2015届高考二轮复习 专题八 第2讲 数形结合思想
高中数学高考二轮复习数形结合思想教案
第二讲数形结合思想对应学生用书P1291数形结合的含义(1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2数形结合的途径(1)通过坐标系“形题数解”借助于直角坐标系、复平面，可以将几何问题代数化．这一方法在解析几何中体现得相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，“形题数解”时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x －2)2＋(y －1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，2为半径的圆．(2)通过转化构造“数题形解”许多代数结构都有着相对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a (a >0)与距离互化；将a 2与面积互化，将a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos θ(θ＝60°或θ＝120°)与余弦定理沟通；将a ≥b ≥c >0且b ＋c >a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通；将有序实数对(或复数)和点沟通；将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解题捷径．例1 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎭⎪⎫2ωx ＋π3的相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根，则k 的取值范围是( )A.k ≤12B ．－1≤k <－12 C.－12<k ≤12 D ．－12<k ≤12或k ＝－1解析 因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π4，结合三角函数的图象可知T 2＝π4.又T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. 将f (x )的图象向右平移π8个单位得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 所以方程为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＝0. 令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π6≤t ≤5π6. 若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根， 即g (t )＝sin t 与y ＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6有且只有一个交点. 如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1，即－12<k ≤12或k ＝－1.利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．模拟演练1 已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]上方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 答案 D解析方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根等价于方程f (x )＝m (x ＋1)有两个不同的实根，等价于直线y ＝m (x ＋1)与函数f (x )的图象有两个不同的交点．因为当x ∈(－1,0)时，x ＋1∈(0,1)，所以f (x )＋1＝1f (x ＋1)＝1x ＋1，所以f (x )＝1x ＋1－1，所以f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ∈[0，1]1x ＋1－1，x ∈(－1，0).在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝m (x＋1)与函数f (x )，x ∈(－1,1]的图象，由图象可知，当直线y ＝m (x ＋1)与函数f (x )的图象在区间(－1,1]上有两个不同的公共点时，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.例2 (1)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．。
(高三数学二轮专题复习)数形结合思想
高考总复习第二轮 ·数学(文)
[名师说“法”] 本题若直接求解较困难，若通过分离变量，构造函数求解，则 运算量较大，但若应用数形结合思想求解，则简单直观迅速．
第二部分 提能增效助力区
高考总复习第二轮 ·数学(文)
1．已知函数 f(x)＝sin2ωx＋π3的相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数 f(x)的图
(1)求曲线 C 的方程； (2)连 PC，PD 分别交 AB 于点 E，F，求证：|AE|2＋|BF|2 为定值．
第二部分 提能增效助力区
高考总复习第二轮 ·数学(文)
解：(1)已知点 M 36，－ 33在半圆 x2＋y2＝b2(y≤0)上，所以 362＋－ 332＝b2， 又 b>0，所以 b＝1．
象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的 )＋k＝0，在 x∈0，π2有且只有一个实数根，则 k 的取值范围是( D )
A．－∞，12
B．－1，－12
C．－12，12
D．－12，12∪{－1}
第二部分 提能增效助力区
高考总复习第二轮 ·数学(文)
2．已知函数 f(x)＝12x2－aln x(a∈R)． (1) 若函数 f(x)在 x＝2 处的切线方程为 y＝x＋b，求 a、b 的值； (2) 若函数 f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求 a 的取值范围； (3) 讨论方程 f(x)＝0 的解的个数，并说明理由． 解：(1) 因为 f′(x)＝x－ax(x>0)， 又 f(x)在 x＝2 处的切线方程为 y＝x＋b，
第二部分 提能增效助力区
高考总复习第二轮 ·数学(文)
所以|BF|＝2＋ y20－x0＋21；
则|AE|2＋|BF|2＝2－
高三数学二轮复习 第二篇 数学思想 2.2 数形结合思想
A. 3 B．－ 3 C． 3 D．－ 3
3
3
3
【解析】选B.由于y= 1 x2 ,即x2+y2=1(y≥0),直线l 与x2+y2=1(y≥0)交于A,B两点,如图所示
S△AOB= 1·sin∠AOB≤ 1 ,且当∠AOB=90°时,S△AOB取得
2
2
最大值,此时AB= 2 ,点O到直线l的距离为 2 ,则
[1
与y=ax在区间
,1)，
3
[
1，3] 3
内有
作函数f(x)= 图象如图,
ln x, 2ln
x ［1,3］,
x,
x
[
1
与y=ax在区间
,1)，
3
[ 1，3] 3
内的
结合图象可知,
当直线y=ax与f(x)=lnx相切时, ln x 1 ,
xx
解得,x=e;此时a= 1 ;
e
(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键, 数形结合应以快和准为原则,不要刻意去用数形结合.
【变式训练】(2016·洛阳一模)已知函数f(x)满足
f(x)=2f ( 1 ),当x∈[1,3]时,f(x)=lnx,若在区间 [1，3]
x
3
内,函数g(x)=f(x)-ax与x轴有三个不同的交点,则实数
第二讲 数形结合思想
【思想解读】 数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学 问题的思想.其应用包括以下两个方面: (1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生 动化,能够变抽象思维为形象思维. (2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确.
热点1 利用数形结合思想研究零点、方程的根
高三数学二轮复习课件---数形结合思想
(2)通过转化构造数题形解 许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数 与形进行巧妙地转化．例如，将a>0与距离互化，将a2与面积 互化，将a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2|a||b|cosθ(θ＝60°或θ＝120°) 与余弦定理沟通，将a≥b≥c>0且b＋c>a中的a、b、c与三角形 的三边沟通，将有序实数对(或复数)和点沟通，将二元一次 方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等 等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图 形(平面的或立体的)．另外，函数的图象也是实现数形化的 有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常 相伴而充分地发挥作用．
第二十八页，共38页。
∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足约束条件的点(a， b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界)．
第二十九页，共38页。
(1)△ABC 的面积为 S△ABC＝12×|BC|×h＝12(h 为 A 到 Oa 轴的距离)．
(2)ba－ －21几何意义是点(a，b)和点 D(1,2)连线的斜率． ∵kAD＝21－ ＋13＝14，kCD＝21－ ＋01＝1， 由图可知 kAD<ba－ －21<kCD， ∴14<ba－ －21<1，即ba－ －21∈(14，1)．
f0>0， 由此可得不等式组f1<0，
f2>0.
第二十七页，共38页。
b>0， ⇒a＋2b＋1<0，
a＋b＋2>0. 由aa＋ ＋2bb＋＋21＝＝00. ， 解得 A(－3,1)． 由ab＋ ＝b0＋ . 2＝0， 解得 B(－2,0)， 由ab＋ ＝20b. ＋1＝0 解得 C(－1,0)．
第标系“形”“题”“数”解 借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数 化．这一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也 是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，形题 数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是 因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．
高考数学思想方法专题_第二讲数形结合思想
高考数学思想方法专题：第二讲数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。
三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。
四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。
【名师伴你行】2015届高考数学二轮复习 第2讲 数形结合思想课件 文
log21－x＋1，－1≤x<k， 高三联考)已知函数f(x)＝ 3 x －3x＋2，k≤x≤a，
若存在k使得函数f(x)的值域是[0,2]，则实数a的取值范围是 ( ) A．[ 3，＋∞) C．(0， 3]
b ∴a≥ 3，即c2＝a2＋b2≥4a2，∴e≥2.
(2)(2014· 兰州、张掖高三联合诊断)已知x，y满足约束条件 x≥0， 3x＋4y≥4， y≥0，
16 答案：25
则x2＋y2的最小值是________．
解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示，
x2＋y2表示平面区域内的点到坐标原点的距离的平方．
在解含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨 论，导致演算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那 么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决．
(1)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的 特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、 下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以 避免繁琐的运算，获得简捷地解答． (2)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常 联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、 最低点的纵坐标．
解析：由定义可知，
2x－1x，x≤0， f(x)＝ －x－1x，x>0.
作出函数f(x)的图象，如图所示． 由图象可知， 1 当0<m< 4 时，f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3. 不妨设x1<x2<x3， 1 易知x2>0，且x2＋x3＝2× ＝1， 2
[回访名题] 对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝
高三数学 二轮专题复习精讲课件：8-2转化与化归思想、数形结合思想
(4)参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易 于转化．
(5)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为 易于解决的问题．
(6)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问 题，是转化方法的一个重要途径．
(7)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定 转化途径．
(8)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并 证明特殊化后的结论适合原问题．
(1)抽象问题向具体问题化归； (2)一般问题向特殊问题化归； (3)正向思维向逆向思维化归； (4)命题向等价命题化归．
3．转化与化归的常见方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公 式或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整 式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于 解决的基本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间 形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．
[答案] B
[分析] 由奇函数图象的对称性可画出f(x)的图象，不等
式f(x)·cosx<0可等价转化为
fx>0
cosx<0
或
fx<0
cosx>0
，结合图形可
得出解集．
[解析] 不等式f(x)cosx<0等价于
fx>0， cosx<0，
或fx<0， cosx>0.
画出f(x)在(－3,3)上的图象，cosx的图象又熟知，运用数
核心整合
知识方法整合 一、转化与化归思想 转化与化归的基本内涵是：人们在解决数学问题时，常 常将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一问题 B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的问 题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解．用框图可直 观地表示为：
高考数学二轮复习数学思想领航二数形结合思想课件文
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论.
思维升华 解析 答案
跟踪演练3 已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此 抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为_－__2_，__21__.
解析 答案
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
数学思想
题的数学思想
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象 问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质， 它是数学的规律性与灵活性的有机结合
方法一 函数图象数形沟通法
模型解法 函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对 于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法.破解此类 题的关键点： ①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大 概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题. ②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象. ③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化. ④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论.
【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习 攻略一 函数与方程思想,数形结合思想
【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 攻略一 函数与方程思想，数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想是中学数学的基本思想，是历年高考的重点和热点，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，它涉及三大题型．高、中、低档试题都有出现．近几年来代数压轴题多为考查应用函数思想解题的能力．函数与方程思想的应用主要体现在以下几方面：(1)函数与不等式的相互转化，对函数y ＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题．需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．1．运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题此类问题是多元问题中的常见题型，通常有两种处理思路：一是分离变量构造函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将问题转化为二次方程，进而构造函数加以解决．【例1】 (2014·福建高考)已知函数f(x)＝e x－ax(a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x.【解】 (1)由f(x)＝e x －ax ，得f′(x)＝e x－a. 又f′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2.所以f(x)＝e x －2x ，f′(x)＝e x－2. 令f′(x)＝0，得x ＝ln 2.当x ＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x ＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f(x)有极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)无极大值．(2)令g(x)＝e x －x 2，则g′(x)＝e x－2x.由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4＞0， 即g′(x)＞0.所以g(x)在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0，所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x.(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝1c，由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x.所以当x ＞x 0时，e x ＞x 2＞1cx ，即x ＜c e x.因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x.2．运用函数与方程思想解决数列问题数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征．第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式．第三步：研究函数性质，结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究．第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．【例2】 已知S n ＝1＋12＋13＋…＋14(n ∈N *)，设f (n )＝S 2n ＋1－S n ＋1，试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的正整数n ，不等式f (n )>[log m (m －1)]2－1120·[log (m －1)m ]2恒成立．【解】 由f (n )＝S 2n ＋1－S n ＋1，得f (n )＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋1，∴f (n ＋1)＝1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋3.∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2－12n ＋4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋4>0. ∴f (n )>f (n －1)>…>f (3)>f (2)(n ∈N *，n ≥2)．∴f (n )min ＝f (2)＝12＋2＋12＋3＝920.要使对于一切大于1的正整数n ，原不等式恒成立，只需不等式920>[log m (m －1)]2－1120[log (m－1)m ]2成立．设y ＝[log m (m －1)]2，则y >0.于是⎩⎪⎨⎪⎧920>y －1120y ，y >0，解得0<y <1.从而⎩⎪⎨⎪⎧0<[log mm －2<1，m >0，m ≠1，m －1≠1，m －1>0，解得m >1＋52且m ≠2.∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，2∪(2，＋∞)．3．运用函数与方程思想解决几何问题在立体几何和解析几何中有许多问题需要运用到方程或建立函数表达式的方法加以解决．特别是在解析几何中涉及到范围或最值问题时可用如下思路去完成：第一步：联立方程． 第二步：求解判别式Δ.第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换．第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围．第五步：回顾反思．在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节．【例3】 (2014·四川高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .(ⅰ)证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；(ⅱ)当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．(Ⅰ)【解】 由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(Ⅱ)(ⅰ)【证明】 由(Ⅰ)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－－＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3，所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ .(ⅱ)【解】 由(ⅰ)可得，|TF |＝m 2＋1， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22 ＝m 2＋y 1＋y 22－4y 1y 2]＝m 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24m 2＋m 2＋3所以|TF ||PQ |＝124·m 2＋2m 2＋1＝124·⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124＋＝33.当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值． 所以当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．二、数形结合思想数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来：研究方程根的情况，讨论函数的值域(最值)及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从今年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强，应引起重视，复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图象；(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．2．运用数形结合思想解决讨论方程内解或图象的交点问题用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角函数等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．【例4】 (2014·天津高考)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．【解】 原问题等价于方程f (x )＝a |x －1|恰有4个互异的实数根 解法一：分别画出函数y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图象(1)由x 2＋3x ＝a (x －1)得， x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，Δ＝(3－a )2－4a ，由Δ＝0得a ＝9或a ＝1(舍)， 此时a >9，(2)由－x 2－3x ＝a (1－x )，得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，由Δ＝0得a ＝1或a ＝9(舍)， 结合图象知0<a <1，由(1)(2)知0<a <1或a >9，∴a ∈(0,1)∪(9，＋∞)． 解法二：分离参数法a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －＋4x －＋5， 由平移和对称知 画出函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1＋4x －1＋5的图象， 由图知a ∈(0,1)∪(9，＋∞)． 【答案】 (0,1)∪(9，＋∞)3．运用数形结合思想解决有关最后问题“形”可以使某些抽象问题具体化，而‘数”可以使思维精确化，应用数形结合在某些求最值问题中，可以收到意想不到的效果．(1)把代数式进行几何转化，转化为具有直观几何意义构图形，例如①y 2－y 1x 2－x 1看作直线的斜率，转化为平面直角坐标系内两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的连线的斜率，特别适用于一个定点和一个动点(动点在一个区域内)的形式：②a －m 2＋b －n 2或(a －m )2＋(b －n )2：看作是两点(a ，b )和(m ，n )间的距离或距离的平方．(2)其他具有几何意义的概念都可以利用相关的几何图形直观进行分析判断，例如：①向量的问题，可以考虑用向量的图形大小与方向及向量运算的几何意义构造图形直观解题；②复数与复平面内的点的一一对应关系，可以把复数的有关运算转化为图形．【例5】 (1)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤4，x ≥0，①求函数z ＝y ＋3x ＋1的值域； ②求w ＝x ＋2＋y ＋2的最值．(2)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 (1)①由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x 2＋y 2＝4的右半圆域(含边界)，z ＝y ＋3x ＋1可改写为y ＋3＝z (x ＋1)，把z 看作参数，则此方程表示过定点P (－1，－3)，斜率为z 的直线系．所求问题的几何意义是：求过半圆域x 2＋y 2≤4(x ≥0)内或边界上任一点与点P (－1，－3)的直线斜率的最大、最小值．由图显见，过点P 和点A (0,2)的直线斜率最大，z max ＝2－－0－－＝5.过点P 向半圆作切线，切线的斜率最小．设切点为B (a ，b )，则过B 点的切线方程为ax ＋by ＝4.又B 在半圆周上，P 在切线上，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，－a －3b ＝4.又a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2＋365，b ＝－6－65，因此z min ＝26－33.综上可知函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤26－33，5.②所求问题的几何意义是：求半圆域x 2＋y 2≤4(x ≥0)内或边界上任一点到P (－1，－3)的距离的最大值与最小值，由数形结合可知w max ＝|PO |＋r ＝10＋2，w min ＝|PC |＝12＋－2＋2＝2，即最大值为10＋2，最小值为 2.(2)f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，解得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝4＋2＝6.故选C.【答案】 C4．运用数形结合思想解决解析几何中的问题在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．【例6】 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值．【解】 根据题意，画出图形如下图，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt △PAC 的面积S Rt △PAC ＝12|PA |·|AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.∴(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.。
高考数学二轮复习 数学思想领航 二 数形结合思想专题突破讲义 文
二、数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合 方法一 函数图象数形沟通法 模型解法函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法．破解此类题的关键点：①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题．②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象． ③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化． ④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．典例1 设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8解析 ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，f (x )是最小正周期为2π的偶函数， ∴当x ∈[－3π，3π]时，0≤f (x )≤1.∵当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )为单调减函数；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，f (x )为单调增函数， ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝f (x )的草图如图，由图知y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C. 答案 C思维升华 由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．跟踪演练1 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为( )A ．－7B ．－6C ．－3D ．－1答案 A解析 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设7个解中x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A. 方法二 几何意义数形沟通法 模型解法几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点：①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义． ②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．典例2 如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则yx的最大值为( ) A.12 B.33 C.32D. 3 解析 方程(x －2)2＋y 2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M (2,0)，半径为r ＝3(如图)，而y x ＝y －0x －0则表示圆M 上的点A (x ，y )与坐标原点O (0，0)的连线的斜率．所以该问题可转化为动点A 在以M (2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值．由图可知当∠OAM 在第一象限，且直线OA 与圆M 相切时，OA 的斜率最大，此时OM ＝2，AM ＝3，OA ⊥AM ，则OA ＝OM 2－AM 2＝1，tan∠AOM ＝AMOA ＝3，故y x的最大值为3，故选D. 答案 D思维升华 解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式，一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有(1)比值——可考虑直线的斜率． (2)二元一次式——可考虑直线的截距． (3)根式分式——可考虑点到直线的距离． (4)根式——可考虑两点间的距离．跟踪演练2 设点P (x ，y )满足：{ x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1，则y x －xy的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D ．[－1,1] 答案 B解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2,1)，B (1,2)，令t ＝yx，f (t )＝t －1t，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32.方法三 圆锥曲线数形沟通法 模型解法圆锥曲线数形沟通法是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等．②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解．③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．典例3 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)解析 点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F ，过点P 作准线的垂线，垂足为S ，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故当S ，P ，Q 三点共线时取得最小值，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，设点P 的横坐标为x 0，代入y 2＝4x 得x 0＝14，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，故选A. 答案 A思维升华 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．跟踪演练3 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12解析 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.。
高考数学二轮复习(考点梳理+热点突破)第二讲 数形结合思想课件
第二讲 数形结合思想
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高考预测 数形结合作为一种重要的数学思想(sīxiǎng)方法，已经渗透 到数学的每个模块中，在各省、市高考试题中，大部分问题都可 以用到这种思想(sīxiǎng)方法．无论是选择题、填空题还是解答 题，都可以用数形结合的思想(sīxiǎng)去分析、思考、寻找解答
diǎn) 梳理
2．方程 sinx－π4 ＝41x 的实数解的个数是( B )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．以上均不对
解析 在同一坐标系内作出 y1＝sinx－π4 与 y2＝41x 的
栏 目 链 接
图象(如下图所示)．
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Z主 干考点
(kǎo diǎn) 梳理
3．(2014·福建卷)若函数(hánshù)y＝logax(a＞0，且a≠1) 的图象如下图所示，则下列函数(hánshù)图象正确的B 是( )
5
第十九页，共40页。
G高 考(ɡāo kǎo)热点 突破
要使f(x)≤g(x)在x∈[－4，0]时恒成立，
则②所表示的直线应在直线AT的上方或与它重
栏
合，故有1－a≥6，∴a的范围为{a|a≤－5}．
目 链
接
误区警示：作图时弄清y＝lg x的图象何时超过1，
否则易造成结果(jiē guǒ)错误．
跟踪 (gēnzōng) 训练1．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－
f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程(fāngchéng)f(x)＝
m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，
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高考数学二轮复习 数学思想领航 二 数形结合思想专题突破讲义 文
二、数形结合思想方法一 函数图象数形沟通法 模型解法函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法．破解此类题的关键点：①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题．②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象． ③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化． ④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．典例1 设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8解析 ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，f (x )是最小正周期为2π的偶函数， ∴当x ∈[－3π，3π]时，0≤f (x )≤1.∵当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )为单调减函数；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，f (x )为单调增函数， ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝f (x )的草图如图，由图知y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C. 答案 C思维升华 由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．跟踪演练1 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为( )A ．－7B ．－6C ．－3D ．－1答案 A解析 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设7个解中x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A. 方法二 几何意义数形沟通法 模型解法几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点：①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义． ②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．典例2 如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则yx的最大值为( ) A.12 B.33 C.32D. 3 解析 方程(x －2)2＋y 2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M (2,0)，半径为r ＝3(如图)，而y x ＝y －0x －0则表示圆M 上的点A (x ，y )与坐标原点O (0，0)的连线的斜率．所以该问题可转化为动点A 在以M (2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值．由图可知当∠OAM 在第一象限，且直线OA 与圆M 相切时，OA 的斜率最大，此时OM ＝2，AM ＝3，OA ⊥AM ，则OA ＝OM 2－AM 2＝1，tan∠AOM ＝AMOA ＝3，故y x的最大值为3，故选D. 答案 D思维升华 解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式，一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有(1)比值——可考虑直线的斜率． (2)二元一次式——可考虑直线的截距． (3)根式分式——可考虑点到直线的距离． (4)根式——可考虑两点间的距离．跟踪演练2 设点P (x ，y )满足：{ x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1，则y x －xy的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D ．[－1,1] 答案 B解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2,1)，B (1,2)，令t ＝yx，f(t )＝t －1t，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32.方法三 圆锥曲线数形沟通法 模型解法圆锥曲线数形沟通法是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等．②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解．③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．典例3 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)解析 点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F ，过点P 作准线的垂线，垂足为S ，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故当S ，P ，Q 三点共线时取得最小值，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，设点P 的横坐标为x 0，代入y 2＝4x 得x 0＝14，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，故选A. 答案 A思维升华 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．跟踪演练3 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12解析 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.。
江苏省2015年高考文科数学复习课件 数学思想方法篇 专题2 再谈数形结合
题型三
数形结合在不等式中的应用
破题切入点
例3
x＋2y－5≤0， x≥1， 已知实数 x，y 满足 y≥0， x＋2y－3≥0，
先根据题意，
画出可行域，再
根据目标式的几
何意义求解．
y 则 的最大值为________． x
题型三
数形结合在不等式中的应用
解析 画出不等式组
x＋2y－5≤0， x≥1， y≥0， x＋2y－3≥0，
底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数 学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义； 第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数， 做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围． 数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合．如：锐角 三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角 函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的．
典例剖析
精题狂练
典例剖析 题型一 数形结合在方程根的个数中的应用
题型二 数形结合在函数中的应用
题型三 题型四 数形结合在不等式中的应用 数形结合在解析几何中的应用
题型一
数形结合在方程根的个数中的应用
x 的解的个数是________． 4
例1 方程sin πx＝
破题切入点
x 把方程根的问题转化为两个函数y＝sin πx和y＝ 的图象的 4 交点问题，借助图象观察函数有几个交点，方程的根的个
解 从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋ 4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，
题型四
数形结合在解析几何中的应用
1 1 直角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC＝ PA· AC＝ PA 越来越大， 2 2 从而 S 四边形 PACB 也越来越大；
2015届高考数学文二轮专题训练专题八第2讲数形结合思想
足x·f(x)<0的 x的取值X围是 ________．1(2)假设不等式 |x－ 2a|≥2x＋ a－ 1对 x∈R恒成立，那么 a的取值X围是 ________．答案(1)(－ 1,0)∪ (0,1)(2) －∞，12解析(1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x·f(x)<0的x的取值X围是(－ 1,0)∪ (0,1)．(2) 作出y＝ |x－ 2a|和1y＝ 2x＋ a－ 1 的简图，依题意知应有2a≤ 2－ 2a，1故 a≤2.思维升华求参数X围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个 )函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以防止烦琐的运算，获得简捷的解答．(1) 设 A＝ {( x， y)|x2＋ (y－ 1)2＝ 1} ，B＝ {( x， y)|x＋y＋m≥ 0} ，那么使 A? B成立的实数 m的取值X围是 __________ ．(2) 假设不等式9－ x2≤ k(x＋ 2)－2的解集为区间 [a， b] ，且 b－ a＝ 2，那么 k＝________.答案(1)[2－ 1，＋∞ ) (2)2解析(1)集合 A 是一个圆 x2＋ (y－ 1)2＝ 1 上的点的集合，集合 B 是一个不等式 x＋ y＋m≥0 表示的平面区域内的点的集合，要使 A? B，那么应使圆被平面区域所包含(如图 ) ，即直线 x＋ y＋ m＝ 0 应与圆相切或相离 (在圆的下方 ) ，而当直线与圆相切时有|m＋ 1|＝1，又2m>0，所以 m＝2－ 1，故m 的取值X围是 m≥ 2－ 1.(2) 令 y1＝ 9－ x2，y2＝ k(x＋ 2)－ 2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－ x2≤ k(x＋2)－ 2的解集为 [a， b]且 b－ a＝ 2.结合图象知 b＝ 3， a＝ 1，即直线与圆的交点坐标为(1,2 2)．又因为点 (－ 2，－ 2)在直线上，所以 k＝2 2＋2＝ 2.1＋ 2热点三利用数形结合思想解最值问题例3(1) P是直线 l ： 3x＋ 4y＋ 8＝ 0上的动点， PA、 PB是圆 x2＋ y2－ 2x－ 2y＋ 1＝ 0的两条切线，A、 B是切点， C是圆心，那么四边形 PACB面积的最小值为 ________．x－ 2y＋ 1≥0，(2) 点 P(x， y)的坐标 x， y满足那么x2＋y2－ 6x＋ 9的取值X围是 ()|x|－ y－ 1≤ 0，A ． [2,4]B． [2,16]C． [4,10]D． [4,16]答案(1)2 2 (2)B解析(1)从运动的观点看问题，当动点P 沿直线 3x＋ 4y＋8＝ 0 向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积 S△PAC ＝1Rt21|PA|越来越大，从而S 四边形PACB也越来越大；当点P 从左|PA| |AC|·＝2上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直直线 l 时， S 四边形PACB应有唯一的最小值，|PC|＝|3× 1＋ 4× 1＋ 8|此时22＝ 3，3＋ 4从而 |PA|＝|PC|2－ |AC|2＝ 2 2.所以 (S 四边形PACB )min＝ 2×1×|PA|× |AC |＝ 2 2. 2(2)画出可行域如图，所求的 x2＋y2－6x＋ 9＝ (x－ 3)2＋ y2是点 Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线 x－ y－ 1＝0(x≥0)的距离 d 的平方，最大值为|QA|2＝ 16.|3－ 0－ 1|∵d2＝ ( 12＋－12)2＝ ( 2)2＝ 2.∴取值X围是 [2,16] ．思维升华(1) 在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进展转换，快速求得最值．(2)如果 (不 )等式、代数式的构造蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．(1)(2021重·庆 )设P是圆 (x－3)2＋ (y＋ 1)2＝ 4上的动点， Q是直线 x＝－ 3上的动点，那么|PQ|的最小值为 ()A．6 B．4 C．3 D． 2x－ y＋ 1≤ 0，(2) 假设实数 x、 y满足 x>0，那么y的最小值是 ____．y≤ 2，x 答案 (1)B(2)2解析(1)由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2， |PQ|的最小值为圆心到直线 x＝－ 3 的距离减去圆的半径长，所以|PQ |min＝ 3－ (－ 3)－ 2＝ 4.应选 B.(2) 可行域如下列图．又yx的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.由图知，过点A 的直线 OA 的斜率最小．x－ y＋1＝ 0，联立得 A(1,2)，y＝ 2，所以 k OA＝2－0＝ 2.所以y的最小值为 2. 1－0x1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，到达解题的目的．2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进展数量上的分析，通过数的帮助到达解题的目的．3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要准确图象．4．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟错误！未找到引用源。
2015届高考数学二轮复习专题讲解 课件 第二讲 数形结合思想
若存在实数 a、b、c、d，满足 f(a)
＝f(b)＝f(c)＝f(d)，其中 d>c>b>a>0，则 abcd 的取值范围是
________．
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思维流程：
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解析：
(1)在同一坐标系中，分别作出 y＝log2(－x)，y＝x＋1 的图象，由图可知，x 的取值范围是(－1,0)．
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角度二
利用数形结合解不等式或求 参数
[例 2] (1)使 log2(－x)<x＋1 成立的 x 的取值范围是 ________．
(2)(2014· 南 京 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
|log3 x|，0<x<3， 13x2－130x＋8，x≥3，
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2．若不等式|x－2a|≥12x＋a－1 对 x∈R 恒成立，则 a 的取值范围是________．
解析：作出 y＝|x－2a|和 y＝12x＋a－1 的简图，依题意 知应有 2a≤2－2a，故 a≤12.
答案：－∞，12
(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大 致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之 间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图像来 直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性
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答案
A
1
2
3
4 真题感悟
2 － x ＋2x，x≤0， 3.(2013· 课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝ lnx＋1，x>0.
若|f(x)|≥ax，则 a 的取值范围是( A.(－∞，0] C.[－2,1]
作出函数y＝f(x)及y＝x的函数图象
如图所示， 由图可得交点有3个. 答案 C
热点二
利用数形结合思想解不等式、求参数范围
例2
(1)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，
且 在 (0 ， ＋ ∞) 上 单 调 递 增 ， 若 f(1) ＝ 0 ， 则 满 足 (－1,0)∪(0,1) x· f(x)<0的x的取值范围是____________. 解析 作出符合条件的一个函数图象
若方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取 值范围是( 1 A.(0， ) 2 C.(1,2) ) 1 B.( ，1) 2 D.(2，＋∞)
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，
如图所示， 当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，
1 当直线g(x)＝kx过A点时斜率为 ， 2 1 故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为( 2 1). 答案 B
时可能先作适当调整，以便于作图 ) ，然后作出两
个函数的图象，由图求解.
热点分类突破
热点一 热点二 利用数形结合思想讨论方程的根 利用数形结合思想解不等式、求参数范围
热点三
利用数形结合思想解最值问题
热点一
利用数形结合思想讨论方程的根
例1
(2014· 山东)已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，
答案 A
1
2
3
4 真题感悟
2.(2014· 江西)在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴 和 y 轴上的动点， 若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x＋y －4＝0 相切，则圆 C 面积的最小值为( 4 A. π 5 C.(6－2 5)π 3 B. π 4 5 D. π 4 )
1
2
3
4 真题感悟
|m＋1| 而当直线与圆相切时有 ＝1， 2 又 m>0，所以 m＝ 2－1，
故 m 的取值范围是 m≥ 2－1.
答案 [ 2－1，＋∞)
(2)若不等式 9－x2≤k(x＋2)－ 2 的解集为区间[a，b]，且 b 2 －a＝2，则 k＝________. 解析 令 y1＝ 9－x2，y2＝k(x＋2)－ 2， 在同一个坐标系中作出其图象， 因 9－x2≤k(x＋2)－ 2的解集为[a，b] 且 b－a＝2.
圆心，则四边形PACB面积的最小值为________. 解析 从运动的观点看问题，当动点P沿
直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷
远处运动时，
1 1 直角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC＝ |PA|· |AC|＝ |PA| 2 2 越来越大，从而 S 四边形 PACB 也越来越大；
当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB
m≥0} ， 则 使 A⊆B 成 立 的 实 数 m 的 取 值 范 围 是
_______. 解析 集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，
集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的
点的集合，
要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含
(如图)， 即直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离 (在圆的下方)，
解析
为 2，
由题意，知圆的圆心坐标为 (3，－1)，圆的半径长
|PQ|的最小值为圆心到直线 x＝－3的距离减去圆的半径长，
所以|PQ|min＝3－(－3)－2＝4.故选B.
x－y＋1≤0， (2)若实数 x、y 满足x>0， y≤2，
y 则 的最小值是____. x
解析 可行域如图所示. y 又 的几何意义是可行域内的点与坐标原点 x 连线的斜率k. 由图知，过点A的直线OA的斜率最小.
(3)简单性原则 .不要为了“数形结合”而数形结合 . 具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要 选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好 转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值
范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与
定二次曲线.
3.数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围. (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围. (3) 构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的
变小，
显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，
S四边形PACB应有唯一的最小值，
|3×1＋4×1＋8| 此时|PC|＝ ＝3， 2 2 3 ＋4
从而|PA|＝ |PC|2－|AC|2＝2 2. 1 所以(S 四边形 PACB)min ＝2× ×|PA|×|AC|＝2 2. 2
答案 2 2
x－y＋1＝0， 联立 得 A(1,2)， y＝2，
2－ 0 y 所以 kOA＝ ＝2.所以 的最小值为 2. x 1－ 0
答案
2
本讲规律总结
1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表
示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义
等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题 的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关 系，达到解题的目的.
结合图象知 b＝3，a＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,2 2). 2 2＋ 2 又因为点(－2，－ 2)在直线上，所以 k＝ ＝ 2. 1＋2
热点三
利用数形结合思想解最值问题
例3
(1) 已知 P 是直线 l ： 3x ＋ 4y ＋ 8 ＝ 0 上的动点， PA 、 PB
是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是
解析
∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上.
设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，
则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，
∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物
线上，
∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.
1
2
3
4 真题感悟
|2×0＋0－4| 4 又|OD|＝ ＝ ， 5 5
思 维 (2) 如果 ( 不 ) 等式、代数式的结构蕴含着明显的 升 几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来 华
最值.
解题，即所谓的几何法求解.
变式训练3
(1)(2013· 重庆)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是
直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( B )
A.6 B.4 C.3 D.2
变式训练1
2 x ＋bx＋c，x≤ 0， 设函数 f(x)＝ 若 f(－4)＝f(0)，f(－2) 2， x>0，
＝－2，则关于 x 的方程 f(x)＝x 的解的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4
)
解析
由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
x2＋4x＋2，x≤0， 解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝ 2， x>0.
2.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，
这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达 到解题的目的. 3.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出 即可，不需要精确图象.
4.数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜
率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；
点到直线的距离公式等.
法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇 特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的
训练，以提高解题能力和速度 . 具体操作时，应注
意以下几点：
(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域.
(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的
个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要 把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 ( 有
)
B.(－∞，1] D.[－2,0]
1
2
3
4 真题感悟
解析
函数y＝|f(x)|的图象如图.
①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立.
②当a>0时，只需在x>0时，
ln(x＋1)≥ax成立.
比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度.
显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立.
1
2
x－ 2y＋1≥0， (2)已知点 P(x，y)的坐标 x，y 满足 |x|－ y－ 1≤0，
则 x2＋y2－6x＋9 的取值范围是( A.[2,4] C.[4,10] B.[2,16] D.[4,16]
)
解析 画出可行域如图，所求的x2＋y2－
6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上
求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的 图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两
思 个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位 维 升 置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避 华
免烦琐的y)|x2 ＋ (y－ 1)2 ＝ 1} ， B＝ {(x ， y)|x ＋ y＋
)
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3
4 真题感悟
解析
设 P(x,0) ， 设 C1(2,3) 关 于 x 轴 的 对 称 点 为
C1′(2，－3)，
那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2| ＝ 2－3 ＋－3－4 ＝5 2.
而|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5 2－4.
2 2
属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程