经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
几个经典不等式的关系
一 几个经典不等式
（1）均值不等式
设12,,0n a a a >是实数
22
212
122
12111+n
n
n n n
a a a a a a n
a n
n
a a a ++++++≤≤≤
++
其中0,1,2,i a i n >=.当且仅当12n a a a ==
=时，等号成立.
（2）柯西不等式
设1212,,,,,
n n a a a b b b 是实数，则
()()()2
2
22222
12121122n n n n a
a a
b b b a b a b a b ++
+++
+≥++
+
当且仅当0(1,2,,)i b i n ==或存在实数k ，使得(1,2,
,)i i a kb i n ==时，等号成立.
（3）排序不等式
设12n a a a ≥≥≥，12n b b b ≥≥≥为两个数组，12n c c c ，，，是12n b b b ，,，的任一排列，
则
112211221211n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -++
+≥++
+≥++
+
当且仅当12n a a a ==
=或12n b b b ===时，等号成立.
（4）切比晓夫不等式
对于两个数组：12n a a a ≥≥
≥，12n b b b ≥≥
≥，有
112212121211
n n
n n n n n a b a b a b a a a b b b a b a b a b n
n n n -++
+++++++++
+⎛⎫⎛⎫≥≥
⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭
当且仅当12n a a a ==
=或12n b b b ===时，等号成立.
二 相关证明
（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式
证明：由
()()()
1122121211221212n n
n n n n n n a b a b a b a a a b b b n
n n n a b a b a b a a a b b b ++
+++++++⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⇔++
+≥++++++
而
()()
121211221223113242142531122
1211
n n n n n n n n n n n n n n a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---++++++=++++++++++++++++
+++
+++++
根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得
()()()11221212n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≥+++++
+
即得
11221212n n n n a b a b a b a a a b b b n n n +++++
+++
+⎛⎫⎛⎫
≥
⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭ 同理，根据“乱序和≥反序和”，可得
12121211
n n n n n a a a b b b a b a b a b n n n -++++++++
+⎛⎫⎛⎫≥
⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭
综合即证
（2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”122n
n a a a a n
++
+≤
证明：构造两个数列：
12112122,,1n n n a a a a a a
x x x c c c
=
=== 2121121212111,,1n
n n n
c c c y y y x a x a a x a a a =======
其中2
n c a =.因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的和：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
1122n n x y x y x y ++
总是两数组的反序和．．．．．．．．．
.于是由“乱序和≥反序和”，总有 12111122n n n n n x y x y x y x y x y x y -++
≥++
于是
12
111n
a a a c c
c
+++
≥+++
即
12n
a a a n c
++
+≥
即证
122n
n a a a c a n
++
+≥=
（3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”：22
21
212n
n
a a a a a a n
n
++
++++≤
证明：不妨设12n a a a ≥≥≥， 22
21212n
n
a a a a a a n
n
++
++++≤
22
2
12
1212n n n
a a a a a a a a a n n n +++++
+++
+⎛⎫⎛⎫⇔≤ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
.
由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证. （4）用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式”
1212
111+n
n
a a a n n
a a a ++
+≤
++
证明：
1212
111+n
n
a a a n n
a a a ++
+≤
++
12
12
12
12
11
111
1+
1n n n n
a a a a a a a a a a a a n n n ⎛⎫++
⋅+⋅++⋅
⎪+++⎛⎫
⎪⇔≥=
⎪
⎪
⎝
⎭ ⎪⎝
⎭
.