分形树叶脉络建模算法研究

个仿 射变换对 应于一个 矩阵和 一个 向量 的乘 法 ，而仿 射变
（ ）为集合 Ａ的 Ｈ ｕｄ ｆ维 数 （ 分维数 ） ｉ （ wenku.baidu.com为 其拓 Ａ ａ ｓｏ 或 ，ｄｍ Ａ 扑维数 。一般说来 ，Ｄｍ ｆ）不是整数 ，而是分数 。 ｉ 』 ４ （）部分与整体 以某种形式相似的形 ，称为分形 。 ２
图 ３ 方 向错 切 变 换 ｙ
｝
Ｐ ｂ ｉｈ ｎ ｍｐ ｎ ，９ ５ ｕ ｌｓ ｉ ｇ Ｃｏ ａ ｙ １ ７ ．
［】杨展如．分形物理学．上海科技教育 出版社 ，１９ ． ２ ９６ 【］张树兵 ，王建 中．基 于 Ｌ 系统的植物建模方法改进 ．中国 ３ 一
图象 图形 学 报 ，２０ ． ０２ 【］Ａａ ａ ． ｏ ｕｅ ｒｐ ｉ ， ｄＥ ｉｏ ．ｄ ｉ ｎ Ｗｅ— ４ ｌ Ｗ ｔ３ Ｃ ｍｐ ｔ Ｇ ａｈｃ ２ ｄｔ ｎＡ ｄｓ － ｓ ｎ ｔＤ ｒ ｓｎ ｉ ｏ
发 明 了迭代 函数 系统 Ｉ Ｉｒ ｅ ｕｃｏ ｙ ｅ ） Ｆ 不仅 Ｆ ｔａ ｄＦｎｔｎＳｓｍ 。ＩＳ Ｓ（ｅ ｔ ｉ ｔ
是描绘 分形 的强有力 的数学方法 ，也是 分形 图形学 的基本 工
具。
是具有 扩展对 称性 的几 何对象 。分形 几何学是 一 门以非规 则
几何 形 态为研 究对 象 的几何学 。而对 “ 分形 ” 一词 的解 释 ， 曼德勃罗曾经下过两个定义 ：
电脑 编程技巧 与维 护
分形树 叶脉络建模 算法研 究
王海 涛
（ 沈阳理工 大学信息科学 与技术学 院信 息技术实验 中心 ，沈 阳 １０６） １１８
摘 要 ：研 究分形理论在 计算机图形学中的应用，基 于分形 关于生成技术 的 自然景物模拟。
关键词 ：分形学 ； 树叶形态 ； 图形学
（）平移变换 ，将每一点移动到 （ ｔ ｙ ｔ ，变换矩阵为： １ ｘ ｘ ＋ｙ ＋， ）
分形提 供 了描述 自然形 态 的几何 学方法 ，使得 在计算 机 上可以从少量数据 出发 ，对复杂 的 自然 景物进行逼 真的模拟 ，
ＩＳ Ｆ 方法 和 Ｌ 系统便是典 型的代 表。前者通过选定若 干仿 射变 换 ，将整 体形 态变换 到 局部 ，并将 这一 过程 迭代 进 行下 去 ，
ｙ０ Ｓ ｙ
０ ０ １Ｉ ＪＩ Ｉ Ｌ
１
当 ｓ＝ｙ时 ，称 为尺度 缩放 ，Ｓ ｘｓ ｘ不等于 ｓ ，就是 平 时 ｙ时
３ 结 语
基 于分 形几何学 的 Ｌ 方 法和 ＩＳ法在树 叶等植 物 的计算 一 Ｆ 机模 拟方面 有其明显 的优势 。本 文探讨 了植 物形 态 的计算 机
坐标随初值 （，ｙ Ｘ ）及变换系数 ｄ作线性变化。
一
个迭代 函数 系统 由一个完 备度量空 间 （， ）和一个 有 Ｘｄ
Ⅳ
． ．
限压缩映射集 ｗｎ —ｘ ｎ＝ ， …， ： ｘ ， １ ， Ｎ组成 ，用 ＩＳ ｆ ； ， １ ２ Ｆ ＸＷｎｎ＝ ， ２…， ， Ｎ｝表示 。则 变换 Ｗ 定义 为： （）： Ｗ Ｂ
设计与实现．现代计算机 ，２０ ，０ （８ ） － ． ０ ４ ６ １９ ：６ ９
［ ＰｅｈｈＬＭａ ｏｌ ， ｈｐ ｅ Ｍ Ｊ ｇ Ｆｎ ｉｇＰｌｇ ｒ ７ ｒｃｅ ， ｌ ｈ Ｐ ｉｐｓｎ ． ｐｌ ： ｉｄ ｉ － ］ ｐ Ｇ ａ ｎ ａａ
模 拟及其 基本 方法 ，并 针对不 同的方法 进行 了计 算机 实现 。
所说 的拉伸变换 。
植 物建摸领 域的研究 内容繁 多复杂 ，要获得 一个非 常逼真 的 植 物图形 ，不仅仅是 建摸算法 的问题 ，还与 光照 、纹理 映射 等许多 因素有关 。本 文所做工 作是对 建摸方 法进行 了一定 程 度 的研究 主要包括 ：如何在设计 的过 程 中将 惯用 的直线 用 自
图 １ 平移 变 换
（ ）￣ Ｂ Ｘ ＶＢ （ ） ｘ
是完备空 间 （ （）， ｄ）上具有压缩 因子 Ｓ的压缩 映射， ｈ ｘ ｘ ｈ（） 即
ｌ ｌ
（）缩放 变换 ，将 每一 点的横坐标放 大 （ ２ 缩小）至 Ｓ 倍 ，纵 Ｘ
／【
（ （ ） ， （ ） ≤ｓ （ ，） ， Ｗ Ａ ｗ Ｂ） ｈ ＡＢ 对 ＡＢ ＥＸ （ ） ， Ｐ＝ ， Ｘ 且
作为 ＩＳ迭代 系统的重要组 成部分 的仿射变换 ，它 的概 念 Ｆ 引人意 蕴非 常。在有 限维的情况 ，每个仿 射变 换可 以 由一个 矩阵 Ａ和一个 向量 ｂ给 出，它可 以写作 Ａ和一个 附加 的列 ｂ 。
一
（）满足下式条件 ： １
Ｄｍ （ ）＞ ｉ （ ） 的集合 Ａ，称为分 形集 。其 中 ，Ｄｍ ｉ Ａ ｄｍ Ａ ｉ
直到得 到满意的造 型。ＩＳ是 一套在理 论上非 常完美 的系统 。 Ｆ
而后者 是一种 文法系统 ，由若 干产生 式和一个 表示植 物 种子 的简单 字符 串组 成 ，从 种子字符 串开 始 ，产 生式通 过并行 回 写方法 生成表示植 物结构 的字符 串 ，然 后 由字 符 串获得植 物
ｌｍ ｔ
坐标放大 （ 缩小）至 ｓ ，变换矩阵为 ： ｙ倍
Ｐ ”＋ ＝ ＿＊Ｗ“（ ）。 Ｂ
— ．．． ． ．．． ．．． ． ．．． ．Ｌ ． ．．． ．． ．． Ｊ
ｌ
Ｓ ｏ Ｘ ０ Ｉ Ｆ
０ ０＂
ｘ ● Ｓｘ
Ｐ∈Ｘ ｆ ） Ｘ 被称 为 ＩＳ Ｆ 的吸引子 ，该吸引子就是一个分形 。 拼贴定 理的意 义在于对 一类压 缩变换 给 出了衡量 一个基 于相应不变集近似程 度的方法 。
的模 型 。 ２２ 分 形 树 叶 脉 络 的 生 成 及 原 理 ．
自然界 中树叶的形态各式 各样 ，叶脉的结构也千奇 百怪 ，
但 是 ，叶面脉络 中 ，分脉 都是 按一 定角 度在 主脉 左 右两侧 ， 每一个 分脉再继 续分下 去 ，具有典 型 的分形特 征 。通 过对某
一
数树 叶的实 际观测统计 ，得 出分叉 角度与分 割有关 系 。再
根 据此规律采用分形理论将 叶片的计算 机模 二维点绘制 方法 ，
经过计算机试验 给出 ＩＳ码 ，并可 以从不同形态和参量进行多 Ｆ
方位观察 。
作 者简介 ：王海 涛 （９０ ） １８一 ，男 ，讲师 ，硕 士 ，研 究方 向 ：
计算机科学与技术 。
收 稿 日期 ：２ １－ ０ １ ０ １１—０
Ｔ ｃｎ ｌｇ ｘｅｉ ｎ ｅ ｔ ， ｈｎ ａｇ １ ０ ６） ｅｈ ｏ ｙＥ ｐ ｒ ｔ ｎｅ Ｓ ｅ ｙ １ １８ ｏ ｍｅ Ｃ ｒ ｎ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｔ ｉ ｐ ｐ ｒ ｆａ ｔｌｔ ｅ ｒ ｐ ｌ ａ ｉｎ ｎ ｃ ｍｐ ｔｒ ｇ ａ ｈ ｃ ， ｒｅ ａ — ａ ｅ ｉ ｌｔ ｎ ｏ ｅ ｎ ｔ ｒ ｌｓ ｅ ｅ ｎ ｓ ｒ ｃ ：Ｉ ｈ ｓ ａ ｅ ， ｒ ｃａ ｈ ｏ ｙ ａ ｐ ｉ ｔ ｓｉ ｏ ｕ ｅ ｒｐ ｉｓ ｆ ｔ ｌ ｂ ｓ ｄ ｓｍｕ ａ ｉ ｆｔ ａｕ ａ ｃ ｎ ｒ ｏ ｃ ｏ ａ ｏ ｈ ｙ ｔ ｅ ｌａ ｅ ｆｇ ｎ ｒ ｔ ｄ ｔ ｃ ｎ ｌｇ ｅ ｓｓｕ ｉｄ ｈ ｅ ｖ ｓｏ ｅ ｅ ａｅ ｅ ｈ ｏｏ ｉ ｓｉ ｔ ｄ ｅ ．
换 的复合对应 于普通 的矩阵乘法 ，只要 加入一 个额外 的行 到
矩阵的底下 ，这一行全部是 ０除 了最右边是 一个 １ ，而列 向量 的底下要加上一个 １ 。
２ 基 于分 形 的树 叶脉 络建 模
２１ 分 形植 物 的 生成 ．
一
Ａ ｉｅ ｒｎｆｒ ｆｎ Ｔａｓ ｍ类描述了一种二维仿射变 换的功能 ，它 是 ｏ 种二 维坐标 到二维 坐标之 间的线性变换 ，保 持二维 图形 的 “ 平直性 ”和 “ 平行 性” 。仿射 变换可 以通过一 系列 的原子 变 换 的复合来 实现 ，包括 ：平移 （ｒｎｌｔ ｎ 、缩放 （ｃｌ） Ｔａｓ ｉ ） ａｏ Ｓａ 、 ｅ 翻转 （ｌ ） Ｆｉ 、旋转 （ ｏａｏ ）和错切 。 ｐ Ｒ ｔｔ ｎ ｉ 此类 变换可 以用 一个 ３ ３的矩阵来 表示 ，其最后 一行 为 ｘ （， ， ） ０ ０ １。该变换 矩 阵将 原坐标 （ ｙ ｘ ）变换 为新 坐标 （ ， ， ， ｘ ｙ， ） 这里 原 坐标 和新坐 标 皆视为 最末一 行 为 （）的三维列 向量 ， １ 原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量。 几种典型的仿 射变换 ：
Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｈ ｅ ａ ａ ｅ Ｓ ａ ｅ ｏ ａ ｏ ｏ ｄ ｏ ｅｉ ｇ Ａｌ ｏ ｉ ｍ ｓ ａ ｃ ｎ ｔ ｅ Ｓ ｐ ｒ ｔ ｈ ｐ ｆＬｅ ｆＣｈ ｒ ｉ ｓＭ ｄ ｌ ｇ ｒｔ ｎ ｈ
Ｗ ＡＮＧ ａ ｔ ｏ Ｈ ｉ ａ
（ｈｎ ａｇＬｇ ｎ ｎｖｒｉ ｆｒ ｔ ｎＳｉｎｅａｄＴ ｃｎ ｌｇ ｓｔｔ Ｉｆｒ ｔ ｎ Ｓ ｅ ｙｎ ｉｏ ｇＵ ｉｅｓｙＩ ｏｍａ ｏ ｃ ｃ ｎ ｅｈ ｏｏｙＩ ｔｕｅ ｎｏｍａｉ ｔ ｎ ｉ ｅ ｎ ｉ ｏ
Ｋｅ ｒ ｓ ｆ ｅ ａ ｅ ｒ ； ｈ ｐ ｆ ｅ ｆ； ｒｐ ｉｓ ｙ ｗｏ ｄ ： ｒ ｔ ｔ ｏ ａ ｌ ｈ ｙ ｓ ａ ｅｏ ａ ｇａ ｈｃ ｌ
１ 分 形 的定 义
一
考 虑 到 分 形 的 自相 似 性 和 压 缩 映 射 的 不 动 点 原 理 ， Ｈ ｔ ｉｓｎ于 １８ 年首先提 出可 以用压 缩映射方法产生分形 ， ｕｃ ｎｏ ｈ ９１ 继 而美 国 Ｇ ｏｇａ 工学 院的数学 教授 Ｍ．ａ ｌ ｅｒｉ 理 Ｂ ｍｓ ｙ于 １８ ｅ ９ ５年
等
Ｓ Ｗ Ｒ ＥＥ０Ｍ Ｎ Ｎ ＥＩＮ ０ ｒ ＡＥＤＶ ＬＰ Ｅ Ｔ ＤＤ Ｓ Ａ Ｇ
软件 开发 与设计
当 ｄ ０时 ，ｘ＝ ＋ ｙ ｙ ＝ ＇ｘ ｂ ，ｙ ，此 时图形的 ｙ坐标不变 ，ｘ坐 ＝
标随初值 （，ｙ ｘ ）及变换系数 ｂ作线性变化。
当 ｂ ０时 ，ｘ＝ ＋ ｙ ￣ｙ ｄ ，此时图形的 ｘ坐标不 变 ，Ｙ ＝ ＇ｘ ｂ ，ｙ＝＋ ｘ
然特征 曲线来取缔 ，如何将 Ｌ系 统有二维平 面几何 向三 维空
间扩展等核 心问题 的研究 。
参考 文献
［】ＢＢＭａ ｄｌｒｔ ｒｃａ ： ｏ Ｃ ａ ｃ ｎ ｉ ｅｓ ｎＷｏｌ １ ．． ｎ ｅ ｏ． ａｔｌＦ ｍ，ｈｎｅａ ｄＤ ｍ ｎｉ ． ｒ ｂ Ｆ ｓｒ ｏ ｄ
ｆ 三：１ 车； １ １ ＝ｒ ｆ １ ｆ
个名 词 的产 生 ，势 必会 带 动 一 个领 域 的认 同点 ，而
“ 形 ” 一 词 的 由来 ，需 要 追 溯 到 １ ７ 分 ９ ３年 曼德 勃 罗 （ ．． ＢＢ Ｍａｄ ｌｒｔ 法兰西学 院任教 授课之时 。分 形一词是曼 德勃 ｎｅ ｏ ｂ ）在
罗创造 出来 的 ，其原意 具有不规 则 、支离破 碎等 意义 。分形
ｌｙ，９９ ｅ １ ３．
［】李水 根 ，吴 纪桃 ．分形 与小 波 【 ５ Ｍ］．北 京 ： 学 出版 社 ． 科
２ ０ ： １— ３ ０３ １３ ．
［ 刘向东 ，廖欣，于海 ， ６ 】 朱伟国．迭代函数系 ＩＳ吸引子的 Ｆ
参数 控制 与树木 的模拟 ［ Ｊ 】．计算机工程与应用 ，２ ０ ． ００
｝
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（ 接 第 ７页 ） 上 ［ Ａ Ｄ ＩＪ Ａ Ｗ． Ｎ ． ． Ｏ Ｉ Ｓ Ｎ Ａ ｍ ｉｃｌ ｐ — ４ ］Ｆ Ｉ Ｈ ， ． ． Ａ Ｄ Ｓ Ｋ Ｒ ＢＮ Ｏ ． ｎＥ ｐｒ ａ Ａ ｐ ｉ
ｒ ａ ｈ ｏ Ｄｅｅ ｔ ｇ Ｐ ｏ ｒ ｍ Ｓ ｍｉ ｒ ｙ ｗｉ ｉ ａ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｃ ｆｒ ｔｃ ｉ ｒ ｇ ａ ｎ ｉ ｌ ｉ ｔ ｎ ｉｅ ｓｔ ａｔ ｈ ｙ