离散数学之命题符号化共35页文档
离散数学命题符号
离散数学命题符号一、离散数学命题符号的定义在离散数学中，命题是一个陈述句，可以判断为真或为假。
为了准确地表示命题，在离散数学中引入了命题符号。
命题符号主要用于表示命题的逻辑关系，以及对命题的运算。
1. 命题变量和命题符号离散数学中，命题变量被表示为字母，常用的命题变量包括p、q、r等。
命题符号则用来表示对命题变量的操作和运算关系。
常用的命题符号包括逻辑与（∧）、逻辑或（∨）、非（¬）等。
2. 逻辑连接词离散数学中，逻辑连接词用于将多个命题连接起来，形成复合命题。
常见的逻辑连接词有：- 逻辑与（∧）：表示两个命题都为真时，复合命题为真；否则为假。
- 逻辑或（∨）：表示两个命题至少一个为真时，复合命题为真；否则为假。
- 非（¬）：表示对命题的否定。
3. 命题符号的优先级为了保证命题的运算顺序和结果的准确性，在离散数学中，命题符号有一定的优先级。
常见的命题符号优先级从高到低依次为：- ¬（非）- ∧（逻辑与）- ∨（逻辑或）二、离散数学命题符号的应用1. 命题的合取和析取在离散数学中，逻辑与（∧）和逻辑或（∨）的运算被广泛应用于命题的合取和析取。
- 合取：当多个命题同时为真时，可以使用合取运算符（∧）将这些命题合并成为一个复合命题。
例如，当p表示“今天下雨”、q表示“今天天气阴沉”时，合取命题p∧q表示“今天同时下雨并且天气阴沉”。
- 析取：当多个命题至少一个为真时，可以使用析取运算符（∨）将这些命题合并成为一个复合命题。
例如，当p表示“今天下雨”、q表示“今天天气阴沉”时，析取命题p∨q表示“今天下雨或者天气阴沉”。
2. 命题的否定在离散数学中，非（¬）运算符常用于对命题的否定。
如果p为真，则¬p为假；如果p为假，则¬p为真。
例如，若p表示“今天下雨”，则¬p表示“今天不下雨”。
3. 命题的复合运算通过组合使用逻辑连接词和命题符号，可以对多个命题进行复合运算。
离散数学符号表
《离散数学》符号表∀ 全称量词（任意量词）∃ 存在量词├ 断定符（公式在L 中可证）╞ 满足符（公式在E 上有效，公式在E 上可满足） ┐ 命题的“非”运算∧ 命题的“合取”（“与”）运算∨ 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算 → 命题的“条件”运算↔ 命题的“双条件”运算的B A ⇔ 命题A 与B 等价关系B A ⇒ 命题A 与B 的蕴涵关系*A 公式A 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当V 命题的“不可兼或”运算（ “异或门” ） ↑ 命题的“与非” 运算（ “与非门” ） ↓ 命题的“或非”运算（ “或非门” ） □ 模态词“必然”◇ 模态词“可能”φ 空集∈ 属于（∉不属于）A μ（·） 集合A 的特征函数P （A ） 集合A 的幂集A 集合A 的点数n A A A ⨯⨯⨯ （nA ） 集合A 的笛卡儿积R R R =2 )(1R R R n n -= 关系R 的“复合”0ℵ 阿列夫零ℵ 阿列夫⊇ 包含⊃ 真包含∪ 集合的并运算∩集合的交运算 - （～）集合的差运算 ⊕集合的对称差运算 m + m同余加 m ⨯ m同余乘 〡限制 R x ][集合关于关系R 的等价类 A /R集合A 上关于R 的商集 )(A R π集合A 关于关系R 的划分 )(A R π集合A 关于划分π的关系 ][a元素a 产生的循环群 R a ][元素a 形成的R 等价类 r C由相容关系r 产生的最大相容类 I环，理想 )/(n Z模n 的同余类集合 )(mod k b a ≡a 与b 模k 相等 )(R r关系R 的自反闭包 )(R s关系R 的对称闭包 +R ，)(R t关系R 的传递闭包 *R ，)(R rt关系R 的自反、传递闭包.i H 矩阵H 的第i 个行向量j H . 矩阵H 的第j 个列向量CP 命题演绎的定理（CP 规则）EG 存在推广规则（存在量词引入规则）ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则） UG 全称推广规则（全称量词引入规则） US 全称特指规则（全称量词消去规则） A I ，0R 恒等关系A 集合A 的补集X X 所有X 到自身的映射X Y 所有从集合X 到集合Y 的函数)(][A A K 集合A 的势（基数）R 关系r 相容关系 R 否关系R 补关系1-R （c R ） 逆关系S R 关系R 与关系S 的复合n nR R R R ,关系R 的n 次幂 r r B B B 222,⨯⨯ 布尔代数2B 的r 次幂r B 2 含有r 2个元素的布尔代数domf 函数f 的定义域（前域）ranf 函数f 的值域Y X f →： （Y X f −→−） f 是X 到Y 的函数),(y x GCD y x ,最大公约数),(y x LCM y x ,的最小公倍数 e 幺元θ 零元1-a 元素a 的逆元)(Ha aH H 关于a 的左（右）陪集 )(f Ker 同态映射f 的核（或称f 的同态核） A ，B ，C 合式公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n 二项式系数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p n n n n ,,,21 多项式系数[1，n] 1到n 的整数集合)1()1(][+--=k x x x x k)1()1(][-++=k x x x x kk n C 组合数),(v u d 点u 与点v 间的距离 )(v d 点v 的度数)(v d + 点v 的出度)(v d - 点v 的入度),(E V G = 点集为V ，边集为E 的图 G 图G 的补图G G '≅ 图G 与图G '同构*G 平面图G 的对偶图 W(G) 图G 的连通分支数 )(G κ 图G 的点连通度)(G λ 图G 的边连通度)(G δ 图G 的最小点度)(G ∆ 图G 的最大点度 A(G) 图G 的邻接矩阵 P(G) 图G 的可达矩阵 M(G) 图G 的关联矩阵 n K n 阶完全图m n K , 完全二分图C 复数集N 自然数集（包含0在内） +N 正自然数集P 素数集Q 有理数集+Q 正有理数集-Q 负有理数集R 实数集Z 整数集m Z ]}[,,]2[,]1{[m Set 集范畴Top 拓扑空间范畴Ab 交换群范畴Grp 群范畴Mon 单元半群范畴Ring 有单位元的（结合）环范畴 Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环R 的左模范畴 mod-R 环R 的右模范畴 Field 域范畴Poset 偏序集范畴。
离散数学课件 4.1一阶逻辑命题符号化
第 10 页
四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
第 16 页
总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
第1 页
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r
离散数学6.命题公式及符号化
若写成(PQ) (P R)时，当P为F，Q为F时，即天没下雨而我没 上街，此时我说的是假话，但是表达式 (PQ) (P R) 的真值却是
“T” ，因为此时(P R)的真值是“T”.
4
二、复合命题的符号化(翻译) 有了命题演算的合式公式的概念,我们可以把自然语言
中的有些语句(复合命题),翻译成数理逻辑中的符号形式. 基本步骤如下:
1)首先要明确给定命题的含义. 2)对于复合命题，找联结词，用联结词断句，分解出各
个原子命题. 3)设原子命题符号，并用逻辑联结词联结原子命题符号，
构成给定命题的符号表达式.
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例2 说离散数学无用且枯燥无味是不对的. P：离散数学是有用的. Q：离散数学是枯燥无味的. 该命题可写成： (P∧Q). 例3 如果小张与小王都不去，则小李去. P：小张去. Q：小王去. R：小李去. 该命题可写成： (P∧Q)R. 如果小张与小王不都去，则小李去. 该命题可写成： (P∧Q)R, 也可以写成： (P∨QP∧Q， PR， P∨Q∧R，PQ ∨S , (P W) Q)； 下面的式子才是合式公式：
(P∧Q)，(PR)，((P∨Q)∧R). 按照合式公式定义最外层括号必须写. 约定：为方便，最外层括号可以不写，上面的合式
公式可以写成： P∧Q，PR，(P∨Q)∧R.
命题公式及符号化
一、 命题公式
1.定义1-3.1 命题演算的合式公式
合式公式是由命题变元、命题常量、联结词和圆括号按 一定的逻辑关系联结起来的符号串.我们以如下递归的形 式来定义合式公式：
(1)单个命题变元是一个合式公式. (2)若A是合式公式，则┐A也是合式公式. (3)若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(AB)，
离散数学符号大全
离散数学符号大全├断定符（公式在L中可证）╞满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足）┐命题的“非”运算∧命题的“合取”（“与”）运算∨命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算→ 命题的“条件”运算A<=>B 命题A 与B 等价关系A=>B 命题A与B的蕴涵关系A* 公式A 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当↑ 命题的“与非” 运算（“与非门” ）↓ 命题的“或非”运算（“或非门” ）□模态词“必然”◇模态词“可能”φ 空集∈属于（??不属于）P（A）集合A的幂集|A| 集合A的点数R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的“复合”∪集合的并运算∩集合的交运算- （～）集合的差运算〡限制[X](右下角R) 集合关于关系R的等价类A/ R 集合A上关于R的商集[a] 元素a 产生的循环群I (i大写) 环，理想Z/(n) 模n的同余类集合r(R) 关系R的自反闭包s(R) 关系的对称闭包CP 命题演绎的定理（CP 规则）EG 存在推广规则（存在量词引入规则）ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则）UG 全称推广规则（全称量词引入规则）US 全称特指规则（全称量词消去规则）R 关系r 相容关系R○S 关系与关系的复合domf 函数的定义域（前域）ranf 函数的值域f:X→Y f是X到Y的函数GCD(x,y) x,y最大公约数LCM(x,y) x,y最小公倍数aH(Ha) H 关于a的左（右）陪集Ker(f) 同态映射f的核（或称f同态核）[1，n] 1到n的整数集合d(u,v) 点u与点v间的距离d(v) 点v的度数G=(V,E) 点集为V，边集为E的图W(G) 图G的连通分支数k(G) 图G的点连通度△（G) 图G的最大点度A(G) 图G的邻接矩阵P(G) 图G的可达矩阵M(G) 图G的关联矩阵C 复数集N 自然数集（包含0在内）N* 正自然数集P 素数集Q 有理数集R 实数集Z 整数集Set 集范畴Top 拓扑空间范畴Ab 交换群范畴Grp 群范畴Mon 单元半群范畴Ring 有单位元的（结合）环范畴Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环R的左模范畴mod-R 环R的右模范畴Field 域范畴Poset 偏序集范畴。
离散数学命题符号化课件
当P和Q的真值相同时,P↔Q取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
非本仓库工作人员，一律不得入内。
解
令P：某人是仓库工作人员；
Q：某人可以进入仓库。
则上述命题可表示为P↔Q。
离散数学 第一章 命题逻辑
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例11 黄山比喜马拉雅山高，当且仅当3是素数
令P：黄山比喜马拉雅山高；Q：3是素数 本例可符号化为PQ
离散数学 第一章 命题逻辑
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例. P： 月亮下山 Q： 3+3=6
则P→Q： 若月亮下山,则3+3=6 （并没有实质蕴含关系，仍承认）
Q→P： 叫做P→Q的逆命题 ┐P→┐Q ： 叫做P→Q的反命题 ┐Q→┐P： 叫做P→Q的逆反命题
离散数学 第一章 命题逻辑
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5．等值“↔”
定义1-5 由命题P和Q，利用“↔”组成的复合命题，称为等值式 复合命题，记作“P↔Q” （读作“P当且仅当Q”）。
21
2
條件否定¬(P→Q)的真值表:
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
于是得到：¬(P→Q) 与 P∧¬Q 等价。
P∧¬Q 0 0 1 0
換個角度來看，既然下雨地就會溼；那麼如果地是乾的，就一定是沒有下雨。 下面的真偽值表可以反應這個關係：
P
Q
¬Q → ¬P
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
「非 Q則非P」為「若 P 則 Q」之逆否命題（contrapositive），和「若 P 則 Q 」 為等價之命題。我們稱 Q 為 P之必要條件。
命题符号化【范本模板】
命题符号化（1）杭州不是中国的首都。
(2) 张三虽然学习努力但成绩并不优秀。
解（1) 令P：杭州是中国的首都.则命题“杭州不是中国的首都"符号化为：┐P（2）令P：张三学习努力。
Q：张三成绩优秀。
则命题“张三虽然学习努力但成绩并不优秀。
”符号化为：P∧┐Q.合取运算特点：只有参与运算的二命题全为真时，运算结果才为真，否则为假。
自然语言中的表示“并且”意思的联结词，如“既…又…”、“不但…而且…"、“虽然…但是…”、“一面…一面…”等都可以符号化为∧。
注意：不要见到“与”或“和”就使用联结词∧ !下列命题符号化（1）北京不仅是中国的首都而且是一个故都p：北京是中国的首都. q：北京是一个故都。
p∧q：北京是中国的首都并且是一个故都.（2）牛启飞和林妹妹是好朋友P：牛启飞和林妹妹是好朋友(3) 王晓既用功又聪明。
(4) 王晓不仅聪明，而且用功。
(5) 王晓虽然聪明，但不用功。
(6）张辉与王丽都是三好生。
(7）张辉与王丽是同学。
解令 p:王晓用功，q：王晓聪明，则（3） p∧q（4) p∧q（5） p∧q.令 r ：张辉是三好学生，s ：王丽是三好学生(6） r∧s.（7）令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .设p,q为二命题，复合命题“p或q”称为p与q的析取式,记作p ∨q，符号∨称为析取联结词。
将下列命题符号化(1) 2或4是素数.（2） 2或3是素数.(3） 4或6是素数。
（4）小元元只能拿一个苹果或一个梨。
(5）王晓红生于1975年或1976年。
解令 p： 2是素数， q： 3是素数， r: 4是素数， s： 6是素数则（1），（2)， (3) 均为相容或。
分别符号化为: p∨r ,p∨q，r∨s,它们的真值分别为 1， 1， 0. 而 (4），（5）为排斥或。
令 t ：小元元拿一个苹果,u:小元元拿一个梨,则 (4）符号化为 (t∧u) ∨(t∧u)。
令v :王晓红生于1975年,w：王晓红生于1976年，则 (5) 符号化为 (v∧w)∨(v∧w）。
离散数学一阶逻辑命题符号化
§4.2一阶逻辑公式及解释
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非逻辑符号: 个体词常项符号, 函数符号和谓词符号 逻辑符号: 个体词变项符号, 量词符号, 联结词符号和括号与逗号 定义 设L是一个非逻辑符号, 由L生成的一阶语言L的字母表 包括下述符号如下:
非逻辑符号 (1) L中的个体常项符号: a, b, c, …; ai , bi , ci ,… , i≥1 (2) L中的函词符号: f, g, h, …; fi , gi , hi ,… , i≥1 (3) L中的谓词符号: F,G, H,…; Fi ,Gi , Hi ,…, i≥1 逻辑符号 (4) 个体变项符号: x, y, z, …; xi , yi , zi ,…, i≥1 (5) 量词符号: , . (6) 联结词符号: ┐,∧,∨, →, ↔. (7) 逗号与括号: , , ( ) .
练习 函数f(x)在x=a处极限为b 任给小正数ε, 则存在正数 δ, 使得 当0<|x-a|<δ时, |f(x)-b|<ε成立 任意ε>0, 存在δ>0, 使得 当0<|x-a|<δ时, |f(x)-b|<ε成立 ∀ε(ε>0→ ∃δ(δ>0∧ ∀x(|x-a|<δ→|f(x)-b|<ε)))
定义 在公式 xA 和 xA中, 称 x 为指导变元, A为相
应量词的辖域. 在x 和 x 的辖域中, x的所有出现都 称为约束出现, A中不是约束出现的其它变项都称为 自由出现.
谓词续
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④不含个体变项的谓词称为0元谓词. 例如 F(a), G(a,b), P(a1,a2,…,an)等. 当F, G, P等为谓词常项时, 0元谓词即为命题. 因此, 命题可看作特殊的谓词. 例 用0元谓词将下列命题符号化, 并讨论它们的真值. (1) 只有当2是素数时, 4才是素数; (2) 如果5大于4, 则4大于6.
2021解决离散数学命题符号化问题的三种方法范文1
2021解决离散数学命题符号化问题的三种方法范文 离散数学是计算机科学中重要的基础理论之一，同时也是培养学生缜密的思维、提高学生素质的核心课程.在离散数学的教学中，解题方法起着特殊而重要的作用.通过解题方法的训练，理论联系实际，可以培养学生综合分析问题的能力. 命题符号化是离散数学的一个重要分支——数理逻辑的基础内容.命题符号化的正确与否，会直接影响到逻辑推理的可行性和正确性.对给定命题进行符号化就是要把该命题表达成合乎规定的命题表达式，因此在具体表达时，首先要列出原子命题，然后根据给定命题的含义，把所设的原子命题用适当的联结词连接起来.在教学过程中发现，学生在确定原子命题和选用联结词这两个关键步骤上往往容易出错，常见的错误包括：把简单命题符号化为复合命题、混淆联结词，，的使用场合，以及在使用联结词→时颠倒了前件和后件等.这些错误类型在学生中相当普遍，几乎每届学生都会出现，甚至离散数学经典教材的配套习题解答书在该类问题上也犯了以上错误.由此可见，探索如何有效解决这一教学问题显得很有必要. 根据多年的教学发现，对具体题目的简单批改和纠正效果并不明显，因为这样做只是让学生“知其然”，未能从本质上认识错误，在遇到变化过的题目时学生还会困惑.只有从本质上剖析错误原因，找出避免错误的技巧和方法，让学生“知其所以然”，才能从根本上帮助学生杜绝错误的发生.在教学过程中总结了三种方法：真值表法、类比法和平衡主谓法.下面结合具体的例子来进行阐述. 1、真值表法 在命题符号化时，如果不能确定用哪个联结词，可以采用真值表法：首先列出所有可能的命题公式的真值表，然后比较原命题的含义与这些命题公式的真值情况，最后根据比较结果来确定联结词. 常用的联结词有：，，，→，，，，↑，↓等.其中，学生在使用过程中最容易混淆的是，，. 左孝凌等编写的《离散数学》在国内颇具影响，许多高校将它用作本科生和研究生的教材.对于该书的第1章第3节习题(7)中的命题(a)的符号化，配套的习题解答书，也犯了这类错误：命题(a)为“假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报.”其给出的解答是“设P：上午下雨.Q：我去看电影.R：我在家里读书.S：我在家里看报.则该命题可符号化为 以上三种解答代表了的三种不同理解.为了判断究竟哪种解法正确，可以采用如下真值表法. 首先，列出命题公式(1)、(2)、(3)的真值表(为了简化表格，不妨令W=RS)，如表1所示. 对照命题(a)的原意不难发现，当以下两种情况发生时，命题(a)为假. 1)上午没下雨，但我没去看电影(即P=F，Q=F)；2)上午下雨，但我没在家里读书或看报(即P=T，W=F). 情况1)对应于表1的7、8两列，情况2)对应于表1的2、4两列，在这四列中，命题公式(1)、(3)的真值为T，命题公式(2)的真值为F，所以，命题公式(2)符合要求. 2、类比法 在使用条件联结词→符号化命题时，若不确定将哪部分作为前件、哪部分作为后件，可以采用类比法：把原命题与自己熟悉的句式作比较，先“翻译”成熟悉的句式，再确定前后件. 条件命题P→Q表示“如果命题P成立，那么命题Q成立.”其中，P称为前件，Q称为后件，P是Q的充分条件，Q是P的必要条件.可以用条件命题表示的句式很多，除了“如果…，那么…”外，还有“若…，则…”，“只要…，就…”，“只有…，才…”，“因为…，所以…”，“…，仅当…”，“除非…，才…”，“除非…，否则非…”，“…，除非…”等.学生在解题过程中经常出现的主要错误是颠倒了前件和后件. 为了避免这样的错误，首先把(a“)只要P，就Q”，(b“)只有P，才Q”，作为两个典型句式重点讲解，让学生理解：在句式(a)中，P是Q的充分条件，应符号化为P→Q；在句式(b)中，P是Q的必要条件，应符号化为Q→P.然后要求学生在处理其它句式时，先将该句式“翻译”成句式(a)或(b)，再进行符号化. 例如，设P：我有空.Q：我将上街.则命题“除非我有空，我才会上街.”可以“翻译”成“只有我有空，我才会上街.”因而可以符号化为Q→P.而命题“我将上街，除非我没空.”可以“翻译”成“只要我有空，我就会上街.”，因而原命题可以符号化为P→Q. 事实上，上文提到的一些句式都能“翻译”成句式(a)或(b)，其“翻译”和符号化结果如表2所示. 3、平衡主谓法 在对命题进行符号化时，如果遇到主语是“A和B”或“A与B”等表示多人(或物)的形式时，若不确定该命题是简单命题还是复合命题，可以采用平衡主谓法.分析谓语的性质，如果谓语也是多人(或物)间的关系或者需要多人(或物)共同完成的一件事情，则该命题是一个简单命题；否则该命题就是复合命题，应被分解成多个简单命题并用联结词连接. 例如，在命题“小王和小李是同学”中，同学是一种关系，所以该命题是一个简单命题.而另一个命题“小王和小李是三好生”中，三好生就不是关系，因此该命题应符号化为PQ(其中，P：小王是三好生,Q：小李是三好生). 4、结论 对于数理逻辑这个学科分支来说，命题符号化是基础也是难点，初次接触的学生不容易完全掌握.以上提出的三种方法，希望能对学生有所帮助，给同仁有所借鉴.当然，命题符号化的题目形式千变万化，在教学过程中还应该注重培养学生的灵活性以及归纳和创新的能力.。
第1章1 命题符号化及联结词
用来区分有效和无效的数学论证。逻辑不仅是所
有数学推理的基础，而且对计算机的电路设计、 系统规范说明、人工智能、计算机程序设计、程 序设计语言以及计算机科学的其他领域都有实际 的应用。
逻辑难题
有一逻辑学家误入某部落，被拘于牢狱，酋长意欲放 行，他对逻辑学家说：“今有两门，一为自由，一为死亡， 你可任意开启一门。为协助你脱逃，今加派两名战士负责解 答你所提的任何问题。惟可虑者，此两战士中一名天性诚实， 一名说谎成性，今后生死由你自己选择。”逻辑学家沉思片 刻，即向一战士发问：逻辑学家手指一门问身旁一名战士说： ‘这扇门是死亡门，他（指另一名战士）将回答是，对吗？” 当被问战士回答完对或否后，逻辑学家开门从容离去。
罗素将集合分为两类，一类是集合 A 本身是 A 的一个 元素，即 A A ；另一类是集合 A 本身不是 A 的一个 元素，即 A A 。构造一个集合 S：S={A|A A},问 S 是 不是它自己的一个元素。即 S S 还是 S S 。
原子命题： 称由简单陈述句构成的命题为简单命题
或原子命题，
命题符号化：用小写英文字母(或带下标)p,q，r，„，
pi , qi , ri , „„表示命题， 称为命题符号化． 用数字 1 （或
T）表示真，用 0(或 F)表示假，则任何命题的真值不是 1 就是 0，但决不可能既可以为 1 又可以为 0。
命题变项：真值可以变化的简单陈述句。如例6。 注：1.命题变项不是命题。 2.当用命题常项带入命题变项时，命题变项变 为命题。真值确定。
和将来从事软、硬件开发和应用研究打下坚实 的基础。
学习参考书
离散数学及其应用（第5 版）,K.H.Rosen，
机械工业出版社，2003、张立昂 编， 清华大学出版社，1999年
离散数学之命题符号化.ppt
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，p? q 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
17
例 设 p:天冷，q:小王穿羽绒服，
外层括号可以省去24定义其中bc分别为i层和j层公式且nmaxi例如公式26定义给公式a中的命题变项p指定一组真值称为对a的一个赋值或解释成真赋值
离散数学
1
主要内容
? 数理逻辑 ? 集合论 ? 图论 ? 组合分析初步 ? 代数系统简介 ? 形式语言和自动机初步
2
教材与教学参考书
? 教材：
? 耿素云、屈婉玲、张立昂，离散数学（第五 版），清华大学出版社 , 2013.
p? q p? q p? q q? p q? p p? q q? p q? p
注意： p? q 与 ? q?? p 等值（真值相同）
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联结词与复合命题(续)
5. 等价式与等价 “p当且仅当 q”称 作p与q的等价式 ，记作 p? q. ? 称作等价联结词 . 并规定 p? q为真当且仅当 p与q同时为真或同时为 假.
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例 (续)
令 r : 张辉是三好学生， s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学， t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性 . (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
一个简单命题 .
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联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨”
简单命题(原子命题)： 简单陈述句构成的命题
离散数学符号大全
├断定符(公式在L中可证)╞满足符(公式在E上有效,公式在E上可满足)┐命题的“非”运算∧命题的“合取”(“与”)运算∨命题的“析取”(“或”,“可兼或”)运算→ 命题的“条件”运算A<=>B 命题A 与B 等价关系A=>B 命题A与B的蕴涵关系A* 公式A 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当↑ 命题的“与非” 运算(“与非门” )↓ 命题的“或非”运算(“或非门” )□模态词“必然”◇模态词“可能”φ 空集∈属于(??不属于)P(A)集合A的幂集|A| 集合A的点数R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的“复合”∪集合的并运算∩集合的交运算- (~)集合的差运算〡限制[X](右下角R) 集合关于关系R的等价类A/ R 集合A上关于R的商集[a] 元素a 产生的循环群I (i大写) 环,理想Z/(n) 模n的同余类集合r(R) 关系R的自反闭包s(R) 关系的对称闭包CP 命题演绎的定理(CP 规则)EG 存在推广规则(存在量词引入规则)ES 存在量词特指规则(存在量词消去规则) UG 全称推广规则(全称量词引入规则) US 全称特指规则(全称量词消去规则)R 关系r 相容关系R○S 关系与关系的复合domf 函数的定义域(前域)ranf 函数的值域f:X→Y f是X到Y的函数GCD(x,y) x,y最大公约数LCM(x,y) x,y最小公倍数aH(Ha) H 关于a的左(右)陪集Ker(f) 同态映射f的核(或称f同态核) [1,n] 1到n的整数集合d(u,v) 点u与点v间的距离d(v) 点v的度数G=(V,E) 点集为V,边集为E的图W(G) 图G的连通分支数k(G) 图G的点连通度△(G) 图G的最大点度A(G) 图G的邻接矩阵P(G) 图G的可达矩阵M(G) 图G的关联矩阵C 复数集N 自然数集(包含0在内)N* 正自然数集P 素数集Q 有理数集R 实数集Z 整数集Set 集范畴Top 拓扑空间范畴Ab 交换群范畴Grp 群范畴Mon 单元半群范畴Ring 有单位元的(结合)环范畴Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环R的左模范畴mod-R 环R的右模范畴Field 域范畴Poset 偏序集范畴。
离散数学符号
离散数学符号∀全称量词∃存在量词├ 断定符（公式在L中可证）╞ 满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足）﹁命题的“非”运算，如命题的否定为﹁p∧命题的“合取”（“与”）运算∨命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算→ 命题的“条件”运算↔ 命题的“双条件”运算的p<=>q命题p与q的等价关系p=>q命题p与q的蕴涵关系A* 公式A的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当↑ 命题的“与非” 运算（“与非门” ）↓ 命题的“或非”运算（“或非门” ）□ 模态词“必然”◇模态词“可能”∅空集∈属于A∈B,即“A属于B”∉不属于P(A) 集合A的幂集|A| 集合A的点数R²=R○R [R=R○R] 关系R的“复合”א阿列夫⊆包含⊂（或下面加≠）真包含∪集合的并运算∩ 集合的交运算-或\ 集合的差运算〡限制集合关于关系R的等价类A/R集合A上关于R的商集[a] 元素a产生的循环群I环，理想Z/(n) 模n的同余类集合r(R) 关系R的自反闭包s(R) 关系R的对称闭包CP 命题演绎的定理（CP 规则）EG 存在推广规则（存在量词引入规则）ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则）UG 全称推广规则（全称量词引入规则）US 全称特指规则（全称量词消去规则）R 关系r 相容关系R○S 关系与关系的复合domf 函数的定义域（前域）ranf 函数的值域f:x→y f是x到y的函数(x,y) x与y的最大公约数[x,y] x与y的最小公倍数aH(Ha) H关于a的左（右）陪集Ker(f) 同态映射f的核（或称f同态核）[1，n] 1到n的整数集合d(A,B),|AB|,或AB点A与点B间的距离d(V) 点V的度数G=(V,E) 点集为V，边集为E的图GW(G) 图G的连通分支数k(G) 图G的点连通度Δ(G) 图G的最大点度A(G) 图G的邻接矩阵P(G) 图G的可达矩阵M(G) 图G的关联矩阵C复数集I 虚数集N 自然数集（包含0在内）N*（N+）正自然数集，正整数集（*表示从集合中去掉元素“0”）P素数集Q 有理数集R 实数集Z 整数集Set 集范畴Top 拓扑空间范畴Ab 交换群范畴Grp 群范畴Mon 单元半群范畴R ing 有单位元的（结合）环范畴R ng 环范畴C R ng 交换环范畴R-mod 环R的左模范畴mod-R环R的右模范畴Field 域范畴Poset 偏序集范畴部分希腊字母数学符号。
L命题逻辑 离散数学
Lu Chaojun, SJTU
a
b
aa
(aa)b
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
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例:利用等值定理证明等值
证明(ab) (ab). 根据等值定理,可转化为证明
(ab)(ab) 是永真式.
• 比如列出此公式的真值表. • 这样本质上还是真值表技术.
• 还可利用重言式推理系统.
Lu Chaojun, SJTU
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基本等值式
1.结合律
(A B) C A (B C)
(A B) C A (B C)
(A B) C A (B C)
2. 交换律
ABBA
ABBA
ABBA
注意:没有的结合律和交换律.
Lu Chaojun, SJTU
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基本等值式(续)
3. 分配律
A1 1 A0 0 A1 1 0A 1
Lu Chaojun, SJTU
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基本等值式(续)
8.关于的等值式
AB (A) B (A B)
AB B A
[假言易位]
A(BC) (A B)C
[合取前提]
A(BC) B(AC)
[交换前提]
(AC)(BC) (A B)C [析取前提]
• 将限制性公式A中的,,1,0分别以,,0,1替换, 所得公式称为A的对偶式 A*.
• 将限制性公式A中所有肯定形式出现的变元x换成x, 所有否定形式出现的 变元x换成x, 所得公式称为A的内否式A－.
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1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、Байду номын сангаас力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！