2-2多元函数的偏导数_604409968
多元函数与偏导数
多元函数与偏导数多元函数是指含有多个自变量的函数。
在数学分析中，我们经常研究多元函数的性质和变化规律。
其中，偏导数是一种重要的工具，用于描述多元函数在各个自变量方向上的变化率。
一、多元函数的定义多元函数是指具有多个自变量的函数，可以表示为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量，f表示根据这些自变量求得的函数值。
多元函数可以有不同的定义域和值域，可以是实数域或复数域上的。
二、偏导数的定义偏导数是用来描述多元函数在某个自变量方向上的变化率。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，偏导数可以分为两种类型：偏导数和高阶偏导数。
1. 一阶偏导数对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，它的第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi，即在自变量xi方向上的变化率。
2. 高阶偏导数多元函数的高阶偏导数是指对一阶偏导数再次进行偏导数运算所得到的结果。
例如，多元函数的二阶偏导数表示为∂²f/∂x²，表示对自变量x的一阶偏导数再次取导数。
三、偏导数的计算偏导数的计算过程相对于一元函数而言稍微复杂一些，需要注意的是，计算偏导数时应将其他自变量视为常数。
1. 一阶偏导数的计算对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，计算一阶偏导数时，需要将其他自变量视为常数，只对当前自变量求导。
2. 高阶偏导数的计算高阶偏导数的计算过程与一阶偏导数类似，多次对不同自变量进行偏导数运算即可。
四、偏导数的应用偏导数在数学分析和实际问题求解中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 求取函数的极值点通过计算多元函数的偏导数，可以求取函数的极值点。
极值点一般对应着函数的驻点，即一阶偏导数为零的点。
2. 判定函数的连续性通过研究偏导数的连续性，可以判断多元函数是否连续。
若偏导数在某点处连续，则函数在该点处连续。
3. 研究函数的曲线和表面偏导数可以描述多元函数曲线和表面的变化率和切线方向，通过研究偏导数，可以揭示函数图像的性质和特点。
多元复合函数的求偏导法则
2x(1 2x2 sin2 y)ex2y2x4 sin2 y
z f f u y y u y
当然也可代入直接求偏导
ex2y2u2 2y (ex2y2u2 .2u) (x2 cos y)
2( y x4 sin y cos y)ex2 y2x4 sin2 y
式中
（z 或
x
z y
）是表示复合后函数
另一种解法：代入直接求偏导
z ln(e2x2y2 x2 y)
2 x2 y2
2e 2x z e x y x
e2 x2 y2
1
x
y2
(e2x2 y2
x2
y)
x
2x y2
2
z y
e2x2y2
1
x
y2
(e2x2y2
x2
y)
y
4 ye2x2 y2 1 e2xy2 x y2
注：
（1）求复合函数偏导数时，最后要将中间变量都 换成自变量表示。 （2）用哪一种方法因题而定 （3）有些复杂的或不易直接求解的多元函数求偏 导问题，我们可以引进中间变量。
x y z
【例6】 设x2 + 2y2 + 3z2 = 4x，求 z ,
解法2：公式法
x
z , y
2z xy
令F(x, y, z) x2 2y2 3z2 4x
则 Fx 2x 4 ，Fy 4 y ， Fz 6z
故
z x
z y
Fx FFzy Fz
2x 4 2 x 6z 3z
图7-21
z z u z y u y y
多元复合函数的求偏导法则：多元复合函数对某一自 变量的偏导数，等于这个函数对各个中间变量的偏导数 与这个中间变量对该自变量的偏导数的乘积和。
多元函数偏导
多元函数偏导
多元函数偏导是指在多元函数中，求出每个变量对函数的影响程度的过程。
例如，在函数f(x,y)=x^2+y^3中，要求x对函数的偏导，就是求出这个函数中x对函数值的影响程度。
这个偏导的值就是2x。
同理，求y对函数的偏导，就是求出y对函数值的影响程度，这个偏导的值就是3y^2。
求多元函数偏导的方法是，先确定要求的变量，然后将其他变量看作常数，对这个变量求导即可。
例如，在函数f(x,y)=x^2+y^3中，要求x对函数的偏导，就可以将y看作常数，对x求导。
这样就得到了偏导值2x。
偏导是求多元函数的一种常用方法，它可以帮助我们更好地理解多元函数的性质，并且在求解微积分问题时也是非常有用的工具。
1/ 1。
多元函数与偏导数
偏导数的定义如下： 设函数 z f (x ，y) 在点(x0, y0)的某一邻域内有定义，当 y固定在y0，而x在x0处有增量△x时，相应函数有增量
f (x0 x, y0 ) f (x0 ，y0 )
如果极限
lim f (x0 x ，y0 ) f (x0 ，y0 )
x0
x
存在，则称此极限值为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的 偏导数，记为
为点P0的邻域，记作U(P0, )。P0称为此邻域的 中心，称为此邻域的半径．
二、偏导数的概念
研究一元函数变化率时引入了导数的概念，对于多元函 数也需要讨论它的变化率。在实际问题中，常常需要了解 一个受到多种因素制约的变量，在其他因素固定不变的情 况下，该变量只随一种因素变化的变化率问题。
在数学上，就是多元函数在其他自变量固定不变时， 函数随一个自变量变化的变化率问题，这就是偏导数。
fx(x ，y ，z)
lim
x0
f
(x x ，y ，z) x
f
(x ，y ，z)
由偏导数的定义可以知道，求多元函数对某个自变量的 偏导数时，只需把其余自变量看作常数，直接利用一元函 数的求导公式和求导法则来计算。
例3 求 z x2 3xy y2 在点(1, 2)处的偏导数。
解 把y看作常量，得
x x0 y y0
，f y(x0
，y0 )
y y0
如果函数z=f(x, y)在平面区域D内每一点(x, y)处
对x的偏导数fx’(x, y)都存在，那么这个偏导数显然将 随x，y取值不同而变化，即它仍是x，y的函数，我
们称其为函数z=f(x, y)对自变量x的偏导函数，记作
z x
，f x
多元函数偏导
多元函数偏导多元函数偏导是指在多元函数求偏导、一阶偏导、二阶偏导和更高维度的函数求偏导等等情况下，用来表示函数在某一点处沿着某个方向变化率的数量。
本文将着重讨论多元函数偏导方面的内容，包括多元函数偏导的概念、计算方法以及实际应用等。
首先，简要介绍一下多元函数偏导的概念。
一般来说，多元函数偏导时一阶微分。
多元函数偏导的计算方法是用来计算inner product的张量calculus的偏导。
首先，我们需要先弄清楚什么是inner product，inner product是一个满足线性、同构、可分解等性质的二元操作，它也可以用geometry的一般定义式来表示。
基于inner product，我们可以定义张量calculus中的偏导，它是多元函数求偏导的基础。
其次，介绍多元函数偏导的计算方法。
在计算多元函数偏导时，首先需要指定函数的变量。
若变量为n维，可将变量看作n个向量，这些向量组成的n维空间，称为变量所在的空间。
多元函数的偏导就是沿着变量所在的空间的某个方向变化的函数。
在计算多元函数偏导时，首先需要指定函数的变量，然后根据函数的变量，沿着不同变量方向分别求出函数在不同变量方向上的偏导数。
最后，用求得的偏导数配合张量calculus中的梯度、Hessian矩阵与Laplace算子等等，就可以求出函数的偏导数。
最后，简要介绍一下多元函数偏导的实际应用。
多元函数偏导有很多实际应用，其中最常见的是机器学习方面。
在机器学习中，多元函数偏导用来估算机器学习中各个参数之间的相关性，从而更好的去优化机器学习的模型，使之更加准确。
多元函数偏导还可以用在深度学习中，来估算深度学习中各节点之间的关系，以便更好的优化深度学习的模型。
此外，多元函数偏导也可以用在金融领域，如风险分析、资产定价等，以及地理空间分析等领域中。
总而言之，多元函数偏导是衡量多维函数沿某一方向变化率的数量，它的计算方法基于inner product的张量calculus的偏导，它的应用涉及机器学习和深度学习等领域，以及金融领域和地理空间分析等领域。
二阶偏导数公式详解性质及公式是什么
二阶偏导数公式详解性质及公式是什么一、二阶偏导数的定义对于一个二元函数f(x,y)，它的二阶偏导数可以通过以下的定义给出：∂²f/∂x²=(∂/∂x)(∂f/∂x)∂²f/∂y²=(∂/∂y)(∂f/∂y)∂²f/∂x∂y=(∂/∂x)(∂f/∂y)∂²f/∂y∂x=(∂/∂y)(∂f/∂x)其中，∂/∂x表示对x进行偏导，∂/∂y表示对y进行偏导，∂f/∂x表示函数f对x的一阶偏导数，∂f/∂y表示函数f对y的一阶偏导数。
二阶偏导数即为一阶偏导数的偏导数。
二、计算方法我们可以通过对一阶偏导数求导得到二阶偏导数。
如果函数f(x,y)连续且具有二阶连续偏导数，则有以下计算公式：∂²f/∂x²=(∂/∂x)(∂f/∂x)∂²f/∂y²=(∂/∂y)(∂f/∂y)∂²f/∂x∂y=(∂/∂x)(∂f/∂y)∂²f/∂y∂x=(∂/∂y)(∂f/∂x)其中，求二阶偏导数时的求导操作与求一阶偏导数的操作相同。
需要注意的是，∂²f/∂x∂y和∂²f/∂y∂x应该相等，这是因为偏导数的次序并不影响结果。
三、性质及公式1. 黑塞矩阵（Hessian Matrix）：对于一个多元函数f(x1,x2, ..., xn)，它的二阶偏导数可以构成一个矩阵，称为黑塞矩阵。
黑塞矩阵H(f)的第i,j个元素为∂²f/∂xi∂xj。
黑塞矩阵可以用于研究函数的凸凹性质。
如果黑塞矩阵的所有特征值都大于0，则函数f是凸函数；如果黑塞矩阵的所有顺序主子式（即从左上角开始的连续k行k列的子矩阵行列式）都大于0，则函数f的局部极小值点。
2.混合偏导数的对称性：函数f(x,y)具有连续的混合偏导数∂²f/∂x∂y 和∂²f/∂y∂x，则有∂²f/∂x∂y=∂²f/∂y∂x。
二级偏导数公式
二级偏导数公式二级偏导数是微积分中的一个重要概念，它在多元函数的求导过程中扮演着重要的角色。
通过求取二级偏导数，我们可以了解函数在不同方向上的变化率，从而更好地理解函数的性质和特点。
我们来回顾一下一元函数的导数。
在一元函数中，导数表示函数在某一点处的变化率，即函数值随着自变量的微小变化而产生的变化。
而对于多元函数，由于存在多个自变量，所以就需要引入偏导数的概念。
偏导数表示函数在某一点处在特定自变量方向上的变化率。
对于二元函数而言，它有两个自变量，所以存在两个偏导数。
我们用∂f/∂x 表示函数f对自变量x的偏导数，用∂f/∂y表示函数f对自变量y的偏导数。
这两个偏导数分别表示函数f在x方向和y方向上的变化率。
而二级偏导数则是对一级偏导数再次求导。
在二元函数中，我们可以通过求取一级偏导数的偏导数来得到二级偏导数。
二级偏导数的求取可以帮助我们更全面地了解函数的性质。
具体地说，对于二元函数f(x, y)，我们可以先求取它对x的一级偏导数，即∂f/∂x。
然后再对∂f/∂x关于x进行求导，即求取它的偏导数。
这就是二级偏导数∂²f/∂x²。
同理，我们还可以求取∂f/∂y的一级偏导数，即∂²f/∂y²。
而对于∂f/∂x和∂f/∂y的混合偏导数，我们可以先求取其中一个的一级偏导数，再对它进行另一个自变量的求导，即求取二级偏导数。
通过求取二级偏导数，我们可以获得更多有关函数的信息。
比如，二级偏导数可以帮助我们判断函数的凹凸性质。
如果二级偏导数为正，那么函数在该点附近是凸的；如果二级偏导数为负，那么函数在该点附近是凹的。
此外，二级偏导数还可以帮助我们求取函数的极值点，从而找到函数的最大值或最小值。
二级偏导数在多元函数的求导过程中起着重要的作用。
它可以帮助我们更全面地了解函数的性质和特点，从而更好地应用于实际问题的求解中。
无论是在物理学、经济学还是工程学等领域，二级偏导数都具有广泛的应用价值。
多元函数的偏导数
z 解 因为 2 x sin 2 y, x
所以
dz 2x sin(2 y)dx 2x2 cos(2 y)dy
2
例3 求函数 z 1 x 解 因为
y 2 4 的全微分 dz
z 2 x x x 2 1 x 2 1 x2
2 zy x 2y 4 z yy 2 x 2y
z yx
2
x 2y
2
例4 求下列二元函数的所有二阶偏导数
2
解
ze
x2 y
z x2 y e 2 xy x 2 z x2 y 2 2 x2 y e 4 x y 2 ye 2 x
z x2 y e x2 y 2 z 4 x2 y x e 2 y
z 相对于 x 以及 z 相对于 y 的瞬时变化率——偏导数
z f x, y 为例，我们分别讨论：
偏导数的定义
设函数 若
x 0
lim
z f x, y 在点 x0 , y0 的某一邻域内有定义， f x0 x, y0 f x0 , y0
函数
偏导数的定义
对一元函数：
导数
f x0 x f x0 f x0 lim x 0 x
y f x
描述了函数在
x x0 处的瞬时变化率，
0
它的几何意义就是函数曲线上点
x , f x 处的切线的斜率。
0
对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题， 以二元函数
所以
z 2y y x 2 y 2 4 y2 4 x y dz dx dy 1 x2 y2 4
多元函数与偏导数分析
多元函数与偏导数分析在数学领域中，多元函数和偏导数是重要的概念。
多元函数是指有多个自变量的函数，而偏导数则是对于多元函数中的某一个自变量求导数时，将其他自变量视为常数来求导。
本文将对多元函数和偏导数进行分析和探讨。
一、多元函数的定义和性质多元函数是指具有多个自变量的函数，一般表示为f(x₁, x₂, ..., xₙ)，其中x₁, x₂, ..., xₙ为自变量，f为函数。
多元函数在现实生活中有广泛的应用，如物理学中的力学问题和经济学中的需求函数等。
对于多元函数，我们可以根据自变量的个数来分类讨论。
例如，二元函数是指具有两个自变量的函数，如f(x, y)；三元函数是指具有三个自变量的函数，如f(x, y, z)。
多元函数具有一些性质，包括域、值域和连续性等。
多元函数的域是指使函数有定义的自变量取值的集合，而值域是指函数在其定义域内能够取到的函数值的集合。
连续性是指函数在其定义域内的任意一点都存在极限，并且极限与该点的函数值相等。
二、偏导数的定义和计算偏导数是多元函数在某一点处对某一个自变量的偏导数。
偏导数的定义和计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数进行计算即可。
对于二元函数f(x, y)，其对x的偏导数记为∂f/∂x或fx，表示在给定y的值时，f关于x的变化率。
同理，其对y的偏导数记为∂f/∂y或fy，表示在给定x的值时，f关于y的变化率。
计算偏导数时，我们可以将其他自变量视为常数，仅对目标自变量求导。
例如，对于函数f(x, y, z)，其对x的偏导数为∂f/∂x，而对y和z 的偏导数则可以分别表示为∂f/∂y和∂f/∂z。
三、偏导数的应用偏导数在求解多元函数的最优解和判定函数性质方面具有广泛的应用。
1. 极值点的判定：通过求解偏导数为零的方程组，可以找到多元函数的驻点。
通过进一步分析偏导数的符号，可以判定驻点是否为极小值、极大值或鞍点。
2. 泰勒展开：通过偏导数的计算，可以对多元函数进行泰勒展开，从而在一定精度下逼近函数的值。
偏导数公式大全
以下是常见的偏导数公式大全：
1. 一阶偏导数：
-对于函数f(x, y)：
-∂f/∂x：对x 求偏导数
-∂f/∂y：对y 求偏导数
2. 高阶偏导数：
-对于函数f(x, y)：
-二阶偏导数：
-∂²f/∂x²：对x 求二阶偏导数
-∂²f/∂y²：对y 求二阶偏导数
-∂²f/∂x∂y：先对x 求偏导数，再对y 求偏导数
-∂²f/∂y∂x：先对y 求偏导数，再对x 求偏导数
-更高阶的偏导数类似地进行推导
3. 链式法则：
-对于复合函数z = f(g(x, y))：
-∂z/∂x = (∂f/∂g) * (∂g/∂x)
-∂z/∂y = (∂f/∂g) * (∂g/∂y)
4. 常见函数的偏导数：
-对于指数函数e^x：
-∂(e^x)/∂x = e^x
-对于对数函数ln(x)：
-∂(ln(x))/∂x = 1/x
-对于三角函数sin(x) 和cos(x)：
-∂(sin(x))/∂x = cos(x)
-∂(cos(x))/∂x = -sin(x)
以上是一些常见的偏导数公式，但并不是完整的列表。
在实际应用中，还会涉及更复杂的函数和多元变量的情况，需要根据具体问题进行推导和计算。
多元函数偏导数公式
多元函数偏导数公式
多元函数的偏导数是指在多元函数中，每一个自变量对应的偏导数。
下面是多元函数偏导数的公式：
对于一个n 元函数f(x1, x2, ..., xn)，它的第i 个自变量的偏导数为：
∂f/∂xi = lim(h→0) [f(x1, x2, ..., xi+h, ..., xn) - f(x1, x2, ..., xi, ..., xn)] / h
其中，h 为自变量xi 的增量，取值趋近于0。
多元函数的偏导数有一些基本的性质，例如：
1. 如果一个函数的偏导数存在且连续，那么这个函数就是可微的。
2. 如果一个函数的偏导数存在且连续，那么这个函数的偏导数与求导次序无关。
3. 如果一个函数的偏导数存在，但不连续，那么这个函数不一定是可微的。
4. 如果一个函数的偏导数不连续，那么这个函数的偏导数与求导次序有可能会产生差异。
多元函数偏导数的应用非常广泛，在数学、物理、经济等领域都有着重要的作用。
偏导数的运算公式大全
偏导数的运算公式大全偏导数是多元函数在某一点上对某个自变量的偏导数，其运算公式包括以下几种情况：1. 对于二元函数f(x, y)，偏导数的计算公式为：∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx, y) f(x, y)] / Δx.∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(x, y+Δy) f(x, y)] / Δy.2. 对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，偏导数的计算公式为：∂f/∂xi = lim(Δxi→0) [f(x1, x2, ..., xi+Δxi, ..., xn) f(x1, x2, ..., xn)] / Δxi.3. 常见函数的偏导数运算公式包括：对于幂函数f(x, y) = x^n，有∂f/∂x = nx^(n-1)，∂f/∂y = 0。
对于指数函数f(x, y) = e^x，有∂f/∂x = e^x，∂f/∂y = 0。
对于对数函数f(x, y) = ln(x)，有∂f/∂x = 1/x，∂f/∂y = 0。
对于三角函数f(x, y) = sin(x)，有∂f/∂x = cos(x)，∂f/∂y = 0。
对于反三角函数f(x, y) = arcsin(x)，有∂f/∂x =1/√(1-x^2)，∂f/∂y = 0。
4. 链式法则是计算复合函数偏导数的重要工具，其公式为：若z=f(x, y)，x=g(u, v)，y=h(u, v)，则∂z/∂u = (∂z/∂x)(∂x/∂u) + (∂z/∂y)(∂y/∂u)。
∂z/∂v = (∂z/∂x)(∂x/∂v) + (∂z/∂y)(∂y/∂v)。
5. 混合偏导数的计算公式为：若f(x, y)具有连续的偏导数，那么∂^2f/∂x∂y =∂^2f/∂y∂x.以上是偏导数的运算公式的一些常见情况，希望可以帮助到你。
如果你有其他问题，欢迎继续提问。
多元函数的偏导数
多元函数的偏导数以二元函数为例。
二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念。
.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识。
定义1 设f(x,y)为定义在点集D⊂R2上的二元函数，P0∈D（P0或者是D的聚点，或者是D的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要P∈U(P0,δ)∩D，就有f P−f(P0)<ε，则称f(x,y)关于集合D在点P0连续。
定义2 设函数z=f x,y,(x,y)∈D，若(x0,y0∈D且f x,y0在x0的某一邻域内有定义，则当极限limΔx→0∆x f(x0,y0)∆x =limΔx→0f x0+∆x,y0−f(x0,y0)∆x存在时，则称这个极限为函数f x,y在点x0,y0关于x的偏导数，记作ðfðx(x0,y0)。
定义3 设函数z=f x,y在点P0x0,y0某邻域U(P0,δ)内有定义，对于U(P0,δ)中的点P x,y=(x0+∆x,y0+∆y)，若函数f x,y在点P0x0,y0处的全增量可表示为∆z=f x0+∆x,y0+∆y−f x0,y0=A∆x+B∆y+O(ρ)，其中A、B是仅与点P0x0,y0有关的常数，ρ= ∆x2+∆y2，O(ρ)是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f x,y在点P0x0,y0处可微。
二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导。
定理1：若z=f x,y在点x,y可微，则z=f x,y在点x,y一定连续。
定理2：若二元函数z=f x,y在其定义域内一点P0x0,y0处可微，则f x,y在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且A=f x x0,y0,B=f y x0,y0。
定理3：若二元函数z=f x,y的偏导数在点P0x0,y0的某邻域内存在，且f x x 0,y 0 与f y x 0,y 0 在点 x 0,y 0 处连续，则函数f x ,y 在点 x 0,y 0 处可微。
多元函数求导法则
多元函数求导法则一、多元函数的概念多元函数是指由多个自变量和一个因变量构成的函数，可以表示为y=f(x1,x2,...,xn)，其中 xi 为自变量，y 为因变量。
二、偏导数的定义和性质1. 偏导数的定义：对于多元函数 f(x1,x2,...,xn)，在其中一点 P 处，对第 i 个自变量 xi 进行偏微分，即将其他自变量视为常数，然后求得函数关于 xi 的导数，这个导数就是函数在点 P 处关于第 i 个自变量 xi 的偏导数，记作∂f/∂xi。
2. 对于 n 个自变量的多元函数 f(x1,x2,...,xn)，共有 n 个偏导数∂f/∂xi，分别表示对应自变量变动时函数的变化率。
3.高阶偏导数：如果一个偏导数又可以再次进行偏导数，则称该偏导数为高阶偏导数。
三、求偏导数的法则1.一阶偏导数的法则：（1）常数法则：对于常数 C，d(C)/dxi = 0。
（2）幂法则：对于多项式函数 f(x1,x2,...,xn) = Cxiyjz...，其中 C 是常数，xi、yj、z... 表示自变量，d(f)/dxi = Cixiyjz...-1（3）和差法则：对于多元函数 f(x1,x2,...,xn) = g(x1,x2,...,xn) ± h(x1,x2,...,xn)，则d(f)/dxi = d(g)/dxi ± d(h)/dxi。
（4）乘法法则：对于两个多元函数 f(x1,x2,...,xn) =g(x1,x2,...,xn) × h(x1,x2,...,xn)，则 d(f)/dxi = g(x1,x2,...,xn) × d(h)/dxi + h(x1,x2,...,xn) × d(g)/dxi。
（5）除法法则：对于两个多元函数 f(x1,x2,...,xn) =g(x1,x2,...,xn) / h(x1,x2,...,xn)，则 d(f)/dxi = (h(x1,x2,...,xn) × d(g)/dxi - g(x1,x2,...,xn) × d(h)/dxi) / [h(x1,x2,...,xn)]^22.高阶偏导数的法则：多次运用一阶偏导数的法则即可求得高阶偏导数。
多元复合函数的偏导数
z x v u v 1 u x ( u v ln u ) v x 因此 2 x ( x y ) ( x 2 y 2 ) x y 1 ( x 2 y 2 ) x y ln( x 2 y 2 ) 类似可得 z y .
z z dz du dv u v ( v u v 1 ) du ( u v ln u) dv (v uv 1 ) ( ux dx u y dy ) (uv ln u) (v x dx v y dy ) [v uv 1ux (uv ln u) v x ]dx [v uv 1u y (uv ln u)v y ]dy
三. 复合3 型
定理 3. 设 z f (u, v ) 在点(u,v) 处可微, u ( x , y ) , v ( x, y ) 在点(x,y) 处可微, 则复合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在 点 (x,y) 处可微, 且
z z u z v ; x u x v x
z z u z v . y u y v y
注： 若只求偏导数, 则要求u, v 偏导数存在就可以了。 但必须要求外层函数 f 可微。
p f ( x 2 y 2 z , x y z ), f 具有二阶偏导数, 例 4. 设 求 p x , p xz , p yz .
当 z f (u, v ) 不是复合函数时也有 dz f1 ' du f 2 ' dv . 这称为一阶全微分不变性。 高阶全微分不具有不变性。
例 8. 设 z ( x 2 y 2 ) x y , 求 z x , z y . 记 解： u x 2 y 2 , v x y , 则 z u v ,
多元函数及偏导数
4 多元复合函数的导数 一元复合函数
z f [ y(x)] x Acos(t )
多元复合函数
假设 z f (u, v), u u(x, y), (x, y)
z f [u(x, y), (x, y)] 是变量x，y的多元复合函数
例如， 液体压强 静止 p p0 gh 流动时 p p(x, y, z,t)
x
类似地, y z y
y
如果两个自变量同时有增量x和y，
z f x x, y y f x, y
----全增量
举例： z xy
y xy
x y
y
xy yx
z x x)( y y xy
p
T
RT p2
注意：偏导数的记号是一个整体记号。
例1 、已知 z e2x cos 3y ， z z 2 z 2 z
求 ，， ，
x y x2 y2
解： z 2e2x cos 3y x
z 3e2x sin 3y y
2z x2
2e2x (2 cos 3y)
x、t ----自变量， p 、 ----因变量。
☞ 多元函数
例如： (x, y, z,t)
流体， p p(x, y, z,t)
vx vx (x, y, z,t) vy vy (x, y, z, t) vz vz (x, y, z, t)
2、偏导数
☞ 二元函数的极限
z f (x, y)
z f (x, y) 或 z z(x, y)
因变量
自变量
例如， z x2 3xy y2
S xy
V RT p
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x2 y 2 , xy 2 2 例.f ( x, y ) x y 0, 求f xy (0,0)和f yx (0,0).
x y 0
2 2
,
x y 0
2 2
x4 y 4 4x2 y 2 2 2 , x y 0 f ( x, y ) y 2 2 2 解： (x y ) x 2 2 0, x y 0 f x (0, y ) f x (0, 0) y f yx (0, 0) lim lim 1. x0 x0 y y
(1,2)
1 . 2
例.f ( x, y ) x e
2
y
y ( x 1) arctan , 求f x (1, 0). x
2
(1,0) 2. 解法一: f ( x,0) x , 所以f x
解法二: y y f x ( x, y ) 2 xe arctan ( x 1) x
Review
极限与连续 判断函数在一点没有极限的方法 连续函数在有界闭集上的性质 极限与累次极限 连续与分别连续
§2. 多元函数的偏导数
1.偏导数
Def. 设f ( x, y )在P 0 ( x0 , y0 )的某个邻域中有定义, 固定y y0 ,将f ( x, y0 )看作x的一元函数,并在x0 求导数,即
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim . x 0 x
若这个导数存在,则称之为f ( x, y)在P 的 0关于x
f ( x0 , y0 ) f 偏导数, 记作 ,或 x x
( x0 , y0 )等. ( x0 , y0 ). 或f x 同样可以定义f y
Question: 要求f xx(0,0),是否必须计算出f x ( x, y)? Re mark: 混合偏导数一般情况下与求导顺序有关.
, f yx 同时在( x0 , y0 )连续, 则 Thm. 若f xy ( x0 , y0 ) f yx ( x0 , y0 ). f xy
1 z 例. z f ( xy) yf ( x y), 求 . x xy z 解: f ( xy ) f ( x y) yf ( x y ) y
2
z z xy x y yf ( xy) f ( x y) yf ( x y).
z 2 2 例 : z f ( x, y), x 2 y, f ( x, x ) 1, 求f ( x, y). y z 2 解:由 x 2 y, 将x看成常数,两边对y积分, 得 y 2 z f ( x, y ) x 2 y dy
x y y g ( x),
(0,0) 例:f ( x, y) x 2 y 2 在原点连续,但f x (0,0), f y
f ( x,0) f (0,0) x2 事实上,lim lim 与 都不存在. x0 x 0 x x
y2 f (0, y) f (0,0) lim lim 都不存在. y 0 y 0 y y
y x2 2 y 1 x y y (1 x) y 2 xe arctan 2 . 2 x x y (1,0) 2. 所以f x
Remark: 求具体点处的偏导数时,第一种方法较好.
Remark: 多元函数偏导数存在与连续性互不蕴含.
1 y x 2 , x 0 例:设f ( x, y ) ,则f ( x, 0) f (0, y ) 0, 0 其它情形 (0, 0) 0,但f 在(0, 0)不连续. f x (0, 0) f y
2)求分段函数的偏导函数时,用定义求分界点 处的偏导数,用 1)中方法求其它点处的偏导数. 一般地,分段函数的偏导函数仍为分段函数.
1 2 2 2 ( x y ) sin x y 0 2 2 x y 例.设f ( x, y) 2 2 0 x y 0 ( x, y). 求f x 1 2 x sin 2 x 0. (0, 0) lim 解：x 2 y 2 0时,f x x 0 x x2 y 2 0时, 1 ( x, y ) 2( x y ) sin 2 fx x y2 2 x( x y ) 2 1 cos 2 . 2 2 2 2 x y x y
f xx f f f f , f yy 2 2 x x x y y y
2 2
而 分别为f 关于x的二阶偏导数, f 关于y的二 f xy , f yx xy x y yx y x 为f 关于x, y的二阶混合偏导数.
x4 y 4 4x2 y 2 2 2 , x y 0, f ( x, y ) x 2 2 2 (x y ) y 2 2 0, x y 0, ( x, 0) f y (0, 0) fy x lim 1. f xy (0, 0) lim x 0 x x0 x
x y f 例. 设f ( x, y) arctan ,求 1 xy x
f ( x, y) 解: x 1 x y 1 1 xy
2
2
.
(1,2)
1 xy y( x y)
1 xy
2
1 (1 x ). f 令x 1, y 2, 得到 x
f ,或 x ( x0 , y0 )
,
P 0
Remark: 偏导数的几何意义.
Remark: 视( x0 , y0 )为变量,则得到偏导函数 f ( x, y ) f ( x, y ) 和 . x y
Remark: 1)对某个变量求偏导数时,视其余变 量为常数,按一元函数求导法则和公式去求.
2 2
其中g ( x)为待定函数. 由f ( x, x ) 1, 有
2
g ( x) 1 2 x 4 2 2 4 f ( x, y) 1 x y y 2x
2.高阶偏导数
(x , y )为x , y 的二元函数,考虑它们的虑 视f x ( x, y ), f y 它们的偏导数,即高阶偏导数.例如,
作业: P63 No. 2, 3(4)(6)(7), 4(1)(5)(6)