密码学数学基础第九讲 环
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密码技术基础ppt课件
2
加密和解密
KD KE
M
C
加密
C
M
解密
加密
解密
M：明文 C：密文 KE：加密密钥 KD：解密密钥
3
● 密码技术为电子商务提供的服务： ● 秘密性 ● 不可否认性 ● 验证 ● 完整性
4
● 密码技术包括： ● 密码设计、密码分析、密码管理、验证
技术等内容。 ● 密码设计的基本思想是伪装信息，使局
23
3 DES算法 DES的产生-i
● 1973年5月15日, NBS开始公开征集标准加密算 法,并公布了它的设计要求:
(1)算法必须提供高度的安全性 (2)算法必须有详细的说明,并易于理解 (3)算法的安全性取决于密钥,不依赖于算法 (4)算法适用于所有用户 (5)算法适用于不同应用场合 (6)算法必须高效、经济 (7)算法必须能被证实有效 (8)算法必须是可出口的
33
DES的破译
● 1990年，以色列密码学家Eli Biham和Adi Shamir提出了差分密码分析法，可对DES 进行选择明文攻击。
● 线性密码分析比差分密码分析更有效
34
双重DES
● 对DES加密算法的改进，用两个密钥对明 文进行两次加密。
● 假设两个密钥是K1和K2，步骤是： ● 用密钥K1进行DES加密； ● 用K2对步骤1的结果进行DES解密。
17
● 将其按顺序分为5个字符的字符串： ● Itcan ● Allow ● Stude ● Ntsto ● Getcl ● Oseup ● Views
18
● 再将其按先列后行的顺序排列，就形成 了密文：
● C： IASNGOVTLTTESICLUSTEEAODTCU WNWEOLPS
加密和解密
KD KE
M
C
加密
C
M
解密
加密
解密
M：明文 C：密文 KE：加密密钥 KD：解密密钥
3
● 密码技术为电子商务提供的服务： ● 秘密性 ● 不可否认性 ● 验证 ● 完整性
4
● 密码技术包括： ● 密码设计、密码分析、密码管理、验证
技术等内容。 ● 密码设计的基本思想是伪装信息，使局
23
3 DES算法 DES的产生-i
● 1973年5月15日, NBS开始公开征集标准加密算 法,并公布了它的设计要求:
(1)算法必须提供高度的安全性 (2)算法必须有详细的说明,并易于理解 (3)算法的安全性取决于密钥,不依赖于算法 (4)算法适用于所有用户 (5)算法适用于不同应用场合 (6)算法必须高效、经济 (7)算法必须能被证实有效 (8)算法必须是可出口的
33
DES的破译
● 1990年，以色列密码学家Eli Biham和Adi Shamir提出了差分密码分析法，可对DES 进行选择明文攻击。
● 线性密码分析比差分密码分析更有效
34
双重DES
● 对DES加密算法的改进，用两个密钥对明 文进行两次加密。
● 假设两个密钥是K1和K2，步骤是： ● 用密钥K1进行DES加密； ● 用K2对步骤1的结果进行DES解密。
17
● 将其按顺序分为5个字符的字符串： ● Itcan ● Allow ● Stude ● Ntsto ● Getcl ● Oseup ● Views
18
● 再将其按先列后行的顺序排列，就形成 了密文：
● C： IASNGOVTLTTESICLUSTEEAODTCU WNWEOLPS
大学安全工程之密码学2第二章 密码学的数学基础
第二章密码学的数学基础•数论－素数－模运算•代数结构•安全性基础－信息论－复杂性理论1为何讲素数？•为何讲数？－加（解）密：数字变换－信息：离散事件－例：A(0),B(1),…,Z(25)•为何讲素数？－素数是数的基础2素数与合数•定义：整数p是一个素数，如果它只能被+p, -p,+1,-1整除．－例：2,3,5,7,11,13,17,…,101,…•全体素数的集合记为P．•定义：如果整数n不是素数，则它是一个合数．－例：4,9,187,900,…4•Theorem:(Fundamental Theorem of Arithmetic)∀n∈N n= p1e1p2e2…pke k ( or Πp i∈Pp e i)where e p is the exponent of the prime factor p•Note:the result of factorization is unique •Example:84=22×3×7数的因子分解56素数•Theorem:There are infinitely many primes •Proof:(by contradiction)Assume , build a number N is There N is a new prime.maxP 1...max 21+=P P P N8Finding GCD•Theorem:•Example:•Complexity∏∏∏=⇒=∧=i b a ib i i a i i i i i i p b a p b p a ),min(),gcd(637*3),gcd(11*7*5*334657*3*28822322==⇒====b a b a )()()(n o c o n T band a the factoring Need =••10Euclidean Algorithm),gcd(:300...:2,:1111123221211010b a r step r and r until r r q r r r q r r r q r step br a r step n n n nn n n =≠=+=+=+===−−−−−16Congruence Relation （同余关系）•同余关系是一个等价关系－自反性－对称性－传递性•等价关系划分⇒ca cb b a ab b a aa ≡⇒≡∧≡≡⇒≡≡Modular Arithmetic（模运算）•We can define the modular arithmetic in the set of integers: Z n={0, 1, 2, …, n-1}•Under normal arithmetic (+,×)–[(a mod n) +(b mod n)] mod n = (a+b) mod n•Proof:Let a=q1n+r1, b=q2n+r2•(a+b) mod n = (q1n+r1+q2n+r2) mod n = (r1+r2) mod n–[(a mod n) ×(b mod n)] mod n = (a×b) mod n •(+, ×)→(-,÷) ?1819模运算：举例１•(Z 8={0, 1, 2, …, 7}, +)What?模运算说明•Additive Inverse Always Exists–(a+(-a)) = 0 mod n ⇒-a = n-a–if (a+b) ≡(a+c) mod n then b≡c mod n•((-a)+a+b) ≡((-a)+a+c) mod n•Multiplicative Inverse NOT Always Exists –Example:6 in Z8–When?21模运算中的乘法逆•Definition:a-1mod n is the multiplicative inverse of a∈{1,2,…,n-1} when ax≡1mod n•Theorem: If and only if gcd(a,n)=1, then the a-1 mod n exists•Lemma:If gcd(a,n)=1, then a⋅i≠a⋅j mod n for all 0≤i<j<n (i ≠j)–Proof:assume a⋅i≡a⋅j mod n⇒n|a(i-j) ⇒n|i-j⇒i-j=022乘法逆定理•Proof:•⇒–gcd(a,n)=1 ⇒a·{1,…,n-1} mod n is the permutationof {1,…,n-1}–So there exists only an i that a⋅i≡1 mod n–Therefore i is a-1mod n•⇐–Suppose a-1exists, call it x–ax ≡1 (mod n) and ax + yn= 1 for some integer y–gcd(a, n)=1 (gcd(a,n)|ax+yn→gcd(a,n)|1)23如何找到a-1mod n？•在{1,…,n-1} 中寻找,直到找到一个a-1,使得a·a-1≡1 (mod n)–T(n)=O(n)•计算a-1= aϕ(n)-1mod n–寻找ϕ(n) ⇔分解n–T(n)=O(n a)•用Extended Euclidean Algorithm–T(n)=O(log a n)2426求a-1mod ngcd(n,a)•n=aq 1+r 1 r 1=n-aq 1= s 0n+t 0a •a= r 1q 2+r 2 r 2= a-r 1q 2 =s 1n+t 1a ……•r k-1 =s k-1n+t k-1a•r k-1=gcd(n, a)•若gcd(n, a) =1，则s k-1n+t k-1a =1 ⇒t k-1a ≡1 mod n ⇒t k-1≡a -1mod nGCD(1970,1066)1970=1*1066+904 gcd(1066,904)1066=1*904+162 gcd(904,162)904=5*162+94 gcd(162,94)162=1*94+68 gcd(94,68)94=1*68+26 gcd(68,26)68=2*26+16 gcd(26,16)26=1*16+10 gcd(16,10)16=1*10+6 gcd(10,6)10=1*6+4 gcd(6,4)6=1*4+2 gcd(4,2)4=2*2+0 gcd(2,0)如何找到t k-1 ?28Step 1:r 0 =n and r 1 =aStep 2:r 0 =q 1r 1+r 2 Ær 2 =r 0 -q 1r 1 =-q 1r 1 mod nlet x 2= -q 1then r 2 =x 2r 1 mod nr 1 =q 2r 2+r 3 Ær 3 =r 1 –q 2r 2 =(1-x 2q 2)r 1 mod nlet x 3= 1-x 2q 2then r 3 =x 3r 1 mod n ……r n-3 = q n-2r n-2+r n-1 Ær n-1 =r n-3 –q n-2r n-2 mod nlet x n-1= x n-3-x n-2q n-2then r n-1 =x n-1r 1 mod n Now r n-1=1Step 3:Result is x n-2 =a -1mod nExtended Euclidean Algorithm29例：求7-1mod 26r 4 = r 2 -2r 3= r 2-2(r 1-r 2)= -2r 1+3r 2= -2r 1+3(r 0-3r 1)= 3r 0-11r 1⇒t 4= -11⇒7-1mod 26 = 15r 0 q 1 r 1r 226=3*7+5r 1 q 2 r 2r 37 =1*5+2r 2 q 3 r 3r 45 =2*2+1例：求3-1mod 26=930Euler phi Function•是在比n 小的正整数中与n 互素的数的个数．•例如：•若n 是素数，则显然有φ(n)=n-1。
密码学中的数论基础课件
02
RSA算法的安全性基于大数分解的难度，使得 加密和解密过程更加复杂。
03
RSA算法广泛应用于数据传输和网络安全领域 。
ElGamal算法
ElGamal算法是一种基于离散对数问题的公钥加密算法。 该算法利用了数论中的离散对数问题，使得加密和解密过程更加高效。
ElGamal算法在数字签名和密钥协商等领域也有广泛应用。
展望：量子密码学与后量子密码学的未来发展
后量子密码学
后量子密码学是指那些在量子计算机时代仍然具有优 势的密码系统。随着量子计算机的发展，许多传统的 加密算法可能会被破解，而后量子密码学则能够提供 更为安全的加密方式。未来，后量子密码学会得到越 来越广泛的应用和发展。
THANKS
和窃听的风险。
复杂性
为了实现更高级别的 安全性，密码学需要 处理复杂的数学问题 和计算难题。这使得 密码学在实际应用中 面临一定的复杂性挑
战。
可用性
密码学需要保证信息 的可用性和完整性。 在现实生活中，由于 各种原因，如网络延 迟、系统故障等，可 能会出现信息不可用
或损坏的情况。
隐私保护
随着大数据和人工智 能的发展，个人隐私 保护成为一个重要的 问题。密码学需要在 保证信息传输安全的 同时，确保个人信息 不被泄露和滥用。
圆曲线等。
第四部分
04
介绍密码学中的一些现代协议，如密钥交换协 议、数字签名方案和零知识证明等，并介绍其
原理、实现和应用。
02
数论基本概念
整数的性质
整数的分类
正整数、负整数和零。
整数的性质
加法、减法、乘法和除法等运算的封闭性、交换 律、结合律等。
整数的基本运算
加法、减法、乘法和除法等。
信息安全数学基础ch10环
第九章 环
定义 设R是至少含有两个元素的环， 1如果R中每个非零元均可逆，则称R是一个除环。 2交换的除环称为域。 除环中所有非零元素构成的集合在乘法下构成一个群。
第九章 环
例 设p是一个素数，则(Zp,+,.)是一个域。 1假定[a]≠[0]，有(a,p)=1; 2存在s,t∈Z使得 as+pt=1; 3as≡1(modp); 4[as]=[1]=>[a].[s]=[1]。
第九章 理想商环
定义 设(R,+,.)是一个环，S是R的非空子集，如果S关于R的 运算也构成环，则称S是R的子环. 例 整数环Z是有理数环Q的子环。 例 (mZ,+,.)={mk|k∈Z}是整数环Z的子环； mZ在Z的加法和乘法下封闭； 容易看出mZ在Z的加法和乘法下构成一个环； mZ是Z的子环。
第九章 理想商环
定义 设(R,+,.)是环，I是R的一个子环，如果对任意的a∈I 和任意r∈R,均有ra∈I;ar∈I,则称I是R的一个理想。 一个环至少有两个理想，即环R本身及{0}，这两个理 想称为环R的平凡理想。
第九章 理想商环
定理 设I是环R的理想，在加法商群R=I上定义如下的乘法 (x+I)+(y+I)=(x+y)+I (x+I).(y+I)=(xy)+I 则上述定义是R/I上一个乘法运算，且R/I关于加法， 乘法构成一个环。 1根据前面的讨论，这里的加、乘运算定义是自恰的。 2环R=I称为R关于理想I的商环。 3在讨论商环时，我们一般把x+I记为x。
f(x)g(x)的m+n次项的系数为anbm； 由于R无零因子，所以anbm≠0； f(x)g(x)≠0。
密码学数学基础第十讲 多项式环(3)
作业： 作业： 1．在Z2[x]中，设 ] f(x)= 7＋x5＋x4＋x3＋x＋1， ( )= )=x ＋ g(x)= 3＋x＋1， ( )= )=x ＋ 计算： ( ) 计算：f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)g(x)及用 (x)除 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )及用g( ) f(x)的商 (x)和余式 (x)。 ( )的商q( )和余式r( ) 2．写出Z2[x]/（x2＋1）的加法和乘法的运算表。 ]/（ 的加法和乘法的运算表。 写出Z ]/ ]/(x 1)上 3．在域Z2[x]/( 4＋x3＋1)上，求x3＋x＋1＋(x4＋x3＋1) 在域Z ]/( ＋ 的逆元。 的逆元。
2．环上的多项式环
定义2 定义2：设R是一个有单位元1的交换环，x是R上的一个 是一个有单位元1的交换环， 是 未定元， 未定元，a0，a1，a2，…，an∈R，称形如 ， f(x)= 0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn )=a ( )= ＋ ＋ 的表达式为R上的x的一个多项式 其中， 的一个多项式， 的表达式为R上的 的一个多项式，其中，aixi称为多项式 f(x)的i次项，ai称为 次项的系数。 次项， 称为i次项的系数 次项的系数。 ( ) 次项 如果an≠0，则称f(x)的次数为n，记做deg (x)= 。 如果 ≠0，则称 ( )的次数为 ，记做degf( )=n。 deg )= 如果在多项式f( ) 同次项的系数都相等， 如果在多项式 (x)与g(x)中，同次项的系数都相等，则称 ( ) f(x)与g(x)相等，记为 (x)= (x)。 )=g( ) ( ) ( )相等，记为f( )= 的多项式构成的集合记为R[ 环R上所有关于x的多项式构成的集合记为R[ ]。 上所有关于 的多项式构成的集合记为R[x]
密码学数学基础第十讲 多项式环3
2．写出Z2[x]/（x2＋1）的加法和乘法的运算表。
3．在域Z2[x]/(x4＋x3＋1)上，求x3＋x＋1＋(x4＋x3＋1) 的逆元。
用F[x]表示系数在域F上的全体多项式的集合。
定理4：F[x]对多项式加法和乘法做成一个整环。
命题1：设F是一个域，对于任意 f(x)，g(x)F[x]，若 g(x)≠0，则必定存在唯一的q(x)，r(x)F[x]，使得 f(x)=q(x)g(x)＋r(x)，其中或者r(x)=0，或者deg r(x)＜ deg g(x)。 q(x)称为用g(x)去除f(x)所得的商，r(x)称为用g(x)去除f(x) 所得的余式。 例3：设f(x)=x3＋x2＋7，g(x)=2x2＋7，分别在Q[x] 和Z11[x]中，求用g(x)除f(x)的商q(x)和余式r(x)。
定理1：设R是一个有单位元的交换环，则一定存在环R上 的一个未定元x。
2．环上的多项式环
定义2：设R是一个有单位元1的交换环，x是R上的一个 未定元，a0，a1，a2，…，anR，称形如 f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn 的表达式为R上的x的一个多项式，其中，aixi称为多项式 f(x)的i次项，ai称为i次项的系数。 如果an≠0，则称f(x)的次数为n，记做degf(x)=n。 如果在多项式f(x)与g(x)中，同次项的系数都相等，则称f(x) 与g(x)相等，记为f(x)=g(x)。 环R上所有关于x的多项式构成的集合记为R[x]。
本节内容
一．环上的多项式环 二．域上的多项式环 三．域上的多项式商环
一．环上的多项式环 1．未定元
定义1：设R是一个有单位元1的交换环，R’是R的扩环， x是R’中的一个元素；如果对R的任意一组不全为零的元素a0，
数学与密码学PPT课件
2021在密码体制中传递者要传递的信息叫做明文传递者用密钥把明文加密变成密文然后把密文传给消息的合法接收者最后消息的合法接受者用同一个密钥或另外一个密钥解密密文得到明因使用密钥个数及方式的不同密码学可分为单钥密码学与双钥密码学相应的密码体制或算法则称为单钥密码体制与双钥密码体制
数学文化 Company LOGO
❖ 而在1929年波兰人却做出了一项卓有远见且 创新的决定：培养数学专业的学生来破译德国人 的密码。因为早在1919年，著名的波兰数学家谢 尔宾斯基和马苏基耶维茨就曾帮助过波军密码局
5
2021
❖ 破译了苏俄的密码.这让波兰人发现了数学对于密 码学的重要意义。 经过层层的筛选，年轻的波兰
数学家雷耶夫斯基，齐加尔斯基和鲁日茨基脱颖 而出，后来破解了曾经被认为是不可能破译的德 国“隐谜”密码。
6
2021
❖ 在波兰密码局工作的年轻数学家们取得了如此巨 大的成就，受到启发的英国人也去找了阿兰·麦席 森·图灵这样一流的数学家来破解密码，同样取得 了意想不到的成功。
❖ 从此人们也不再去依靠语言学
家去研究密码，而是认同了数
学家之于密码学的关键作用。
7
2021
数学在密码学中的应用
8
2021
单表替换加密
❖ 希望大家能从中获得一些领悟。
17
2021
数学文化 Company LOGO
13级计算机与控制工程学院 智能科学与技术专业 1310704焦艳梅
❖ 第二个弱点来自于它的操作流程。每份隐谜电 文的开头都有一组6字母的密钥字符串，它是通过 把反应转轮初始位置的3字母字符串重复加密得到 的。
15
2021
❖ 在解密多表替换密码时，数学家们在多表替换 与单表替换中寻找异同，从变化的替换表中探寻 不变，于是以不变应万变，仍以概率统计的方法 解出了密码。
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❖ 而在1929年波兰人却做出了一项卓有远见且 创新的决定：培养数学专业的学生来破译德国人 的密码。因为早在1919年，著名的波兰数学家谢 尔宾斯基和马苏基耶维茨就曾帮助过波军密码局
5
2021
❖ 破译了苏俄的密码.这让波兰人发现了数学对于密 码学的重要意义。 经过层层的筛选，年轻的波兰
数学家雷耶夫斯基，齐加尔斯基和鲁日茨基脱颖 而出，后来破解了曾经被认为是不可能破译的德 国“隐谜”密码。
6
2021
❖ 在波兰密码局工作的年轻数学家们取得了如此巨 大的成就，受到启发的英国人也去找了阿兰·麦席 森·图灵这样一流的数学家来破解密码，同样取得 了意想不到的成功。
❖ 从此人们也不再去依靠语言学
家去研究密码，而是认同了数
学家之于密码学的关键作用。
7
2021
数学在密码学中的应用
8
2021
单表替换加密
❖ 希望大家能从中获得一些领悟。
17
2021
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13级计算机与控制工程学院 智能科学与技术专业 1310704焦艳梅
❖ 第二个弱点来自于它的操作流程。每份隐谜电 文的开头都有一组6字母的密钥字符串，它是通过 把反应转轮初始位置的3字母字符串重复加密得到 的。
15
2021
❖ 在解密多表替换密码时，数学家们在多表替换 与单表替换中寻找异同，从变化的替换表中探寻 不变，于是以不变应万变，仍以概率统计的方法 解出了密码。
高中数学选修5-3(密码学算法基础) 选修课密码学10 课件
19
用单向陷门函数Y=F(X)构造公钥密码 (1) 将Y=F(X)做为加密变换公开。 (2)任何人均可将明文X经F加密得到密文Y=F(X)。
(3)合法用户利用陷门信息容易由Y求X，实现脱密。
(4)不掌握陷门信息者无法由密文求得明文。
20
单向陷门函数的强度取决于它所依据的 问题的计算复杂性。
任意一个困难问题不一定能被变换成一个 密码系统，它必须能将陷门信息嵌入到该问题 中，使得用这种信息而且只有用这种信息才可 能有捷径求解。
xB xA xB x A ( y ) g mod p k （3）用户A计算： B xB x A xB ( y ) g mod p k （4）用户B计算： A
由以上步骤，用户A、B就拥有共享密钥k
26
三、 EIGamal算法
③ 用KeB 加密S得到C：
C=E（S，KeB）
④A发C给B。
15
公钥密码的基本工作方式
3、同时确保数据秘密性和真实性： 收方：
①B接受C。
② B用自己的KdB解密C，得到S：
S=D（C，KdB）
③B查PKDB查到A的公开的加密钥KeA 。
④B用A的公开的加密钥KeA 加密S，得到M：
M=E（S，KeA）
安全性基础：解离散对数问题的困难性。
23
DH密钥交换协议
1、离散对数问题
有限域Fp上的离散对数问题（非常重要）
* y F 给定一个素数p和Fp上的一个本原元g，对 p
找唯一的一个整数x， 0 x ploggy表示，称为y的以g为底关于 模p的离散对数。
25
DH密钥交换协议
2、Diffie-Hellman密钥交换协议
系统中用户A和B在开始通讯前具有相同的大素 数p和域Fp中的本原根g，密钥交换如下：
用单向陷门函数Y=F(X)构造公钥密码 (1) 将Y=F(X)做为加密变换公开。 (2)任何人均可将明文X经F加密得到密文Y=F(X)。
(3)合法用户利用陷门信息容易由Y求X，实现脱密。
(4)不掌握陷门信息者无法由密文求得明文。
20
单向陷门函数的强度取决于它所依据的 问题的计算复杂性。
任意一个困难问题不一定能被变换成一个 密码系统，它必须能将陷门信息嵌入到该问题 中，使得用这种信息而且只有用这种信息才可 能有捷径求解。
xB xA xB x A ( y ) g mod p k （3）用户A计算： B xB x A xB ( y ) g mod p k （4）用户B计算： A
由以上步骤，用户A、B就拥有共享密钥k
26
三、 EIGamal算法
③ 用KeB 加密S得到C：
C=E（S，KeB）
④A发C给B。
15
公钥密码的基本工作方式
3、同时确保数据秘密性和真实性： 收方：
①B接受C。
② B用自己的KdB解密C，得到S：
S=D（C，KdB）
③B查PKDB查到A的公开的加密钥KeA 。
④B用A的公开的加密钥KeA 加密S，得到M：
M=E（S，KeA）
安全性基础：解离散对数问题的困难性。
23
DH密钥交换协议
1、离散对数问题
有限域Fp上的离散对数问题（非常重要）
* y F 给定一个素数p和Fp上的一个本原元g，对 p
找唯一的一个整数x， 0 x ploggy表示，称为y的以g为底关于 模p的离散对数。
25
DH密钥交换协议
2、Diffie-Hellman密钥交换协议
系统中用户A和B在开始通讯前具有相同的大素 数p和域Fp中的本原根g，密钥交换如下：
信息安全导论密码学数学基础
(k-1) (k)
由于历次所得的余数
r1> r2 >r3 >r4 >…rk>…≥0 是严格递降的一串非负整数，故最后总会出现余数为0的情形：
rk-1=qk+1rk
(k+1)
所以，进行有限步必停止，此时d=rk=(a,b)成立，这是因为
1). 可知rk为a和b的公约数，只要按倒序分析自然有此结论。
2). a和b的任何一个公约数c都是rk的约数，只要按正序分析，自然数（最大公因子）：
若a,b,c∈Z，如果c∣a，c∣b，称c是a和b的公约数。正 整数d称为a和b的最大公约数(记d=gcd(a,b)或(a,b)) ，如 果它满足:
d是a和b的公约数。 对a和b的任何一个公约数c有c∣d。
等价的定义形式是： gcd(a,b)=max{k: k∣a，k∣b}
（mod m）是指m∣(a－b), m称为模数。
note: if a=0 mod m, then m|a
1、模关系：相对于某个固定模数m的同余关系，是指整数 间的一种等价关系。具有等价关系的三点基本性质：
自反性：对任意整数a，有a≡a（mod m）
对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a（mod m）
证明：略。（从ax+my=b入手）
6、整数环z模正整数m得到的剩余类集合可以记为zm (或z/(m)), zm={[0],[1],…,[m-1]}
在3、中已说明zm对剩余类的加法，乘法是封闭的，可 列出它们的加乘表。我们称zm为剩余类环（或同余类 环）
7、在整数环z中是没有零因子的，即两个非零整数的 乘积一定不等于0，但是剩余环则不然。
定理：剩余类环zm中元素α=[a]为zm的可逆元最大公约数(a,m)=1 要证明这个定理，只需证明下列引理：
2密码学的数学基础
绝对语言率：每个字符编码的最大比特数，这里 假设每个字符序列出现的机会相等。
若语言中有L个字母，则绝对语言率为： R = log2L 为单个字母的最大熵。 英语的绝对语言率：log 26 4.7比特/字母 2
冗余度：语言的冗余度记为D，定义为： D=R-r 其中，R为绝对语言率，r为自然语言率。
P空间问题：可以在多项式空间内求解，但不能在多项 式时间内求解的问题。
P空间完全问题：与其他P空间问题同等困难。
指数时间问题：在指数时间内求解。
指数时间的 P空间完全的 P空间 NP完全的 NP
P
2.3 初等数论
2.3.1 模运算 2.3.2 素数 2.3.3 最大公因数 2.3.4 乘法逆元素 2.3.5 Fermat小定理及欧拉函数 2.3.6 中国剩余定理 2.3.7 二次剩余 2.3.8 Legendre（勒让得）符号 2.3.9 Jacobi（雅各比）符号 2.3.10 生成元 2.3.11 有限域中的计算
2.1.5 混乱与扩散
混乱：在加密变换中，让密钥与密文的关系尽可 能复杂的做法。 实现混乱的方法：代替（恺撒密码） 扩散：在加密过程中，尽可能将明文的统计特性 在密文中消除。 实现扩散的方法：换位（钥控序列加密法）
2.2 复杂性理论
2.2.1 算法复杂性 2.2.2 问题复杂性
2.2.1 算法复杂性
模运算（+、－、 ）满足交换律、结合律和分配律。 按模计算原理：对中间结果作模运算与做完了全部运算 后再做模运算结果相同。
按模指数运算：am mod n
将指数运算作为一系列乘法运算，每次做一次模运算。 8 2 2 2 例：a mod n = ((a mod n) mod n) mod n 当m不是2的乘方时，将m表示成2的乘方和的形式。 4 3 0 例如：25=(11001)2，即25=2 +2 +2 a25 mod n = (a16 a8 a) mod n = ((((a2)2)2)2 ((a2)2)2 a) mod n = ((((a2 a)2)2)2 a) mod n 适当存储中间结果，则只需6次乘法： (((((((a2mod n) a)mod n)2mod n)2mod n)2mod n) a)mod n
密码学数学基础第九讲 环
例8：在实数域R上的2阶全矩阵环 a M 2 ( R ) c b | a ， b ， c ， d R 中， d 0 | a R ， 0
a b a 令S1 | a，b R ，S 2 0 0 0 则S1，S 2 是M 2 ( R )的子环。
21212282r00000rrabmabcdrcdabasabrsarssm?????????????????????????????????????????是?????????????例
本讲内容
一、环的定义 二、环内特殊元素 三、环的分类 四、子环、理想和商环
一、环的定义
定义1：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运算，
例1：全体整数所成集合Z对于通常数的加法与乘法构成 一个环（Z，＋，· ）。 （Z，＋，· ）是一个交换环。 （Z，＋，· ）称为整数环。 有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成交换环。 把数集关于数的加法、乘法做成的环，称为数环。
Z，Q，R，C都是数环。
例2：设Z[x]={a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn | aiZ，n≥0为 整数}，则Z[x]是系数为整数的一切x的多项式所组成的集合，
定理5：设R为环，I是R的理想，则：
（ 1） 0 I 为R / I的零元；
（2）若R有单位元e，且e I，则e e I 为R / I的单位元；
（3）如果R是交换环，则R/I也是交换环。
例11：设n Z，n 1， (n) {nr | r Z }，则 Z /(n) {a a (n) | a 0， 1，， 2 ，n 1} {0，， 1 ， n 1} Z n .
密码学基础通用课件
密码学基础通用课件
目录 CONTENT
• 密码学概述 • 加密技术基础 • 对称加密技术 • 非对称加密技术 • 哈希函数与数字签名 • 密码学在现实生活中的应用
01
密码学概述
密码学的定义与目的
密码学的定义
密码学是研究如何隐藏信息，使其变 得难以理解和未经授权的情况下不可 访问的科学。
密码学的目的
对称加密技术的评估标准
安全性
评估对称加密技术的安全性主要 考虑密钥的长度、加密算法的复 杂性和破解的难度等因素。
效率
评估对称加密技术的效率主要考 虑加密和解密的速度以及所需的 计算资源等因素。
适应性
评估对称加密技术的适应性主要 考虑其能否适应不同的应用场景 和需求，例如数据的大小、传输 速度和存储空间等因素。
灵活性
灵活性是指加密技术对不同需求的适应能力。如果一个加 密算法只能用于某些特定的应用场景，则它可能不适用于 其他场景。
03
对称加密技术
对称加密技术的原理
对称加密技术是一种基于密钥的加密 方法，其中加密和解密使用相同的密 钥。这种方法的安全性基于密钥的保 密性。
对称加密技术可以用于保护数据的机 密性，也可以用于数字签名等其他应 用。
数字签名的原理与类别
数字签名的原理
数字签名是一种用于验证数字文件真实性和完整性的技术。它利用公钥密码体系中的签名密钥对文件 进行签名，通过验证签名密钥的匹配性和文件内容的完整性，来判断文件的真实性和可信度。
数字签名的类别
根据使用的公钥密码体系和签名算法的不同，数字签名可以分为多种类别。常见的类别包括RSA、 DSA、ECDSA等。这些数字签名方案在安全性、性能和实现难度等方面存在差异，应根据具体需求选 择合适的数字签名方案。
目录 CONTENT
• 密码学概述 • 加密技术基础 • 对称加密技术 • 非对称加密技术 • 哈希函数与数字签名 • 密码学在现实生活中的应用
01
密码学概述
密码学的定义与目的
密码学的定义
密码学是研究如何隐藏信息，使其变 得难以理解和未经授权的情况下不可 访问的科学。
密码学的目的
对称加密技术的评估标准
安全性
评估对称加密技术的安全性主要 考虑密钥的长度、加密算法的复 杂性和破解的难度等因素。
效率
评估对称加密技术的效率主要考 虑加密和解密的速度以及所需的 计算资源等因素。
适应性
评估对称加密技术的适应性主要 考虑其能否适应不同的应用场景 和需求，例如数据的大小、传输 速度和存储空间等因素。
灵活性
灵活性是指加密技术对不同需求的适应能力。如果一个加 密算法只能用于某些特定的应用场景，则它可能不适用于 其他场景。
03
对称加密技术
对称加密技术的原理
对称加密技术是一种基于密钥的加密 方法，其中加密和解密使用相同的密 钥。这种方法的安全性基于密钥的保 密性。
对称加密技术可以用于保护数据的机 密性，也可以用于数字签名等其他应 用。
数字签名的原理与类别
数字签名的原理
数字签名是一种用于验证数字文件真实性和完整性的技术。它利用公钥密码体系中的签名密钥对文件 进行签名，通过验证签名密钥的匹配性和文件内容的完整性，来判断文件的真实性和可信度。
数字签名的类别
根据使用的公钥密码体系和签名算法的不同，数字签名可以分为多种类别。常见的类别包括RSA、 DSA、ECDSA等。这些数字签名方案在安全性、性能和实现难度等方面存在差异，应根据具体需求选 择合适的数字签名方案。
信息安全数学基础环和域基础知识PPT课件
• 类似的有环同态基本定理
第16页/共49页
概念的类比
群 正规子群 循环群 商群
环 理想 主理想 商环
第17页/共49页
域的定义
• 域(Field)
▫ 非空集合F，若F中定义了加和乘两种运算，且满足：
1) F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为0 2) F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒等元记为1 3) 加法和乘法之间满足分配律
a4
4
0110
x2 +x
a5
5
1100
x3 +x2
a6
6
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指数形式
4位向量形式 多项式形式 生成元幂形式
1011
x3+x+1
a7
7
0101
x2+1
a8
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1010
x3 +x
a9
9
0100
x2
a10
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0111
x2+x+1
a11
11
1110
x3+x2+x
a12
12
1111
x3+x2 +x+1
第31页/共49页
利用不可约多项式构造域
• 令F是一个域，f(x)是F[x]中的一个非零多项式，那么F[x]/f(x)是一个环，当且 仅当 f(x)在F上不可约时， F[x]/f(x)是一个域.
第32页/共49页
• f(x)是F[x]中的一个不可约多项式， 当F是域时， F[x]/f(x)是一个域. 将f(x)称 为域F[x]/f(x)的定义多项式.
n1 11 1＝0
n个1
第16页/共49页
概念的类比
群 正规子群 循环群 商群
环 理想 主理想 商环
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域的定义
• 域(Field)
▫ 非空集合F，若F中定义了加和乘两种运算，且满足：
1) F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为0 2) F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒等元记为1 3) 加法和乘法之间满足分配律
a4
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0110
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指数形式
4位向量形式 多项式形式 生成元幂形式
1011
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利用不可约多项式构造域
• 令F是一个域，f(x)是F[x]中的一个非零多项式，那么F[x]/f(x)是一个环，当且 仅当 f(x)在F上不可约时， F[x]/f(x)是一个域.
第32页/共49页
• f(x)是F[x]中的一个不可约多项式， 当F是域时， F[x]/f(x)是一个域. 将f(x)称 为域F[x]/f(x)的定义多项式.
n1 11 1＝0
n个1
密码学基础 ppt课件
5
2.1.2 密码体制
– 消息（为了沟通思想而传递的信息）在密码学中 被称为明文（Plain Text）。
– 伪装消息以隐藏它的内容的过程称为加密 (Encrypt)
– 被加密的消息称为密文(Cipher Text) – 把密密文钥转ke 变为明文的过程称为解密(De密c钥rkydpt)。
明文
加密
• 密码体制描述如下：
– M=C=Z/(26)；q=26；
– K={ k1,k2∈Z | 0< k1,k2<26，gcd(k1,26)=1}；
– Ek(m)=(k1m+k2) mod q；
– Dk(c)= k1#( c - k2) mod q，其中k1#为k1在模q 下的乘法逆元。
• 密钥范围
– K1：所有和26互素的数。K1=1？
22
S-DES
• S-DES加密算法
– S-DES是由美国圣达卡拉大学 的Edward Schaeffer教授提出 的，主要用于教学，其设计思 想和性质与DES一致，有关函 数变换相对简化，具体参数要 小得多。
– 输入为一个8位的二进制明文 组和一个10位的二进制密钥， 输出为8位二进制密文组；
– 解密与加密基本一致。
• 古典替换密码：单表代替密码，多表代替密码以及 轮换密码。
• 对称密钥密码：分组密码和流密码。 • 公开密钥密码：加密和解密使用不同的密钥。
– 密码分析也称为密码攻击，密码分析攻击主要 包括：
• 唯密文攻击、已知明文攻击、选择明文攻击、自适 应选择明文攻击、选择密文攻击、选择密钥攻击。
8
2.2 古典替换密码
使用频度，进行匹配分析。
• 如果密文信息足够长，很容易对单表代替密码进行破译。
2.1.2 密码体制
– 消息（为了沟通思想而传递的信息）在密码学中 被称为明文（Plain Text）。
– 伪装消息以隐藏它的内容的过程称为加密 (Encrypt)
– 被加密的消息称为密文(Cipher Text) – 把密密文钥转ke 变为明文的过程称为解密(De密c钥rkydpt)。
明文
加密
• 密码体制描述如下：
– M=C=Z/(26)；q=26；
– K={ k1,k2∈Z | 0< k1,k2<26，gcd(k1,26)=1}；
– Ek(m)=(k1m+k2) mod q；
– Dk(c)= k1#( c - k2) mod q，其中k1#为k1在模q 下的乘法逆元。
• 密钥范围
– K1：所有和26互素的数。K1=1？
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S-DES
• S-DES加密算法
– S-DES是由美国圣达卡拉大学 的Edward Schaeffer教授提出 的，主要用于教学，其设计思 想和性质与DES一致，有关函 数变换相对简化，具体参数要 小得多。
– 输入为一个8位的二进制明文 组和一个10位的二进制密钥， 输出为8位二进制密文组；
– 解密与加密基本一致。
• 古典替换密码：单表代替密码，多表代替密码以及 轮换密码。
• 对称密钥密码：分组密码和流密码。 • 公开密钥密码：加密和解密使用不同的密钥。
– 密码分析也称为密码攻击，密码分析攻击主要 包括：
• 唯密文攻击、已知明文攻击、选择明文攻击、自适 应选择明文攻击、选择密文攻击、选择密钥攻击。
8
2.2 古典替换密码
使用频度，进行匹配分析。
• 如果密文信息足够长，很容易对单表代替密码进行破译。
现代密码学 第9讲背包Rabin
例题— 例题 解密
超递增背包向量A=(1, 3, 5, 11, 21, 44, 87, 175, 349, 701) 超递增背包向量 k=1590，t=43， gcd(43, 1590)=1 ， ，
密文C=（ 密文 （2942，3584，903，3326，215，2817，2629，819） ， ， ， ， ， ， ， ）
2010-10-9 4
例题— 例题 加密
超递增背包向量A=(1, 3, 5, 11, 21, 44, 87, 175, 349, 701) 超递增背包向量 k=1590，t=43， gcd(43, 1590)=1 ， ， 计算一般背包B=(43, 129, 215, 473, 903, 302, 561, 1165, 计算一般背包 697, 1523)。 。 设待加密的明文是 明文是SAUNA AND HEALTH。 设待加密的明文是 。 P113表4-7转化为数字。 转化为数字。 表 转化为数字 背包向量有10个元素，明文 位二进制一组 位二进制一组； 背包向量有 个元素，明文10位二进制一组； 个元素 如果一个字母对应5个二进制位 个二进制位， 个字母一组。 如果一个字母对应 个二进制位，则2个字母一组。 个字母一组
′ ′ ′ x ≡ ( M 1 M 1 a1 + M 2 M 2 a2 + + M K M k ak ) mod M
对模M有唯一解 对模 有唯一解
2010-10-9
10
当p≡q≡3 mod 4，两个方程 2≡c mod p,x2≡c ≡ ≡ ，两个方程x mod q的平方根都可容易地求出。 的平方根都可容易地求出。 的平方根都可容易地求出 是模p的平方剩余 因c是模 的平方剩余，故 是模 的平方剩余，
第九讲 离散对数
x im j，这意味着 ( m ) i j。 这就给出
如下计算 x的方法。
2.2 小步大步算法(续)
算 法 1小步大步法 输入：生成元的阶 p 1和元 。 输出： 离散对数 x= log 。 (1) 设置m
p 1 。
(2) 建立一个条目为( j， j )的表， 这里 0 j m。以条目中 的第2项对表排序。 (3) 计算 m 和设置 。 (4) For i from 0 to m 1 do thefollowing: (4.1) 检查 是否为表中某个第 2项 。 (4.2) 如果 j， 则 return( x = i m + j)。 (4.3) 设置 · m。
2 计算离散对数
2.1 穷举搜索
最为简单的求解 DLP的方法是连续计算 0，
1， 2， . . . ，直到得到。这一方法需要 O( p 1) 次乘法，这里 p 1是的阶，因此，当 p取
足够大的值时，这不是 有效方法(这恰好是密 码关注的情形)。
2.2 小步大步算法
令m = p 1 ，这里p 1 是 的阶。小步大步 算法是对穷举搜索方法 在效率和存储之间的 平衡，它的基础是以下 事实。如果 = x，则 我们可以写 x=i m +j，这里 0 i， j m。因此，
2.2 小步大步算法(续)
例 子 2 令p=113 。 = 3 是阶为p 1 = 112 的生成元。考虑 = 57。 计算离散对数 log3 57的过程如下。 (1) 设置m
112 = 11。
(2) 建立一个表，条目是( j， α j (mod p))， 这里0 j 11 ，以条目的 第2项排列表： j 0 1 8 2 5 9 3 3 j (mod113) 1 3 7 9 17 21 27 7 6 10 4 40 51 63 81
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定理5：设R为环，I是R的理想，则：
（ 1） 0 I 为R / I的零元；
（2）若R有单位元e，且e I，则e e I 为R / I的单位元；
（3）如果R是交换环，则R/I也是交换环。
例11：设n Z，n 1， (n) {nr | r Z }，则 Z /(n) {a a (n) | a 0， 1，， 2 ，n 1} {0，， 1 ， n 1同一个记号Zn表示不同的意义： (i)当Zn看作是整数n的商群时，Zn中只有加法一种运算； (ii)当Zn看作是整数n的商环时，Zn中有加法和乘法两种运算。 例12：做出环Z关于(3)={3r|rZ}的商环Z/(3)的加法和乘法 运算表。
作业：
记a a I {a x | x I }，R / I {a | a R}；
定义R / I的加法运算为：a b a b，a，b R；
定义R / I的乘法为：ab ab，a，b R；
则（R/I，＋，· ）是一个环。 定义10：称环R/I为环R关于理想I的商环，或称为R模I 的同余类环。
1、求模12的同余类环Z12的所有零因子和单位。
2、做出环Z关于(5)={5r|rZ}的商环Z/(5)的加法和乘法 运算表。
课后作业
（1）习题1/10/14
（2）预习多项式环
指数法则：对任意的m，nZ，a，bR， （1）(am)n=amn； （2）am· an=am＋n。
3．无零因子环
定义2：设R是一个环，a，bR，若a· b=0，且a≠0和b≠0， 则称a为R的一个左零因子，b为R的一个右零因子。 若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它为零因子。
例7：求模6的同余类环Z6的所有零因子和单位。
命题：对任一无平方因子的整数d (d 1)，数集 Z [ d ] {a b d | a，b Z }是整环。
模6的同余类环Z6不是整环。 2. 除环 定义6：若含有单位元和零的环R中每个非零元都可逆， 则称R为除环。
3．域
定义7：若R是一个可交换的除环，则称R为域。
有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。
本讲内容
一、环的定义 二、环内特殊元素 三、环的分类 四、子环、理想和商环
一、环的定义
定义1：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运算，
一种叫加法，记做＋，另一种叫乘法，记做· ；且满足：
（1）（R，＋）是一个可换群； （2）（R，· ）是一个半群； （3）左、右分配律成立：对任何a，b，cR，有：a(b ＋c)=ab＋ac，(a＋b)c=ac＋bc；
定义3：设环R不含左、右零因子，则称R为无零因子环。 R是无零因子环充要条件是：a，bR，ab=0a=0或b=0。 定理1：环中无左（右）零因子的充要条件是乘法消去 律成立，即：a≠0，ab=acb=c；a≠0，ba=cab=c。
三．环的分类
1．整环 定义5：一个有单位元，无零因子的交换环称为整环。 所有数环都是交换环，同时也是整环。
则称代数系统（R，＋，· ）是一个环。
（R，＋）是一个交换群，称为环R的加法群。 如果环R的乘法还满足交换律，则称R为交换环。
例1：全体整数所成集合Z对于通常数的加法与乘法构成 一个环（Z，＋，· ）。 （Z，＋，· ）是一个交换环。 （Z，＋，· ）称为整数环。 有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成交换环。 把数集关于数的加法、乘法做成的环，称为数环。
二、环内特殊元素
1．环内一些特殊元素 环R的加法单位元常用0表示，称为环R的零元。 环R的元素a的加法逆元称为a的负元，记做－a。
R的零元及每个元素的负元都是唯一的。
如果环R中存在元素e，使对任意的aR，有ae=ea=a，则 称R是一个有单位元的环，并称e为R的单位元。 常把环R的单位元e记为1。 如果环R有单位元，则单位元是唯一的。
例8：在实数域R上的2阶全矩阵环 a M 2 ( R ) c b | a ， b ， c ， d R 中， d 0 | a R ， 0
a b a 令S1 | a，b R ，S 2 0 0 0 则S1，S 2 是M 2 ( R )的子环。
注：域一定是整环，但整环却不一定是域。 整数环Z不是域。 具有有限个元素的整环是域。
具有有限个元素的域，称为有限域。
定理2：（Zn，＋，· ）是域的充要条件是n是素数。
四、子环、理想和商环
定义8：设（R，＋，· ）是一个环，S是R的一个非空子集； 如果S关于R的运算构成环，则称S为R的一个子环，R为S的一个 扩环。 对于任意一个环R，都有两个子环：{0}与R。这两个子环 称为R的平凡子环。 定理3：设（R，＋，· ）是一个环，S是R的一个非空子 集；则S是R的子环的充要条件是： （1）对任意的a，bS，有a－bS； （2）对任意的a，bS，有abS。
定义9：设R为环，I为R的非空子集，如果I满足： （1）对任意的r1，r2I，r1－r2I； （2）对任意的rI，sR，rs，srI； 则称I为环R的一个理想。
例9：整数环Z中，任取mZ，则I={mn|nZ}是Z的理想。
例10：在数环R上多项式环R[x]中，令I表示一切常数项 为零的多项式全体，即I={a1x＋a2x2＋…＋anxn | aiR， nN}，则I是多项式环R[x]的一个理想。 定理4：设R是一个环，I是环R的一个理想，
Z，Q，R，C都是数环。
例2：设Z[x]={a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn | aiZ，n≥0为 整数}，则Z[x]是系数为整数的一切x的多项式所组成的集合，
Z[x]关于多项式的加法与乘法构成一个环。
一般地，设A是一个数环，A[x]表示系数属于A的一切x 的多项式所成集合，则A[x]关于多项式的加法与乘法构成 一个环。
设环R是有单位元1的环，aR，如果存在bR，使 ab=ba=1，则称a是R的一个可逆元，并称b为a的逆元。
如果a可逆，则a的逆元是唯一的；可逆元a的逆元记做a－1。 对于一个有单位元的环R，其所有可逆元组成的集合关 于环R的乘法构成群。这个群称为环R的单位群或可逆元群， 记做U(R)。
例3：设Z n {0，， 1 ， n 1}是整数模n的同余类集合，在Z n中定义 加法和乘法分别为模n的加法和乘法：a b a b，a b ab.
则(Zn，＋，· )是有单位元的交换环，称为整数模n的同余类 （或剩余类）环。
(Zn，＋，· )的单位群是Zn*。
2．性质 利用负元的概念，定义环R的减法“－”为： 对任意的a，bR，令a－b=a＋(－b)。 倍数法则：对任意的m，nZ，a，bR，
（1）ma＋na=(m＋n)a； （2）m(a＋b)=ma＋mb； （3）m(na)=(mn)a=n(ma)； （4）m(ab)=(ma)b=a(mb)。