相似三角形应用举例
相似三角形的应用例析
相似三角形的应用例析相似三角形是平面几何中的重要的内容之一，其应用十分广泛．举例说明如下．1、测量底部不能到达的建筑物的高例1 如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1．7米，求路灯杆AB的高度(精确到0．1米)．2、测量池塘宽例2如图，有一池塘要测量两端AB的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长至D，使AC并延长至D，使15CD CA=，连接BC并延长至E，使15CE CB=，连接ED，如果量出25mDE=，那池塘宽多少A BCE D3、利用影长测量建筑物的高度例3高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，求该建筑物的高度．4、测量电线杆的高例4如图，一人拿着一支刻有厘米刻度的小尺，站在距电线杆约30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60cm，求电线杆的高．5、测量台阶例5 汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1. 75m．他量得客厅高 AB= 2. 8m，楼梯洞口宽AF=2m．阁楼阳台宽EF = 3m．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于 20c m，每个台阶宽要大于20c m，问汪老师应该将楼梯建儿个台阶为什么参考答案例1：【分析】根据题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD//AB，可证得：△ABE∽△CDE，∴BD DE DE AB CD += ①同理：BDGD HG HG AB FG ++= ② 又CD ＝FG ＝1．7m ，由①、②可得：BD GD HG HG BD DE DE ++=+ 即BDBD +=+10533，解之得：BD ＝7．5m ， 将BD ＝7．5代入①得：AB=5．95m≈6m．答：路灯杆AB 的高度约为6m ．【点评】 本题通过多次平行线，利用相似三角形解决．把实际问题转化为相似问题，建立数学模型，做到学以致用．例2：【分析】这个问题的实质是△ECD∽△BCA，利用两个三角形相似求池塘宽DE AB CD AC AB DE ===155，.解： CD CA CE CB ==1515，∴==CD CA CE CB 15 又∵∠ECD＝∠BCA ∴△ECD∽△BCA∴==DE AB CD AC 15∴==⨯=AB DE m 5525125()．【点评】 通过测量池塘宽，能够综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．例3：【分析】 画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB //＝C B BC //， 于是得，BC =B A AB//×B /C /=16（m ）． 即该建筑物的高度是16m ．例4：【分析】 本题所叙述的内容可以画出如图那样的几何图形，即DF=60cm=，GF=12cm=，CE=30m ，求BC ．由于△ADF∽△AEC，AC AF EC DF =，又△AGF∽△ABC，∴ BC GF AC AF =，∴ BC GF EC DF =，从而可以求出BC 的长．解： ∵AE⊥EC，DF∥EC，∴∠ADF=∠AEC，∠DAF=∠EAC，∴△ADF∽△AEC．∴AC AF EC DF =．又GF⊥EC，BC⊥EC，∴GF∥BC，∠AFG=∠ACB，∠AGF=∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴BC GF AC AF =，∴BC GF EC DF =．又∵ DF=60cm=，GF=12cm=，EC=30m ，∴ BC=6m．即电线杆的高为6m ．【点评】 “测量电线杆的高”问题本身就是利用数学问题去处理实际问题，还有许多实际问题都可以用数学问题来解决，运用相似三角形相似的相关知识解决在生活中的一些实际问题；必须要正确地理解知识的内涵，比如手臂向前伸直与地面平行，刻度平行于电线杆，由此构造“相似三角形对应成比例的线段”．在应用过程中，要时时围绕三角形相似这一宗旨．例5：【分析】 （1）根据题意有AF∥BC，∴∠ACB=∠GAF，又∠ABC=∠AFG=90º， ∴△ABC∽△GFA．∴FGAB AF BC =得BC=(m)，CD=2+=(m)． (2)设楼梯应建n 个台阶，则＞，＜，解得14＜n ＜16，∴楼梯应建15个台阶．。
27.2.3 相似三角形应用举例 课件 2024-2025学年人教版(2012)九年级下册数学
感悟新知
特别解读
知4－讲
利用相似三角形测量高度、宽度等的一般步骤：
1. 利用平行线、标杆等构造相似三角形；
2. 测量与表示未知量的线段相对应的边长以及另外任意一
组对应边的长度；
3. 画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未
知量在内的四个量的比例式，解出未知量；
4. 检验并得出答案.
感悟新知
综合应用创新
又∵ CD＝2 m，FG＝1.2 m，GH＝2 m， ∴C2M＝12.2，解得CM＝130 m. ∵ BC＝4 m，∴ BM＝BC＋CM＝4＋130＝232(m).
∴A2B2 ＝12.2，解得AB＝4.4 m. 故这棵树AB的高度是4.4 m. 3
综合应用创新
另解 如图27.2－49，过点D作DM⊥AB于点M，则四边形
感悟新知
知1－讲
特别提醒 运用此测量方法时，要符合下列两个条件： 1. 被测物体的底部能够到达； 2. 由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时
刻测量参照物与被测物体的影长.
感悟新知
示例
知1－讲
感悟新知
知1－练
例 1 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 如图27.2－41，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根 已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔 的影长AB，即可近似地算出金字塔的高度OB. 如果 O′B′＝1 m，A′B′＝2 m，AB＝274 m， 求金字塔的高度OB.
∴C2D＝132. ∴ CD＝8 m. 答：该古城墙CD的高度为8 m.
感悟新知
知3－练
3－1.[中考·南充] 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆 高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后 退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚 好在镜子中看到旗杆的顶端. 已知小菲的眼睛离地面的 高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m， 镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗 杆高度为( B ) A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m
相似三角形的应用举例
相似三角形的应用举例相似三角形是指在形状相似的两个三角形中，对应的角度相等，而对应的边长成比例关系。
这一性质使得相似三角形在实际生活中有着广泛的应用。
本文将举例介绍相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计等领域的具体应用。
一、地理测量中的相似三角形应用地理测量中常常使用相似三角形原理来测量高处物体的高度以及难以直接测量的距离。
以测量一座建筑物的高度为例，通过在平面上选择两个不同位置，测量出与地平线夹角相同的两个点，再利用三角形相似原理计算出建筑物的高度。
这样的测量方法可以避免测量过程中的误差和测量的困难，提高测量的准确性和效率。
二、影视制作中的相似三角形应用在影视制作中，相似三角形的应用尤为重要。
例如，在电影中要制作一个逼真的远景特写，如果直接拍摄远处的景象，可能会因为远离拍摄现场而导致细节无法清晰展现。
为了解决这个问题，可以利用相似三角形的原理，在近距离拍摄一个类似的模型或者画面，然后通过电脑生成与实景相似的远景效果。
这种利用相似三角形的方法可以在节约成本的同时，制作出逼真的远景特写效果。
三、建筑设计中的相似三角形应用相似三角形在建筑设计中有着广泛的应用，特别是在设计高层建筑时更是如此。
以设计一座摩天大楼为例，建筑师需要保证高楼的结构坚固稳定，同时也要满足美学上的要求。
在设计过程中，利用相似三角形的原理可以根据大楼的比例尺度，在小模型上进行实际尺寸的计算和预测。
这种预测方法不仅可以方便地展示设计方案，还可以在施工前发现和修正设计中的不足之处，提高整体设计质量。
通过上述几个具体例子，我们可以看到相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计中的重要应用。
相似三角形原理的运用，使得我们能够更加准确地进行测量、制作出逼真的特效和设计出稳固美观的建筑物。
这一应用不仅提高了工作效率，还为我们提供了更多实际问题的解决方案。
因此，相似三角形的学习与应用在我们的生活中具有重要的意义。
总结生活中相似三角形的应用
总结生活中相似三角形的应用在生活中，相似三角形是一种非常常见的几何形状。
它们在各个领域的应用非常广泛，包括建筑、工程、美术等等。
本文将总结生活中相似三角形的应用，并探讨它们在不同领域中的实际应用案例。
1. 建筑领域中的相似三角形应用在建筑设计中，相似三角形被广泛运用于建筑物的设计与构造。
以摩天大楼为例，工程师会使用相似三角形原理，根据比例关系来确定大楼的高度、宽度和两侧的倾斜度。
这不仅可以确保大楼的外观美观，还可以为建筑提供更好的结构稳定性。
此外，在房屋设计中，相似三角形也被用来计算尺寸比例。
比如，在设计家具时，设计师会考虑到房屋的整体比例，并运用相似三角形的原理来确定家具的大小和形状，以保证整体空间的和谐统一。
2. 工程领域中的相似三角形应用在工程领域，相似三角形被广泛应用于测量和勘探工作。
例如，在制作地图时，相似三角形原理可以用于测量地表的高度和坡度。
勘测人员可以利用利用光学仪器，通过测得的角度和距离，推导出不同地点的高度，并绘制出精确的地图。
此外，在电力工程中，相似三角形也被用来计算电线杆之间的高度和距离。
根据相似三角形的比例关系，工程师可以通过测量电线杆顶部到地面的高度和距离，推导出其他电线杆之间的高度和距离，以确保电线的牢固性和安全性。
3. 美术领域中的相似三角形应用相似三角形在美术领域中也有重要的应用。
艺术家们利用相似三角形的比例关系来捕捉和表达物体的形状和透视。
例如，在人物素描中，艺术家可以通过观察和绘制物体的相似三角形来准确地表达人物的体型和比例。
此外，在景观绘画中，艺术家也会利用相似三角形的原理来描绘山脉、树木和其他自然景观的远近和大小。
通过运用相似三角形的比例关系，艺术家可以在绘画中准确地再现现实中的景观。
总结：相似三角形作为一种常见的几何形状，在生活中有着广泛的应用。
在建筑中，相似三角形帮助保证建筑物的结构稳定和外观美观；在工程中，相似三角形用于测量和勘测工作，确保工程的精确性和安全性；在美术中，相似三角形被用来准确表达物体形状和透视。
相似三角形的运用
相似三角形的运用
相似三角形是指两个三角形对应角相等，对应边成比例的三角形。
相似三角形的运用在几何学中有广泛的应用，以下是其中的几个例子：
1. 三角形相似的性质：如果两个三角形相似，则它们的对应边成比例。
即如果三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
2. 相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。
这个性质可以用来证明三角形的相似性，也可以用来求解三角形中的各种量，如角度、边长、面积等。
3. 相似三角形的应用：相似三角形的应用非常广泛。
例如，在建筑设计中，相似三角形的性质可以用来确定建筑物的比例关系；在地图制图中，相似三角形的性质可以用来确定地图上不同地区的比例关系；在物理学中，相似三角形的性质可以用来解决力学问题，如斜面滑动、抛体运动等。
总之，相似三角形是几何学中非常重要的概念，它不仅可以用来证明三角形的相似性，还可以用来解决各种实际问题，是几何学中的重要工具之一。
相似三角形在现实生活中的应用场景
相似三角形在现实生活中的应用场景
相似三角形的判定在现实生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1.建筑和工程领域：在建筑设计和工程计算中，相似三角形的判定被用于解
决各种实际问题。
例如，工程师会利用相似三角形原理来计算建筑物的缩放比例，以确定建筑物的外观和尺寸是否符合设计要求。
此外，在桥梁、道路和水利工程的设计和建设中，工程师也需要用到相似三角形的概念来测量斜坡的斜率和角度等参数。
2.地图和导航领域：在地图和导航中，利用相似三角形的原理可以精确地测
量距离和角度。
例如，在地图上测量两点之间的距离时，可以利用相似三角形来计算实际距离。
此外，在导航中，飞行员和船员也需要用到相似三角形的概念来测量飞行或航行的角度和距离，以确保安全飞行或航行。
3.科学实验和观测：在科学实验和观测中，相似三角形的判定也被广泛用于
各种测量和计算。
例如，物理实验中常常需要测量物体的速度、加速度等物理量，这时可以利用相似三角形来测量或计算所需参数。
此外，在天文观测中，天文学家也会用到相似三角形的原理来测量天体的位置和距离。
4.日常生活中的应用：在日常生活中，我们也会遇到一些与相似三角形相关
的应用场景。
例如，摄影时需要调整相机的角度和高度，这时可以利用相似三角形的原理来计算所需的参数。
另外，在测量物体的尺寸或角度时，我们也可以利用相似三角形的概念来进行粗略的估算。
总之，相似三角形的判定在现实生活中有广泛的应用，涉及到建筑、工程、科学实验、导航、摄影等领域。
通过掌握相似三角形的原理和应用技巧，我们可以更好地解决各种实际问题，提高生活和工作的效率和质量。
相似三角形应用举例
相似三角形应用举例在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
通过利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，下面就让我们一起来看看一些具体的例子。
一、测量物体的高度假设我们想要测量一棵大树的高度，但又无法直接测量。
这时候，相似三角形就派上用场了。
我们可以在同一时刻，在大树旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。
因为在同一时刻，太阳光线的角度是相同的，所以杆子和它的影子以及大树和它的影子分别构成了两个相似三角形。
假设杆子的高度为h1，杆子影子的长度为 s1，大树影子的长度为 s2，大树的高度为 h2。
根据相似三角形的性质，我们可以得到：h1 ／ s1 ＝ h2 ／ s2通过已知的 h1、s1 和 s2，就可以计算出大树的高度 h2。
例如，杆子高度为2 米，影子长度为15 米，大树影子长度为9 米。
那么：2 ／ 15 ＝ h2 ／ 915h2 ＝ 2 × 915h2 ＝ 18h2 ＝ 12 米所以，这棵大树的高度约为 12 米。
二、计算河的宽度当我们面对一条河流，想要知道它的宽度，但又无法直接跨越测量时，相似三角形同样能帮助我们解决问题。
我们可以在河的一侧选择一个点A，然后在河的对岸选择一个点B，使得 A、B 两点与河岸基本在同一直线上。
接着，在河的这一侧，沿着河岸选定一个点 C，使得 AC 垂直于河岸，并测量出 AC 的长度。
然后，我们再沿着 AC 的方向向前走一段距离，到达点 D，使得点 D、A、B 三点在同一直线上，并且测量出 CD 的长度。
由于三角形 ABC 和三角形 ADC 有一个共同的角∠A，并且∠ACB＝∠ACD ＝ 90°，所以这两个三角形相似。
假设河宽为AB ＝x，AC ＝a，CD ＝b。
根据相似三角形的性质，我们有：AC ／ AB ＝ CD ／ AC即 a ／ x ＝ b ／ a通过已知的 a 和 b，就可以计算出河的宽度 x。
相似三角形应用举例
相似三角形应用举例在我们的日常生活中，相似三角形的应用那可真是无处不在。
就说我前段时间装修房子的事儿吧，这其中就藏着相似三角形的大用处呢！当时我想要在客厅的墙上挂一幅画，但是我又不知道挂多高才合适。
这时候，我突然想到了相似三角形。
我站在离墙一定距离的地方，先量出自己的身高，还有我站立时眼睛到地面的距离，然后我再测量出我站的位置到墙的距离，以及我看墙顶和画顶的仰角。
通过这些数据，利用相似三角形的原理，我就算出了画应该挂多高，才能让我在客厅里看起来最舒服。
相似三角形在建筑领域的应用那可太广泛啦！比如说，建筑师在设计高楼大厦的时候，他们需要考虑到大楼的结构稳定性和外观美观性。
这时候，相似三角形就派上用场了。
通过构建相似三角形的模型，建筑师可以精确地计算出大楼各个部分的比例和尺寸。
想象一下，如果没有相似三角形的知识，那大楼可能会变得歪歪扭扭，甚至有倒塌的危险！在测绘工作中，相似三角形也是不可或缺的好帮手。
测绘人员在测量山峰的高度、河流的宽度时，往往没办法直接去测量。
但他们可以通过在山脚下或者河岸边选择合适的地点，测量出一些角度和距离，然后利用相似三角形的原理，算出山峰的高度和河流的宽度。
我曾经见过测绘人员工作，他们专注的神情，手中精密的仪器，还有那密密麻麻记录的数据，都是为了能准确地运用相似三角形，得出精确的测量结果。
再说说摄影吧，大家都喜欢拍照，想要拍出好看的照片，也得懂点相似三角形的知识。
比如，当我们想要拍摄一个建筑物，为了让它在照片中看起来更加雄伟壮观，我们可以调整拍摄的角度和距离，利用相似三角形的原理，让建筑物在照片中的比例更加完美。
有时候，为了拍到一张满意的照片，我们可能要蹲在地上，或者爬到高处，不断地尝试，就为了找到那个最合适的拍摄点，这可真是不容易啊！还有啊，在服装设计中，相似三角形也能发挥作用。
设计师在设计服装的版型时，需要考虑到不同身材的比例。
通过运用相似三角形的原理，他们可以调整服装的尺寸和形状，让衣服穿在不同的人身上都能合身得体。
27.2.3相似三角形的应用举例
C'
接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与
过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝
90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
解：∵ ∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
∴ △PQR∽△PST．
P
PQ QR PS ST
PQ QR , PQ 60 PQ QS ST PQ 45 90
利用三角形的相似，可以解决一 些不能直接测量的物体的长度的 问题，下面请看几个例子．
例1 据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似 三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，集中大院光线 构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m， 求金字塔的高度BO．
解：太阳光是平行光线，由此∠BAO＝∠EDF，又
∠AOB＝∠DFE＝90°
∴ △ABO∽△DEF．
BO OA EF FD
B E
BO OA EF 201 2 134
O
FD
3
A(F) D
因此金字塔的高为134m．
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目
标点P，在近岸点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，
分析：如图，说观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，它交 AB、CD于点H、K．视线FA、FG的夹角∠CFK是观察点C时的仰角．由于树 的遮挡，区域I和II都在观察者看不到的区域（盲区）之内．
仰角 视线
C
A
H
K
水平 视线
解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置点F与两棵
树顶端点A、C恰在一条直线上．
相似三角形的应用及性质
相似三角形的应用及性质【知识点讲解】一、利用相似三角形测高1、测量原理：相似三角形对应边成比例2、测量旗杆（或路灯杆）的高度的三种方法：（1）利用阳光下的影子；（2）利用标杆；（3）利用镜子的反射。
二、相似三角形的性质1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
三、图形的位似1、如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形【例题讲解】例1、为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D。
此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB。
1、小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA 为15米（如上图），然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC 为3米，则楼高为（ ）A 、10米B 、12米C 、15米D 、22.5米2、小明再打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度 h 。
3、小明同学用自制的三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一条直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm ，EF=20cm ，测得边DF 离地面的高度AC=1.5m ，CD=8m ，则树高AB= m 。
例2、小亮走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为1.5米，左边的影子长为3米，自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，求路灯的高。
图2 图31、小亮在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到P点时，发现身后的影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他再向前走12m到达Q点时，发现身前的影子刚好接触路灯B的底部，已知小亮身高为1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB=x m。
相似三角形应用举例
【思路点拨】 由两角对应相等可得△BAE∽△CDE,利用对应边成比例可得两岸间的大 致距离.
1.如图所示是小孔成像原理的示意图,根据图中所标的尺寸,蜡烛AB在暗盒中所成像CD
的高度是 1 cm
.
2.如图,测得BD=90 m,CB=120 m,CE=20 m,则AB=
m.
60
3.如图所示,一条河的两岸有一段是平行的,两岸岸边各有一排树,每排树相邻两棵的间 隔都是10 m,在这岸离开岸边16 m处看对岸,看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵 树的树干遮住,这岸的两棵树之间有1棵树,但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树,求这 段河的河宽是多少?
4.如图所示,测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求河宽.
类型二:影长求高度 例2 如图,在宽为24米的马路两侧有两盏电灯A,C;当小明站在N处时,由灯C照射小明影 子长正好为NB,由灯A照射小明的影子长为NE,如果NB=6米,NE=2米,那么马路两侧的两盏 路灯的高度是否相同?
【方法技巧】 利用影长测量物体的高度.①测量原理:测量不能到达顶部的物体的高度, 通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影 长的比相等”的原理解决.②测量方法:在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来 ,再计算出被测量物的长度.
数学相似三角形应用举例
数学相似三角形应用举例相似三角形是指具有相似形状但不一定相等大小的三角形。
数学中，在相似三角形之间存在着各种有意义的关系，这些关系在实际中有广泛的应用。
下面我将为大家举例说明相似三角形的应用。
首先，相似三角形在地图比例尺的确定中起到了重要的作用。
地图上的距离是实际距离的缩放版本，而这个缩放比例就是通过相似三角形来确定的。
我们可以通过测量地图上两个地点的距离，然后测量这两个地点的实际距离，通过相似三角形的比例关系，就可以计算出地图的比例尺，从而准确地测量其他地点的距离。
其次，相似三角形在工程测量中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们常常需要测量高楼大厦的高度。
然而，直接测量高楼大厦的高度是非常困难的，而且也不安全。
这时，我们可以利用相似三角形的原理。
我们可以在地面上选择一个安全的位置，测量出到高楼大厦的距离和自己的高度，然后再测量出到高楼大厦顶部的夹角。
通过相似三角形的比例关系，可以计算出高楼大厦的高度。
此外，相似三角形还可以用于计算塔尖的高度。
在船舶导航中，我们需要确定灯塔的高度，以便进行航行计划。
然而，由于灯塔通常会建在陡峭的悬崖上，直接测量灯塔的高度非常困难。
这时，我们可以借助相似三角形的原理。
我们可以在海面上选择一个远离灯塔的位置，测量出到灯塔的距离和自己的水平高度，然后再测量出到灯塔塔尖的仰角。
通过相似三角形的比例关系，可以计算出灯塔的高度。
最后，相似三角形还在数学教育中有着重要的应用。
通过相似三角形，我们可以对学生进行数学思维的培养和训练。
让学生通过实际问题的解决，去发现数学中的规律和关系，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
总之，相似三角形在地图比例尺确定、工程测量、船舶导航和数学教育中都有广泛的应用。
通过相似三角形的原理，我们可以准确地测量距离、确定高度，并培养学生的数学思维能力。
相似三角形不仅是数学的重要概念，也是实际问题解决的有力工具。
通过深入理解相似三角形的应用，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，为我们的生活和工作带来便利。
(实例版)相似三角形的实际案例分析
(实例版)相似三角形的实际案例分析
概述
本文将分析一个实际案例，以展示相似三角形在实际生活中的
应用。
案例背景
假设有一座高达800米的山峰，其山顶到山脚的距离为5千米。
一名山地运动员希望从山顶直线下降到山脚，但他希望选择一条符
合相似三角形原理的路径，以确保安全且最短的下降距离。
原理分析
假设该运动员选择的下降路径与山脚到山顶的直线的夹角为θ度，我们需要找到一个比例因子k，使得相似三角形的边长比例和
角度相同。
根据相似三角形的原理，我们可以得到以下关系式：k = 800 / 5 = 160
因此，该运动员选择下降路径时，每下降1千米，他需要向下
移动160米。
案例分析
基于上述原理，该运动员可选择以下路径：从山顶向下移动1
千米，然后向下移动160米，再向下移动1千米，再向下移动160米，如此重复，直到到达山脚。
通过使用相似三角形的原理，该运动员可以在保持安全的同时，以最短的距离下降到山脚。
如果没有使用相似三角形原理，他可能
需要根据山坡的陡度选择更长的路径。
结论
该案例展示了相似三角形在实际生活中的应用。
通过理解并应
用相似三角形的原理，我们可以在问题求解中找到最优解决方案。
在处理与比例和角度相关的问题时，相似三角形是一个强大且实用
的工具。
相似三角形应用举例课件
优化建筑布局
在建筑布局设计中，可以利用相 似三角形原理来优化空间布局， 提高建筑的使用效率和舒适度。
航海中的应用
确定航向
导航定位
在航海过程中，可以利用相似三角形 原理来计算船只与目标之间的角度， 从而确定正确的航向。
在导航定位过程中，可以利用相似三 角形原理来计算船只的位置和航速， 确保航行安全和准确到达目的地。
相似三角形应用举例课件
目录
CONTENTS
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形在生活中的应用 • 相似三角形在数学问题中的应用 • 相似三角形在实际问题中的解决策略 • 相似三角形的综合应用举例
01 相似三角形的基本概念
CHAPTER
相似三角形的定义
01
02
03
相似三角形
如果两个三角形对应的角 相等，则这两个三角形相 似。
如果两个三角形有一个对 应的角相等和一组对应的 边成比例，则这两个三角 形相似。
02 相似三角形在生活中的应用
CHAPTER
测量中的应用
测量建筑物高度
利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的影长或其他已知高度的 物体，可以计算出建筑物的高度。
测量河流宽度
在河流两岸分别设置标杆，利用相 似三角形原理，可以计算出河流的 宽度。
示例
证明两条线段相等，可以通过构造两个三角形，使它们相似，然后利用对应边成比例的性 质来证明线段相等。
在代数问题中的应用
01
总结词
利用相似三角形的性质，解决代数方程或不等式问题。
02 03
详细描述
在代数问题中，有时需要通过解方程或不等式来求解未知数。通过构造 相似三角形，可以利用相似三角形的性质，如对应边成比例、对应角相 等，来转化方程或不等式，从而简化求解过程。
相似三角形在实际生活中的应用
相似三角形在实际生活中的应用相似三角形在生活中可真是个神奇的存在！你可能会想，三角形跟我们的日常生活有什么关系呢？别小看这个简单的图形，它可是藏着不少宝贝呢。
想象一下，在你逛街的时候，看见了一个超酷的建筑，像个巨大的三角形，这时候，你有没有想过，那些建筑师是怎么设计出这么完美的形状的？没错，相似三角形就是他们的秘密武器之一。
说到相似三角形，大家应该都知道，简单来说就是形状相同但大小不同的三角形。
这玩意儿可不是随便说说的，咱们可以在生活中找到它的身影。
比如，你在爬山的时候，看到远处的山，像极了你家旁边的小山丘，但那座远山比你家那座高多了。
这时候你就可以利用相似三角形来估算一下那座山的高度。
是不是觉得很神奇？只要在你身边找一个合适的地方量一下距离，算出角度，然后就能得出那座山的高度，简直就像魔法一样。
比如说，你要给家里挂画，结果发现画和墙的比例不太对，感觉有点小了。
你可以利用相似三角形的方法，把画的尺寸和墙的尺寸对比一下，找出一个合适的比例。
这样一来，挂上去的时候就显得特别协调，简直是美的享受。
要是你画的角度不对，挂上去可能就会让人觉得怪怪的，这样就失去了那种艺术的氛围了。
再来谈谈旅游的时候，很多人喜欢拍风景照，尤其是那些高山、瀑布之类的地方。
你可能会发现，远处的瀑布看起来小得可怜，像是画中的一抹白色。
这时候，你就可以用相似三角形的原理，来估算一下这个瀑布的实际高度。
通过对比你和瀑布的角度和位置，算一算，心里就有数了。
还可以和朋友们一起分享这些小技巧，大家都觉得你很厉害，心里那叫一个美啊！再说说学校的科学实验，老师经常让同学们用相似三角形来测量一些看似不可能测量的东西。
比如，学校的旗杆高得很，直接量不着。
可是，利用相似三角形，你可以在离旗杆一定距离的地方，用一个小三角形的测量器，算出旗杆的高度。
老师说得那么简单，结果你一做，发现其实挺有趣的，仿佛变成了小侦探，解开了一个个谜团，心里那个得意，真是忍不住想笑。
常见相似三角形应用题型
常见相似三角形的应用例1：如图，有一路灯杆AB （底部B 不能直接到达），在灯光下，小华在点D 处测得自己的影长DF=3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己的影长FG=4m ，如果小华的身高为1.5m ，求路灯杆AB 的高度。
例2：如图，小华在晚上由路灯A 走向路灯B ，当他走到点P 时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A 的底部，当他向前再步行12m 到达点Q 时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B 的底部，已知小华的身高是1.60m ，两个路灯的高度都是9.6m ，设AP =x(m)。
(1)求两路灯之间的距离；(2)当小华走到路灯B 时，他在路灯下的影子是多少？例3：如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m 的竹竿的影长是0.8m ，但当她PQ BA马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m ，又测得地面的影长为2.6m ，请你帮她算一下，树高是多少m?例4：2．如图，AB 表示一个窗户的高，AM 和BN 表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m ，已知某一时刻BC 在地面的影长CN=1.5m ，AC 在地面的影长CM=4.5m ，求窗户的高度？例5：6.某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量.方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM 上的对应位置为点C ，镜子不动，小亮看着镜面上的标ABCNM记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米.如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度.自主练习1、3.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影长CD 的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB为多少米？2、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD ，CD⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是多少？3、.晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高，于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长，已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ，请你根据以上信息，求出小军身高BE的长（结果精确到0.01米）证明题1、构造相似辅助线——双垂直模型例1、在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．例2、在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．构造相似辅助线——A、X字型例1、如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。
生活中的相似三角形例子
生活中的相似三角形例子
以下是一些生活中的相似三角形的例子：
1. 匹萨饼切片：当我们将一块匹萨饼切成三角形的块时，这些三角形是相似的，因为它们具有相同的形状但是大小不同。
2. 大卫雕像：大卫雕像是米开朗基罗创作的一座雕像，它展示了男性的裸体。
大卫雕像中，人体各部分的比例关系是相似三角形。
例如，他的头比例相对较小，而腿比例较长。
3. 林荫大道：在一条林荫大道上，我们可以看到树木以相似的间距和高度种植。
这些树木的排列和高度比例形成了相似的三角形。
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27.2.3 相似三角形应用举例（1课时）实验中学刘柏槐一、内容和内容解析（一）内容运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度或高度．（二）内容解析解决不能直接测量某物其长度或高度的问题，通常是利用可测物的高度或宽度来表示不可测物的高度与长度．我们曾利用全等三角形的知识解决过有关问题，但要测一些大型建筑物的高度或宽度，用全等三角形的知识就不大方便．相似三角形的对应边成比例，反映的是线段间的一种等量关系，利用相似三角形的性质可以有效地解决不便直接测某物其长度或高度的问题．要利用相似三角形的知识解决这类问题，就要设法构建一对相似三角形，且使构建的相似三角形模型中有表示测物长度或高度的线段及部分可测大小的线段．基于上述分析，可以确定本节课的教学重点是：把实际问题转化成相似三角形模型的构建与应用．二、目标和目标解析（一）教学目标1．体会数学建模思想．2．构建相似三角形模型解决简单实际问题．（二）目标解析1．“寻模——建模——用模”是应用数学知识解决实际问题的常用思路，在解决数学问题时，首先在题设中寻求适合解决问题的模型，如果没有现成的模型可用，则要根据实际情况构建相应模型，然后使用该模型的相关性质解决问题．2．会根据实际情况用建模思想构建相应的相似三角形模型，能运用相似三角形的知识解决有关线段度量的简单问题．三、教学问题诊断分析学生有过用所学知识解决不能直接测量某物其长度或高度的问题的体验，但用全等三角形的知识测一些大型建筑物的高度或宽度（如测金字塔的高度），有些不切实际．解决这类问题需构建两个相似三角形，并要测量出其中相应某些边的长度值，最后利用相似三角形的性质求出对应的待测物的边长，其间就是借助成比例的线段中的已知线段求出未知线段；相似三角形的构建及获取相应的某些线段的长度值，学生往往难以做到．本节课的教学难点是：相似三角形模型的构建与相关线段长度值的获取．四、教学支持条件分析flash软件，几何画板．五、教学过程设计（一）复旧引新师生活动：教师利用多媒体课件出示：（1）怎样判断两个三角形相似？（2）相似三角形的性质有哪些？（3）怎样作一个三角形与已知三角形相似？设计意图：复习相似三角形的判定与性质一方面巩固了旧知识，另一方面便于学生找出实际问题中的相似三角形模型，有利于学生使用性质解决相关问题．特别是问题（3），它是构建一个三角形与已知三角形相似模型的依据．师生活动：教师利用多媒体课件展示金字塔图片并播放下列文字录音：你知道埃及金字塔的故事吗?神秘的金字塔引来无数游客观光旅游．胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？设计意图：通过展示图片与叙说历史故事，让学生感悟人类的智慧与勤劳，引发学生对知识的向往和对科学家的崇拜，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲望，有利于引入新课，利用课件辅助教学可以提高课堂效率．（二）例题解析 课件展示：同学们有过测量某物高度的体验吗？你有什么方法测量金字塔的高度？ 师生活动：大家曾利用全等三角形的知识解决过不知某物其高或长的问题：先作一个三角形使待测物的高或长是该三角形的一边，再构建一个三角形（这个三角形的三边都可知）与含有待测边的三角形全等，然后利用全等三角形的对应边相等求出待测物的长或高．能否用全等三角形知识测金字塔的高呢？设计意图：解题就是利用解过的题解决新问题．如果以往的方法不能解决眼下的问题，则要进行重新联想与创新；此时若用全等知识解决，势必要构建一对巨大的全等三角形，这不切实际．问题促使学生自主改变思路，调整思考方向，有利于提高学生的思维能力！学生思考，教师关注学生的方案，随后展示教材上的测高方法：例４：据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图27.2—15木杆EF 长2m ，它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201 m ，求金字塔的高度BO .EB怎样测出OA的长？解：太阳光是平行光线，因此∠BAO ＝∠EDF ．又∠BOA ＝∠EFD ＝90°， ∴ △ABO ∽△DEF ． ∴BO OA EF FD＝， ∴ BO ＝FD EF OA ⋅＝20123⨯＝134（m ） 因此金字塔的高度为134 m设计意图：通过对例题的分析，让学生知道在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造实物所在三角形及与实物所在的三角形相似的三角形，而且在构建的三角形中要能测量出相关线段的长，再运用相似三角形的性质列出比例式求解；此时相似三角形的构建是利用了在同一时刻、同一地点的太阳光线下物高与其影长的比是一个定值这个事实，解决好实际问题需要的不仅仅是书本上的知识，重要的是生活中的隐形知识；解决问题的关键是金字塔的高线BO 所在的三角形中的OA 的长怎样测量，让学生思索，再加以引导．使学生积极参与多解的探索，提高分析问题的能力，体验成功的愉悦．课件演示：如右图，为了估算河的宽度，我们可以怎样做？ 让学生思考，交流各自的想法后出示教材上的例题：例5 如图27.2—16 ，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R ．已测得QS ＝45 m ，ST ＝90 m ，QR ＝60 m ，请根据这些数据，计算河宽PQ ． 分析：按照例5中的方案请思考：（1）直线QR 与ST 有什么位置关系，为什么？ （2）图中是否有相似三角形？哪两个三角形相似？ （3）怎样求PQ ？师生共同分析后，由学生独立完成，其间教师要关注学生能否准确快速证出两三角形相似；由相似得到的比例式能否解决问题；学生书写是否规范.解：∵∠PQR ＝∠PST =90°，∠P ＝∠P ，∴△PQR ∽△PST ．∴STQR PS PQ =， 图27.2-16TaRbSQ P即ST QRQS PQ PQ =+，906045＝+PQ PQ ， PQ ×90＝(PQ +45)×60． 解得 PQ ＝90 (m) ． 因此，河宽大约为90m ．设计意图：出示一段河流，提出测河宽的问题，不急于解答问题．该题的解决方案不是唯一的，让学生根据自己的经验设计方案再进行交流，便于培养学生的发散思维与自主学习的能力，也给部分学困生提供了展示自己的机会，有利于树立这些学困生的自信心．通过这个例题的分析与讲解，进一步使学生知道在实际测量物体的高度与宽度时，构建相似三角形模型是核心，获取其中的可知线段是关键．课件演示例6 如图27.2-17，左、右并排的两棵大树的高分别是AB =8m 和CD =12m ，两树底部的距离BD =5m ，一个人估计自己的眼睛距地面1.6m ．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点C 了？分析：利用课件制作的动画演示：如右下图所示，改变观察点C 与遮挡物AB 的距离可以发现，AB 后的盲区宽窄在改变；C 离AB 越近，盲区的区域越宽，不可见部分的面积越大．让学生手拿一本书，挡住自己的部分视线，改变书与眼睛的距离，也可以得到同样的结论．有了这样的体验，在图27.2-17（1）中，设观察者眼睛的位置为点F ，画出观察者的水平视线FG ，分别交AB ,CD于点H ，K ．视线F A 与FG 的夹角∠AFH 是观察点A 时的仰角．类似地，∠CFK 是观察点C 时的仰角．由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到． 有了上面的体验，在图27.2-17（2）中，假设观察者从左向右走到点E 时，她的眼睛的位置点E 与两棵树的顶端A ，C 恰在一条直线上，若观察者继续往前走，她就不能看到右边较高的树的顶点C 了．因此，本题就是求出此时EH 的值．得如下解法：解：如图27.2-17（2），假设观察者从左向右走到点E 时，她的眼睛的位置点E 与两棵树的顶端A ，C 恰在一条直线上．∵AB ⊥l ，CD ⊥l ，ABC DEHG图27.2-17CAⅠH FK DB G l(1)ⅡB AG H DCElⅡⅠ(2)K∴AB ∥CD ．∴△AEH ∽△CEK ．∴CK AHEK EH =， 即4.104.66.1126.185=--=+EH EH ． 解得EH ＝8(m ) ．由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8m 时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C ．设计意图：此题题意大部分学生理解起来有一定难度，通过动画演示及学生亲身实践得到感性认识，便于学生及时找到解题的突破口，使学生知道解决此题最终还是建立相似三角形模型，求出其中的相关线段．利用身边实物的演示，可以变抽象为具体，变模糊为清晰，有利于突破难点；通过例题的解析，培养学生分析与处理实际问题的能力．（三）知识巩固1．在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时测得一栋楼的影长为90 m ，这栋楼的高度是多少?2．如图，测得BD ＝120m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，求河宽AB ．设计意图：及时巩固本节课的知识和思想方法． （四）归纳小结师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课你学习了什么？（2）解决实际问题时我们运用了什么样的数学思想？是如何体现的？设计意图：引导学生归纳本节课的知识点和思想方法，让学生形成好的学习习惯． （五）布置作业教科书第43页第9，10题． 六、目标检测设计1．已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝2，AE ＝4，EC ＝ ． 设计意图：巩固学生对由平行得到相似的知识．2．如图，小明用长为2.4m 的竹竿DE 做测量工具测某旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点C ．此时，CD ＝6m ，DB ＝14m ，则这旗杆AB 的高为（ ）设计意图：检测学生用数学知识解决实际问题的能力．3．如图，A ，B 两点被池塘隔开,在AB 外取一点C ,连结AC ，BC ，在AC 上取点E ，使AE =2EC ，作ED ∥AB 交BC 于D ，量得DE =12m ，则AB 的距离为 ．设计意图：检测是否能从实际问题中抽象出几何图形，并运用由平行得到相似解决问题．ADE（第2题）ABC DEEABD4．小聪利用树影测量树高:他在某一时刻测得长为2m 的竹竿影长1.5m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得树留在墙上的影高CD ＝1.2m ，又测得树在地面部分的影长BD ＝5.1m ，他求的树高AB 的长是多少?设计意图：检测是否能从实际问题中构建相似三角形模型，并运用它解决问题．此题具有多解性，可以锻炼学生的发散思维能力．5．如图，请你利用相似三角形的有关知识，设计一种方案，求出图中所示零件内径AB 的值．设计意图：检测能否熟练地运用所学知识，构建出所需要的相似三角形模型．本题的思考空间较大，给了各类学生发挥创造能力的平台．（第4题） AB DC BA （第5题）。