==211+2AC xC tan taD xn D =∠=-︒故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.二、填空题11．已知ABC 与ABD △不全等，且3AC AD ==，30ABD ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，则CD =________．或3【分析】如图△ABC ≌△ABP 当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时满足条件分别求解即可【详解】解：如图△ABC ≌△ABP ∴∴CAP 共线∴△BPC 是等边三角形当D′是PB 中点时AD′=BP=AC解析：3或3 【分析】如图，△ABC ≌△ABP ，当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时，满足条件，分别求解即可． 【详解】解：如图，△ABC ≌△ABP ，3AC AP ==，30ABP ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，∴60APB ∠=︒，90CAB PAB ∠=∠=︒， ∴C ，A ，P 共线，BC BP AC AP ===， ∴△BPC 是等边三角形，当D′是PB 中点时，AD′=12BP=AC=3，此时ABC 与D'AB 满足条件， ∴D'90C P ∠=︒，∴CD′= PD′tan 60︒=3PD′=3，当点D″是BC 的中点时，此时ABC 与D AB "也满足条件， ∴CD″=3，∴满足条件的CD 的长为3或3． 故答案为：3或3． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是画出符合题意的图形，用分类讨论的思想思考问题．12．小芳同学在学习了图形的镶嵌和拼接以后，设计了一幅瓷砖贴纸（图1），它是由图2这种基本图形拼接而成。
2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专题练习试题(含答案解析)
人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在正方形ABCD 中、E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE EF ⊥，则下列结论：（1）1sin 2BAE ∠=；（2）2BE AB CF =⋅；（3）3CD CF =；（4）ABE AEF △△．其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为α的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为8 m ，那么这两棵树在坡面上的距离AB 为（ ）A ．8cos αmB ．8cos α mC ．8sina mD ．8sin αm 3、如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A B ''的位置，已知AO 的长为5米．若栏杆的旋转角AOA α'∠=，则栏杆A 端升高的高度为（ ）A ．5sin α米B ．5cos α米C ．5sin α米D ．5cos α米4 ）A ． 2B ．32 C ．D ．25、如图，在33⨯的网格中，A ，B 均为格点，以点A 为圆心，AB 的长为半径作弧，图中的点C 是该弧与格线的交点，则tan BAC ∠的值是（ ）A ．12B ．255 C ．53D ．23 6、如图①，5AB =，射线AM BN ∥，点C 在射线BN 上，将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，点P ，Q 分别在射线AM 、BN 上，PQ AB ∥．设AP x =，QD y =．若y 关于x 的函数图象（如图②）经过点()9,2E ，则cos B 的值等于（ ）A．25B．12C．35D．7107、边长都为4的正方形ABCD和正EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合，现将EFG沿AB方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点F与点B重合时停止，在这个运动过程中，正方形ABCD和EFG重合部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．8、如图所示，某村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为m（m），那么这两棵树在坡面上的距离AB为（）A ．m cos α（m ）B ．co m s α（m ）C ．m sin α（m ）D ．sin mα（m ）9、在ABC 中，(22cos 1tan 0A B +-= ，则ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 10） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图公路桥离地面的高度AC 为6米，引桥AB 的水平宽度BC 为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD ，使其坡度为1：6，则BD 的长____．2、半径为3cm 的圆内有长为的弦，则此弦所对的圆周角的度数为______．3、已知斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为AB 的长为________；坡角为________．4、如图，点A 、B 、C 都在格点上，则∠CAB 的正切值为______．5、已知正方形ABCD 中，AB ＝2，⊙A 是以A 为圆心，1为半径的圆，若⊙A 绕点B 顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），则当旋转后的圆与正方形ABCD 的边相切时，α＝_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知反比例函数1k y x=1(0)k >与一次函数21y k x =+2(0)k ≠相交于A 、B 两点，AC x ⊥轴于点C ．若OAC ∆的面积为1，且tan 2AOC ∠=．（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 在什么范围取值时，使12(1)0k k x x -+>2、计算：()1112cos30---︒3、先化简，再求代数式21()(1)11a a a a -⋅--+的值，其中tan 602sin30a ︒︒=-． 4、如图，某学校新建了一座雕塑CD ，小林站在距离雕塑3.5米的A 处自B 点看雕塑头顶D 的仰角为60°，看雕塑底部C 的仰角为45°，求雕塑CD 的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：1.7）5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，连结AC，BD交于点E，弦CF⊥BD于点G，连结AG，且满足∠1＝∠2．（1）求证：四边形AGCD为平行四边形．（2）设tan F＝x，tan∠3＝y，①求y关于x的函数表达式．②已知⊙O的直径为y＝34，点H是边CF上一动点，若AF恰好与△DHE的某一边平行时，求CH的长．③连结OG，若OG平分∠DGF，则x的值为．---------参考答案-----------一、单选题1、B【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：△BAE∽△CEF，则可证得②正确，①③错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠B＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋FEC＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴AB CE BE CF，∵BE＝CE，∴BE2＝AB•CF．∵AB＝2CE，∴CF＝12CE＝14CD，∴CD=4CF，故②正确，③错误，∴tan ∠BAE ＝BE ：AB ＝12，∴∠BAE ≠30°，1sin 2BAE ∠≠故①错误； 设CF ＝a ，则BE ＝CE ＝2a ，AB ＝CD ＝AD ＝4a ，DF ＝3a ，∴AE ＝，EF ，AF ＝5a ，∴AE AF ==，BE EF == ∴AE BE AF EF=， ∵∠ABE ＝∠AEF ＝90°，∴△ABE ∽△AEF ，故④正确．故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及正方形的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．2、B【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离AB ．【详解】解：∵坡角为α，相邻两树之间的水平距离为8米， ∴两树在坡面上的距离8cos AB α=（米）． 故选：B ．【点睛】此题主要考查解直角三角形中的坡度坡角问题及学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．3、C【分析】过点A ′作A ′C ⊥AB 于点C ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：过点A ′作A ′C ⊥AB 于点C ，由题意可知：A ′O =AO =5，∴sinα=A CA O''， ∴A ′C =5sinα，故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．4、B【分析】先分别求解特殊角的三角函数值，再代入运算式进行计算即可.【详解】22323212221322=+- 32=故选B【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，正确的记忆特殊角的三角函数值是解本题的关键.5、B【分析】利用CD AB ∥，得到∠BAC =∠DCA ，根据同圆的半径相等，AC =AB =3，再利用勾股定理求解,CD 可得tan ∠ACD =AD CD =. 【详解】解：如图， ∵CD AB ∥，∴∠BAC =∠DCA ．∵同圆的半径相等， ∴AC =AB =3，而2,AD =225,CD AC AD在Rt △ACD 中，tan ∠ACD =AD CD∴tan ∠BAC =tan ∠ACD故选B ．【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键．6、D【分析】由题意可得四边形ABQP 是平行四边形，可得AP ＝BQ ＝x ，由图象②可得当x ＝9时，y ＝2，此时点Q 在点D 下方，且BQ ＝x ＝9时，y ＝2，如图①所示，可求BD ＝7，由折叠的性质可求BC 的长，由锐角三角函数可求解．【详解】解：∵AM ∥BN ，PQ ∥AB ，∴四边形ABQP 是平行四边形，∴AP ＝BQ ＝x ，由图②可得当x ＝9时，y ＝2，此时点Q 在点D 下方，且BQ ＝x ＝9时，QD =y ＝2，如图①所示，∴BD ＝BQ ﹣QD ＝x ﹣y ＝7，∵将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，∴AC ⊥BN ，∴BC ＝CD ＝12BD ＝72，∴cos B ＝BC AB ＝725＝710， 故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识．理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键．7、C【分析】由题意知当t =2时，三角形和正方形重合一半面积，由此可列0≤t ≤2和2≤t ≤4分段函数．【详解】当0≤t ≤2时，设运动时GF 与AD 交于点H∵四边形ABCD 为正方形，三角形EFG 为正三角形∴∠FAH =90°，∠AFH =60°∴AF =t ，AH =tan 60°·AF21122AHF S S AH AF t ==⋅⋅=⋅=△重合，开口向上当2≤t ≤4时，设运动时GE 与AD 交于点O∵四边形ABCD 为正方形，三角形EFG 为正三角形∴∠EAO =90°，∠OEA =60°∴AF =t ，EA =4-t ，AO =tan 60°·EA 4-t ）1144604422GEF OEA S S S sin t t =-=⨯⨯⨯︒-⋅--△△重合（）224S t =-=+-重合）综上所述，由图象可知仅C 选项满足两段函数．故选：C ．【点睛】本题考查了动点的图像问题，做此类题需要弄清横纵坐标的代表量，并观察确定图像分为几段，弄清每一段自变量与因变量的变化情况及变化的趋势，主要是正负增减及变化的快慢等．匀速变化呈现直线段的形式，平行于x 轴的直线代表未发生变化，成曲线的形式需要看切线的坡度的大小确定变化的快慢．8、B【分析】 直接利用锐角三角函数关系得出m cos AB α=，进而得出答案． 【详解】 由题意可得：m cos ABα=， 则AB =co m s α．故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．9、D【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得(32cos 0A =，1tan 0B -=，从而得cos A =tan 1B =，根据特殊角度三角函数的性质，得45A ∠=︒，45B ∠=︒；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】解：∵(32cos 1tan 0A B +-=∴(32cos 0A =，1tan 0B -=∴02cos A =，1tan 0B -=∴cos A tan 1B = ∴45A ∠=︒，45B ∠=︒∴18090C A B ∠=︒-∠-∠=︒，BC AC = ∴ABC 一定是等腰直角三角形故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解．10、B【分析】如图，O 为正三角形ABC 的外接圆，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ， 再由等边三角形的性质，可得∠OAB =30°，12AD AB =，然后根据锐角三角函数，即可求解．【详解】解：如图，O 为正三角形ABC 的外接圆，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ，根据题意得：OA，∠OAB =30°，12AD AB =， 在Rt AOD △中，3cos 2AD OA OAB =⋅∠== ， ∴AB =3，即这个正三角形的边长是3．故选：B【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解题的关键．二、填空题1、12米##12m【解析】【分析】根据坡度的概念可得AA AA =16，求得CD ，即可求解．【详解】解：根据坡度的概念可得AA AA =16， AA =6AA =36m ，AA =AA −AA =12m ，故答案为：12m【点睛】此题考查了坡度的概念，掌握坡度的概念是解题的关键，坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度．2、60°或120°【解析】【分析】如下图所示，分两种情况考虑：D 点在优弧CDB 上或E 点在劣弧BC 上时，根据三角函数可求出∠OCF 的大小，进而求出∠BOC 的大小，再由圆周角定理可求出∠D 、∠E 大小，进而得到弦BC 所对的圆周角．【详解】解：分两种情况考虑：D 在优弧CDB 上或E 在劣弧BC 上时，可得弦BC 所对的圆周角为∠D 或∠E ，如下图所示，作OF ⊥BC ，由垂径定理可知，F 为BC 的中点，∵BC =∴CF =BF =12BC =12×又因为半径为3，∵OC =3，在Rt△FOC 中，cos∠OCF =CF CO ∴∠OCF =30°，∵OC =OB ，∴∠OCF =∠OBF =30°，∴∠COB =120°，∴∠D =12∠COB =12×120°=60°，又圆内接四边形的对角互补，∴∠E =120°，则弦BC 所对的圆周角为60°或120°．故答案为：60°或120°．【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．3、 8√3 30°##30度【解析】【分析】如图，由题意得：AA ⊥AA ,AA =12,AA :AA =1:√3,再利用坡度的含义求解∠A =30°, 再利用∠A 的余弦函数值求解AB 即可.【详解】解：如图，由题意得：AA ⊥AA ,AA =12,AA :AA =1:√3,又∵tan A=AAAA =√3=√33,∴∠A=30°,而cos A=AAAA,∴AA=12cos30°=12×√3=8√3,故答案为：8√3,30°【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度，坡角的含义，由坡度求解出坡角为30是解本题的关键.4、12##0.5【解析】【分析】过C作CD垂直于AB的延长线于点D，则ADC为直角三角形，解直角三角形即可求解．【详解】如图：过C作CD垂直于AB的延长线于点D，∴ADC 为直角三角形∴在Rt ADC 中1tan 2CD A AD ∠== 1tan 2CAB ∴∠= 故答案为：12【点睛】本题考查的是解直角三角形，解题关键是结合网格的特点构造直角三角形，利用锐角三角形函数解答．5、30°，60°或120°【解析】【分析】根据题意得，可分三种情况讨论：当旋转后的圆A '与正方形ABCD 的边AB 相切时，与边CD 也相切；当旋转后的圆A ''与正方形ABCD 的边AD 相切时，与边BC 也相切；当旋转后的圆A ''' 与正方形ABCD 的边BC 相切时，即可求解．【详解】∵正方形ABCD 中AB =2，圆A 是以A 为圆心，1为半径的圆，∴当圆A 绕点B 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）过程中，圆A 与正方形ABCD 的边相切时，可分三种情况讨论：如图1，当旋转后的圆A '与正方形ABCD 的边AB 相切时，与边CD 也相切，设圆A ' 与正方形ABCD 的边AB 相切于点E ，连接A 'E ，A 'B ，则在Rt △A 'EB 中，A 'E =1，A 'B =2， ∴1sin 2A E A BE AB ''∠==' ， ∴∠A 'BE =30°，即∠α=30°；如图2，当旋转后的圆A ''与正方形ABCD 的边AD 相切时，与边BC 也相切，设圆A ''与正方形ABCD 的边BC 相切于点F ，连接A ''F ，A ''B ，则1,2A F A B ''''== ， ∴在Rt A BF '' 中，1sin 2A F A BF AB ''''∠=='' ， ∴∠A ''BF =30°，∴∠α=∠A ''BA =∠ABC -∠A ''BF =60°；如图3，当旋转后的圆A ''' 与正方形ABCD 的边BC 相切时，设切点为G ，连接,A G A B '''''' ，则1,2A G A B ''''''== ，∴在Rt A BG ''' 中，1sin 2A G A BG A B ''''''∠==''' ，∴∠A '''BG =30°，∴∠α=∠A '''BA =∠ABC +∠A '''BG =120°综上，旋转角α=30°，60°或120°．故答案为：30°，60°或120°【点睛】本题主要考查了切线的性质，图形的旋转，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论的思想解答是解题的关键．三、解答题1、（1）2y x=，1y x =+；（2）(2,1)B --，2x <-或01x <<．【解析】【分析】（1）先根据正切函数的定义可得点A 的坐标，再利用待定系数法即可得；（2）联立反比例函数和一次函数的解析式可得点B 的坐标，再利用函数图象法即可得．【详解】解：（1）设点A 的坐标为(,)A m n ，则,OC m AC n ==， OAC 的面积为1，且tan 2AOC ∠=，11,22n mn m ∴==， 解得1,2m n ==或10,20m n =-<=-<（不符题意，舍去），(1,2)A ∴，将点(1,2)A 代入1k y x=得：1122k =⨯=， 则反比例函数的解析式为2y x =；将点(1,2)A 代入21y k x =+得：212k +=，解得21k =，则一次函数的解析式为1y x =+；（2）联立21y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩， 解得12x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩， 则点B 的坐标是(2,1)B --，12(1)0k k x x-+>表示的是反比例函数的图象位于一次函数的图象的上方， 则2x <-或01x <<．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、正切，熟练掌握待定系数法是解题关键．2、0【解析】【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进行混合运算即可【详解】解：()1112cos30---︒原式()112=---11=+0=【点睛】本题考查了化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值并正确的进行实数的混合运算是解题的关键．3、11a +【解析】【分析】由题意根据分式的运算规则进行化简后，进而代入特殊锐角三角函数值进行计算即可.【详解】 解：21()(1)11a a a a -⋅--+ 221()(1)11a a a a a -=-⋅--- 1(1)(1)(1)a a a =⋅-+⋅- 11a =+tan 602sin 312201a ︒︒=-=⨯=，把31a 代入11a ==+【点睛】本题考查分式的化简求值以及特殊锐角三角函数值，熟练掌握分式的运算规则以及特殊锐角三角函数值是解题的关键.4、 2.5CD ≈米【解析】【分析】首先分析图形：根据题意构造两个直角三角形DEB ∆、CEB ∆，再利用其公共边BE 求得DE 、CE ，再根据CD DE CE =-计算即可求出答案．【详解】解：在Rt DEB 中， 3.5 5.95tan 30BE DE ==≈︒米， 在Rt CEB 中，tan 45 3.5CE BE =︒=米，则 5.95 3.5 2.45 2.5CD DE CE =-=-=≈米．故塑像CD 的高度大约为 2.5CD ≈米．【点睛】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是要先将实际问题抽象成数学模型．分别在两个不同的三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系．5、（1）见解析；（2）①y =1x 2．②245或185．③1或2 【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB =∠DGC =90°，证明AD∥CG ；根据∠1=∠2=∠ACD ，证明AG∥CD ；根据平行四边形的定义判定即可；（2）①如图1，过点A 作AP ⊥CF 于点P ，根据AD ∥CF ，得AF =DC ，四边形APGD 是矩形，△APF ≌△DGC ，从而得到CG =GP =PF =AD ，设CG =GP =PF =AD =a ，DE =EG =b ，则GF =2a ，GD =2b ，BG =CG GF GD=2a b ，在Rt △BGC 中，tan∠3＝y =CG GB ，在Rt △APF 中，tan F ＝x =AP PF ， 消去a ，b 即可； ②运用勾股定理，确定a ，b 的值，显然DE 与AF 是不平行的，故分DH∥AF 和EH∥AF 两种情形计算即可．③过点O 作OM ⊥CF 于点M ，过点O 作ON ⊥BD 于点N ，根据OG 平分∠DGF ，OM =ON ，于是BD =CF ，从而确定a ，b 之间的数量关系，代入计算即可．【详解】（1）∵AB 是⊙O 的直径，弦CF ⊥BD 于点G ，∴∠ADB=∠DGC=90°，∴AD∥CG；∵∠1=∠2=∠ACD，∴AG∥CD；∴四边形AGCD为平行四边形；（2）①如图1，过点A作AP⊥CF于点P，则四边形ADGP是矩形∵四边形AGCD为平行四边形∴AD∥CF，AD=CG，DE=EG，∠DAC=∠ACF∴AF=DC，AP=DG，∴△APF≌△DGC，∴CG=GP=PF=AD，设CG=GP=PF=AD=a，DE=EG=b，则GF=2a，CF=3a，GD=2b，∵BG GD CG GF⋅=⋅，∴BG =CG GF GD =2a b， 在Rt △BGC 中，tan∠3＝y =CG GB =2b a a ⨯=b a， 在Rt △APF 中，tan F ＝x =AP PF =2b a， 消去a ，b 即可； ∴x =2y ， ∴y 关于x 的函数表达式为y =1x 2； ②∵tan∠3＝y =CG GB =2b a a ⨯=b a ，y ＝34， ∴ba ＝34， ∴b ＝34a ，∴GD =2b =32a ， ∴BG =2a b =43a ， ∴BD =DG +BG =43a +32a =176a ，∵AB 222AD BD AB +=，∴22217()6a a +=， 解得a =125； 显然DE 与AF 是不平行的，如图2，当DH ∥AF 时，∵AD ∥FH ，∴四边形ADHF是平行四边形，∴AD=FH=a，∴CH=2a=245；如图3，当EH∥AF时，∵四边形AGCD是平行四边形，∴AE=EC，∴H是CF的中点，∵CF=3a=365，∴CH=185；故CH的长为245或185；③如图4，过点O作OM⊥CF于点M，过点O作ON⊥BD于点N，∵OG平分∠DGF，∴OM=ON，∴BD=CF，∴3a=2b+2ab，整理，得2232a ab b-+=0，解得a=b或a=2b，∵tan F＝x=APPF=2ba，当a=b时，x=2ba=2，当a=2b时，x=2ba=1，故答案为：1或2．【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆心角，弦，弦心距之间的关系，圆周角的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，三角形函数，因式分解，熟练掌握圆的基本性质，灵活掌握三角函数的计算，分类思想是解题的关键．。
第二十八章锐角三角函数第5课解直角三角形的应用(1)练习2021-2022学年人教版数学九年级下册
第5课解直角三角形的应用（1）一、新课学习1.仰角与俯角（1）抬头看时，视线与水平线的夹角叫仰角，图中人眼看点A的仰角=_________；（2）低头看时，视线与水平线的夹角叫俯角，图中人眼看点B的俯角=_________.2.如图，从地面的点C看树顶的仰角为37°，BC=20米，求树高.（参考数据：sin370.60︒≈，︒≈）cos370.753.（例1）如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度.4.如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC为18米，求旗杆CD的高度.（结果精确到1米，参考数据：sin320.5︒≈）︒≈，tan320.65.（例2）热气球探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高?6.小明在楼顶点A处测得对面大楼顶点C处的仰角为60°，楼底点D处的俯角为13°，若两座楼AB与CD相距60米，那么楼CD的高度约为多少米?（结果精确到1米，参考数据：≈）tan130.23︒≈，3 1.73二、过关检测第1关7.如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D处与C，B 在同一直线上，已知AC=36米，CD=18米，求荷塘宽BD为多少米?8.如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，求物体AB的高度.第2关9.如图，从热气球C上测得两建筑物A，B底部的俯角分别为35°和55°，如果这时气球的高度CD为70米，且点A，D，B在同一直线上，求建筑物A，B间的距离.（参考：︒≈）tan350.7010.如图，陈滴用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果精确到0.1，3 1.732≈）.第3关11.如图，某山顶上建有信号塔AB，在地面D处测得塔尖的仰角∠.ADC=60°，塔底的仰角∠BDC=45°，点D距塔AB的距离DC为100米，求塔AB的高度（结果保留根号）.12.如图，浦西对岸的高楼AB，在C处测得楼顶A的仰角为30°，向高楼前进100米到达D处，在D处测得A的仰角为45°，求高楼AB的高.第5课 解直角三角形的应用（1）1.30° （2）70°2.解：tan370.7520AB ABBC ==≈ ∴AB ≈15.故树高15米. 3.解：3sin 60202CD CD BC ︒===∴103CD =又∵103 1.5CE CD DE CD BA =+=+=+ 故此时风筝离地面的高度为（103 1.5+）米 4.解：过点B 作BE ⊥CD 于E ，∵tan320.618DE DE BE ==≈∴DE =10.8米 又∵DC =DE +EC =DE +AB=10.8+1.5=12.3（米） 故旗杆的高度为12.3米. 5.解：根据题意可知AD =120 m ，在Rt △ADC 中，tan 603120CD CDAD ==∴1203CD =在Rt △ABD 中，3tan301203BD BD AD ===∴403BD =m 又∵BC =BD +DC40312031603=+=（m ）.故这栋高楼有1603米. 6.解：过点A 作AE ⊥CD 于E ，∵tan 60360CE CEAE ===603CE = 又∵tan130.2360ED EDAE ==≈， ∴ED ≈13.8米∵60313.8118CD CE ED =+=≈（米） 故楼CD 的高度约为118米. 7.解：根据题意可知∠CAB =60° ∴tan 60336BC BCAC ︒==∴3BC = 又∵CD =18米，36318BD BC CD =-=（米）故荷塘宽BD 为（36318）米. 8.解：根据题意可知 ∠DAC =∠ACB ∠D =30° ∴∠DAC =∠D ∴AC =DC =20米又∵sin 6020AB AB AC ===∴AB =故物体AB 的高度为米. 9.解：∵EF //AB ，CD ⊥AB ， ∴∠CAD =∠ECA =35° 在Rt △ADC 中，70tan350.70CD AD AD︒==≈ ∴AD ≈100米 又∵∠FCB =55° ∴∠BCD =90°55°=35° 在Rt △BCD 中，tan350.7070BD BDCD ︒==≈ ∴BD ≈49米∴AB =AD +DB =100 +49=149（米） 故建筑物A ，B 间的距离为149米. 10.解：∵∠ADG =30°，∠AFG =60° ∴∠DAF =∠AFG ∠ADG =30° ∴∠ADG =∠DAF ∴DF =AF =CE =8米 又∵在Rt △AGF 中，sin 608AG AG AF ︒===∴AG =米 又∵GB =CD =1.5米∴ 1.58.4AB AG GB =+=≈（米） 故这棵树AB 的高度为8.4米.11.解：∵∠BDC =45°，∴∠CBD =∠BDC =45° ∴BC =CD =100米又∵∠ADC =60°，tan 60100AC ACCD ===∴AC=米又∵AB=ACBC，∴100AB=故塔AB的高度为（100）米.12. 解：∵∠ADB=∠BAD=45°设AB=BD=x米∴BC=CD+BD=（100+x）米在Rt△ABC中，∠ACB=30°∴tanAB ACBBC ∠=∴。
28章 锐角三角函数专题 解直角三角形实际应用的基本模型初中数学模型
(2)“母子”型 模型 已知三角形中的两角(∠1 和∠2)及其中一边， 模型分 在三角形外边作高 BC，构造两个直角三角形求 析 解，以高 BC 为桥梁是解题的关键
3.(成都中考)越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极 落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面 的高度．如图，已知测倾器的高度为 1.6 米，在测点 A 处安置测倾器，测得点 M 的 仰角∠MBC＝33°，在与点 A 相距 3.5 米的测点 D 处安置测倾器，测得点 M 的仰角 ∠MEC＝45°(点 A，D 与 N 在一条直线上)，求电池板离地面的高度 MN 的长．(结 果精确到 1 米，参考数据：sin 33°≈0.54，cos 33°≈0.84，tan 33°≈0.65)
ME x＋25 5 公楼 AB 的高度约为 20 米
(2)一般梯形模型 模型
模型 过较短的底 AD 作梯形的两条高 AE 和 DF，构造一个长方 分析 形和两个直角三角形，分别解两个直角三角形再加减求解
7.某轮滑特色学校准备建立一个如图①的轮滑技巧设施，从侧面看如图②，横 截面为梯形，高 1 米，AD 长为 2 米，坡道 AB 的坡度为 1∶1.5，DC 的坡度为 1∶2.
＋40 3 .∴小山 BC 的高度为(10＋40 3 )米
模型二：四边形模型 (1)直角梯形模型
模型
模型 过较短的底 AB 作直角梯形的高 BE，构造一个矩形和一
分析
个直角三角形，先解直角三角形再加减求解
6.如图，某办公楼 AB 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22°时， 办公楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE，而当光线与地面夹角是 45°时，办公 楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 25 米的距离(点 B，F，C 在一条直线上).求办 公楼 AB 的高度．(参考数据：sin 22°≈25 ，cos 22°≈1156 ，tan 22°≈25 )
人教版2024九年级下册数学 第二十八章 锐角三角函数 课后练习
第二十八章锐角三角函数课后练习锐角三角函数的定义与求值1．在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则tan A的值是.2．把△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍,则锐角A的余弦值()A．不变B．扩大为原来的2倍C．缩小为原来的12D．不能确定3．在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=8,sin A=34,则BC的长为()A．6B．7.5C．8D．12.54．如图,已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上,则下列结论错误的为()A．cos B．sin B=5C．tan B=12D．tan B·tan C=1特殊角的锐角三角函数值5．在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且(tan B-3)2+2cosA是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形,那么锐角α为30度.7．计算:3tan30°+tan45°-2sin60°.解直角三角形及其应用8．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8,CB=43,解这个直角三角形.9．如图,AB为☉O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与☉O相切,切点分别为C,D．若AB=10,PC=12,则sin∠CAD等于()A．125B．1312C．135D．121310．某县动车站于2014年开通,方便了更多的人出行,如图是该动车站某扶梯的示意图,扶梯AB的坡度i=5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比).琪琪同学乘扶梯从扶梯底端A以0.5m/s的速度用时40s到达扶梯顶端B,则琪琪同学上升的铅直高度BC为m.11．如图是矗立在公路边水平地面上的交通警示牌.经测量得到如下数据:AM=4m,AB=8m,∠MBC=30°,∠MAD=45°,则警示牌的高CD为多少米(结果保留根号)?12．2023年5月30日,神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功,3名航天员顺利进驻中国空间站,如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态,当两臂AC=BC=10m,两臂夹角∠ACB=100°时,求A,B两点间的距离(结果精确到0.1m;参考数据:sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192).13．如图,某校数学兴趣小组需测量一古塔的高度AB．该古塔旁有一个小山坡,在山脚处C观测塔的顶端A的仰角为60°,已知BC=10m,ED⊥BD(点B,C,D在同一直线上).(1)求古塔的高度AB(结果保留根号);(2)涛涛站在古塔的顶端A处观测山坡的顶端E的俯角为30°,该山坡的坡度i=tan∠ECD=1∶3,求山坡的高度DE(结果保留根号).14．如图,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6m到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是45°,若坡角∠FAE=30°,求大树的高度(结果保留根号).。
人教版九年级第二十八章 锐角三角函数 解直角三角形及其应用
2019-2019学年初三第二学期数学单元练习解直角三角形1．2sin60°的值等于（）A．1 B．2C．3D 23 32．如图，△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则cosA=（）A．52B ．12C．255D．553．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，BC=6，则AB=（）A．4 B．6 C．8 D．104．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A．103海里/小时B．30海里/小时C．203海里/小时D．303海里/小时5．如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为．6．如图，过矩形ABCD的顶点B作BE∥AC，垂足为E，延长BE交AD于F，若点F是边AD的中点，则sin∠ACD的值是．7．如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(α+β) t anα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）8．计算：1 121tan6013-+-︒-⎛⎫⎪⎝⎭．9．计算：8﹣2cos45°+2 2-10．某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向．且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，7.13,4.12≈≈）11．中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（≈1.732）12．如图，小明想测量学校教学楼的高度，教学楼AB的后面有一建筑物CD，他测得当光线与地面成22°的夹角时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m高的影子CE；而当光线与地面成45°的夹角时，教学楼顶A在地面上的影子F与第1页/共4页墙角C 有13m 的距离（点B ，F ，C 在同一条直线上）（1）请你帮小明计算一下学校教学楼的高度；（2）为了迎接上级领导检查，学校准备在AE 之间挂一些彩旗，请计算AE 之间的长．（结果精确到1m ，参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.9375，tan22°≈0.4）参考答案1．C 根据sin60°=解答即可得2sin60°=2×2．D ：∵∠B=90°，BC=2AB ，∴∴3．D 在直角三角形ABC 中，利用锐角三角函数定义表示出sinA 35BC AB =，将sinA 的值与BC=6代入求出AB 6103sin 5BC A ==.故选D4．D ：∵∠CAB=10°+20°=30°，∠CBA=80°﹣20°=60°，∴∠C=90°，∵AB=20海里，∴，∴救援船航行的速度为：÷2060/小时）． 5．5如图所示：延长AC 交网格于点E ，连接BE， ∵AB=5，∴AE 2+BE 2=AB 2，∴△ABE 是直角三角形，∴SinA=BEAB =． 6．3由矩形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，∠D=90°，证出△AEF ∽△CEB ，得出对应边成比例AE AF CE BC ==12，设AF=DF=a ，AE=x ，则CE=2x ，AC=3x ，再证明△AEF ∽△ADC ，得出AF AE AC AD =，得出，a ，第3页/共4页再由三角函数的定义求得sin ∠=3.故答案为：3． 7．＞.根据正切的概念和正方形网格图求出tanα=12，tanβ=13，则tanα+tanβ=56，根据等腰直角三角形的性质和tan45°的值求出tan （α+β）=1，所以tan （α+β）＞tanα+tanβ.故答案为：＞．8．4．原式+|1﹣﹣1﹣﹣4．9．2原式=22﹣2×22+2﹣2=2． 10．从A 地跑到D 地的路程约为47m 。
九年级数学人教版下册第二十八章锐角三角函数 解直角三角形及其应用 解直角三角形课件
＝20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位)．
解： A ＝ 9 0 º － B ＝ 9 0 º － 3 5 º ＝ 5 5 º ，A
∵ tanB＝b ,
c
b
a
20
∴ a ＝ tan bB ＝ tan 20 35°≈ 28. 6 ． C
35° a
B
二、探究新知
∵ sinB＝b , c
A． b＝a·tan A
B． b＝c·sin A
C． b＝c·cos A
D． a＝c·cos A
四、课堂训练
3．如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC＝4， sin B＝ 4 ，则菱形的周长是( C )．
5 A．10 B．20 C．40 D．28
A
D
B
EC
四、课堂训练
4．如图，已知 AC＝4，求 AB 和 BC 的长．
一般地，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元 素的过程，叫做解直角三角形．
二、探究新知
(1)在直角三角形中，除直角外还有哪几个元素？ (2)结合右图说一说这几个元素之间有哪些关系？ (3)知道这几个元素中的几个，就可以求其余元素？ 解：(1)在 Rt△ABC 中除直角外还有五个元素，三边： AB，AC，BC 或 a，b，c 两锐角：∠A ，∠B．
∴ c＝ sin bB ＝ sin 23 05°≈ 34. 9． 注意：选取函数关系求值时尽可能用原始数据，减少因 为近似产生的累积误差．
二º，∠B＝72º，c＝14，解这个
直角三角形． A
解： A ＝ 9 0 º － 7 2 º ＝ 1 8 º ，
， B
二、探究新知
在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，a＝30，b＝20．解这个直 角三角形． 在 Rt△ACD 中，
人教版九年级下册数学第二十八章 解直角三角形习题课件
15．(梧州中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 上一点，
AB＝5，BD＝1，tan B＝34 . (1)求 AD 的长； (2)求 sin α的值．
解：(1)由 tan B＝34 可设 AC＝3x，得 BC＝4x， ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴(3x)2＋(4x)2＝52，解得 x＝－1(舍去)或 x＝1， ∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD ＝ CD2＋AC2 ＝3 2
人教版
第二十八章 锐角三角函数
28．2.1 解直角三角形
9．(练习变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形： 第二十八章 锐角三角函数
(1)∠A＝60°，b＝4； (1)∠A＝60°，b＝4； 第二十八章 锐角三角函数
(1)∠A＝60°，b＝4； (1)∠A＝60°，b＝4； 9．(练习变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形： 第二十八章 锐角三角函数
9．(练习变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形：
((11))∠ ∠AA＝＝解6600：°°探，，bb＝＝究44；；：过点 B 作 BD⊥AC，垂足为 D.∵AB＝c，∠A＝α，∴BD＝c·sin
(1)∠A＝60°，b＝4；
9(91．．)∠((练练A习 习＝α变 变60，式 式°))，在 在∴bRR＝ttS△ △4△；AAABBCCB中 中C＝， ，∠ ∠12CC＝ ＝A9900C° °·， ，Baa， ，Dbb＝， ，cc分 分12别 别b为 为c∠ ∠AAs， ，in∠ ∠BBα， ，∠ ∠CC的 的应对 对用边 边， ，：由 由下 下过列 列点条 条件 件解 解C直 直作角 角三 三C角 角E形 形： ：⊥DO 于点
秋九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数练习 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级下册数学
第二十八章 锐角三角函数28．1 锐角三角函数第1课时 正弦01基础题知识点1 已知直角三角形的边长求锐角的正弦值如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac.1．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝12，BC ＝5，则sin A 的值为(D )A.512B.125 C.1213D.5132．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则sin A ＝(A )A.35B.45C.53D.343．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么sin α的值是(A )A.35B.45C.34D.43第3题图 第4题图4. 如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC 的每一个顶点都在网格的交点处，则sin A ＝35.5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sin B 的值是34.6．根据图中数据，求sin C 和sin B 的值．解：在Rt△ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝34， ∴sinC ＝AB BC ＝53434，sinB ＝AC BC ＝33434.7．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，a∶c＝2∶3，求sin A 和sin B 的值．解：在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，a∶c ＝2∶3，设a ＝2k ，c ＝3k.(k>0)∴b ＝c 2－a 2＝5k. ∴sinA ＝a c ＝2k 3k ＝23，sinB ＝b c ＝5k 3k ＝53.知识点2 已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长8．(来宾中考)在△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝6，sin A ＝23，则AB 边的长是9.9．(某某中考)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，sin ∠ABC＝0.8，则BC ＝6.易错点 对正弦的概念理解不清10．把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值(A )A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定02中档题11．已知Rt △ABC∽Rt △A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，且AB ＝2A′B′，则sin A 与sin A′的关系为(B )A ．sin A ＝2sin A ′ B．sin A ＝sin A ′ C ．2sin A ＝sin A ′ D．不确定12．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为(C )A.12B.22C.32D ．1 13．在△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝3a ，则sin A 的值是(A )A.13B.233 C ．3 D ．以上都不对14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点 D.若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为(A )A.53 B.255 C.52 D.23第14题图 第16题图15．已知锐角A 的正弦sin A 是一元二次方程2x 2－7x ＋3＝0的根，则sin A ＝12.16．(某某中考)如图，⊙O 的直径CD ＝10 cm ，且AB⊥CD，垂足为P ，AB ＝8 cm ，则sin ∠OAP＝35.17．如图，直径为10的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧OC 上一点，求∠OBC 的正弦值．解：连接OA 并延长交⊙A 于点D ，连接CD.∴∠OBC ＝∠ODC， ∠OCD ＝90°.∴sin∠OBC ＝sin∠ODC ＝OC OD ＝510＝12.03综合题18．(某某中考)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin 2A 1＋sin 2B 1＝1；sin 2A 2＋sin 2B 2＝1；sin 2A 3＋sin 2B 3＝1.(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，都有sin 2A ＋sin 2B ＝1；(2)如图4，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(3)已知：∠A ＋∠B ＝90°，且sin A ＝513，求sin B .解：(2)∵在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝a c ，sinB ＝b c ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝a 2＋b 2c2.∵∠C ＝90°， ∴a 2＋b 2＝c 2. ∴sin 2A ＋sin 2B ＝1.(3)∵sinA ＝513，sin 2A ＋sin 2B ＝1，且sinB ＞0，∴sinB ＝1－（513）2＝1213.第2课时 锐角三角函数01基础题 知识点1 余弦如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc.1．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是(A )A.35B.45C.34D.432．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，cos A ＝35，AC ＝6 cm ，那么BC 等于(A )A ．8 cm B.245 cmC.185 cm D.65cm 3．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝1，求cos A 和cos B 的值．解：∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝22＋12＝ 5.cosA ＝AC AB ＝25＝255，cosB ＝BC AB ＝15＝55.知识点2 正切如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝a b.4．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值是(A )A.34B.43C.35D.455．在4×4的正方形的网格中画出了如图所示的格点△ABC，则tan ∠ABC 的值为(D )A.31313 B.21313 C.32 D.23第5题图 第6题图6．(某某中考)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝1，则tan A 的值是12.7．已知等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长为10 cm ，则底角的正切值为115.知识点3 锐角三角函数∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数．8．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝17.第8题图 第9题图9．(崇左中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是(A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝12510．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝7，BC ＝24.(1)求AB 的长；(2)求sin A ，cos A ，tan A 的值． 解：(1)由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝72＋242＝25.(2)sinA ＝BC AB ＝2425，cosA ＝AC AB ＝725，tanA ＝BC AC ＝247.02中档题11．在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cos B ＝(C )A.512 B.125C.513 D.121312．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若sin A ＝35，则cos B 的值是(B )A.45B.35C.34D.4313．将△AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点A 的坐标为(2，1)，则tan ∠A′OB′的值为(A )A.12B ．2 C.55 D.255第13题图 第14题图14．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是34．15．(某某中考)如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 交于点E ，连接AC ，B D.若AC ＝2，则cos D ＝13.16．(某某中考)如图，在△ABC 中，CD⊥AB，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sin B ＋cos B 的值．解：在Rt△ACD 中，CD ＝6，tanA ＝32，∴CD AD ＝6AD ＝32，即AD ＝4. 又AB ＝12，∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt△BCD 中，BC ＝CD 2＋BD 2＝10.∴sinB ＝CD BC ＝610＝35，cosB ＝BD BC ＝810＝45.∴sinB ＋cosB ＝35＋45＝75.17．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB BC ＝23，求tan ∠DCF 的值．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠D ＝90°. ∵AB BC ＝23，且由折叠知CF ＝BC ， ∴CD CF ＝23.设CD ＝2x ，CF ＝3x (x>0)，∴DF ＝CF 2－CD 2＝5x. ∴tan∠DCF ＝DF CD ＝5x 2x ＝52.03综合题18．如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作c tan α，即c tan α＝角α的邻边角α的对边＝ACBC，根据上述角的余切定义，解下列问题：(1)c tan 30°＝3；(2)如图，已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求c tan A 的值．解：∵tanA ＝34，且tanA ＝BC AC，∴设BC ＝3x ，AC ＝4x. ∴ctanA ＝AC BC ＝4x 3x ＝43.第3课时 特殊角的三角函数值01基础题知识点1 特殊角的三角函数值填写下表：30° 45° 60° sin α 12 22 32 cosα 32 22 12 tanα33131．已知∠A＝30°，下列判断正确的是(A )A ．sin A ＝12B ．cos A ＝12C ．tan A ＝12D ．cot A ＝122．计算：cos 230°＝(D )A.12B.14C.32D.34 3．(某某中考)计算：cos 245°＋sin 245°＝(B )A.12B ．1 C.14 D.224．计算：tan 45°＋2cos 45°＝2. 5．计算：(1)sin 30°＋cos 45°； 解：原式＝12＋22＝1＋22.(2)cos30°·tan30°－tan 245°； 解：原式＝32×33－12＝12－1＝－12. (3)22sin45°＋sin60°·cos45°. 解：原式＝22×22＋32×22＝2＋64.知识点2 由三角函数值求特殊角6．(某某中考)在△ABC 中，若|sin A －12|＋(cos B －12)2＝0，则∠C 的度数是(D )A ．30° B．45° C．60° D．90° 7．如果在△ABC 中，sin A ＝cosB ＝22，那么下列最确切的结论是(C ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形8．已知α为锐角，且cos (90°－α)＝12，则α＝30°.9．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝23，则∠A＝60°.知识点3 用计算器计算三角函数值10．用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是(B )A ．0.90B ．0.72C ．0.6911．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC ＝5.若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是(D )A ．5÷tan26°＝B ．5÷sin26°＝C ．5×cos26°＝D ．5×tan26°＝12．利用计算器求∠A ＝18°36′的三个锐角三角函数值．解：sinA ＝sin18°36′≈0.319 0，cosA ＝cos18°36′≈0.947 8， tanA ＝tan18°36′≈0.336 5.13．已知下列正(余)弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°)．(1)sin α＝0.822 1； 解：α≈55.3°.(2)cos β＝0.843 4. 解：β≈32.5°.02中档题14．点M(－sin 60°，cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是(B )A．(32，12) B．(－32，－12)C．(－32，12) D．(－12，－32)15．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(D)A．40° B．30° C．20° D．10°16．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为(D)A.12B.33C.22D.3217．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝2，则点B的坐标为(C) A．(2，1) B．(1，2)C．(2＋1，1) D．(1，2＋1)第17题图第18题图18．(某某中考)如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接C B.若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝8.19．计算：(1)(某某中考改编)2 0180＋(－1)2－2tan45°＋4；解：原式＝1＋1－2×1＋2＝2.(2)(－1)－2＋|2－3|＋(π－3.14)0－tan60°＋8.解：原式＝1＋(3－2)＋1－3＋2 2＝2＋ 2.20．若tan A 的值是方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0的一个根，求锐角A 的度数．解：解方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0， 得x 1＝1，x 2＝ 3.由题意知tanA ＝1或tanA ＝ 3.∴∠A ＝45°或60°.21．(原创题)如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1.(1)若BC ＝2，求△ABC 三个内角的度数； (2)若BC ＝3，求△ABC 三个内角的度数．解：(1)∵AB ＝AC ＝1，BC ＝2，∴AB 2＋AC 2＝BC 2.∴∠BAC ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°.(2)过点A 作AD⊥BC，垂足为D.∵AB ＝AC ＝1，AD⊥BC， ∴BD ＝12BC ＝32.∴cosB ＝BD AB ＝321＝32.∴∠B ＝30°.∴∠C ＝30°，∠BAC ＝120°.03综合题22．(某某中考)一般地，当α，β为任意角时，sin (α＋β)与sin (α－β)的值可以用下面的公式求得：sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β；sin (α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β.例如：sin 90°＝sin (60°＋30°)＝sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＝32×32＋12×12＝1.类似地，可以求得sin 15°的值是6－24. 解直角三角形及其应用 28． 解直角三角形01基础题知识点1 已知两边解直角三角形如图，已知两边：(1)已知a ，b ，则c ＝a 2＋b 2，sin A ＝cos B ＝a c，sin B ＝cos A ＝bc ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a；(2)已知a ，c ，则b ＝c 2－a 2，sin A ＝cos B ＝a c ，sin B ＝cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a. 1．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，AB ＝4，欲求∠A 的值，最适宜的做法是(C )A ．计算tan A 的值求出B ．计算sin A 的值求出C ．计算cos A 的值求出D ．先根据sin B 求出∠B ，再利用90°－∠B 求出2．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，a ＝4，b ＝3，则cos A 的值是(A )A.35B.45C.43D.543．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，a ＝20，c ＝202，则∠A＝45°，∠B ＝45°，b ＝20. 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，已知BC ＝26，AC ＝62，解此直角三角形．解：∵tanA ＝BC AC ＝2662＝33，∴∠A ＝30°.∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°，AB ＝2BC ＝4 6.知识点2 已知一边一锐角解直角三角形如图，已知一边一角：(1)已知a ，∠A ，则∠B ＝90°－∠A ，c ＝a sinA ，b ＝a tanA； (2)已知c ，∠A ，则∠B ＝90°－∠A ，a ＝c·sinA .5．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB ＝8，则BC 的长是(D )A.433B ．4C ．8 3D ．4 36．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则△ABC 的面积为(C )A ．12B ．18C ．24D ．487．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC ＝32，则AC ＝24.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)8．(教材9下P 73例2变式)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝55°，AC ＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位)解：根据题意，∠A ＝90°－∠B ＝90°－55°＝35°. 根据正弦定义，sinB ＝AC AB，则AB ＝AC sinB ＝4sin55°≈4.9.根据正切的定义，tanB ＝AC BC，则BC ＝AC tanB ＝4sin55°≈2.8.所以△ABC 的另一个锐角度数为35°，另一条直角边长为2.8，斜边长为4.9. 易错点 忽视钝角三角形而致错9．在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝2，∠B＝30°，则BC 的长为2或4.02中档题10. 如图，在△AB C 中，∠C＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若cos ∠BDC＝35，则BC的长是(A )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm11．(某某中考)在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cos B ＝22，则BC 边长为(D )A ．7B ．8C ．8或17D ．7或1712.(某某中考)如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝5，sin A ＝23，则tan B ＝43.第12题图 第13题图13．(某某中考)如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB 于点E ，cos A ＝35，BE ＝4，则tan ∠DBE 的值是2.14．(某某中考)如图，在△ABC 中，BD⊥AC，AB ＝6，AC ＝53，∠A＝30°.(1)求BD 和AD 的长； (2)求tan C 的值．解：(1)∵BD⊥AC，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°.在Rt△ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∴BD ＝12AB ＝3.∴AD ＝3BD ＝3 3.(2)CD ＝AC －AD ＝53－33＝23， 在Rt△BDC 中，tanC ＝BD CD ＝323＝32.15．(某某中考)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB ＝6，CD ＝4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC 的长； (2)若sin A ＝45，求AD 的长．解：(1)∵在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝6，tanA ＝BE AB，∴BE ＝6·tan60°＝6 3.∵在Rt△CDE 中，∠CDE ＝90°，∠E ＝90°－60°＝30°， CD ＝4， ∴CE ＝2CD ＝8.∴BC ＝BE －CE ＝63－8.(2) ∵在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°，sinA ＝45，∴BE AE ＝45. 设BE ＝4x ，则AE ＝5x (x ＞0)．∵AE 2－BE 2＝AB 2，∴(5x )2－(4x )2＝62.∴x ＝2. ∴BE ＝8，AE ＝10.∵在Rt△CDE 中，∠CDE ＝90°，CD ＝4，tanE ＝CD ED ，而在Rt△ABE 中，tanE ＝AB BE ＝68＝34，∴CD ED ＝34. ∴ED ＝43CD ＝163.∴AD ＝AE －ED ＝143.03综合题16. 如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，且sin B ＝22，tan A ＝12，AC ＝3 5. (1)求∠B 的度数与AB 的长； (2)求tan ∠CDB 的值．解：(1)作CE⊥AB 于E ，设CE ＝x ， 在Rt△ACE 中，∵tanA ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x.∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x. ∴5x ＝35，解得x ＝3. ∴CE ＝3，AE ＝6.在Rt△BCE 中，∵sinB ＝22， ∴∠B ＝45°.∴△BCE 为等腰直角三角形． ∴BE ＝CE ＝3. ∴AB ＝AE ＋BE ＝9.(2)∵CD 是边AB 上的中线，∴BD ＝12AB ＝4.5.∴DE ＝BD －BE ＝－3＝1.5. ∴tan∠CDE ＝CEDE＝错误!＝2，即tan∠CDB 的值为2.28.2.2 应用举例第1课时 与视角有关的解直角三角形应用题01基础题知识点1 利用解直角三角形解决简单问题1. 如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC ＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D 为底边中点)的长是(C )A ．5sin36°米B ．5cos36°米C ．5tan36°米D ．10tan36°米第1题图 第2题图2．(教材9下P 74例3变式)如图，某航天飞船在地球表面P 点的正上方A 处，从A 处观测到地球上的最远点Q.若∠QAP＝α，地球半径为R ，则航天飞船距离地球表面最近距离AP ＝Rsinα－R. 3．(某某中考)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB 与MN 之间的距离)．如图，在测量时，选定河对岸MN 上的点C 处为桥的一端，在河岸点A 处，测得∠CAB ＝30°，沿河岸AB 前行30米后到达B 处，在B 处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数)解：过点C 作CD⊥AB，垂足为D.∵∠CAB ＝30°， ∴AD ＝3CD. ∵∠CBA ＝60°，∴DB ＝33CD. ∵AB ＝AD ＋DB ＝30，∴3CD ＋33CD ＝30. ∴CD ＝1523＝152×1.73≈13(米)．答：河的宽度约为13米．知识点2 解与视角有关的实际问题4．(教材9下P 75例4变式)(某某中考)如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A 处与楼的水平距离为120 m ，则这栋楼的高度为(A )A ．160 3 mB ．120 3 mC ．300 mD ．160 2 m5．(某某中考)如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB⊥BD，CD⊥BD，AB ＝15 m ，CD ＝20 m ，AB 和CD 之间有一景观池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°(点B ，E ，D 在同一直线上)，求两幢建筑物之间的距离BD(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)解：由题意，得∠AEB ＝42°，∠DEC ＝45°.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°. ∵AB ＝15，∠AEB ＝42°， tan∠AEB ＝ABBE ，∴BE ＝15tan42°＝503.在Rt△DEC 中，∠CDE ＝90°，∠DEC ＝45°，CD ＝20.∴ED ＝CD ＝20.∴BD ＝BE ＋ED ＝503＋(m )．答：两幢建筑物之间的距离BD 约为36.7 m.易错点 混淆三点函数的数量关系而导致错误6．(某某中考)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为(C )A.30tanα米 B ．30sinα米 C ．30tanα米 D ．30cosα米 02中档题7. (某某中考)某某市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD＝60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数(结果精确到1°)．解：延长AD交BC所在直线于点E.由题意，得BC＝17米，AE＝15米，∠CAE＝60°，∠AEB＝90°，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝CE AE ，∴CE＝AE·tan60°＝153米．在Rt△ABE中，tan∠BAE＝BEAE＝17＋15315，∴∠BAE≈71°.答：第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD约为71°.8．(某某中考)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示)，建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)，无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′.(1)求主桥AB的长度；(2)若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．(长度均精确到1 m，参考数据：3≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)解：(1)由题意知∠ABP＝30°，AP＝97，∴AB＝APtan∠ABP ＝97tan30°＝9733＝973≈168.答：主桥AB的长度约为168 m.(2)∵∠ABP＝30°，AP＝97，∴PB＝2PA＝194.又∵∠DBC＝∠DBA＝90°，∠PB A＝30°，∴∠DBP＝∠DPB＝60°.∴△PBD是等边三角形．∴DB＝PB＝194.在Rt△BCD中，∵∠C＝80°36′，∴BC＝DBtanC ＝194tan80°36′≈32.答：引桥BC的长约为32 m.03综合题9．(六盘水中考)为践行党的群众路线，六盘水市教育局开展了大量的教育教学实践活动．如图是其中一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形．活动中测得数据如下：①小明的身高DC＝1.5米；②小明的影长CE＝1.7米；③小明的脚到旗杆底部的距离BC＝9米；④旗杆的影长BF＝7.6米；⑤从D点看A点的仰角为30°.请你选择需要的数据，求出旗杆的高度．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)情况一：选用①，②，④.∵AB⊥FC，CD⊥FC，∴∠ABF＝∠DCE＝90°.又∵AF∥DE，∴∠AFB＝∠DEC.则△ABF∽△DCE.∴ABDC＝FBEC.又∵DC ＝1.5 m ，FB ＝7.6 m ，EC ＝1.7 m ，∴AB≈6.7 m.即旗杆高度约为6.7 m. 情况二： 选用①，③，⑤. 过D 点作DG⊥AB 于G 点， ∵AB⊥FC，DC⊥FC，∴四边形BCDG 为矩形． ∴CD ＝BG ＝1.5 m ，DG ＝BC ＝9 m.在Rt△AGD 中，∠ADG ＝30°，tan30°＝AG DG，∴AG ＝3 3 m.又AB ＝AG ＋GB ，∴AB ＝33＋(m)．∴旗杆高度约为6.7 m.第2课时 与方位角、棱角有关的解直角三角形应用问题01基础题知识点1 解与方位角有关的实际问题1．如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A 处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是(A )A ．250米B ．2503米 C.50033米 D ．5002米第1题图 第2题图2．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行，船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．则船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．3．(某某中考)小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示)．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米？(精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73)解：过P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，AP ＝ 200 m，∠ACP ＝90°，∠PAC ＝60°.∴PC＝ 200×sin60°＝200 ×32＝1003(m)．∵在Rt△PBC中，sin37°＝PCPB ，∴PB＝PCsin37°＝错误!≈288(m)．答：小亮与妈妈相距约288米．知识点2解与坡角有关的实际问题4．(聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为(A) A．12米 B．43米C．53米 D．63米第4题图第5题图5．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是35米．6．(教材9下P77练习T2变式)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形．由题意得，BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i为1∶2.5，在Rt△ABE中，BEAE＝错误!，∴AE＝50米．在Rt△CFD中，∠D＝30°，∴DF＝3CF＝203米．∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋203(米)．答：坝底AD的长度约为米．02中档题7．(某某中考)如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？(3≈1.732)解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险．理由如下：由题意，得∠ABD＝30°，∠ACD＝60°.∴∠CAB＝∠ABD.∴BC ＝AC ＝200海里．在Rt△ACD 中，设CD ＝x ，则AC ＝2x ，AD ＝AC 2－CD 2＝（2x ）2－x 2＝3x. 在Rt△ABD 中，AB ＝2AD ＝23x ，BD ＝AB 2－AD 2＝（23x ）2－（3x ）2＝3x.又∵BD ＝BC ＋CD ，∴3x ＝200＋x ，解得x ＝100.∴AD ＝3x ＝1003≈173.2.海里＞170海里，且D 处距离A 处最近，∴轮船不改变航向继续向前行驶，轮船无触礁的危险．8．(某某中考)“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B 点先乘坐缆车到达观景平台DE 观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由E 点步行到达“蘑菇石”A 点，“蘑菇石”A 点到水平面BC 的垂直距离为1 790 m ．如图，DE∥BC，BD ＝1 700 m ，∠DBC＝80°，求斜坡AE 的长度．(结果精确到0.1 m )解：过点D 作DF⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M. 由题意，得EM ⊥AC，DF ＝CM ，∠AEM ＝29°， 在Rt△DFB 中，sin80°＝DFBD，∴DF ＝BDsin80°.AM ＝AC －CM ＝1 790－1 700sin80°.在Rt△AME 中，sin29°＝AM AE，∴AE ＝AM sin29°＝1 790－1 700sin80°sin29°(m )，答：斜坡的长度约为238.9 m. 03综合题9．(黔东南中考)黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学测量学校附近一电线杆的高，如图，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，在C 处测得电线杆顶端A 的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD ＝4 m ，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)．(结果精确到1 m ，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)解：延长AD交BC的延长线于点G，过点D作DH⊥BG，垂足为点H，则∠G＝30°.∵在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，∴C H＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2.DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2 3.又∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝DHtanG ＝23tan30°＝6.∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8.设AB＝x m.又∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x.∴BG＝ABtanG ＝xtan30°＝3x.∵BG－BC＝CG，∴3x－x＝8.解得x≈11 m.答：电线杆的高(AB)约为11 m.小专题17解直角三角形的实际应用1．(某某月考)如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B)处6 m的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5 m．试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1 m，3≈1.732)解：过点E作EC⊥AB于C.∵CE＝BD＝6 m，∠AEC＝60°，∴AC＝CE·tan60°＝6×3＝63(m)．∴AB＝AC＋DE＝＋＝(m)．答：旗杆AB的高度约为11.9 m.2．钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我国海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．(1)请在图中作出该船在点B处的位置；(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号)．解：(1)如图．(2)AB＝30×＝15(海里)．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝BC AB ，∴BC＝AB·tan∠BAC＝AB·tan30° ＝15×33＝53(海里)．答：钓鱼岛C 到B 处距离为53海里．3．(某某中考)为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道A B.如图，在山外一点C 测得BC 距离为200 m ，∠CAB ＝54°，∠CBA ＝30°，求隧道AB 的长．(参考数据： sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，结果精确到个位)解：过点C 作CD⊥AB 于D ，在Rt△BCD 中，∵∠B ＝30°，BC ＝200，∴CD ＝12BC ＝100，BD ＝1003≈173.在Rt△ACD 中，∵tan∠CAB ＝CD AD ，∴AD ＝100tan54°≈72.∴AB ＝AD ＋BD≈245.答：隧道AB 的长约为245米．4．(黔东南中考)如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81，2，3≈1.73，4≈2.24)解：假设点D 移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D 作DE⊥AC 于点E ，作D′E′⊥AC 于点E′，∵CD ＝12米，∠DCE ＝60°， ∴DE ＝CD·sin60°＝12×32＝63(米)， CE ＝CD·cos60°＝12×12＝6(米)．易知：四边形DEE′D′是矩形．∴DE ＝D′E′＝63米． ∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝D′E′tan39°≈错误!≈12.8，∴EE′＝CE′－CE ＝－6＝(米)． ∴DD′＝EE′＝米．答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动米才能保证教学楼的安全．5．(某某中考)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC ＝4米，AB ＝6米，中间平台宽度DE ＝1米，EN ，DM ，CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N ，M ，B ，∠EAB＝31°，DF⊥BC 于F ，∠CDF＝45°.求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)解：设BM ＝x 米．∵∠CDF ＝45°，∠CFD ＝90°， ∴CF ＝DF ＝x 米．∴BF ＝BC －CF ＝(4－x )米． ∴EN ＝DM ＝BF ＝(4－x )米．∵AB ＝6米，DE ＝MN ＝1米，BM ＝x 米， ∴AN ＝AB －MN －BM ＝(5－x )米．在△AEN 中，∠ANE ＝90°，∠EAN ＝31°，∴EN ＝AN·tan31°，即4－x ＝(5－x )． ∴x ＝2.5.答：DM 和BC 的水平距离BM 的长度约为米．6．(某某中考)某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB 的长为3 m ，静止时，踏板到地面距离BD 的长为0.6 m (踏板厚度忽略不计)．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m ，成人的“安全高度”为2 m ．(计算结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)(1)当摆绳OA 与OB 成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h ＝m ； (2)某成人在玩秋千时，摆绳OC 与OB 的最大夹角为55°，问此人是否安全？解：过C 点作CM⊥DF，CE⊥OD，垂足分别为M ，E ，∵在Rt△CEO 中，∠CEO ＝90°， ∠COE ＝55°， ∴cos∠COE ＝OEOC.∴OE ＝OC·cos∠COE ＝3·cos55°≈1.7 m. ∴ED ＝3＋－＝(m )．∴CM ＝ED ＝1.9 m ＜2 m.∴此人是安全的．章末复习(八) 锐角三角函数01分点突破知识点1 求锐角三角函数值1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是(C )A ．sinB ＝AD AB B ．sin B ＝AC BC C ．sin B ＝AD ACD ．sin B ＝CD AC第1题图第3题图2．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是(D )A.13B ．3 C.24D ．2 2 3．如图，在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE ，若BE ＝9，BC ＝12，则cos C ＝23．知识点2 特殊角的三角函数值(某某2016T19、2015T19、2014T19) 4．在△ABC 中，若(3tan A －3)2＋|2cos B －3|＝0，则△ABC 为(A )A ．直角三角形B ．含60°角的任意三角形C ．等边三角形D ．顶角为钝角的等腰三角形5．(某某中考改编)计算：(π－2 016)0＋|1－2|＋2－1－2sin 45°＝12．知识点3 解直角三角形及其应用(某某2017T22、2016T21、2015T21、2014T21、2013T21) 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则tan A 2＝33．7．如图，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B 处安置高为1.5米的测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，求拉线CE 的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：过点A 作AH⊥CD，垂足为H. 则AB ＝DH ＝米，BD ＝AH ＝6米．在Rt△ACH 中，∵∠CAH ＝30°，tan∠CAH ＝CH AH，∴CH ＝AH·tan∠CAH ＝6·tan30°＝23(米)． ∴CD ＝CH ＋HD ＝(23＋)米．在Rt△CDE 中，∵∠CED ＝60°，sin∠CED ＝CD CE，∴CE ＝CDsin60°＝4＋3(米)．答：拉线CE 的长约为米．02中考题型演练8．(某某中考)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是(A )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米第8题图 第9题图9．(某某中考) △ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC 于D ，下列四个选项中，错误的是(C )A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝110.(某某中考)如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为33．第10题图 第12题图11．(某某中考) △ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B＝30°，则△ABC 的面积是213或153.12．(某某中考)如图，某城市的电视塔AB 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB 的高度，在点M 处测得塔尖点A 的仰角∠AMB 为22.5°，沿射线MB 方向前进200米到达湖边点N 处，测得塔尖点A 在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB 为45°，则电视塔AB 的高度为1002米．(结果保留根号)13．(某某中考)如图，一楼房AB 后有一座假山，其坡度为i ＝1∶3，山坡坡面上E 点处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高．(注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解：过点E 作EF⊥BC 的延长线于点F ，EH⊥AB 于点H ， 在Rt△CEF 中，∵i ＝EFCF＝13＝tan∠ECF， ∴∠ECF ＝30°.∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝103米．∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC ＋CF ＝(25＋103)米．在Rt△AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH ＝HE ＝(25＋103)米． ∴AB ＝AH ＋HB ＝(35＋103)米．答：楼房AB 的高为(35＋103)米．14．(某某中考)今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”某某行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为752海里．(1)求B点到直线CA的距离；(2)执法船从A到D航行了多少海里？(结果保留根号)解：(1)过点B作BH⊥CA，交CA的延长线于点H.∵∠MBC＝60°.∴∠CBA＝30°.∵∠NAD＝30°，∴∠BAC＝120°.∴∠C＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°.∴BH＝BC·sin∠BCA＝150×12＝75海里．答：B点到直线CA的距离是75海里．(2)∵在Rt△BDH中，BD＝752海里，BH＝75海里，∴DH＝BD2－BH2＝75海里，∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，在Rt△ABH中，tan∠BAH＝BHAH＝3，∴AH＝253海里．∴AD＝DH－AH＝(75－253)海里．答：执法船从A到D航行了(75－253)海里．。
解直角三角形精选测试题 锐角三角函数精选测试题及参考答案(3套精编)
测试题(一)基础一、填空题1.解直角三角形是指在一个直角三角形中，除外共个元素，已知其中的______个元素（至少有一个是），求出其余个元素的过程。
2.在Rt△ABC中，∠C = 90°，三条边a、b、c这间的关系式是，两锐角∠A、∠B之间的关系式是，边角a、b、c、∠A、∠B之间的关系是，，，，， .3.在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 60°，斜边上的高CD =√3，则∠B = ，a = ，b= c = .4.某人上坡走了8米，实际升高了6 ，则这斜坡的坡度i= .5.在△ABC中，c=b=3 ，a=2，则sinA = .6.在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则sinA=7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝√5cm，BC=√3cm，则sinA= ，cosA=____.8.Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=45，AB=10，则BC＝.9.若sinA=cos700，则∠A＝；若sin53°=0.8，则cos37°= .10. Rt△ABC中，∠C＝90°，2cosA－1＝0，则∠A＝ .11.在△ABC中，∠C＝90°，a＝9，b＝12，则sinA= ，cosB= .12. Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=0.5，则cosA= .13.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若√2a=√3b，则tanA= .14.等腰三角形中，腰长为5cm，底边长8cm，则它的底角的正切值是 .15.若∠A为锐角，且tan2A+2tanA－3＝0，则∠A＝ .16.Rt△ABC中，∠A＝60°，c=8，则a＝，b＝ .17.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c=2√3，b＝3，则tanB= ，面积＝.18.在△ABC中，AC：BC＝1：√3，AB＝6，∠B＝，AC＝，BC＝ .19.在△ABC中，∠B＝90°，AC边上的中线BD＝5，AB＝8，则tanACB= .二、选择题1.在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A 的正弦、余弦值（ ）A.都扩大3倍B.都扩大9倍C.没有变化D.都缩小13 2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知a 边及∠A ，则斜边长为（ ）A.a ·sinAB.a sinAC.a ·cosAD. a cosA6.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a 、b 、c 分别是三角形的三边，则下正确的是（ ）A.a=c ·sinBB.a= b tanBC.b=c ·sinBD.c=a ·tanB3.等腰三角形底边与底边上的高的比是2：√3，则顶角为（ ）A.600B.900C.1200D.15004.在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形5.有一个角是30°的直角三角形，斜边为1，则斜边上的高为（ ）A. 14B. 12C. √34D. √32三、求下列各式的值sin 260°+cos 260° sin60°－2sin30°.cos30°sin30°－cos 245° 2cos45°+|√2−√3|√2sin60°+ √3cos45° 3cos60°5sin30°−12sin 230°.tan30°+cos60°.cos30° sin 245°-tan 230°四、解答下列各题1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA， cosA， tanA.2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA=1213，求cosA，sinB，cosB.3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，b=17，∠B=45°，求a， c与∠A.五、在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形.1. c=20，∠A=45°2. a=36，∠B=30°3. a=19，c=19√24. a=6√2，b=6√6六、解决问题1.等腰梯形的一个底角的余弦值是2√23，腰长是6，上底是2√2，求下底和梯形的面积.2.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.（√3≈1.7)3.一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号,一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．(sin53°≈0.8,cos53°≈0.6)8.数学实验课上，同学们调查知道：本乡位于距离学校不远处最高的山顶上的电信发射台铁塔高30米，为了测量此小山相对学校的高度，在学校里操场上用自制的测仰角的仪器做测试实验，如图：在一个地方测的仰角为α=45°，仰角β=60°，求山的高.4.下图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD,AC∥ED,从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°，已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？（tan53°≈4/3 ,sin53°≈4/5 ,tan64°≈2，sin64°≈9/10 ）测试题(二)能力一、填空题1.锐角A 满足2 sin(A-15°)= √3，则∠A= .2.如图，已知：CD ⊥AB ，CD=3√3，∠CAD=∠DBC=60°，则拉线AC 的长是 .2题图 3题图 4题图3.如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么AB 等于_________.4.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且cos α= 35，AB=4，则AD 的长为__________.5.在山坡上种树，要求株距为5.5米，测得斜坡的倾斜角为30°，则斜坡上的相邻两株间的坡面距离是__________.6.如图所示，某建筑物BC 直立于水平地面，AC=9米，要建造阶梯AB ，使倾斜角为30°，且每阶高不超过20厘米，则阶梯至少要建_______阶.（最后一阶的高不足20厘米时，按一阶计算，√3≈1.732） 6题图 7题图 8题图7.为解决学生上学过河难的问题,乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB 与MN 之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN 上的点C 处为桥的一端，在河岸点A 处，测得∠CAB=30°，沿河岸AB 前行30米后到达B 处，在B 处测得∠CBA=60°，河的宽度是_________．D C B A A B CDEa B A C8.如图，一条公路建成通车，从观测点C 测得一小车从点A 到达点B 行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°,BC=200米,小车的速度是________．9.甲、乙两楼相距100米，从乙楼底望甲楼顶仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30°，则甲楼的高度_______，乙楼的高度______．10.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan∠APD的值是______二、解决问题1.△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.求△ABC 的面积.2.如图：四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°，且BC=10，CD=2，求AC 的长.3.如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点;当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点。
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第28章锐角三角比 解直角三角形习题 01（共3套）Lex Li解直角三角形习题 011、选择题:(1)直角三角形ABC 中, ∠A = 90︒, C b ==32,,则sin B 的数值为 A ．23B ．2C ．105D ．3(2)若tg α·tg50︒ = 1, 则锐角α等于 A ．40︒B ．50︒C ．150⎛⎝⎫⎭⎪︒ D ．140⎛⎝⎫⎭⎪︒ (3)下列命题中正确的是 A ．sin72︒ = cos72︒B ．∠A + ∠B = 90︒, 则cos A = cos BC ．∆ABC 中, a ∶b ∶c = 1∶2∶3, 则sin A =13D ．若∠A + ∠B = 90︒, 则sin A = cos B (4)当45︒ < α < 90︒, 下列各式正确的是 A ．sin cos αα> B ．sin cos αα< C ．tg αα<ctgD ．tg α<12、在∆ABC 中, ∠C = 90︒, tg B =6, 求sin A 。
3、在∆ABC 中, ∠A = 30︒, ∠B = 45︒, 45︒所对边为8, 求30︒角所对的线段长。
4、在直角∆ABC 中, ∠B = 60︒, a + c = 9, 求b 。
5、等腰∆ABC中, AB = AC = 5, SABC∆=5, 求sin A。
6、∆ABC中, AB = AC, AD⊥BC于D, cos B=36, AB = 12, 求∠BAC的正弦。
7、在直角三角形ABC中, SABC∆=96, ∠C = 90︒, sin A=35, 求∆ABC的三边长。
8、电视塔建立在20米高的小山顶上, 从水平面上一点D测得塔顶A的仰角为60︒, 测得塔基B的仰角为30︒, 求电视塔高AB。
9、若矩形纸片ABCD的宽AB = 6, E为AB上一点, 沿CE折叠后, B恰落在AD上, 设为F, 若∠ECF =α, 求DF长。
【答案与提示】1、(1)C 。
特别要注意, 题目中给的是∠A 为90︒。
(2)A 。
用同角三角函数关系式去想, 因为有tg50︒·ctg50︒ = 1, 则ctg50︒ = tg40︒。
(3)A 。
因为互为余角的余函数相等。
(4)A 。
可以用特殊值的方法, 用试验的方法, 可以设角α=︒60, 满足题意的条件, 而去思考。
2、提示, 可由tg B =6, 设AC a BC a AB a ===67,,则, 再由三角函数定义得sin A =77。
3、提示, 做CD ⊥AB 交AB 于D , 将原来三角形ABC 分割为两个直角三角形。
因为45︒角所对边为8, 则CD = 4。
再用勾股定理解直角三角形, 得BC =42。
4、提示, 设30︒所对直角边为x , 则斜边为2x , 另一直角边为3x , 由题意x + 2x = 9,求得x = 3, 所以b =33。
5、作BD ⊥AC 交AC 于D , ∵S ABC ∆=5, ∴AC = BD 结果为10, ∴BD = 2。
∴sin A BD AB ==25。
6、作BE ⊥AC 于E , 设BD x =3, AB = 6x , 则AD x =33, 6x = 12, x = 2, 则AD =233,由题意BC ·AD = AC ·BE , ∴43233· = 12·BE , ∴BE =211, ∴sin ∠===BAC BE AB 21112116。
7、∵Rt ∆ABC 面积为96, 则1296AC BC ·=, 设BC = 3x , AB = 5x , 则BC = 4x , ∴123496⨯=x x ·, x = 4, 即AC = 16, BC = 12, AB = 20。
8、由题意, 画草图, ∵∠ADC = 60︒, ∠A = 30︒, 设DC = a , 则AD =2a , AC a =3, ∠BDC = 30︒, ∴BC = 20, BD = 40, DC =203, ∴a AC ===203320360,·AB = 60－20 = 40答: 电视塔高AB 为40米。
9、提示: 折叠的问题要注意的是折叠后的图形与原来的图形全等, 且折线是两个图形的对称轴。
由题意∆CEF ≌∆CEB , ∴∠ECB =α, 则∠DCF = 902︒-α, 又∵AB = CD = 6, ∴tg()902︒-=αDFDC, DF = DC ·tg ()90262︒-=⨯ααctg解直角三角形习题 021、∆ABC 中, sin cos A B -+-=32120, 则∆ABC 是 A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2、计算125555351-︒︒-︒-cos sin sin3、计算: tg25︒·tg35︒·tg45︒·tg55︒·tg65︒4、利用含30︒角的直角三角形, 求15︒角的四个三角函数值。
5、∆ABC 中, ∠C = 90︒, D , E 是BC 上两点, ∠ABC =∠=∠1213ADC AEC , BD = 11, DE = 5, 求AC 。
【提示或解答】1、B 。
∵sin A =32时, ∠A = 60︒, cos B =12时, ∠B = 60︒, 由绝对值的非负性, 得到三个角都为60︒, 应为等边三角形。
2、提示: 将第一个根号内1变为sin cos 225555︒+︒ ∴原式 = ()()cos sin sin 55551352︒-︒--︒=︒-︒-+︒=︒-sin cos sin sin 55551355513、提示: ∵25︒ + 65︒ = 90︒, 35︒ + 55︒ = 90︒, 由余角的正切函数与余切函数相等, ∴tg25︒·tg35︒·tg45︒·tg55︒·tg65︒ = tg25︒·tg35︒·tg45︒·ctg35︒·ctg25︒ = 14、提示: 在∆ABC 中, ∠C = 90︒, ∠A = 30︒, ∠B = 60︒, 延长CA 到D , 使AD = AB , 连BD 。
设BC 为a , 则AB = 2a , AC a =3, ∠BDC = 15︒。
∴tg152323︒==+=-BC DC aa a ctg tg 1511523︒=︒=+又∵()BD BC DC a 2222262=+=+·()sin1562624︒==+=-BCBDaacos15624︒=+5、提示: 先证∆ADE ∽∆BAE , AD = BD = 11, BE = 16, AE BE DE 280==·，AE =454455，·AB AD AE DE ==, 设EC = x , AC = y()AB BC AC x y x y AE 22222222244551680=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+++==⎧⎨⎪⎩⎪ 解得x y ==8588,.∴AC 长为8.8。
解直角三角形习题 03（1）在Rt中，，下列式子不一定成立的是（）A． B．C． D．（2）如果为锐角，，则等于（）A． B． C． D．（3）在Rt中，，a、b、c分别为的对边，且，则等于（）A． B． C． D．（4）已知的顶点在原点，一条边在x轴正半轴上，另一条边经过点，则的值是（）A． B． C． D．（5）某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高 m，要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么水平挡板AC的宽度应为（）A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C． m D．以上均不正确二、填空题（1）已知，则锐角的度数为________．（2）在中，如果，那么．（3）在Rt中，，则．（4）如图，D是的边AB上的点，且，若，则BC边上的高．（5）一竿的高为1.5米，影长为1米；同一时刻，若塔影长是20米，则塔高是_____米．（6）一段公路路面的坡度，这段公路的路面长100米，则这段公路升高_____米．（7）升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学的视线的仰角恰好为30°，若两眼离地面1.5米，则旗杆高度约为________米．（精确到0.1米，）1．在Rt中，，求。
2．已知等腰三角形ABC中，，求它的腰长和底角。
3．如图，在Rt中，于，设，求的值。
4．如图，Rt中，是BC的中点，于，求DE的长．5．梯形中，，求梯形的面积。
四、应用题1．在一艘船上看海岸上高42米的灯塔顶部的仰角为33°，船离海岸多远？（精确到米）2．小明正在放一个线拉出长度为200米的风筝．风筝线与水平地面所成的角度为54°，他的风筝飞得有多高？（精确到米）3．一名森林管理员，受命测量他所管辖的一片平原林区的高大树木的高度．他用测角仪测得第一棵树的仰角约为69°，他从测量处步行72步才到树底．如果每步为0.5米，则该树有多高？（精确到米）4．一名航空运输调度员必须迅速计算一架飞来的喷气式飞机的高度．为此，他记录了这架飞机的仰角为6°．如果飞机信号表明它距控制塔的距离为44千米，请你帮这名调度员算出飞机的高度．（塔的高度可以忽略不计）5．从高出海平面55米的灯塔处收到一艘帆船的求救信号，且从灯塔顶部测得帆船的俯角为21°．则从帆船到灯塔的距离有多远？（精确到米）6．如图，有一位同学用一个有30°角的直角三角形估测他们学校的旗杆AB的高度，他将30°角的直角边水平放在1.3米高的支架CD上．三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D、B的距离为15米．（1）试求旗杆AB的高；（2）请你设计出一种更简洁的估测方法．7．如图，在离地面高度为5米的C处引拉线固定电线杆，拉线与地面成角，求拉线的长度．8．如图，设甲楼坐落在正南正北方向，楼高16米，现在在甲楼的后面建一座乙楼，如果两楼相距20米，已知冬天太阳最低时太阳光线与水平线夹角为32°．（1）求甲楼的影子落在乙楼上有多高；（2）如果甲楼的影子刚好不影响乙楼，那么两楼的距离应是多少？（）9．倾斜的木板可以帮助货物由地面运送至货车，或由货车运送至地面．如图，货车的高度是2米，如果木板与地面所成的角是30°，求木板的长度．10．如图，某公园的飞船能两边摇动，两端点均与铅垂线成30°的角．问这船在最高位置时较最低位置时高出多少？11．如图，A、B间是一片沼泽地，某人在距城堡200米的A点处望城的顶端，仰角是60°，然后步行绕至B点处（B、A、C在同一条直线上），再望向城堡，仰角为30°，求A、B两地的距离．12．一艘船沿着一个灯塔的方向前进，值班船长观察到这个灯塔顶部的仰角为40°．在第二次观察时，这个灯塔顶部的仰角为70°，两次观察之间的航行距离为1800米．在第二次观察时，船与灯塔之间的距离为多少？（精确到米）13．如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60米，已知在建筑物顶部测得铁塔底部的俯角为30°，顶部的仰角为45°，求铁塔高．14．一人自地平面上测得塔顶的仰角为60°，于原地登高50米后，又测得塔顶的仰角为30°，求塔高和此人在地面时到塔底的距离．参考答案一、（1）A；（2）C；（3）B；（4）C；（5）D．二、（1）30°；（2）；（3）；（4）；（5）30；（6）（7）15.3．三、1．2．底角为70°，腰长为14.623．4．因为，设，则，所以．因为D是BC中点，所以，所以．因为，所以，所以．即．5．四、1．65米2．162米3．94米4．4.5993千米5．143米6．（1）；（2）利用（1）的方法，使用等腰直角三角形测量．估算更简洁．7．8．（1）过C作于E，在中，，所以．所以（米）；（2）设两楼相距x 米，根据题意，得（米）．9．4米10． m11．在Rt中，．在Rt中，．所以（米）12．791米13．米．14．设此人在地面时到塔底的距离为x米，则有，解得，所以．所以塔高为75米，此人在地面时到塔高的距离为米．。