第四章 第七节讲解
2022年初中科学同步讲义(浙教版) 七年级上册 第4章 第7节 升华与凝华(教师版)
第7节 升华与凝华课程标准课标解读 1.了解升华和凝华现象，能说出物质升华时要吸收热量，凝华时要放出热量。
能用升华和凝华知识解释一些典型的现象。
2.能用物态变化观点说明云、雨、雪、雾露、霜的形成。
解读1:了解升华和凝华现象，知道升华和凝华过程中伴随的吸热与放热现象。
常见题型为选择题、填空题、实验探究题，难度较小。
解读2:知道自然界中云、雨、雾、露、霜、雪、冰雹等自然现象成因。
常见题型为选择题、填空题，难度适中。
知识点01 升华和凝华(一)实验探究碘的升华和凝华给烧杯里的碘加热，烧杯中出现了紫色碘蒸气。
停止加热后，在盛有水的烧瓶底部出现了紫黑色的碘晶体。
实验表明:加热时，碘由固态直接变成气态；冷却时，碘由气态直接变成固态。
(二)升华(1)概念:升华是指物体从固态直接变成气态的过程。
(2)升华是吸热过程，升华要从周围环境吸热，使周围环境温度降低，所以升华有致冷作用。
人们利用这个特点来降温。
如利用干冰升华时吸收大量热来实施人工降雨，制造舞台烟雾效果，食品冷藏，医疗麻醉等。
(三)凝华(1)概念:凝华是指物体从气态直接变成固态的过程。
(2)凝华是放热过程，凝华要放出热量。
(四)用分子运动的观点解释升华和凝华升华是固态物质表面的分子克服其他分子对它的引力进入空气中的过程，而凝华则是气体分子碰到固态物质的表面，并被固态物质分子的引力所束缚的过程。
【能力拓展】1、常见的升华现象:a.衣柜中防虫用的樟脑丸会慢慢变小，最后消失不见了。
b.北方冬季，放在室外的冰冻的衣服会慢慢变干目标导航知识精讲c.用久的灯泡灯丝变细。
2、干冰：不是冰，干冰为固态二氧化碳。
干冰易升华，升华吸热。
当将干冰粉喷撒到舞台上时，干冰迅速升华致冷，使空气中的水蒸气遇冷液化成小水珠，形成“白雾”从而渲染气氛。
3、常见的凝华现象:a.冬季看到的“雾松”。
b.冬季窗玻璃的内表面上的“冰花”。
c.用久的灯泡壁变黑。
【即学即练1】(2020七上·临安期末)下列两个实验都是为了演示“碘的升华”而设计的。
第四章第七节曲率
a b2
思考: 上面的椭圆在何处曲率最大?
三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 M 处作曲线的切线和法线, 在曲线
y
C 的凹向一侧法线上取点 D 使 M ( x, y ) 1 o x DM R K 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
R
T
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
K
y (1 y )
2 32Biblioteka 显然 当2axb0时曲率最大
曲率最大时 x
b 对应的点为抛物线的顶点 2a
因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|
例4. 求椭圆 在t=0处的曲率. 解: (t ) a sin t ; (t ) b cos t ;
y 2 1 ( ) x s s( x) lim 1 ( y) 2 x 0 x
MM MM
由此得弧微分公式:
ds 1 y2 dx
或者
几何意义:
ds (dx) (d y )
2
2
ds M T
dy sin ds
y
dx cos ; ds
二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线 转角为 , 定义 弧段 s 上的平均曲率
K s
点 M 处的曲率
d K lim s 0 s ds
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
注: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲 率互为倒数.
第4章 第7节 解三角形应用举例-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)
第七节解三角形应用举例一、教材概念·结论·性质重现1．仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.3.方向角意义图示相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)．坡度又称为坡比.解三角形应用问题的步骤1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．(√) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(×) (3)若点P 在点Q 的北偏东44°，则点Q 在点P 的东偏北46°． (×) (4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2．(×)2．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°D 解析：由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 3．如图，为测量一棵树OP 的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.30＋303解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4.由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度OP＝PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.64解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝CDsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.所以AB＝64km.所以A，B两点间的距离为64km.5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．40 m解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.因为∠ABD＝120°，由正弦定理ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3(km)．在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋23×32×CD．即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32(km)，BC＝BD＋CD＝33－12(km)．两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km ， 而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．1．若将本例条件“BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“BD ＝200 m ，CD ＝300 m ”，其他条件不变，求这条索道AC 的长．解：在△ABD 中，BD ＝200，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD ， 所以200sin 30°＝ADsin 120°. 所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝200 3 (m)． 在△ABC 中，DC ＝300 m ，∠ADC ＝150°，所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC ＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC ＝10039 m.故这条索道AC 长为10039 m.2．若将本例条件“∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“∠ADC ＝135°，∠CAD ＝15°，AD ＝100 m ，作CO ⊥AB ，垂足为O ，延长AD 交CO 于点E ，且CE ＝50 m ，如图”，求角θ的余弦值．解：在△ACD 中，∠ADC ＝135°， ∠CAD ＝15°，所以∠ACD ＝30°. 由正弦定理可得AC ＝100×sin 135°sin 30°＝100 2.在△ACE 中，由正弦定理可得sin ∠CEA ＝AC ·sin ∠CAE CE＝3－1，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠CEA －π2＝sin ∠CEA ＝3－1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． 考向2 测量高度问题如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.22．6 解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°， 所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°. 设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v . 在Rt △ABD 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝100cos 60°＝200. 在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ， 所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．1．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为()A．a sin 53°2sin 47°B．2sin 47°a sin 53°C．a tan 26.5°tan 73.5°tan 47°D．a sin 26.5°sin 73.5°sin 47°D解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，即asin 47°＝ADsin 26.5°，则AD＝a sin 26.5°sin 47°.在△ACD中，ACAD＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝a sin 26.5°·sin 73.5°sin 47°.故选D．2．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．在地面上的A ，B 两点测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝50米，则OP 为( )A ．15米B ．25米C ．35米D ．45米B 解析：如图所示：由于∠OAP ＝30°，∠PBO ＝45°，∠ABO ＝60°，AB ＝50米，OP ⊥AO ，OP ⊥OB ．设OP ＝x ，则OA ＝3x ，OB ＝x ，在△OAB 中，由余弦定理得OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠ABO ， 即(3x )2＝502＋x 2－2×50x ×12，所以x 2＋25x －1 250＝0，解得x ＝25或x ＝－50(舍)．3．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80米，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________米．805 解析：如图，在△ACD 中，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°.由正弦定理，得AC＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)(米)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°.由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝80×sin 15°sin 30°＝40(6－2)(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝805(米)，则A，B两点间的距离为805米．考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD ＝3，BC＝ 2.(1)若CD＝1＋3，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝325，∠ADC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin∠ADC．解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD 中，由余弦定理可得，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝2＋(1＋3)2－222×2×(1＋3)＝22. 因为C 为三角形的内角，故C ＝π4， 所以S △ABD ＝12AB ·AD ＝12×1×3＝32， S △BCD ＝12BC ·CD sin C ＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32， 故四边形ABCD 的面积S ＝1＋232.(2)在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD ， 所以sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠BCD BD＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠BDC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos ∠BDC ＝45，在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝33， 故∠ADB ＝π6，所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BDC ＋π6＝35×32＋45×12＝4＋3310.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点． (2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．(3)养成应用方程思想解题的意识．1．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)，AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，AD ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 kmA 解析：在△ACD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230. 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC 2＝49.所以AC ＝7.2．(2020·山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝26，AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，∠BCD ＝π3.(1)求BD ；(2)求△BCD 周长的最大值．解：在△ABD 中，设BD ＝x ，∠ABD ＝α，则∠ADB ＝2α， 因为AB sin 2α＝AD sin α， 所以cos α＝63.由余弦定理得cos α＝x 2＋24－946x ＝63. 整理得x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝5或x ＝3. 当x ＝3时，得∠ADB ＝2α＝π2， 与AD 2＋BD 2≠AB 2矛盾，故舍去， 所以BD ＝5.(2)在△BCD 中，设∠CBD ＝β， 所以BD sin π3＝BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β＝CD sin β，所以BC ＝1033sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β，CD ＝1033sin β，所以BC ＋CD ＝1033·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin β＋32cos β＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6≤10. 所以△BCD 周长的最大值为15.考点3 解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)f (x )＝1＋cos 2x 2－3sin x cos x －12＝12cos 2x －32sin 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π2，所以－π6<2A －π6<5π6. 又f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1， 所以2A －π6＝π2，即A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．又a ＝2，所以bc ≤4， 所以S △ABC ＝12bc sin A ≤ 3. 即△ABC 的面积的最大值为 3.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12(x ∈R )，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求△ABC 的周长． 解：(1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 因为f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0且C 为三角形内角，所以C ＝π3. (2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 则sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得cos π3＝a2＋4a2－3 2·a·2a＝12，解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋ 3.。
高中数学知识点总结(第四章 三角函数、解三角形 第七节 正弦定理和余弦定理)
第七节 正弦定理和余弦定理一、基础知识 1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A. 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)；(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．二、常用结论汇总——规律多一点 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] (1)由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin 30°3＝13，∵a ＝3>b ＝2，∴B <A ，即B为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝223. (2)∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或B ＝5π6，又∵C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. [答案] (1)223 (2)1考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)(2018·泰安二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b2c －a＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________.[解析](1)∵b cos A ＋a cos B ＝c 2，∴由余弦定理可得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c 2，整理可得2c 2＝2c 3，解得c ＝1，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2＋2＋1＝5.(2)由正弦定理可得c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C ＝ab ＋c， ∴c 2－b 2＝2ac －a 2，∴c 2＋a 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∵0<B <π，∴B ＝π4.[答案] (1)D (2)π4[题组训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以t a n A ＝－1， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12， 又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32， 因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin C sin A＝3×3＋2232×6＝1＋263.考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[解析] (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．[答案] (1)B (2)C[变透练清] 1.变条件若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角三角形 2.变条件若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形． 答案：等腰或直角三角形 3.变条件若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝ba＝2”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又因为A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2，所以C ＝π2，于是△ABC是直角三角形．答案：直角三角形[课时跟踪检测]A 级1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选A 因为cos B ＝ac ，由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D.6解析：选D ∵b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，∴b ＝ 6.5．(2019·莆田调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6. 6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A.5 B ．3 C.10D ．4解析：选B 由正弦定理可得2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ， ∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C >0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.7．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：28．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sinB ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，∴c ＝4. 答案：49．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)． 答案：2173 10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C ．由正弦定理得a ＋c ＝2b ，又因为a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.答案：－1411．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．解：(1)证明：因为A ＝2B ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin 2B ＝bsin B ，所以a ＝2b cos B .(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 因为b ＝2，c ＝4，A ＝2B ，所以16c os 2B ＝4＋16－16cos 2B ，所以c os 2B ＝34，因为A ＋B ＝2B ＋B <π，所以B <π3，所以cos B ＝32，所以B ＝π6.12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，结合正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 又由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以bc ＝－2bc cos A ，即cos A ＝－12.由于A 为△ABC 的内角，所以A ＝2π3.(2)由已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，结合正弦定理，得2sin 2A ＝(2sin B ＋sin C )sin B ＋(2sin C ＋sin B )sin C ， 即sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝sin 22π3＝34.又由sin B ＋sin C ＝1，得sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，结合sin B ＋sin C ＝1，解得sin B ＝sin C ＝12.因为B ＋C ＝π－A ＝π3，所以B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰三角形．B 级1．(2019·郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D ．6解析：选A 由2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1，得1＋c os(A ＋B )－(2c os 2C －1)＝2－2c os 2C －cos C ＝1，即2c os 2C ＋cos C －1＝0，解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍去)．由4sin B ＝3sin A及正弦定理，得4b ＝3a ，结合a －b ＝1，得a ＝4，b ＝3.由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋32－2×4×3×12＝13，所以c ＝13.2．(2019·长春模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n Cc，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________. 解析：∵2sin A a ＝t a n C c ＝sin C c cos C ，且由正弦定理可得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C (R 为△ABC的外接圆的半径)，∴cos C ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.∵sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，sin C ＝sin(A ＋B )，∴2sin A cos B ＝4sin B cos B ．当cos B ＝0时，B ＝π2，则A ＝π6，∵c ＝3， ∴a ＝1，b ＝2，则a ＋b ＝3.当cos B ≠0时，sin A ＝2sin B ，即a ＝2b .∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴b 2＝1，即b ＝1，∴a ＝2，则a ＋b ＝3.综上，a ＋b ＝3.答案：33．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解：(1)2a cos C －c ＝2b ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin B ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A ，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22.又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，b ＝c ＝2，由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2c ·b ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2c os 2π3＝6，∴a ＝ 6.第二课时 正弦定理和余弦定理(二) 考点一 有关三角形面积的计算[典例] (1)(2019·广州调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( )A ．37 B.372C ．9D.92(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝________.[解析] (1)法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，代入数据，得a ＝3，又cos B ＝34，B ∈(0，π)，所以sin B ＝74，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝372. 法二：由cos B ＝34，B ∈(0，π)，得sin B ＝74，由正弦定理b sin B ＝csin C 及b ＝7，c ＝4，可得sin C ＝1，所以C ＝π2，所以sin A ＝cos B ＝34，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝372.(2)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B . 又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)，∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴t a n B ＝3，∵B ∈()0，π，∴B ＝π3.[答案] (1)B (2)π3[变透练清] 1.变条件本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 解析：因为sin C ＝2sin A ，所以c ＝2a ，所以a ＝2，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×4×154＝15.答案：15 2.变结论本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，ca的取值范围是________．解析：∵B ＝π3且C 为钝角，∴C ＝2π3－A >π2，∴0<A <π6 .由正弦定理得ca ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1t a n A.∵0<t a n A <33，∴1t a n A>3， ∴c a >12＋32×3＝2，即ca >2. 答案：(2，＋∞)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B －sin A )cos C ＝sin C cos A ， 即2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵B ∈(0，π)，∴sin B >0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)知，C ＝π3，故S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝433，解得ab ＝163.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 又c ＝3，∴(a ＋b )2＝c 2＋3ab ＝32＋3×163＝25，得a ＋b ＝5.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋3＝8.[解题技法]1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 考点二 平面图形中的计算问题[典例] (2018·广东佛山质检)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1. (1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[解] (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·c os ∠ABC ， 即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12.(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，即AC sin π6＝4sin θ， ① 在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝⎛⎭⎫π2－θ＝θ－π4， 由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠BCA ，即AC sin 3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，② ①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4sin θ，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2θ＋c os 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255.[解题技法]与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．[题组训练]1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．解析：设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a 3. 在△ABD 中，c os ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a22a ×2a 3＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63. 在△BDC 中，BD sin C ＝BCsin ∠BDC， ∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.答案：662.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长． 解：设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列， 所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·c os ∠EDC ， 即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0， 解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． 在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CDsin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α，所以c os ∠AEB ＝c os ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝c os 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714. 在Rt △EAB 中，c os ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47.考点三 三角形中的最值、范围问题[典例] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π4D.⎣⎡⎦⎤π6，π3(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－12[解析] (1)在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin 2A ，即2sin B cos A ＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b＝2a ，所以A 为锐角．又因为sin B ＝2sin A ∈(0,1]，所以sin A ∈⎝⎛⎦⎤0，22，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4. (2)因为cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，所以1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2－4sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C. [答案] (1)B (2)C[解题技法]1．三角形中的最值、范围问题的解题策略解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，b －c <a <b ＋c ，三角形中大边对大角等．[题组训练]1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝ b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A.2B.98C ．1D.78解析：选B ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98. 2．(2018·哈尔滨三中二模)在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________．解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝2sin π3＝433，∴a ＝433sin A ，b ＝433sin B ．又∵B ＝2π3－A ，∴a ＋b ＝433sin A ＋433sin B ＝433sin A ＋433sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6.又∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1，∴a ＋b ∈(2,4]． 答案：(2,4]3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A 3sin C .(1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意及正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22abc ＋a 2＋b 2－c 22abc ＝3a 3c ，整理得2a 22abc ＝3a3c ，所以b ＝ 3.(2)由题意得cos B ＋3sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1， 因为B ∈(0，π)，所以B ＋π6＝π2，所以B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ， 即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立． 所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤334，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立．故△ABC 面积的最大值为334.考点四 解三角形与三角函数的综合应用考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换[典例] (2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． [解] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得b sin A ＝a sin B .又因为b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6， 所以a sin B ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝32cos B ＋12sin B ， 所以t a n B ＝ 3.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a ＜c ，所以cos A ＝27. 所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2c os 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314. 考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质[典例] (2018·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝c os 2x ＋3sin(π－x )c os(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．[解] (1)f (x )＝c os 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又∵x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f (A )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝－1， ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又∵b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.[对点训练]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．解：(1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0， 所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0， 由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0，又因为C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为B ＝π3，所以f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π＋5π12(k ∈Z)，即当x ＝k π＋5π12(k ∈Z)时，f (x )取得最大值1.[课时跟踪检测]A 级1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则 △ABC 的面积为( )A.12 B.14C ．1D ．2解析：选A 由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则角B 的大小为( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π6解析：选C 由已知条件和正弦定理，得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0.化简，得2sin A cos B ＋sin A ＝0.因为角A 为三角形的内角，所以sin A ≠0，所以cos B ＝－12，所以B ＝2π3. 3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．2或3解析：选D 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos A ＝13，因为a ＝3，所以由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3. 4．(2018·昆明检测)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，t a n ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1 B.2 C.3D ．2解析：选A 法一：因为t a n ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，c os ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·ABc os ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABCBC ＝2×323＝1.法二：在△ABC 中，因为t a n ∠BAC ＝－3<0，所以∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，结合选项可知选A.5．(2018·重庆九校联考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△ABC 面积的最大值为( )A.33B.32C.3D ．23解析：选C 由a sin B ＝3b cos A ，得sin A sin B ＝3sin B cos A ，∴t a n A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3，故S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝3(当且仅当b ＝c ＝2时取等号)，故选C.6．(2019·安徽名校联盟联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋3B ．2＋2C ．3D ．3＋2解析：选A 由b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又因为bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.7．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理知72＝52＋BC 2－2×5×BC ×cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3(负值舍去)． 故S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×32＝1534.答案：15348．(2019·长春质量检测)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________．解析：由题意可知cos A 2＝sin B b ＝sin Aa ，因为a ＝23，所以t a n A ＝3，因为0<A <π，所以A ＝π3，由余弦定理得12＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，又因为b ＋c ＝6，所以bc ＝8，从而△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×8×sin π3＝2 3.答案：239．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠BAC ＝π2，点D 在边BC上，AD ＝1，且BD ＝2DC ，∠BAD ＝2∠DAC ，则sin Bsin C＝________.解析：由∠BAC ＝π2及∠BAD ＝2∠DAC ，可得∠BAD ＝π3，∠DAC ＝π6.由BD ＝2DC ，令DC ＝x ，则BD ＝2x .因为AD ＝1，在△ADC 中，由正弦定理得1sin C ＝x sin π6，所以sin C ＝12x，在△ABD 中，sin B ＝sin π32x ＝34x ，所以sin B sin C ＝34x 12x＝32.答案：3210．(2018·河南新乡二模)如图所示，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝________.解析：∵AD ＝DB ，∴∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝2∠A .设AD ＝DB ＝x ， ∴在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝DB sin C，可得4sin 2A ＝xsin π3. ①在△AED 中，DE sin A ＝AD sin ∠AED ，可得22sin A ＝x1. ② 联立①②可得42sin A cos A ＝22sin A 32，解得cos A ＝64.答案：6411．(2019·南宁摸底联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 c (1＋cos B )＝b (2－cos C )．(1)求证：2b ＝a ＋c ；(2)若B ＝π3，△ABC 的面积为43，求b .解：(1)证明：∵c (1＋cos B )＝b (2－cos C )，∴由正弦定理可得sin C ＋sin C cos B ＝2sin B －sin B cos C ， 即sin C cos B ＋sin B cos C ＋sin C ＝sin(B ＋C )＋sin C ＝2sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴a ＋c ＝2b .(2)∵B ＝π3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ＝43，∴ac ＝16.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac . ∵a ＋c ＝2b ，∴b 2＝4b 2－3×16，解得b ＝4. 12．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求c os ⎝⎛⎭⎫A －π6的值． 解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝35.由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )， 又因为cos B ＝45，sin B ＝35，所以cos A ＝－c os(B ＋C )＝－c os ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos Bc os π4＋sin B sin π4＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－c os 2A ＝7210. 因此，c os ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos Ac os π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. B 级1．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2，6)C ．(2，3)D ．(6，4)解析：选B ∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A ，∴ba ＝2cos A ．又C ＝π－3A ，C为锐角，∴0<π－3A <π2⇒π6<A <π3，又B ＝2A ，B 为锐角，∴0<2A <π2⇒0<A <π4，∴π6<A <π4，22<cosA <32，∴2<b a <3，∴2<2ba< 6. 2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋bc os 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是________．解析：由已知及正弦定理得sin 2A sin B ＋sin Bc os 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋c os 2A )＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac ＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当c ＝3a 时取等号．∵A 为三角形的内角，且y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，∴0<A ≤π6，则角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π6. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π6 3．(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．解：(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以c os ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·c os ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝c os ∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·c os ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD .在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54， 所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58.。
第四章第七节新概念武器
新概念武器一、高能激光武器二、高功率微波武器三、粒子束武器四、动能武器五、非致命武器六、其它新概念武器新概念武器的工作原理与杀伤机制不同于传统武器，具有独特作战效能、正处于研制或探索之中、尚未大规模用于战场的一类新型高技术武器。
正在探索和发展中的新概念武器主要有：定向能武器、动能武器、非致命武器、气象武器、基因武器等。
美国的新概念航空武器一、高能激光武器美国、俄罗斯、西欧各国和以色列的高能激光武器研究试验早已进行了多年，将在2010年前后成为反导弹、反卫星的重要手段。
（一）高能激光武器的基本概念与分类1、高能激光武器的基本概念–又叫强激光武器或激光炮。
是利用高能激光束摧毁飞机、导弹、卫星等目标或使之失效的定向能武器;–主要由激光器、精密瞄准跟踪系统和光束控制与发射系统组成;–激光器连续束流功率在2万瓦以上。
美国研制和装备的车载激光武器2、高能激光武器的分类（1）按军事用途分类➢战术激光武器--打击距离在数公里至20公里之间，用于地基、车载、舰载或机载，对付战术导弹、低空飞机、坦克等战术目标。
➢战略激光武器--一般具有天基部件(距地面1000公里以上的太空)，主要用于远程战斗，打击距离近则数百公里，远达数千公里。
主要用于破坏在空间轨道上运行的卫星以及反洲际弹道导弹。
战术高能激光武器美国空军设想的天基激光武器系统（2）按部署方式分类➢天基高能激光武器--空间防御和攻击➢地基高能激光武器--地面防御和攻击➢机载高能激光武器--空中防御和攻击➢舰载高能激光武器--海上防御和攻击➢车载高能激光武器--攻击敌人的坦克群或者火炮阵地。
美国80年代“星球大战”计划中的激光武器车载高能激光武器（二）高能激光武器的特点1、攻击速度快2、命中精度高3、稳定性能好4、污染程度低5、抗干扰能力强6、使用成本低美国空军正在研制的机载高能激光武器（三）高能激光武器的现状与发展趋势1、主要采用化学激光器2、战术上主要用于防空和反导3、战略上主要用于反导和反卫星美国空军机载激光武器美国用于激光反卫星试验MSTI -3卫星二、高功率微波武器（一）高功率微波武器的基本概念与分类1、高功率微波武器的基本概念又称射频武器，指峰值功率在100兆瓦以上，频率在1--300吉赫之间，利用高功率微波发射机和高增益定向天线发射高强度、能量集中、具有方向特征的微波射束来毁坏敌方电子设备的一种定向能武器。
人教版高二物理选修3-2第四章电磁感应第7节涡流、电磁阻尼和电磁驱动课件
2.电磁感应现象在生产、生活及科学研究中有着广泛的应用， 下列说法正确的是（ ） A.电磁炉利用变化的磁B场CD使食物中的水分子形成涡流来对食物 加热
B.当金属探测器在探测到金属时，会在金属内部产生涡流，涡 流的磁场反过来影响金属探测器中的电流，致使蜂鸣器发出蜂 鸣声
C.磁电式仪表线圈的骨架用铝框来做是利用电磁阻尼让摆动 的指针快速停下来，微安表在运输时要把正负接线柱短接也 是利用电磁阻尼，防止指针摆动过大损坏
4.电动机、变压器的线圈都绕在铁芯上。线圈中流过变化的电流， 在铁芯中产生的涡流使铁芯发热，浪费了能量，还可能损坏电器。 因此，我们要想
办法减小涡流。途径之一是增
大铁芯材料的电阻率，常用的
铁芯材料是硅钢，它的电阻率
比较大。另一个途径就是用互
相绝缘的硅钢片叠成的铁芯来代替整块硅钢铁芯。
5.探测地雷的探雷器是利用涡流工作的。士兵手持一个长柄线 圈在地面扫过，线圈中有变化着的电流。如果地下埋着金属物 品，金属中会感应出涡流， 涡流的磁场反过来影响线圈中 的电流，使仪器报警。这种探 雷器可以用来探测金属壳的地 雷或有较大金属零件的地雷。 机场的安检门可以探测人身携带的金属物品，道理是一样的。
11.水平光滑的桌面内固定一足够长的直导线，并通入如下图 所示的恒定电流，两个相同的正方形线框abcd和efgh到导线 的距离相等，两个线框
间产生的电磁现象忽略不计，
现分别给两个线框竖直向下
和水平向右的速度v。
下列判断正确的是（ ACD） A.线框abcd做匀速直线运动，线框efgh做减速直线运动
C．铝管对桌面的压力大于铝管的重力
D．磁块动能的增加量小于于重力势能的减少量
10．两个完全相同的灵敏电流计A、B，按图所示的连接方式， 用导线连接起来，当把电流计A的指针向左边拨动的过程中， 电流计B的指针将（ ）
中医内科学 第四章 肺系病证 第七节 肺胀
葶苈大枣泻肺汤： 葶苈子、大枣
桂枝茯苓芍药研，桃仁丹皮蜜为丸， 活血化瘀消癥块，瘀阻胞宫服之安。
肺胀 ——证治分类
3．痰瘀阻肺 常用药：萃劳子涤痰除壅；桂枝通阳化气，温化寒痰；茯苓 除湿化痰；丹皮、赤芍助桂枝通血脉，化瘀滞；大枣甘温安 中。 辨证加减：若痰多者，加三子养亲汤；腑气不利，大便不畅 者，加大黄、厚朴。
平喘固本汤：半夏、橘红、款冬花、 补肺汤：人参、黄芪、
苏子、党参、五味子、坎炁qi、冬 熟地、五味、紫菀、桑
虫夏草、胡桃肉、沉香、磁石。
白皮
肺胀 ——证治分类
6．肺肾气虚 常用药：党参（人参）、黄芪、炙甘草补肺；冬虫夏草、熟 地黄、胡桃肉、脐带益肾；五味子收敛肺气；灵磁石、沉香 纳气归原；紫菀、款冬、苏子、半夏、橘红化痰降气。 辨证加减：若肺虚有寒，怕冷，舌质淡，加肉桂、干姜、细 辛；阴伤，低热，舌红苔少，加麦冬、王竹、知母、生地黄； 气虚瘀阻，面唇发绀明显，加当归、丹参、苏木；出现面色 苍白、冷汗淋漓、四肢厥冷、血压下降、脉微欲绝等喘脱危 象者，急加参附汤送服蛤蛤粉或黑锡丹补气纳肾，回阳固脱。 病情稳定后，可常服皱肺丸。
肺胀 ——证治分类
7．阳虚水泛 临床表现：面浮肢肿，甚或一身悉肿，肮痞腹胀，或腹满有 水，尿少，心悸，喘咳不能平卧，咯痰清稀，怕冷，面唇青 紫，舌胖质暗，苔白滑，脉沉虚数或结代。 证机概要：心肾阳虚，水饮内停。 治法：温肾健脾，化饮利水。 代表方：真武汤合五苓散加减。前方温阳利水，后方通阳化 气利水。
肺胀 ——证治分类
6．肺肾气虚 临床表现：呼吸浅短难续，咳声低怯，胸满短气，甚则张口 抬肩，倚息不能平卧，咳嗽，痰如白沫，咳吐不利，心慌， 形寒汗出，面色晦暗，舌淡或暗紫，苔白润，脉沉细无力。 证机概要：肺肾两虚，气失摄纳。 治法：补肺纳肾，降气平喘。 代表方：平喘固本汤合补肺汤加减。前方补肺纳肾，降气化 痰，后方补肺益气。
考研高数总复习第四章矩阵第七节
第七节 分块乘法的初等变换及应用举例
主要内容 分块初等矩阵
应用举例
一、分块初等矩阵
1. 定义
定义15 把单位矩阵 E 如下进行分块：
E
Em O
O En
分块初 对它进行三种初等变换所得到的矩阵称为
等矩阵.
分块初等矩阵有以下三种：
1) 分块对换矩阵 2) 分块倍乘矩阵
对换两行(列)所得到
O Em
E O
EA
A E
设 A，B 为 n n 矩阵，作
O B
O E
ABB .
Pij
En O
Eij En
,
i , j = 1, 2, … , n , 这里 Eij 为 n n 矩阵，除了第 i
行第 j 列元素为 aij 外，其他元素皆为零.
则由初
等矩阵与初等变换的关系，易得下列关系式
P11P12
L
P1n
证明 因为
Em O
BD1 En
A C
B D
A
BD1C C
O D
,
因为 T1 可逆，对它进行初等变换后仍可逆，即
A
BD1C C
O D
可逆，故 (A - BD-1C)-1 存在.
由
Em O
BD1 En
T1
A
BD1C C
OD
解得
T11
A
BD 1C C
O D
1
Em O
BD1 En
,
再由例 1，得
T11
由归纳法假设，有下
三角形矩阵 ( B1 )( n - 1) ( n - 1) 满足
B1A1 = 上三角形矩阵.
对 A 作如下分块：
高中化学必修一 课时第4章第7节 化学键20202021学年精品讲义)
离子键和共价键 【学习目标】1、通过NaCl 的形成过程，理解离子键的形成过程与形成条件，知道离子键、离子化合物的概念2、知道共价键、极性键的概念和实质3、能从化学键的角度理解化学反应的本质【主干知识梳理】一、离子键及离子化合物1、离子键的形成过程 (以NaCl 形成为例)钠可以在氯气中燃烧，反应的化学方程式为2Na ＋Cl 2=====点燃2NaCl根据钠原子和氯原子的核外电子排布，钠原子要达到8电子的稳定结构，就需要失去1个电子；而氯原子要达到8电子稳定结构则需获得1个电子。
钠个氯气反应时，钠原子的最外电子层上的1个电子转移到氯原子的在外电子层上，形成带正电荷的钠离子和带负电的氯离子。
带相反电荷的钠离子和氯离子，通过静电作用结合在一起，从而形成与单质钠和氯气性质完全不同的NaCl 。
2(1)概念：带相反电荷离子之间的相互作用叫做离子键(2)成键微粒：阳离子和阴离子(3)成键本质：阴离子和阳离子之间的静电作用。
这种静电作用不只是静电引力，而是指阴、阳离子之间的静电引力与电子之间、原子核之间斥力处于平衡时的总效应(4)成键条件①活泼金属(如：K 、Na 、Ca 、Ba 等，主要是ⅠA 和ⅡA 族元素)和活泼非金属(如：F 、Cl 、Br 、O 等，主要是ⅥA 族和ⅦA 族元素)相互结合时形成离子键。
ne n me m M M X X ---++-−−−→−−−→ −−−−→吸引、排斥达到平衡离子键 (有电子转移) ②酸根阴离子与金属阳离子(含NH 4+)之间形成离子键(5)成键的原因：离子键成键的原因是原子间相互得失电子达到稳定结构；体系的总能量降低(6)存在范围：只存在离子化合物中，常见的离子化合物：强碱(NaOH)；绝大多数盐[NaCl 、Na 2SO 4，但AlCl 3、BeCl 2例外；金属氧化物(Na 2O 、Na 2O 2、K 2O 、CaO 、MgO)(7)成键元素：一般是活泼的金属和活泼的非金属元素(8)离子键强弱的判断：离子键的强弱决定于相互作用的阴、阳离子所带的电荷数的多少和其离子核间的距离(即阴、阳离子半径之和)大小。
第四章第七节调速器
（3）双速式和全速式调速器的区别：
1）是否直接操纵供油拉杆或利用调速弹 簧间接操纵供油拉杆。 2）工作点不同。
双速式：调速弹簧相继不连续参与工作；
全速式：调速弹簧相继连续参与工作。
（4）调速器的过钢 球4也一起旋转。这时在推力盘轴向两侧 便受到两个方向相反的作用力：钢球旋 转时产生的离心力的轴向分力FA和调速 弹簧的作用力FE。在离心力的作用下，使 推力盘有向左移动和带动供油拉杆，减 少供油量的趋势；弹簧力总是作用在推 力盘上有使它向右移动和带动供油拉杆， 增加供油量的趋势。
1、柴油机平衡：
当调速器操纵手柄及供油拉杆位 于某一位置时，喷油泵供给一定的 油量，柴油机的输出扭矩与阻力矩 相等，柴油机稳定在某一转速下工 作，此时
FA＝ FE
2、当负荷增加时：
转速减小， FA＜ FE
3、当负荷减少时：
转速增加， FA＞FE
4、总结：
（1）调速器起作用的转速：
发动机起动后曲轴转速升高，飞块的离心推 力推动滑套右移压缩调速弹簧。当转速升高到 某一定值时，离心推力即与弹簧弹力相平衡， 即FA＝FE，此时，供油拉杆就停在此位置上， 喷油泵供油量不再变化，柴油机就在此转速下 稳定运转。该转速即为调速器开始起作用的转 速，其大小主要取决于调速弹簧的刚度和预紧 力的大小。若弹簧刚度和预紧力越大，该转速 就越高。反之，该转速就低。
第七节 调速器
• 一、作用与分类：
• 1、安装调速器的必要性： • （1）柴油机的速度特性： • 保持柴油机喷油泵的供油拉杆位置一定 时，有效功率、有效转矩、燃油消耗率 等其他指标随转速的变化规律，称为速 度特性。
（2）柱塞式喷油泵的速度特性 喷油泵的速度特性是指供油 调节位置不变时，喷油泵每循 环供油量随转速变化的关系。
第四章第七节物理性质和化学性质
新世纪教育网精选资料版权全部@新世纪教育网第七节物理性质和化学性质教材剖析本节是全章的最后一节，内容是科学研究的两种最重要的运动形式，也是对前方学习过的各样变化和性质的初步归纳。
对初一学生来说，教课要求不可以太高，有些内容在后续课中持续学习。
应在调换全体学生参加学习、投入实验、踊跃思虑、提出问题的基础上，帮助学生自己形成观点，而不用对化学性质的判断作过深的解说。
教课目的1、知道物质的变化有物理变化和化学变化，能说出划分这两种变化的依照。
知道物质的性质有物理性质和化学性质，能说出划分这两种性质的依照。
2、察看现象、剖析问题、以及建立学为所用的意识。
3、经过小组实验养成操作规范、勤于思虑的科学态度及拥有团结协作的科学精神。
通过划分物理变化和化学变化、物理性质和化学性质，学习求同比较分类的学习方法。
教课要点和难点要点：物理变化和化学变化的观点成立和理解难点：对化学性质的理解协助学具水、木炭、氧气、蜡烛、生锈的铁块、铁、试管、玻璃片、白炽灯、磁铁、投影仪、投电影、火柴等学习方法采纳设置适合情形发问，指引学生踊跃思虑、议论。
以学生实验为主，全体参加，师生共同商讨。
板书设计第七节物理性质和化学性质一、物质的变化依照变化前后有无新物质生成能够分为物理变化和化学变化。
物理变化：没有生成其余物质的变化。
化学变化：有新物质生成的变化。
二、物质的性质依照性质能否经过化学变化表现出来能够分为物理性质和化学性质。
物理性质：不需要经过化学变化就能表现出来的性质。
如物质的颜色、气味、状态、溶解性、沸点、熔点、凝结点、硬度、密度、发光、发热等。
化学性质：一定经过化学变化才能表现出来的性质。
如物质的酸碱性、可燃性等。
教课过程教师活动学生活动[问题议论 ]1、一部分学生依据经验做出判断，一部分学生1、什么是物质的“变化”？举例说明。
查阅《现代汉语字典》，学生会举出好多例子。
我们认真察看以下常有现象的变化。
变化：事物在形态上或实质上产生新的情况。
第四章 第七节 通过透镜看世界-【教材解读】教科版物理八年级上册
第七节通过透镜看世界举一反三1．C 解析：因为被观察物体在很远处，物距大于前面放大镜的2倍焦距，所以前面的放大镜成的是倒立、缩小的实像，故A选项错误；因为两个放大镜组合在一起观察远处的物体，所以相当于一架望远镜，不是一台显微镜，故B选项错误，c选项正确；将两个放大镜的位置对换后，观察同一物体的大小是不同的，故D选项错误。
2．实投影仪放大镜虚解析：显微镜成像原理告诉我们，物体经物镜后成一个放大的实像，这个实像在目镜的焦点以内，再经目镜成一个放大的虚像，物镜成像与投影仪镜头成像一样，目镜的作用相当于一个放大镜。
3．D 解析：物像的移动方向和玻片标本的移动方向相反。
在显微镜下观察到的物像在视野右下方，由于显微镜成倒立的像，玻片标本实际位于视野左上方，要使物像移至视野中央，物像应从右下方向左上方移动，因此玻片标本应向右下方移动。
综合提升训练1．B解析：显微镜的物镜、目镜都是凸透镜。
物镜成像原理相当于投影仪，当物体放在1倍焦距与2倍焦距之间时，成倒立、放大的实像；目镜成像原理相当于放大镜，成正立、放大的虚像。
故选B。
2．D解析：物镜相当于凸透镜，目镜也相当于凸透镜，故A错误；物镜和目镜都相当于凸透镜，都起放大作用，故B、C错误；物镜和目镜都相当于凸透镜，来自被观察物体的光经物镜成一个放大的像，再经目镜放大一次，这样就可看到肉眼看不到的微小物体了，故D 正确。
3．C 解析：用望远镜观察物体时，物距大于辑成倒立、缩小的实像，与照相机的成像原理相似，故A错误，c正确；摄像头相当于一个凸透镜，当物体位于其2倍焦距以外时，物体成倒立、缩小的实像，故B错误；记录“红月亮”时，应该在原来全景照的基础上，拉长镜头，拍下月亮的特写镜头。
相对于全景照，此时的像变大，像距变大，因此应将镜头向前伸，故D错误。
4凸透放大放大解析：显微镜的物镜和目镜都是凸透镜，物镜焦距短，目镜焦距长。
它的成像可简单记为：物镜成像类似投影仪，目镜成像类似放大镜，两次放大，一实一虚。
第4章 第7节 升华与凝华
学生姓名：上课时段：上课日期：阮老师编辑第7节升华与凝华〖要点整理〗一.升华1.定义：物质从固态直接变成气态叫升华。
升华是指物质从固态直接变为气态的过程，注意在此物态变化中并不存在液态。
升华是吸热过程。
2.现象：冰冻的衣服变干、雪堆没有熔化变小、灯丝变细、衣柜里的卫生球变小、干冰升华、碘升华、固体清香剂消失等。
一般在任意温度下，任何固体的表面都会发生升华现象。
某些干燥的固体物质如香皂发出气味这就是固体表面发生升华。
二.凝华1.定义：物质从气态直接变成固态叫凝华。
凝华是物质从气态直接变成固态的过程，在此物态变化过程中没有经过液体。
凝华需要该物质的蒸气达到一定的浓度以及温度要降到该物质的凝固点以下才能发生。
凝华是放热过程。
2.现象：冬天窗户上的冰花、霜、雾凇等都是凝华。
〖例题解析〗( )A.春天，雾绕群峰B.夏天，雨笼山峦C.秋天，霜打枝头D.冬天，万里冰封分析与解答：凝华是物质从气态直接变成固态，并且放热。
雾是水蒸气遇冷液化成小水珠漂浮在空气中；雨是水蒸气液化或者空气中的小冰晶熔化成水珠；液体水凝固成冰；而霜是水蒸气凝华而成，故选C。
〖巩固基础〗1.下列各图中的物理现象属于凝华的是（）2.物理学是人类探索自然、认识自然的有力武器，下列自然现象属于凝华的是（）A.有时江面弥漫的大雾B.秋天花叶上的露珠C.冬天早晨地上的霜D.湖面上结了一层厚厚的冰3.下列各种现象中，属于升华现象的是（）A.早晨有浓雾B.冬天，室外冰冻的衣服干了C.屋顶上的瓦上结了一层霜D.水结成了冰4.下列物态变化中属于凝华的是（）A.铁水被浇铸成工件B.冰冻的衣服也会干C.冬天寒冷的早晨，室外物体上常常挂着一层霜D.冬天用湿手摸室外的铁器时，觉得粘手5.寒冷的冬天，在窗玻璃上常会出现“窗花”，下列说法中正确的是（）C.窗花在玻璃的外表面，是升华现象D.窗花在玻璃的外表面，是凝华现象6.用久的灯泡会发黑，是因为钨丝发生了下列哪种现象（）A.凝固B.升华C.凝华D.先升华后凝华7.下列物质中，由水蒸气凝华而形成的是（）A.露B.雾C.雹D.雪8.下列物态变化过程中，属于升华现象的是（）A.放在衣橱里的樟脑丸变小B.花盆里的潮湿泥土变干C.夏天，冷饮杯外壁有小水珠D.秋天，屋顶瓦上结霜9.新鲜蔬菜快速冷冻后放到低温真空环境中,蔬菜很快就变干燥了,这样既能长期保存又能保持原有的营养和味道。
2024年《电容器的电容》课件
2024年《电容器的电容》课件一、教学内容本节课选自2024年物理教材第四章第七节“电容器的电容”。
详细内容包括：电容器的基本概念、电容器的电容定义及其计算公式、电容器的种类及其特点、电容器的串联与并联、电容器的应用等。
二、教学目标1. 让学生掌握电容器的基本概念，理解电容器的电容定义，掌握电容计算公式。
2. 使学生了解电容器的种类及特点，能够区分不同类型的电容器。
3. 让学生掌握电容器的串联与并联规律，并能应用于实际电路分析。
三、教学难点与重点重点：电容器的基本概念、电容计算公式、电容器的串联与并联。
难点：电容器的电容计算公式的应用，电容器的串联与并联在实际电路中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、板书用具、电容器实物、实验器材等。
2. 学具：教材、笔记本、计算器等。
五、教学过程1. 实践情景引入：利用多媒体课件展示日常生活中的电容器应用实例，如电脑主板上的电容器、电子设备中的滤波电容器等，引导学生思考电容器的功能与作用。
2. 教学内容讲解：（1）电容器的基本概念、电容定义及其计算公式。
（2）电容器的种类及其特点。
（3）电容器的串联与并联规律。
（4）电容器的应用。
3. 例题讲解：讲解一道关于电容器电容计算的例题，引导学生运用所学知识解决问题。
4. 随堂练习：出几道与电容器相关的练习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。
5. 课堂小结：六、板书设计1. 电容器的定义、计算公式。
2. 电容器的种类及特点。
3. 电容器的串联与并联规律。
4. 例题及解答。
七、作业设计1. 作业题目：（1）计算给定电容器的电容。
（2）分析电容器串联与并联电路的特点。
（3）简述电容器在实际电路中的应用。
2. 答案：（1）电容计算公式：C = Q/V，其中Q为电荷量，V为电压。
（2）串联电容器的总电容小于任一单个电容器的电容，并联电容器的总电容等于各电容器电容之和。
（3）电容器在实际电路中的应用：滤波、储能、耦合等。
第4章第7节不可导函数举例
从几何上看，割线OQ在直线y x与y x之间 摆动，无极限位置故切线不存在（图P 172 ).
1 2 x sin ，x 0 然而 y 存 在 切 线 y 0. x 0，x 0
2015年8月25日星期二
3
特例
§7. 不可导的函数举例
以上几例是几个特殊的不可导函数的特殊情 况,要单独特殊记住.
特例
§7. 不可导的函数举例
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x)在 点x0 可 导 极 限 lim 存在 x 0 x f ( x0 0)与f ( x0 0)存 在 且 相 等 .
例1. f ( x) x，x (,).
因为，f (0) 1,
由于 lim x 0 f (0)，故f ( x)在x 0连续. 但是：
x 0 2 3
x 1 f (0) lim lim , 1 x 0 x x 0 x 3
2 3
即 f (0) , 不 存 在 . 故 f ( x)在x 0 不 可 导 .
f ( x) x 在x 0处连续,
y y=|x|
但f ( x) x 在x 0处不可导,
f (0) 1,
即 f (0)不存在 .
可导必连续，但反之不然.
2015年8月25日星期二
O
x
1
特例
2 3
§7. 不可导的函数举例
例2.
f ( x) x ，x (,).
1 x sin , x 0, f ( x) x 0, x 0.
因 lim x sin
x 0
1 0 f (0), x
故f ( xБайду номын сангаас在x 0连续 .但
第四章第七节被子植物的生活史
一 生活史 二 世代交替
一 生活史
“从种子到种子”这一整个生活历程，称为被子植物的生活史。 在被子植物的生活史中，都要经过两个基本阶段：从合子开始到胚 囊母细胞和花粉母细胞减数分裂前，细胞内的染色体的数目为二倍 （2n），称为二倍体阶段（或称孢子体阶段或无性世代）；从胚囊母
为世代交替（alternation of generation）。在被子植物的生活
史中，这两个世代交替出现，称为世代交替现象。
• 配子体: 植物在世代交替过程中,产生配子和具有单
倍体染色体的植物体。 简单地说,就是配子体世代(有 性世代)的植物体。
• 孢子体: 植物在世代交替过程中,产生孢子和具2倍
数染色体的植物体。简单地说,就是我们看到一般植物 体(二倍体植物)。
• 配子: 配子是植物进行有性生殖所产生的一种特殊细
胞，大孢子，小孢子等都是配子（中间形态）。是单 倍体细胞. • 大（小）孢子：孢子母细胞经减数分裂形成4个大（小） 孢子，4个大孢子中三个退化，一个经3次有丝分裂形 成8个核（包括卵细胞和两个极核）。 小孢子经1次有丝分裂形成2个精子。 • 生殖细胞是卵细胞和精细胞.
• 孢子：是植物产生的一种有繁殖作用的细胞,能直接
发育成新个体.是无性生殖细胞.
雄配子体的发育
雌配子体的发育
配子体世代从孢 子母细胞减数分 裂开始，到形成 花粉粒（雄配子 体）或胚囊（雌 配子体）止。
孢子体世代则从 卵细胞受精后开 始，由合子发育 成成熟植株，两 个世代相互依存 和转变。
第一册完冉翠香源自细胞和花粉母细胞经过减数分裂到形成成熟胚囊（雌配子体）和花粉粒
（雄配子体），细胞内染色体的数目是单倍（n）的，称为单倍体阶
[高考数学总复习]第四章第七节正弦定理和余弦定理
![[高考数学总复习]第四章第七节正弦定理和余弦定理](https://img.taocdn.com/s3/m/c1a67c03f78a6529647d5360.png)
(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积.
【解】
(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4， 所以
又因为△ABC的面积等于 得ab＝4.
联立方程组
要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C 的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断三 角形的形状.
利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边 边关系或角角关系.
【解】
法一：已知等式可化为
a2[sin(A－B)－sin(A＋B)] ＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.
，∴sinC＝
.
2．在△ABC中，若tanA＝
，C＝120°，BC＝2
，则AB＝
________.
解析：因为tanA＝ ，所以sinA＝ ，由正弦定理
＝
，可得AB＝
＝5.
答案：5
3.(2010· 福建高考)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、
c.若(a2＋c2－b2) tanB＝ ac， 则角B的值为 .
由正弦定理，得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，
∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0， ∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π 得2A＝2B或2A＝π－2B， 即△ABC为等腰或直角三角形.
法二：同法一可得2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB，
第四章认知学习理论第七节信息加工学习理论
第四章认知学习理论第七节信息加⼯学习理论第七节信息加⼯学习理论了解信息加⼯认知⼼理学兴起的历史背景掌握信息加⼯理论的分类、基本假设、研究⽅法和主要研究内容掌握信息加⼯的过程、学习原理和认知模型的定义等现代⼼理学发展到60年代中期，由于计算机科学技术和⼈⼯智能科学的迅速崛起，由于⾏为主义⼼理学在回答⼈类复杂认知过程上的失败，加之信息论、控制论和系统论的积极影响，⼀个新的⼼理学研究范式——认知⼼理学(Congnitive Psychology)诞⽣了。
认知⼼理学⼜称为“信息加⼯⼼理学”(Information processing psychology)。
它强调⼼理学对⼈的各种认知过程的研究，并根据对各种认知过程的⼼理学研究提出相应的认知模型或信息加⼯模型。
这些信息加⼯模型可供计算机科学家和⼈⼯智能专家参考，并设计出相应的计算机程序，让计算机模拟或实现⼈的各种认知功能。
⼈⼯智能科学诞⽣于20世纪50年代。
它的诞⽣以1950年图灵发表的《计算机和智能》⼀⽂为标志。
关于⼈⼯智能的概念有多种不同的说法，但其核⼼意义是⼀致的，这就是使计算机能够做出⼀些表现⼈类智能的事情，并借此帮助我们理解智能的⼯作原理。
⼈⼯智能科学研究的重⼼是设计各种体现⼈类智能的计算机程序，如问题解决程序、模式识别程序和学习程序等，使计算机代替⼈脑进⾏智能性⼯作。
认知⼼理学对⼈类学习过程的研究在于针对不同的学习类型提出学习过程的认知模型，并通过计算机程序的设计让计算机模拟或实现相应的学习过程，从⽽探索学习过程的内在规律。
这样，认知⼼理学研究就同⼈⼯智能科学的研究紧密地结合起来了。
本章在对信息加⼯⼼理学作简要地介绍之后，着重介绍⼏个学习的认知模型。
信息加⼯认知⼼理学兴起的历史背景信息加⼯理论分类信息加⼯理论的基本假设信息加⼯认知⼼理学的研究⽅法信息加⼯认知⼼理学的主要研究信息加⼯的过程信息加⼯学习原理学习的认知模型信息加⼯认知⼼理学的贡献及其⾯临的问题⼀、信息加⼯认知⼼理学兴起的历史背景信息加⼯认知⼼理学集中于认知过程的研究，与认知理论有着密切的联系，⾃然也和其他⼼理学思想⼀样源远流长。
经济学理论第四章生产论第七节 规模报酬
的倍数。
8
劳动与资本投入为2单位
6
时，产出为100单位；
4
当劳动与资本分别投入为 4单位时，产出低于200单
2
位，投入是原来的两倍，但 O
产出却不及原来的两倍。
R
Q=300
Q=200 Q=100 2468 L 规模报酬递减
规模报酬问题的图形表现
a.规模收益递增
产出扩大规模大于生产要 素扩大规模。
8
劳动和资本投入分别 6
为2个单位时，产出
为100个单位;
4
劳动和资本分别为4 2
个单位时，产出为
O
200个单位。
R
Q=300 Q=200 Q=100 2 4 68 L 规模报酬不变
3.规模报酬递减
产量增加比例<规模（要 素）增加比例。
是一种规模不经济
劳动与资本扩大一个很大 K 的倍数，而产出只扩大很小
第七节 规模报酬
一、含义 规模报酬(Returns to Scale)变化是指 在其他条件下不变的情况下，企业内
部各种生产要素按相同比例变化时所
带来的产量变化。
规模报酬的变化有几种情形？ 例如，生产要素的投入量都增
加了1倍，产出能增加多少？
二、规模报酬的变动
1、规模报酬递增[Increasing Returns to Scale]
产出量的增长比例大于投入量的增长比例。 2、规模报酬不变[Constant Returns to
Scale] 产出量的增长比例等于投入量的增长比例。 3、规模报酬递减[Decreasing Returns to
Scale] 产出量的增长比例小于投入量的增长比例。
1.规模报酬递增
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螺旋板换热器的主要缺点是： （1）操作压强和温度不宜太高：目前最高操作压强不超过 2Mpa，温度不超过300~400℃。 （2）不易检修：因整个换热器被焊成一体，一旦损坏，修理 很困难。 1． 3）平板式换热器
平板式换热器简称板式换热器，是由一组长方形的薄金 属板平行排列，加紧组装于支架上而构成。两相邻板片的边 缘衬有垫片，压紧后板间形成密封的流体通道，且可用垫片
设有隔板，将螺旋形通道隔开，两板之间焊有定距柱以维 持通道间距。在螺旋板两侧焊有盖板。冷热流体分别通过 两条通道，在器内逆流流动，通过薄板进行换热。 螺旋板式换热器的优点： 1）传热系数高：螺旋流道中的流体由于惯性离心力的作用 和定距柱的干扰，在较低的雷诺数（一般Re=1400~1800或 更低些）下即达到湍流，并且允许选用较高的流速（对液 体为2m/s，气体为20m/s），故传热系数较高。如水对水的 换热，其传热系数可达2000~3000W/（m2.K），而列管式换 热器一般为1000~2000 W/（m2.K）。
流通处，冷却水在空气中汽化时也带走一部分热量，提高了 冷却效果。因此，和沉浸式相比，喷淋式换热器的传热效果 要好得多。同时它还便于检修和清洗等优点。其缺点是喷淋 不易均匀。 3）套管式换热器
套管式换热器是由大小不同的直管制成的同心套管，并 由U型弯头连接而成。每一段套管称为一程，每程有效长度 约为4~6m，若管子过长，管中间会向下弯曲。
第七节 换热器
一、换热器的类型 二、列管式换热器的基本型式 三、新型换热器 四、各种间壁式换热器的比较和 传热的强化途径
一、换热器的类型
管式
换热面的型式 间壁式
板式
根据传热原理和 实现热交换的方法 混合式
翅片式
蓄热式
1、管式换热器
1）沉浸式换热器 这种换热器是将金属管弯绕成各种与容器相适应的形状
固定管板式的两端管板和壳体制成一体。因此它具有结构 简单和成本低的优点。但是壳程清洗和检修困难，要求壳 程流体必须是洁净而不易结垢的物料。当两流体的温差较 大时，应考虑热补偿。即在外壳的适当部位焊上一个补偿 圈，当外壳和管束热膨胀不同时，补偿圈发生弹性变形（ 拉伸或压缩），以适应外壳和管束不同的热膨胀程度。这 种补偿方法简单，但不宜应用两流体温差过大（应不大于 70℃）和壳程流体压强过高的场合。
较大，尤其在高温、高压和大型装置中多采用列管式换热 器。
在列管式换热器中，由于管内外流体温度不同，管束 和壳体的温度也不同，因此它们的热膨胀程度也有差别。 若两流体的温差较大，就可能由于热应力而引起设备变形 ，管子弯曲，甚至破裂或从管板上松脱。因此，当两流体 的温差超过50℃时，就应采用热补偿的措施。根据热补偿 方法的不同，列管式换热器分为以下几种主要形式： （1）固定管板式
可以自由伸缩。而与其他管子和壳体均无关。这种换热器 结构比浮头式简单，重量轻，但管程不易清洗，只适用于 洁净而不易结垢的流体，如高压气体的换热。
2、板式换热器
1）夹套式换热器 夹套式换热器式最简单的板式换热器，它是在容器外
壁安装夹套制成，夹套与容器之间形成的空间为加热介质 或冷却介质的通路。这种换热器主要用于反应过程的加热
在套管式换热器中，一种流体走管内，另一种流体走环隙
适当选择两管的管径，两流体均可得到较高的流速，且两 流体可以为逆流，对传热有利。另外，套管式换热器构造 较简单，能耐高压，传热面积可根据需要增减，应用方便
缺点：管间接头多，易泄露，占地较大，单位传热面消 耗的金属量大。因此它较适用于流量不大，所需传热面积 不多而要求压强较高的场合。 4）列管式换热器 优点 ：单位体积所具有的传热面积大，结构紧凑、紧固传 热效果好。能用多种材料制造，故适用性较强，操作弹性
（2）浮头式换热器 浮头式换热器的特点是有一端管板不与外壳连为一体，
可以沿轴向自由浮动。这种结构不但完全消除了热应力的影 响，且由于固定端的管板以法兰与壳体连接，整个管束可以 从壳体中抽出，因此便于清洗和检修。故浮头式换热器应用 较为普遍，但它的结构比较复杂，造价较高。 （3）U型管式换热器
U型管式换热器每根管子都弯成U。这样，每根管子
（多盘成蛇形，常称蛇管），并沉浸在容器内的液体中。 蛇管内、外的两种流体进行热量交换。几种常见的蛇管形 式如图所示。 优点 ：结构简单、价格低廉，能承受高压，可用耐腐蚀材 料制造 缺点 ：容器内液体湍动程度低，管外对流传热系数小。
2）喷淋式换热器 喷淋式换热器也为蛇管式换热器，多用作冷却器。这种 换热器是将蛇管成行地固定在钢架上，热流体在管内流 动，自最下管进入，由最上管流出。冷水由最上面的淋 水管流下，均匀地分布在蛇管上，并沿其两侧逐排流经 下面的管子表面，最后流入水槽而排出，冷水在各排管 表面上流过时，与管内流体进行热交换。这种换热器的 管外形成一层湍动程度较高的液膜，因而管外对流传热 系数较大。另外，喷淋式换热器常放置在室外空气
或冷却。在用蒸汽进行加热时，蒸汽由上部接管进入夹套 ，冷凝水由下部接管流出。作为冷却器时，冷却介质（如 冷却水）由夹套下部接管进入，由上部接管流出。 夹套式换热器结构简单，但其加热面受容器的限制，且传 热系数也不高。为提高传热系数，可在器内安装搅拌器， 为补充传热面的不足，也可在器内安装蛇管。 2）螺旋板式换热器 螺旋板式换热器是由两张间隔一定的平行薄金属板卷制而 成，在其内部形成两个同心的螺旋形通道。换热器中央
2）不易结垢和堵塞：由于流体的速度较高，又有惯性离心 力的作用，流体中悬浮的颗粒被抛向螺旋形通道的外缘而 受到流体本身的冲刷，故螺旋板换热器不易结垢和堵塞， 适合处理悬浮液及粘度较大的介质。
3）能利用温度较低的热源：由于流体流动的流道较长和 两流体可进行完全逆流，故可在较小的温差下操作，能充 分利用温度较低的热源。 4）结构紧凑：单位体积的传热面积为列管式的3倍，可节 约金属材料。
的厚度调节通道的大小。每块板的四个角上，各开一个圆 孔，其中有一对圆孔和一组板间流道相通，另外一对圆孔 则通过在孔的周围放置垫片而阻止流体进入该组板间的通 道。这两对圆孔的位置在相邻板上是错开的以分别形成两 流体的通道。冷热流体交错地在板片两侧流过，通过板片 进行换热。板片厚度约为0.5~3mm，通常压制成凹凸地波 纹状。例如人字形波纹板。增加了板的刚度以防止板片受 压时变形，同时又使流体分布均匀，增强了流体湍动程度 和加大了传热面积，有利于传热。