2-2多元函数的偏导数_604409968

1 z 例. z f ( xy) yf ( x y), 求 . x xy z 解: f ( xy ) f ( x y) yf ( x y ) y
2
z z xy x y yf ( xy) f ( x y) yf ( x y).
Review
极限与连续 判断函数在一点没有极限的方法 连续函数在有界闭集上的性质 极限与累次极限 连续与分别连续
§2. 多元函数的偏导数
1.偏导数
Def. 设f ( x, y )在P 0 ( x0 , y0 )的某个邻域中有定义, 固定y y0 ,将f ( x, y0 )看作x的一元函数,并在x0 求导数,即
(1,2)
1 . 2
例.f ( x, y ) x e
2
yBaidu Nhomakorabea
y ( x 1) arctan , 求f x (1, 0). x
2
(1,0) 2. 解法一: f ( x,0) x , 所以f x
解法二: y y f x ( x, y ) 2 xe arctan ( x 1) x
2 2
其中g ( x)为待定函数. 由f ( x, x ) 1, 有
2
g ( x) 1 2 x 4 2 2 4 f ( x, y) 1 x y y 2x
2.高阶偏导数
(x , y )为x , y 的二元函数,考虑它们的虑 视f x ( x, y ), f y 它们的偏导数,即高阶偏导数.例如,
x y f 例. 设f ( x, y) arctan ,求 1 xy x
f ( x, y) 解: x 1 x y 1 1 xy
2
2
.
(1,2)

1 xy y( x y)
1 xy
2
1 (1 x ). f 令x 1, y 2, 得到 x
2)求分段函数的偏导函数时,用定义求分界点 处的偏导数,用 1)中方法求其它点处的偏导数. 一般地,分段函数的偏导函数仍为分段函数.
1 2 2 2 ( x y ) sin x y 0 2 2 x y 例.设f ( x, y) 2 2 0 x y 0 ( x, y). 求f x 1 2 x sin 2 x 0. (0, 0) lim 解：x 2 y 2 0时,f x x 0 x x2 y 2 0时, 1 ( x, y ) 2( x y ) sin 2 fx x y2 2 x( x y ) 2 1 cos 2 . 2 2 2 2 x y x y
Question: 要求f xx(0,0),是否必须计算出f x ( x, y)? Re mark: 混合偏导数一般情况下与求导顺序有关.
, f yx 同时在( x0 , y0 )连续, 则 Thm. 若f xy ( x0 , y0 ) f yx ( x0 , y0 ). f xy
2
x2 y 2 , xy 2 2 例.f ( x, y ) x y 0, 求f xy (0,0)和f yx (0,0).
x y 0
2 2
,
x y 0
2 2
x4 y 4 4x2 y 2 2 2 , x y 0 f ( x, y ) y 2 2 2 解： (x y ) x 2 2 0, x y 0 f x (0, y ) f x (0, 0) y f yx (0, 0) lim lim 1. x0 x0 y y
作业: P63 No. 2, 3(4)(6)(7), 4(1)(5)(6)
f ,或 x ( x0 , y0 )
,
P 0
Remark: 偏导数的几何意义.
Remark: 视( x0 , y0 )为变量,则得到偏导函数 f ( x, y ) f ( x, y ) 和 . x y
Remark: 1)对某个变量求偏导数时,视其余变 量为常数,按一元函数求导法则和公式去求.
x4 y 4 4x2 y 2 2 2 , x y 0, f ( x, y ) x 2 2 2 (x y ) y 2 2 0, x y 0, ( x, 0) f y (0, 0) fy x lim 1. f xy (0, 0) lim x 0 x x0 x
z 2 2 例 : z f ( x, y), x 2 y, f ( x, x ) 1, 求f ( x, y). y z 2 解:由 x 2 y, 将x看成常数,两边对y积分, 得 y 2 z f ( x, y ) x 2 y dy
x y y g ( x),
y x2 2 y 1 x y y (1 x) y 2 xe arctan 2 . 2 x x y (1,0) 2. 所以f x
Remark: 求具体点处的偏导数时,第一种方法较好.
Remark: 多元函数偏导数存在与连续性互不蕴含.
1 y x 2 , x 0 例:设f ( x, y ) ,则f ( x, 0) f (0, y ) 0, 0 其它情形 (0, 0) 0,但f 在(0, 0)不连续. f x (0, 0) f y
f xx f f f f , f yy 2 2 x x x y y y
2 2
而 分别为f 关于x的二阶偏导数, f 关于y的二阶偏导数.
2 f f 2 f f f xy , f yx xy x y yx y x 为f 关于x, y的二阶混合偏导数.
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim . x 0 x
若这个导数存在,则称之为f ( x, y)在P 的 0关于x
f ( x0 , y0 ) f 偏导数, 记作 ,或 x x
( x0 , y0 )等. ( x0 , y0 ). 或f x 同样可以定义f y
(0,0) 例:f ( x, y) x 2 y 2 在原点连续,但f x (0,0), f y
f ( x,0) f (0,0) x2 事实上,lim lim 与 都不存在. x0 x 0 x x
y2 f (0, y) f (0,0) lim lim 都不存在. y 0 y 0 y y