北京市海淀区2006年1月高三数学期末考试卷(文科)

北京市海淀区2006年1月高三数学期末考试卷（文科）

一．选择题： 1．已知sin570°的值为（ ）

（A ）

21 （B ）－21 （C ）23 （D ）－2

3

2．若直线ax +y －1=0与直线4x +(a －3)y －2=0垂直，则实数a 的值等于（ ）

（A ）－1 （B ）4 （C ）53 （D ）－2

3

3．函数f (x )= sin x cos x －3sin 2x 的最小正周期为（ ）

（A ）4π （B ）2

π

（C ）π （D ）2π

4．已知向量a ，b 满足：|a |=2，|b |=1，()0a b b -⋅=，那么向量a 与b 的夹角为（ ）

（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°

5．已知两不重合的直线a ，b 及两不重合的平面α、β，那么下列命题中正确的是（ ）

（A ）

//////a b ααβ

β⎫⇒⎬⎭

（B ）//////a a αβαβ⎫

⇒⎬⎭ （C ）//a a αββα⊥⎫⇒⎬⊥⎭ （D ）//a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭

6．若椭圆

22

12x y m

+=的离心率为21，则实数m 等于（ ） （A ）23或38 （B ）23 （C ）83 （D ）83或3

2

7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是

P 2，则其中至少有一个人解决这个问题的概率为（ ） （A ）P 1+P 2 （B ）P 1·P 2 （C ）1－P 1·P 2 （D ）1－(1－P 1)(1－P 2)

8．向量OA =(1，21)，OB =(0，1)，若动点P (x ，y )满足条件：0101

OP OA OP OB ⎧<⋅<⎪⎨<⋅<⎪⎩，则P (x ，

y )的变化范围（不含边界的阴影部分）是（ ）

二．填空题：

9．抛物线x 2=ay 的准线方程是y =2，则实数a 的值为 。

10．函数y =22log (1)x +-的图象F 按向量a 平移后，得到图象F ’的解析式为2log y x =，则向量a 的坐标是 。

11．圆(x +1)2+y 2=4上的动点P 到直线x +y －7=0的距离的最小值等于 。

12．如图，等边三角形ABC 的边长为4，D 为BC 中点，沿AD 把△ADC 折叠到△ADC ’处，使二面角B －AD －C ’为60°，则折叠后点A 到直线B 'C 的距离为 ；二面角'A BC D --的正切值为 。

13．等腰直角三角形ABC 的三个顶点在同一球面上，∠BAC =90°，AB =AC =2，若球心O 到平面ABC 的距离为1，则该球的半径为 ；球的表面积为 。

14．对于任意实数x ，函数f (x )取x 、21x

-、7－x 三者中的最小值，那么f (x )的最大值是 . 三．解答题：

15．△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，，△ABC c =7， 3cos C －2sin 2C =0，求

（1）角C 的大小； （2）a 、b 的值。

AA1=2a，D为棱BB1的中点，

（1）证明：A1C1//平面ACD；

（2）求异面直线AC与A1D所成角的大小；

（3）证明：A1D⊥平面ADC.

17．已知圆C：x2+y2+2x－4y+3=0，

（1）求圆心C的坐标及半径r的大小；

（1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴和y轴上的截距相等，求直线l的方程；

（2）从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，

求点P的轨迹方程。

18．数列{a n }(n ∈N *)中，a 1=1，且a n +1=2a n +1，又设b n =a n +1，

（1）求证：数列{b n }是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式；

（3）设1

1

n n n c a +=+(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .

19．函数f (x )=

322713(2)32

a x x a a x +-+--，在x 1，x 2处有极值f (x 1)、f (x 2)，其中x 1∈(0，1)，x 2∈(1，2)，

（1）证明：f (x 1)为f (x )的极大值；f (x 2)为f (x )的极小值； （2）求实数a 的取值范围.

20．已知双曲线122

22=-b y a x (a >0，b >0)的左右顶点分别为A 、B ，右焦点为F (c ，0) (c >0)，

右准线为l ：x =2

1

，|AF |=3，过点F 作直线交双曲线右支与P 、Q 两点，延长PB 交右准线l

于M 点，

（1）求双曲线的方程；

（2）若17OP OQ ⋅=-，求△PBQ 的面积S ；

（3）若2P F F Q =，问是否存在实数μ，使得：AM MQ μ=，若存在，求出μ的值；若不存在，请说明理由。