密码学数学基础第九讲 环
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本讲内容
一、环的定义 二、环内特殊元素 三、环的分类 四、子环、理想和商环
一、环的定义
定义1：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运算，
一种叫加法，记做＋，另一种叫乘法，记做· ；且满足：
（1）（R，＋）是一个可换群； （2）（R，· ）是一个半群； （3）左、右分配律成立：对任何a，b，cR，有：a(b ＋c)=ab＋ac，(a＋b)c=ac＋bc；
则(Zn，＋，· )是有单位元的交换环，称为整数模n的同余类 （或剩余类）环。
(Zn，＋，· )的单位群是Zn*。
2．性质 利用负元的概念，定义环R的减法“－”为： 对任意的a，bR，令a－b=a＋(－b)。 倍数法则：对任意的m，nZ，a，bR，
（1）ma＋na=(m＋n)a； （2）m(a＋b)=ma＋mb； （3）m(na)=(mn)a=n(ma)； （4）m(ab)=(ma)b=a(mb)。
记a a I {a x | x I }，R / I {a | a R}；
定义R / I的加法运算为：a b a b，a，b R；
定义R / I的乘法为：ab ab，a，b R；
则（R/I，＋，· ）是一个环。 定义10：称环R/I为环R关于理想I的商环，或称为R模I 的同余类环。
定理5：设R为环，I是R的理想，则：
（ 1） 0 I 为R / I的零元；
（2）若R有单位元e，且e I，则e e I 为R / I的单位元；
（3）如果R是交换环，则R/I也是交换环。
例11：设n Z，n 1， (n) {nr | r Z }，则 Z /(n) {a a (n) | a 0， 1，， 2 ，n 1} {0，， 1 ， n 1} Z n .
命题：对任一无平方因子的整数d (d 1)，数集 Z [ d ] {a b d | a，b Z }是整环。
模6的同余类环Z6不是整环。 2. 除环 定义6：若含有单位元和零的环R中每个非零元都可逆， 则称R为除环。
3．域
定义7：若R是一个可交换的除环，则称R为域。
有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。
1、求模12的同余类环Z12的所有零因子和单位。
2、做出环Z关于(5)={5r|rZ}的商环Z/(5)的加法和乘法 运算表。
课后作业
（1）习题1/10/14
（2）预习多项式环
注：域一定是整环，但整环却不一定是域。 整数环Z不是域。 具有有限个元素的整环是域。
具有有限个元素的域，称为有限域。
定理2：（Zn，＋，· ）是域的充要条件是n是素数。
四、子wk.baidu.com、理想和商环
定义8：设（R，＋，· ）是一个环，S是R的一个非空子集； 如果S关于R的运算构成环，则称S为R的一个子环，R为S的一个 扩环。 对于任意一个环R，都有两个子环：{0}与R。这两个子环 称为R的平凡子环。 定理3：设（R，＋，· ）是一个环，S是R的一个非空子 集；则S是R的子环的充要条件是： （1）对任意的a，bS，有a－bS； （2）对任意的a，bS，有abS。
指数法则：对任意的m，nZ，a，bR， （1）(am)n=amn； （2）am· an=am＋n。
3．无零因子环
定义2：设R是一个环，a，bR，若a· b=0，且a≠0和b≠0， 则称a为R的一个左零因子，b为R的一个右零因子。 若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它为零因子。
例7：求模6的同余类环Z6的所有零因子和单位。
例8：在实数域R上的2阶全矩阵环 a M 2 ( R ) c b | a ， b ， c ， d R 中， d 0 | a R ， 0
a b a 令S1 | a，b R ，S 2 0 0 0 则S1，S 2 是M 2 ( R )的子环。
则称代数系统（R，＋，· ）是一个环。
（R，＋）是一个交换群，称为环R的加法群。 如果环R的乘法还满足交换律，则称R为交换环。
例1：全体整数所成集合Z对于通常数的加法与乘法构成 一个环（Z，＋，· ）。 （Z，＋，· ）是一个交换环。 （Z，＋，· ）称为整数环。 有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成交换环。 把数集关于数的加法、乘法做成的环，称为数环。
设环R是有单位元1的环，aR，如果存在bR，使 ab=ba=1，则称a是R的一个可逆元，并称b为a的逆元。
如果a可逆，则a的逆元是唯一的；可逆元a的逆元记做a－1。 对于一个有单位元的环R，其所有可逆元组成的集合关 于环R的乘法构成群。这个群称为环R的单位群或可逆元群， 记做U(R)。
例3：设Z n {0，， 1 ， n 1}是整数模n的同余类集合，在Z n中定义 加法和乘法分别为模n的加法和乘法：a b a b，a b ab.
Z，Q，R，C都是数环。
例2：设Z[x]={a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn | aiZ，n≥0为 整数}，则Z[x]是系数为整数的一切x的多项式所组成的集合，
Z[x]关于多项式的加法与乘法构成一个环。
一般地，设A是一个数环，A[x]表示系数属于A的一切x 的多项式所成集合，则A[x]关于多项式的加法与乘法构成 一个环。
注：（1）Z/(n)为域的充要条件是n为素数。 （2）同一个记号Zn表示不同的意义： (i)当Zn看作是整数n的商群时，Zn中只有加法一种运算； (ii)当Zn看作是整数n的商环时，Zn中有加法和乘法两种运算。 例12：做出环Z关于(3)={3r|rZ}的商环Z/(3)的加法和乘法 运算表。
作业：
二、环内特殊元素
1．环内一些特殊元素 环R的加法单位元常用0表示，称为环R的零元。 环R的元素a的加法逆元称为a的负元，记做－a。
R的零元及每个元素的负元都是唯一的。
如果环R中存在元素e，使对任意的aR，有ae=ea=a，则 称R是一个有单位元的环，并称e为R的单位元。 常把环R的单位元e记为1。 如果环R有单位元，则单位元是唯一的。
定义3：设环R不含左、右零因子，则称R为无零因子环。 R是无零因子环充要条件是：a，bR，ab=0a=0或b=0。 定理1：环中无左（右）零因子的充要条件是乘法消去 律成立，即：a≠0，ab=acb=c；a≠0，ba=cab=c。
三．环的分类
1．整环 定义5：一个有单位元，无零因子的交换环称为整环。 所有数环都是交换环，同时也是整环。
定义9：设R为环，I为R的非空子集，如果I满足： （1）对任意的r1，r2I，r1－r2I； （2）对任意的rI，sR，rs，srI； 则称I为环R的一个理想。
例9：整数环Z中，任取mZ，则I={mn|nZ}是Z的理想。
例10：在数环R上多项式环R[x]中，令I表示一切常数项 为零的多项式全体，即I={a1x＋a2x2＋…＋anxn | aiR， nN}，则I是多项式环R[x]的一个理想。 定理4：设R是一个环，I是环R的一个理想，
一、环的定义 二、环内特殊元素 三、环的分类 四、子环、理想和商环
一、环的定义
定义1：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运算，
一种叫加法，记做＋，另一种叫乘法，记做· ；且满足：
（1）（R，＋）是一个可换群； （2）（R，· ）是一个半群； （3）左、右分配律成立：对任何a，b，cR，有：a(b ＋c)=ab＋ac，(a＋b)c=ac＋bc；
则(Zn，＋，· )是有单位元的交换环，称为整数模n的同余类 （或剩余类）环。
(Zn，＋，· )的单位群是Zn*。
2．性质 利用负元的概念，定义环R的减法“－”为： 对任意的a，bR，令a－b=a＋(－b)。 倍数法则：对任意的m，nZ，a，bR，
（1）ma＋na=(m＋n)a； （2）m(a＋b)=ma＋mb； （3）m(na)=(mn)a=n(ma)； （4）m(ab)=(ma)b=a(mb)。
记a a I {a x | x I }，R / I {a | a R}；
定义R / I的加法运算为：a b a b，a，b R；
定义R / I的乘法为：ab ab，a，b R；
则（R/I，＋，· ）是一个环。 定义10：称环R/I为环R关于理想I的商环，或称为R模I 的同余类环。
定理5：设R为环，I是R的理想，则：
（ 1） 0 I 为R / I的零元；
（2）若R有单位元e，且e I，则e e I 为R / I的单位元；
（3）如果R是交换环，则R/I也是交换环。
例11：设n Z，n 1， (n) {nr | r Z }，则 Z /(n) {a a (n) | a 0， 1，， 2 ，n 1} {0，， 1 ， n 1} Z n .
命题：对任一无平方因子的整数d (d 1)，数集 Z [ d ] {a b d | a，b Z }是整环。
模6的同余类环Z6不是整环。 2. 除环 定义6：若含有单位元和零的环R中每个非零元都可逆， 则称R为除环。
3．域
定义7：若R是一个可交换的除环，则称R为域。
有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。
1、求模12的同余类环Z12的所有零因子和单位。
2、做出环Z关于(5)={5r|rZ}的商环Z/(5)的加法和乘法 运算表。
课后作业
（1）习题1/10/14
（2）预习多项式环
注：域一定是整环，但整环却不一定是域。 整数环Z不是域。 具有有限个元素的整环是域。
具有有限个元素的域，称为有限域。
定理2：（Zn，＋，· ）是域的充要条件是n是素数。
四、子wk.baidu.com、理想和商环
定义8：设（R，＋，· ）是一个环，S是R的一个非空子集； 如果S关于R的运算构成环，则称S为R的一个子环，R为S的一个 扩环。 对于任意一个环R，都有两个子环：{0}与R。这两个子环 称为R的平凡子环。 定理3：设（R，＋，· ）是一个环，S是R的一个非空子 集；则S是R的子环的充要条件是： （1）对任意的a，bS，有a－bS； （2）对任意的a，bS，有abS。
指数法则：对任意的m，nZ，a，bR， （1）(am)n=amn； （2）am· an=am＋n。
3．无零因子环
定义2：设R是一个环，a，bR，若a· b=0，且a≠0和b≠0， 则称a为R的一个左零因子，b为R的一个右零因子。 若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它为零因子。
例7：求模6的同余类环Z6的所有零因子和单位。
例8：在实数域R上的2阶全矩阵环 a M 2 ( R ) c b | a ， b ， c ， d R 中， d 0 | a R ， 0
a b a 令S1 | a，b R ，S 2 0 0 0 则S1，S 2 是M 2 ( R )的子环。
则称代数系统（R，＋，· ）是一个环。
（R，＋）是一个交换群，称为环R的加法群。 如果环R的乘法还满足交换律，则称R为交换环。
例1：全体整数所成集合Z对于通常数的加法与乘法构成 一个环（Z，＋，· ）。 （Z，＋，· ）是一个交换环。 （Z，＋，· ）称为整数环。 有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成交换环。 把数集关于数的加法、乘法做成的环，称为数环。
设环R是有单位元1的环，aR，如果存在bR，使 ab=ba=1，则称a是R的一个可逆元，并称b为a的逆元。
如果a可逆，则a的逆元是唯一的；可逆元a的逆元记做a－1。 对于一个有单位元的环R，其所有可逆元组成的集合关 于环R的乘法构成群。这个群称为环R的单位群或可逆元群， 记做U(R)。
例3：设Z n {0，， 1 ， n 1}是整数模n的同余类集合，在Z n中定义 加法和乘法分别为模n的加法和乘法：a b a b，a b ab.
Z，Q，R，C都是数环。
例2：设Z[x]={a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn | aiZ，n≥0为 整数}，则Z[x]是系数为整数的一切x的多项式所组成的集合，
Z[x]关于多项式的加法与乘法构成一个环。
一般地，设A是一个数环，A[x]表示系数属于A的一切x 的多项式所成集合，则A[x]关于多项式的加法与乘法构成 一个环。
注：（1）Z/(n)为域的充要条件是n为素数。 （2）同一个记号Zn表示不同的意义： (i)当Zn看作是整数n的商群时，Zn中只有加法一种运算； (ii)当Zn看作是整数n的商环时，Zn中有加法和乘法两种运算。 例12：做出环Z关于(3)={3r|rZ}的商环Z/(3)的加法和乘法 运算表。
作业：
二、环内特殊元素
1．环内一些特殊元素 环R的加法单位元常用0表示，称为环R的零元。 环R的元素a的加法逆元称为a的负元，记做－a。
R的零元及每个元素的负元都是唯一的。
如果环R中存在元素e，使对任意的aR，有ae=ea=a，则 称R是一个有单位元的环，并称e为R的单位元。 常把环R的单位元e记为1。 如果环R有单位元，则单位元是唯一的。
定义3：设环R不含左、右零因子，则称R为无零因子环。 R是无零因子环充要条件是：a，bR，ab=0a=0或b=0。 定理1：环中无左（右）零因子的充要条件是乘法消去 律成立，即：a≠0，ab=acb=c；a≠0，ba=cab=c。
三．环的分类
1．整环 定义5：一个有单位元，无零因子的交换环称为整环。 所有数环都是交换环，同时也是整环。
定义9：设R为环，I为R的非空子集，如果I满足： （1）对任意的r1，r2I，r1－r2I； （2）对任意的rI，sR，rs，srI； 则称I为环R的一个理想。
例9：整数环Z中，任取mZ，则I={mn|nZ}是Z的理想。
例10：在数环R上多项式环R[x]中，令I表示一切常数项 为零的多项式全体，即I={a1x＋a2x2＋…＋anxn | aiR， nN}，则I是多项式环R[x]的一个理想。 定理4：设R是一个环，I是环R的一个理想，