数值分析2012考试卷沈阳工业大学

研究生考试命题纸

沈阳工业大学 2012 / 2013 学年 第 一 学期

课程名称：数值分析 课程编号：000304 任课教师：陈欣 曲绍波 考试形式：闭 卷

一、填空（每题3分，共15分）

1. 二分法是求解 方程f (x )=0的 根一种方法，其前提是f (x )在有根区间[a ,b ]内单调且 。

2. 设矩阵⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=0112A ，则1A = 、=2A 、)(A ρ= 。 3. 对于正数a ，使用牛顿法于方程02=-a x 所得到的迭代格式为 ，其收敛阶为 、求110（取x 0=10）的第一个近似值为 。

4. 幂法用来计算实矩阵A 的 特征值及对应的 ，在计算过程中进行“归一化”处理的原因是为了 。

5. 高斯求积公式)3

3()33()(11f f dx x f +-≈⎰-的代数精度为 ，当区间不是[-1,1]，而是一般区间[a , b ]时，需要做变换 ，使用该公式计算≈⎰311dx x

。 二、解答下列各题（每题5分，共10分）

1. 请写出经过点A (0,1)，B (2,3)，C (4,5)的拉格朗日插值多项式形式。说明插值基函数的性质以及拉格朗日插值法的优缺点。

2. 设n 阶可逆矩阵A 已经分解成A =LU ，其中L 下三角矩阵，U 单位上三角矩阵，推导出解线性方程组AX =b 的计算公式。

三、（10分）用不选主元的直接三角分解法解下面线性方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+-=-+-=-3

424243443432

32121x x x x x x x x x x 四、（20分，每题10分）对于线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+9223122321

321321x x x x x x x x x 1. 分别写出使用GS 迭代法，SOR 迭代法（ω=1.3）求解的迭代格式，并对初始向量（1，0，0）T ，分别计算第一步近似解向量；

2. 分别讨论求解此方程的J —方法和GS —方法的收敛性。

五、（10分）给出函数表如下，用牛顿向前插值公式求f (2.03)的近似值。 x 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 （误差限10－3） y 1.41421 1.44914 1.48324 1.51658 1.54919

六、（10分）对下列数据，用最小二乘法求形如指数函数y = a e bx 的经验公式。

（保留4位小数）

x i 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

y i 33.40 122.65 189.15 238.65 267.55

七、（10分）取步长h =0.2，分别用改进欧拉法、四阶龙格-库塔方法求解初值

问题

⎩⎨⎧=-=1

)0(xy 2'y y ，0≤x ≤0.2 八、（7分）设A ∈R n ×n 为一个非奇异矩阵，x 为R n 中的任意向量范数，试证

Ax x A =是R n 中的一个向量范数。

九、（8分）证明迭代公式a x a x x x k k k k ++=+221

3)3(是计算a 的三阶方法。