选修4-4专题九个大题及答案
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22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2
2x
y +＝4，直线l
的参数方程
2x t
y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1
C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C .
（1）写出曲线2C 的参数方程；
（2
）设点(P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求
11PA PB
+的值. 22．（1）∵曲线1C 的方程为2
2
x y +＝4，直线l
的参数方程2x t
y =--⎧⎪⎨=⎪⎩
（t 为参数），
若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的
3
2
倍，得曲线2C . ∴曲线2C 的直角坐标方程为2
22()43x y +=，整理得22
149
x y
+=，
∴曲线2C 的参数方程2cos 3sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）；
（2）将直线l
的参数方程化为标准形式为1222x t y t ''⎧
=--⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t '为参数），
将参数方程代入22149x y +=
，得2
2
122149
t ⎛⎫⎛⎫ ⎪-- ⎪'⎭+'⎝⎭⎝=， 整理得2
7()183604
t t ''++=.
设,A B 对应的参数分别为1
2,t t ''，则221172,7144
7
t t t t +''''=-=， ∴1
2727PA PB t t ''+=+=，121447
PA PB t t ''==，
∴
72
111
714427PA PB PA PB PA PB
++===.
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为2cos x y θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数
方程为1x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.
（1）求曲线C 以及直线l 的直角坐标方程；
（2）直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB .
22．答案（1）22
143
x y +=
0y -=；
（2）165 （1）曲线C 的直角坐标方程为22
143
x y +=，
直线l
0y --=.
（2
）将1x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t
为参数）化为标准参数方程1122x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），
然后代入22
143
x y +=，得254120t t +-=.
所以121245125t t t t ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
1216
5
AB t t =-=
=
. 22．（10分）过点作倾斜角为的直线与曲线相交
于M 、N 两点．（1）写出曲线C 的一般方程；（2）求的最小值．
22．【解析】（1）由曲线C 的参数方程，
可得，即曲线C 的一般方程为．
（2）直线MN 的参数方程为（t 为参数），
()1,0P
-
α(:n C x y θ
θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）
PM PN
⋅(x y θ
θθ⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数）2222
cos sin 132x y θθ+=+=22132
x y +=1cos sin x t y t αα=-+⋅⎧⎨=⋅⎩
将直线MN 的参数方程代入曲线，得，
整理得，设M ，N 对应的对数分别为，则
，当时，取得最小值为． 22.在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为,
2x t y t =⎧⎪⎨
=⎪⎩（t 为参数）
，以原点O 为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
2
cos240ρθ+=. （Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点A ，直线l 与曲线C 相交于点M ，N ，求
11
||||
AM AN +的值. 答案及解析：
22.（Ⅰ）直线l
的普通方程为：
20x y -+=，曲线C 的直角坐标方程为：
2240x y -+=；（Ⅱ）4
【分析】
（Ⅰ）使用代入法消参，可得直线l 的普通方程，根据cos ,sin x y ρθρθ==，结合二倍角的余弦公式，可得曲线C 的直角坐标方程
（Ⅱ）写出直线l 参数方程的标准形式，然后联立曲线C 的方程，可得关于参数t 的一元二次方程，根据t 的几何意义，可得结果.
【详解】
（Ⅰ）由,2x t y t
=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）
，所以2y x =
则直线l
的普通方程为：20x y -+=
由2
cos240ρθ+=，所以()2
2
2
cos s 40in θθρ
+-=
又cos ,sin x y ρθρθ==，所以22
40x y -+=
则曲线C 的直角坐标方程为：2
2
40x y -+= （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
22
132
x y +=222(1cos )3(sin )6t t αα-++=2
2
(3cos )4cos 40t t αα-⋅-⋅-=12,t t 12243cos PM PN t t α⋅=⋅=
-cos 0
α=PM PN ⋅4
3