大学物理静电场练习题及答案(最新整理)

区域Ⅱ的电势分布为
III II I
R1 R2
U2
E dr
r
R2 r
E2dr
R2
E3dr
1 4 0
Q1 r
Q2 R2
区域Ⅲ的电势分布为
U3
E dr
r
r
E3dr
Q1 Q2 4 0 r
（2）若 Q1 Q2 ，则区域Ⅰ的电势为
区域Ⅱ的电势为
U1 r E dr
E
Q sin 右
Q
0 4 2 0 R 2
2 2 0 R 2
负号表示场强方向与 y 方向相反
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第七章 静电场
7-7 一个半径为 R 的带电圆盘，电荷面密度为 ，求：（1）圆盘轴线上距 盘心为 x 处的任一点 P 的电场强度；（2）当 R→∞时，P 点的电场强度为多少?（3） 当 x » R 时，P 点的电场强度又为多少?
R2 E dr ln R2
R1
20 R1
②
即
(U1
U 2 ) 2 0 /
ln
R2 R1
61
56
第七章 静电场
7-8 图 7-47 为两个分别带有电荷的同心球壳系统。设半径为 R1和 R2 的球壳
上分别带有电荷 Q1 和 Q2 ，求：（1）I、II 、III 三个区域中的场强；
（2）若 Q1 =－ Q2 ，各区域的电场强度又为多少？画
III
出此时的电场强度分布曲线 (即 E － r 关系曲线)。
p0 E dr
R
E dr
0
P
r
这个结果可以一般地表示为
当 ＞R时
U
P0 E dr
R
Edr
R
dr
P
r
r 2 0r
lnr
lnR
R ln
2 0
2 0
2 0 r
60
第七章 静电场
7-16 同轴电缆是由两个很长且彼
此绝缘的同轴金属圆柱体构如成图， 7－49
所示。设内圆柱体的电势为 U1半，径为外R1 ； 圆柱体的电势为U2 ，外圆柱体的内半径为
R2
R2 ，两圆柱体之间为空气。求内圆柱体
的λ
解：（1）设内圆柱体单位长度的电
R1 图 7-49 练习题 7-16 用图
量为 。在内外圆柱体之间做半径 r (
R1 r R2 )，长度为 l 的圆柱闭合高斯面，应用高斯定理可得距轴心为 r 处场强 为
E
①
2 0 r
于是，两圆柱间电压为
U U1 U2
P
O
A
x
b 图 7-46 练习题 7-5 用图
解：(1)将带电直线分割成无数个长度元 dx，dx 的坐标是 x。它所带的电荷 元 dq= dx，dq 在 P 点产生的电场强度的大小为
dE
1 4 0
dx
x b2
因为所有电荷元产生的场强方向都相同，所以场强的矢量叠加可用代数方法
相加。于是带电直线在 P 点产生的电场强度为
E
l1 0 4 0
dx
x b2
4 0
1 b
1 b
l
l
4 0bb
l
方向沿 x 轴的负方向。
(2) 同样取电荷微元 dq= dx=kxdx
dE
1 4 0
kxdx
x b2
同理
E
l 0
1 4 0
kxdx
x b2
k 4 0
ln
b b
l
l
l
b
方向沿 x 轴的负方向。
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第七章 静电场
tan F mg
图 7-43 练习题 7-2 图
51
第七章 静电场
因为 很小，可有 tan x 2l ，再考虑到
F q2 4 0 x 2
可解得 （2）由上式解出
1
x
q2l 2 0mg
3
1
q
2
0 mgx l
3
2
2.38 108 C
（3） 由于
1
dx dt
l 2 0mg
3
2 3
1
q3
dq dt
第七章 静电场
练习题
7-1 两个点电荷所带电荷之和为 Q，它们各带电荷为多少时，相互间的作
用力最大?
解: 这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电 q，则另一个点电荷带 电 Q q ， 两点电荷之间的库仑力为
F 1 Q qq
4 0 r 2
由极值条件 dF dq 0 ，得
q 1Q 2
又因为
d2F dq 2
7-12 水分子的电偶极矩为 6.1310-30C m ，如果这个电偶极矩是由一对点
电荷±e 引起的(e 为电子电量)，那么，它们的距离是多少?如果电偶极矩的取向 与强度为106 N C-1 的电场方向一致，要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向
需要多少能量(用 eV 表示)?
解：（1）由电偶极矩的定义
E3
=
Q1 Q2 40r 2
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第七章 静电场
源自文库
（2）当 Q1 =－ Q2 时，根据以上结果 易知
区域 I 的场强为
区域 II 的场强为
E1= 0
E Q1 4 0 r2 2
E2
Q1 4 0 r
2
0
R1
R2
r
E－ r 关系曲线
区域 III 的场强为
E3= 0 根据上述结果可画出如图所示 E r 关系曲线。
其电势分布。(提示：选取距带电圆柱面轴线为 R
的 P0 点为电势零点)
解：由于电荷分布具有轴对称性，所以应用高斯
定理很容易求出电场强度分布为
0
( ＜R )
E=
E 2 0r
（ ＞R）
电场强度方向垂直于带电圆柱面沿径向。选某一距
带电直线为 R 的 P0 点为电势零点， 如本题解图所示。当 ＜ R 时
U
-q l
x
P
Ol
l +q 图 7-45 练习题 7-4 用图
Ep
3 pl 4 0 x 4
其中，p=ql 称电偶极矩。
解：电四极子可看成两个电偶极子的组合。设左边和右边两个电偶极子在 P
点产生的场强分别为 E 左和 E 右，由教材例题 7-3 可知
E左
4 0
p
x
l 2
3
方向向下
E右
4 0
p
x
l 2
3
方向向上
其中，p=ql。 P 点处的合场强为
E E右
E右
p
40 x
l 3
2
4 0
p
x
l 3
2
p 4 0
3x
2l
2
l 2
3
x2
l 2
2
3
由于 x»l
上式可简化为
E
3 pl
40 x4
方向向上
证毕。
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第七章 静电场
7-5 如图 7-46 所示，长为 l 的细直线 OA 带电线密度为 ，求下面两种情 况下在线的延长线上距线的端点 O点为 b的 P点的电场强：度 (1) 为常量且， >0；(2) =kx，k 为大于零的常量，(0≤x≤1)。
R1 r
E1dr
R2 R1
E2dr
R2 E3dr
R2 Q1 dr
R1 40r 2
Q1 4 0
1 R1
1 R2
U2
E dr
r
R2 r
E2dr
Q1 4 0
1 r
1 R2
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第七章 静电场
r
r r
r
区域Ⅲ的电势为
U3 r E dr r E3dr 0
7-14 “无限长”均匀带电圆柱面，半径为 R，单位长度上带电量为+ 。试求
1 2 0r 2
<0
这表明两电荷平分电荷 Q 时，它们之间的相互作用力最大。
7-2 两个相同的小球，质量都是 m，带等值同
号的电荷 q各，用长为 l 的细线挂在同一点如，图 7-43
所示。设平衡时两线间夹角 2 很小。（1）试证平衡
时有下列的近似等式成立：
1
x
q 2
2l 0 mg
3
式中 x 为两球平衡时的距离。
1
E dS S
= 0
i
qi
图 7-47 练习题 7-8 用图
E2 4r 2
Q1
0
由此可解得区域 II 的电场强度为
E2
Q1 4 0 r
2
在区域 III，做半径 r﹥R2 的球形高斯面。由于该高斯面内的电荷为 Q1+Q2，
由高斯定理可得
1
S
E3 dS
= 0
qi
i
E3 4r 2
Q1 Q2 0
练习题 7-7 用图
解：（1）在半径为 R 的带电圆盘上取内半径为 r、外半径为 r+dr 的细圆环，
如图所示。利用教材中例题 7-5 的结果可知，该细圆环上的电荷在 P 点产生的场
强为
dE
x dS 40 x2 r 2
32
x 4 0
2 rdr x2 r2 3 2
于是，整个圆盘上的电荷在 P 点产生的场强为
2x 3q
dq dt
带入数据解得
1.40 103 m s-1
合力的大小为
F
Fx
2F1cos
2
1 4 0
x2
2e 2 d
2
2
x x 2 d 2
2
1
32e2 x
4 0 4x 2 d 2 3 2
令 dF dx 0 ，即有
8e2
0
4x2
1 d2
32
3 2
8x2 4x2 d 2
因圆环上电荷对 y 轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有
Ex L dEx 0
点 O 的合电场强度为
习题 7-6 用图
E Ey
L - dE y
- dEsin 1 dq sin
L
L 4 0 R 2
其中，负号表示场强方向与 y 方向相反。
将
dq
Q R
dl
，
dl
Rd
，带入上式，积分得
7-6 一个半径为 R 的半圆细环上均匀地分布电荷 Q，求环心处的电场强度。
解：分析在求环心处的电场强度时，不能
将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带
电 半 圆 弧 线 ．在 弧 线 上 取 线 元 dl，其 电 荷
dq
Q R
dl
，此电荷元可视为点电荷，它在
O
点的电场强度为
dE
1 4 0
dq R2
r0
pe ql 得
l
pe q
6.13 1030 1.6 1019
3.831011(m)
（2）若使电偶极矩倒转需要能量为 A，则
A q E l q E l 2eEl
2 1.6
1019 106 3.831011 1.6 1019
7.66 105 (eV)
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第七章 静电场
7-13 计算练习题 7-8 中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电势。 解：（1）根据题 7-8 所得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电场分布，
解：（1）在区域 I，做半径为 r﹤R1 的球形高斯
II
面。因为高斯面内无电荷，根据高斯定理
1
E dS S
=
0
qi内
i
Q2 Q1
I R1
R2
即
E14r 2 0
可得区域 I 中的电场强度为
E1= 0
在区域 II，以 R1 r R2 为半径做球形高斯面。因
为此高斯面内的电荷为 Q1，由高斯定理得
E1
0 ; E2
Q1 40r 2
; E3
1 4 0
Q1 Q2 r2
可得区域 I 的电势为
U1 r E dr
R1 r
E1dr
R2 R1
E2dr
R2 E3dr
R2 Q1 dr Q1 Q2 dr
R1 40r 2
R2 40r 2
由此解得
Q2 Q1
U1
1 4 0
Q1 R1
Q2 R2
E
R
0 2 0
xrdr x2 r2
32
2 0
1
x x2 R2
1
2
（1） 当 R 时，R » x。此时，上式可化为
E 2 0
即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。 （3）当 x » R 时，可将带电圆盘看作点电荷，此时 P 点电场强度为
E 4 R2 q 40 x2 40 x2
(2)如果 l= 1.20 m，m=10 g，x=5.0 cm，则每个
小球上的电荷量 q 是多少? (3)如果每个球以1.0 109 C s-1 的变化率失去电
荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率 dx/dt 是多少?
解：(1)带电小球受力分析如图解所示。小球
平衡时，有
Tsin F
Tcos mg
由此二式可得
5
2
0
由此解得 粒子受力最大的位置为
x d 22
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第七章 静电场
7-4 由相距较近的等量异号电荷 组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及 + q 土壤颗粒表面的双电层可视为许多电 偶极子的集合。因此，电偶极子是一个 l 十分重要的物理模型图。 7-45 所示的电 荷体系称电四极子，它由两个电偶极子 - q 组合而成其，中的 q 和 l 均为已知，对图 744 中的 P 点( OP 平行于正方形的一边)， 证明当 x » l 时