北京市海淀区2006年1月高三数学期末考试卷(文科)
海淀区2006年1月高三年级第一学期期末练习数学(文)
海淀区2005年高三年级第一学期期末练习数 学（文科）2005．1学校________ 班级________ 姓名________一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）sin （－300°）的值为（ ） A ．21 B ．21- C ．23 D ．23-（2）函数)1(21>=-x y x 的反函数是（ ）A ．)1(log 12>+=x x yB ．)0(log 12>+=x x yC ．)1(log 12>+-=x x yD ．)1)(1(log 2>-=x x y（3）设集合}2sin 2|){(x y y x A ==，，集合}|){(x y y x B ==，，则（ ） A ．A B 中有3个元素 B ．A B 中有1个元素C ．A B 中有2个元素D ．A B ＝R（4）焦点在直线01243=--y x 上的抛物线的标准方程为（ ）A ．y x 122-= B ．x y 82=或y x 62-=C ．x y 162=D ．y x 122-=或x y 162= （5）在nxx)12(3-的展开式中，只有第5项的第二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ） A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28 （6）在△ABC 中，“A ＞B ”是“B A cos cos <”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（7）已知mn ≠0，则方程122=+ny mx 与02=+ny mx 在同一坐标系下的图形可能是（ ）（8）在数列}{n a 中，已知)(1R ∈++=c n cn a n ，则对于任意正整数n 有（ ） A ．1+<n n a a B ．n a 与1+n a 的大小关系和c 有关 C ．1+>n n a a D ．n a 与1+n a 的大小关系和n 有关二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． （9）函数x x x f -+-=2)1(log )(21的定义域为________．（10）函数)2πsin(sin x x y -=的最小正周期是________． （11）已知向量＝（1，0），＝（2，2），则||＝________________． （12）已知点A （6，0），B 为圆422=+y x 上任意一点，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为________________．（13）设双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，的焦距为2c ，A ，B 分别为实轴与虚轴的一个端点，若坐标原点到直线AB 的距离为2c，则双曲线的离心率为________；渐近线方程为________________．（14）设函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>M ，使|||)(|x M x f ≤对一切实数x 均成立，则称)(x f函数．给出下列函数：①0)(=x f ；②2)(x x f =；③)cos (sin 2)(x x x f +=；④1)(2++=x x xx f ；⑤)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数1x ，2x ，均有2|)()(|21≤-x f x f ||21x x -．其中是函数的序号为_____________________________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）本小题满分12分 已知向量)23sin 23(cosx x ，=a ，)2sin 2(cos xx -=，b ，)13(-=，c ，其中R ∈x ． （Ⅰ）当a ⊥b 时，求x 值的集合；（Ⅱ）求|a －b |的最大值．（16）本小题满分13分在一次历史与地理两科的联合测试中，备有6道历史题，4道地理题，共10道题以供选择，要求学生从中任意抽取5道题目作答，答对4道或5道可被评为良好．学生甲答对每道历史题的概率为0.9，答对每道地理题的概率为0.8．（Ⅰ）求学生甲恰好抽到3道历史题，2道地理题的概率；（Ⅱ）若学生甲恰好抽到3道历史题，2道地理题，则他能被评为良好的概率是多少？（精确到0.01）（17）本小题满分14分 解关于x 的不等式22)1(>--x x a （其中1≤a ）．（18）本小题满分14分设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为1F （－2，0），左准线1l 与x 轴交于点N （－3，0），过点N 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆于A 、B 两点．（Ⅰ）求直线l 和椭圆的方程；（Ⅱ）求证：点1F （－2，0）在以线段AB 为直径的圆上． （19）本小题满分14在等比数列)}({+∈N n a n 中，11>a ，公比0>q ．设n n a b 2l o g =，且6531=++b b b ，0531=b b b ．（Ⅰ）求证：数列}{n b 是等差数列；（Ⅱ）求}{n b 的前n 项和n S 及数列}{n a 的通项n a ； （Ⅲ）试比较n a 与n S 的大小．（20）本小题满分13分 已知函数)(231)(23R R ∈∈+-=a x ax x x x f ，，在曲线y ＝f （x ）的所有切线吸且仅有一条切线l 与直线x ＋y ＝0平行．设曲线y ＝f （x ）的所有切线的倾斜角α组成的集合为Ｍ，与切线垂直的直线的倾斜角β组成的集合为Ｎ． （Ⅰ）求a 的值及切线l 的方程； （Ⅱ）求集合M 与集合N ．参考答案二、填空题（每小题5分，共30分）9．]21(， 10．π 11．5 12．1)3(22=+-y x 13．2（3分）；x y ±=（2分） 14．①④⑤ 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．本小题满分12分解：（Ⅰ）由b a ⊥得a ·b ＝0，即02sin 23sin 2cos 23cos =-xx x x ………………4分 则02cos =x ，得)(4π2πZ ∈+=k k x ． …………………………………5分∴ }4π2π|{Z ∈+=k k x x ，为所求． (6)分（Ⅱ）)3π23sin(45)123(sin )323(cos||222-+=++-=-x x x c a ，……………10分 所以||c a -有最大值为3．……………………………………………………12分 16．本小题满分13分解：（Ⅰ）学生甲恰好抽到3道历史题、2道地理题的概率为：21105102436=C C C ．……6分 （Ⅱ）若学生甲被评为良好，则他应答对5题，记作事件A ；或答对3道历史题，1道地理题，记作事件B ；或答对2道历史题，2道地理题，记作事件C ．∵ 238.09.0)(⨯=A P ，………………………………………………………………8分 2.08.09.0)(123⨯=C B P ，…………………………………………………………10分22238.01.09.0)(⨯⨯=C C P ，……………………………………………………12分∴ 甲被评为良好的概率为)8.03.09.04.08.09.0(8.09.0)()()(2⨯+⨯+⨯⨯⨯=++C P B P A P＝0.85536≈0.86．………………………………………………13分17．本小题满分14分解：22)1(>--x x a 02)4()2(022)1(>----⇔>---⇔x a x a x x a …………4分0224<----⇔x a a x (由a ≤1知a －2＜0)．……………………………………………6分 又由2224--=---a aa a 知，………………………………………………………………8分 当0＜a ≤1时，224>--a a ，则集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<<=242a a x x A ；………………………10分 当a ＝0时，原不等式解集A 为空集；…………………………………………………12分 当a ＜0时，224<--a a ，则集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--=224x a a x A ． …………………………14分 综上所述，当0＜a ≤1时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<<=242a a x x A ；当a ＝0时，A 为空集； 当a ＜0时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--=224x a a xA ．18．本小题满分14分 解：（Ⅰ）直线l ：)3(33+=x y ………………………………………………………2分 由已知c ＝2及32=c a 解得：62=a ，∴ 22622=-=b ．……………………4分 ∴ 椭圆方程为12622=+y x ．…………………………………………………………5分 （Ⅱ）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=②①，，)3(0633322x y x y 将②代入①，整理得03622=++x x ．③……………………………………………7分 设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），则321-=+x x ，2321=x x ．……………………10分 解法一：22221111++=⋅⋅x y x y k k B F A F ……………………………………………………11分1]4)(2[39)(3)2)(2()3)(3(31212121212121-=++++++=++++=x x x x x x x x x x x x ，………………………………13分 ∴ B F A F 11⊥．则︒=∠901B AF ．∴ 点1F （－2，0）在以线段AB 为直径的圆上．…………………………………14分 解法二：)2()2(221111y x y x F F ，，++=⋅⋅ 2121)2)(2(y y x x +++= ………………………………………………………………11分 ]9)(3[314)(221212121+++++++=x x x x x x x x 07)(3342121=+++=x x x x ，…………………………………………………………13分 ∴ B F A F 11⊥．则︒=∠901B AF ．∴ 点1F （－2，0）在以线段AB 为直径的圆上． …………………………………14分 19．本小题满分14分证明：（Ⅰ）∵ n n a b 2log =，∴ nn n n n n a a a a b b 122121log log log +++=-=- q 2log =为常数，∴ 数列}{n b 为等差数列且公差q d 2log =．…………………………………………2分 解：（Ⅱ）∵ 6531=++b b b ，∴ 23=b ． …………………………………………3分∵ 11>a ，∴ 0log 121>=a b ．∵ 0531=b b b ，∴ 05=b ． ∴ ⎩⎨⎧=+=+．，042211d b d b 解得：⎩⎨⎧-==．，141d b ……………………………………………………6分∴ 29)1(2)1(42n n n n n S n -=-⨯-+=．……………………………………………8分 ∵ ⎩⎨⎧=-=，，4log 1log 122a q ∴⎪⎩⎪⎨⎧==．，16211a q ∴ )(25+-∈=N n a nn ． …………………10分（Ⅲ）显然 025>=-nn a ，当n ≥9时，02)9(≤-=n n S n ． ∴ n ≥9时，n n S a >． ………………………………………………………………12分 ∵ 161=a ，82=a ，43=a ，24=a ，15=a ，216=a ，417=a ，818=a ， 41=S ，72=S ，93=S ，104=S ，105=S ，96=S ，77=S ，48=S ． ∴ 当n ＝3，4，5，6，7，8时，n n S a <；当n ＝1，2或n ≥9时，n n S a >．……………………………………………………14分 20．本小题满分13分解：（Ⅰ）∵ a x x x f +-='4)(2，…………………………………………………1分 由已知可得，方程142-=+-a x x 有两个相等实根， ∴ 0)1(416=+-a ．得a ＝3．方程的解为x ＝2．……………………………………………………………4分当a ＝3时，x x x x f 3231)(23+-=，∴ 326838)2(=+-=f ． ∴ l 的方程为：)2(32--=-x y ，即0833=-+y x ．……………………………6分（Ⅱ）设过曲线上任一点P （x ，y ）处的切线斜率为k （由题意知k 存在）．则11)2(34)(22-≥--=+-='=x x x x f k ．………………………………………7分 ∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<α≤<α≤α=π4π32π0或M ．……………………………………………9分 解法（一）：当2π0<≤α时，2π+=αβ，π2π<≤β；…………………………………………11分 当π4π3<≤α时，2π-=αβ，2π4π<≤β．………………………………………12分∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=π4πββN ．……………………………………………………………13分 解法（二）：设与切线垂直的直线的斜率为k ′．当－1≤k ＜0时，[)∞+∈-='，11k k ，)2π4π[，∈β；………………………………10分 当k ＝0时，k ′不存在，2π=β； ……………………………………………………11分当k ＞0时，01<-='k k ，)π2π(，∈β． …………………………………………12分 ∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=π4πββN ．……………………………………………………………13分 注：其它正确解法按相应步骤给分．。
海淀区高三期末文科数学试卷及答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 (文科) 2011.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．sin 240的值为A ．12-B ． 12C． D2. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且236a a +=，则4S 的值为 A. 12 B.11 C.10 D. 93. 设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”成立的 A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有A.75辆B.120辆C.180辆D.270辆5.点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为 A.2 B. 4 C. 6 D.8 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为A ．12B ．6C ． 4D ．2 7. 已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈， 01cos 3x =（0[0,π]x ∈），那么下面结论正确的是A ．()f x 在0[0,]x 上是减函数 B. ()f x 在0[,π]x 上是减函数C. [0,π]x ∃∈, 0()()f x f x > D. [0,π]x ∀∈, 0()()f x f x ≥正视图左视图俯视图8. 已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 若直线l 经过点（1，2）且与直线210x y +-=平行,则直线l 的方程为__________.10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4， 则输出的S 为 .11．椭圆2212516x y +=的右焦点F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C 的焦点也为F ，则其标准方程为 .12．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为_______. 13已知向量(1,),(1,)t t ==-a b .若-2a b 与b 垂直, 则||___=a .14．在平面直角坐标系x O y 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-为. 若点()1,3A -，则(,)d A O = ；已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）设函数1()sin 2f x x x =+，R x ∈.（I ）求函数)(x f 的周期和值域；（II ）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3(),2f A =且a =， 求角C 的值.16. （本小题满分13分）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人.(I) 求这三个社团共有多少人？(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.17. （本小题满分13分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的底面ABCD 为菱形 ，AC BD O =，侧棱1AA ⊥BD,点F 为1DC 的中点．（I ） 证明：//OF 平面11BCC B ； （II ）证明：平面1DBC ⊥平面11ACC A .1B 1C 1A F1D18. （本小题满分13分）已知函数322()1,a f x x x=++其中0a >.（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值. 19. （本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=,点P 为直线:4l x =上的动点.(I)若从P 到圆O 的切线长为P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（II ）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ,求证:直线MN 经过定点(1,0).20. （本小题满分14分）已知集合{}1,2,3,,2A n =*()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P.（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由. (II)若集合S 具有性质P ，试判断集合 {}(21)T n x x S =+-∈)是否一定具有性质P ？并说明理由.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文）答案及评分参考 2011．1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分） 解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分)(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA, ...............................7分 π<<A 0 , 3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+= 得到3A π= . ...............................9分,23b a =且Bb A a sin sin = , ....................................10分s i n b B =, ∴1sin =B , ....................................11分π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a b b b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分 ∴53106)(==A P .故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ） 四边形ABCD 为菱形且ACBD O =，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分 ⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ） 四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A =且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分（I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分 综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+； 当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+； 当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠=，所以120DOC ∠=. ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ， 依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t t y t t -=+=++. ..................................9分 同理，设:(2)2t BP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ， 代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t t y t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+ 显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分若11x ≠，则212t ≠，21x ≠， 所以有212212240836722112136MQ t y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQ t y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P . ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+， 使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分 由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ， 从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-，其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ；因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
北京海淀区第一学期高三期末数学试题文
海淀区高三年级第一学期期末练习数学 （文科）本试卷共 4 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8 小题 ,每题 5 分 ,共 40 分 .在每题列出的四个选项中,选出吻合题目要求的一项 .1. 复数 2化简的结果为1 iA. 1 iB. 1 iC. 1 iD.1 i2. 向量 a(1,1),b (2, t) , 若 ab , 则实数 t 的值 为A. 2B.1C. 1D. 23. 在等边 ABC 的边 BC 上任取一点 P ，则 S ABP2S ABC 的概率是3A.1B.12D.532C.634.点 P 是抛物线 y 24x 上一点， P 到该抛物线焦点的距离为4 ，则点 P 的横坐标为A ．2B. 3C. 4开始 5.某程序的框图以下列图, 履行该程序，若输入的p 为 24 ，则输出输入 p的 n, S 的值分别为n 1，S 0A. n 4, S 30B. n 4, S 45 S p是C. n5, S30D. n5,S45 S = S + 3n6.点 A( 1,0), B(cos ,sin ) , 且|AB|3 , 则直线 AB 的方程为n n 1A. y3x3 或 y3x3 B. y3 x 3或 y3 x 33 3 3 3否输出 n ， S结束C. y x 1或 y x 1D. y2 x2 或 y2 x2sin x, sin x cosx,7.函数 f ( x)sin x cosx, 则下边结论中正确的选项是cosx,A. f (x) 是奇函数B. f (x) 的值域是 [ 1,1]C. f (x) 是偶函数D. f (x) 的值域是 [2 ,1]28. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A 1B 1C 1 D 1 中，点 E, F 分别是D 1C 1A 1B 1FDCABE棱 BC ,CC 1 的中点， P 是侧面 BCC 1 B 1 内一点，若 A 1 P / / 平面 AEF , 则线段 A 1 P 长度的取值范围是53 25C. [5 D.[2,3]A ． [1, ]B. [4, ], 2]222二、填空题 :本大题共 6 小题 ,每题 5 分 ,共 30 分 . 9.tan225 的值为 ________.10. x 2 y 2双曲线1 的渐近线方程为 _____；离心率为 ______.33S 5_____.11. 数列 { a n } 是公差不为 0 的等差数列，且 a 2 a 6a 8 ，则 a 5x 0,12. 不 等 式 组 x y 3, 表 示 的 平 面 区 域 为 ， 直 线y x 1Dy kx 1 与地域有公共点，则实数 k 的取值范围为_________.13. 三棱锥 DABC 及其三视图中的主视图和左视图如4AC222 3主视图左视图B图所示，则棱BD 的长为 ______.ab, a b0,14. 任給实数 a,b,定义 aba , a b设函数 f ( x)ln x x ，0.b则 f (2)f ( 1) =______；若 { a n } 是公比大于 0的等比数列，且 a 5 1，2f ( a 1 ) f ( a 2 )f (a 3 )f (a 7 )f (a 8）=a 1 , 则 a 1 ___.三、解答题 : 本大题共 6 小题 ,共 80 分 .解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过程 .15. （本小题满分 13 分）已知函数21 ABC 三个内角 A, B,C 的对边分别为f ( x)3 sinx cosx cosx，2a, b, c,且 f ( A) 1 .（I ） 求角 A 的大小；16. （本小题满分 13 分）某汽车租借公司为了检查A ，B 两种车型的出租状况， 现随机抽取这两种车型各50 辆，分别统计了每辆车在某个礼拜内的出租天数，统计数据以下表:A 型车出租天数 3 4 5 6 7 车辆数33057 5B 型车 出租天数车辆数3 4 510 10 156107 5（I ） 试依据上边的统计数据，判断这两种车型在本礼拜内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）现从出租天数为 3 天的汽车（仅限 A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，试预计这辆汽车是 A 型车的概率；（Ⅲ） 假如两种车型每辆车每日出租获取的利润同样，该公司需要购买一辆汽车，请你依据所学的统计知识，给出建议应当购买哪一种车型，并说明你的原由.17. （本小题满分14 分）A 1C 1如图，在直三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 中，BAC 90 ，B 1AB AC AA 1，且 E 是 BC 中点 .（ I ）求证： A 1B / / 平面 AEC 1 ；ACBE（Ⅱ）求证： B 1C 平面 AEC 1 .18.（本小题满分13 分）已知函数 f ( x)1 x2 1与函数 g( x ) a ln x 在点 (1,0) 处有公共的切线，设22F ( x)f ( x) mg( x) ( m0) .（I ） 求 a 的值；（Ⅱ）求 F ( x) 在区间 [1,e] 上的最小值 . .19. （本小题满分 14 分）已知椭圆 M ：x2y 2 1(a 0) 的一个焦点为F ( 1,0) ，左右极点分别为A ，B .a 23经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C ， D 两点 .（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记ABD 与ABC的面积分别为S1和S2，求| S1S2|的最大值.20. （本小题满分13 分）已知函数 f ( x) 的定义域为 (0,) ，若 y f ( x)) 上为增函数，则称 f ( x )为在 (0,x“一阶比增函数”.(Ⅰ ) 若f ( x)ax 2ax 是“一阶比增函数”，务实数 a 的取值范围；(Ⅱ) 若f ( x)是“一阶比增函数”，求证：x , x2(0,)，f ( x ) f ( x ) f ( x x )；11212（Ⅲ）若 f ( x) 是“一阶比增函数”，且 f ( x) 有零点，求证： f (x)2013有解.。
北京市海淀区高三上学期期末考试数学文试题 含答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）参考答案及评分标准2014．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）πcosππ2()2sinππ44sin cos44f=+=+=+------------------------3分（Ⅱ）由sin cos0x x+≠得ππ,4x k k≠-∈Z.因为cos2()2sinsin cosxf x xx x=++22cos sin2sinsin cosx xxx x-=++------------------------------------5分cos sinx x=+π)4x+，-------------------------------------7分所以()f x的最小正周期2πT=. -------------------------------------9分因为函数siny x=的对称轴为ππ+,2x k k=∈Z, ------------------------------11分又由πππ+,42x k k+=∈Z,得ππ+,4x k k=∈Z,9． 2 10．16 11. 712．{1,2,4}13．50，1015 14．1-;①②③所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .-----------------------------------13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以0.06a =. ----------------------------------4分（Ⅱ）设事件A 为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲队员射击，命中环数为8环，9环，10环.所以()0.290.450.010.75P A =++=. ----------------------------------9分 （Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，所以//CD AB . ----------------------------1分 又因为CD ⊄平面PAB ， -------------------3分 所以//CD 平面PAB . --------------------------4分 （Ⅱ）因为PA PB =，点E 是棱AB 的中点，所以PE AB ⊥. ----------------------------------5分 因为平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB平面ABCD AB =,PE ⊂平面PAB ,----------------------------------7分所以PE ⊥平面ABCD , ------------------------------------8分 因为AD ⊂平面ABCD ,所以PE AD ⊥. ------------------------------------9分 （Ⅲ）因为CA CB =，点E 是棱AB 的中点，所以CE AB ⊥. --------------------------------10分 由（Ⅱ）可得PE AB ⊥， ---------------------------------11分 所以AB ⊥平面PEC ， --------------------------------13分 又因为AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PEC . --------------------------------14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）'()(1)e x f x x a =++,x ∈R . -------------------------------2分因为函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，所以'()0f x ≥，即10x a ++≥在[3,)-+∞上恒成立.------------------------------3分 因为1y x a =++是增函数，所以满足题意只需310a -++≥，即2a ≥. -------------------------------5分 （Ⅱ）令'()0f x =，解得1x a =-- -------------------------------6分 (),'()f x f x 的情况如下：--------------------------------------10分①当10a --≤，即1a ≥-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(0)f ， 若满足题意只需2(0)e f ≥，解得2e a ≥，所以此时，2e a ≥； --------------------------------------11分②当012a <--<，即31a -<<-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(1)f a --， 若满足题意只需2(1)e f a --≥，求解可得此不等式无解，所以a 不存在； ------------------------12分③当12a --≥，即3a ≤-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(2)f , 若满足题意只需2(2)e f ≥，解得1a ≥-,所以此时，a 不存在. ------------------------------13分综上讨论，所求实数a 的取值范围为2[e ,)+∞. 19. （本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意可得1c =， ----------------------------------1分 又由题意可得12c a =， 所以2a =， ----------------------------------2分所以2223b a c =-=, ----------------------------------3分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ---------------------------------4分所以椭圆C 的右顶点(2,0)A ， --------------------------------5分 代入圆F 的方程，可得21r =,所以圆F 的方程为22(1)1x y -+=. ------------------------------6分 （Ⅱ）法1：假设存在直线l :(2)y k x =-(0)k ≠满足条件， -----------------------------7分由22(2),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)1616120k x k x k +-+-=----------------------------8分设11(,)B x y ，则21216243k x k +=+, ---------------------------------9分可得中点22286(,)4343k kP k k -++， --------------------------------11分由点P 在圆F 上可得2222286(1)()14343k k k k --+=++化简整理得20k = --------------------------------13分 又因为0k ≠，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------------14分 （Ⅱ）法2：假设存在直线l 满足题意.由（Ⅰ）可得OA 是圆F 的直径， -----------------------------7分 所以OP AB ⊥. ------------------------------8分 由点P 是AB 中点，可得||||2OB OA ==. --------------------------------9分设点11(,)B x y ，则由题意可得2211143x y +=. --------------------------------10分又因为直线l 的斜率不为0，所以214x <, -------------------------------11分所以22222211111||3(1)3444x x OB x y x =+=+-=+<,-------------------------------13分这与||||OA OB =矛盾，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------14分 20. （本小题共13分）解：（Ⅰ）只有y =是N 函数. ----------------------------3分 （Ⅱ）函数()[ln ]1g x x =+是N 函数.证明如下：显然，*x ∀∈N ，*()[ln ]1g x x =+∈N . ---------------------------------------4分不妨设*[ln ]1,x k k +=∈N ,由[ln ]1x k +=可得1ln k x k -≤<， 即11e e k k x -≤≤<.因为*k ∀∈N ，恒有11e e e (e 1)1k k k ---=->成立， 所以一定存在*x ∈N ，满足1e e k k x -≤<， 所以设*k ∀∈N ，总存在*x ∈N 满足[ln ]1x k +=，所以函数()[ln ]1g x x =+是N 函数. ---------------------------------------8分 （Ⅲ）（1）当0b ≤时，有2(2)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ---------------------------9分（2）当0b >时，① 若0a ≤，有(1)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ------------------10分② 若01a <≤，由指数函数性质易得 x b a b a ⋅≤⋅，所以*x ∀∈N ，都有()[][]x f x b a b a =⋅≤⋅所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. -----------------11分③ 若1a >，令12m m b a b a +⋅-⋅>，则2log (1)am b a >⋅-，所以一定存在正整数k 使得 12k k b a b a +⋅-⋅>， 所以*12,n n ∃∈N ，使得112k k b a n n b a +⋅<<<⋅， 所以12()(1)f k n n f k <<≤+.又因为当x k <时，x k b a b a ⋅<⋅,所以()()f x f k ≤； 当1x k >+时，1x k b a b a +⋅>⋅,所以()(1)f x f k ≥+， 所以*x ∀∈N ，都有*{()|}n f x x ∉∈N ，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.------------------13分综上所述，对于任意实数,a b ，函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.。
北京海淀高三第一学期期末数学文试题与答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）答案及评分参照一、 （共 8 小 ，每小5 分，共 40 分）（ 1）B （ 2）D （3）A （4） D（ 5）B（ 6）C（7） C（8）A二、填空 （共 6 小 ，每小 5 分，共 30 分。
有两空的小 ，第一空 2 分，第二空3 分）（9） (1 ,0)（10）3 （11） 82（ 12）2 （ 13）1； 4（14） (,1][1, )23三、解答 （共 6 小 ，共80 分）（ 15）（共 13 分）解：（Ⅰ）的 是π⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分3 .4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分x 0 的 是3π（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f (x) cos(πx ) .1,1]， 3因 x [2 3 因此ππ π 2π6x3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分31因此 当 ππ 0，即 x，f (x) 获得最大 1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分x 3 3当 ππ 2πx1 f ( x)1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分，即，获得最小 .x3 332（ 16）（共 13 分）解：（Ⅰ）抽取的 5 人中男同学的人数5 3，女同学的人数5 2 .30 205050⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ） 3 名男同学 A 1 , A 2 , A 3 ， 2名女同学B 1, B 2 . 从 5 人中随机 出2 名同学，全部可能的 果有A 1A 2, A 1A 3, A 1B 1, A 1B 2 , A 2 A 3, A 2B 1, A 2B 2, A 3B 1, A 3B 2 , B 1B 2 ，共 10 个 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分用C 表示：“出的两名同学中恰有一名女同学”一事件，C中的果有6个，它是：A1B1, A1B2, A2 B1, A2 B2 , A3 B1, A3 B2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分因此出的两名同学中恰有一名女同学的概率63⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分P(C).105（Ⅲ） s12s22.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分（17）（共 14 分）明：（Ⅰ）在菱形 BB1C1C 中，BC∥ B1C1.因BC ? 平面 AB1C1， B1C1ì平面 AB1C1，因此BC // 平面AB1C1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（Ⅱ）接 BC1.在正方形 ABB1 A1中， AB ^ BB1.因平面AA1B1B平面 BB1C1C ，平面 AA1 B1B平面 BB1C1C BB1，ABì平面 ABB1 A1，因此AB ^ 平面BB1C1C.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分C C1因 B1C ì平面 BB1C1C ，因此AB^ B1C.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分B B 1A A1在菱形 BB1C1C 中， BC1 ^ B1C .因BC1ì平面A BC1， AB ì平面ABC1，BC1AB= B，因此B1C ^ 平面A BC1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分因AC1ì平面A BC1，因此 B1C AC1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分（Ⅲ） E, F , H , G 四点不共面.原由以下：⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分因E,G 分是B1C, B1C1的中点，因此 GE ∥CC1.C C1同理可： GH ∥C1A1.E G因GE ì平面 EHG ， GH ì平面 EHG ， GE GH = G ，CC1ì平面B B 1H AAC11C ， A1C1ì平面 AAC11C ，A F A1因此平面 EHG ∥平面AAC11C .因 F 平面AAC1 1C，因此F平面EHG，即E, F , H ,G四点不共面.⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分（ 18）（共 13 分）解：（Ⅰ）由意可知M 的准方程：x222y 1， a2, b 1 .因此M 的 2 2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分因c a2b21，因此c22⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分e，即 M 的离心率.a22（Ⅱ）若 C ,O , D 三点共，由 CD 是段AB的垂直均分可得：OA OB .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分由（Ⅰ）可得A(0,1) ， B(x0 , y0 ) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分因此x02y021.①又因x02 2 y02 2 ，②⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分由①②可得：x00,x00,⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分（舍），或y01y0 1.x 0 0, 0 ， 然 足 意 .当，直 l 的方程 xy 01因此 存在直 l 使得 C, O, D 三点共 ，直l 的方程 x 0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分（ 19）（共 13 分）（Ⅰ）解：e x x e x⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分f '( x).x 2因 切 ax y 0原点 (0,0)，e x 0e x 0e x 0因此x 0 x 0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分x 02x 0解得： x 02 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分xx2（Ⅱ） 明：g(x)f ( x) e2 ( x 0) ， g '(x)e (xx 42x) .xx令 g '(x) e x ( x 2 2x) 0 ，解得 x 2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x 4x 在 (0, ) 上 化 ， g '( x), g(x) 的 化状况以下表x (0, 2)2 g '( x)-g( x)↘e 24因此 当 x2 ， g (x) 获得最小e 2.4因此 当 x0 ， g (x) ?e 21，即 f (x)4(2,+ ? )+↗⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分x .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分（Ⅲ）解：当 b 0 ，会集 { xR f ( x) bx 0} 的元素个数 0；当 0be 2 Rf (x)bx 0} 的元素个数1；，会集 { x4当 be 2，会集 { x R f ( x) bx 0} 的元素个数 2；4当 b e2R f ( x) bx 0}的元素个数 3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分，会集 { x4（20）（共 14 分）解：（Ⅰ）因a1 1 ，2a n12a n p ，因此 2a22a1 p2p ， 2a32a2 p22p .因 S312 ，因此2 2 p2 2 p6 3 p24 ，即p6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分因此 a n1a n3(n1,2,3,) .因此数列 { a n}是以 1 首， 3公差的等差数列 .因此 S 1 n n(n1)33n2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分n22.（Ⅱ）若数列 { a n } 是等比数列，a22a1a3.由（Ⅰ）可得：(1p)21(1p) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2解得： p0.当 p0 ，由2a n 12a n p 得： a n 1 a n1.然，数列 { a n } 是以1首，1公比的等比数列.因此 p0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分（Ⅲ）当 p0 ，由（Ⅱ）知：1(1,2,3, ) .a n n因此11(n 1,2,3,) ，即数列{1} 就是一个无等差数列.a n a n因此当 p0，可以获得足意的等差数列.当 p0 ，因a11，2a n 12a n p ，即 a n a n p1，2因此数列 { a n} 是以1首，p公差的等差数列 . 2因此 a n p p. n 122下边用反法明：当p0 ，数列 {1} 中不可以拿出无穷多并按本来次序摆列而成等差数列.a n假存在p00 ，从数列 {1} 中可以获得足意的无等差数列，没关系{ b n} .数列 { b n} 的公差d.a n①当p00 ，a n0(n1,2,3,) .因此数列 { b n } 是各均正数的减数列.因此 d0 .因 b n b1(n 1)d (n1,2,3,) ，因此当 n1b1， b n b1 (n1)db11)d 0 ，与 b n0矛盾. db1 (1d②当 p00 ，令p0n 1p00 ，解得： n 12.22p0因此当 n12， a n0恒成立. p0因此数列 { b n } 必然是各均数的增数列.因此d0 .因 b n b1(n1)d (n1,2,3,) ，因此当 n1b1， b n b1 (n1)d b1 (1b11)d 0 ，与 b n0矛盾.d d上所述，p0是独一足条件的p 的.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分pp。
北京海淀高三文科数学第一学期期末试题及答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）参考答案及评分标准2013．1说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A A C B C B D B二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．1 10． 11．12． 13． 14．0；三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I）因为………………6分又，，………………7分所以，………………9分（Ⅱ）由余弦定理得到，所以………………11分解得（舍）或………………13分所以16. （本小题满分13分）解：（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大………………3分（Ⅱ）这辆汽车是A类型车的概率约为这辆汽车是A类型车的概率为………………7分（Ⅲ）50辆A类型车出租的天数的平均数为………………9分50辆B类型车出租的天数的平均数为………………11分答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大,应该购买B型车………………13分答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为 4.8，而B型车出租天数的方差较大，所以选择A型车………………13分17. （本小题满分14分）解：(I) 连接交于点，连接因为为正方形，所以为中点又为中点，所以为的中位线，所以………………3分又平面，平面所以平面………………6分(Ⅱ)因为，又为中点，所以………………8分又因为在直三棱柱中，底面，又底面, 所以,又因为，所以平面，又平面，所以………………10分在矩形中, ,所以，所以，即………………12分又，所以平面………………14分18. （本小题满分13分）解：（I）因为所以在函数的图象上又，所以所以………………3分（Ⅱ）因为，其定义域为………………5分当时，，所以在上单调递增，所以在上最小值为………………7分当时，令，得到(舍)当时，即时，对恒成立，所以在上单调递增,其最小值为………………9分当时，即时, 对成立，所以在上单调递减，其最小值为………………11分当,即时, 对成立, 对成立所以在单调递减,在上单调递增其最小值为………13分综上，当时，在上的最小值为当时，在上的最小值为当时, 在上的最小值为.19. （本小题满分14分）解：（I）因为为椭圆的焦点,所以又所以所以椭圆方程为………………3分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,所以直线方程为,和椭圆方程联立得到,消掉,得到………………5分所以所以………………7分（Ⅲ）当直线无斜率时,直线方程为,此时, 面积相等，………………8分当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,设和椭圆方程联立得到,消掉得显然，方程有根，且………………10分此时………………12分因为,上式，（时等号成立）所以的最大值为………………14分20. （本小题满分13分）解：（I）由题在是增函数，由一次函数性质知当时，在上是增函数，所以………………3分（Ⅱ）因为是“一阶比增函数”，即在上是增函数，又，有，所以，………………5分所以，所以所以………………8分（Ⅲ）设，其中.因为是“一阶比增函数”，所以当时，法一：取，满足，记由（Ⅱ）知，同理，所以一定存在，使得，所以一定有解………………13分法二：取，满足，记因为当时，，所以对成立只要，则有，所以一定有解………………13分。
海淀区高三年级第一学期期末练习(文科)
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文科）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数i(12i)-=（A ）2i -+ （B ）2i + （C ）2i - （D ）2i -- （2）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF（A ）1122AB AD +（B ）1122AB AD -- （C ）1122AB AD -+ （D ）1122AB AD -（3）已知数列{}n a 满足：22111, 0, 1(*)n n n a a a a n +=>-=∈N ，那么使5n a <成立的n 的最大值为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）24 （D ）25 （4）某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i 值为（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（5）已知直线1l ：110k x y ++=与直线2l ：210k x y +-=，那么“12k k =”是“1l ∥2l ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+?R 的部分图象如图所示，那么(0)f =（A ）12-（B ）1- （C）- （D）-（7）已知函数()2f x x x x =-，则下列结论正确的是（A ）()f x 是偶函数，递增区间是()0,+?（B ）()f x 是偶函数，递减区间是(,1)-?（C ）()f x 是奇函数，递减区间是()1,1- （D ）()f x 是奇函数，递增区间是(),0-?（8）点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离. 已知点(1,0)A ，圆C ：2220x x y ++=，那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（A ）双曲线的一支 （B ）椭圆 （C ）抛物线 （D ）射线二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）双曲线22145x y -=的离心率为 .（10）已知抛物线2y ax =过点1(,1)4A ，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为 .（11）若实数,x y 满足40,250,10,x y x y y ì+-?ïïï+-?íïï-?ïïî 则2z x y =+的最大值为 .（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C ：22(1)8x y -+=，过点(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:2的两段圆弧，则直线l 的方程为 .（14）已知正三棱柱'''ABC A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应甲城市 乙城市9 08 77 3 1 2 4 72 2 0 4 7的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为 ；最小正周期为 .说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，sin B =. （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若2b =，求边,a c 的长. (16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； （Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率. （17）（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，AC BD O =.（Ⅰ）若AC PD ⊥，求证：AC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若平面PAC ^平面ABCD ，求证：PB PD =； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD ，若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,)+∞上的最小值.（19）（本小题满分13分）BCDO AP已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为1F (1,0)，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程及左顶点P 的坐标；（Ⅱ）设过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，若PAB ∆的面积为3613，求直线AB 的方程.（20）（本小题满分14分） 若集合A 具有以下性质：①A ∈0，A ∈1；②若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，A x∈1. 则称集合A 是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合{1,0,1}B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由； （Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若A y x ∈,，则A y x ∈+； （Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题p ：若A y x ∈,，则必有A xy ∈； 命题q ：若A y x ∈,，且0≠x ，则必有A xy∈；海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文科）参考答案及评分标准 2012．01一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）32 （10）54（11）7 （12）乙，乙（13）1y x =+或1y x =-- （14）8；3π注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分 因为sin B =， 所以11cos 1233A =-?.………………………………………3分 （Ⅱ）由题意可知，(0,)2B πÎ.所以cos B =………………………………………5分 所以 sin sin 22sin cos A B B B ===. ………………………………………7分因为sin sin b aB A=，2b =， =.所以3a =. ………………………………………10分 由1cos 3A =可知，(0,)2A πÎ.过点C 作CD AB ^于D .所以110cos cos 23333c a B b A=???. ………………………………………13分(16)（本小题满分13分）解：基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙， 丙乙甲”. ………………………………………2分 （Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，事件A 包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙”，则 ………………………………………4分()2163P A ==. 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13. ………………………………………7分（Ⅱ）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B ，事件B 包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，则………………………………………10分()4263P B ==. 所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 底面ABCD 是菱形所以 AC BD ⊥. ………………………………………1分 因为 AC PD ⊥，PD BD D =，所以 AC ⊥平面PBD . ………………………………………3分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知AC BD ⊥. 因为 平面PAC ^平面ABCD ，平面PAC平面ABCD AC =，BD Ì平面ABCD ，所以 BD ⊥平面PAC . ………………………………………5分 因为 PO Ì平面PAC ，所以 BD PO ⊥. ………………………………………7分 因为 底面ABCD 是菱形，所以 BO DO =.所以 PB PD =. ………………………………………8分 （Ⅲ）解：不存在. 下面用反证法说明. ………………………………………9分 假设存在点M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD . 在菱形ABCD 中，BC ∥AD ， 因为 AD Ì平面PAD ，BC Ë平面PAD ， 所以 BC ∥平面PAD .………………………………………11分 因为 BM Ì平面PBC ，BC Ì平面PBC ，BC BM B =，所以 平面PBC ∥平面PAD .………………………………………13分而平面PBC 与平面PAD 相交，矛盾. ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由2()e ()x f x x ax a =+-可得2'()e [(2)]x f x x a x =++. ………………………………………2分 当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………6分 （Ⅱ）令2'()e [(2)]0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………8分 当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以()f x 的最小值为(0)f ＝a -; ………………………………………10分 当(2)0a -+>，即2a <-时, ()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表MBCDOAP由上表可知函数()f x 的最小值为2((2))e a f a +-+=. ……………………………………13分 （19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知：1c =，12c a =，所以2a =. 所以 2223b a c =-=.所以 椭圆C 的标准方程为22143x y +=，左顶点P 的坐标是(2,0)-. ……………………………………4分（Ⅱ）根据题意可设直线AB 的方程为1x my =+，1122(,),(,)A x y B x y .由221,431x y x my ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(34)690m y my ++-=. 所以 223636(34)0m m ∆=++>，122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. ……………………………………7分所以 PAB ∆的面积12111322S PF y y =-=创……………………………………9分=………………………………………10分 因为PAB ∆的面积为3613， 213=. 令t =22(1)3113t t t =?+. 解得116t =（舍），22t =. 所以m =?所以直线AB 的方程为10x -=或10x --=.……………………………………13分 （20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）集合B 不是“好集”. 理由是：假设集合B 是“好集”. 因为1B -?，B ∈1，所以112B --=-?. 这与2B -?矛盾.………………………………………2分有理数集Q 是“好集”. 因为0ÎQ ，1ÎQ , 对任意的,x y ÎQ ，有x y -?Q ，且0≠x 时，1xÎQ . 所以有理数集Q 是“好集”. ………………………………………4分 （Ⅱ）因为集合A 是“好集”，所以 A ∈0.若,x y A Î，则A y ∈-0，即A y ∈-.所以A y x ∈--)(，即A y x ∈+. ………………………………………7分 （Ⅲ）命题q p ,均为真命题. 理由如下： ………………………………………9分 对任意一个“好集”A ，任取,x y A Î， 若y x ,中有0或1时，显然A xy ∈. 下设y x ,均不为0，1. 由定义可知：A xx x ∈--1,11,1. 所以111A x x -?-，即1(1)A x x Î-. 所以 (1)x x A -?.由（Ⅱ）可得：(1)x x x A -+?，即2x A Î. 同理可得2y A Î. 若0x y +=或1x y +=，则显然2()x y A +?. 若0x y +?且1x y +?，则2()x y A +?.所以 A y x y x xy ∈--+=222)(2. 所以A xy∈21. 由（Ⅱ）可得：A xyxy xy ∈+=21211.所以 A xy ∈.综上可知，A xy ∈，即命题p 为真命题. 若,x y A Î，且0x ¹，则1A xÎ. 所以 1y y A x x=孜，即命题q 为真命题. ……………………………………14分。
北京市海淀区20052006学年度高三年级第一学期期末练...
版权所有，请勿转载！- 1 -北京市海淀区2005—2006学年度高三年级第一学期期末练习数学（文）试卷一．选择题：1．已知sin570°的值为（ ） （A ）21 （B ）－21 （C ）23 （D ）－23 2．若直线ax +y －1=0与直线4x +(a －3)y －2=0垂直，则实数a 的值等于（ ） （A ）－1 （B ）4 （C ）53 （D ）－233．函数f (x )= sin x cos x －3sin 2x 的最小正周期为（ ）（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π 4．已知向量a ，b 满足：|a |=2，|b |=1，()0a b b -⋅=，那么向量a 与b 的夹角为（ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°5．已知两不重合的直线a ，b 及两不重合的平面α、β，那么下列命题中正确的是（ ）（A ）//////a b ααββ⎫⇒⎬⎭ （B ）//////a a αβαβ⎫⇒⎬⎭（C ）//a a αββα⊥⎫⇒⎬⊥⎭ （D ）//a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭6．若椭圆2212x y m+=的离心率为21，则实数m 等于（ ） （A ）23或38 （B ）23 （C ）83 （D ）83或32 7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，则其中至少有一个人解决这个问题的概率为（ ）（A ）P 1+P 2 （B ）P 1〃P 2 （C ）1－P 1〃P 2 （D ）1－(1－P 1)(1－P 2)版权所有，请勿转载！- 2 -8．向量OA =(1，21)，OB =(0，1)，若动点P (x ，y )满足条件：0101OP OA OP OB ⎧<⋅<⎪⎨<⋅<⎪⎩，则P (x ，y )的变化范围（不含边界的阴影部分）是（ ）二．填空题：9．抛物线x 2=ay 的准线方程是y =2，则实数a 的值为 。
海淀区高三年级第一学期期末试题文科
D. 1 i
（ 为参数），则直线 l 的倾
3π ,(1,0) D. 4
D. 1
B
C
OE A
D
2013.1
开始
输入 p
n 1，S 0
S p
是
S = S + 3n 输出 n ，S
结束 n n1
否
P
7. 用数字 0,1,2,3 组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数
an 成等差数列”的
A.充分不必要条件 C.充分必要条件
C. 1 i
x 2cos 1,
y
2
sin
3π , (1, 0)
C. 4
1
C. 3
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
高三数学（理科）试题第 1 页（共 4 页）
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，过力根管保据线护生0高不产中仅工资可艺料以高试解中卷决资配吊料置顶试技层卷术配要是置求指不，机规对组范电在高气进中设行资备继料进电试行保卷空护问载高题与中2带2资，负料而荷试且下卷可高总保中体障资配2料3置2试3时各卷，类调需管控要路试在习验最2；3大2对3限2设题度备到内进位来行。确调在保整管机使路组其敷高在设中正过资常程料工1试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且2作5尽5下2可2都2能护可地1以关缩正于小常管故工路障作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保连破护接坏进管范行口围整处，核理或对高者定中对值资某，料些审试异核卷常与弯高校扁中对度资图固料纸定试，盒卷编位工写置况复.进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
海淀区高三年级第一学期期末练习数学考试答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）答案及评分参考2011．1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分） 9． 222x y x += (1,0) 10． 180 11． 512． M P N e e e << 13．① ④ 14． 4 32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+≥⎪⎨⎪+<<⎩ 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共12分）解：（I ） x x x f 2cos )32cos()(--=πx x x 2cos 3sin2sin 3cos2cos -+=ππ .......................................2分x x 2cos 212sin 23-=)62si n(π-=x . .......................................4分)2,0(π∈x Θ，)65,6(62πππ-∈-∴x ， .......................................5分]1,21()62sin(-∈-∴πx ，即)(x f 在(0,2π）的值域为]1,21(- . .......................................6分（II ）由（I ）可知，)62sin()(π-=A A f ，1)62sin(=-∴πA ， ......................................7分π<<A 0Θ ， 611626πππ<-<-∴A ， .....................................8分 3,262πππ==-∴A A . ....................................9分A bc c b a cos 2222-+=Θ ， .....................................10分把3a b ==代入，得到2320c c -+=， ..................................11分1=∴c 或2=c . ....................................12分 16.（共13分） 解：（I ）方法一设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则)109,2(~B X ， 故591092)(=⨯=X E ， ....................................... 2分 则选手甲在A 区投篮得分的期望为6.3592=⨯ . ....................................... 3分设选手甲在B 区投篮的进球数为Y ，则)31,3(~B Y ，故1313)(=⨯=Y E ， ....................................... 5分则选手甲在B 区投篮得分的期望为313=⨯ . ....................................... 6分 36.3>Θ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分方法二：（I ）设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0，2，4，212291(0)(1)101009918(2)(1)1010100981(4)().10100P P C P ξξξ==-===⋅-====；；所以ξ的分布列为.......................................2分6.3=∴ξE .......................................3分 同理，设选手甲在B 区投篮的得分为η，则η的可能取值为0，3，6，9，3123223318(0)(1);327114(3)(1);339112(6)()(1);33911(9)().327P P C P C P ηηηη==-===⋅-===-====所以η的分布列为：.......................................5分3E η∴=， .......................................6分ηξE E >Θ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分（Ⅱ）设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分在B 区投篮得0分为事件1C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得0分为事件2C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得3分为事件3C ，则123C C C C =U U ，其中123,,C C C 为互斥事件. .......................................9分 则： 12312318881881449()()= ()()()1002710027100975P C P C C C P C P C P C =++=⨯+⨯+⨯=U U 故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975..................................13分17. （共14分）解：（I ）Θ棱柱ABCD —1111A B C D 的所有棱长都为2，∴四边形ABCD 为菱形，AC BD ⊥ . .......................................1分又1A O ⊥平面ABCD, BD ⊂平面ABCD ，1AO BD ∴⊥ . .......................................2分 又1AC AO O =Q I ，1,AC AO ⊂平面11ACC A ， ⊥∴BD 平面11ACC A ， .......................................3分⊂1AA Θ平面11ACC A ，∴ BD ⊥1AA . .......................................4分（Ⅱ）连结1BCΘ四边形ABCD 为菱形，AC BD O =IABC1B 1C 1A DF1D OO ∴是BD 的中点. ....................................... 5分 又Θ点F 为1DC 的中点，∴在1DBC ∆中，1//BC OF ， .......................................6分 ⊄OF Θ平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B∴//OF 平面11BCC B .......................................8分（III ）以O 为坐标系的原点，分别以1,,OA OB OA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. Θ侧棱1AA 与底面ABCD 的所成角为60°，1A O ⊥平面ABCD ．ο601=∠∴AO A ，在AO A Rt 1∆中，可得11,AO AO == 在Rt AOB ∆中，OB ===得1(1,0,0),(0,A A D B ...............................10分 设平面D AA 1的法向量为),,(1111z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴0111AD n AA n )0,3,1(),3,0,1(1--=-=Θ111100x x ⎧-+=⎪∴⎨-=⎪⎩ 可设)1,1,3(1-=n .......................................11分 又ΘBD ⊥平面11ACC A所以，平面11A ACC的法向量为2n OB ==u u r u u u r.......................................12分55353,cos 21-=⋅-=>=<∴n n , Θ二面角D —1AA —C 为锐角，故二面角D —1AA —C 的余弦值是55. ....................................14分18. （共13分）解：2211(21)()1(1)(1)a x ax a f x a x x x --+-'=--=+++，1x >-， .......................................2分（I ）由题意可得13(1)24af -'==-，解得3a =， ....................................3分 因为(1)ln 24f =-，此时在点(1,(1))f 处的切线方程为(ln24)2(1)y x --=--， 即2ln22y x =-+-，与直线:21l y x =-+平行，故所求a 的值为3. ....................4分 （II ） 令()0f x '=，得到1212,0x x a=-= ， 由12a ≥可知120a-≤ ，即10x ≤. ................................5分 ① 即12a =时，12120x x a=-==. 所以,2'2()0,(1,)2(1)x f x x x =-≤∈-+∞+， ................................6分 故()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞ . ................................7分 ② 当112a <<时，1120a-<-<，即1210x x -<<=， 所以，在区间1(1,2)a--和(0,)+∞上，'()0f x <； ...............................8分在区间1(2,0)a-上，'()0f x >. .................................9分故 ()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a -. .........10分③当1a ≥时，1121x a=-≤-， 所以，在区间(1,0)-上()0f x '>； ................................11分在区间(0,)+∞上()0f x '< ， ...............................12分 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. ............................13分 综上讨论可得： 当12a =时，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞； 当112a <<时，函数()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a-； 当1a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. 19. （共14分）解：（Ⅰ）抛物线22y px = (0)p >的准线为2px =-， .....................................1分 由抛物线定义和已知条件可知||1()1222p pMF =--=+=，解得2p =，故所求抛物线方程为24y x =. 2880y y b +-= ......................................3分 （Ⅱ）联立2124y x by x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得.依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-. ..............................................4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-， .............................................5分 设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y yx y ++===-. 因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==， ........................6分又||AB =. 所以||28AB r ==， .........................................7分解得85b =-. .........................................8分所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. ............................................9分 方法二：联立2124y x b y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消掉y 并化简整理得22(416)40x b x b -++=， 依题意应有2216(4)160b b ∆=+->，解得2b >-. ............................................4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212416,4x x b x x b +=+= . .............................................5分 设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y yx y ++===-， 因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==. .....................................6分又||AB =，又||28AB r ==8， .............................................7分解得85b =-， ..............................................8分所以12485x x +=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. .............................................9分 （Ⅲ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<，...........................................10分 直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=， 点O 到直线l的距离d ， .................................................11分所以1||42AOB S AB d ∆==-= ..................................................12分令32()2g b b b =+，20b -<<，24()343()g b b b b b '=+=+，由上表可得()g b 最大值为432()327g -= . ...............................................13分所以当43b =-时，AOB ∆. ...............................................14分20．（共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =L ,{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L 不具有性质P ． ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立．...............2分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P ． ................................................3分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠． .....................................................................4分 （Ⅱ）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =L①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．...................5分 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001,t x T =-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2000}x ∈，从而0120012000x ≤-≤，即,t A ∈所以T A ⊆. ...........................6分 由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ， 使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠． 对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈， 则有1212t t x x m -=-≠,所以集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ． .............................8分②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ． 任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S 中有t 2k t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素12,,,t b b b L 不超过1000．由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤， 使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠， 所以一定有12,,,t b m b m b m S +++∉L .又100010002000i b m +≤+=，故12,,,t b m b m b m A +++∈L , 即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中， 因此2k k +≤2000k t +≤，所以20002kk +≤，得1333k ≤， 当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =L L 时， 取667m =，则易知对集合S 中任意两个元素12,y y ， 都有12||667y y -≠，即集合S 具有性质P ，而此时集合Ｓ中有1333个元素．因此集合S 元素个数的最大值是1333． .....................................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
数学_2006年北京市海淀区高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2006年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设全集U ={1, 2, 3, 4, 5}，集合A ={2, 3, 4}，B ={2, 5}，则B ∪(∁U A)=( ) A {5} B {1, 2, 5} C {1, 2, 3, 4, 5} D ⌀2. 等差数列{a n }的公差d <0，且a 2⋅a 4=12，a 2+a 4=8，则数列{a n }的通项公式是（ ）A a n =2n −2(n ∈N ∗)B a n =2n +4(n ∈N ∗)C a n =−2n +12(n ∈N ∗)D a n =−2n +10(n ∈N ∗)3. 设函数f(x)=2x +1(x ∈R)的反函数为f −1(x)，则函数y =f −1(x)的图象是( A )AB C D4. 双曲线x 29−y 2m =1的焦距是10，则实数m 的值为（ ）A −16B 4C 16D 815. 若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A 若α // β，m ⊥α，则m ⊥β B 若m // n ，m ⊥α，则n ⊥α C 若m // α，m ⊥β，则α⊥β D 若α∩β=m ，n 与α、β所成的角相等，则m ⊥n6. 若a >b >0，则下列不等式中总成立的是（ ） A a +1b>b +1aB ba>b+1a+1C a +1a>b +1bD2a+b a+2b>ab7. 某科技小组有四名男生两名女生．现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为（ ）A C 63BC 21C 52 C C 21C 42+C 22C 41D A 638. 若f(x)=ax 2+bx +c(a >0, x ∈R)，f(−1)=0，则“b <−2a”是“f(2)<0”的（ ） A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9. 不等式1−x x>0的解集为________．10. 将圆C:x 2+y 2+2x −4y =0按向量a →=(1, −2)平移后，得到圆C′，则圆C′的半径为________，其圆心坐标为________．11. 在同一时间内，对同一地域，市、县两个气象台预报天气准确的概率分别为910、45，两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一气象台预报准确的概率是________．12. 如图，边长均为2的正方形ABCD 与正方形ABEF 构成60∘的二面角D −AB −F ，则点D 到点F 的距离为________，点D 到平面ABEF 的距离为________．13. 若函数f(x)=√(a +2)x 2+bx −(a +2)(a 、b ∈R)的定义域为R ，则3a +b 的值为________．14. 对于大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如图方式的“分裂”．仿此，52的“分裂”中最大的数是________，若m 3的“分裂”中最小的数是211，则m 的值为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数f(x)=cos2x +2√3sinxcosx(x ∈R)． （1）求函数f(x)的最小正周期和最大值；（2）函数f(x)的图象可由y =2sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 16. 已知函数f(x)=mx 3+nx 2(m 、n ∈R, m ≠0)，函数y =f(x)的图象在点（2, f(2)）处的切线与x 轴平行．（1）用关于m 的代数式表示n ；（2）当m =1时，求函数f(x)的单调区间．17. 如图：三棱锥P −ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BAC =90∘，PB =AB =AC =4，点E 是PA 的中点． （1）求证：AC ⊥平面PAB ；（2）求异面直线BE 与AC 的距离；（3）求直线PA 与平面PBC 所成的角的大小．18. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两定点A(1, 0)、B(0, −1)，动点P(x, y)满足：OP →=mOA →+(m −1)OB →(m ∈R)． （1）求点P 的轨迹方程； （2）设点P 的轨迹与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)交于相异两点M 、N ．若以MN 为直径的圆经过原点，且双曲线C 的离心率等于√3，求双曲线C 的方程．19. 数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，S n =(m +1)−ma n 对任意的n ∈N ∗都成立，其中m 为常数，且m <−1．（1）求证：数列{a n }是等比数列；（2）记数列{a n }的公比为q ，设q =f(m)．若数列{b n }满足；b 1=a 1，b n =f(b n−1)(n ≥2, n ∈N ∗)．求证：数列{1b n}是等差数列；（3）在（2）的条件下，设c n =b n ⋅b n+1，数列{c n }的前n 项和为T n ．求证：T n <1． 20. 函数f(x)的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意x ∈R ，有f(x)>0；②对任意x ，y ∈R ，有f(xy)=[f(x)]y ；③f(13)>1．（1）求f(0)的值；（2）求证：f(x)在R 上是单调增函数；（3）若a >b >c >0且b 2=ac ，求证：f(a)+f(c)>2f(b)．2006年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）答案1. B2. D3. A4. C5. D6. A7. C8. B9. {x|0<x <1} 10. √5,(0, 0) 11. 0.98 12. 2,√3 13. −6 14. 9,1515. 解：（1）f(x)=cos2x +2√3sinxcosx =cos2x +√3sin2x… =2(12cos2x +√32sin2x)=2sin(2x +π6)…∴ T =π，f(x)最大值=2…（2）先将y =2sinx(x ∈R)的图象向左移π6个单位，得到y =2sin(x +π6)的图象；再将y =2sin(x +π6)的图象的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到y =2sin(2x +π6)的图象．…或先将y =2sinx(x ∈R)的图象的横坐标变为原来一半，纵坐标不变，得到函数y =2sin2x 的图象；再将y =2sin2x 的图象向左移π12个单位，得到2sin(2x +π6)的图象．…16. 解：（1）∵ f(x)=mx 3+nx 2， ∴ f ′(x)=3mx 2+2nx 由已知条件得：f ′ （2）=0∴ 3m +n =0 ∴ n =−3m（2）若m =1，则n =−3 ∴ f(x)=x 3−3x 2，∴ f ′(x)=3x 2−6x ，令f ′(x)>0，∴ x <0或x >2． 令f ′(x)<0，得0<x <2∴ f(x)的单调递增区间为(−∞, 0)，(2, +∞) ∴ f(x)的单调递减区间为(0, 2)．17.解：（1）∵ 三棱锥P −ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BAC =90∘，∴PB ⊥AC ，BA ⊥AC ．…∵ PB ∩BA =B ，∴ AC ⊥平面PAB ．…（2）∵ PB =BA =4，点E 是PA 的中点，∴ BE ⊥EA ．… 又∵ EA ⊂平面PAB ，由（1）知AC ⊥EA ，… ∴ EA 是异面直线BE 、AC 的公垂线段，… ∵ PB ⊥AB ，∴ △PBA 为直角三角形．…∴ EA =12PA =12×4√2=2√2，∴ 异面直线BE 与AC 的距离为2√2．…（3）取BC 中点D ，连结AD 、PD ，∵ AB =AC =4，∠BAC =90∘，∴ BC ⊥AD ，AD =2√2．∵ PB ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，∴ PB ⊥AD ．∵ PB ∩BC =B ，∴ AD ⊥平面PBC ．… ∴ PD 为PA 在平面PBC 内的射影，∴ ∠APD 为PA 与平面PBC 所成角．… 在Rt △ADP 中，sinAPD =ADAP =12，… ∴ ∠APD =30∘，…∴ PA 与平面PBC 所成角大小为30∘． 18. 解：（1）∵ OP →=mOA →+(m −1)OB →，∴ (x, y)=m(1, 0)+(m −1)(0, −1)∴ {x =my =1−m ，∴ x +y =1即点P 的轨迹方程为x +y −1=0 （2）由{x +y =1x 2a 2−y 2b 2得：(b 2−a 2)x 2+2a 2x −a 2−a 2b 2=0∵ 点P 轨迹与双曲线C 交于相异两点M 、N ，∴ b 2−a 2≠0， 且△=4a 4−4(b 2−a 2)(−a 2−a 2b 2)>0(∗)设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−2a 2b 2−a 2，x 1x 2=−a 2+a 2b 2b 2−a 2∵ 以MN 为直径的圆经过原点，∴ OM →⋅ON →=0，即：x 1x 2+y 1y 2=0，∴ x 1x 2+(1−x 1)(1−x 2)=0，即1+2a 2b 2−a 2−2(a 2+a 2b 2)b 2−a 2=0即b2−a2−2a2b2=0①，∵ e=√3，∴ e2=a2+b2a2=3，∴ b2=2a2②．∴ 由①、②解得a=12，b=√22符合(∗)式∴ 双曲线C的方程为4x2−2y2=1．19. 解：（1）当n=1时，a1=S1=1，∵ S n=(m+1)−ma n，①∴ S n−1=(m+1)−ma n−1(n≥2)，②①-②得：a n=ma n−1−ma n(n≥2)，∴ (m+1)a n=ma n−1．∵ a1≠0，m<−1，∴ a n−1≠0，m+1≠0，∴ ana n−1=mm+1(n≥2)．∴ 数列a n是首项为1，公比为mm+1的等比数列．（2）f(m)=mm+1，b1=a1=1，b n=f(b n−1)=b n−1b n−1+1，∴ 1b n =b n−1+1b n−1，∴ 1b n−1b n−1=1(n≥2)，∴ 数列{1b n}是首项为1，公差为1的等差数列．（3）由（2）得1b n =n，则b n=1n．c n=b n⋅b n+1=1n(n+1)，T n=11×2+12×3+⋯+1n(n+1)=11−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1n+1<1．20. 解：（1）∵ 对任意x∈R，有f(x)>0，∴ 令x=0，y=2得：f(0)=[f(0)]2⇒f(0)=1；（2）任取x1，x2∈R，且x1<x2，则x1=13p1，x2=13p2，故p1<p2，∵ 函数f(x)的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f(x)>0；②对任意x，y∈R，有f(xy)=[f(x)]y；③f(13)>1．∴ f(x1)−f(x2)=f(13p1)−f(13p2)=[f(13)]p1−[f(13)]p2<0，∴ f(x1)<f(x2)，∴ 函数f(x)是R上的单调增函数．（3）由（1）（2）知，f(b)>f(0)=1，∴ f(b)>1，∵ f(a)=f(b⋅ab )=[f(b)]a b，f(c)=f(b⋅cb)=[f(b)]c b，∴ f(a)+f(c)=[f(b)]a b+[f(b)]c b>2√[f(b)]c+a b，而a+c>2√ac=2√b2=2b，∴ 2√[f(b)]c+a b>2√[f(b)]2b b=2f(b)，∴ f(a)+f(c)>2f(b)．。
北京市海淀区高三数学上学期期末考试(扫描版) 文
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文）答案及评分参考 2011．1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x =12. 25π 13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（共13分）解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分 )(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA , ...............................7分 π<<A 0 ,3433πππ<+<∴A , ..................................8分2,33A ππ∴+= 得到3A π= . ...............................9分 ,23b a = 且B b A a sin sin = , ....................................10分s i n b B =, ∴1sin =B , ....................................11分 π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分 6ππ=--=∴B A C . ....................................13分 16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a b b b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件....................................11分 ∴53106)(==A P . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ） 四边形ABCD 为菱形且AC BD O =，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ） 四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A =且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分 ⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分18. （共13分） 解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分 （I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，....................................10分所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分 综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+；当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+；当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+.19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t .(I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠=，所以120DOC ∠=. ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ，依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -， 可以设:(2)6t AP y x =+， ............................................6分 和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根， 所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分 代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t t y t t -=+=++. ..................................9分同理，设:(2)2t BP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ， 代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t t y t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+ 显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分 若11x ≠，则212t ≠，21x ≠， 所以有212212240836722112136MQ t y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQ t y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P . ...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+， 使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分 由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ， 从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-，其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ； 因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
2006年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文科数学试题及解答(WORD版)
2006年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号除黑。
如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合A ={}312＜+x x ，B ={}23＜＜x x -，则A ⋂B 等于 (A){}23＜＜x x - (B){}21＜＜x x (C)3-＞x x (D)1＜x x (2)函数y =1+cos x 的图象（A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称 （D ）关于直线x =2π对称 （3）若a 与b -c 都是非零向量，则“a ·b =a ·c ”是“a ⊥(b -c )”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（4）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有（A ）36个 （B ）24个 （C ）18个 （D ）6个 （5）已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --⎧=⎨≥⎩＜，是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是（A ）(1，+∞) （B ）(-∞,3) (C)3,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭(D)(1,3)(6)如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么(A)b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9 (7)设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是 (A)若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面(B)若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 (C)若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC (D)若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车辆数如图所示，图中x 1`x 2`x 3，分别表示该时段单位时间通过路段AB ⋂,BC ⋂,CA ⋂的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则 （A ）x 1＞x 2＞x 3 （B ）x 1＞x 3＞x 2 （C ）x 2＞x 3＞x 1 （D ）x 3＞x 2＞x 1第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区期末练习二高三数学文科试卷(海淀区二模试卷)人教版 试题
2006年市海淀区期末练习二高三数学文科试卷(海淀区二模试卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合}5,2{},4,3,2{},5,4,3,2,1{===B A U ，则B ∪（）等于（） A ．{5}B ．{1，2，5}C ．{1，2，3，4，5}D ．2．等差数列{n a }的公差d<0，且8,124242=+=⋅a a a a ，则数列{n a }的通项公式是（） A ．)(22*N n n a n ∈-= B ．)(42*N n n a n ∈+=C ．)(122*N n n a n ∈+-=D ．)(102*N n n a n ∈+-=3．若函数xx f 2)(=+1的反函数是)(1x f-，则函数)(1x fy -=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．双曲线1922=-my x 的焦距是10，则实数m 的值为（）A ．－16B ．4C ．16D ．815．若α、β是两个不同平面，m 、n 是两条不同直线，则下列命题不正确．．．的是（） A ．,,//αβα⊥m 则β⊥m B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．n ∥α，n ⊥β，则α⊥βD ．α∩β=m ，n 与α、β所成的角相等，则m ⊥n6．若0>>b a ，则下列不等式中一定成立的是（）A ．a b b a 11+>+B ．11++>a b a bC ．ab b a 11->-D ．ba b a b a >++227．某科技小组有四名男生两名女生. 现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生 入选的不同选法种数为（）A ．36CB ．2512C CC ．14222412C C C C +D ．36A8．若0)1(),,0()(2=-∈>++=f R x a c bx ax x f ，则“a b 2-<”是“0)2(<f ”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9．不等式01>-xx的解集为. 10．将圆042:22=-++y x y x C 按向量a =（1，－2）平移后，得到圆C ′，则圆C ′的半径为，其圆心坐标为.11．在同一时间内，对同一地域，市、区两个气象台预报天气准确的概率分别为109、54， 两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一气象台预报准确的概率是. 12．如图，边长均为2的正方形ABCD 与正方形ABEF 构成60°的二面角D —AB —F ，则点D 到点F 的距离为，点D 到平面ABEF 的距离为. 13．若函数)2()2()(2+-++=a bx x a x f 的定义域为R ，则b a +3的值为.14．对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”仿此，52的“分裂”中最大的数是，若)(*3N m m ∈的“分裂”中最小的数是21，则m 的值为. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）已知函数).(cos sin 322cos )(R x x x x x f ∈+= （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；（2）函数)(x f 的图象可由R x x y ∈=(sin 2）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得 到？16．（本小题共13分）已知函数m nx mx x f ()(23+=、0,≠∈m R n ），函数)(x f y =的图象在点（2，)2(f ）处的切线与x 轴平行.（1）用关于m 的代数式表示n ；（2）当m=1时，求函数)(x f 的单调区间.17．（本小题共14分）如图：三棱锥P —ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BAC=90°，PB=AB=AC=4，点E 是PA 的中点. （1）求证：AC ⊥平面PAB ； （2）求异面直线BE 与AC 的距离； （3）求直线PA 与平面PBC 所成的角的大小.18．（本小题共13分）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两定点A （1，0）、B （0，－1），动点P （y x ,）满足：)()1(R m OB m OA m OP ∈-+=.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 交于相异两点M 、N. 若以MN 为直径的圆经过原点，且双曲线C 的离心率等于3，求双曲线C 的方程.19．（本小题共13分）数列}{n a 的前n 项和为n n n ma m S N n S -+=∈)1(),(*对任意的*N n ∈都成立，其中m 为常数，且m<－1.（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）记数列}{n a 的公比为q ，设).(m f q =若数列}{n b 满足；*111,2)((,N n n b f b a b n n ∈≥==-）. 求证：数列}1{nb 是等差数列； （3）在（2）的条件下，设1+⋅=n n n b bc ，数列}{n c 的前n 项和为n T . 求证：.1<n T20．（本小题共14分）函数)(x f 的定义域为R ，并满足以下条件： ①对任意R x ∈，有0)(>x f ；②对任意x 、R y ∈，有yx f xy f )]([)(=； ③.1)31(>f （1）求)0(f 的值；（2）求证：)(x f 在R 上是单调增函数；（3）若ac b c b a =>>>2,0且，求证：).(2)()(b f c f a f >+[参考答案]一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分） 1．B 2．D 3．A 4．C 5．D 6．A 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．}10|{<<x x 10．5（2分）（0，0）（3分） 11． 12．2（2分）3（3分） 13．－6 14．9（2分） 5（3分） 三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共13分）解：（1）x x x x x f 2sin 32cos cos sin 322cos )(+=+=…………2分 R x x x x ∈+=+=)(62sin(2)2sin 232cos 21(2π）………………………………4分∴T=2)(,=最大值x f π…………………………………………………………6分 （2）先将R x x y ∈=(sin 2）的图象向左移6π个单位，得到)6sin(2π+=x y 的图象；再将)6sin(2π+=x y 的图象的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到)62sin(2π+=x y 的图象.…………………………13分或先将R x x y ∈=(sin 2）的图象的横坐标变为原来一半，纵坐标不变，得到函数x y 2sin 2=的图象；再将x y 2sin 2=的图象向左移12π个单位，得到)62sin(2π+=x y 的图象.………………………………13分 16．（共13分）解：（1）nx mx x f nxmx x f 23)()(223+='∴+= ………………2分由已知条件得：0)2(='f ∴3m+n=0 ………………4分∴n=－3m …………6分（2）若m=1，则n=－3……………………7分x x x f x x x f 63)(3)(223-='∴-=∴，令0)(>'x f ………………8分0<∴x 或.2>x ………………10分令20,0)(<<<'x x f 得………12分∴)(x f 的单调递增区间为（－∞，0），（2，+∞）∴)(x f 的单调递减区间为（0，2）.………………………………13分 17．（共14分）解法一：（1）∵三棱锥P —ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BAC=90° ∴PB ⊥AC ，BA ⊥AC ……………………4分∵PB ∩BA=B ∴AC ⊥平面PAB ………………4分 （2）∵PB=BA=4，点E 是PA 的中点∴BE ⊥EA ………………5分又∵EA ⊂平面PAB 由（1）知AC ⊥EA ………………6分∴EA 是异面直线BE 、AC 的公垂线段…………7分 ∵PB ⊥AB ∴△PBA 为直角三角形…………8分 ∴EA=21PA=21×42=22∴异面直线BE 与AC 的距离为22.………………9分 （3）取BC 中点D ，连结AD 、PD ∵AB=AC=4，∠BAC=90° ∴BC ⊥AD AD=22∵PB ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ∴PB ⊥AD ∵PB ∩BC =B ∴AD ⊥平面PBC ………………11分∴PD 为PA 在平面PBC 内的射影∴∠APD 为PA 与平面PBC 所成角.…………………12分 在Rt △ADP 中，21sin ==APAD APD ……………………13分∴∠APD=30°………………14分∴PA 与平面PBC 所成角大小为30°. 解法二：（1）同解法一…………………………4分 （2）同解法一……………………………9分 （3）过点A 作AD//PB ，则AD ⊥平面ABC 如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则A （0，0，0），B （－4，0，0），C （0，4，0），P （－4，0，4）………………10分)0,4,4(),4,4,4(=-=∴BC PC ………………11分设平面PBC 的法向量),,1(μλ=n⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=+=-+∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01044044400μλλμλBC n PC n ……………………12分n ∴=（1，－1，0）PA =（4，0，－4），设直线PA 与平面PBC 所成角为θsin θ=cos<PA ,n 21||||=⋅n PA n PA …………………………13分∴直线PA 与平面PBC 所成角的大小为30°………………14分 18．（共13分）解：（1）)1,0)(1()0,1(),()1(--+=∴-+=m m y x OB m OA m OP …………2分11=+∴⎩⎨⎧-==∴y x my m x 即点P 的轨迹方程为01=-+y x …………4分（2）由⎪⎩⎪⎨⎧-=+22221b y ax y x 得：22222222)(b a a x a x a b --+-=0∵点P 轨迹与双曲线C 交于相异两点M 、N 022≠-∴a b ， 且(*)0))((44222224>----=∆b a a a b a设),(),,(2211y x N y x M ，则222222122221,2ab b a a x x a b a x x -+-=--=+…………6分∵以MN 为直径的圆经过原点0=⋅∴ON OM 即：02121=+y y x x0)1)(1(2121=--+∴x x x x 即0)(22122222222=-+--+ab b a a a b a 即022222=--b a a b ①…………………8分222222233a b a b a e e =∴=+=∴= ②………………10分∴由①、②解得22,21==b a 符合（*）式∴双曲线C 的方程为12422=-y x ………………………………13分 19．（共13分）证明：（1）当n=1时，111==S a …………………………1分n n ma m S -+=)1( ①)2()1(11≥-+=∴--n ma m S n n ②……………2分①－②得：)2(1≥-=-n ma ma a n n n ……………………3分01,0,1,0)1(111≠+≠∴-<≠=+∴--m a m a ma a m n n n)2(11≥+=∴-n m ma a n n …………………………4分 ∴数列}{n a 是首项为1，公比数1+m m 的等比数列.……………………4分（2）1)(11)(11111+====+=---n n n n b b b f b a b m mm f (7)分)2(11111111≥=-∴+=∴---n b b b b b n n n n n ……………………9分 ∴数列{nb 1}是首项为1，公差为1的等差数列.（3）由（2）得=nb 1n 则nb n 1=……10分)1(11+=⋅=+n n b b c n n n ……11分 111413131212111)1(1321211+-++-+-+-=+++⨯+⨯=n n n n T n ………………12分1111<+-=n …………………………13分 20．（共14分）解法一：（1）令2,0==y x ，得：2)]0([)0(f f =……………1分1)0(0)0(=∴>∴f f …………………………3分（2）任取1x 、),(2+∞-∞∈x ，且21x x <. 设,31,312211p x p x ==则21p p < 21)]31([)]31([)31()31()()(2121p p f f p f p f x f x f -=-=-……………………4分)()()(,1)31(2121x f x f x f p p f ∴<∴<> 在R 上是单调增函数……10分（3）由（1）（2）知1)0()(=>f b f 1)(>b f b ab f bcb f a f )]([)()(=⋅=b cb f bc b f c f )]([)()(=⋅=………11分bc a bcb ab f b f b fc f a f +>+=+∴)]([2)]([)]([)()(而)(2)]([2)]([222222b f b f b f bb ac c a bb bc a =>∴==>++)(2)()(b f c f a f >+∴……14分解法二：（1）∵对任意x 、y ∈R ，有yx f xy f )]([)(=x f x f x f )]1([)1()(=⋅=∴………1分∴当0=x 时0)]1([)0(f f =……2分∵任意x ∈R ，0)(>x f …………3分1)0(=∴f ……………………4分（2）1)]31([)313()1(,1)31(3>=⨯=∴>f f f f …………………………6分x f x f )]1([)(=∴是R 上单调增函数即)(x f 是R 上单调增函数；………10分（3）c a c a f f f c f a f +>+=+)]1([2)]1([)]1([)()(……………………11分而)(2)]1([2)]1([222222b f f f bb ac c a b c a =>∴==>++)(2)()(b f c f a f >+∴……………………14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
北京市海淀区高三数学上学期期末考试试题 文
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2016.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 复数(1i)(1i)+-=A.2B.1C. 1-D.2- 2. 已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且满足4320a a a -=，则4a 的值为 A.2 B.4 C.8 D.163. 如图, 正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的值为 A.12 B. 12- C. 1 D.1-4 . 如图，在边长为3的正方形内有区域A （阴影部分所示），张明同学用随 机模拟的方法求区域A 的面积. 若每次在正方形内每次随机产生10000个点,并记录落在区域A 内的点的个数. 经过多次试验，计算出落在区域A 内点的个 数平均值为6600个，则区域A 的面积约为A.5B.6C. 7D.85. 某程序框图如图所示，执行该程序，如输入的a 值为1，则输出的a 值为 A.1 B.2 C.3 D.56. 若点(2,3)-不在．．不等式组0,20,10x y x y ax y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩表示的平面区域内，则实数a 的取值 范围是A.(,0)-∞B. (1,)-+∞C. (0,)+∞D.(,1)-∞-EA BCD输出输入开始结束是否7. 已知函数, 1,()πsin , 1,2x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 则下列结论正确的是 A ．000,()()x f x f x ∃∈-≠-R B ．,()()x f x f x ∀∈-≠R C ．函数()f x 在ππ[,]22-上单调递增 D ．函数()f x 的值域是[1,1]- 8. 已知点(5,0)A ，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，若点F 恰好在PA 的 垂直平分线上，则PA 的长度为A.2B.22C. 3D.4 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市海淀区2006年1月高三数学期末考试卷（文科）
一．选择题： 1．已知sin570°的值为（ ）
（A ）
21 （B ）－21 （C ）23 （D ）－2
3
2．若直线ax +y －1=0与直线4x +(a －3)y －2=0垂直，则实数a 的值等于（ ）
（A ）－1 （B ）4 （C ）53 （D ）－2
3
3．函数f (x )= sin x cos x －3sin 2x 的最小正周期为（ ）
（A ）4π （B ）2
π
（C ）π （D ）2π
4．已知向量a ，b 满足：|a |=2，|b |=1，()0a b b -⋅=，那么向量a 与b 的夹角为（ ）
（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°
5．已知两不重合的直线a ，b 及两不重合的平面α、β，那么下列命题中正确的是（ ）
（A ）
//////a b ααβ
β⎫⇒⎬⎭
（B ）//////a a αβαβ⎫
⇒⎬⎭ （C ）//a a αββα⊥⎫⇒⎬⊥⎭ （D ）//a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭
6．若椭圆
22
12x y m
+=的离心率为21，则实数m 等于（ ） （A ）23或38 （B ）23 （C ）83 （D ）83或3
2
7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是
P 2，则其中至少有一个人解决这个问题的概率为（ ） （A ）P 1+P 2 （B ）P 1·P 2 （C ）1－P 1·P 2 （D ）1－(1－P 1)(1－P 2)
8．向量OA =(1，21)，OB =(0，1)，若动点P (x ，y )满足条件：0101
OP OA OP OB ⎧<⋅<⎪⎨<⋅<⎪⎩，则P (x ，
y )的变化范围（不含边界的阴影部分）是（ ）
二．填空题：
9．抛物线x 2=ay 的准线方程是y =2，则实数a 的值为 。
10．函数y =22log (1)x +-的图象F 按向量a 平移后，得到图象F ’的解析式为2log y x =，则向量a 的坐标是 。
11．圆(x +1)2+y 2=4上的动点P 到直线x +y －7=0的距离的最小值等于 。
12．如图，等边三角形ABC 的边长为4，D 为BC 中点，沿AD 把△ADC 折叠到△ADC ’处，使二面角B －AD －C ’为60°，则折叠后点A 到直线B 'C 的距离为 ；二面角'A BC D --的正切值为 。
13．等腰直角三角形ABC 的三个顶点在同一球面上，∠BAC =90°，AB =AC =2，若球心O 到平面ABC 的距离为1，则该球的半径为 ；球的表面积为 。
14．对于任意实数x ，函数f (x )取x 、21x
-、7－x 三者中的最小值，那么f (x )的最大值是 . 三．解答题：
15．△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，，△ABC c =7， 3cos C －2sin 2C =0，求
（1）角C 的大小； （2）a 、b 的值。
AA1=2a，D为棱BB1的中点，
（1）证明：A1C1//平面ACD；
（2）求异面直线AC与A1D所成角的大小；
（3）证明：A1D⊥平面ADC.
17．已知圆C：x2+y2+2x－4y+3=0，
（1）求圆心C的坐标及半径r的大小；
（1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴和y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，
求点P的轨迹方程。
18．数列{a n }(n ∈N *)中，a 1=1，且a n +1=2a n +1，又设b n =a n +1，
（1）求证：数列{b n }是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式；
（3）设1
1
n n n c a +=+(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .
19．函数f (x )=
322713(2)32
a x x a a x +-+--，在x 1，x 2处有极值f (x 1)、f (x 2)，其中x 1∈(0，1)，x 2∈(1，2)，
（1）证明：f (x 1)为f (x )的极大值；f (x 2)为f (x )的极小值； （2）求实数a 的取值范围.
20．已知双曲线122
22=-b y a x (a >0，b >0)的左右顶点分别为A 、B ，右焦点为F (c ，0) (c >0)，
右准线为l ：x =2
1
，|AF |=3，过点F 作直线交双曲线右支与P 、Q 两点，延长PB 交右准线l
于M 点，
（1）求双曲线的方程；
（2）若17OP OQ ⋅=-，求△PBQ 的面积S ；
（3）若2P F F Q =，问是否存在实数μ，使得：AM MQ μ=，若存在，求出μ的值；若不存在，请说明理由。