数字信号处理(第四版)第四章ppt
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《数字信号处理》课件第4章 (2)
(4-6b)
j 1
V jk (z) Fjk (z)W j (z)
(4-7)
相应的信号流图如图4.8所示。
第四章 数字滤波器的结构表示
源节 点1 1 X(z)或x(n)
a
2
3
z－ 1 b
4
吸收 节点 1 Y(z)或y(n)
图4.8 标有支路传输比的Z变换形式的流图
第四章 数字滤波器的结构表示
在图4.8中，每一个支路的传输比均列于该支路的箭头之侧。 对支路（2、4）而言，它所作的是单位延迟变换， 此时的传递
第四章 数字滤波器的结构表示
第四章 数字滤波器的结构表示
4.1 引言 4.2 数字滤波器的信号流图表示 4.3 数字网络的矩阵表示 4.4 无限冲激响应(IIR)系统的基本网络结构 4.5 转置型 4.6 有限冲激响应(FIR)系统的基本网络结构
第四章 数字滤波器的结构表示
4.1 引 言
在设计数字滤波器的过程中，通常总是根据工程指标，按一 定的设计方法或技术，正确确定能够满足所需指标要求的滤波器 的数学模型，然后利用计算机或专用硬件加以实现。为了论述方 便， 我们把滤波器数学模型的确定放到第六章数字滤波器的设计 方法中专门研究，而把数学模型的具体实现放在这里先作必要的 介绍。 而且在这一章中，我们只对该数学模型的硬件实现作必要 的讨论， 利用计算机实现的软件设计则不再赘述。
第四章 数字滤波器的结构表示
S jk (z) bjk X j (z) Rjk (z) c jkWj (z)
把它们代入式（4-6），
N
M
Wk (z) Fjk (z)Wj (z) bjk X j (z)
j 1
j 1
N
Yk (z) c jkWj (z) j 1
数字信号处理(第四版)第四章ppt
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems Outline Discrete-time system examples Classification of DT systems Impulse and step responses Time-domain characteristics of LTI Simple interconnection schemes
Process a given sequence, called the input system, to generate another sequence, called the output sequence, with more desirable properties or to extract certain information about the input signal. DT system is usually also called the digital filter
12
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems 4.2 Classification of DT systems Stable system
A system is stable if and only if for every bounded input, the output is also bounded, called BIBO stable.
Discrete-Time Systems 4.1 Discrete-time system examples (4) Linear Interpolator Linear factor-2 interpolator
数字信号处理第四章快速傅里叶变换PPT课件
2N (2N – 1)
复乘的加
法次数
4
4.2 FFT：直接计算 DFT 的问题及改进
如 N=512、1024 和 8192 时，DFT 的乘法运算 N2 = 5122 = 218 = 262144（26万次） N2 = 10242 = 220 = 1048576（105万次） N2 = 81922 = 226 = 67108864（6千7百万次）
Dr. James W. Cooley
Worked at IBM Watson Research Center in Yorktown Heights, N.Y..After his retirement from IBM in 1991, he joined the Electrical Engineering Department at the University of Rhode Island.
x(0)
x(2)
-1
x(1)
x(3)
-1 W41
X(0) X(0)x(0) x(2)x(1) x(3)
X(1) X(1)x(0) x(2)x(1) x(3)W41 只需要 1
-1 X(2) X(2)x(0) x(2)x(1) x(3)
次复数乘
-1
X(3) X(3)x(0) x(2)x(1) x(3)W41
4.1 FFT ：引言
FFT: Fast Fourier Transform 1965 James W. Cooley 和 John W. Tukey 在 《》
（《Mathematics of Computation》）上发表了“ 一种 用机器计算复序列傅立叶级数的算法（An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series）” 论文。 自此之后，新的算法不断涌现。一种是对N等于 2 的整 数次幂的算法，如基 2 算法，基 4 算法。另一种是N不 等于 2 的整数次幂的算法，例如 Winagrad 算法，素因 子算法。
数字信号处理课件第四章资料
k 0,1,..., N 1 2
5、时间抽取蝶形运算流图符号
X1(k)
X1(k) WNk X 2 (k)
X 2 (k )
WNk
1 X1(k) WNk X 2 (k)
返回DIF 返回例题
设 N 23 8
X1(k)
X 2 (k )
WNk
k 0
W80
1
W81
2
W82
3
W83
X (k)
k 0,1,,7
l0
l 0
X1(k) X 3(k) WNk X 4 (k)
2
X1(k
N 4
)
X 3 (k )
W Nk
2
X
4
(k)
k 0,1,..., N 1 4
x2(r)也进行同样的分解：
x5 (l) x2 (2l)
x6 (l) x2 (2l 1)
l 0,1,..., N 1 4
)
N
/ 21
x1(r)WNrk/ 2
X1(k)
r 0
r 0
X2(k N / 2) X2(k) X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
W (kN N
/
2)
WNkWNN
/
2
WNk
N点X(k)可以表示成前 N点和后 点N 两部分：
2
2
前半部分X(k)：
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
N 1
X (k) x(n)WNnk k = 0, 1, …, N-1
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n = 0, 1, …, N-1
二者的差别只在于WN 的指数符号不同，以及差一 个常数因子1/N，所以IDFT与DFT具有相同的运算量。
5、时间抽取蝶形运算流图符号
X1(k)
X1(k) WNk X 2 (k)
X 2 (k )
WNk
1 X1(k) WNk X 2 (k)
返回DIF 返回例题
设 N 23 8
X1(k)
X 2 (k )
WNk
k 0
W80
1
W81
2
W82
3
W83
X (k)
k 0,1,,7
l0
l 0
X1(k) X 3(k) WNk X 4 (k)
2
X1(k
N 4
)
X 3 (k )
W Nk
2
X
4
(k)
k 0,1,..., N 1 4
x2(r)也进行同样的分解：
x5 (l) x2 (2l)
x6 (l) x2 (2l 1)
l 0,1,..., N 1 4
)
N
/ 21
x1(r)WNrk/ 2
X1(k)
r 0
r 0
X2(k N / 2) X2(k) X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
W (kN N
/
2)
WNkWNN
/
2
WNk
N点X(k)可以表示成前 N点和后 点N 两部分：
2
2
前半部分X(k)：
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
N 1
X (k) x(n)WNnk k = 0, 1, …, N-1
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n = 0, 1, …, N-1
二者的差别只在于WN 的指数符号不同，以及差一 个常数因子1/N，所以IDFT与DFT具有相同的运算量。
数字信号处理-原理、实现及应用(第4版) 第四章 模拟信号的数字处理
（3）当未知时，由 x(n) 无法恢复原正弦信号。
结论：
正弦信号采样（2）
三点结论： （1）对正弦信号，若 Fs 2 f0 时，不能保证从采样信号恢
复原正弦信号； （2）正弦信号在恢复时有三个未知参数，分别是振幅A、
频率f和初相位，所以，只要保证在一个周期内均匀采样 三点，即可由采样信号准确恢复原正弦信号。所以，只要 采样频率 Fs 3 f0 ，就不会丢失信息。 （3）对采样后的正弦序列做截断处理时，截断长度必须 是此正弦序列周期的整数倍，才不会产生频谱泄漏。（见 第四章4.5.3节进行详细分析）。
D/A
D/A为理想恢复，相当于理想的低通滤波器，ya (t) 的傅里叶变换为：
Ya ( j) Y (e jT )G( j) H (e jT ) X (e jT )G( j)
保真系统中的应用。
在 |Ω|>π/T ，引入了原模拟信号没有的高频分量，时域上表现
为台阶。
ideal filter
•
-fs
-fs/2 o
• fs/2 fs
f •
2fs
•
•
-fs
-fs/2 o
fs/2
•
fs
•
f
2fs
措施
D/A之前，增加数字滤波器，幅度特性为 Sa(x) 的倒数。
在零阶保持器后，增加一个低通滤波器，滤除高频分量， 对信号进行平滑，也称平滑滤波器。
c
如何恢复原信号的频谱？
P (j)
加低通滤波器，传输函数为
G(
j)
T
0
s 2 s 2
s
0
s
X a ( j)
s 2
s c c
s
理想采样的恢复
结论：
正弦信号采样（2）
三点结论： （1）对正弦信号，若 Fs 2 f0 时，不能保证从采样信号恢
复原正弦信号； （2）正弦信号在恢复时有三个未知参数，分别是振幅A、
频率f和初相位，所以，只要保证在一个周期内均匀采样 三点，即可由采样信号准确恢复原正弦信号。所以，只要 采样频率 Fs 3 f0 ，就不会丢失信息。 （3）对采样后的正弦序列做截断处理时，截断长度必须 是此正弦序列周期的整数倍，才不会产生频谱泄漏。（见 第四章4.5.3节进行详细分析）。
D/A
D/A为理想恢复，相当于理想的低通滤波器，ya (t) 的傅里叶变换为：
Ya ( j) Y (e jT )G( j) H (e jT ) X (e jT )G( j)
保真系统中的应用。
在 |Ω|>π/T ，引入了原模拟信号没有的高频分量，时域上表现
为台阶。
ideal filter
•
-fs
-fs/2 o
• fs/2 fs
f •
2fs
•
•
-fs
-fs/2 o
fs/2
•
fs
•
f
2fs
措施
D/A之前，增加数字滤波器，幅度特性为 Sa(x) 的倒数。
在零阶保持器后，增加一个低通滤波器，滤除高频分量， 对信号进行平滑，也称平滑滤波器。
c
如何恢复原信号的频谱？
P (j)
加低通滤波器，传输函数为
G(
j)
T
0
s 2 s 2
s
0
s
X a ( j)
s 2
s c c
s
理想采样的恢复
《数字信号处理教学课件》第四章 快速傅立叶变换
k
)
k 0,1,...... N 4 1
注意：通常我们会把
WNk
/
写成
2
W
2k N
。
N点DFT的第二次时域抽取分解图(N=8)
x(0)
x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7)
x(0) xD2(F2点)T
X3(0) X3(1)
4点
x2(4点) xD(F6)T
x2(1点) xD(F3)T
分解后的运算量：
一个N 点DFT 一个N / 2点DFT 两个N / 2点DFT
一个蝶形 N / 2个蝶形
总计
复数乘法 N2
(N / 2)2 N2/ 2
1 N/2 N2/2 + N/2 ≈ N2/2
运算量减少了近一半
复数加法 N (N–1) N / 2 (N / 2 –1) N (N / 2 –1)
x(1),x(3),x(5),x(7)为奇子序列 频域上：X(0)~X(3)，由X(k)给出
X(4)~X(7)，由X(k+N/2)给出
N=8点的直接DFT的计算量为： 复乘：N2次 = 64次 复加：N(N-1)次 = 8×7=56次
X (k )
X
1
(k
)
W
k N
X2(k)
k 0,, N / 2 1
N点 DFT
复乘：
N2
N/2点 DFT
N/2点 DFT
N/4点 DFT N/4点 DFT N/4点 DFT N/4点 DFT
…….
N
2
N
2
2 2
N2 2
数字信号处理(第四版)高西全第4章ppt课件
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
2． 旋转因子的变化规律
如上所述，N点DIT-FFT运算流图中，每级都有N/2
个蝶形。每个蝶形都要乘以因子
W
p N
，称其为旋转因子，
p为旋转因子的指数。但各级的旋转因子和循环方式都
有所不同。为了编写计算程序，应先找出旋转因子
W
p N
与运算级数的关系。用L表示从左到右的运算级数
mN
WN 2
WNm
(4.2.3b)
FFT算法就是不断地把长序列的DFT分解成几个短序
列的DFT，并利用
W
kn N
的周期性和对称性来减少DFT
的运算次数。算法最简单最常用的是基2FFT。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 基2FFT算法分为两类：时域抽取法FFT(Decimation
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
自从1965年库利(T. W. Cooley)和图基(J. W. Tuky) 在《计算数学》(Math. Computation, Vol. 19, 1965)杂 志上发表了著名的《机器计算傅里叶级数的一种算法》 论文后，桑德(G. Sand)—图基等快速算法相继出现， 又经人们进行改进，很快形成一套高效计算方法，这 就是现在的快速傅里叶变换（FFT）。
其运算流图应有M级蝶形，每一级都由N/2个蝶形运算构成。
因此，每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加(每个蝶
形需要两次复数加法)。所以，M级运算总共需要的复数乘
次数为
CM
NMNlbN
2
2
复数加次数为
CANMNlbN
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
数字信号处理4
平均值等于它的真值卷积三角谱窗函数，因此周期图是有偏估 计，但当N→∞时，wB(m)→1，三角谱窗函数趋近于δ 函数，周
期图的统计平均值趋于它的真值，因此周期图属于渐近无偏估
计。
第四章 功 率 谱 估 计 2) 周期图的方差 由于周期图的方差的精确表示式很繁冗，为分析简单起见，
通常假设x(n)是实的零均值的正态白噪声信号，方差是σ
ˆ (e j ) PBT
式中
m ( M 1)
ˆ rxx (m)e
- jωω
（4.2.3）
w(m) -(M-1)≤m≤(M-1) w(m) , M≤N 其它 0
（4.2.4）
第四章 功 率 谱 估 计 有时称(4.2.3)式为加权协方差谱估计。它要求加窗后的 功率谱仍是非负的，这样窗函数w(m)的选择必须满足一个原 则，即它的傅里叶变换必须是非负的， 例如巴特利特窗就满 足这一条件。 为了采用FFT计算（4.2.3）式，设FFT的变换域为(0~L-1)，
(4.2.7) 按照（4.2.1）式估计自相关函数，我们已经证明这是渐近一 致估计，但经过傅里叶变换得到功率谱的估计，功率谱估计却 不一定仍是渐近一致估计，可以证明它是非一致估计，是一种 不好的估计方法。下面我们将证明：BT法中用有偏自相关函数 进行估计时，它和用周期图法估计功率谱是等价的，因此BT 法估计质量和周期图法的估计质量是一样的。
第四章 功 率 谱 估 计 现代谱估计以信号模型为基础，图4.1.1表示的是x(n)的 信号模型，输入白噪声w(n)均值为0，方差为σ 谱由下式计算：
2 Pxx (e j ) w | H (e j ) |2
2
w，x(n)的功率
（4.1.7）
如果由观测数据能够估计出信号模型的参数，信号的功率谱可 以按照（4.1.7）式计算出来，这样,估计功率谱的问题变成了 由观测数据估计信号模型参数的问题。模型有很多种类，例如 AR模型、 MA模型等等，针对不同的情况，合适地选择模型，
期图的统计平均值趋于它的真值，因此周期图属于渐近无偏估
计。
第四章 功 率 谱 估 计 2) 周期图的方差 由于周期图的方差的精确表示式很繁冗，为分析简单起见，
通常假设x(n)是实的零均值的正态白噪声信号，方差是σ
ˆ (e j ) PBT
式中
m ( M 1)
ˆ rxx (m)e
- jωω
（4.2.3）
w(m) -(M-1)≤m≤(M-1) w(m) , M≤N 其它 0
（4.2.4）
第四章 功 率 谱 估 计 有时称(4.2.3)式为加权协方差谱估计。它要求加窗后的 功率谱仍是非负的，这样窗函数w(m)的选择必须满足一个原 则，即它的傅里叶变换必须是非负的， 例如巴特利特窗就满 足这一条件。 为了采用FFT计算（4.2.3）式，设FFT的变换域为(0~L-1)，
(4.2.7) 按照（4.2.1）式估计自相关函数，我们已经证明这是渐近一 致估计，但经过傅里叶变换得到功率谱的估计，功率谱估计却 不一定仍是渐近一致估计，可以证明它是非一致估计，是一种 不好的估计方法。下面我们将证明：BT法中用有偏自相关函数 进行估计时，它和用周期图法估计功率谱是等价的，因此BT 法估计质量和周期图法的估计质量是一样的。
第四章 功 率 谱 估 计 现代谱估计以信号模型为基础，图4.1.1表示的是x(n)的 信号模型，输入白噪声w(n)均值为0，方差为σ 谱由下式计算：
2 Pxx (e j ) w | H (e j ) |2
2
w，x(n)的功率
（4.1.7）
如果由观测数据能够估计出信号模型的参数，信号的功率谱可 以按照（4.1.7）式计算出来，这样,估计功率谱的问题变成了 由观测数据估计信号模型参数的问题。模型有很多种类，例如 AR模型、 MA模型等等，针对不同的情况，合适地选择模型，
数字信号处理-第四章(加绪论共八章)精品PPT课件
= 2- (cosω+cos2ω)
21
4.1.2 小结
• 四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于 h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。 •幅度特性取决于h(n)。 •设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的 条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。
注意：当H(ω)用│H(ω)│表示时，当H(ω)为 奇对称时，其相频特性中还应加一个固定 相移π。
22
4.1.3 线性相位FIR滤波器的零点特性
h(n) h(N 1 n)
H z zN1H z1
N 1
N 1
H z hnzn hN 1 nzn
N 1 n0
n0
N 1
h(m)z N 1m z N 1 h m z m
m0
m0
zN 1H z1
1）若 z = zi 是H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点
4.1.1 线性相位的条件 线性相位意味着一个系统的相频特性是 频率的线性函数，即 ()
式中为常数，此时通过这一系统的各频率分
量的时延为一相同的常数，系统的群时延为
g
d () d
5
线性相位FIR滤波器的DTFT为
N1
H e j h n e jn H e j () H ()e j
26
截短并移位的脉冲响应
过渡带带宽＝阻带边缘频率－通带边缘频率 设计中用的通带边缘频率=所要求的通带边缘频率+(过渡带带宽/2) 27
20
例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求 幅度函数H (ω)。
解 Ｎ为奇数并且h(n)满足偶
对称关系 a (0) = h (2) = 2 a (1) = 2 h (3) = -1 a (2) = 2 h (4) = -1 H (ω) = 2 - cosω- cos2ω
21
4.1.2 小结
• 四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于 h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。 •幅度特性取决于h(n)。 •设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的 条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。
注意：当H(ω)用│H(ω)│表示时，当H(ω)为 奇对称时，其相频特性中还应加一个固定 相移π。
22
4.1.3 线性相位FIR滤波器的零点特性
h(n) h(N 1 n)
H z zN1H z1
N 1
N 1
H z hnzn hN 1 nzn
N 1 n0
n0
N 1
h(m)z N 1m z N 1 h m z m
m0
m0
zN 1H z1
1）若 z = zi 是H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点
4.1.1 线性相位的条件 线性相位意味着一个系统的相频特性是 频率的线性函数，即 ()
式中为常数，此时通过这一系统的各频率分
量的时延为一相同的常数，系统的群时延为
g
d () d
5
线性相位FIR滤波器的DTFT为
N1
H e j h n e jn H e j () H ()e j
26
截短并移位的脉冲响应
过渡带带宽＝阻带边缘频率－通带边缘频率 设计中用的通带边缘频率=所要求的通带边缘频率+(过渡带带宽/2) 27
20
例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求 幅度函数H (ω)。
解 Ｎ为奇数并且h(n)满足偶
对称关系 a (0) = h (2) = 2 a (1) = 2 h (3) = -1 a (2) = 2 h (4) = -1 H (ω) = 2 - cosω- cos2ω
数字信号处理课件第4章
N 2
N −1
2 ( = ∑ x(2r )WN rk + ∑ x(2r + 1)WN2 r +1) k r =0
N 2
−1
N 2
−1
r =0
2 k 2 = ∑ x1 (r )(WN ) rk + WN ∑ x2 (r )(WN ) rk r =0 r =0
−1
N 2
−1
根据可约性，W = e
2 N
N 2
X1(k + N ) = X3 (k) −WNk X4 (k), k = 0,1,L, N −1 4 4
2
(二) N/4点DFT
同样对n为奇数时 ， 点分为两个N/4点的 同样对 为奇数时， N/2点分为两个 为奇数时 点分为两个 点的 序列: 序列 x5 (l) = x2 (2l), l = 0,1,L, N −1 4
3
k 则有：X ( k ) = X 1 (k ) + WN X 2 (k ) k X (k + 4) = X 1 (k ) − WN X 2 (k ), k = 0,1,2,3
(一) N/2点DFT 一 点
整个过程如下图所示: 整个过程如下图所示
x1(0)=x(0) )= ( x1(1)= (2) )=x( x1(2)= (4) )=x( x1(3)= (6) )=x( x2(0)= (1) )=x( x2(1)= (3) )=x( x2(2)= (5) )=x( x2(3)= (7) )=x( X1(0) N/2点 N/2点 X1(1) X1(2) DFT X1(3) X2(0) X2(1) X2(2) X2(3)
2
N 2 N2 ( ) = 2 4 N N ( − 1) 2 2
N −1
2 ( = ∑ x(2r )WN rk + ∑ x(2r + 1)WN2 r +1) k r =0
N 2
−1
N 2
−1
r =0
2 k 2 = ∑ x1 (r )(WN ) rk + WN ∑ x2 (r )(WN ) rk r =0 r =0
−1
N 2
−1
根据可约性，W = e
2 N
N 2
X1(k + N ) = X3 (k) −WNk X4 (k), k = 0,1,L, N −1 4 4
2
(二) N/4点DFT
同样对n为奇数时 ， 点分为两个N/4点的 同样对 为奇数时， N/2点分为两个 为奇数时 点分为两个 点的 序列: 序列 x5 (l) = x2 (2l), l = 0,1,L, N −1 4
3
k 则有：X ( k ) = X 1 (k ) + WN X 2 (k ) k X (k + 4) = X 1 (k ) − WN X 2 (k ), k = 0,1,2,3
(一) N/2点DFT 一 点
整个过程如下图所示: 整个过程如下图所示
x1(0)=x(0) )= ( x1(1)= (2) )=x( x1(2)= (4) )=x( x1(3)= (6) )=x( x2(0)= (1) )=x( x2(1)= (3) )=x( x2(2)= (5) )=x( x2(3)= (7) )=x( X1(0) N/2点 N/2点 X1(1) X1(2) DFT X1(3) X2(0) X2(1) X2(2) X2(3)
2
N 2 N2 ( ) = 2 4 N N ( − 1) 2 2
数字信号处理PPT 第4章离散傅立叶变换(DFT)及应用
①运算特点相乘累加。 ②序列特点：有限长x(n),n=0,1,…N-1，X(k)称为DFT，长度也为N。
−j 2π N N −1 ⎧ + nk ⎪ X (k ) = ∑ x(n)W N ， k = 0,1,2,...N − 1 ⎧ X (k ) = DFT [ x(n)] ⎪ n =0 ⇒⎨ or ⎨ N −1 ⎩ x(n) = IDFT [ X (k )] ⎪ x ( n) = 1 − ∑ X (k )WN nk ， n = 0,1,2,...N − 1 ⎪ N k =0 ⎩
0
Xo(k)
N-1
k
两个定理：
0
N-1
k
⎧ xep (n) = 0.5[ x(n) + x * ( N − n)] ⎪ 共轭对称和共轭反对称性 如果x(n) = xep (n) + xop (n), 其中⎨ * ⎪ xop (n) = 0.5[ x(n) − x ( N − n)] ⎩ ⎧ X R (k ) = DFT [ xep (n)] = 0.5[ X (k ) + X * (k )] ⎪ 那么X (k ) = X R (k ) + jX I (k ), 其中⎨ * ⎪ jX I (k ) = DFT [ xop (n)] = 0.5[ X (k ) − X (k )] ⎩
m =0 N −1
x1(n)
3
0
2
1
1 1
0 1
n
x2(n)
1
0
1
1
n
⎯ x ⎯⎯ ⎯ x 特点：x1 (n)、x 2 (n) ⎯⎯ ⎯ → ~1 (n)、~2 (n) ⎯周期卷积 → 截主周期 ~ (n) * ~ (n) ⎯⎯ ⎯ → ~ (n) * ~ (n) R (n) ⎯ x x x x
数字信号处理第4章PPT课件
第24页/共27页
4 快速卷积型
利用圆周卷积定理，采用FFT实现有限长序列x(n)和h(n)的线性卷积，则可得到FIR滤 波器的快速卷积结构
x(n)
L 点 X(k)
X(k)·H(k) L 点
y(n)
FFT
IFFT
H(k )
L点 FFT
h(n) FIR的快速卷积型结构
第25页/共27页
THE END
i0
i1
令M=N时，方程对应的信号流图可表示成
第12页/共27页
N
N
y(n) bi x(n 1) ai y(n i)
i0
i 1
直接3;1个乘法器
第13页/共27页
2. 直接型(II型 )---正准型结构
N
N
y(n) bi x(n 1) ai y(n i)
FIR滤波器结构通常采用非递归结构。基本网络结构包括直接型、级联型、 频率采样型与快速卷积型
1 直接型 (卷积型、横截型)
FIR数字滤波器的h(n)，传递函数和差分方程分别为
N 1
H (z) h(n)zn
n0 N 1
y(n) h(m)x(n m)
m0
第18页/共27页
▪ FIR的直接型结构
|Hc(e j)|
x(n)
yc(n)
－z－N
o 2 / N
▪ FIR滤波器的频率采样型结构
H ( z)
1 N
(1
z
N
)
N 1 k 0
1
H (k ) WNk z
1
第23页/共27页
▪ 频率采样型结构的优点： • 可直接控制滤波器的响应 • 结构便于标准化、模块化
▪ 结构的缺点： • H(k)和WN-k一般为复数，硬件实现不方便 • 寄存器的有限字长效应会影响系统的稳定性
4 快速卷积型
利用圆周卷积定理，采用FFT实现有限长序列x(n)和h(n)的线性卷积，则可得到FIR滤 波器的快速卷积结构
x(n)
L 点 X(k)
X(k)·H(k) L 点
y(n)
FFT
IFFT
H(k )
L点 FFT
h(n) FIR的快速卷积型结构
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THE END
i0
i1
令M=N时，方程对应的信号流图可表示成
第12页/共27页
N
N
y(n) bi x(n 1) ai y(n i)
i0
i 1
直接3;1个乘法器
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2. 直接型(II型 )---正准型结构
N
N
y(n) bi x(n 1) ai y(n i)
FIR滤波器结构通常采用非递归结构。基本网络结构包括直接型、级联型、 频率采样型与快速卷积型
1 直接型 (卷积型、横截型)
FIR数字滤波器的h(n)，传递函数和差分方程分别为
N 1
H (z) h(n)zn
n0 N 1
y(n) h(m)x(n m)
m0
第18页/共27页
▪ FIR的直接型结构
|Hc(e j)|
x(n)
yc(n)
－z－N
o 2 / N
▪ FIR滤波器的频率采样型结构
H ( z)
1 N
(1
z
N
)
N 1 k 0
1
H (k ) WNk z
1
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▪ 频率采样型结构的优点： • 可直接控制滤波器的响应 • 结构便于标准化、模块化
▪ 结构的缺点： • H(k)和WN-k一般为复数，硬件实现不方便 • 寄存器的有限字长效应会影响系统的稳定性
数字信号处理课件(第4章 快速傅里叶变换)
X 1 (k )
（4-8） （4-9）
N X 2 k X 2 (k ) 2
式（4-8）、式（4-9）说明了后半部分k值（N/2≤k≤N-1）所对应
的X1(k)， Ｘ 2(k)分别等于前半部分k值（0≤k≤N/2-1）所对应的 X1(k)，X2(k)。
第4章 快速傅里叶变换 再考虑到WkN 的以下性质:
X (k ) x(n )W
n 0
N 1
nk N
k=0, 1, …, N-1
（4-1）
反变换（IDFT）为
1 x ( n) N
X (k )W
k 0
N 1
nk N
n=0, 1, …, N-1
（4-2）
第4章 快速傅里叶变换 二者的差别只在于WN的指数符号不同，以及差一个常数乘 因子1/N，所以IDFT与DFT具有相同的运算工作量。 下面我们
N N X k X1 k W 2 2
k N N k 2 N
N X2k 2
（4-12）
X 1 (k ) W X 2 (k )
N k 0,1,, 1 2
第4章 快速傅里叶变换
X1 (k)
第4章 快速傅里叶变换 例1 根据式（4-1），对一幅N×N点的二维图像进行DFT变
换，如用每秒可做10万次复数乘法的计算机，当N=1024时，问
需要多少时间（不考虑加法运算时间）？ 解 直接计算DFT所需复乘次数为（N2)2≈1012次，因此用每秒可做
10万次复数乘法的计算机，则需要近3000小时。
N 1 2 r 0
rk k rk k X (k ) x1 ( r )WN / 2 WN x2 ( r )WN / 2 X 1 (k ) WN X 2 (k )
程佩青_数字信号处理_经典版(第四版)_第4章_4.5IDT的IFFT
以上三个算法均要求： N 2M
Winograd 算法：1976年提出，是具有鲜明特 色的FFT! 用到较多的数论知识，可用于N不 等于2的整次幂。
FFT应用
2020/4/20
9
混合基FFT算法
序列x(n)长度为N=pq,将其按时间抽取方式分解 为p个q点序列
X (k) X1(k) WNk X2 (k) WN2k X3(k) ...WN( p1)k X p (k)
应当保证加窗处理在补零处理之前进行。
FFT应用
2020/4/20
16
3. 对输入数据序列加窗以减小FFT的频谱泄漏 为了减小频谱泄漏，需要选择其它形状（非矩形）的窗，
这些窗的前后沿变化比较缓慢，因而它们的频谱的旁瓣幅度 都比矩形窗的低而且衰减较快。但是，这些窗的频谱的主瓣 都比矩形窗的宽，因此分辨率比矩形窗的低。
也就是说，采用其它形状的窗减小频谱泄漏是以降低频 率分辨率为代价的。
基p时间抽取FFT算法的基本关系
X (m) X1(m) WNm X2 (m) WN2m X3(m) ...WN( p1)m X p (m)
FFT应用
2020/4/20
8
混合基FFT算法
基－2 算法： 1965年， DSP 发展的里程碑； 基－4 算法 : 对基－2 算法的改进； 分裂基算法： 1984年， 接近最优的 FFT！
数字信号处理
(Digital Signal Processing)
2020/4/20
物理与电子信息学院 电子信息系
1
离散傅里叶变换快速算法(FFT)
❖ 问题的提出 ❖ 解决问题的思路与方法 ❖ 基2时间抽取FFT算法 ❖ 基2频率抽取FFT算法 ❖ FFT算法的实际应用——
数字信号处理课件--第四章1快速傅里叶变换-PPT精品文档
第四章学习目标
运算流图、所需计算量和算法特点 运算流图、所需计算量和算法特点
理解IFFT算法
理解按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理、
理解按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理、
课件
1
第四章 快速傅里叶变换
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley, Tukey 《机器计算傅里叶级数的一种算法》
课件
实数乘法 4
实数加法 2 2 2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)
4
W的 特 性
n k N
nk W N e
j
2 nk N
对 称 性 ( W ) W W W nN nk Nk nk W N W N W N W N
n k ( N n ) k n ( N k ) 周 期 性 W W W N N N
k X ( k ) X ( k ) W k ) N 2 5 N /2X 6( k 0,1 ,..., 1 N 4 k X ( k ) X ( k ) W X ( k ) 2 5 N /2 6 4
课件 8
再利用周期性求X(k)的后半部分
Xk , Xk 是 以 N / 2 为 周 期 的 1 2 N Xk Xk 1 1 2
N k 2 N
N X k Xk 2 2 2
N / 2 k k 又 W WW W N N N
n k m n k n k n k /m 可 约 性 WW W W N m N N Nm /
2 j m nk mN
n k * n k ( N n ) k n ( N k ) N N N N
运算流图、所需计算量和算法特点 运算流图、所需计算量和算法特点
理解IFFT算法
理解按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理、
理解按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理、
课件
1
第四章 快速傅里叶变换
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley, Tukey 《机器计算傅里叶级数的一种算法》
课件
实数乘法 4
实数加法 2 2 2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)
4
W的 特 性
n k N
nk W N e
j
2 nk N
对 称 性 ( W ) W W W nN nk Nk nk W N W N W N W N
n k ( N n ) k n ( N k ) 周 期 性 W W W N N N
k X ( k ) X ( k ) W k ) N 2 5 N /2X 6( k 0,1 ,..., 1 N 4 k X ( k ) X ( k ) W X ( k ) 2 5 N /2 6 4
课件 8
再利用周期性求X(k)的后半部分
Xk , Xk 是 以 N / 2 为 周 期 的 1 2 N Xk Xk 1 1 2
N k 2 N
N X k Xk 2 2 2
N / 2 k k 又 W WW W N N N
n k m n k n k n k /m 可 约 性 WW W W N m N N Nm /
2 j m nk mN
n k * n k ( N n ) k n ( N k ) N N N N
数字信号处理--数字信号处理(4)幻灯片PPT
y) 1
（1） 试判断该系统是否为非移变系统？是否为线性系统？
（2） 若其他条件不变，但 y(0) 0 ，系统的非移变性和线性性是否会改变？
本章主要内容：
统
1、连续信号的采样与恢复：信号的采样和数学模型；采样信号的频域表示； 采样定理；采样信号到连续信号的恢复。
2、离散时间序列：离散时间信号的序列表示；序列的运算规则；几种常用序 列；离散序列的线性卷积的定义和性质；线性卷积的计算方法。
3、离散系统及其特性：离散时间系统定义和数学描述；线性非时变离散系统 的定义； LTI系统的冲击响应序列； LTI系统的稳定性和因果性； LTI系统的 差分方程描述。
2021/5/25
课件
3
本章主要要求掌握的内容：
本章介绍了数字信号处理的一些基本定义和数学方法。 1、数字信号的序列表示和数学运算。 2、数字信号与连续信号的关系——采样定理的物理意义和数学描述。 3、LTI系统的时域描述、频域描述和Z域描述。（输入、输出信号之间的关系 ） 4、Z变换数学工具的使用：序列的Z变换及其收敛域的计算 ；用Z变换计算 系统函数，分析LTI系统的特性。
2021/5/25
课件
5
第 4 章快速傅氏变换
本章主要内容： 1、FFT计算原理。 2、基2时间抽取算法和频率抽取算法。 3、线性调频Z变换算法。 4、实数序列的FFT高效算法。 5、FFT的应用。
本章主要要求掌握的内容：
1、FFT的计算方法。 2、FFT应用于频谱分析和快速卷积。
2021/5/25
本章主要要求掌握的内容：
1、理想滤波器的特性和连续函数逼近方法。 2、 IIR滤波器的予畸双线性变换设计法。 3、 IIR数字滤波器变换算法。
数字信号处理课件 第4章 The Fast Fourier Transform
From the definition of WN ,
WN0
e j 2 0/ N
1 and
W N/2 N
e j 2N / 2 N
1.
So the 2-point DFT blocks in Figure 4-3 can be replaced by the butterfly in Figure 4-4
The phase angles Xø(m) of the individual FFT outputs are given by
X
(m)
tan1
X image (m) X real (m)
5
4.4. DERIVATION OF THE RADIX-2 FFT ALGORITHM
x(n) is segmented into its even and odd indexed elements
We represent X(m+N/2) as
( N / 2)1
( N / 2)1
X (m N / 2)
x(2n)WNnm/ 2 WNm
x(2n 1)WNnm/ 2
8
n0
n0
See the similarity
( N /2)1
( N /2)1
X (m)
x(2n)WNnm/2 WNm
( N / 4)1
B(m)
x(2 p)WNp/m4 WNm/ 2
x(2 p 1)WNp/m4
p0
p0
For any N-point DFT, we can break each of the N/2-point DFTs into two N/4-point DFTs to further reduce the number of sine and cosine multiplications. Eventually, we would arrive at an array of 2-point DFTs where no further computational savings could be realized.
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4
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems 4.1 Discrete-time system examples (2) Moving-Average Filter If multiple measurements are available
Causal system
The n_0 output sample y[n_0] depends only on input samples x[n] for n<=n_0, and do not depend on input samples for n>n_0 For a causal system, changes in the output samples do not precede changes in the input samples Interpolator is not a causal system
Passive and lossless system
13
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems 4.3 Impulse and step responses Unit impulse response, or impulse response
Eg. Accumulator form-1 is linear:
Eg. Accumulator form-2 is not linear:
11
Digital Signal iang
Discrete-Time Systems 4.2 Classification of DT systems Shift invariant system and time shift invariant
3
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems 4.1 Discrete-time system examples (1) Accumulator Form 1: Form 2: Form 3:
Corresponding with the integral for analog signal
17
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems 4.4 Time-domain characteristics of LTI
An LTI system is completely characterized by its impulse response
Example 4.15 Question: For double-side sequences, where is the location of n=0?
16
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems 4.4 Time-domain characteristics of LTI
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems 4.1 Discrete-time system examples (3) Exponentially Weighted Running Average Filter Why: Place more emphasis on recent data samples and less emphasis on samples that are further away. Why call it “exponentially”?
Causality condition in terms of impulse response
8 7 6 5 5
Amplitude
8 d[n] s[n] x[n] 7 6 s[n] y[n]
4 3 2 1 0 -1
Amplitude
4 3 2 1 0
0
5
10
15
20 25 30 Time index n
35
40
45
50
0
5
10
15
20 25 30 Time index n
35
40
45
50
6
Digital Signal Processing
The response of a system to a unit sample sequence.
Unit step response, or unit response Eg. 4.9, 4.10
14
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems 4.4 Time-domain characteristics of LTI Input-output relationship
Proof:
Properties of convolution
Commutative:
Associative:
Distributive:
15
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems 4.4 Time-domain characteristics of LTI Tabular method of convolution sum computation
© 2013 Jimin Liang
Digital Signal Processing
Chapter 04-1-Discretre-Time Systems
Dr. Jimin Liang School of Life Sciences and Technology
Xidian University
jimleung@
Steps
Zero padding Sliding a window of odd length Median filtering
10
Program_4_2.m
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems 4.2 Classification of DT systems Linear system
7
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems 4.1 Discrete-time system examples (4) Linear Interpolator Why: for signal up-sampling or down-sampling, especially for images. Steps
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems Outline Discrete-time system examples Classification of DT systems Impulse and step responses Time-domain characteristics of LTI Simple interconnection schemes
How can it reduce the noise level?
If measurements cannot be repeated
It is a lowpass filter
5
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems 4.1 Discrete-time system examples (2) Moving-Average Filter Matlab: program_4_1.m (filter, rand)
An LTI system is completely characterized by its impulse response
Stability condition in terms of impulse response
An LTI system is BIBO stable if and only if its impulse response sequence is absolutely summable.
Process a given sequence, called the input system, to generate another sequence, called the output sequence, with more desirable properties or to extract certain information about the input signal. DT system is usually also called the digital filter
9
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems 4.1 Discrete-time system examples
(5) Median filter
Why: remove additive impulse noise Definition: The median of a set of (2K+1) numbers is the number such that K number form the set have values greater than this number, while other K numbers have values smaller.
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Discrete-Time Systems 4.1 Discrete-time system examples (2) Moving-Average Filter If multiple measurements are available
Causal system
The n_0 output sample y[n_0] depends only on input samples x[n] for n<=n_0, and do not depend on input samples for n>n_0 For a causal system, changes in the output samples do not precede changes in the input samples Interpolator is not a causal system
Passive and lossless system
13
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Discrete-Time Systems 4.3 Impulse and step responses Unit impulse response, or impulse response
Eg. Accumulator form-1 is linear:
Eg. Accumulator form-2 is not linear:
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Digital Signal iang
Discrete-Time Systems 4.2 Classification of DT systems Shift invariant system and time shift invariant
3
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Discrete-Time Systems 4.1 Discrete-time system examples (1) Accumulator Form 1: Form 2: Form 3:
Corresponding with the integral for analog signal
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Discrete-Time Systems 4.4 Time-domain characteristics of LTI
An LTI system is completely characterized by its impulse response
Example 4.15 Question: For double-side sequences, where is the location of n=0?
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Discrete-Time Systems 4.4 Time-domain characteristics of LTI
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Discrete-Time Systems 4.1 Discrete-time system examples (3) Exponentially Weighted Running Average Filter Why: Place more emphasis on recent data samples and less emphasis on samples that are further away. Why call it “exponentially”?
Causality condition in terms of impulse response
8 7 6 5 5
Amplitude
8 d[n] s[n] x[n] 7 6 s[n] y[n]
4 3 2 1 0 -1
Amplitude
4 3 2 1 0
0
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The response of a system to a unit sample sequence.
Unit step response, or unit response Eg. 4.9, 4.10
14
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Discrete-Time Systems 4.4 Time-domain characteristics of LTI Input-output relationship
Proof:
Properties of convolution
Commutative:
Associative:
Distributive:
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Discrete-Time Systems 4.4 Time-domain characteristics of LTI Tabular method of convolution sum computation
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Chapter 04-1-Discretre-Time Systems
Dr. Jimin Liang School of Life Sciences and Technology
Xidian University
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Steps
Zero padding Sliding a window of odd length Median filtering
10
Program_4_2.m
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Discrete-Time Systems 4.2 Classification of DT systems Linear system
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Discrete-Time Systems 4.1 Discrete-time system examples (4) Linear Interpolator Why: for signal up-sampling or down-sampling, especially for images. Steps
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Discrete-Time Systems Outline Discrete-time system examples Classification of DT systems Impulse and step responses Time-domain characteristics of LTI Simple interconnection schemes
How can it reduce the noise level?
If measurements cannot be repeated
It is a lowpass filter
5
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Discrete-Time Systems 4.1 Discrete-time system examples (2) Moving-Average Filter Matlab: program_4_1.m (filter, rand)
An LTI system is completely characterized by its impulse response
Stability condition in terms of impulse response
An LTI system is BIBO stable if and only if its impulse response sequence is absolutely summable.
Process a given sequence, called the input system, to generate another sequence, called the output sequence, with more desirable properties or to extract certain information about the input signal. DT system is usually also called the digital filter
9
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Discrete-Time Systems 4.1 Discrete-time system examples
(5) Median filter
Why: remove additive impulse noise Definition: The median of a set of (2K+1) numbers is the number such that K number form the set have values greater than this number, while other K numbers have values smaller.