(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.3.1

第一章 导数及其应用
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[思路点拨] 由函数y＝f(x)的图象可得到函数的单调情 况，进而确定导数的正负，再“按图索骥”．
解析： 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依 次是正→负→正→负，只有选项A满足．
答案： A
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(1)函数的定义域为R. y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，则2x(x－2)＞0， 解得x＜0或x＞2. 所以函数的单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)． 令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2. 所以函数的单调递减区间为(0,2)．
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求函数的单调区间
求下列函数的单调区间： (1)y＝23x3－2x2＋3； (2)y＝ln(2x＋3)＋x2.
[思路点拨] 求定义域 → 求导数 → 解不等式y′＜0和y′＞0 → 写单调区间
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答案： C
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2．y＝xln x 在(0,5)上的单调性是( ) A．单调递增 B．单调递减 C．在0，1e上单调递减，在1e，5上单调递增 D．在0，1e上单调递增，在1e，5上单调递减
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增函数；
若 x∈0，2a，则 f′(x)<0，所以 f(x)在0，2a上是减函数；
若 x∈2a，＋∞，则 f′(x)>0，所以 f(x)在2a，＋∞上是增
函数.
6分
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(2)当a<0时，2a<0
若x∈ －∞，2a ，则f′(x)<0，所以f(x)在 －∞，2a 上是减 函数；
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讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为 求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体 情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类 讨论的标准．
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导数与函数的单调性
在某个区间(a，b)内，函数的单调性与其导函数的正负有 如下关系：
导数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0
函数的单调性 单调__递__增____ 单调__递__减____
常数函数
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由题意知：a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3axx－2a
令 f′(x)＝0 得 3axx－2a＝0
2分
(1)当 a>0 时，2a>0
若 x∈(－∞，0)时，则 f′(x)>0，所以 f(x)在(－∞，0)上是
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1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示， 则导函数y＝f′(x)可能为( )
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解析： 由函数f(x)的图象知f(x)在(－∞，0)上单调递增， ∴f′(x)>0，故排除A、C.又f(x)在(0，＋∞)上有三个单调区 间，故排除B，故选D. 答案： D
若x∈2a，0，则f′(x)>0，所以f(x)在2a，0上是增函数； 若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减
函数.
10分
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综上讨论可知： 当 a>0 时，函数 f(x)在(－∞，0)上是增函数； 在0，2a上是减函数，在2a，＋∞上是增函数； 当 a<0 时，函数 f(x)在－∞，2a上是减函数； 在2a，0上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数. 12 分
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利用导数求函数的单调区间注意的问题 (1)在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定 义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符 号来判断函数的单调区间． (2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那 么这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或 “和”字隔开．
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利用导数求函数单调区间的基本步骤
1．确定函数f(x)的__定__义__域____． 2．求导数f′(x)． 3 ． 由 f′(x)>0( 或 f′(x)<0) ， 解 出 相 应 的 x 的 范 围 ． 当 f′(x)>0 时，f(x)在相应的区间上是_________增_；函数当f′(x)<0时，f(x)在相 应的区间上是_________减_．函数 4．结合定义域写出单调区间．
解得－
3 3 <x<0
或
x>
3 3.
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又∵x>0，∴x> 33. 令 f′(x)<0，即 2·3x2x－1<0，
解得 x<－ 33或 0<x< 33，
又∵x>0，∴0<x<
3 3.
∴f(x)的单调递增区间为 33，＋∞， 单调递减区间为0， 33.
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3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________． 解析： f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞ 0，解得x＞2. 答案： (2，＋∞)
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当－32<x<－1 时，f′(x)>0； 当－1<x<－12时，f′(x)<0； 当 x>－12时，f′(x)>0. 从而 f(x)在区间－32，－1，－12，＋∞上单调递增，在区 间－1，－12上单调递减．
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1.利用导数符号判断单调性的方法： 利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单 得多，只需判断导数在该区间内的正负即可． 2．通过图象研究函数单调性的方法： (1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化 的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点， 分析导数的正负． 特别提醒：函数的正负与导数的正负没有关系．
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1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数
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[问题 2] 判断 f(x)在π2，32π上的单调性，导函数 f′(x)的 正负情况．
[提示 2] f(x)在π2，32π上单调递减，f′(x)<0. [问题3] 试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系． [提示3] 当f′(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为 减函数．
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导数与单调性的关系
如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝ f′(x)的图象可能是( )
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(2)函数 y＝ln(2x＋3)＋x2 的定义域为－32，＋∞. y′＝2x＋2 3＋2x＝4x22＋x＋6x3＋2＝22x＋2x1＋3x＋1. 令 y′＞0，解得－32＜x＜－1 或 x＞－12. 所以函数的单调递增区间为－32，－1，－12，＋∞. 令 y′＜0，解得－1＜x＜－12， 所以函数的单调递减区间为－1，－12.
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求含参数的函数的单调区间
试讨论函数 f(x)＝ax3－3x2＋1－3a的单调性．
[思路点拨] 函数解析式中含有参数时，讨论其单调性(或 求其单调区间)问题，往往要转化为解含参数的不等式问题， 这时应对所含参数进行适当的分类讨论，做到不重不漏，最后 要将各种情况分别进行表述．
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4．证明函数f(x)＝x＋sin x在R上是增函数． 证明： f′(x)＝1＋cos x， ∵－1≤cos x≤1，∴0≤1＋cos x≤2， 当且仅当cos x＝－1，即x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，f′(x)＝0. ∴f(x)＝x＋sin x在R上是增函数．
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1．函数y＝x3－3x的单调减区间是( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
解析： y′＝3x2－3，
由y′＝3x2－3<0得－1<x<1，
∴函数y＝x3－3x的单调减区间是(－1,1)．
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2．(1)求函数f(x)＝3x2－2ln x的单调区间； (2)设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2，若f′(－1)＝0，求a的值，并 讨论f(x)的单调区间．
解析： (1)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－2x＝2·3x2x－1. 令 f′(x)>0，即 2·3x2x－1>0，
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(2)f′(x)＝x＋1 a＋2x， 依题意，有 f′(－1)＝0，故 a＝32. 从而 f′(x)＝2x2＋x＋3x32＋1＝2x＋x1＋32x＋1. 则 f(x)的定义域为－32，＋∞.
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利用导数求函数的单调区间： (1)求定义域； (2)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)； (3)把不等式的解集与定义域求交集得单调区间． 特别提醒：(1)单调区间不能“并”，即不能用“∪”符号 连接，只能用“，”或“和”隔开． (2)导数法求得的单调区间一般用开区间表示．
已知函数f(x)＝sin x，其导函数f′(x)＝cos x， [问题 1] 判断函数 f(x)在－π2，π2上的单调性，其导函数 f′(x)的正负． [提示 1] f(x)在－π2，π2上单调递增，其导函数 f′(x)>0.
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解析： 函数的定义域为(0，＋∞)． 因为 y′＝ln x＋1，令 y′＞0，得 x＞1e； 令 y′＜0，得 x＜1e. 所以函数 y＝xln x 在0，1e上递减，在1e，5上递增．
答案： C
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第一章 导数及其应用
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1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关 系．
2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证 明一些简单的不等式．
3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三 次)．
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