基于Gibbs抽样的马尔科夫蒙特卡罗方法在结构物理参数识别及损伤定位中的研究

关键词 ：物理参数识 别 ； 损伤定位 ； ｉ ｓ Ｇｂ 抽样 ； ｂ 马尔科 夫蒙特卡罗方法 ； 贝叶斯更新
中 图分 类 号 ：Ｔ ３ １ ３ Ｔ ３ ２ Ｕ １ ． ；Ｕ １ 文 献 标 识 码 ：Ａ
Ｉ ｅ ｔｆｃ ｔｏ ｆｐ ｓｃ ｌｐａ ａ ｅ ｅ ｓａ ａ ａ ｅ ｌ ｃ ｔｎｇ ｗｉｈ ｄ ｎ ｉ ａ ｉ ｎ ｏ ｈｙ ｉ ａ ｒ ｍ ｔ ｒ ｎｄ ｄ ｍ ｇ ｏ ａ ｉ ｔ ｉ
１
预 测误 差方 差 的先验 分 布为 倒 伽 马分 布 Ｉ ， ， Ｇ（ ）
即为 ： Ｐ（ ） ～Ｉ Ｏ， Ｃ（ ／ ｅ Ｇ（ｔ 卢）。 １ ０ ） －
； （） ４
２
●
当 ＝ ０时 ， ： 该先验分布就转 变为通 常的无信息先 验分 布 ， ： 即
线 性 回归模 型通 常表示 如下 ：
Ｙ ＝Ｘ Ｏ＋ｅ （） １
从式（ ） ８ 可以看 出， ０的条件后 验分布为 Ｎ（ Ｘ Ｘ （ ） （ Ｘ） ｏ （ ） ） ，ｒ Ｘ 。
２ 线性结构识别模型
在结 构健康 监 测 领 域 ， 常用 线 性 结 构模 型 来 进 通 行模 型更新 。一 般 振动测 试 数 据 都是 在 很 低 幅值 的激
其 精确性 就 必须得 到 足够 多 的模 态数 据 。 为解 决该 问 题 ，ｅｋ和 Ａ Ｂｃ ｕ等 人 又 提 出 了基 于 Ｍｅ ｏｏｉＨａ— ｔ ｐｌ－ ｓ ｒ ｓ ｔ ｇ 抽 样 的马 尔 科 夫 蒙特 卡罗 方 法 ， 方 法 的一个 局 ｉｓ ｎ 该 限在于仅 对 低 维 问题 有 效 。Ｃ ｉｇ和 Ｃ ｅｇＥ 提 出 了 ｈｎ ｈｎ ８ ３ 变 异 的蒙特 卡罗 马 尔科 夫 方 法 （ ＭＣ Ｔ ＭＣ）避 免 了直 接 ，
Ｐ ２ ， ， ）。 ｏ ） “ （ Ｘ Ｙ Ｃ（ｒ ・ ｌ
摘 要 ：通过对结构动力特征方程进行的一系列变化， 得到了线性结构识别模型， 并由贝叶斯更新理论得到其后
验分布形式 。利用结构 的模态 参数 ， 并考虑其 随机性 ， 应用基 于 Ｇｂ ｓ 样 的马尔科夫 蒙特卡 罗方法 对线性结 构识别 模 ｉｂ 抽
型 中各参数 的条件后验分 布进行了抽样 ， 成功 地实现了结构物理参数识别及损伤定位 。数值算例 表明 ： ｉ ｓ Ｇｂ 抽样结果可 ｂ 以 以不 同的方式标识结构 的损伤程度及位置且识别 的误差 较小 。
振
动
与
冲
击
第３ ０卷第 １ Ｏ期
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩ ＢＲＡＴＩ ＯＮ ＡＮＤ ＨＯＣ Ｓ Ｋ
基 于 Ｇ ｂ ｓ 样 的马 尔 科夫 蒙 特 卡 罗方 法在 结构 物 理参 数 识别 ｉｂ 抽
及 损伤 定 位 中的研 究
刘书奎 ，吴子燕 ，张玉兵
（ 西北工业大学 力学与土木建筑学 院， 西安 ７０７ ） １０ ２
０
一
ｅ｛ （－Ｏ －Ｏ （ Ｘ＿ ＹＸ ｐ Ｙ Ｘ ） ６ ） ）
若使 用 Ｇｂｓ抽 样 ， 需 知 道 ０ ｏ ｉ ｂ 还 、 ｒ 条 件 后 验 ：的
分 布 ：
％０
ｋＯ ．
巩
（ Ｏ） １
其 中 ， ０， ， 为 无 量 纲 的 归一 化参 数 （ ０ ， … ０ 以下 称 其 为结 构 刚度参 数 ）且 恒 大于 ０， 示某 一构 件对 总体 刚 ， 表 度矩 阵 的贡献 ， ０小 于 １时 ， 当 即可 判断该 构件 发 生损
ｅ— Ｎ（ ， ， ０ ）
（） ２
其中 ， ∈ Ｙ Ｒ 为观测模 型输 出， Ｘ∈Ｒ 为观测回归量 矩 阵 ， ∈Ｒ 为模 型参 数 向量 ， 为 理 论 模 型输 出 ， ∈ ０ 肋 ｅ 尺 为预 测 误 差 ， 服从 均 值 为零 ， 协方 差 矩 阵 为 ｏ １ ｎ ．的 ２
（０６ Ａ ４４７ ２０Ａ ０Ｚ ３）
征方程 ， 将模态参数与结构物理参数通过线性结构识别 模型联系起来 ， 采用基于 Ｇｂ ｓ ｉ 抽样 的马尔科夫蒙特卡 ｂ 罗方法 来对结构 物理参 数进 行后 验 抽样 ， 而根 据后 验 进
样本 的统计特 『进 行结构物理 参数识别及损 伤定位 。 生
Ｍ ａ ｋ ｖ ｃ ａ ｎ ｏ ｅ Ｃａ ｌ ｔ ｄ ｂ ｓ ｄ ｏ ｂ ａ ｐｌ ｒ ｏ ｈ ｉ Ｍ ｎｔ ｒｏ ｍｅ ｈｏ ａ ｅ ｎ Ｇｉ ｂｓ ｓ ｍ ｉ ｎｇ
Ｌ Ｕ ｈ — ｕ ， Ｉ Ｓ ｕ ｋ ｉ Ｚｉｙ ｎ，ＺＨＡＮＧ ｕ ｂ ｎ —ａ Ｙ —ｉｇ
布， 即为 ： Ｐ（ ０）＝ １ ０ （ ∈ （ ，＋∞） ｉ＝ １２， ， ０ ； ， … ｍ） （ ） ３
满足如 下 特征方 程 ： 其 中 ＝［ 咖 … ， ］ ｍ 为 结 构 自 由度 数 目。 咖 咖 ，
当采 用集 中质量 矩 阵时 ， 该方 程可 以表 示为 ：
从 后验分 布 中抽 样 ， 构 造 的马 尔 科 夫 链 的 “ ｕｎｉ” 但 ｂ ｒ— ｎ
阶段 非 常长 ， 于 Ｇｂｓ 基 ｉｂ 抽样 的马尔科 夫 蒙特 卡罗 方 法 可 以很好 的解 决 高 维 参 数 识 别 问题 ＿ 。文 献 ［ ］ ９ Ｊ ５ 中利
用了 Ｇｂ ｓ ｉ 抽样来进行物理参数概率识别 ， ｂ 但所利用的 初始条件是确定性的结构模态参数。由于环境影响、 测
近些 年来 结构 物理 参 数 的识 别 引 起 了人 们 的 广 泛 关 注 ．Ｊ ４。但 由于 结 构 材 料 的 不 均 匀 性 ， 工 质 量 的 施 易 变性 ， 用荷 载 的随机 性 等 不 确定 性 因素 的影 响 ， 作 观 测 数据 和结 构 模 型均 具 有 强 烈 的本 质 不 确 定 性 ， 而 从 导 致结 构 物理参 数识 别 问题 成 为 不 确 定性 问题 Ｊ 。因 此 ， 须在 确定 性物 理参 数 识 别研 究 的基 础 上 ， 展 能 必 发 够 合理 反 映不 确定性 特 性 的物理 参数 识别 概率 方法 。 贝叶斯 方 法 能 够 综 合 先 验 和条 件 信 息 ， 且 给 出 并 明确 的后验 信 息 ， 因此被 广 泛 地 应用 于不 确 定性 问题 。 在 土 木 工程 领 域 ， ｅｋ等 人 首 先 提 出 了系 统 辨 识 的 Ｂｃ ６
Ｐ（ 一 １０ － ０） ／ － （） ５
ｋ０ １ １＋ｋ ０ ２２
一
：
一ｋ ０ ２２
ｋ０ ２ ２＋ ｋ ０ ３３ ．
●
由贝 叶斯估计 理论 ， 型参 数 ０和 预 测误 差 方 差 ０ 模 － 的 后 验联 合分 布为 ：
ｌ
２
咖２
： Hale Waihona Puke Baidu
Ｐ ０ ： ｌ ， ）。 ｏ ） “ （ ， ） ｌ ｃ（ｒ ・ ，
（ ｅａｔ ｎ ｏ ｉｌ ｎ ｉｅｒ ｇ ｏ ｈ ｅｔ ｎＰｌｔ ｈ ｉ ｌ ｎｖｒ ｔ， ｉａ １０２ ｈｎ ） Ｄ ｐｒ ｔ ｆ ｖ ｇ ｅｉ ，Ｎ ￣ ｗ ｓ ｒ ｏ ｅ ｎｃ ｉ ｓｙ Ｘ ’ｎ７ ０ ７ ，Ｃ ｉ ｍｅ Ｃ ｉＥ ｎ ｎ ｅ ｙｃ ａＵ ｅｉ ａ
Ａｂｓｒ ｔ： Ａｔｆｒｔ ｔａｃ ｓ ，Ａ ｉ ａ ｔｕ ｔ ｒ ｌｉ ｎ ｉ ｃ ｔｏ ｄ ｌｗａ ｂ ａ ｎ ｄ ｂ ｓ ｄ ｏ ｅ ｅ ｆｃ ｎ ｅ ｓｏ ｆｄ ｎ ｍｉ ｉ ｌ ｎｅ ｒｓｒ ｃｕ ａ ｄｅ ｔｆ ａ ｉｎ ｍｏ ｅ ｓｏ ｔ ｉ ｅ ａ ｅ ｎ ａ ｓ ｒ ｓｏ ｏ ｖ ｒ ｉｎ ｏ ｙ ａ ｃ ｉ ｉ ｃ ａ ａ ｔｒｓｉ ｑｕ ｔｏ ．Ｔｈｅ ｈ ｒｃ ｅ ｉｔ ｅ ａｉｎｓ ｃ ｎ，ｔ ｅ ｐ ｓｅ ｏ ｉｔｉ ｕ ｉｎ ｏ ｈ ｄｅ ｓ ａ ｈ ｅ ｅ ｙ ｕ ｉ ｇ Ｂａ ｅ ｉｎ ｕ ｄ ｔｎ ｈ ｏ ｙ ｈ ｏ ｔｒ ｒ ｄ ｓｒｂ ｔｏ ｆ ｔｅ ｍｏ ｌｗａ ｃ ｉｖ ｄ ｂ ｓｎ ｙ ｓａ ｐ ａ ｉｇ ｔ ｅ ｒ ． ｉ Ｕｔｌ ｉ ｇ ｔ ｔｕ ｔ ｒ ｌｍｏ ａ ａ ａ ｔｒ ，ａ ｄ ｔｋ ｎ ｈ ｉ ａ ｄ ｍｎ ｓ ｎ ｏ ｃ ｎ ｉ ｅ ａｉｎ，ｔ ｅ ｓ ｍｐｌｓ ｏ ｈｅ ｐ ｒ ｍｅ ｅ ｓ ｉｉ ｎ ｈｅ ｓｒ ｃ ｕ ａ ｄ ｌｐ ｒ ｍｅ ｅ ｓ ｎ ａ ｉ ｇ ｔ ｅｒ ｒ ｎ ｏ ｅ ｓ ｉ ｔ ｏ ｓｄ ｒ ｔｏ ｚ ｈ ａ ｅ ｆ ｔ ａ ａ ｔｒ ｆｏ ｔ ｅ ｃ ｎ ｉｉｎ ｌｐ ｓｅ ｏ ｉｔｉ ｕ ｉｎ ｏ ｈ ｉｅ ｒｓｒ ｃ ｕ ａ ｄ ｎ ｉ ｃ ｔｏ ｄ ｌｗｅ ｅ ａ ｈ ｅ ｅ ． Ｄｕ ｎ ｈ ｒ ｃ ｓ ｒ ｍ ｈ ｏ ｄ ｔｏ ａ ｏ ｔ ｒ ｒ ｄ ｓｒｂ ｔｏ ｆｔ ｅ ｌ ａ ｔ ｔ ｒ ｌｉ ｅ ｔｆ ａｉ ｎ ｍｏ ｅ ｒ ｃ ｉ ｖ ｄ ｉ ｎ ｕ ｉ ｉ ｒ ｇ ｔ ｅ ｐ ｏ ｅ ｓ， Ｍａ ｋｏ ｈ ｉ Ｍｏ ｔ Ｃａｌ ｍｅｈｏ ｂ ｓ ｄ ｎ ｒ ｖ ｃ ａｎ ｎｅ ｒｏ ｔ ｄ ａ ｅ ｏ Ｇｉ ｂ ｓ ｍｐ ｉ ｇ ｗａ ｕ ｅ ｂ ｓ ａ ｌｎ ｓ ｓ ｄ． Ｔｈ ｎ ｍｅ ｃ ｌ ｘ ｍｐ ｅ ｓ ｏ ｄ ｈ ｔ ｂ ｅ ｕ ｒ ａ ｅ ａ ｌｓ ｈ ｗｅ ｔ ａ Ｇｉｂｓ ｉ ｓ ｍｐ ｉ ｇ ｃ ｎ ｎ ｔｏ ｌ ｄ ｎ ｉ ａ ｇ ｅ ｅ ｎ ｏ ａｉ ｎ ｎ ｄ ｆｅ ｅ ｔｗａ ｓｗｉ ｅ ｓｅ ｒ ｒ ｕ ｌｏ ｃ ｎ ｍａ ｅ ａ ｐ ｏ ａ ｌｔ ａ ｌｎ ａ ｏ ｎｙ ｉ ｅ ｔ ｙ ｄ ｍａ ｅ ｌｖ ｌａ ｄ ｌ ｃ ｔｏ ｓｉ ｉｆｒ ｎ ｙ ｔ ｌ ｓ ｒｏ ，ｂ ｔａ ｓ ａ ｋ ｒ ｂ ｂｉｉ ｆ ｈ ｙ ｍｅ ｓ ｒ ｍｅ ｔｏ ｈ ｄ ｎ ｉ ｅ ａｕ ｓ ａ ｕ ｅ ｎ ｆｔ ｅ ｉ ｅ ｔｆ ｄ ｖ ｌ ｅ ． ｉ Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ： ｉ ｅ ｔ ｉ ａｉｎ ｏ ｈ ｓｃ ｌ ａ ａ ｔ ｒ ｄｓ ｄ ｎ ｉ ｃ ｔｏ ｆｐ ｙ ｉ ａ ｐ ｒ ｍｅｅ ｓ；ｄ ｍａ ｅ ｏ ａｉ ｇ； Ｇｉ ｂｓ ｓ ｍｐ ｉ ｇ； Ｍａｋｏ Ｃｈ ｉ ｎ ｅ Ｃａ ｌ ｆ ａ ｇ ｌｃ ｔｎ ｂ ａ ｌｎ ｒ ｖ ａｎ Ｍｏ ｔ ｒｏ ｍｅｈ ｄ；Ｂａ ｅ ｉｎ ｕｐ ａｉ ｇ ｔｏ ｙ ｓａ ｄ ｔ ｎ
维 正态 分布 。
，
励下得到的 ， 因此很 多结构包括损伤结 构都近似地表 现 出线 性行 为 Ｊ 。
结 构第 ｉ 阶模 态 的理 论 频 率 和振 型 向量 应 ［ 一∞ ］ ＝ ｛ ｝ Ｋ ２ 西 ０ （） ９
假设 模 型 参 数 ０的先 验 分 布 为 不 正 常 的 均 匀 分
试误差 以及分析 过程 中的简化 ， 引人 了不 确定 因素 ， 成 造 实测模 态参数与 真值之 间不 可避免地存 在偏差 。 本文视 结构模态参 数 为 随机变 量 ， 据结 构 动力 特 根
贝叶斯统计模型 ， 但这是一种渐渐逼 近的方法 ， 要保证
基金 项 目：国家 自然科 学基 金 （ ０ ７ １４ ５ ８ ５ １ ） 国家 ８ ３项 目 ５ ８ ８ ８ ，０ ７ ２ ２ ； ６
收稿 日期 ：２ １ ０ ２ 修 改稿收 到 Ｅ期 ：００—１ ０ ００— ４— ８ ｔ ２１ １— １ 第一作者 刘书奎 男 ， 博士生 ，９ ６年生 １８ 通讯作者 吴子燕 女 ， 教授 ， 博士生导师 ，９ ２年生 １６
振 动 与 冲 击
２ １ 年第 ３ ０１ ０卷
１ 线性 回归模型