高等土力学(李广信)2.5 土的弹塑性模型的一般原理
2011第三章土的弹塑性模型2
式中：c、φ来自侧向加载试验。 同样，若假设不同应力路径的强度指标一致，Ko固结 侧向加载条件下的切线弹性模量公式如下：
ac Et Kpa pa
n
ac 1 sin r 1 sin 1 R f 2 2c cos 3 ac sin ac sin
§3.4 弹塑性模型简介
一、 E 模型
2
◆ 侧向卸载条件下的切线弹性模量
ac Et Kpa pa
式中：
n
ac
ac 1 sin r 1 sin 1 R f 2 2c cos ac sin ac sin
§3.4 弹塑性模型简介
弹塑性模型简介
§3.4 弹塑性模型简介
弹塑性模型又称本构模型
其最终目的（实质）就是求各种应力～应变 条件下的E、μ值，供各种应力条件下： ——弹性变形条件； ——弹塑性变形条件； ——塑性变形条件； ——粘弹性变形条件； 变形分析（计 算）用。
寻求的是：应力、 应变关系！
§3.4 弹塑性模型简介
E~
模型
§3.4 弹塑性模型简介
一、 E 模型 1、切线弹性模量
其目的就是通过常规三轴压缩试验曲线，找出一个 该模型是通过非线性数学表达式，建立应力状态改 变过程中弹性常数、与偏应力（ σ1 - σ3）之间的双曲 共同的数学表达式，并从这个表达式出发，推导出 切线模量 Et的计算公式，以供增量弹性分析之用,我 线函数，从而更客观地反映非线性材料的应力应变 关系。E——μ模型。 们简称
一、 E 模型
1 此时: a Ei
土体弹塑性力学（讲义）2
2G −1 3K
2G −1 3K
0
0
0⎤⎥ ⎥
⎢ ⎢
2G 3K
−
1
2 + 2G 3K
2G −1 3K
0
0
0⎥⎥
⎡⎣C e
⎤⎦
=
1 6G
⎢ ⎢ ⎢
2G 3K
−1
2G −1 3K
2 + 2G 3K
0
0
⎥ 0⎥
⎥
⎢ ⎢
0
0
0 3 0 0⎥⎥
⎢0
0
0 0 3 0⎥
⎢⎢⎣ 0
0
0 0 0 3⎥⎥⎦
(3-10b)
3K
在不同的应力条件下，Hooke 本构方程有不同的具体形式。下面给出几个特性应力条件下的应力-应变关系方程。
1 在静水压力（各项等向压力）条件下，σ xx = σ yy = σ zz = p ， τ xy = τ yz = τ zx = 0 。则：
σ xx = σ yy = σ zz = Kεv
{ } [ ] σ = σ11
σ 22
σ 33
σ12
σ 23
σT 31
(3-7)
{ } [ ] ε = ε11
ε 22
ε 33
ε12
ε 23
εT 31
(3-8)
⎡⎣
De
⎤⎦
=
(1
+ν
E
) (1
−
2ν
)
⎡1−ν ν ν
⎢ ⎢
ν
1−ν
ν
i ⎢⎢ ⎢
ν 0
ν 1−ν 00
⎢0 0 0 ⎢
⎢⎣ 0 0 0
0 0 0 1− 2ν 0 0
高等土力学(李广信)2.3 土的应力变形特性
uniaxial loading
cyclic loading
0 0
5 10 σ =100kPa σ3=100kPa
3
15 ε1 00
ε1(%)
ε1(%)
10 σ3σ =3000kPa =200kPa
3
5
15
ε1
图2－15 减载体缩（1） －
白河堡粘土的三轴试验结果：加载与减载体积都收缩
图2－16 各种应力路径的中密砂三轴试验及减载体缩 －
1
12
2 4 3
(σ1-σ3) (100kPa) σ3)
10
8 Shear Stress Volume Strain 6
残余状态
4 εv (1/100)
2
1 2 4 3
0 0 2 4 6 8 10 12
-2 εa (1/100)
图2－8 用DDA计算的密砂应力应变曲线 －
各 向 等 压 压 缩 试 验 结 果
a2b比较图223不同应力路径的应力应变曲线图224正常固结粘土在不同应力增量方向上的应变增量方向图225?平面上应力路径转折时的应变路径应力历史正常固结与超固结或拟似超固结土图226正常固结与超固结土的应力应变曲线
2.3 土的应力变形特性
特性：非线性、弹塑性、压硬性、剪胀性、 各向异性、结构性、流变性、应变硬（软）化、 减载体缩。
图2－9 各向等压试验 －
图2－10 承德中密砂的三轴试验（ σ3=500kPa） －
土的体积收缩趋势 剪应力引起的体胀有恢复的趋势；
但是剪应力引起的体积收缩是不可恢复的；
各种形式的应力的重复总是引起体缩的积累。
σ τ
体缩
体胀
图2－11 剪应力下的颗粒的运动与体变 －
第七章 粘弹塑性模型的基本概念
第七章 粘弹塑性模型的基本概念7 . 1 引言为了描述土体应力一应变关系受时间的影响，需要采用与时间有关的类模型（如粘弹胜模酬、粘塑性模型，粘弹塑隆模型）来描述土的性状。
弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性质，各在定条件F 独自反映材料本构关系的一个方面的特性。
理想弹性模型、理想塑胜模型（或称刚塑性模型）和理想粘性模型是反映这三种性质的理想模型，通常称为简单模型。
实际工程材料的本构关系可以用这些简单模型的各种组合来构成。
理想弹性模型又称虎克弹性模型，通常用理想弹簧表示（图7-1( a )）。
其本构方程为虎克定律。
一维条件下，如单轴压缩和纯剪清况下，表达式分别为： E σε= （7.1.1）G τγ= （7.1.2）式中E —— 弹性模量、G ——剪切模量。
剪切模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：()21E G ν=+ （7.1.3） 式中 ν ——泊松比。
三维条件下本构方程可表示为下述形式：m K νσε= （7.1.4）式中 K ——体积弹性模量。
（a ） （b ）图7-1 理想弹性模型体积弹性模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：()312E K ν=- （7.1.6） 理想粘性模型又称牛顿粘滞体模型。
通常用一粘壶（或称阻尼器）表示（图7-2 ( a ) ）。
粘壶内充满粘滞液体和一个可移动的活塞。
活塞在粘滞液体中的移动速度与所受阻力成正比关系，反映了粘性介质内一点的应力与该点处应变速率成正比例关系的性质。
一维条件如单轴压缩或纯剪情况下，表达式分别为： σϕε= （7.1.7） τηγ= （7.1.8）式中 ϕ、η ——粘滞系数。
由上两式可以看出，从数学表达的形式上与理想弹性体单轴压缩和纯剪时的本构方程相类似。
与理想弹性体的方程相对应，类似式7.1.3，存在下述关系：()*21ϕην=+ （7.1.9）式中 *ν ——粘性应变速率的横向比值。
（a ） （b ）图7-2 理想粘性模型 理想粘性体的体积变化与形状变化速率无关，即不具有体积粘性。
高等土力学第1.2.3章课件
δ ij = 1 i = j
s1
= σ1
−
1 3
σ
kk
= σ1 −σm
s2 = σ 2 −σ m
主应力偏量
s3 = σ 3 − σ m
15
i= j
2.2 应力和应变 2.2.1 应力 偏应力张量的不变量
第一偏应力 不变量
J1 = Skk = S1 + S2 + S3 ≡ 0
第二偏应力
不变量
J2
=
1 2
三轴压缩： b=0；θ=-30o
应力洛德角与上述参数的关系 三轴拉伸：
tanθ = μσ = 2b −1
33
b=1.0；θ=+30o
应力洛德角和洛德参数都反映中主应 力和其他两个应力间的相对比例
25
2.2 应力和应变 2.2.1 应力
土力学中常用的三个应力（不）变量
p
=
1 3
(σ1
+σ2
+σ3)
[ ] q =
τ oct
=
1 3
⎡⎣(σ
1
−
σ
2
)2
+ (σ 2
− σ 3 )2
+ (σ 3
1
− σ1)2 ⎤⎦ 2
=
21
3
J
2
2
广义剪应力（等效剪应力）
q=
1 2
⎡⎣(σ1
− σ 2 )2
+ (σ2
−σ3)2
+ (σ3
1
−σ1)2 ⎤⎦ 2
=
3 2
τ
oct
=
3J2
20
2.2 应力和应变 2.2.1 应力
高等土力学(李广信)2.5 土的弹塑性模型的一般原理ppt课件
[D]d
g
{d}
24
d
＝Dd
D
g
A＋
f
f
T
D
T
D
g
d
＝D
D
g
f
T
D
A＋ f
T
D
g
d
＝Depd
25
Dep＝D
D
g
f
T
D
A＋
f
T
D g
不相适应fg
Dep＝D
D
f
பைடு நூலகம்
f
T
D
A＋
f
T
D
f
相适应 f=g
26
d
ijd
P ij
0
屈服面的外凸 与塑性应变增 量向量的正交
19
锥形屈服面与帽子屈服面 q
dpij
dpij
p
图2－43 与两种屈服面的正交的塑性应变
表现土的塑性剪胀与剪缩，锥形屈服面会使剪胀量过
大，一般采用不相适应的流动规则
20
2. 加工（应变）硬化定律 (strain-hardening law)： 是确定在一定的应力增量作用下引起的塑性应变增
q
q
p p
图2－37 锥形屈服面与射线屈服轨11迹
2) 又由于土在各向等压条件下也会发生颗粒相对 运动，土变密实，所以出现各种“帽子”屈服 面（Cam-clay,；清华模型）
q
q
q
图2－38 帽子屈服面
p p
p
12
3）二者的联合形式
q
P-
图2－39 普遍形式的屈服面
13
5.土的屈服面与屈服轨迹的确定 1)假设屈服面与屈服函数 2)通过试验试加载勾画屈服轨迹 3)通过试验确定塑性应变增量的方向和Drucker 假说确定塑性势面＝屈服轨迹
第六章 土的弹塑性模型
第六章 土的弹塑性模型6 . 1 引言根据弹塑性理论，总应变可分成弹性应变和塑性应变两部分，其增量形式为：ep ijij ij d d d εεε=+ （6.1.1）弹性应变可以应用广义虎克定律计算，塑性应变可以应用塑性增量理论计算。
应用塑性增量理论计算塑性应变需要已知材料的屈服函数，流动规则和硬化规律，对服从不相关联流动规则的材料，还需要已知材料的塑性势函数。
弹塑性本构方程可以采用下述形式表示：ep ij ijkl kl d D d σε= （6.1.2）式中 epijkl D ——弹塑性模量张量。
在上一章已得到弹塑性模量张量的一般表达式为：ijklrsklpq rsepijklijkl mnuvmn uvg D D D D g A D σσσσ∂∂Φ∂∂=-∂Φ∂+∂∂ （6.1.3）式中g —— 塑性势函数；Φ——屈服函数；A ——硬化参数；ijkl D ——弹性模量张量。
近年来，根据弹塑性理论建立上的弹塑性模型发展很快，各国学者提出的弹塑性本构模型很多，在这一章只能通过几个典型例子的分析，介绍根据弹塑性理论建立土的本构模型的基本思路。
下面几节分别介绍理想弹塑性模型，剑桥模型，修正剑桥模型，Lade-Duncan （1975）模型，以及多重屈服面模型和边界面模型的基本概念。
6 . 2 理想弹塑性模型在这一节，首先介绍理想弹塑性本构方程的普遍表达式，然后介绍几个典型的理想弹塑性模型。
6.2.1本构方程的普遍表达式对理想弹塑性材料，塑性势函数与屈服函数相同，下面用F 表示，硬化参数A 恒等于零，于是式6.1.3可改写为：ijpqrsklpq rsepijklijkl mnuvmn uvF FD D D D F g D σσσσ∂∂∂∂=-∂∂∂∂（6.2.1）理想弹塑性材料本构方程也可用其它形式表达，下面介绍另一种表达形式。
弹性应变增量eij d ε可表示为：1192eij ij ij dI d dS K Gεδ=+ （6.2.2） 式中 1I ——应力张量第一不变量；ij S —— 应力偏张量；,K G ——分别为体积弹性模量和剪切弹性模量。
高等土力学第二章课件
A＋
f
T
D
g
＝
D
D
g
A
＋
f
f
T
D
T
D
g
d
＝ D ep d
Dep＝D
Dg
f
T
ห้องสมุดไป่ตู้
D
A＋f
T
Dg
不相适应： fg
Dep＝D
Df
f
T
D
A＋f
T
Df
相适应： f=g
2.6 土的剑桥模型（Cam-clay)
2.6 土的剑桥模型
2.6.1 正常固结粘土的物态边界面（state boundary surface) 2.6.2 超固结土及完全的物态边界面 2.6.3 弹性墙与剑桥模型的屈服函数 2.6.4 修正的剑桥模型
弹性－理想塑性 Elasto-Plastic
刚塑性 Perfectly plastic
增量弹塑性-
Incremental Elastoplastic
不同塑性模型的应用：
刚塑性理论-极限平衡法：刚体滑动法、各 种条分法、滑移线法（不计变形，不计过程）
弹－塑性理论：在一定范围为弹性，超过 某一屈服条件为塑性变形。数值计算中出现
CS：v=常数的Roscoe 面 TS：超固结土的强度线-Hvorslev面 0T：零应力线 包括了正常固结土、重超固结土的 可能的（极限）应力状态
包括超固 结土的完 全的物态 边界面
vi-Ti-Si-Ni
HS
超固结
CS
正常 固结
2.6.3 弹性墙与屈服轨迹
1. 弹性墙 正常固结粘土与轻超固结粘土 （wet clay) 各向等压固结: 加载：NCL
2011第三章土的弹塑性模型2
一、 E 模型
1 此时: a Ei
b
R f 1 sin 2c cos 2 3 sin
可见，a，b均是 3 的函数。 由求解的公式可知，该模量与所研究土体的c、φ强度 指标，与K、n、Rf有关，是固结压力σ3的函数。 此时，弹性常数的线性表达式已不适用， 而应采用受荷过程中的增量弹性模量表达式。
2
§3.4 弹塑性模型简介
一、 E 模型 根据莫尔-库仑破坏准则，有 1 3 1 sin 1 3cos ) sin 2c cos 2 3 sin 1 3 (c ctg 2c 1 3 f 2 1 sin 2 1 sin 1 sin 1 3 1 3 ( 1 3 )(1 sin ) S ( 1 3 ) f 2c cos 2 3 sin 2c cos 2 3 sin 1 sin
其中邓肯-张（Duncan-Chang）模型被国内外较为广 泛的应用。 首先，考特纳(Kondner)建议 采用双曲线表示（ σd – ε1） 曲线，对于常规三轴压缩试验， 当σ3为常数时，有：
1 d 1 3 a b1
§3.4 弹塑性模型简介
一、 E 模型 式中：a，b为试验常数。
1 Ei
2
R f 1 Ei 1 3 f
式中： S1为应力 3 S 水平，反映强 (1 3 ) f 度发挥的程度 将此 式回 代得
根 据
1 R 1 13 31 1 3 f 1 1 1 Rf Ei Ei 1 1 3 f 3 f
假设一切剪应变都是不可恢复的弹性剪应k均为试验常数微分后得弹性应变孔隙比的变化量并用角标e表示弹性变化则dppddw沿着屈服面移动时塑性势均相等也就是说剑桥模型认为塑性能等于塑性势面与屈服面重合所以dwdwdw在屈服轨迹塑性势fpqk0上其屈服参数k为常数则34弹塑性模型简介三剑桥模型cambridgemodel1928年米色斯提塑性应变增量的方向与塑性势面的法线方向一致1010代入9得34弹塑性模型简介三剑桥模型cambridgemodeldpdqdpdq其中c为积分常数设该屈服轨迹与坐标轴p的交点00111234弹塑性模型简介三剑桥模型cambridgemodel代入后得lnln也就是说相应的屈服函数f为1434弹塑性模型简介三剑桥模型cambridgemodel屈服函数
高等土力学(李广信)2-5章部分习题答案
2-1.什么叫材料的本构关系？在上述的本构关系中，土的强度和应力-应变有什么联系？ 答：材料的本构关系是反映材料的力学性质的数学表达式，表现形式一般为应力-应变-强度-时间的关系，也成为本构定律，本构方程。
土的强度是土受力变形发展的一个阶段，即在微小的应力增量作用下，土单元会发生无限大或不可控制的应变增量，它实际上是土的本构关系的一个组成部分。
2-7什么是加工硬化？什么是加工软化？请绘出他们的典型的应力应变关系曲线。
答：加工硬化也称应变硬化，是指材料的应力随应变增加而增加，弹增加速率越来越慢，最后趋于稳定。
加工软化也称应变软化，指材料的应力在开始时随着应变增加而增加，达到一个峰值后，应力随应变增加而下降，最后也趋于稳定。
加工硬化与加工软化的应力应变关系曲线如右图。
2-8什么的是土的压硬性？什么是土的剪胀性？答：土的变形模量随着围压提高而提高的现象，称为土的压硬性。
土的剪胀性指土体在剪切时产生体积膨胀或收缩的特性。
2-9简述土的应力应变关系的特性及其影响因素。
答：土是岩石风化形成的碎散矿物颗粒的集合体，通常是固、液、气三相体。
其应力应变关系十分复杂，主要特性有非线性，弹塑性，剪胀性及各向异性。
主要的影响因素是应力水平，应力路径和应力历史。
2-10定性画出在高围压（MPa 303<σ）和低围压（KPa 1003=σ）下密砂三轴试验的v εεσσ--)(131-应力应变关系曲线。
答：如右图。
横坐标为1ε，竖坐标正半轴为)(31σσ-，竖坐标负半轴为v ε。
2-13粘土和砂土的各向异性是由于什么原因？什么是诱发各向异性？答：粘土和砂土的各向异性是由于其在沉积过程中，长宽比大于1的针、片、棒状颗粒在重力作用下倾向于长边沿水平方向排列而处于稳定的状态。
同时在随后的固结过程中，上覆土体重力产生的竖向应力与水平土压力大小不等，这种不等向固结也造成了土的各向异性。
诱发各向异性是指土颗粒受到一定的应力发生应变后，其空间位置将发生变化，从而造成土的空间结构的改变，这种结构的改变将影响土进一步加载的应力应变关系，并且使之不同于初始加载时的应力应变关系。
高等土力学主要知识点整理(李广信版)
第二章 土的本构关系（一）概述材料的本构关系是反映其力学性能的数学表达式，一般为应力-应变时间-强度的关系，也称本构定律、本构方程。
土的强度是土受力变形的一个阶段，即微小应力增量小，发生无限大(或不可控制）应变增量，实际是本构关系一个组成部分，是土受力变形的最后阶段。
第一应力不变量kk z y x I σσσσ=++=1第二应力不变量kk yz xz xy z y z x y x I στττσσσσσσ=---++=2222第三应力不变量22232xyz xz y yz x yz xz xy z y x I τστστστττσσσ---+= 坐标系选择使剪应力为零 3211σσσ++=I ,3231212σσσσσσ++=I 3213σσσ=I 球应力张量)(31)(3131321332211σσσσσσσσ++=++==kk m 偏应力张量ii kk ij ij s δσσ31-=，其中⎩⎨⎧=≠=j i j i ii 10δ，克罗内克解第一偏应力不变量01≡=kk s J 第二偏应力不变量()()()[]23123222126121σσσσσσ-+-+-==ji ij s s J 第二偏应力不变量()()()213312321322227131σσσσσσσσσ------==ki jk ij s s s J 1.土的应力应变特性：非线性（应变/加工硬化、应变/加工软化）、剪胀性、弹塑性、各向异性、结构性、流变性（蠕变、应力松弛）。
加工硬化：应力随应变增加而增加，但增加速率越来越慢，最后趋于稳定（正常固结黏土、松砂）加工软化：应力一开始随应变增加而增加，超过一个峰值后，应力随应变增加而减小，最后趋于稳定（超固结黏土、松砂）剪胀性：剪应力引起的体积变化，含剪胀和剪缩土的结构性：由土颗粒空间排列集合、土中各相和颗粒间作用力造成，可明显提高土的强度和刚度。
灵敏度：原状黏性土与重塑土的无侧限抗压强度之比土的蠕变：应力状态不变条件下，应变随时间逐渐增长的现象，随土的塑性、活动性、含水量增加而加剧土的应力松弛:维持应变不变，材料内应力随时间逐渐减小的现象压硬性：土的变形模量（指无侧限，压缩模指完全侧限）随围压而提高的现象。
弹塑性力学PPT课件精选全文
.
*
⑾.静力边界条件
◆ 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上 任意一点的应力分量和面力分量必定满足这 组方程。
◆ 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之 取负。
.
*
◆ 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量 与相应的面力分量直接对应相等。
.
*
2、几何假设——小变形条件
（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：
.
*
五、 弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的 全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点 处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。
1、物理假设:
（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ；（B）弹塑性假设。
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
.
高等土力学(李广信)2.4 土的弹性模型
ε →0
1
图2－34 泊松比中参数的确定 －
ν →f
i
νi=f=G-F lg(σ3 /pa)
ε1趋近于0，νt→νi
νi与围压σ3成对数关系
d(−ε 3 ) (1 − Dε1 ) f + Dε1 f νt = = 2 dε1 (1 + Dε1 )
ε1 =
νt =
1− b(σ 1 − σ 3 )
a(σ 1 − σ 3 )
(2)非线性强度包线
σ 3 ϕ = ϕ0 − ∆ϕ lg P a
Ss = S 4
σ3
(3)加卸载判断（考虑围压 与应力水平）
pa
σ1 −σ 3 S= (σ1 − σ 3 )f
(4)中主应力的影响
（σ2＋σ3)/2代替σ3或者考虑 平面应变试验的φp
σ
3
3
σ3
σ2
代替σ3
2. 各种非线性K,G 模型
B = K bP ( a
σ3
P a
)
m
试验参数Kb, m
4）E-ν模型：假设ε1与-ε3成双曲线关系
ε
1=
f + D(−ε 3 )
−ε 3
−ε3
ε1
= f − Dε 3
d(−ε 3 ) (1 − Dε1 ) f + Dε1 f νt = = 2 dε1 (1 + Dε1 )
d(−ε 3 ) (1 − Dε1 ) f + Dε1 f νt = = 2 dε1 (1 + Dε1 )
(σ1 − σ 3 )f Rf = (σ1 − σ 3 )ult
(σ1-σ3)ult
破坏比Rf
σ1-σ3
(σ1-σ3)f
高等土力学-课件
ε
1、沉降计算问题
σ
τf
ε
2、土压力问题 3、边坡稳定问题 4、地基承载力问题
强度问题加变形问题
极限平衡分析 条分法 k=1.4
强度问题加变形问题
上海倒楼问题 成寿寺邮电出版社基坑(上抬)
相互作用问题
有限土体土压力问题
深、大基础承载力问题 Pu=cNC + rdNq + rbNr/2
内蒙鄂尔多斯某砼搅拌站
（1930年，美国哈佛大学工硬化 加工软化
εa
不同应力路径下来做三轴试验:
1、常规 σr不变 σa增加
三轴压缩
σr不变 σa减小
三轴挤压（三轴拉伸）
其他
σa不变 σr增加 三轴挤压 σa不变 σr减小 三轴压缩 σa增大 σr减小 但平均应力不变
三轴压缩
σr增大 σa减小 但平均应力不变 三轴挤压
J.H.Atkinson, P.L.Bransby
主要内容
1、引言 2、土工试验 3、应力分析、应变分析 4、屈服准则 5、几个模型
Duncan— Chang Model Lade—Duncan Model Cambridge Model 6、渗流问题 7、简单的测试与讨论
李广信 70万字
龚晓南 24万字
高等土力学
（Advanced Soil Mechanics）
张钦喜
北京工业大学
2014.09
高等土力学（32h） （Advanced Soil Mechanics）
主要参考文献：
1、土的本构关系 蒋彭年 科学出版社 1982 2、土的塑性力学 屈智炯 成都科技大学出版社
1987 3、土的塑性力学 龚晓南 浙江大学出版社
高等土力学(李广信)-期末总结
一般弹塑性模型
屈服与屈服准则 硬化规律 正交性（流动法则：相适应与不相适应） 刚塑性、弹性－理想（完全）塑性 （perfectly plastic)和增量弹塑性模型。
剑桥模型
物态边界面概念：正 常固结线、临界状态 f p 线、固结不排水试验 d ij d 有效应力路径。 ij q 剑桥模型与修正剑桥 M 模型的屈服面：物理 意义、公式推导、曲 线形式。 剑桥模型的硬化参数、 流动规则、增量应力 p0 应变关系式。 p0 /2 图1 剑桥模型的屈服面
土的强度理论
各强度理论的特点 参数 计算 优缺点 适用情况
第四章 土中水与土的 渗透及其计算
1. 渗透规律－达西定律 2. 有关渗流的工程问题 3. 渗透计算
渗透及达西定律
几种渗流势：重力、压力、基质势 渗透系数及其影响因素 渗流的基本方程，流网及其应用Leabharlann 有关渗流的工程问题p
第三章 土的强度
土的强度机理与影响因素 排水与不排水、饱和与不饱和土强度 土的强度理论
土的强度机理
土的强度－抗剪强度： 粘聚强度与摩擦强度： 粘聚力：机理，粘性土的微观结构； 假粘聚力：吸力、冰冻、机械咬和； 内摩擦角：表面摩擦与咬和－剪胀、破 碎与颗粒的重排列。
强度的影响因素
固结
（1）单向固结的普遍方程及一般条件下的单向 固结问题： 加载时间 分层土 厚度随时间变化 （2）砂井固结问题：井阻、涂抹、加载时间 （3）比奥固结理论与太沙基（Terzaghi)—伦杜 立克(Rendulic)准三维固结理论(扩散方程)
固结问题的简化计算
均匀加载、分期加载 不均匀土层与分层土 砂井：井阻与涂抹影响
高等土力学部分知识总结
第七章 土的固结理论1.固结：所谓固结，就是在荷载作用下，土体孔隙中水体逐渐排除，土体收缩的过程。
更确切地说，固结就是土体超静孔隙水应力逐渐消散，有效应力逐渐增加，土体压缩的过程。
（超静孔压逐渐转化为有效应力的过程）2.流变：所谓流变，就是在土体骨架应力不变的情况下，土体随时间发生变形的过程。
次固结：孔隙压力完全消散后，有效应力随时间不再增加的情况下，随时间发展的压缩。
3.一维固结理论假定：一维（土层只有竖向压缩变形，没有侧向膨胀，渗流也只有竖向）； 饱和土，水土二相； 土体均匀，土颗粒和水的压缩忽略不计，压缩系数为常数，仅考虑土体孔隙的压缩； 孔隙水渗透流动符合达西定律，并且渗透系数K 为常数； 外荷载为均布连续荷载，并且一次施加。
固结微分方程：ðu ðt=C vð2u ð2zu 为孔隙水压力，t 时间，z 深度C v =K m v γω=K(1+e)a γω渗透系数越大，固结系数越大，固结越快；压缩系数越大，土体越难压缩，固结系数就小。
C v 土的固结系数，与土的渗透系数K 成正比和压缩系数m v 成反比。
初始条件：t=0，u =u 0(z); 边界条件：透水面 u=0不透水面ðu ðz=04.固结度：为了定量地说明固结的程度或孔压消散的程度，提出了固结度的概念。
任意时刻任意深度的固结度定义为当前有效应力和总应力之比U=σ′σ=σ−u σ=1−uσ平均固结度：当前土层深度内平均的有效应力和平均的总应力之比。
U =1−∫udz H0∫σdzH 0固结度U 是时间因数Tv 的单值函数。
5.太沙基三维固结理论根据土体的连续性，从单元体中流出的水量应该等于土体的压缩量ðεv ðt =ðq xðx+ðq yðy+ðq zðz由达西定律：q i=−K iγw ðuði若土的各个方向的渗透系数相同，取K i=K将达西定律公式代入连续方程：ðεv ðt =−Kγw(ð2uð2x+ð2uð2y+ð2uð2z)=−Kγw∇2uεv=εx+εy+εz=1−2vE(σ1′+σ2′+σ3′)=1−2vE(σ1+σ2+σ3−3u)太沙基三维固结理论假设三向总应力和不随时间变化即：d(σ1+σ2+σ3)dt=0ðεv ðt =−3(1−2v)Eðuðt=−Kγw∇2u即3(1−2v)Eðuðt=Kγw∇2uðu ðt =E3(1−2v)Kγw∇2u=C v3∇2u C v3=E3(1−2v)Kγw6.轴对称问题固结方程砂井排水引起的土中固结，在一个单井范围内可以看成轴对称的三维问题，包含竖向和径向两个方向水的流动。
高等土力学(李广信)2.6 土的剑桥模型
v=- lnp
p＝exp((-v)/ ) q=Mp=M exp((-v)/ )
临界状态线，物态面
图2－47 正常固结粘
土的物态边界面
三维空间的物态边 界面
（1）p,q,e三者一一对应 （2）有效应力路径的唯一性
图2－48正常固结粘土的物态边界面
图2－49 各向等
压的加载与卸载
v=N- lnp：初始加载 v=v- lnp：回弹曲线
弹性墙在q-p平面上的 投影AF － 子弹头屈服轨迹
弹性墙上－v0p及pv唯一
图2－59 子弹头屈服轨迹
4. 物态边界面的方程 屈服轨迹沿NCL移动，得到三维变量表示的物态 边界面方程：
M ' p
' q
' N v ln p
（1）
5. “湿粘土”的应力应变关系表达式
e e v
e
dW pd qd
p p v
p
（3）
（4）
塑性变性能的基本假设：
1）假设一切剪应变是不可恢复的，亦即：
d 0
e
（5）
dv e dp ' e d V 1 e 1 e p'
（6）
dW
e
pd
e v
1 e
dp ' （7）
2) 假定塑性变性能可表示为：
比体积：v1+e
v=e
e 1
v－e/(1+e0)
图2－44 的几何意义
固结不排水试验的有效应力路径相似性
q
U3
D2
D3
临界状态线
CSL: Critical State Line
清华大学李广信土力学重点知识总结(期末、考研)
土力学笔记（清华二版）第一章土的物理性质和工程分类1.1土的形成1.土的特点碎散性岩石风化或破碎的产物，非连续体受力易变形，强度低体积变化主要是孔隙变化剪切变形主要由颗粒相对位移引起三相性固、液、气受力后由三相共同承担相间存在复杂相互作用孔隙水和孔隙气可流动天然性自然界的产物，存在自然变异性非均匀性各向异性时空变异性2.三大问题、三大特性：强度、变形、渗透1.2土的三相组成1．根据三相比例不同，将土分为：饱和土、非饱和土、干土2．粒径级配：粒径大小及不同尺寸颗粒在土中占的百分比3．巨粒土＞60mm 、粗粒土＞0.075、细粒土≤0.075；4．粗粒土：以砾石和砂石为主的土，也称无黏性土5．细粒土：以粉粒和黏粒为主的土，也称黏性土6．粒径级配分析方法：筛分法（适用于粒径大于）0.075；水分法（粒径小于0.075）7．粒径级配曲线：横坐标为土颗粒直径（mm ），纵坐标为小于某粒径的土颗粒累积含量（百分比）8．粒径级配曲线的用途：了解土的粗细程度；粒径分布的均匀程度，分布连续性程度来判断土的级配优劣。
9．重要参数：1d50：平均粒径，表粗细；d10：有效粒径，细颗粒代表值；d30：连续粒径，表连续性；d60：控制粒径，粗颗粒代表值。
2两点：某粒径范围内土颗粒所占质量百分数，陡多，缓少，平缺10．不均匀系数Cu ：Cu=d60/d10；Cu ＞5不均匀土11．曲率系数：1060230c d d d C ⨯=；Cc ＜1或＞3表示级配曲线不连续。
12．级配良好的土：土的级配不均匀Cu ≥5，且级配曲线连续（Cc=1-3），适用于填方工程。
13．土中水：自由水：毛细水，重力水；结合水：强结合水，弱结合水14．土中气：封闭气体，自由气体1.3土的物理状态15．最基本指标1土的密度：单位体积土的质量，g vργρ==;m2土粒比重（土粒相对密度）：土粒的质量与同体积纯蒸馏水在4℃时的质量之比，数值上等于土粒的密度。
高等土力学-李广信-清华版
第一章 土工试验及测试
(6) 减载的三轴伸长（RTE：Reduced triaxial extension）试验 试样首先在σ c 下等向压缩固结，然后保持室压σ c 不变，轴向σ a 减小，即 ∆σ 3 = ∆σ a < 0 ，
∆σ 1 = ∆σ 2 = ∆σ c = 0 ，试样被轴向伸长，可达到破坏。由于室压不变，试样伸长，所以这种试验 也被称为三轴伸长试验。这时θ = 30o 或 b = 1.0 。当σ 3 < 0 时，试样中实际上存在拉应力，可引起
三轴试验。对于所有的三轴试验，试样受到的三个主应力总有两个是相等的。所以常用平均主应力 p
和广义剪应力σc) q=（σa‐σc） 在一般应力状态下，为了表示中主应力的大小，常用另外两个参数表示：
（1.1.1） （1.1.2）
b = (σ 2 − σ 3 ) /(σ 1 − σ 3 )
第一章 土工试验及测试
由于土的力学性质的复杂多变，土工试验是土力学中的基本内容，试验土力学成为土力学的一 个重要分支。另一方面，由于现场原状土的结构性，土工问题的诸多影响因素使现场原位测试和工 程原型监测成为工程实践中不可缺少的一部分。
广义的土工试验包括室内试验、原位测试、模型试验和原位监测等；从内容上又可分为物理性 质试验、力学性质试验和水力学性质试验；也可以从宏观和微观不同尺度进行试验和测试。本章侧 重于土的力学性质试验。
土工试验的不可替代的作用表现在： 1. 只有通过试验才能揭示土作为一种碎散多相的地质材料的一般的和特有的力学性质。 2. 只有对具体土样的试验，才能揭示不同类型、不同产地、不同状态土的不同力学性质，如：
非饱和土、区域性土、人工复合土等。 3. 试验是确定各种理论参数的基本手段。 4. 试验是验证各种理论的正确性及实用性的主要手段。 5. 足尺试验、模型试验可以验证土力学理论与数值计算结果的合理性；也是认识和解决实际
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面重合，即f=g。
不相适应（不相关联）的流动（nonassociated
flow rule)：塑性势面不必与屈服面重合fg。
dpij
dij
Drucker 假说：对于稳定材 料：
图2－42 Drucker 假说
认为A与A´在同一屈服面上
图2－41
三轴试验与真三轴试验确定塑性应变增量方向
2.5.3流动规则与硬化定律
1. 流动规则 (flow rule) 2. 硬化定律 (strain-hardening law)
1. 流动规则（flow rule)：用以确定塑性应变增量 向量的方向的规则（或者确定塑性应变增量的 各个分量间的比例关系）－塑性应变增量向量 正交于塑性势面。所以也称为正交规则。
d
ijd
P ij
0
屈服面的外凸 与塑性应变增 量向量的正交
锥形屈服面与帽子屈服面 q
dpij dpij
p 图2－43 与两种屈服面的正交的塑性应变
表现土的塑性剪胀与剪缩，锥形屈服面会使剪胀量过 大，一般采用不相适应的流动规则
2. 加工（应变）硬化定律 (strain-hardening law)： 是确定在一定的应力增量作用下引起的塑性应变增
2.5.2屈服准则与屈服面
1. 屈服准则 2. 屈服函数 3. 屈服面与屈服轨迹 4. 土的屈服面与屈服轨迹的一般形式 5.土的屈服面与屈服轨迹的确定
1. 屈服准则(yield criterion)
判断是否发生塑性变形的准则 －判断加载与卸载的准则
ABBຫໍສະໝຸດ AABA B
A、B在屈服面上， A B不在屈服面上
f
T
d
f
H
T
g
H
p ij
ij
H
p
d Pij
d
g
ij
d
f
T
d
f H T g
H
p
A
f H
H
p
T
g
d
f
T
d
A
A:塑性硬化模量
2.5.4弹塑性本构模型的模量矩阵的一般表达式
d d ed p
d
f
T
d
A
[D]d [D]
d e
[D]d
； 3.1960s，弹塑性理论模型：在增量意义上是弹
－塑性的。
弹塑性理论回顾：
Drucker假说 屈服准则 流动—正交法则 硬化规律
弹性－完全塑性 elastic- perfectly plastic
增量弹塑性-
incremental elastic-plastic
刚塑性 rigid- plastic
图2－36 屈服－弹塑性应变的判断准则
B 为屈服点；
A´非屈服点
2. 屈服函数 (yield function, yield equation)
屈服准则的数学表达式
f (ij , H) 0
对于刚塑性和弹性－塑性模型：H为常数；
对于弹塑性模型：H是塑性应变的函数。
加卸载的判断（应变硬化情况）
f
图2－35 几种塑性模型
dij diej dipj
不同塑性模型的应用
1)刚塑性理论-极限平衡法：刚体滑动法、各种条分法、 滑移线法（不计变形，不计过程）。
2)弹－塑性理论：在一定范围为弹性，超过某一屈服条件 为塑性变形。数值计算中出现“塑性区”。
3)（增量）弹塑性理论模型：一开始就是弹塑性变形同时 发生，屈服面不断发展。
q
q
q
图2－38 帽子屈服面
p p
p
3）二者的联合形式
q
P-
图2－39 普遍形式的屈服面
5.土的屈服面与屈服轨迹的确定
1)假设屈服面与屈服函数 2)通过试验试加载勾画屈服轨迹 3)通过试验确定塑性应变增量的方向和Drucker 假说确定塑性势面＝屈服轨迹
图2－40 试验搜索屈服点 A-1-2-A´
ij
d ij
0
为加载，同时发生弹性、 塑性变形
f
0
f
ij
d ij
0
为中性变载，只产生弹性变形
f
ij
d ij
0
为卸载，只产生弹性变形
f <0 在屈服面之内，弹性变形
3. 屈服面与屈服轨迹
屈服面－屈服准则在应力空间中的几何表示： 1)三维应力空间：屈服面 2)二维应力空间：屈服轨迹
4. 土的屈服面与屈服轨迹的一般形式
量大小的规律。
硬化参数H(pij): 是土在发生了一定的塑性应变后，
其排列与组构变化的尺度。
f
(ij , H )
0, H
H
(
p ij
)
df 0,
df
f
ij
d ij
f H
dH
0
f
ij
d ij
f H
H
p ij
d
p ij
0
f
ij
d ij
f H
H
p ij
d
g
ij
0
d
f
ij
d ij
f H g
1）由于土是一种摩擦材料，人们认为只是在应 力比变化时颗粒间才会相对滑动位移（MohrCoulomb, ；广义Mises；广义Tresca: 锥形屈服 面)
q
q
p p
图2－37 锥形屈服面与射线屈服轨迹
2) 又由于土在各向等压条件下也会发生颗粒相对 运动，土变密实，所以出现各种“帽子”屈服 面（Cam-clay,；清华模型）
g
{d}
d
＝Dd
D
g
A＋
f
f
T
D
T
D
g
d
＝D
D
g
f
T
D
A＋ f
T
D
g
d
＝Depd
Dep＝D
D
g
f
T
D
A＋
f
T
D g
不相适应fg
Dep＝D
D
f
f
T
D
A＋
f
T
D
f
相适应 f=g
2.5 土的弹塑性模型的一般原理
2.5.1塑性理论在土力学中的应用 2.5.2屈服准则与屈服面 2.5.3流动规则与硬化定律 2.5.4弹塑性本构模型的模量矩阵的一般表达
式
2.5.1 塑性理论在土力学中的应用
1.1776年库仑公式与土压力理论—刚塑性； 2.借鉴金属塑性理论，弹性－理想（完全）塑性