网格编码调制(TCM)
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网格编码调制（TCM） 6.1 网格编码调制的基本概念 任何纠错码纠错能力的获取都是以冗余度为基 础的，即通过编码使误码率降低是要付出代价的。 这种代价或者是频带利用率的降低，或者是功率利 用率的降低，或者是设备变得比较复杂，昂贵。 比如采用(n,k)分组或卷积码后， ▬或者信源速率不变而提高信道传输速率，意味着 占用更大带宽，频带利用率下降了。 ▬或者带宽不变而采用多电平（或多相）调制。在 误码率即信号星座各点间距离不变条件下，意味着 要增大平均功率，则功率利用率下降了。
–14
为此，码字对应到星座点时还应遵照如下原 则： (1).采用差分编码。如存在180°相位混淆需一 位差分编码；如存在90、180、270相位混 淆,则需两位差分编码。 (2).未差分编码的码元，应选择得不受相位混 淆的影响，即相位混淆时其值不变。
–15
按上述准则，得各子集信号点与码字的对应分配 关系如图6-4, 以及编码矩阵如式6-1-1。
–1
八十年代以来，一种将编码和调制结合在一 起，利用状态的记忆和适当的映射来增大码字序 列之间距离的方法诞生了，这就是网格编码调制 （TCM- Trellis Coded Modulation）。TCM码是 1982年由Ungerboeck.G [29] 提出的。这种方法既 不降低频带利用率，也不降低功率利用率，而是 以设备的复杂化为代价换取编码增益。在当前集 成电路高速发展、传输媒体成本高于终端设备成 本而成为通信成本的第一考虑因素时，这种方法 无疑是非常吸引人的。现在，这种网格编码调制 已在频带、功率同时受限的信道如太空、卫星、 微波、同轴、对绞线等通信中大量应用，占据了 统治地位。
–19
图6-2前部的差分编码是为了克服相位混淆而设计 的。这是因为Viterbi译码时的相似度是以路径间 的距离来衡量的，而本题的路径距离体现为各分 支对应子集间的欧氏距离。如果子集不同，在相 似度上会有所体现；但如果子集相同而同一子集 内的点搞错，比如点000混淆为100、010混淆为 110，则Viterbi译码时察觉不到。其结果是，如果 接收端的载波恢复相差180度，那么收到的所有 信号将相差180度，即收端星座是发端星座的180 度旋转体，发端的000点变为收端100点、发端 001点变为收端101点…，依此类推，见图6-2。简 2 2 1 0 言之，码字 Y n Y n Y中的 Y n 将由0变为1或由1变 n 为0而Viterbi译码察觉不到，造成译码差错。
式中， d 2un是不编码时信号点集的最小距离，Ec 、Eun分别是编码、不编码条件下信号集的平均能 量。本例不编码时无需信号点集冗余度，只要 4PSK即可传送2比特/符号信息，4PSK的最小距离 是d 2un= 12 = ( 2 )2 = 2，而4PSK、8PSK平均能量 相同，于是得编码增益 = 10 log(d 2f / d 2un) = 10 log(4/2) = 3.01dB
–9
00 01 10 11
000 100 010 110
010 110
000 100 001 101 011 111 011 111
Sn+11 = Sn0 Sn+10= Sn1⊕Xn1
Xn2Xn1 Sn 1 S n 0
00 01 10 11
Xn Xn2 10 Xn2 11 Xn2 10 Xn2 11
21
20
001 101
从网格图看，从一个状态转移到另一状态 的路径不唯一，存在两条，称为“并行转移”。 产生并行转移的原因是输入信息Xn2没有参与卷 积编码，编码器状态转移仅与Xn1有关，而与Xn2 (即Yn2)究竟是1还是0无关，所以它的两种取值就 构成了1Yn1Yn0和0Yn1Yn0两条并行转移路径。 从另一角度看，每次输入的两位信息共有 22=4种组合，而其中只有一位对状态转移产生影 响即只有21=2种转移，所以每转移应对应42=2 种Xn2Xn1组合即2种码字即一对并行转移（一条 转移路线对应一种码字）。
2
状态 C0 00 C1 01 C1 C0 10 C3 C2 C3 11 C2
000 100 C1
C0
C0
wenku.baidu.com
C2
C1
–17
为了定量说明编码前后的变化，定义编码增益为 = 10 log (
d
2 f
/ Ec / E un
d
2 un
)
(6-3)
这个7db增益是指理论极限值，目前工程可实 现的TCM码的最大编码增益不超过6dB。
–5
各类信道的信噪比(SNR)有一个典型值。 比如微波信道的SNR典型值取50dB, 移动信 道取10～15 dB, 模拟电话信道取28dB等。 以电话信道，由对数值10lg(S/N)=28得信 噪比S/R=631。电话信道标称带宽300～ 3400Hz，但适合数据传输的频段仅是600～ 3000Hz，带宽2400Hz。代入香农公式， C=2400log2(1+631)=22320比特/秒，考虑到 其它一些因素，当时认为极限数据速率是 23500比特/秒（见IEEE J-SA, Sept. 1984, pp632-634）。
–18
可以想象，如果进一步增加编码器的复 杂度，使TCM具有8状态、16状态、32 状态…，一定可以得到更大的编码增益 。实际情况确是如此，通过计算机模拟 发现，码率m/m+1的TCM码，8状态时 最大可得3.97dB编码增益(理论值)，而 16、32、64、128状态时的最大编码增 益分别是4.39、5.11、5.44、6.02 dB。
–3
C (比特/符号) 6 5
½ log2(1+SNR) 4
3 10-5
〇
16PSK
8PSK
10-5
〇
2
1 0┸ 0 10-5 〇 4.7 5.9
10-5
〇
4PSK
2PSK
12.9
SNR
4 8 12 16 20 24 dB 图6-1 带限AWGN信道PSK调制时 信道容量与SNR的关系曲线
–4
┸ ┸ ┸ ┸ ┸ ┸ ┸ ┸ ┸ ┸ ┸ ┸ ┸
图6-4 8-PSK星座的子集分割
–13
分集的结果产生了4个子集C0～C3，每子集与一组 并行转移对应，对应的原则是： (1).从某一状态发出的子集源于同一个上级子集， 比如C0、C1就是源于同一上级子集B0。 (2).到达某一状态的子集源于同一个上级子集。 (3).各子集在编码矩阵中出现的次数相等，并呈现 出一定的对称性。 另外，由于接收端载波恢复时会造成不同程 度的相位不定度，比如对于8PSK，一般的载波提 取可产生45、90、135、180…等相位不定度， 如采用判决反馈情况好些，但还存在180°的相位 混淆。
Xn1 Sn1
Sn0
Y n1 Y n0
D D
111 100 101 110 (Yn2 Yn1 Yn0)
图6-2 4状态8PSK网格编码调制器
–8
Xn1
S n 1 Sn 0
1
01 11 00 10
0
00 10 01 11 Yn 2 = Xn2 Yn 1= Xn1 Yn 0= Sn0 Xn Xn2 00 Xn2 01 Xn2 00 Xn2 01
–2
网格编码调制是一种信号集空间编码(signalspace code)，它利用信号集的冗余度，保持符号 率和功率不变，用大星座传送小比特数而获取纠 错能力。为此，先将小比特数编码成大比特数， 再设法按一定规律映射到大星座上去。 上述过程中，冗余比特的产生属于编码范畴 ，信号集星座的扩大与映射属于调制范畴，两者 结合就是编码调制。比如，用具有携带3比特信 息能力的8ASK或8PSK调制方式来传输2比特信 息，叫做信号集冗余度，我们正是利用这种信号 集空间(星座)的冗余度来获取纠错能力的。
进一步，我们也可以用16PSK、32PSK…传2比特 信息，信噪比还可减小，但不可能超过香农公式 规定的4.7dB的极限。这就是说，无论怎样努力至 多只能再取得1.2dB增益，与8PSK代替4PSK取得 7dB增益相比，继续增大信号集将使设备变得复 杂，代价大而收益小。因此，TCM码一般仅增加 一位冗余校验，码率R写成m/m+1，表示每码元符 号用2 m+1点的信号星座传送m比特信息。
000 110 100 010
C0 C1
C =
110 000 010 100
101 111 001 011 =
C2 C3
(6-1)
C1 C0
111 101 011 001
C3 C2
从编码矩阵看，每一行、每一列的子集具有相同 的上级子集， C0～C3出现次数相同，分布规则。 凡相差180°的两星座点，比如C0的000、100，其 后两位Yn1Yn0总是相同的，不受180°相移影响； 其第一位Yn2采用差分编码，可抗180°相位混淆。
–11
为此，我们将8PSK星座对半又对半地划分成子 集(set partitioning),使每级子集具有逐级增大的 距离，然后把并行转移的一组码字映射到点数 相符的同一子集上，以保证并行转移具有最大 的距离，这个过程叫作分集映射(mapping by set partitioning)，它使并行转移总是对应到星座的 最远点距子集上。8PSK分集过程及各级距离 0 、 0、 1、 2见图6-4。
–10
并行转移影响了卷积码的自由距离。如前述， 自由距离是指从零状态分叉又回到零状态、与 全0路径距离最小的那条路径的距离。对于如图 6-3码字(100)是与全零码(000)的并行转移，严 格意义上它并没有“从零状态分叉又回到零状 态”，但它的确是“与全0路径分叉又回到全0 路径”的一条路径，因此在计算自由距离时也 必须包括并行距离，即自由距离不可能大于并 行转移的距离。正因为如此，并行转移所对应 的码距越大越好。对于二进码就是汉明距离越 大越好，对于两维调制如PSK或QAM，就是星 座上码字对应信号点的欧氏距离越大越好。
–7
6.1.2 4状态8PSK TCM码结构
以4状态8PSK网格编码调制为例，如图6-2，它 是Ungerboeck 1975研究出的第一种TCM码。
第一部分 第二部分 差分编码 卷积编码 D Xn2 ’ Xn2 Y n2 第三部分 分集映射 010 011 001 000
Xn1’
–20
引入差分编码后就不怕180度相位混淆了，比如
原信息位： … 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 …
差分编码:
…0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 …
180相位差: … 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 … 差分译码: … 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 … 可见，相位混淆不再影响收码的正确性。
–16
序列距离记作dseq, 并行距离 记作dpar。显然，自 由距离应该是其中最小者 df = min (dseq, dpar) dpar (6-2) 本例 d2seq = dis2[(C0,C0,C0), (C1,C2,C1)] = dis2(C0,C1) + dis2(C0,C2) + dis2(C0,C1) = 12+02+12 =( )2+(2sin(/8))2+( )2 = 4.586 2 2 d2par = 22 = 22 = 4 d 2f = min (d2seq, d2par) = d 2par = 4
–6
如果TCM码能有6dB编码增益，则在同等条 件下相当于信噪比改善了6dB即信噪比值增大4 倍，代入香农公式可知信道容量增大到27125比 特/秒。近年来由于自适应均衡技术的提高，电 话信道上数据传输所占带宽不再局限于2400Hz, 。如果使用TCM码且把3100Hz都用上，则数据 传输速率可达35KHz。这就解释了为什么现在的 电话Modem一律都是TCM码且端-端最高数据传 输速率为33.6KHz。 可见，TCM码的6dB编码增益是相当可观的。
–12
B0
2
1
0
100
C0 000
距离
010 C1
C2 101 011 C3
110 001
A B0 B1
0 1
B1
C0 C1 C2 C3 2
111
0=2sin(/8) 1=
第0级
第1级
2
第2级
2=2
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为此，码字对应到星座点时还应遵照如下原 则： (1).采用差分编码。如存在180°相位混淆需一 位差分编码；如存在90、180、270相位混 淆,则需两位差分编码。 (2).未差分编码的码元，应选择得不受相位混 淆的影响，即相位混淆时其值不变。
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按上述准则，得各子集信号点与码字的对应分配 关系如图6-4, 以及编码矩阵如式6-1-1。
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八十年代以来，一种将编码和调制结合在一 起，利用状态的记忆和适当的映射来增大码字序 列之间距离的方法诞生了，这就是网格编码调制 （TCM- Trellis Coded Modulation）。TCM码是 1982年由Ungerboeck.G [29] 提出的。这种方法既 不降低频带利用率，也不降低功率利用率，而是 以设备的复杂化为代价换取编码增益。在当前集 成电路高速发展、传输媒体成本高于终端设备成 本而成为通信成本的第一考虑因素时，这种方法 无疑是非常吸引人的。现在，这种网格编码调制 已在频带、功率同时受限的信道如太空、卫星、 微波、同轴、对绞线等通信中大量应用，占据了 统治地位。
–19
图6-2前部的差分编码是为了克服相位混淆而设计 的。这是因为Viterbi译码时的相似度是以路径间 的距离来衡量的，而本题的路径距离体现为各分 支对应子集间的欧氏距离。如果子集不同，在相 似度上会有所体现；但如果子集相同而同一子集 内的点搞错，比如点000混淆为100、010混淆为 110，则Viterbi译码时察觉不到。其结果是，如果 接收端的载波恢复相差180度，那么收到的所有 信号将相差180度，即收端星座是发端星座的180 度旋转体，发端的000点变为收端100点、发端 001点变为收端101点…，依此类推，见图6-2。简 2 2 1 0 言之，码字 Y n Y n Y中的 Y n 将由0变为1或由1变 n 为0而Viterbi译码察觉不到，造成译码差错。
式中， d 2un是不编码时信号点集的最小距离，Ec 、Eun分别是编码、不编码条件下信号集的平均能 量。本例不编码时无需信号点集冗余度，只要 4PSK即可传送2比特/符号信息，4PSK的最小距离 是d 2un= 12 = ( 2 )2 = 2，而4PSK、8PSK平均能量 相同，于是得编码增益 = 10 log(d 2f / d 2un) = 10 log(4/2) = 3.01dB
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00 01 10 11
000 100 010 110
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Sn+11 = Sn0 Sn+10= Sn1⊕Xn1
Xn2Xn1 Sn 1 S n 0
00 01 10 11
Xn Xn2 10 Xn2 11 Xn2 10 Xn2 11
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001 101
从网格图看，从一个状态转移到另一状态 的路径不唯一，存在两条，称为“并行转移”。 产生并行转移的原因是输入信息Xn2没有参与卷 积编码，编码器状态转移仅与Xn1有关，而与Xn2 (即Yn2)究竟是1还是0无关，所以它的两种取值就 构成了1Yn1Yn0和0Yn1Yn0两条并行转移路径。 从另一角度看，每次输入的两位信息共有 22=4种组合，而其中只有一位对状态转移产生影 响即只有21=2种转移，所以每转移应对应42=2 种Xn2Xn1组合即2种码字即一对并行转移（一条 转移路线对应一种码字）。
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状态 C0 00 C1 01 C1 C0 10 C3 C2 C3 11 C2
000 100 C1
C0
C0
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为了定量说明编码前后的变化，定义编码增益为 = 10 log (
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/ Ec / E un
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)
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这个7db增益是指理论极限值，目前工程可实 现的TCM码的最大编码增益不超过6dB。
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各类信道的信噪比(SNR)有一个典型值。 比如微波信道的SNR典型值取50dB, 移动信 道取10～15 dB, 模拟电话信道取28dB等。 以电话信道，由对数值10lg(S/N)=28得信 噪比S/R=631。电话信道标称带宽300～ 3400Hz，但适合数据传输的频段仅是600～ 3000Hz，带宽2400Hz。代入香农公式， C=2400log2(1+631)=22320比特/秒，考虑到 其它一些因素，当时认为极限数据速率是 23500比特/秒（见IEEE J-SA, Sept. 1984, pp632-634）。
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可以想象，如果进一步增加编码器的复 杂度，使TCM具有8状态、16状态、32 状态…，一定可以得到更大的编码增益 。实际情况确是如此，通过计算机模拟 发现，码率m/m+1的TCM码，8状态时 最大可得3.97dB编码增益(理论值)，而 16、32、64、128状态时的最大编码增 益分别是4.39、5.11、5.44、6.02 dB。
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C (比特/符号) 6 5
½ log2(1+SNR) 4
3 10-5
〇
16PSK
8PSK
10-5
〇
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1 0┸ 0 10-5 〇 4.7 5.9
10-5
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4PSK
2PSK
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SNR
4 8 12 16 20 24 dB 图6-1 带限AWGN信道PSK调制时 信道容量与SNR的关系曲线
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图6-4 8-PSK星座的子集分割
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分集的结果产生了4个子集C0～C3，每子集与一组 并行转移对应，对应的原则是： (1).从某一状态发出的子集源于同一个上级子集， 比如C0、C1就是源于同一上级子集B0。 (2).到达某一状态的子集源于同一个上级子集。 (3).各子集在编码矩阵中出现的次数相等，并呈现 出一定的对称性。 另外，由于接收端载波恢复时会造成不同程 度的相位不定度，比如对于8PSK，一般的载波提 取可产生45、90、135、180…等相位不定度， 如采用判决反馈情况好些，但还存在180°的相位 混淆。
Xn1 Sn1
Sn0
Y n1 Y n0
D D
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图6-2 4状态8PSK网格编码调制器
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S n 1 Sn 0
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01 11 00 10
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网格编码调制是一种信号集空间编码(signalspace code)，它利用信号集的冗余度，保持符号 率和功率不变，用大星座传送小比特数而获取纠 错能力。为此，先将小比特数编码成大比特数， 再设法按一定规律映射到大星座上去。 上述过程中，冗余比特的产生属于编码范畴 ，信号集星座的扩大与映射属于调制范畴，两者 结合就是编码调制。比如，用具有携带3比特信 息能力的8ASK或8PSK调制方式来传输2比特信 息，叫做信号集冗余度，我们正是利用这种信号 集空间(星座)的冗余度来获取纠错能力的。
进一步，我们也可以用16PSK、32PSK…传2比特 信息，信噪比还可减小，但不可能超过香农公式 规定的4.7dB的极限。这就是说，无论怎样努力至 多只能再取得1.2dB增益，与8PSK代替4PSK取得 7dB增益相比，继续增大信号集将使设备变得复 杂，代价大而收益小。因此，TCM码一般仅增加 一位冗余校验，码率R写成m/m+1，表示每码元符 号用2 m+1点的信号星座传送m比特信息。
000 110 100 010
C0 C1
C =
110 000 010 100
101 111 001 011 =
C2 C3
(6-1)
C1 C0
111 101 011 001
C3 C2
从编码矩阵看，每一行、每一列的子集具有相同 的上级子集， C0～C3出现次数相同，分布规则。 凡相差180°的两星座点，比如C0的000、100，其 后两位Yn1Yn0总是相同的，不受180°相移影响； 其第一位Yn2采用差分编码，可抗180°相位混淆。
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为此，我们将8PSK星座对半又对半地划分成子 集(set partitioning),使每级子集具有逐级增大的 距离，然后把并行转移的一组码字映射到点数 相符的同一子集上，以保证并行转移具有最大 的距离，这个过程叫作分集映射(mapping by set partitioning)，它使并行转移总是对应到星座的 最远点距子集上。8PSK分集过程及各级距离 0 、 0、 1、 2见图6-4。
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并行转移影响了卷积码的自由距离。如前述， 自由距离是指从零状态分叉又回到零状态、与 全0路径距离最小的那条路径的距离。对于如图 6-3码字(100)是与全零码(000)的并行转移，严 格意义上它并没有“从零状态分叉又回到零状 态”，但它的确是“与全0路径分叉又回到全0 路径”的一条路径，因此在计算自由距离时也 必须包括并行距离，即自由距离不可能大于并 行转移的距离。正因为如此，并行转移所对应 的码距越大越好。对于二进码就是汉明距离越 大越好，对于两维调制如PSK或QAM，就是星 座上码字对应信号点的欧氏距离越大越好。
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6.1.2 4状态8PSK TCM码结构
以4状态8PSK网格编码调制为例，如图6-2，它 是Ungerboeck 1975研究出的第一种TCM码。
第一部分 第二部分 差分编码 卷积编码 D Xn2 ’ Xn2 Y n2 第三部分 分集映射 010 011 001 000
Xn1’
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引入差分编码后就不怕180度相位混淆了，比如
原信息位： … 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 …
差分编码:
…0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 …
180相位差: … 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 … 差分译码: … 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 … 可见，相位混淆不再影响收码的正确性。
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序列距离记作dseq, 并行距离 记作dpar。显然，自 由距离应该是其中最小者 df = min (dseq, dpar) dpar (6-2) 本例 d2seq = dis2[(C0,C0,C0), (C1,C2,C1)] = dis2(C0,C1) + dis2(C0,C2) + dis2(C0,C1) = 12+02+12 =( )2+(2sin(/8))2+( )2 = 4.586 2 2 d2par = 22 = 22 = 4 d 2f = min (d2seq, d2par) = d 2par = 4
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如果TCM码能有6dB编码增益，则在同等条 件下相当于信噪比改善了6dB即信噪比值增大4 倍，代入香农公式可知信道容量增大到27125比 特/秒。近年来由于自适应均衡技术的提高，电 话信道上数据传输所占带宽不再局限于2400Hz, 。如果使用TCM码且把3100Hz都用上，则数据 传输速率可达35KHz。这就解释了为什么现在的 电话Modem一律都是TCM码且端-端最高数据传 输速率为33.6KHz。 可见，TCM码的6dB编码增益是相当可观的。
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B0
2
1
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100
C0 000
距离
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C2 101 011 C3
110 001
A B0 B1
0 1
B1
C0 C1 C2 C3 2
111
0=2sin(/8) 1=
第0级
第1级
2
第2级
2=2