浅谈三角函数有理式积分的求法

浅谈三角函数有理式积分的求法

摘要：本文主要通过恒等变形法、凑微分法、变量代换法、裂项法等方法对三角函数有理式积分的求法进行了一些探讨。

关键词：三角函数有理式积分

R（sinx，cosx）表示以sinx、cosx为变元的有理式，即对于sinx、cosx及常数施行有理运算即加减乘除四则运算的结果。如、、等。它们都是对cosx、sinx 及常数施行有理运算得到的结果。笔者对形如R（sinx，cosx）dx的积分算法做了一些探讨，下面就对此类方法作一介绍。

1 恒等变形法

由于三角函数有许多特有的性质，如各种三角函数之间有一些公式相互联系，三角函数的导数仍是三角函数，如sin2x+cos2x=1，（sin2x+cos2x）2=1，1+tan2x=sec2x，（sinx）′=cosx等，这使得三角函数有理式的积分可通过三角函数的恒等变形，将其化为分项积分求出。一般通过适当的三角恒等式及有关的三角函数的微分公式就能把这些积分求出。

例1：求（sin3x+cos2x）dx；

解：原式= sin3xdx +cos2xdx

=（cos2x-1）d cosx + （1+cos2x）dx

=cos3x-cosx+x+sin2x+C

例2：求dx；

解：原式=cot2xcsc4xdx=-cot2x（1+cot2x）dcotx

=-cot3x-cot5x+C

例3：求dx；

解：原式=（1-）dx = x-dx

=x-dx = x-dx

=x-dtanx=x-arctan（tanx）+C

例4：求dx；

解：设3sinx+2cosx=A（2sinx+3cosx）+B（2sinx+3cosx）′

= A（2sinx+3cosx）+B（2cosx-3sinx）

比较上式两端sinx与cosx的系数，得到

2A-3B=33A+2B=2 ，解得：A=，B=-

故原式= dx

= x-ln|2sinx+3cosx|+C

2 凑微分法

此类方法需熟练地运用有关微分公式，通过一些微分关系式凑微分求之。

例5：求dx；

解：原式=dsinx=

= =arctan（2sin2x-1）+C

例6：求dx；

解：原式=•dx= •dsinx

= dlnsinx = lnlnsinx+C

3 变量代换法

这种求三角函数有理式积分的基本思想是通过变量代换，把积分变成新变量的有理式积分。常用的变量代换有

（1）余弦代换法：即作变量代换u=cosx，把被积函数化为u的有理函数，此代换法称为余弦代换法。

（2）正弦代换法：即作变量代换u=sinx，把被积函数化为u的有理函数，称此代换法为正弦代换法。

（3）正切或余切代换法：即作变量代换tanx=u，或cotx=u，把被积函数化

为u的有理函数，称此代换法为正切或余切代换法。

（4）万能变换：即作变量代换u=tan，把被积函数化为u的有理函数，称此变换为万能变换。

例7：求cos2xsin5xdx；

解：原式=cos2xsin4x•sinxdx =-cos2x（1-cos2x）2dcosx

= -（cos2x-2cos4x+cos6x）dcosx

= -cos3x+cos5x-cos7x+C

例8：求dx；

解：令t=x+，则原式=dx

=dt = （1-）dt

=1dt-dsint = -ln|sint|+C

= x+-lnsinx++C

例9：求dx；

解：令u=tan，sinx=，cosx=，dx=

故原式=•du=du=(1+)du

=u+ln(1+u2)+C = tan+ln(1+tan2)+C

=tan+lnsec2+C = tan-2lncos+C

4 裂项法

有些三角有理分式函数，其分母由两个或多个因子所组成，有时可用裂项法将被积函数拆分两（多）项的代数和，从而求出其积分。

例10：求dx；

解：原式=dx =dx+dx

= -dcosx -dcosx +dx

= ++ln|cscx-cotx|+C

例11：求dx；

解：原式=- -dx

= -dx-2dx+dx

= ln(2+cosx)+2ln|cscx-cotx|-ln|sinx|+C

参考文献：

[1]何瑞文.高等数学[M].西南交通大学出版社，2003.8.

[2]朱弘毅.高等数学[M].上海科学技术出版社，2001.6.

[3]廖玉麟等.高等数学试题精选题解[M].华中科技大学出版社，2001.10.

[4]龚漫奇.高等数学习题课教程[M].科学出版社，2001.2.