2012年数学强化班高等数学辅导讲义第五篇典型练习题参考答案

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2012年高考数学模拟题精编详解第5套试题

2012新教材高考数学模拟题精编详解第五套试题说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．已知a ＞b ＞0，全集为R ，集合}2|{b a x b x E +<<=，}|{a x ab x F <<=，}|{ab x b x M ≤<=，则有（）A ． E M =（F R） B ．=M （E R）FC ．F E M =D ．FE M =2．已知实数a ，b 均不为零，βααααtan sin cos cos sin =-+b a b a ，且6π=-αβ，则a b等于（）A ．3B ．33 C ．3- D ．33-3．已知函数)(x f y =的图像关于点（-1，0）对称，且当∈x （0，＋∞）时，xx f 1)(=，则当∈x （-∞，-2）时)(x f 的解析式为（） A ．x1-B ．21+x C ．21+-x D ．x-214．已知θ是第三象限角，m =|cos |θ，且02cos2sin>+θθ，则2cos θ等于（）A ．21m + B ．21m +- C ．21m - D ．21m --5．（理）已知抛物线x y 42=上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（）A ．（2，5）B ．（-2，5）C ．（5，-2）D ．（5，2）（文）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若p x x 321=+，则||PQ 等于（）A ．4pB ．5pC ．6pD ．8p6．设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A ．当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥βB ．当α⊂b 时，若b ⊥β，则βα⊥C ．当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b ⊥c ，则a ⊥bD ．当α⊂b ，且α⊄c 时，若c ∥α，则b ∥c 7．两个非零向量a ，b 互相垂直，给出下列各式： ①a ·b ＝0； ②a ＋b ＝a -b ； ③|a ＋b|＝|a -b |； ④|a |2＋|b |2＝(a ＋b 2)；⑤（a ＋b ）·（a -b ）＝0．其中正确的式子有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 8．已知数列}{n a 的前n 项和为)15(21-=n n S n ，+∈N n ，现从前m 项：1a ，2a ，…，m a 中抽出一项（不是1a ，也不是m a ），余下各项的算术平均数为37，则抽出的是（）A ．第6项B ．第8项C ．第12项D ．第15项 9．已知双曲线12222=-by ax （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（） A ．1351222=-y x B ．1312522=-yxC ．1512322=-y x D ．1125322=-y x10．在正三棱锥A -BCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC ＝1，则正三棱锥A -BCD 的体积等于（） A ．1212 B ．242 C ．123 D ．24311．（理）某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（）A ．38C 种B ．38A 种C ．39C 种D ．311C 种（文）某师范大学的2名男生和4名女生被分配到两所中学作实习教师，每所中学分配1名男生和2名女生，则不同的分配方法有（）A ．6种B ．8种C ．12种D ．16种12．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意R ∈x ，都有)3()1(+=-x f x f ，当∈x [4，6]时，12)(+=x x f ，则函数)(x f 在区间[-2，0]上的反函数)(1x f -的值)19(1-f为（）A ．15log 2B ．3log 232-C ．3log 52+D ．3log 212--第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上 13．（理）已知复数i z -=31，122-=i z ，则复数421z z i -的虚部等于________．（文）从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样法选出100户调查社会购买力的某项指标，则三种家庭应分别抽取的户数依次为________．14．若实数a ，b 均不为零，且)0(12>=x xxba，则9)2(b a x x -展开式中的常数项等于________．15．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A 码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米／时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A 码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时________． 16．给出下列4个命题：①函数m ax x x x f ++=||)(是奇函数的充要条件是m ＝0： ②若函数)1lg()(+=ax x f 的定义域是}1|{<x x ，则1-<a ；③若2log 2log b a <，则1lim=+-∞→nn n nn ba b a （其中+∈N n ）；④圆：0541022=-+-+y x y x 上任意点M 关于直线25=--a y ax 的对称点，M '也在该圆上．填上所有正确命题的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知二次函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量=a （sin x ，2），=b （2sin x ，21），=c （cos2x ，1），=d （1，2），当∈x [0，π]时，求不等式f （b a ⋅）＞f （d c ⋅）的解集．18．（12分）（理）甲、乙队进行篮球总决赛，比赛规则为：七场四胜制，即甲或乙队，谁先累计获胜四场比赛时，该队就是总决赛的冠军，若在每场比赛中，甲队获胜的概率均为0.6，每场比赛必须分出胜负，且每场比赛的胜或负不影响下一场比赛的胜或负．（1）求甲队在第五场比赛后获得冠军的概率；（2）求甲队获得冠军的概率；（文）有甲、乙两只口袋，甲袋装有4个白球2个黑球，乙袋装有3个白球和4个黑球，若从甲、乙两袋中各任取出两球后并交换放入袋中．（1）求甲袋内恰好有2个白球的概率；（2）求甲袋内恰好有4个白球的概率；注意：考生在（19甲）、（19乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（19甲）计分．19甲．（12分）如图，正三棱锥P -ABC ，PA ＝4，AB ＝2，D 为BC 中点，点E 在AP 上，满足AE ＝3EP ．（1）建立适当坐标系，写出A 、B 、D 、E 四点的坐标；（2）求异面直线AD 与BE 所成的角．19乙．（12分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，a AA AB ==1，a BC 2=，M是AD 中点，N 是11C B 中点．（1）求证：1A 、M 、C 、N 四点共面；（2）求证：11MCNA BD ⊥；（3）求证：平面MCN A 1⊥平面11BD A ；（4）求B A 1与平面MCN A 1所成的角．20．（12分）已知函数x ax x x f 3)(3--=．（1）若)(x f 在∈x [1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若x ＝3是)(x f 的极值点，求)(x f 在∈x [1，a ]上的最小值和最大值．21．（12分）已知椭圆方程为1822=+yx ，射线x y 22=（x ≥0）与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A 、B 两点（异于M ）．（1）求证直线AB 的斜率为定值；（2）求△AMB 面积的最大值．22．（14分）已知等差数列}{n a 的首项为a ，公差为b ；等比数列}{n b 的首项为b ，公比为a ，其中a ，+∈N b ，且32211a b a b a <<<<．（1）求a 的值；（2）若对于任意+∈N n ，总存在+∈N m ，使n m b a =+3，求b 的值；（3）在（2）中，记}{n c 是所有}{n a 中满足n m b a =+3， +∈N m 的项从小到大依次组成的数列，又记n S 为}{n c 的前n 项和，n T }{n a 的前n 项和，求证：n S ≥n T )(+∈N n ．参考答案1．A 2．B 3．B 4．D 5．（理）C （文）A 6．B 7．A 8．B 9．A 10．B 11．（理）A （文）C 12．B 13．（理）54 （文）25，60，1514．-672 15．2.5小时 16．①，④17．解析：设f （x ）的二次项系数为m ，其图象上两点为（1-x ，1y ）、B （1＋x ，2y ）因为12)1()1(=++-x x ，)1()1(x f x f +=-，所以21y y =，由x 的任意性得f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，若m ＞0，则x ≥1时，f （x ）是增函数，若m ＜0，则x ≥1时，f （x ）是减函数．∵ x (sin =⋅b a ，x sin 2()2⋅，11sin2)212≥+=x ，x 2(cos =⋅d c ，1()1⋅，)2122cos ≥+=x ，∴ 当0>m 时，)12(cos )1sin 2()()(2+>+⇔>⋅⋅x f x f f f d c b a 1sin 22+⇔x02cos 222cos 12cos 122cos <⇔+>+-⇔+>x x x x 02cos <⇔x 2ππ2+⇔k23ππ22+<<k x ，Z ∈k ．∵ π0≤≤x ， ∴ 4π34π<<x ．当0<m 时，同理可得4π0<≤x 或π4π3≤<x ．综上：)()(d c b a ⋅⋅>f f 的解集是当0>m 时，为}4π34π|{<<x x ；当0<m 时，为4π0|{<≤x x ，或}π4π3≤<x ．18．解析：（理）（1）设甲队在第五场比赛后获得冠军为事件M ，则第五场比赛甲队获胜，前四场比赛甲队获胜三场依题意得20736.04.06.0)(434=⨯⨯=C M P ．（2）设甲队获得冠军为事件E ，则E 包含第四、第五、第六、第七场获得冠军四种情况，且它们被彼此互斥．∴ 710208.04.06.04.06.04.06.06.0)(343624354344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=C C C E P ．（文）设甲袋内恰好有4个白球为事件B ，则B 包含三种情况．①甲袋中取2个白球，且乙袋中取2个白球，②甲袋中取1个白球，1个黑球，且乙袋中取1个白球，1个黑球，③甲、乙两袋中各取2个黑球． ∴ =)(B P 2127262422231413121423248=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅C C C C C C C C C C C ．19．解析：（甲）（1）建立如图坐标系：O 为△ABC 的重心，直线OP 为z 轴，AD 为y 轴，x 轴平行于CB ，得A （0，332-，0）、B （1，33，0）、D （0，33，0）、E （0，63-，233）．（2）0(=AD ，3，1()0-=BE ，23-，)233，设AD 与BE 所成的角为θ，则203010323||cos =⨯==⋅θ． ∴ 230arccos=θ．（乙）（1）取11D A 中点E ，连结ME 、E C 1， ∴ NA11EC ，MCEC ． ∴ N A1MC ． ∴ 1A ，M ，C ，N 四点共面．（2）连结BD ，则BD 是1BD 在平面ABCD 内的射影．∵21==BCCD CDMD ， ∴ Rt △CDM ～Rt △BCD ，∠DCM =∠CBD ．∴ ∠CBD +∠BCM =90°． ∴ MC ⊥BD ． ∴ MC BD ⊥1．（3）连结C A 1，由11BCD A 是正方形，知1BD ⊥C A 1． ∵ 1BD ⊥MC ， ∴ 1BD ⊥平面MCN A 1． ∴ 平面MCN A 1⊥平面11BD A ．（4）∠C BA 1是1A 与平面MC A 1所成的角且等于45°． 20．解析：（1）0323)(2>--='ax x x f ． ∵ x ≥1． ∴ )1(23x x a -<，当x ≥1时，)1(23x x -是增函数，其最小值为0)11(23=-．∴ a ＜0（a ＝0时也符合题意）． ∴ a ≤0．（2）0)3(='f ，即27-6a -3＝0， ∴ a ＝4． ∴ x x x x f 34)(23--=有极大值点31-=x ，极小值点3=x ．此时f （x ）在31[-∈x ，]3上时减函数，在3[∈x ，＋)∞上是增函数．∴ f （x ）在1[∈x ，]a 上的最小值是18)3(-=f ，最大值是6)1(-=f ，（因12)4()(-==f a f ）． 21．解析：（1）∵ 斜率k 存在，不妨设k ＞0，求出M （22，2）．直线MA 方程为)22(2-=-x k y ，直线MB 方程为)22(2--=-x k y ．分别与椭圆方程联立，可解出2284222-+-=k k k x A ，2284222-++=k k k x B ．∴ 22)(=--=--BA B A BA B A x x x x k x x y y ． ∴ 22=AB k （定值）．（2）设直线AB 方程为m x y +=22，与1822=+yx 联立，消去y 得mx x 24162+0)8(2=-+m ．由∆＞0得-4＜m ＜4，且m ≠0，点M 到AB 的距离为3||m d =．设△AMB 的面积为S ． ∴ 2)216(321)16(321||41222222=≤-==⋅m m dAB S ．当22±=m 时，得2max =S ．22．解析：（1）∵ b a ab b a a 2+<<+<，a ，+∈N b ， ∴ ⎩⎨⎧+<<+.2，b a ab ab b a ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<->.121b b a b b a ， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+<-+>.122111b a b a ， ∴ ⎩⎨⎧<>41a a ，．∴ a ＝2或a ＝3（a ＝3时不合题意，舍去）． ∴a ＝2．（2）b m a m )1(2-+=，12-⋅=n n b b ，由n m b a =+3可得12)1(5-⋅=-+n b b m ． ∴ 5)12(1=+--m b n ． ∴ b ＝5（3）由（2）知35-=n a n ，125-⋅=n n b ， ∴ 32531-=-=-⋅n n m b a ．∴ 3251-=-⋅n n C ． ∴ n S nn 3)12(5--=，)15(21-=n n T n ．∵ 211==T S ，922==T S ．当n ≥3时， ]121212[52---=-n n T S nn n ]12121)11[(52---+=n n n]12121)1[52321---++++=n n C C C n n n0]121212)1(1[52=----++>n n n n n ．∴ n n T S >．综上得 n n T S ≥)(+∈N n ．。

高教线性代数第五章二次型——课后习题答案

第五章二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。

1）323121224x x x x x x ++-；2）23322221214422x x x x x x x ++++； 3）32312122216223x x x x x x x x -+--;4）423243418228x x x x x x x x +++； 5)434232413121x x x x x x x x x x x x +++++；6）4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++.解 1)已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=，先作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x （1）则()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-= ()222333142y y y y ++--=，再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=33223112121zy z y z z y (2）则原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=,最后将（2)代入（1），可得非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x （3）于是相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100211212102110001021021100011011T ，且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='100040001AT T 。

2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++，由配方法可得()()()233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2322212x x x x +++=,于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=333222112xy x x y x x y ，则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f +=，且非退化线性替换为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122yx y y x y y y x ，相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210211T ，且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T 。

23高数切片讲义第5章课后习题与答案

第五章二重积分【基础练习题44】1. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小（1）2d Dx y 与 3d Dx y ，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线1x y 所围成；（2）2d Dx y 与 3d Dx y ，其中积分区域D 是由圆周 22212x y 所围成；（3）ln d Dx y 与 2ln d Dx y，其中积分区域D 是三角形闭区域，三个顶点分别为 1,0,1,1,2,0；（4）ln d Dx y 与 2ln d Dx y，其中 ,35,01.D x y x y2.设1D I,222cos()d DI x y ,2223cos()d DI x y, 其中22(,)1D x y x y ，则（）（A ）123I I I . （B ）321I I I . （C ）312I I I .（D ）213I I I .【基础练习题44解析】1.【解析】（1）在积分区域D 上，01x y ，故有32()()x y x y . 故32d d DDx y x y . （2）由于积分区域D 位于半平面(,)1x y x y 内，故在D 上有23()()x y x y . 从而23d d DDx y x y . （3）由于积分区域D 位于条形区域(,)12x y x y 内，故知区域D 上的点满足0ln()1x y ，从而有2[ln()]ln()x y x y . 因此高等数学切片课后习题23高数切片讲义第3章课后习题与答案2ln d ln d DDx y x y. （4）由于积分区域D 位于半平面(,)e x y x y 内，故在D 上有ln()1x y ，从而2[ln()]ln()x y x y. 因此 2ln d ln d DDx y x y. 2.【答案】A.【解析】当221x y 时，有222220()1x y x y又cos x 在 0,1上为减函数，故有22222cos()cos x y x y且等号仅在部分点成立，由二重积分的比较性质知，321.I I I【基础练习题45】1. 画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）D ，其中D 是由两条抛物线y 2y x 所围成的闭区域；（2）2d Dxy，其中D 是由圆周224x y 及y 轴所围成的右半闭区域；（3）e d x y D，其中(,) 1D x y x y ；（4）22()d D xy x ，其中D 是由直线2,y y x 及2y x 所围成的闭区域.2. 改换下列二次积分的积分次序：（1）10d (,)d yy f x y x；（2）2220d (,)d yy y f x y x；（3）10d (,)d y f x y x ；（4）212d (,)d x x f x y y ；（5）11d (,)d xx f x y y；（6）sin 0sin2d (,)d xxx f x y y.【基础练习题45解析】1.【解析】（1）D 可用不等式表示为2x y 01x （如图1）.于是，237111424000226d d ()d .3355Dx x x y x y x x x x（2）D 可用不等式表示为0x 22y （如图2）.故，22222222164d d d (4)d .215Dxy y y x x y y y图1 图2 （3）如图3，12D D D ，其中12(,)11,10,(,) 11,01.D x y x y x x D x y x y x x因此，12e d e d e d x y x y x yDD D 0111111e d e d e d e d x x x y x y x x x y x y1211211(ee )d (e e )d x x x x1e e . （4）:,022yD x y y （如图4），故 2222202()d d ()d yy Dx y x y x y x x32222d 32yy x x y x y232019313d 2486y y y.图3 图4 2.【解析】（1）所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y ，其中 (,)0,01D x y x y y .D 可改写为 (,)1,01x y x y x （如图5），于是原式110d (,)d xx f x y y.（2）所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y ，其中 2(,)2 ,D x y yx y02y .又D可表示为(,)42x x y y x（如图6），因此原式42d (,)d x x f x y y.图5 图6 （3）所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y ，其中(,)1D x y x y.又D可表示为(,)011x y y x （如图7），因此原式11d (,)d x f x y y.（4）所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y，其中(,)2D x y x y12x . 又D可表示为(,)211x y y x y （如图8），故原式1102d (,)d yy f x y x.图7 图8 （5）111101d (,)d d (,)d d (,)d .xyxx f x y y x f x y y y f x y x【注】原二次积分11d (,)d xx f x y y中对y 的积分上限小于下限，不符合累次积分转化规则，需要线添加负号互换上下限. （6）如图9，将积分区域D 表示为12D D ，其中12(,)arcsin arcsin ,01,(,)2arcsin ,10.D x y y x y y D x y y x y于是，原式1arcsin 00arcsin 12arcsin d (,)d d (,)d yyyy f x y x y f x y x.图9【基础练习题46】1. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：（1）222d )d ax x y y；（2）0d a x y；（3）211222d ()d x xx x y y；（4）220d )d ay x y x .2. 选用适当的坐标计算下列各题：（1）22d Dx y，其中D 是由直线2,x y x 及曲线1xy 所围成的闭区域；（2）D，其中D 是由圆周221x y 及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域；（3）22()d Dx y ，其中D 是由直线,,,3 (0)y x y x a y a y a a 所围成的闭区域.3. 作适当变换，计算下列二重积分：（1）22sin d d Dx y x y x y ，其中D 是平行四边形闭区域，它的四个顶点是π,0,2π,π,π,2π,0,π；（2）22d d Dx y x y ，其中D 是由两条双曲线1xy 和2xy 与两条直线y x 和4y x 所围成的在第一象限内的闭区域.【基础练习题46解析】1.【解析】（1）积分区域D 如图1所示. 在极坐标系中，(,)02cos ,02D a，于是，2cos 42cos 2220444420d d d 43134cos d 4.4224a a aa a原式（2）如图2，在极坐标系中，(,) 0sec ,04D a.图1 图2 于是，原式3sec 3440d d sec d 3a a340sec tan ln(sec tan )6a31)]6a . （3）积分区域D 如图3所示. 在极坐标系中，抛物线2y x 的方程是22sin cos ，即tan sec ；射线 (0)y x x 的方程是4，故 (,)0tan sec , 04D.图3于是tan sec44401d d tan sec d sec 1.原式（4）积分区域(,)0(,)0, 02D x y x y a a，故42420d d 248aa a原式.2.【解析】（1）D 如图4所示，根据D 的形状，选用直角坐标较宜，1(,) ,12D x y y x x x，故22223122119d d d ()d 4x x Dx x x y x x x y y.图4（2）根据积分区域D 的形状和被积函数的特点，选用极坐标为宜，(,)01,02D，故200d d d d D原式23111000d 221124011)2241201arcsin 22(2)8. （3）D 如图5所示. 选用直角坐标为宜. 又根据D 的边界曲线的情况，宜采用先对x 、后对y 的积分次序. 于是3332222224()d d ()d 2d 14.3a yaa y aaDa xy y x y x ay a y y a图53.【解析】（1）令,u x y v x y ，则,22u v v ux y. 在这变换下，D 的边界x y ，x y ，x y ，3x y 依次与u ，v ，u ，3v对应. 后者构成uOv 平面上D 对应的闭区域D 的边界，于是(,),3D u v u v （如图6）.图6又 11(,)12211(,)222x y J u v ，因此2222223341()sin ()d d sin d d 21d sin d 21sin 2.23243D D x y x y x y u v u v u u v v u v v（2）令,yu xy v x，则x y . 在这变换下，D 的边界1xy ,y x ， 2,4xy y x 依次与1,1,2,4u v u v 对应，后者构成uOv 平面上与D对应的闭区域D 的边界. 于是(,),4D u v u v （如图7）.图7又(,)1111(,)42x y J u v v v v. 因此242222111117d d d d d d ln 2.223DD x y x y u u v u u v v v【基础练习题47】1.设222222322111d ,cos sin d ,e 1d ,xy x y x y x y M x y N x y P则必有（）（A ） M N P . （B ） N M P . （C ） M N P . （D ） N P M .2. 设区域D 为222x y R ，则22d d Dx x y a ．3. 设22(,)1D x y x y ，则2()d d Dx y x y . 4. 已知22,2D x y xy y ，计算二重积分32d d Dx y x y .5. 已知 ,,,1D x y y x y x x，计算二重积分esin d d xDy x y .6. 已知区域D 为圆224x y 在第一象限所围的部分，计算二重积分d d Dxx y x y .7. 求二重积分 22121e d d x y Dy x x y的值，其中D 是由直线,1y x y ，1x 围成的平面区域.8. 设区域22(,)1,0D x y x y x ，计算二重积分221d d 1Dxyx y x y . 【基础练习题47解析】1.【答案】（B ）.【解析】因为 3322333x y x x y xy y ，函数3223,3,3,x x y xy y 分别是关于,,,x y x y 的奇函数，又积分区域1x y 关于x 轴、y 轴对称，故31d 0.x y M x y又22cos sin x y 在积分区域221x y 上大于0，且不恒为0；22e1x y 在积分区域221x y 上小于0，由二重积分的比较性质知2222222211cos sin d 0,e1d 0.x y x y x y N x y P故 N M P ，（B ）正确.2.【答案】42π4R a .【解析】【法1】直接利用极坐标计算2422322201d d cos d d 4RDx R x y r r a a a.【法2】由于积分区域D 关于y x 对称知222222222π222220044221d d d d d d 211d d d d 221π2π.244D DD R D x y x y x y x y x y a a a a x y x y r r r a a R R a a3.【答案】π4. 【解析】22()d d d d d d DDDx y x y x x y y x y ，因为积分区域D 关于x 轴对称，被积函数y 为关于y 的奇函数，故d d 0.Dy x y又积分区域D 关于y x 对称，故由轮换对称性知，222222π12001()d d d d d d d d 21πd d .24DDDDx y x y x x y y x y x y x y r r r4.【解析】因为积分区域D 关于y 轴对称，被积函数32x y 为关于x 的奇函数，故32d d 0.Dx y x y 5.【解析】因为积分区域D 关于x 轴对称，被积函数e sin xy 为关于y 的奇函数，故e sin d d 0.x Dy x y 6.【解析】因为积分区域D 关于y x 对称，故由轮换对称性知，21d d d d d d 2111ππd d 2.22242D DD D Dx y x y x y x y x y x y x y x y x y x y S7.【解析】如图，积分区域D 可拆分为12,D D ，其中1D 关于y 轴对称，2D 关于x 轴对称.又2121222211221e d d d d e d d ,x y x D D y D D D y x x y y x y xy x y 积分函数y 为关于y 的奇函数，关于x 的偶函数，而积分函数2212ex y xy 为关于,x y 的奇函数，由对称性知，12210210211e d d d d d d 22d .3y x y y D D y x x y y x y y y x y y8.【解析】因为22222211d d d d d d ,111D D Dxy xyx y x y x y x y x y x y 又积分区域D 关于x 轴对称，由对称性知，22d d 0,1Dxyx y x y 故 π12π202211220022221d d 11d 1πln22πln 1π.12211d d d d 11D Dr r xy x y x y x r y x y r r r。

南开大学出版社高数练习册第五章答案.doc

第五章定积分第一节定积分的概念及性质一、选择题1、A2、D二、填空题1、负2、［*/3、b-a三、1、1 2、0 -4四、1、z 2> < 3> < 4、>五、解：定积分处理问题的四个步骤为：1、分割：将时间区间［儿乙］任意分成n个小区间M，商= l,2,...,n),每个小区间所表示的时间为;各区间物体运动的路程记为△SiQ = 1,2,・•。

2、近似：在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程。

在每个小区间"E ］上任取一时刻夺，以速度V⑥近似代替时间段 "，讪上各个时刻的速度,则有△仰=1,2,・••/)・3、求和：将所有这些近似值求和，得到总路程S的近似值，即S = £△$"£・/=! /=14、取极限：对时间间隔四乙］分割越细，误差越小。

为此记A = max{An),\<i<nn当人TO时和式的极限便是所求路程S,即S = lim£v ㈤山二* 1=1 /=!那么在一秒内经过的路程为S=、20=l ・六、解：设f(x) = /二则/⑴=/站(2尤-1) 当JCG(O,-)时,f (x)<0.2 Ji当xe (— ,2)时,f (x) > 0.i _i・•・、心的极小值为/'(5)=厂；2・.・ f(0) = l,f(2) = e~:.| < J / dx < | /dx即2e^< f e x X dx<2e2••-2° < [ / dx <-2e4七、证明："⑴二土在[1,4]±为减函数.・.sA⑴第二节微积分基本公式一、填空题1、C2、&「23、2xsin V44、05、「Vsin A入r i2 r »小+x 小+x 二、求定积分1、^Vx(l + Vx)Jx = (&2 +：Q L = 45：。

2012考研数学：高数讲义重点题型解答(一)

f ( x )dx < 0 ，即 an 单调减少
3 n 2 n −1
an = f (1) − ∫ f ( x )dx + f (2 ) − ∫ f ( x)dx + " + f (n − 1) − ∫
1
f ( x )dx + f (n )
= ∑ ⎡ f (k ) − ∫ ⎢ k k =1 ⎣
n −1
1
2． lim (a n + b n + c n ) n ( a, b, c非负) ；
解：因为 f ( x ) 在 [0,+∞ ) 上单调减少、非负、连续，故 f (k ) =
∫
k
k −1
f (k )dx < ∫
k
k −1
f (x )dx < ∫
k
k −1
f (k − 1)dx = f (k − 1) ， k ≥ 1
则 an +1 − an = f (n + 1) −
2
∫
n +1
n
xn − xn −1 1 − xn + 1 − xn −1
且 x2 = 0 < x1 ，故 x2 < x1 , x3 < x2 " xn < xn −1 ，即 xn 单调减少； x1 ≥ −2 ,不妨假设 xn ≥ −2 则 xn +1 ≥ − 1 + 2 ，即 xn 有下届，单调有界数列必在极限，故极限存在。不妨假设 lim xn = A ，则 A + 1 + A = 0 ，解得 A =
( )
sin x sin 2 x sin 3 x x x 2 x3 3 同理 1 + sin x = 1 + − + + o sin x = 1 + − − + o x3 2 2 16 2 2 48

2012年高一模块5修习考试数学试题参考答案

2012年高一模块5修习考试数学试题参考答案一、选择题 BDCAB DCCAC二、填空题11. 2 13. 45° 14. [)2,+∞ 15. ()()126n n n ++三、16．解：∵B bsin ＝C csin ，∴sin C ＝b Bc sin ⋅＝360sin 1︒⋅＝21． ……………6分∵b ＞c ，∠B ＝60°，∴∠C ＜∠B ，∠C ＝30°，∴∠A ＝90°．由勾股定理a ＝22＋c b ＝2，即a ＝2，∠A ＝90°，∠C ＝30°． …………………12分17.（1）若函数的定义域为R ，即2210ax ax ++>的解集为R ．当a =0时，不等式转化为1>0，显然对x ∈R ，不等式2210ax ax ++>都成立；当a ≠0时，不等式的解集为R ，则有20,440.a a a >⎧⎪⎨∆=-<⎪⎩解得0<a <1．综上可得0≤a <1时，函数的定义域为R ．…………………6分（2）因为x <0，所以-x >0，由基本不等式得：99()(4)(4)())()212f x x x x x x -=-+=-+--=≥，所以()12f x -≤．当且仅当94x x -=-即32x =-时，9()4f x x x =+取得最大值-12．………12分18. 解：（Ⅰ）由题意得：11233S a a ，a=3.当2n ≥时，11132332332n n n n n n a S S ，∴n a =3·2n-1………5分（Ⅱ） 132n n b n012132629232n n T n ① 2n T 12132623(1)232n n n n ②① — ②得：1212233(222)32333212nn n n n T n n 33(21)323(1)23n n n n n∴ 3(1)23n n T n … ……………………12分19.（1）∵cos B =45，∴sin B =35，由正弦定理sin sin a b A B =，得10sin303a =︒，∴a =53．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）（2）∵△ABC 的面积S =12ac ·sin B ，∴12ac ×35=3，ac =10．由余弦定理b 2=a 2+c 2－2ac cos B 得4=a 2+c 2－85ac = a 2+c 2－16，∴a 2+c 2=20∴(a +c ）2=a 2+c 2+2ac =20+2×10=40，∴a +c ．．．．．．．．．．．．．．．（12分）20．解：（1）设公差为d ，由题意，⎩⎨⎧ ⇔ ⎩⎨⎧解得⎩⎨⎧所以a n ＝2n －20． ……………………4分（2）由数列{a n }的通项公式可知，当n ≤9时，a n ＜0，当n ＝10时，a n ＝0，当n ≥11时，a n ＞0．所以当n ＝9或n ＝10时，S n 取得最小值为S 9＝S 10＝－90．……………8分（3）记数列{b n }的前n 项和为T n ，由题意可知b n ＝12-n a ＝2×2n －1－20＝2n －20．所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(21－20)＋(22－20)＋(23－20)＋…＋(2n －20)＝(21＋22＋23＋…＋2n )－20na 4＝－12a 8＝－4 a1＋3d＝－12a 1＋7d ＝－4 d＝2 a 1＝－18＝21221--+n －20n ＝2n +1－20n －2． ………………13分 21. 解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P=6x+8y ， ………2分由题意有3020300510110x y x y x Ny N +≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩ ……………10分（列不等式组4分，画图4分）由图知直线y=34-x+18P 过M （4，9）时，纵截距最大.这时P 也取最大值P max =6×4+8×9=96（百元）.故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元.………14分。

2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）一、选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i +-+- 【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i -+-+-+===+++-. 【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

（2）、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B A A m B m m A m m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴==∴===或舍去.【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。

在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。

（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x =﹣4 ，则该椭圆的方程为 A. 216x +212y =1 B. 212x +28y =1 C. 28x +24y =1 D. 212x +24y =1 【考点】椭圆的基本方程【难度】容易【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x =﹣4,∴2a =4c 且焦点在x 轴上，∵2c =4∴c =2，a =22∴椭圆的方程为22=184x y + 【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。

在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。

高等数学课后习题及参考答案(第五章)

高等数学课后习题及参考答案（第五章）习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1)xdx ba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)取分点为n i x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .3. 利用定积分的几何意义说明下列等式: (1)1210=⎰xdx ; (2)41102π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21arctan )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx , 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2,41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上 f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a ba dx x g dx x f )()(, 则在[ab ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx dy x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0;当4π=x 时, 224sin =='πy .2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xy ttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y , 于是ye x dx dy cos -=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0.因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x x dtt dxd cos sin 2)cos(π.解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ )cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-= )sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx xx ;解852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ;解94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+=.(4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+ax a dx 3022;解aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.(7)⎰-1024x dx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx .(8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 01301221224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=.(9)⎰---+211e xdx ; 解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .(10)⎰402tan πθθd ;解4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |;解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx xπππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. (12)⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 2111)(2x x x x x f . 解38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;(2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;(4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdxcos 1cos 1=+-=ππk kk k(3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;(2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k .(3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k .9. 求下列极限: (1)xdt t xx ⎰→020cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)22222200022)(2lim)(limx xt x t x xt xt x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→222220202lim2limx xt x x x xt x xedte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式,并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ,316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解当x <0时,00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ;当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x a dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ.于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=.由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内)]()([1)(≤--='ξf x f a x x F .习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ2)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.(4)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰262cos ππudu ;解2626262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228;解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 12424224212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰. (10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--223cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 20230223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x .解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-224cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x . (3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dxx dx. 证明令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111xx xdt t dt t tx dx , 而 ⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111,所以 ⎰⎰+=+1112211x xxdx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.证明令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.证明 ⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sin xdx xdx xdx nn n,而⎰⎰⎰⎰==---=2020202sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 证明设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e.(3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰342sin ππdx xx;解34343434342sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππxxdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx x x; 解 ⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx x x x xd dx xx )12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d x x x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x. (7)⎰202cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==202202202202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x xx 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t tx dxx te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt e t .因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1ee e e e -=---++-=.(12)⎰-1022)1(dx xm (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(1022π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sin tdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m 令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===20200sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m mmm (用第8题结果).根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解因为1]1111[21][21ch 2)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt e pt pt ωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102xx x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散. (9)⎰-211x xdx ;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k k k x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点,同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim 101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n n n p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→10ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰xx x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim )(lim )(lim a af x xf dt t f a x dt t f x dt t f a x x xaa x xa a x x a a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则). (5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim 22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx xx d x dx ;解计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba ba ba ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222。

2012年超越考研暑期强化班讲义概率论同步训练解答

P{ X 1 2} P{1 X 3} F (3 0) F (1)
同步训练 P242
2 . 3
x 0, 0, 0.3, 0 x 1, 1. 设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) 求 X 的概率分布． 0.6, 1 x 2, x 2, 1,
．（答案：1 p ）
2. 设随机变量 X ~ N (10, 2 ) ，已知 P{ X 20} p ，则 P{ X 0} 解：由题意， P{ X 20} 1 (
20 10 10 ) 1 ( ) p ， 0 10 10 10 P{ X 0} 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 p .
fY ( y ) ．（答案： fY ( y )
3(1 y )2 , y ） [1 (1 y )6 ]
解： FY ( y ) P{Y y} P{1 3 X y} P{ X (1 y )3 } ，

3
(1 y )
1 1 1 dx arctan(1 y )3 y ； 2 (1 x ) 2
1 2 0 . 0.3 0.3 0.4
x 0, 0, 2. 设随机变量 X 的密度函数为 f ( x ) k 求(1)常数 k ；(2) X 的分布函数 F ( x) ； , x 0, 1 x 2 x 0, 0, 2 1 (3) P arctan X ．（答案： k , F ( x) 2 ） 4 arctan x, x 0, 2
同步训练 P233 1. 设盒子中有十只球，其中四只红球，三只白球和三只黑球，现从中不放回地取三次，每次取一个，求三次所取的球颜色不同的概率.（答案：解：设 A ：所取求颜色不同；

解答金榜图书武忠祥高等数学辅导讲义练习题详解

《高等数学辅导讲义》练习题解答第五章多元函数微分学1.应选（B）.,)0,(xe xf =该函数在0=x 处不可导，则)0,0(x f ′不存在；,),0(2y e y f =该函数在0=y 处不可导，则)0,0(y f ′存在；2.应选（D）. 由b y x f a y x f y x =′=′),(,),(0000知，一元函数),(),,(00y x f y x f 分别在00,y y x x ==处连续，则),,(),(lim 0000y x f y x f x x =→).,(),(lim 0000y x f y x f y y =→3.应选（B）. ,000lim)0,0(0=Δ−=′→Δx f x x ,000lim )0,0(0=Δ−=′→Δxf y y220000)()(lim ])0,0()0,0([)]0,0(),([lim y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔΔ=Δ′+Δ′−−ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ不存在，则),(y x f 在点)0,0(处不可微，故应选（B）. 4.应选（D）.,00)(1sin)(lim)0,0(220=Δ−ΔΔ=′→Δxx x f x x ,00)(1sin)(lim )0,0(220=Δ−ΔΔ=′→Δy y y f y y22222200)()()()(1sin ))()((lim])0,0()0,0([)]0,0(),([limy x y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔ+ΔΔ+Δ=Δ′+Δ′−−ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ,0=则),(y x f 在点)0,0(处可微.当)0,0(),(≠y x 时， 2222221cos 21sin2),(y x y x x y x x y x f x ++−+= ,01sin2lim 22)0,0(),(=+→yx x y x 2222)0,0(),(1cos 2lim y x y x x y x ++→不存在，则),(lim)0,0(),(y x f x y x →不存在，即偏导数),(y x f x 在点)0,0(处不连续，故应选（D）.5.应选（D）.由0),(,0),(<∂∂>∂∂yy x f x y x f 可知,),(y x f 关于变量x 是增函数,而关于变量y 是减函数,当 2121,y y x x ><时, ).,(),(),(112122y x f y x f y x f >>6.应选（D）. )0,0()1,0()1,0()1,1()0,0()1,1()1,1(f f f f f f f −−+−−−=−−=−.211)1(),0()1,(=+>−⋅+−=ηξy x f f 故应选(D).也可用排除法:取.1.11.1),(y x y x f −=则,0)1,1(,2.2)1,1(,0)1,1(=−−−=−=f f f 则(A)(B)(C)都不对，故应选（D）.7.应选（C）. )0,0()0,1()0,1()1,1()0,0()1,1(f f f f f f −−+−−−=−−.101)1()0,(),1(=+>−⋅+−=ηξx y f f 即1)0,0()1,1(+>−f f .8. 应选（B）【解1】直接法由于22)0,0(),(22)0,0(),(2222)0,0(),(lim),(lim)(),(limy x y x y x f y x y x y x f y x y x y x +−+=++−→→→1),(lim22)0,0(),(=+=→yx y x f y x则0),(lim )0,0(),(=→y x f y x ，若0)0,0(=f ，),(y x f 在)0,0(点连续，否则不连续。

高等数学课后习题答案--第五章

x1 1 2 4 1 1 − 2 4 1 3 2 ~ ~ ~ (3) x + x + 1 在 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的坐标 x 2 = 0 1 4 1 = 0 1 − 4 1 = − 3 . x 0 0 1 1 0 0 1 1 1 3
8. 设 P2 为次数不超过 2 的多项式全体构成的线性空间。 ~ =1， ε ~ = x + 2, 证明(1) P2 的基可取为 ε 1 =1, ε 2 = x , ε 3 = x 2 ，也可取为 ε 1 2 2 ~ ε = (x + 2) ；
3 1 2 3
~ =ε , ε ~ = 2ε + ε , ε ~ = 4ε + 4ε + ε , 8. (1) ε 1 1 2 1 2 3 1 2 3
x1,n −1 x 2,n −1
M L L x n −1,n −1 L x n ,n −1
x1n x2n M x n −1 , n x nn
x1n x2n M M M , k −2 k −2 ml xl 2 L ∑ ml xl ,n −1 x n −1 , n ∑ l =1 l =1 k −2 k −2 n x L n x x ∑ ∑ nn l l , n −1 l l2 l =1 l =1 x11 x12 L x1,n −1 x1n x 21 x 22 L x 2,n −1 x 2 n K 因此矩阵 A 经过适当的行变换后, 变为 M M M M , 于是 | A |= 0 , L 0 L 0 s 0 0 0 L 0 t ~ ~ ~ 即 a , a , K, a 线性相关, 与已知矛盾. rank ((a , a ,K, a )) ≥ k − 1 .

高等数学课后习题答案第五章

习题五1．求下列各曲线所围图形的面积：（1）与x2+y2=8(两部分都要计算)；解：如图D1=D2解方程组得交点A(2，2)(1)∴,．（2）与直线y=x及x=2；解：.(2)（3）y=e x，y=e-x与直线x=1；解：．(3)（4）y=ln x，y轴与直线y=ln a，y=ln b．(b>a>0)；解：．(4)（5）抛物线y=x2和y=-x2+2；解：解方程组得交点(1，1)，(-1，1)．(5)（6）y=sin x，y=cos x及直线；解：．(6)（7）抛物线y =-x 2+4x -3及其在(0，-3)和(3，0)处的切线；解：y′=-2x +4． ∴y ′(0)=4，y ′(3)=-2． ∵抛物线在点(0，-3)处切线方程是y =4x -3 在(3，0)处的切线是y =-2x +6 两切线交点是(，3)．故所求面积为(7)()()()()()33222302332223024343d 2643d d 69d 9.4D x x x x x x x x x x x x x⎡⎤⎡⎤=---+-+-+--+-⎣⎦⎣⎦=+-+=⎰⎰⎰⎰（8）摆线x =a (t -sin t )，y =a (1-cos t )的一拱 (0≤t ≤2π)与x 轴；解：当t =0时，x =0, 当t =2π时，x =2πa ．所以()()()2π2π2π2202d 1cos d sin 1cos d 3π.aS y x a t a t t a t ta ==--=-=⎰⎰⎰(8)（9）极坐标曲线 ρ=a sin3φ；解：．(9)（10） ρ=2a cos φ；解：．(10)2．求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：（1） r =a (1+cos θ)及r =2a cos θ; 解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a 的圆，故D =πa 2．(11)（2）及．解：如图12，解方程组得cosθ=0或,即或．(12)．3．已知曲线f(x)=x-x2与g(x)=ax围成的图形面积等于，求常数a．解：如图13，解方程组得交点坐标为(0，0)，(1-a，a(1-a))∴依题意得得a=-2．(13)4．求下列旋转体的体积：（1）由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转；解：求两曲线交点得(0，0)，(1，1)．（14）（2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；解：见图14，．（2）星形线绕x轴旋转；解：见图15，该曲线的参数方程是：，由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为(15)5．设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。

高等数学李伟版课后习题答案第五章.

习题5—1(A．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）如果函数仅在区间上有界，它在上未必可积，要使其可积，它在上必须连续；（2）如果积分（）存在，那么；（3）性质5也常称为积分不等式，利用它（包括推论）结合第三章的有关知识，可以估计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式；（4）定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它能去掉积分号，同时该“中值”还是被积函数在积分区间上的平均值.答：（1）前者正确．如狄利克雷函数在区间（其中）上有界，但是它在区间上不可积，事实上：将任意分成个小区间，（其中）记第个小区间长度为，先在上取为有理数，则，再在上取为无理数，则，对于的不同取法黎曼和的极限不同，所以在区间上不可积；后者不正确，参见定理1.2．（2）正确．事实上：由于在区间上可积，则对的任意分法，的任意取法，都有，现在对区间等分，去在小区间的右分点，则，，并且等价于，所以．（3）正确．它是证明关于定积分不等式的基础，参见例题1.3、1.4、1.5等．（4）正确．它可以起到去掉积分号的作用；也可以用来表示连续函数在区间上的平均值，但是由于位置不好确定，一般不用它来计算平均值，而是直接计算.．自由落体下落的速度，用定积分表示前10秒物体下落的距离.解：根据定积分引入的实例，变速直线运动的路程，所以．．一物体在力作用下，沿轴从点移动到点，用定积分表示力所做的功项目管理PMP.1-项目管理框架解：将位移区间任意分成个小区间）记第个小区间长度为移动到时所做的功近似为，于是1.，记，则（假定极限存在）.C.．用定积分的几何意义求下列积分值：（1）；（2）解：（1）如图，上半圆的面积，根据定积分几何意义，所以，5.项目管理是通过以下五个过程组进行的：启动，计划，执行，控制和收尾。

（2）如图，面积，->根据定积分几何意义，所以，7.．．8.PMO项目管理办公室，负责多项目的处理协调和资源的管理等。

2012高等数学强化班讲义答案(苏德矿)

第一章函数、极限、连续考研大纲要求了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，反函数及隐函数的概念，初等函数的概念，连续函数的性质和初等函数的连续性.会建立应用问题中的函数关系式.利用极限存在的两个准则求极限，用等价无穷小量求极限，判别函数间断点的类型．应用闭区间上连续函数的性质.理解函数的概念，复合函数及分段函数的概念，极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系，无穷小、无穷大的概念，无穷小的比较，函数连续性的概念（含左连续与右连续），闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）.掌握函数的表示法，基本初等函数的性质及其图形，极限的性质及四则运算法则，极限存在的两个准则，利用两个重要极限求极限的方法．无穷小的比较方法，用洛必达法则求未定式极限的方法.第一节函数极限一（1）函数内容网络图区间定义域不等式定义集合对应法则表格法表达方法图象法初等函数解析法非初等函数单调性函数的特性奇偶性函数周期性有界性反函数重要的函数存在性定理复合函数符号函数：1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x −<⎧⎪==⎨⎪>⎩几个具体重要的函数取整函数：()][x x f =，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.狄里克雷函数：()⎩⎨⎧=.,0,,1为无理数为有理数x x x D一（2）函数极限内容网络图⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞=∞===∞→→→∞→)(lim )(lim )(lim )(lim 00x f x f A x f A x f x x x x x x 函数极限定义四则运算保号性不等式有界性唯一性性质,,,,−− 夹逼定理判断函数极限存在准则单调有界定理单侧极限与双侧极限函数极限与数列极限——归结原则关系定理函数极限与无穷小无穷大与无穷小无穷小的阶——高阶、同阶、等价函数连续定义——000lim ()()lim 0x x x f x f x y →Δ→=Δ=或可去间断点第一类间断点跳跃间断点间断点分类第二类间断点闭区间上连续函数的性质初等函数在其定义域内的闭区间上连续最大（小）值定理零值点定理（根的存在定理）介值定理函数极限与连续二、内容精要1．复合函数定义1.1 设()()D x x u E u u f y ∈=∈=,,,ϕ，若()φϕ≠∩R f D )(，则y 通过u 构成x 的函数，称为由y=f(u)与()x u ϕ=复合而成的函数，简称为复合函数，记作))((x f y ϕ=.复合函数的定义域为{}E x D x x ∈∈)(ϕ且，其中x 称为自变量，y 称为因变量，u 称为中间变量，()x ϕ称为内函数，f(u)称为外函数.（1）在实际判断两个函数()x u u f y ϕ==),(能否构成复合函数，只要看())(x f y ϕ=的定义域是否为非空集，若不为空集，则能构成复合函数，否则不能构成复合函数.（2）在求复合函数时，只要指出谁是内函数，谁是外函数，例如y=f(x), y=g(x),若y=f(x)作为外函数，y=g(x)作为内函数.则复合函数())(x g f y =，若()x g y =作为外函数，()x f y =作为内函数，则复合函数为y=g(f(x)).（3）我们要学会分析复合函数的复合结构，既要会把几个函数复合成一个复合函数，又要会把一个复合函数分拆成几个函数的复合.2．初等函数常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数.大家一定要记住基本初等函数的定义域，值域，会画它们的图象，并且要知道这些函数在哪些区间递增，在哪些区间递减，是否经过原点？与坐标轴的交点是什么？以后我们常常要用到.由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所得到的函数统称为初等函数.不是初等函数称为非初等函数.一般来说，分段函数不是初等函数，但有些分段函数可能是初等函数，例如()⎩⎨⎧>≤−=0,0,x x x x x f 2x x ==，是由2,x u u y ==复合而成.3. 无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系设0)(lim ,0)(lim 0==→→x g x f x x x x ，（这里0x 可以是常数，也可以是−∞+∞∞,,，以后我们不指出都是指的这个意思）（1）若0)()(lim=→x g x f x x ，称)(x f 当0x x →时是)(x g 的高阶无穷小量，记作 ).))((()(0x x x g x f →= .（2）若,0)()()(lim≠=→常数c x g x f x x ，称0)(x x x f →当时是)(x g 的同价无穷小量.（3）若1)()(lim=→x g x f x x ，称0)(x x x f →当时是)(x g 的等价无穷小量，记作()()~f x g x ()0x x →，此时（2）式也可记作()()()0~x x x cg x f →.（4）若())0(0)()(lim 00常数常数>≠=−→k c x x x f kx x ，称0)(x x x f →当时是0x x −的k 阶无穷小量.由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入若1)()(lim=→x g x f x x .记作))((~)(0x x x g x f →，如果)(),(x g x f 均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果)(),(x g x f 均是无穷大量，称为等价无穷大量；如果)(),(x g x f 既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量.例如 0)()(lim 0≠=→常数A x f x x ，则)(~)(0x x A x f →.注：A 不能为零，若A=0，)(x f 不可能和0等价. 无穷小量的性质：若)(x f 是有界函数，0()x x x α→当时是无穷小量，则0)()(lim 0=→x x f x x α.无穷大量的性质：1．有限个无穷大量之积仍是无穷大量.2．有界函数与无穷大量之和仍是无穷大量. 无穷小量与无穷大量之间的关系：若01lim (),lim0()x x x x f x f x →→=∞=则；若则时当且,0)(),(,0,0)(lim 00≠∈>∃=→x f x U x x f x x δδ∞=→)(1limx f x x . 4．函数极限的性质在下述六种类型的函数极限：（1）)(lim x f x +∞→ （2） )(lim x f x −∞→ （3） )(lim x f x ∞→（4）)(lim 0x f x x → （5） )(lim 0x f x x +→ （6）)(lim 0x f x x −→ 它们具有与数列极限相类似的一些性质，我们以)(lim 0x f x x →为例，其它类型极限的相应性质的叙述只要作适当修改就可以了.性质1（局部有界性）若极限)(lim 0x f x x →存在，则存在0x 的某空心邻域)(00x U ，使)(x f 在)(00x U 内有界.注意：)(lim 0x f x x →存在，只能得出)(x f 在0x 的某邻域内有界，得不出)(x f 在其定义域内有界.性质 2 若B A B x g A x f x x x x <==→→且,)(lim ,)(lim 0，则存在0x 的某空心邻域),(000δx U ，使),(000δx U x ∈时，都有)()(x g x f <.性质3（局部保号性）若)0(0)(lim 0<>=→或A x f x x ，则对任何常数)0(0<<<<ηηA A 或，存在0x 的某空心邻域)(00x U ，使得对一切)(00x U x ∈，都有 )0)((0)(<<>>ηηx f x f 或成立.性质4（不等式）若B x g A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0，且存在0x 的某空心邻域),(000δx U ，使得对一切),(000δx U x ∈，都有B A x g x f ≤≤则,)()(.性质5（函数极限的四则运算）（略）利用极限的四则运算，可得下列重要结果.)0,0(lim 0011101110≠≠+++++++−−−−∞→b a b x b x b x b a x a x a x a m m m m n n n n x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∞=<=mn m n b a m n ,,,000 上面的结论可作为公式用.性质8（归结原则或海涅（Heine ）定理）)(lim 0x f x x →存在的充要条件是：()00lim ,1,2,,lim ()n n n n n x x x x n f x →∞→∞∀=≠= 极限都存在且相等.逆否定理若存在两个数列{}{},,n nx x ′′′∞→n lim n x ′=,0x ∞→n lim n x ′′=,0x 且B A B x f A x f n n n n ≠=′′=′∞→∞→,)(lim ,)(lim 或存在{})(lim ,lim ,0n n n n n x f x x x ∞→∞→=不存在，则)(lim 00x f x n →不存在.此定理是判断函数极限不存在的一个重要方法.5. 函数连续的性质若函数0)(x x x f =在点处连续，即)()(lim 00x f x f x x =→，利用极限的性质1-5可得到函数在0x x =连续的局部有界性，局部保号性，不等式等，只要把)()(000x U x U 改成即可，读者自己叙述出来.定理初等函数在其定义域区间上连续.6. 闭区间上连续函数的性质定理（最大值与最小值定理）若)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上一定能取到最大值与最小值，即存在[]m x f M x f b a x x ==∈)(,)(,,,2121，使得对一切[]b a x ,∈，都有M x f m ≤≤)(.推论1 若[]b a x f ,)(在闭区间上连续，则[]b a x f ,)(在上有界.定理（根的存在定理或零值点定理）若函数[]b a x f ,)(在闭区间上连续，0)()(<b f a f ，则至少存在一点0)(),,(=∈ξξf b a 使.推论 1 若函数[]b a x f ,)(在闭区间上连续，且)(),(),()(b f a f c b f a f 为介于≠之间的任何常数，则至少存在一点c f b a =∈)(),,(ξξ使.推论2 若函数[]b a x f ,)(在闭区间上连续，则[]M m f R ,)(=值域.这几个定理非常重要，请大家要记住这些定理的条件与结论，并会运用这些定理去解决问题.7. 重要的函数极限与重要的等价量利用初等函数的连续性及极限符号与外函数的可交换性及等价量替换，夹逼定理可得到下面的重要的函数极限.1．.1sin lim 0=→xx x 2. e x x x =+→10)1(lim .3．0lim →x 1ln )1(lim ln )1ln(lim )1ln(1lim )1ln(10100==+=+=+=+→→→e x x x x x x x x x x x .4.1)1ln(1lim )1ln(lim 11lim000=+=+=−−→→→t t t t t e xe t t x x x 设. 5. 0lim →x )1,0(ln ln ln 1lim 1ln 0为常数≠>=⋅−=−→a a a a ax e x a a x x x .6、0lim →x )0,()1ln()1ln(1lim1)1()1ln(0≠=⋅+⋅+−=−++→b b b b xx x b e x x x b x b 为常数.7．0lim→x 1sin 1lim sin lim arcsin arcsin 00===→→tt t tt x xx t t 设.8．0lim→x 111cos sin lim tan lim arctan arctan 00=×=⋅==→→t t tt t t x xx t t 设.9．+∞→x lim )0(0ln 常数>=k x xk.10．+∞→x lim ),1(0为常数常数k a ax x k>=.11．若0lim x x →则均为常数),,()(lim ,0)(0b a b x v a x u x x =>=→lim x x →)(ln )(lim )(ln )()(00lim )(x u x V x u x V x x x V x x eex u →==→=b a ab x u x V a eeebx x x x ===→→⋅ln ln )(ln lim )(lim 0即 b x v x x a x u =→)()(lim 0.注：不仅要记住这些公式的标准形式，更要明白一般形式.即上面公式中的x 可换成)(x f ，只要o x x →时，0)(→x f ，结论依然成立.利用上述重要极限，我们可以得到下列对应的重要的等价无穷小量，在解题中经常要利用他们当0→x 时，),1,0(ln ~1,~1,~)1ln(,~sin 常数≠>−−+a a a x a x e x x x x xx.221~cos 1,~arctan ,~arcsin ),,0(~1)1(x x x x x x b bx x b −≠−+常数. 注：上式中的x 可换成)(x f ，只要0x x →时，0)(→x f .结论依然成立. 例如 )0)(,)((~)(sin 0→→x f x x x f x f 时若. 此外，若)(~)(,0)()(lim 00x x A x f A x f x x →≠=→常数.8. 求函数极限的有关定理等价量替换定理，若（1）())(~)(),(~)(),(~)(0111x x x h x h x g x g x f x f →；（2）)()()()(lim1110∞=→或A x h x g x f x x ；，则)()()()(lim )()()(lim 11100∞==→→或A x h x g x f x h x g x f x x x x .证)(111)()()()()()()()()(lim )()()(lim11111100∞=⋅⋅⋅=⋅⋅=→→或A A x h x h x g x g x f x f x h x g x f x h x g x f x x x x ,即)()()()(lim )()()(lim11100∞==→→或A x h x g x f x h x g x f x x x x . 这个定理告诉我们，在求函数极限时，分子、分母中的因式可用它的简单的等价的量来替换，以便化简，容易计算.但替换以后函数极限要存在或为无穷大.需要注意的是，分子、分母中加减的项不能替换，应分解因式，用因式替换，包括用等价无穷小量、等价无穷大量或一般的等价量来替换.9. 夹逼定理若 A x g x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0，且存在0x 的某空心邻域),(00δ′x U ，使得对一切),(00δ′∈x U x ，都有)()()(x g x h x f ≤≤，则 A x h x x =→)(lim 0.10. 洛必达)(Hospital L ′法则I设（1）0)(lim ,0)(lim 0==→→x g x f x x x x ；（2）存在0x 的某邻域)(00x U ，当)(00x U x ∈时，)(),(x g x f ′′都存在，且 0)(=′x g ；（3）)()()(lim∞=′′→或A x g x f x x ，则)()()(lim )()(lim 00∞=′′=→→或A x g x f x g x f x x x x .洛必达)(Hospital L ′法则II设（1）∞=∞=→→)(lim ,)(lim 0x g x f x x x x ；（2）存在0x 的某邻域)(00x U ，当)(00x U x ∈时，)(),(x g x f ′′都存在且 0)(=′x g ；（3）)()()(lim∞=′′→或A x g x f x x ，则)()()(lim )()(lim 00∞=′′=→→或A x g x f x g x f x x x x .注1．上述两个法则中的0x x →改成−∞→+∞→∞→→→−+x x x x x x x ,,,,00时，条件（2）只须作相应的修改，结论依然成立.注2．在用洛必达法则求极限之前，应尽可能把函数化简，或把较复杂的因式用简单等价的因式来替换，以达到简化，再利用洛必达法则.注3．利用洛必达法则求极限时，可在计算的过程中论证是否满足洛必达法则的条件，若满足洛必达法则的条件，结果即可求出；若不满足，说明不能使用洛必达法则，则需用其它求极限的方法.此外，可重复使用洛必达法则，但只能用有限次.三、考题类型、解题策略及典型例题类型1.1 求反函数的表达式解题策略1. 从y=f(x)中解出x=f --1(y) ;2.改写成y=f --1(x),则y=f-—1(x)是x=f-—1(y)的反函数.例1.1.1 求下列函数的反函数:（1）323211x x x x y +−+++=；（2）⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=.4,2,41,,1,2x x x x x y x解（1）由323211x x x x y +−+++=，两边立方得()()(),11)1(3113123222322223x x xx x x xx xx x x y +−++−++++−+++++=即 ,321313232323y x x x x x x y −=+−−++−=解之 ()3321y y x +=.所以反函数为().,3213R x x x y ∈+= （2）由 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=,16,log ,161,,1,2y y y y y y x 则反函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=.16,log ,161,,1,2x x x x x x y类型1.2 求复合函数的表达式解题策略1．代入法 :某一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数的复合，关健搞清谁是内函数，谁是外函数.2．分析法:根据外函数定义的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该方法用于初等函数与分段函数或分段函数与分段函数的复合.例1.1.2 设()()()()x f x x x x x x x x e x f xϕϕ求⎩⎨⎧≥−<+=⎩⎨⎧≥<=,0,1,0,2.1,,1,2.解由()()()()()()⎩⎨⎧≥<=.1,,1,x x x e x f x ϕϕϕϕϕ（1）当()1<x ϕ时，当()1,1,0,12,0−<⎩⎨⎧−<<<+=<x x x x x x 有即ϕ. 当().20,22,0,11,02<≤⎩⎨⎧<<−≥<−=≥x x x x x x 有即ϕ（2）当()1≥x ϕ，时当()01,1,0,12,0<≤−⎩⎨⎧−≥<≥+=<x x x x x x 有即ϕ.当().2,22,0,11,02≥⎩⎨⎧≥−≤≥≥−=≥x x x x x x x 有或即ϕ得()()⎪⎩⎪⎨⎧≥−<≤<≤−+−<=−+2,1,20,,01,2,1,2122x x x e x x x e x f x x ϕ类型1.3 若B x g A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0，求)()(limx g x f x x →. 解题策略 0,,0,0,0,,(),()0,0,lim ()0"",0,0,0"",,.x x AA B B A B f x A B g x A B A B →⎧≠⎪⎪==∞⎪⎪∞≠=⎪=⎨⎪==⎪⎪∞⎪=∞=∞⎪⎩∞常数常数常数对于未定式的极限，先用等价量替换或变量替换或极限的四则运算化简，再利用洛必达法则求极限.很多情况下，这几种方法常常综合运用.例1.1.3 xx e e xx x sin limsin 0−−→. 分析化简，利用重要极限一般形式. 解原式111sin 1lim sin sin 0=×=−−=−→xx e ex x xx .例1.1.4 求2)1ln(sin 1tan 1limx x x xx x −++−+→.分析见到根式共轭因式极限不是零就有理化，然后等价量替换. 解原式[][]xx x x x xx x sin 1tan 1)1ln(sin tan lim+++−+−=→[][]xx x x x x x x x cos sin 1tan 1)1ln()cos 1(sin lim+++−+−=→，由0→x 时，1~cos ,2~sin 1tan 1,2~cos 1,~sin 2x x x x x x x +++−，得院式[]00()1ln(lim41)1ln(22lim 2020x x x x x x x x x x −+=−+⋅=→→21)1(lim 211112lim 4100−=−+=−+=→→x x x xx x x例1.1.5 求131)1()1()1)(1(lim −→−−−−n n x x x x x . 分析利用极限的乘积运算法则与洛必达法则.解法一由n xnx x n x n x 111lim )00()1()1(lim 1111=−−=−−−→→，故原式x x x x x x n x −−−−⋅−−=→111111lim 31 =!113121n n =⋅ . 分析利用变量代换与等价量替换.例1.1.6 xx e xx 220)1(lim+−→. 分析利用等价量替换与洛必达法则. 解法一原式xe e xe e xx x xx x 1limlim2)1ln(202)1ln(220−−=−=+→+→,且0→x 时，得知,2)1ln(2~1,02)1ln(22)1ln(2−+−→−+−+xx exx xx 原式=)00()1ln(lim 22)1ln(2lim 20202x x x e x x x e x x −+−=−+−→→ 202020211lim )1(lim 2111lim 2e x e x x x e xx e x x x =+=+−−=−+−=→→→.分析利用洛必达法则、极限的乘积运算法则.解法二原式2)1ln(20)1ln(220)1ln(112lim )0(limx x x xexee xx x xx x +−⋅+⋅−=−=+→+→ )00()1ln()1(lim 2)1()1ln()1(lim2202202xx x x e x x x x x e x x ++−−=+++−−=→→ .)1ln(lim 21)1ln(1lim220202e xx e x x e x x =+=−+−−=→→例1.1.7 求100102lim xe xx −→.分析利用变量代换与洛必达法则.解原式50250150!lim ()lim 0t t t t t t x e e →+∞→+∞∞==∞设用次洛必达法则例1.1.8 设)(u f 在0=u 的某邻域内连续，且A u u f u =→)(lim，求dt xt f dxdx )(lim 100∫→. 分析利用定积分变量代换、变上限导与洛必达法则.解令又得,)()(,1,010xdu u f dt xt du x dt u xt x∫=∫==20010)()())(()(xdu u f x xf x du u f dx d dt xt f dx d xx ∫−=∫=∫, 于是 22)(lim )00()(lim 0200Ax x f xdu u f x xx ==∫→→，故原式22A A A =−=. 分析利用定积分变量代换、变上限导、洛必达法则与导数定义.例1.1.9 设)(x f 在0=x 的某邻域内连续，2)0(,0)0(=′=f f ，求.)(lim 100xdt xt tf x ∫→解 ,)(11)()(02010du u uf xdu x u f x u u xt dt xt tf xx∫=∫=∫令于是 x x f x x xf x du u uf x x xo x 3)(lim 3)(lim )00()(lim 02030→→→==∫=原式=32)0(31)0()(lim 310=′=−→f x f x f x例1.1.10 求xe xe x x x sin cos lim +++∞→.cos sin lim lim sin cos x x x x x x e x e x e x e x →+∞→+∞+∞−∞=+∞+∞分析由于（）（）,sin cos lim =∞∞−−=+∞→）（x e x e x x x无限循环，所以不能用洛必达法则.解原式10101sin 11cos 11lim =++=++=+∞→x ex e x x x .类型1.4 若B x g A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0，求.)()(lim 0x g x f x x ←解题策略 ⎪⎩⎪⎨⎧∞==∞⋅∞=≠=∞=←.,0,"0",,0,,,,)()(lim 0B A B A B A AB x g x f x x 常数常数常数,,0时∞==B A )()(1)(lim )00()(1)(lim),0)(()(lim 00∞∞=∞⋅→→→x f x g x g x f x g x f x x x x x x 或对于因式中含有对数函数，反三角函数时，一般放在分子、否则利用洛必达法则很繁，或求不出来.例1.1.11 求)1ln(ln lim 1x x x −−→. 解原式)(ln lim ln lim ln )1ln(lim 11000∞∞−=−=−=−−→→→+++t t t t t t t x t t t 令0lim 11lim020==−−=++→→t tt t t 类型1.5 若B x g A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0，求()()().lim 0x g x f x x −→解题策略 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞−∞∞∞−=−→,"",,,,,,))()((lim 0为同号无穷大、为异号无穷大、另一个是无穷大中有一个是非零常数、常数常数B A B A B A B A B A x g x f x x当B A B A 、且,,∞=∞=同号时，()()().lim 0x g x f x x −→，这时，把()()x g x f ,直接或通过变量代换化成分式，通分、化简，化成“00”或“∞∞”，再利用洛必达法则. 例1.1.12 求)cot 1(lim 220x xx −→. 分析化成，利用变量代换、极限的乘积运算法则与洛必达法则. 解原式))(sin cos 1(lim 2220∞−∞−=→x xx x 42220222220cos sin lim sin cos sin lim x x x x x x x x x x x −=−=→→30cos sin cos sin limxxx x x x x x x −⋅+=→ 由2)cos sin (lim cos sin lim 00=+=+→→x xx x x x x x x .得原式)00(cos sin lim 230x x x x x −=→32sin lim 323sin cos cos lim 2020==+−=→→x x xx x x x x x 类型1.6 若B x g A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0，求)()(lim 0x g x x x f →解题策略()()0lim 0,0,,"1",1,"0",0,0"",,0,0,0,,0,B g x x x A A B A B A B f x A B A B A B ∞→⎧>⎪==∞⎪⎪==⎪=⎨=∞=⎪⎪==+∞⎪⎪+∞==−∞⎩∞常数常数(i) 当∞==B A ,1时，我们有两种方法求该未定式的极限，一种方法利用重要极限()xx x 1lim1+→来计算，另一种方法，化为以e 为底的指数函数，再利用洛必达法则.即解法一 ()()()()()[]()()[]()()[]()().111.01lim 1limlim 01100∞−−→∞→→−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−+=x g x f x g x f x x x g x x x x x f ex f x f再对指数根据具体情况化成"""00"∞∞或.解法二 ()()()()()()()()().1001ln limln lim ln lim lim000⎟⎠⎞⎜⎝⎛→→∞→→===x g x f x f x g x x x f x x x g x x x x x g e ee x f这两种方法，我们经常还是利用解法一方便.（ii）当0,0==B A 时，（iii）当0,=∞=B A 时这时，只有化成以e 为底的指数函数，再利用洛必达法则.即))(0()(lim 0)(0∞→x g x x x f ))(()(1)(ln lim)0)(0)((ln )(lim )(ln )(00lim ∞∞∞∞∞⋅∞⋅→→→===x g x f x f x g x f x g x x x x x x eee.而时或−∞==+∞==B A B A ,0,0不属于未定式，因为[]0lim )0()(lim )()(ln )(lim )(ln )()(000====∞−−∞⋅+∞→∞+→→e e ex f x f x g x f x g x x x g x x x x . []+∞====∞+−∞⋅−∞→∞−→→e eex f x f x g x f x g x x x g x x x x )()(ln )(lim )(ln )()(0lim )0()(lim .例1.1.13 求210)sin (lim x x xx →. 分析利用重要极限()xx x 1lim1+→.解法一原式21)1sin (1sin 10)1sin (1lim xx x xxx x x −−→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=6131cos lim)00(sin lim)00(232210lim 230−−−====−→→→eee exx x x x xx x x x .分析化成 ().001ln lim⎟⎠⎞⎜⎝⎛→x g x f x x e，对指数极限用洛必达法则.解法二原式)00(ln sin ln lim)00(sin ln202lim x x x xx x x x ee−→→==x x xx x xx x x x x eesin 2sin cos lim21sin cos lim 200−−→→==616sin lim6cos sin cos lim002sin cos lim0230−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−====→→→eeeexxx xx x x x x x x x x x .例1.1.14 求+→0lim x xx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡)1ln(. 分析化成)()(1)(ln lim∞∞→x g x f x x e，对指数极限用洛必达法则.解 xx x x x e x 1ln ln 000lim )()1ln(lim ++→→=∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡ .1lim 10ln 1lim)(ln ln lim ln ln 1=====+∞→+∞→∞∞+∞→e eee t xtt t t t tt t t 设例1.1.15 求xx x sin 0lim +→.解 ()xx xx xx x x eex ln lim ln sin lim 0sin 0000lim +→+→+==→10lim 11limln lim0010=====+→+→−+→−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∞∞e eeexx x x x x x x .例1.1.16 求xnx x x x ne e e 120)(lim +++→分析化成00()(1)(ln limx g x f x x e→，对指数极限用洛必达法则. 解 )1()(lim 120∞→+++x nx x x x ne e enxex e x e nx ne x e x e x nxzxx e xn eee e ++++++→→=−+++= 2220lim20)00(ln )ln(lim123(1)122.nn n n nneee++++++===类型1.7 利用泰勒公式求函数极限.若kkkAx x f x A x o Ax x f ~)(),0(0),()(则常数→≠+=.事实上，1))(11(lim )(lim )(lim 000=⋅+=+=→→→k k x k k k x k x x x o A Axx o Ax Ax x f . 因此，利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式可以求出某些函数极限，当0→x 时，若).0(~)()(≠+=A Ax x o Ax x f k k k ).0(~)()(≠+=B Bx x o Bx x g m m m则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<∞==→→.,0,,,,lim )()(lim 00m k m k B A m k BxAx x g x f m k x x 对于求0x x →时的函数极限，若用带有佩亚诺余项的泰勒公式求极限，可令t x x =−0，变成求0→t 时的t 的函数极限，再利用上述的方法去解决.例1.1.17 求4202cos limx e x x x −→−.解由于)(4!2121())(!4!21(cos 44244222x o x x x o x x ex x ++−−++−=−−,)0(121~)()81!41(444→−+−x x x o x ，所以 121121lim cos lim4404202−=−=−→−→xxx e x x x x 例1.1.18 若2030)(6lim ,0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+→→求. 解法一由于)(!3)6(66sin 33x o x x x +−=，故036)(6lim )(6sin lim2030=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=+→→x x f x x xf x x x ，从而36)(6lim 20=+→x x f x . 分析分子加一项减一项，巧妙地把条件用上.解法二 3020)(6lim)(6lim x x xf x x x f x x +=+→→ 0lim →=x 00(6sin 6lim )6sin 6)(6sin (3033xx x x x x x x xf x x −=−++→ 36)6(21lim 236cos 66lim 22020==−=→→xx x x x x . 类型1.8 利用夹逼定理求函数极限.例1.1.19 求xdtt x x sin lim0∫+∞→.分析本题虽然属于""∞∞型，但不能用洛必达法则，因为 x xdtx x x x sin lim sin lim0+∞→+∞→=∫不存在.因此，用其它方法，解对任意自然数 n ，有 n tdt n dt t n 2sin sin 00=∫=∫ππ，当ππ)1(+<≤n x n 时，成立不等式 ππn n x dt t n nx)1(2sin )1(20+<∫<+. 由.2)1(2lim )1(2lim ,2)1(2lim )1(2limππππππ=+=+=+=+∞→+∞→∞→+∞→n n n n n n n n n x n x根据夹逼定理知原式=π2.注：这里π)1(2+n n 是x 的函数，是分段函数，即πππ)1(,)1(2)(+≤≤+=n x n n nx f类型1.9 分段函数在分界点连续性的讨论.解题策略用连续的定义或左右连续的定义例1.1.20 设的关系与求常数处连续在b a x x xbx x bx a x f ,00,sin ,0,)(2=⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=.分析利用左右连续的定义.解由续处既是左连续又是右连在知处连续在0)(,0)(==x x f x x f .,)0()(lim )(lim 20a f a bx a x f x x ===+=−−→→,)0(lim sin lim )(lim 00a fb x bxxbx x f x x x =====+++→→→故b a =. 注：由2)(,]0,(,0bx a x f x x +=−∞∈≤时即是初等函数表达式.在0=x 处有意义知连续且为左连续，以后遇到类似情况，我可直接得出左连续，从而只要右连续即可.例1.1.21 已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠=0,.,00,)(cos )(1x a a x x x x f x 求常数处连续在分析利用连续的定义.解因为[]()a f ex x x f x x x x xx x ===⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+==−−−→→→0)1(cos 1lim )(cos lim )(lim 211cos 1cos 101022.所以21−=ea .类型1.10 已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值.解题策略运用无穷小量阶的比较和洛必达法则分析问题，解决问题.这种题型考的可能性较大例1.1.22 求0])27[(lim 45≠=−+++∞→b x x x ax ，求常数a , b .分析利用变量代换与无穷小量的阶的比较. 解令+→+∞→=0,,1t x t x时当，于是原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=−++=++→→t t t t t t t a a t at 1)271(lim ]1)271[(lim 55045001)271(lim 5510≠=−++=−→+b tt t t a a t ，由0lim 0=+→t t ，知分子当0→t 时，是分母的同阶无穷小量，所以 []01)271(lim 5510=−++−→+aa t t t t . 得从而即,51,051==−a a 原式[]tt t t t t t t 1)27(1lim 1)271(lim 51505150−++=−++=++→→57)27(lim 51)27(51lim 4050=+=+=++→→t tt t t t . 注：我们有下面的结论：若)()()(lim常数c x g x f x x =→且0)(lim 0=→x g x x ，则0)(lim 0=→x f x x .实事上：由0)(lim 0=→x g x x ，有=→)(lim 0x f x x c x g x g x f x x =→)(.)()(lim.0=0.以后作为一个结论记住. 例1.1.23 设2)()1ln(lim 220=+−+→x bx ax x x ，求常数.,b a分析利用无穷小量的阶的比较与洛必达法则.解 22)2(11lim )00()()1ln(lim 0220=+−+=+−+→→x bx a x xbx ax x x x ，由02lim 0=→x x ，知分子是分母的同阶无穷小量，得.10211lim 0a bx a x x −==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−+→有于是,1=a 221222)1(1lim )00(22111lim 200b b x x bx x x x −−==−+−=−−+→→，解得25,1.25−==−=b a b 故. 例 1.1.24 已知c c xx f xx ,01)(11lim2≠=−+→为常数，求常数a 和k ，使0→x 时，().~k ax x f分析利用无穷小量的阶的比较与等价量替换.解 ()c xx f xx =−+→111lim，由0lim 20=→x x ，知0)(lim ,0)1)(11(lim 00==−+→→x x f x f x x x 必有，从而)(2)(lim )1)(11()(1lim 1)(11lim302020常数c x x f x f xx x f x xx f xx x x ==++=−+→→→，得33()lim1,()~2,3,2.2x f x f x cx k a c cx→===即所以例1.1.25 确定常数c b a ,,的值，使0)1ln(sin lim30≠=+∫−→c dttt xax x b x ，分析利用无穷小量的阶的比较、变上限求导与洛必达法则.解由,0,0sin ,0≠→−→c x ax x 且极限时知分子、分母是同阶无穷小量有由于必有.0,0)1ln(lim 30==+∫→b dt tt xbx 0cos lim ))1ln((cos lim 00()1ln(sin lim2030300≠=−=+−=+∫−→→→c x x a x x x a dttt x ax x x x x ，且从而得知,1,10)cos (lim ,0lim 02=−==−=→→a a x a x x xc x xx x x x ===−→→2121lim cos 1lim 22020 故21,0,1===c b a ,注：0)1ln()1ln(lim 3030=+∫=+∫→dt tt dt t t b xbx （1）必有0,0<=b b 因为， 0)1ln(,0)1ln(,0,0)1ln(,]0,[3033>+∫>+<<+∈dt tt t t t t b t b 有有时与（1）矛盾，若.0>b矛盾与)1(0)1ln()1ln()1ln(lim 303030<+∫−=+∫=+∫→dt t t dt tt dt t t b b xbx .故0=b . 例1.1.26 设)(x f 在0=x 存在二阶导数，且 4cos 1)(lim0=−→xx f x ，求)0(),0(),0(f f f ′′′.分析这里表面上没有字母常数，实际上)0(),0(),0(f f f ′′′ 就是待求的字母常数.解法一由42)(lim cos 1)(lim200==−→→x x f x x f x x ，得2)(lim 20=→xx f x .由)0)()(0(0)(lim ,0lim 02处连续在得====→→x x f f x f x x x .于是22)(lim )00()(lim020=′=→→x x f xx f x x . 由)0)()(0(0)(lim ,02lim 0处连续在得=′′==′=→→x x f f x f x x x .从而2)0(21)0()(lim 212)(lim00=′′=′−′=′→→f x f x f x x f x x ，得4)0(=′′f ，注：求)0(f ′′时不能用下述方法，()()2022)(lim002lim00f x f x x f x x ′′==′′=⎟⎠⎞⎜⎝⎛′→→，()40=′′∴f .虽然结论对了，但过程是错的.因为)0(f ′′存在，推不出在0=x 的某空心邻域内)(x f ′′存在且)(x f ′′在0=x 不知是否连续，所以)0()(lim 0f x f x ′′≠′′→.解法二由2)(lim2=→xx f x ，利用在0=x 处的带有二阶余项的佩亚诺展开式，得.2)(!2)0()0()0(lim222=+′′+′+→xx o x f x f f x 由得,0lim 20=→x x ).0(0)(!2)0()0()0(lim 220f x o x f x f f x ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+′′+′+→ 从而有2)(!2)0()0(lim )(!2)0()0(lim0222=+′′+′=+′′+′→→x x o x f f xx o x f x f x x又得,0lim 0=→x x )0(0)(2)0()0(lim 0f x o x f f x ′==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+′′+′→.于是 2)0(2)(2)0(lim 0f xx o x f x ′′==+′′→，所以.4)0(=′′f 类型1.11 判断函数)(x f 当0→x 时是x 的几阶无穷小量.解题策略运用无穷小量的等价代换、洛必达法则、带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去解决.例1.1.27 求0x →时，sin tan x x −是x 的几阶无穷小量. 分析利用等价无穷小量替换解法一 23111cos 12sin tan sin (1)sin ~cos cos 12xx x x x x x x x x −−=−=−⋅−⋅=−(0)x → 知0x →时，sin tan x x −是x 的3阶无穷小量. 分析利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式解法二 0limx →sin tan 0(0)0k x x k x −>2311200cos sin cos 1lim lim cos k k x x x x x kx kx x−−→→−−== 321200cos 103cos (sin )lim ()(10)lim 0(1)k k x x x x x R kx k k x −−→→−−=−>=− 20213sin 1lim (1)2k x k x k k x −→−=−=−−=== 知0x →时，sin tan x x −是x 的3阶无穷小量.分析利用带有皮亚诺余项的泰勒公式展开解法三 3333sin tan [()][()]33x x x x x o x x o x −=−+−++ 333111()()~632x o x x =−−+−知0x →时，sin tan x x −是x 的3阶无穷小量.注在做具体题目，根据情况和自己掌握的知识程度，灵活选择上面三种方法.类型1.12 判断函数极限不存在的方法.解题策略1．若则且,,)(lim ,)(lim ,lim ,lim 00B A B x f A x f x x x x n n n n n n n n ≠=′′=′=′′=′∞→∞→∞→∞→极限)(lim 0x f x x →不存在；2．若.)(lim ,)(lim ,lim 00不存在则极限x f x f x x x x n n n n →∞→∞→∞==例1.1.28 讨论极限xx x 1sinlim→.分析利用正弦函数的周期性，重复出现相同的函数值.解取+∞=+=++=+=∞→∞→∞→22(lim 2212211sinlim.0lim ,221ππππππππn n n x n x n n n n n ，知xx x 1sinlim→不存在.类型1.13 间断点的讨论.解题策略如果是)(x f 初等函数，若)(x f 在0x x =处没有定义，但在0x 一侧或两侧有定义，则0x x =是间断点，再根据在0x x =处左右极限来确定是第几类间断点.如果)(x f 是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点.例1.1.29 求极限x t xx t xt sin sin )sin sin (lim −→，记此极限为)(x f ，求函数)(x f 的间断点并指出其类型.分析先求出函数表达式，再讨论.解 xxxx xt xxt ex t x f sin sin sin sin sin 1sin sin 1lim )(=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=−→，由于)(x f 在πk x =处没定义，而在πk 两侧有定义，故πk x =是间断点.又,lim )(lim sin 0e ex f xx x x ==→→所以0=x 是函数)(x f 的第一类（可去）间断点.间断点无穷的第二类是)()(),2,1(x f k k x ±±==π.例1.1.30 讨论txtxt e e x x f ++=+∞→1lim )(的间断点，并指出类型.分析先求出函数表达式，再讨论.解由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≠=<=.0,1.)(,0,0,21,0,)(x x f x x x x x f 显然连续时知且,10.11lim )(lim ,0lim )(lim 0≠====++−−→→→→x x x x x f x x f 所以0=x 是跳跃间断点. 类型1.14 闭区间上连续性质的应用例1.1.31 证明：若函数)(x f 在[]b a ,上连续，且对任何[]b a x ,∈，存在相应的[]b a y ,∈，使得0)(,)(21)(=≤x f y f x f 则. 证 []b a x ,0∈∀，由条件知存在[]b a y ,1∈，使)(21)(10y f x f ≤，同样存在[]b a y ,2∈使)(21)(21)(2210y f y f x f ≤≤，如此下去…，存在数列{}[]b a y n ,⊂，使)(21)(0n n y f x f ≤，由[][],0,,)(,,)(>M b a x f b a x f 于是存在上有界在则上连续在对于一切],[b a x ∈，都有M x f ≤)(，从而M x f n21)(0≤. 令∞→n ，得0)(0)(0)(000=⇒=⇒≤x f x f x f ，由0x 是[]b a ,上任意一点，故0)(=x f .第二节数列极限一（3）数列极限内容网络图两个子列极限存在但不相等数列极限数列极限的定义用定义证明数列极限的方法直接证法间接证法收敛数列的性质唯一性有界性不等式保号性四则运算判断数列收敛的准则夹逼定理单调有界定理判断数列发散的准则有一个子列发散数列无界重要的数列极限01lim =∞→k n n(k>0常数)0lim =∞→n n q （|q|<1常数）1lim =∞→n n a (a>0常数)1lim =∞→n n ne nn n =+∞→11(lim()常数00ln lim >=∞→k n n k n ()为常数k a a nn kn ,,10lim >=∞→二、内容精要10．数列极限的夹逼定理设{a n }，{b n }为收敛数列，且a a n n =∞→lim，a b n n =∞→lim，若存在N 0，当n>N 0时，都有n n n b c a ≤≤，则数列{c n }收敛，且a c n n =∞→lim.夹逼定理适合数列的项有多项相加或相乘式∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算，此时可尝试用夹逼定理.夹逼定理不仅能证明数列极限并可求出极限的值.11. 单调有界定理数列{}n a 递增（递减）有上界（下界），则数列{}n a 收敛，即单调有界数列有极限.单调有界定理适合数列的项用递推关系式给出的数列.单调有界定理仅能证明数列极限存在，至于数列极限的值是多少只能用别的方法去解决.三、考题类型、解题策略及典型例题类型1.15 数列的项有多项相加或相乘式或∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算解题策略尝试用夹逼定理.夹逼定理不仅能证明数列极限并可求出极限的值.例1.2.1 求极限 n nm nnn a a a +++∞→ 21lim，其中a 1，a 2，…，a m 均为正常数分析适当放大与缩小，用夹逼定理.. 解不妨设{}m a a a a ,,,max 211 =，由于n n nn nm nnm a a m a a a a 11211=⋅≤+++≤ ，且11lim 11lim,a m a a a n n n ==∞→∞→，由夹逼定理知.{}m nm nnn a a a a a a a ,,,max 21121lim==+++∞→.例1.2.2 求.)1(232121222lim ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++++⋅++⋅∞→n n n n n n n 分析适当放大与缩小，用夹逼定理. 解设nn n n n n I n +++++⋅++⋅=222)1(232121 ，由于 (),21)1(2121222=++=++++++>n n n n n n n n n n n I n,)1(2)3(1113122222++=+++++++<n nn n n n n I n且,21)1(2)3(,21212lim lim=++=∞→∞→n n n n n 根据夹逼定理知 .21))1(232121(222lim,lim =+++++⋅++⋅=∞→∞→nn n n n n I n n n 例1.2.3 求.212654321limnn n −⋅⋅∞→分析巧妙利用p q ＜11++p q （p＞0,q＞0）放大,用夹逼定理. 解由于122765432212654321+⋅⋅<−⋅⋅n n n n ，所以 n n n n n n n n 11211225432212432121243212<+=+⋅−⋅<⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅，即 nn n 121243210<−⋅<，且01,00limlim==∞→∞→nn n ，由夹逼定理知.02124321lim =−⋅∞→nn n 例1.2.4 2,121==u u ，当n≥3时，21−−+=n n n u u u ，求nn u 1lim∞→. 分析利用递推关系式适当放大与缩小，用夹逼定理.解法一由条件知{u n }递增，知111212−−−−−=+≤+=n n n n n n u u u u u u 111212321−−−−−=+≥+=n n n n n n u u u u u u从而 11122232323−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛≥n n n n u u u , 得 13210−⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤≤n n u且032,001lim lim=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−∞→∞→n n n ，根据夹逼定理知.01lim =∞→nn u 解法二由条件知u n >0，显然{u n }递增，知⎭⎫⎩⎨⎧n u 1递减，且01>n u ，由单调有界定理知⎭⎫⎩⎨⎧n u 1收敛，设l u nn =∞→1lim，有0=l . 若不然0≠l , 有l u n n 1lim =∞→，又有令,,21∞→+=−−n u u u n n n ll l 111+=，得l1=0，与01≠l相矛盾，故假设不成立，所以01lim =∞→n n u .例1.2.5 求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n n 1sin 212sin 1sin lim πππ . 分析适当放大与缩小，利用定积分的定义，用夹逼定理.解设n n n n n n I n 1sin 212sin1sin++++++=πππ，由 sin 11sin 11)sin 2sin (sin 11sin 1sin1)sin 2sin (sin 11111∑∑∑∑====+=⋅+=++++>==+++<n i n i n ni n i n ni n n n n i n n n n n n n n I n i nn i n n n n n n I ππππππππππ在和式∑=ni n i n 1sin 1π中，11,1=⋅=−=Δn n a b n x i 有.x x f πsin )(=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈=n a a n 1,11ξ 令],[0,a a n ∈∞→知,0=a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∈=b n b n n n ,1ξ，令],[1,b b n ∈∞→知,1=b 且1=−a b .由)(x f 在]1,0[上连续必可积.而∑=ni n i n 1sin 1π是)(x f 在]1,0[上，把区间[0，1]n 等分，i ξ取每个小区间左端点得到的和式，由定积分定义知πππππ2cos 1sin sin 1lim10101=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==∫∑=∞→x dx n i nni n ，且ππ2sin 11lim 1=⋅+∑=∞→n i n n i n n n ，根据夹逼定理知ππππ2]1sin 212sin1sin[lim lim =++++++=∞→∞→nn n n n n I n n n .。

高数第五版答案（同济）12-9

高数第五版答案（同济）12-9习题12-91. 求下列各微分方程的通解:(1)2y ''+y '-y =2e x ;解微分方程的特征方程为2r 2+r -1=0, 其根为211=r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211. 因为f (x )=2e x , λ=1不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ae x ,代入原方程得2Ae x +Ae x -Ae x =2e x ,解得A =1, 从而y *=e x .因此, 原方程的通解为x x x e e C e C y ++=-2211.(2)y ''+a 2y =e x ;解微分方程的特征方程为r 2+a 2=0,其根为r =±ai , 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1cos ax +C 2sin ax .因为f (x )=e x , λ=1不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ae x ,代入原方程得Ae x +a 2Ae x =e x , 解得211a A +=, 从而21*a e y x +=. 因此, 原方程的通解为2211sin cos a e ax C ax C y x +++=.(3)2y ''+5y '=5x 2-2x -1;解微分方程的特征方程为2r 2+5r =0,其根为r 1=0, 252-=r , 故对应的齐次方程的通解为x e C C Y 2521-+=.因为f (x )=5x 2-2x -1, λ=0是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *=x (Ax 2+Bx +C ),代入原方程并整理得15Ax 2+(12A +10B )x +(4B +5C )=5x 2-2x -1, 比较系数得31=A , 53-=B , 257=C , 从而x x x y 2575331*23+-=. 因此, 原方程的通解为 x x x e C C y x 257533123521+-++=-. (4)y ''+3y '+2y =3xe -x ;解微分方程的特征方程为r 2+3r +2=0,其根为r 1=-1, r 2=-2, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e -2x .因为f (x )=3xe -x , λ=-1是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *=x (Ax +B )e -x ,代入原方程并整理得2Ax +(2A +B )=3x , 比较系数得23=A , B =-3, 从而)323(*2x x e y x -=-. 因此, 原方程的通解为 )323(2221x x e e C e C y x x x -++=---.(5)y ''-2y '+5y =e x sin2x ;解微分方程的特征方程为r 2-2r +5=0,其根为r 1, 2=1±2i , 故对应的齐次方程的通解为Y =e x (C 1cos2x +C 2sin2x ).因为f (x )=e x sin2x , λ+i ω=1+2i 是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=xe x (A cos2x +B sin2x ),代入原方程得e x [4B cos2x -4A sin2x ]=e x sin2x , 比较系数得41-=A , B =0, 从而x xe y x 2cos 41*-=.因此, 原方程的通解为x xe x C x C e y x x 2cos 41)2sin 2cos (21-+=.(6)y ''-6y '+9y =(x +1)e 3x ;解微分方程的特征方程为r 2-6r +9=0,其根为r 1=r 2=3, 故对应的齐次方程的通解为Y =e 3x (C 1+C 2x ).因为f (x )=(x +1)e 3x , λ=3是特征方程的重根,故原方程的特解设为y *=x 2e 3x (Ax +B ),代入原方程得e 3x (6Ax +2B )=e 3x (x +1), 比较系数得61=A , 21=B , 从而)2161(*233x x e y x +=. 因此, 原方程的通解为 )2161()(233213x x e x C C e y x x +++=.(7)y ''+5y '+4y =3-2x ;解微分方程的特征方程为r 2+5r +4=0,其根为r 1=-1, r 2=-4, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e -4x .因为f (x )=3-2x =(3-2x )e 0x , λ=0不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ax +B ,代入原方程得4Ax +(5A +4B )=-2x +3, 比较系数得21-=A , 811=B , 从而81121*+-=x y . 因此, 原方程的通解为 81121421+-+=--x e C e C y x x . (8)y ''+4y =x cos x ;解微分方程的特征方程为r 2+4=0,其根为r =±2i , 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1cos2x +C 2sin2x .因为f (x )= x cos x =e 0x (x ?cos x +0?sin x ), λ+i ω=i 不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=(Ax +B )cos x +(Cx +D )sin x ,代入原方程得(3Ax +3B +2C )cos x +(3Cx -2A +3D )sin x =x cos x , 比较系数得31=A , B =0, C =0,92=D , 从而x x x y sin 92cos 31*+=. 因此, 原方程的通解为 x x x x C x C y sin 92cos 31sin 2cos 21+++=.(9)y ''+y =e x +cos x ;解微分方程的特征方程为r 2+1=0,其根为r =±i , 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1cos x +C 2sin x .因为f (x )=f 1(x )+f 2(x ), 其中f 1(x )=e x , f 2(x )=cos x , 而方程y ''+y =e x 具有Ae x 形式的特解;方程y ''+y =cos x 具有x (B cos x +C sin x )形式的特解,故原方程的特解设为y *=Ae x +x (B cos x +C sin x ),代入原方程得2Ae x +2C cos x -2B sin x =e x +cos x , 比较系数得21=A , B =0,21=C , 从而x x e y x sin 221*+=. 因此, 原方程的通解为 x x e x C x C y x sin 221sin cos 21+++=.(10)y ''-y =sin 2x .解微分方程的特征方程为r 2-1=0,其根为r 1=-1, r 2=1, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e x .因为x x x f 2cos 2121sin )(2-==, 而方程21=-''y y 的特解为常数A ;方程x y y 2cos 21-=-''具有B cos2x +C sin2x 形式的特解,故原方程的特解设为y *=A +B cos2x +C sin2x ,代入原方程得x x C x B A 2cos 21212sin 52cos 5-=---, 比较系数得21-=A ,101=B , C =0, 从而x y 2cos 10121*+-=. 因此, 原方程的通解为 212cos 10121-++=-x e C e C y x x . 2. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:(1)y ''+y +sin x =0, y |x =π=1, y '|x =π=1;解微分方程的特征方程为r 2+1=0,其根为r =±i , 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1cos x +C 2sin x .因为f (x )=-sin2x =e 0x (0?cos2x -sin2x ), λ+i ω=i 是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=A cos2x +B sin2x ,代入原方程得-3A cos 2x -3B sin2x =-sin2x ,解得A =0, 31=B , 从而x y 2sin 31*=. 因此, 原方程的通解为 x x C x C y 2sin 31sin cos 21++=.由y |x =π=1, y '|x =π=1得C 1=-1, 312-=C ,故满足初始条件的特解为x x x y 2sin 31sin 31cos +-+-=.(2)y ''-3y '+2y =5, y |x =0=1, y '|x =0=2;解微分方程的特征方程为r 2-3r +2=0,其根为r 1=1, r 2=2, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e x +C 2e 2x .容易看出25*=y 为非齐次方程的一个特解, 故原方程的通解为 25221++=x x e C e C y .由y |x =0=1, y '|x =0=2得=+=++221252121C C C C , 解之得C 1=-5, 272=C . 因此满足初始条件的特解为 2527521++-=x x e e y . (3)y ''-10y '+9y =e 2x , 76|0==x y , 7 33|0='=x y ; 解微分方程的特征方程为r 2-10r +9=0,其根为r 1=1, r 2=9, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e x +C 2e 9x .因为f (x )=e 2x , λ=2不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ae 2x ,代入原方程得(4A -20A +9A )e 2x =e 2x , 解得71-=A , 从而x e y 271*-=.因此, 原方程的通解为 x x x e e C e C y 292171-+=.由76|0==x y , 733|0='=x y 得2121==C C . 因此满足初始条件的特解为x x x e e e y 29712121-+=.(4)y ''-y =4xe x , y |x =0=0, y '|x =0=1;解微分方程的特征方程为r 2-1=0,其根为r 1=-1, r 2=1, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e x .因为f (x )=4xe x , λ=1是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *=xe x (Ax +B ),代入原方程得(4Ax +2A +2B )e x =4xe x ,比较系数得A =1, B =-1, 从而y *=xe x (x -1).因此, 原方程的通解为y *=C 1e -x +C 2e x +xe x (x -1).由y |x =0=0, y '|x =0=1得=--=+1102121C C C C , 解之得C 1=1, C 2=-1. 因此满足初始条件的特解为y =e -x -e x +xe x (x -1).(5)y ''-4y '=5, y |x =0=1, y '|x =0=0.解微分方程的特征方程为r 2-4r =0,其根为r 1=0, r 2=4, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1+C 2e 4x .因为f (x )=5=5e 0?x , λ=0是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *=Ax ,代入原方程得-4A =5, 45-=A , 从而x y 45*-=.因此, 原方程的通解为x e C C y x 45421-+=.由y |x =0=1, y '|x =0=0得16111=C , 1652=C . 因此满足初始条件的特解为x e y x 4516516114-+=. 3. 大炮以仰角α、初速度v 0发射炮弹, 若不计空气阻力, 求弹道曲线.解取炮口为原点, 炮弹前进的水平方向为x 轴, 铅直向上为y 轴, 弹道运动的微分方程为=-=02dtdx g dt y d , 且满足初始条件='=='=====ααcos | ,0|sin | ,0|000000v x x v y y t t t t . 易得满足方程和初始条件的解(弹道曲线)为-?=?=20021sin cos gt t v y tv x αα. 4. 在R 、L 、C 含源串联电路中, 电动势为E 的电源对电容器C 充电. 已知E =20V , C =0.2μF(微法), L =0.1H(亨), R =1000Ω, 试求合上开关K 后电流i (t )及电压u c (t ). 解 (1)列方程. 由回路定律可知E u u C R u C L c c c=+'??+''??, 即 LCE u LC u L R u c c c =+'+''1, 且当t =0时, u c =0, u c '=0.已知R =1000Ω, L =0.1H , C =0.2μF , 故4101.01000==L R , 76105102.01.011?=??=-LC , 9771020105105=??=?=E LC E . 因此微分方程为9741010510=?+'+''c c cu u u . (2)解方程. 微分方程的特征方程为r 2+104r +5?107=0, 其根为r 1, 2=-5?103±5?103i . 因此对应的齐次方程的通解为])105sin()105cos([32311053t C t C e u t c ?+?=?-.由观察法易知y *=20为非齐次方程的一个特解.因此非齐次方程的通解为20])105sin()105cos([32311053+?+?=?-t C t C e u t c .由t =0时, u c =0, u c '=0, 得C 1=-20, C 2=-20. 因此])105sin()105[cos(2020331053t t e u t c ?+?-=?-(V),)]105sin(104102.0)(3105263t e u u C t i t c c='?='=?---(A).5. 一链条悬挂在一钉子上, 起动时一端离开钉子8m 另一端离开钉子12m , 分别在以下两种情况下求链条滑下来所需的时间:(1)若不计钉子对链条所产生的摩擦力;解设在时刻t 时, 链条上较长的一段垂下x m , 且设链条的密度为ρ, 则向下拉链条下滑的作用力F =x ρg -(20-x )ρg =2ρg (x -10).由牛顿第二定律, 有20ρx ''=2ρg (x -10), 即g x g x -=-''10. 微分方程的特征方程为 0102=-g r , 其根为101g r -=,102g r =, 故对应的齐次方程的通解为 t g t g e C e C x 102101+=-.由观察法易知x *=10为非齐次方程的一个特解, 故通解为10102101++=-t g t g e C e C x .由x (0)=12及x '(0)=0得C 1=C 2=1. 因此特解为101010++=-t g t g e e x .当x =20, 即链条完全滑下来时有101010=+-t g t g e e, 解之得所需时间)625ln(10+=gt s. (2)若摩擦力为1m 长的链条的重量.解此时向下拉链条的作用力变为F =x ρg -(20-x )ρg -1ρg =2ρgx -21ρg由牛顿第二定律, 有20ρx ''=2ρgx -21ρg , 即g x g x 05.110-=-''. 微分方程的通解为5.10102101++=-t g t g e C e C x . 由x (0)=12及x '(0)=0得4321==C C . 因此特解为 5.10)(431010++=-t g t g e e x .当x =20, 即链条完全滑下来时有5.9)(431010=+-t g t g e e ,解之得所需时间)3224319ln(10+=g t s. 6. 设函数?(x )连续, 且满足 ??-+=x x xdt t x dt t t e x 00)()()(, 求?(x ).解等式两边对x 求导得-='xx dt t e x 0)()(??, 再求导得微分方程''(x )=e x -?(x ), 即?''(x )+?(x )=e x . 微分方程的特征方程为r 2+1=0,其根为r 1, 2=±i , 故对应的齐次方程的通解为?=C 1cos x +C 2sin x .易知x e 21*=?是非齐次方程的一个特解, 故非齐次方程的通解为x e x C x C 21sin cos 21++=?. 由所给等式知?(0)=1, ?'(0)=1, 由此得2121= =C C . 因此)sin (cos 21x e x x ++=?.。

2012武忠祥数学基础班讲义

2012年考研数学基础班讲义（高等数学）第一章函数极限连续一、函数1 函数的概念：2 函数的性态：单调性奇偶性周期性有界性有界性：定义：;)(,,0M x f I x M ≤∈∀>∃ 3 复合函数与反函数 (函数的复合,求反函数) 4 基本的初等函数与初等函数 1）基本初等函数:将幂函数 ,指数,对数,三角,反三角统称为基本初等函数。

了解它们定义域,性质,图形. 2）初等函数：由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数. 常考题型：1。

函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定； 2。

复合函数；例1 是)(e |sin |)(cos +∞<<−∞=x x x x f x （A）有界函数. （B）单调函数. （C）周期函数（D）偶函数. 例2 已知[],1)(,sin )(2x x f x x f −==ϕ则______)(=x ϕ的定义域为._______解：； )1arcsin(2x −].2,2[−例3 设则⎩⎨⎧≥−<=⎩⎨⎧>+≤−=0,,0,)(,0,2,0,2)(2x x x x x f x x x x x g [].________)(=x f g解=)]([x f g ⎩⎨⎧≥+<+.0,2,0,22x x x x 二、极限 1 极限概念1) 数列极限: A a n n =∞→lim ：0 ,0>∃>∀N ε,当时，恒有N n >ε<−||A a n .2）函数极限: ： A x f x =∞→)(lim 0 ,0>∃>∀X ε,当时，恒有X x >||ε<−|)(|A x f .类似的定义 A x f x =+∞→)(lim ，A x f x =−∞→)(lim 。

A x f x =∞→)(lim ⇔ =+∞→)(lim x f x A x f x =−∞→)(limA x f x x =→)(lim 0：0 ,0>∃>∀δε,当δ<−<||00x x 时，恒有ε<−|)(|A x f 。

2012年高数专升本真题及其参考答案

2012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效. 一、选择题（每小题2 分，共60 分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1．函数 xx y 1arctan 4++=的定义域是（）A ．[4-,+∞）B ．(4-,+∞)C ．[4-, 0）⋃(0,+∞)D ．（4-, 0）⋃(0,+∞) 【答案】C.【解析】 x +4要求04≥+x ，即4-≥x ；x1arctan 要求0≠x .取二者之交集，得∈x [4-, 0）⋃(0,+∞) 应选C.2．下列函数为偶函数的是（）A ．()x x y -+=1log 32B ．x x y sin =C ． ()x x ++1ln D. x e y =【答案】B.【解析】显然A ，D 中的函数都是非奇非偶，应被排除；至于C ，记 ()()x x x f ++=1ln 2 则 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-x x x f 1ln 2()x x-+=1ln2=++=xx 11ln2()().1ln 2x f x x -=++-所以()x f 为奇函数，C 也被排除.应选B.3．当0→x 时，下列无穷小量中与)21ln(x +等价的是（）A ． xB ．x 21C ．2xD ．x 2 【答案】D.【解析】因为12)21ln(lim0=+→xx x ，所以应选D.4．设函数()xx f 1sin 2=，则0=x 是()x f 的（）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点【答案】D ．【解析】因为()x f 在0=x 处无定义，且无左、右极限，故0=x 是()x f 的第二类间断点.选D ． 5．函数3x y =在0=x 处A ．极限不存在B ．间断C ．连续但不可导D ．连续且可导【答案】C.【解析】因为3x y =是初等函数，且在0=x 处有定义，故()x f 在0=x 处连续；又321.31x y ='，故()x f 在0=x 处不可导.综上，应选 C.6．设函数()()x x x f ϕ= ，其中()x ϕ在0=x 处连续且的()00≠ϕ，则()0f '（）A ．不存在B ．等于()0ϕ'C ．存在且等于0D ．存在且等于()0ϕ 【答案】A. 【解析】()()()00lim 00--='-→-x f x f f x ()xx x x 0lim0--=-→ϕ()()0lim 0ϕϕ-=-=-→x x ； ()()()00lim 00--='+→+x f x f f x ()x x x x 0lim 0-=+→ϕ()()0lim 0ϕϕ==+→x x ；因为()≠'-0f ()0+'f ，所以()0f '不存在，选A. 7．若函数()u f y =可导，x e u =，则=dy （）A ．()dx e f x 'B ．()()x x e d e f 'C ．()dx e x f x .'D ．()[]()x x e d e f '【答案】D B.【解析】根据一阶微分形式的不变性知 ()()()x x e d e f du u f dy '='=，故选B. 8．过曲线()x f y 1=有水平渐进线的充分条件是（） A ．()0lim =∞→x f x B ．()∞=∞→x f x limC ．()0lim 0=→x f x D ．()∞=→x f x 0lim【答案】B.【解析】根据水平渐进线的定义：如果()C x f x =∞→lim 存在，则称C y =为曲线()x f y =的一条水平渐进线，易判断出应选B.9．设函数x x y sin 21-=，则=dydx（） A ． y cos 211- B ．x cos 211-C ．ycos 22- D ．x cos 22-【答案】D .【解析】因为x x x dx dy cos 211sin 21-='⎪⎭⎫⎝⎛-=，所以，=-==x dx dy dy dx cos 21111xc o s 22-，选D . 10．曲线()⎩⎨⎧<+≥+=,0,sin 1,0,1x x x x x f 在点()1,0处的切线斜率是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B.【解析】因为()()()00lim00--='-→-x f x f f x ()x x x 1sin 1lim 0-+=-→1sin lim 0==-→xx x ； ()()()00lim00--='+→+x f x f f x ()111l i m 0=-+=+→xx x ，故()10='f 存在. 所以，曲线()⎩⎨⎧<+≥+=,0,sin 1,0,1x x x x x f 在点()1,0处的切线斜率是()10='f ，选B.11．方程033=++c x x （其中c 为任意实数）在区间()1,0内实根最多有（） A ．4个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个【答案】D ．【解析】令c x x y ++=33.则0332>+='x y ，因此曲线c x x y ++=33在()1,0内是上升的，它至多与x 轴有一个交点，即方程033=++c x x 在区间()1,0内至多有一个实根.选D ．12．若()x f '连续，则下列等式正确的是（）A ．()[]()x f dx x f ='⎰ B ．()()x f dx x f ='⎰ C ．()()x f x df =⎰ D ．()[]()x f dx x f d =⎰【答案】A ．13．如果()x f 的一个原函数为x x arcsin -，则()=⎰dx x f 在（） A ．C x +++2111 B ．C x+--2111 C ．C x x +-arcsin D ．C x+-+2111【答案】C.【解析】根据原函数及不定积分的定义，立知()=⎰dx x f C x x +-arcsin ，选C. 14．设()1='x f ，且()10=f ，则()=⎰dx x f （）A ．C x +B ．C x x ++221C ．C x x ++2D ．C x +221【答案】B.【解析】因为()1='x f ，故 ()C x dx x f +==⎰1 .又()10=f ，故.1=C 即 ()1+=x x f .所以，()=⎰dx x f ().2112C x x dx x ++=+⎰选B. 15． =-⎰dt t dx d x2012sin 2)cos (（） A ．2cos x - B ．()x x cos .sin cos 2C ． 2c o s x xD ． ()2i n c o s x【答案】B. 【解析】 =-⎰dt t dx d x 2012sin 2)cos (()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--x x sin .sin cos 2()x x cos .sin cos 2=，选B. 16．=-⎰dx e x x 2132（）A ．1B ．0C ．121--eD ．11--e 【答案】C. 【解析】=-⎰dx e x x 2132)(212x e d x -⎰-（分部）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--21010222|x d e e x x x 11121|2----=--=e ee x .选 C.17．下列广义积分收敛的是（）A ． ⎰10ln 1xdx x B.⎰10031dx xxC ．⎰+∞1ln 1xdx xD ．dx e x ⎰+∞--35 【答案】D. 【解析】因为 ⎰+→+100ln 1lim εεxdx x ()⎰+→=10ln ln lim εεx xd∞==+→|120ln 21lim εεx ，所以，⎰10031dx xx 发散；因为 ⎰+→+10031lim εεdx xx ⎰-→+=1034lim εεdx x ∞=-=+→|1031lim 3εεx ，所以，⎰10ln 1xdx x发散；因为⎰+∞1ln 1xdx x ()⎰+∞=1ln ln x xd ∞==+∞|12ln 21x ，所以，⎰+∞1ln 1xdx x发散；dx e x⎰+∞--35()()151535355105151551|e e e x d e x x =--=-=--=+∞--+∞--⎰收敛。